teoria gier w ekonomii - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER
W EKONOMII
WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ
dr Robert Kowalczyk
Katedra Analizy Nieliniowej
Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
Definicja gry o sumie zerowej
Powiemy, że  jest grą o sumie zerowej wtedy i tylko wtedy, gdy w
każdym wierzchołku końcowym funkcja wypłaty (1,2,…,n)
spełnia warunek
i=1..n i = 0.
Innymi słowy: gra o sumie zerowej jest systemem zamkniętym, tzn.
jeśli ktokolwiek coś wygra, ktoś inny musi stracić.
W przypadku gier dwuosobowych będziemy podawali tylko
pierwszą współrzędną 1 i będziemy traktowali ją jako wypłatę
(formalnie wypłata drugiego gracza jest wówczas równa -1).
O parach strategii w równowadze
Twierdzenie
Niech (1,1) i (3,3) będą dwiema parami
strategii w równowadze dwuosobowej gry o sumie
zerowej. Wówczas:
(1,3) i (3,1) są też parami strategii w
równowadze,


(1,1) = (3,3) = (1,3) = (3,1).
G. Owen, Teoria Gier
Gracz II
1
2
3
1
1
4
1
2
-4
9
-4
3
1
4
1
Gracz I
Punkty siodłowe a punkt równowagi
Twierdzenie
Para strategii (1,io,2,jo) jest w równowadze wtedy i tylko
wtedy, gdy odpowiadający jej element (wypłata) aio,jo
macierzy A=[ai,j]i=1,..,m,j=1,..,n jest jednocześnie największy w
swojej kolumnie i najmniejszy w swoim wierszu, tzn.
aio,jo = maxi=1,2,…,mai,jo = minj=1,2,…,naio,j.
Uwaga
Każda gra dwuosobowa o sumie zerowej, która posiada punkt
siodłowy (punkt o którym mowa w powyższym twierdzeniu) posiada
rozwiązanie, tzn. punkt równowagi.
Gra dwuosobowa o sumie zerowej z punktem siodłowym
Poniższa gra posiada punkt siodłowy, a zatem ma rozwiązanie.
Gracz II
str 1
str 2
str 3
str 1
5
1
3
str 2
3
2
4
str 3
-3
0
1
Gracz I
Jej rozwiązaniem jest para strategii czystych (str 2, str 2).
Twierdzenie o minmax (punkty siodłowe)
II
Twierdzenie
Jeżeli aio,jo jest punktem
macierzy A=[ai,j]i=1,..,m,j=1,..,n, to

siodłowym
maxi=1,2,…,mminj=1,2,…,nai,j = mini=1,2,…,nmaxj=1,2,…,mai,j.

Jeżeli
str 1 str 2 str 3
I
max
min
str 1
5
1
3
1
str 2
3
2
4
2
str 3
-3
0
1
-3
5
2
4
maxi=1,2,…,mminj=1,2,…,nai,j=mini=1,2,…,nmaxj=1,2,…,mai,j = aio,jo,
to aio,jo jest punktem siodłowym macierzy
A=[ai,j]i=1,..,m,j=1,..,n., gdy i0 jest elementem zbioru
{i:minj=1,2,...,nai,j=a},
a j0 jest elementem zbioru
{j:maxi=1,2,...,mai,j=a}.
max
min
2
2
Gra bez punktów siodłowych
Gracz I gra strategią 1 aby wygrać nie mniej niż dwie jednostki:
vI = maxi {minj ai,j} (dolna wygrana gracza I).
Gracz II gra strategią 2 aby stracić nie więcej niż trzy jednostki:
vII = minj {maxi ai,j} (górna przegrana gracza II).
Oczywiście zachodzi:
vI  vII
(w przypadku gdy jest punkt siodłowy vI= vII). Jak zatem szukać
rozwiązania gdy?
A zatem:
2  vI  vII 3.
II
I
str 1 str 2
str 1
4
2
str 2
1
3
Strategie mieszane
Strategią mieszaną gracza nazywamy rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze jego
n-strategii czystych, tzn. jest to taki wektor x=(x1,x2,…,xn), że
xi  0,
dla i =1,2,…,n oraz
i=1..nxn = 1.
