8. GRAWITACJA I ASTRONOMIA Zakres wiadomości Rozwój

8. GRAWITACJA I ASTRONOMIA
Zakres wiadomości






Rozwój poglądów na budowę Wszechświata (układ helio- i geocentryczny)
Prawa Keplera
Prawo powszechnego ciążenia (siła grawitacji i siła ciężkości)
Pole grawitacyjne
Zagadnienia lotów kosmicznych (I i II prędkość kosmiczna)
Układ Słoneczny
Rozwój poglądów na budowę Wszechświata (układ helio- i geocentryczny)
Już w starożytności ludzie zastanawiali się nad budową Wszechświata. Obserwacje nieba i Słońca prowadziły do
szeregu teorii budowy Wszechświata. Najbardziej znaną jest teoria geocentryczna, której twórcą był Ptolemeusz.
Zakładała ona, że w centrum wszechświata jest nieruchoma Ziemia, a wokół niej krążą po orbitach kołowych
Merkury, Wenus, Słońce, Mars, Jowisz, Saturn
Drugą teorią stworzoną przez Kopernika była teoria heliocentryczna. Zakładała ona, że centrum Wszechświata jest
Słońce, zaś wokół niego krążą planety: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn, Neptun.
Dzisiaj wiemy, że Układ Słoneczny to jest tylko niewielka część Wszechświata.
Prawa Keplera
Teorię Kopernika udoskonalił Kepler, który swoje założenia sformułował w postaci trzech praw:
I prawo mówi, że Planety krążą wokół Słońca po orbitach zamkniętych będących elipsami, w jednym z ognisk elipsy
znajduje się Słońce.
Punkt na orbicie znajdujący się najbliżej Słońca nazywamy peryhelium, a punkt na orbicie znajdujący się najdalej od
Słońca nazywa się aphelium.
II prawo Keplera mówi, że promień wodzący planety w jednakowych odstępach czasu zakreśla jednakowe pola, czyli
prędkość polowa jest stała, a prędkość liniowa zmienia się w zależności od odległości od Słońca: jest największa w
pobliżu peryhelium, a najmniejsza w pobliży aphelium.
III prawo Keplera mówi, że stosunek drugiej potęgi okresu obiegu planety wokół Słońca do trzeciej potęgi średniej
odległości planety od Słońca jest wielkością stałą , taką samą dla wszystkich ciał Układu Słonecznego. Pozwala to
obliczać okresy obiegów planet i ich odległości od Słońca
Prawo powszechnego ciążenia (siła grawitacji i siła ciężkości)
Newton dysponując danymi opracowanymi przez Kopernika, Galileusza, Keplera dotyczące oddziaływań między
planetami , dysponując II zasadą dynamiki, oraz wnioskami dotyczącymi spadania ciał sformułował prawo dotyczące
wszystkich ciał niebieskich. Prawo to nazywa się prawem powszechnej grawitacji.
Treść prawa: Każde dwa ciała kuliste przyciągają się wzajemnie siłą , która jest wprost proporcjonalna do iloczynu
mas tych ciał a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami. F  G 
Stała grawitacji: G = 6,67 ·10
-11
N  m2
kg 2
m1  m2
r2
Bardzo mała wartość stałej grawitacji wskazuje, że gdy masy ciał są małe o siła wzajemnego oddziaływania między
ciałami jest również bardzo mała i nie zauważalne są jej skutki. Obserwujemy tylko oddziaływanie wszystkich ciał z
Ziemią oraz wzajemne oddziaływanie ciał Układu Słonecznego.
Wpływ odległości na postać prawa powszechnego ciążenia
a/ jeżeli ciało o masie m znajduje się w pobliżu powierzchni Ziemi, czyli r = RZ, to a=
M
F
m
 G  Z  10 2  g , czyli
m
RZ
s
F = mg
b/ jeżeli ciało znajduje się na wysokości porównywalnej z promieniem Ziemi, to F = G
M m
( R Z  h) 2
z tego wynika, że jeżeli wzrasta odległość od środka Ziemi, to siła oddziaływania grawitacyjnego maleje.
Pole grawitacyjne
Pole grawitacyjne - jest to przestrzeń wokół ciała będącego źródłem tego pola. Jeżeli źródłem pola jest Ziemia –
mówimy o polu grawitacyjnym ziemskim. Jeżeli źródłem pola jest np. Księżyc – mówimy o polu grawitacyjnym
Księżyca, itp.
Rozróżniamy dwa rodzaje pól – pole centralne i pole jednorodne. Obrazując charakter pola wprowadzamy linie pola,
które pokazują nam jak zachowuje się w tym polu tzw. ładunek próbny, czyli ciało o bardzo małej masie.
Jeżeli źródłem pola jest ciało kuliste, to ładunek próbny umieszczony w tym polu będzie poruszał się wzdłuż
promieni.
Jeżeli źródło pola jest tzw źródłem rozciągłym ( płaskim) to linie pola są do siebie równoległe i takie pole nazywamy
polem jednorodnym.
Ponieważ Ziemia i inne ciała niebieski mają kształt kulisty, możemy przyjąć, że pole grawitacyjne Ziemi jest polem
centralnym. Taki charakter będzie miało to pole gdy odległość między Ziemia a ciałem będzie porównywalna z
promieniem Ziemi, czyli ok. 6400km.
W pobliżu Ziemi, nawet na wysokościach na których latają samoloty ( rzędu ok. 10km) pole grawitacyjne Ziemi jest
polem jednorodnym , bo obserwując spadanie ciał możemy powiedzieć, że spadają one po liniach równoległych
prostopadle do powierzchni Ziemi.