Jeżeli A=[ai,j]i=1,2,…,m,j=1,2,…,n jest grą macierzową, to oczekiwaną wypłatą będzie
A(x,y) = i=1..mi=1..nxiai,jyj
lub w języku macierzowym
A(x,y) = xAyT
dla xX oraz yY, gdzie X i Y, to zbiory wszystkich możliwych strategii, odpowiednio, graczy
I i II.
Strategie mieszane (minmax)
Dolną oczekiwaną wygraną gracza I nazywamy liczbę
v(x) = minyYxAyT
(przy założeniu, że użyje on strategii x). Ponieważ xAyT jest średnią ważoną oczekiwanych wypłat gracza I jego strategii x
przeciw strategiom czystym gracza II, więc
v(x) = minj=1,2,…,nxA.j,
gdzie A.,j, to j-ta kolumna macierzy A. Ponieważ gracz I maksymalizuje swoje zyski, to ostatecznie jego dolna wygrana to liczba
vI = maxxX v(x) = maxxX minj=1,2,…,nxA.j.
Górną oczekiwaną przegraną gracza II nazywamy liczbę
v(y) = maxxXxAyT
(przy założeniu, że użyje on strategii y). W języku strategii czystych gracza I mamy zatem
v(y) = maxi=1,2,…,xAi.,
gdzie A.i,., to i-ty wiersz macierzy A. Ostatecznie, górna przegrana gracza II, to liczba
vII=minyY v(y) =minyY maxi=1,2,…,mxA.j.
Oczywiście łatwo pokazać, że
vI vII.
Twierdzenie minmax (J. von Neumann, O. Morgensternem)
Twierdzenie
Jeżeli A = [ai,j]i=1,2,…,m,j=1,2,…,n jest grą dwuosobową o sumie zerowej oraz
vI = maxxX minj=1,2,…,nxA.j
i
vII = minyY maxi=1,2,…,mxAi.,
są odpowiednio, dolną wygraną gracza I i górną przegraną gracza II (X,Y –
odpowiednio, zbiory strategii mieszanych graczy I i II), to
vI =vII.
G. Owen, Teoria Gier
Innymi słowy: Każda gra dwuosobowa o sumie zerowej ma rozwiązanie w strategiach
mieszanych, przy czym twierdzenie nie mówi jak je dobrać.
Przykład gry w strategiach mieszanych
Poszukamy strategii mieszanych dla gracza I i gracza II w następującej grze.
Niech (x1,x2) i (y1,y2) będą strategiami mieszanymi odpowiednio graczy I i II,
tzn. x1+x2 = 1, y1+y2 = 1 oraz x1, x2, y1, y20.
Wypłata gracza I (jeśli kolumna gra A): 4x1+x2
Wypłata gracza I (jeśli kolumna gra B): 2x1+3x2
A zatem:
4x1+x2 = 2x1+3x2 oraz x1+x2 = 1,
II
A: y1
B: y2
A: x1
4
2
B: x2
1
3
I
skąd x1= ½ oraz x1= ½ .
Strata gracza II (jeśli wiersz gra A): 4x1+2x2
Strata gracza II (jeśli wiersz gra B): x1+3x2
A zatem:
4x1+2x2 = x1+3x2 oraz y1+y2 = 1,
skąd y1= ¼ oraz y2= ¾ .
Strategia optymalna gracza I: (½ A,½ A)
Strategia optymalna gracza I: (¼ A,¾ A)
Dominacje
Mówimy, że i-ty wiersz macierzy A = [aij]i=1,2,…,m,j=1,2,…,n dominuje k-ty wiersz tej macierzy, jeśli
aij  akj dla wszystkich j
oraz
aij > akj dla co najmniej jednego j.
Mówimy, że j-ta kolumna macierzy A = [aij]i=1,2,…,m,j=1,2,…,n dominuje l-tą kolumnę tej macierzy,
jeśli
aij  ail dla wszystkich i
oraz
aij < ail dla co najmniej jednego i.
Innymi słowy: Strategia czysta (reprezentowana przez odpowiedni wiersz lub kolumnę) dominuje
inną strategię czystą, jeśli wybór pierwszej (dominującej) strategii jest co najmniej tak dobry, jak
wybór drugiej (zdominowanej) strategii, a czasem nawet lepszy.
Gra ze strategiami dominującymi i zdominowanymi
Twierdzenie
Jeżeli A jest grą macierzową oraz wiersze i1,i2,…,ik macierzy A są zdominowane, to
gracz I ma strategię optymalną taką, że
xi = xi =…= xi = 0;
1
2
k
ponadto każda strategia optymalna dla gry utworzonej z A przez usunięcie wierszy
zdominowanych będzie również strategią optymalną gry A.
G. Owen, Teoria Gier
Podobne twierdzenie zachodzi dla dominacji kolumn.
Innymi słowy: Zdominowane wiersze i kolumny z macierzy A mogą zostać usunięte, co
pozwala rozegrać grę (dokładniej podgrę) o macierzy mniejszego rzędu.
Przykład redukcji gry do podgry wymiaru mniejszego
w3w1
2
0
1
4
1
2
5
3
4
1
3
2
1
2
5
4
1
3
k2k4
k2k3
2
0
1
1
2
5
4
1
3
1
2
4
1
Rozwiązanie gry 2x2 bez punktów siodłowych
Twierdzenie
Jeżeli A jest grą o macierzy 2x2 bez punktów
siodłowych, to jej wartość i jedyne strategie
optymalne x i y wyrażają się wzorami:
x = JA*/JA*J t
y = A*Jt/JA*J t
v = |A|/
JA*J t,
gdzie A* jest macierzą dołączoną macierzy A,
|A| jest wyznacznikiem macierzy A, natomiast J
jest wektorem postaci [1,1].
G. Owen, Teoria Gier
A=
4
2
1
3
A*=
|A|=10
3
-2
-1
4
JA* = [2,2]
A*Jt = [1,3]
x = (1/2,1/1)
JA*Jt = 4
y = (1/4,3/4)
v=10/4=2,5
Gry o macierzach 2xn (analogicznie mx2)
Rozważmy grę 2xn (podobnie można
rozpatrywać grę mx2). Problem pierwszego
gracza, to zmaksymalizowanie wielkości
v(x)=minj{a1,jx1+a2,jx2}.
Przyjmując x1=1-x2 otrzymujemy
v(x)=minj{(a2,j -a1,j)x2+a1,j}.
Musimy zatem maksymalizować minimum n
funkcji liniowych.
2
3
1
G. Owen, Teoria Gier
4
1
6
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
5
0
y
x=(5/7,2/7)
v=17/7
y=(0,5/7,2/7,0)
1
Rozwiązywanie gier metodą fikcyjnych założeń
Przypuśćmy, że dwaj gracze rozgrywają pewną grę wielokrotnie. W każdej partii każdy gracz
próbuje maksymalizować oczekiwaną wygraną przeciw empirycznemu rozkładowi strategii
przeciwnika.
Jeżeli gracz II użył swej j-tej strategii qj razy, gracz I wybierze i tak, aby zmaksymalizować wielkość
jai,jqj. Podobnie, jeśli gracz I zastosował pi razy swą strategię i-tą, to gracz II wybierze j tak, aby
zminimalizować wielkość iai,jpi.
Oznaczymy teraz przez piN liczbę oznaczającą ilokrotnie gracz I użył strategii i-tej w ciągu
pierwszych N rozegranych partii i niech xiN = piN/N. Oczywiście xN = (x1N, x2N,…, xmN) jest strategią
mieszaną gracza I. Zachodzi:
Twierdzenie
Granica każdego podciągu zbieżnego ciągu (xN) jest strategią optymalną dla gracza I.
G. Owen, Teoria Gier
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
dr Robert Kowalczyk
Wydział Matematyki i Informatyki UŁ