Wtedy stosunek siły działającej na ciało do masy tego ciała jest równy przyspieszeniu ziemskiemu.
Dlatego też możemy powiedzieć, że na ciała znajdujące się w pobliżu źródła pola działa siła grawitacji, zwana też siłą
ciężkości, ciężarem ciała.
Zagadnienia lotów kosmicznych (I i II prędkość kosmiczna)
Pierwsza prędkość kosmiczna jest to taka prędkość, którą należy nadać ciału, by poruszało się ono po orbicie wokół
Ziemi. Wartość pierwszej prędkości kosmicznej jest około 7,9 km/s.
Jeżeli ciało ma się poruszać po orbicie kołowej wokół Ziemi, to działa na niego siła dośrodkowa. Wartość tej siły jest
równa sile grawitacji.
Warunkiem poruszania się ciała po okręgu jest działanie na niego siły dośrodkowej. Siła ta zakrzywia tor ruchu ciała.
Z drugiej strony między ciałami występuje oddziaływanie grawitacyjne, więc siła grawitacji wynikająca z prawa
powszechnego ciążenia musi być równa sile dośrodkowej.
Fg  Fd
M  m m  v2
G 2 
r
r
G·M=v2·r, gdzie M – masa Ziemi, G – stała grawitacji, r – promień po którym krąży ciało, liczony od środka Ziemi.
II prędkość kosmiczna -jest to prędkość, jaką należy nadać ciało aby mogło opuścić pole grawitacyjne planety. Jest to
inaczej mówiąc tzw. prędkość ucieczki. Ciało oddala się do nieskończoności – przy założeniu, że na ciało nie działają
siły oporu powietrza oraz nie oddziałują żadne inne ciała niebieskie.
Jeżeli nie ma żadnych sił zewnętrznych, to zasada zachowania energii jest spełniona. Energia całkowita sondy
startującej z Ziemi będzie równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej Ec = Ek + Epot W miarę oddalania się od Ziemi
energia kinetyczna maleje i zamienia się w energię potencjalną, która w nieskończoności jest równa zeru. Tak więc
całkowita energia sondy w nieskończoności jest równa zeru. A więc
m  v2
M m
M
z tego v = 2G
Dla Ziemi
G
2
h
h
wartość II prędkości kosmicznej jest równa ok. 11,2km/s
Układ Słoneczny
Słońce jest naszą dzienną gwiazdą. Daje nam ciepło i światło, bo w odróżnieniu od innych gwiazd jest blisko
Ziemi. Słońce jest kulą rozżarzonej materii o bardzo wysokiej temperaturze. Inne gwiazdy świecą podobnie,
ale są bardzo daleko i widać je tylko w nocy jako małe, jasne punkty.
Słońce przyciąga planety siłą grawitacyjną. W naszym Układzie Słonecznym jest dziewięć planet. Niektóre z
nich mają księżyce. Księżyce również są przyciągane przez planety siłami grawitacyjnymi. Księżyce i planety
różnią się tym od gwiazd, że nie są źródłami światła i ciepła, nie są gorące i rozżarzone. Są zimnymi bryłami
materii o rozmiarach znacznie mniejszych od Słońca; świecą one światłem odbitym od Słońca.
Planety krążą po Orach bardzo zbliżonych do okręgów. Wszystkie obiegają Słońce w tę samą stronę i ruch
odbywa się w jednej płaszczyźnie. To jest cecha charakterystyczna naszego Układu Słonecznego. Nazwy
planet wywodzą się od imion bogów rzymskich. W kolejności są to Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz,
Saturn, Uran, Neptun, Pluton.
Planetę Wenus można zaobserwować na wieczornym niebie nad horyzontem jako najjaśniejszy punkt,
pojawiający się zaraz po zachodzie Słońca. Wenus nie ma księżyców, Mars natomiast ma dwa księżyce. Jest
również często widoczny na niebie i świeci lekko czerwonawym światłem. Jowisz i Saturn są największymi
planetami i każda z nich ma po kilkanaście księżyców.
Badania Układu Słonecznego dowiodły, że wszystkie planety i ich księżyce oraz Słońce zbudowane są z tych
samych pierwiastków i związków chemicznych, co Ziemia. Różnią się tylko temperaturą i ciśnieniem,
warunkami fizycznymi oraz ilością poszczególnych pierwiastków.
ZADANIA
a/ zadania testowe
1. Pewna planeta przyciąga ciało, nadając mu stałe przyspieszenie 3m/s2. Ciężar ciała o masie 20 kg wynosi na
tej planecie:
a/ 3N
b/ 20 N
c/ 60 N
d/120 N
e/ 80 N
rozwiązanie: ciężar obliczamy zawsze jako Fg=m· gx, gdzie gx jest przyspieszeniem. Po podstawieniu danych
otrzymujemy 60 N. Prawidłowa odpowiedź: c
2. Na powierzchni Ziemi przyspieszenie grawitacyjne ma wartość g. W odległości równej 3R od powierzchni
Ziemi (R – promień Ziemi) wartość przyspieszenia grawitacyjnego jest równa:
a/ g/16
b/ g/9
c/ g/3
d/ 3g
odpowiedź uzasadnij
3. W odległości r= 3R (R – promień Ziemi) umieszczono ciało, którego ciężar na powierzchni Ziemi wynosił
450N. W odległości r ciężar wynosi:
a/ 450N
b/ 150N
c/ 75N
d/ 50N
Rozwiązanie: Ciało i Ziemia przyciągają się zgodnie z prawem powszechnego ciążenia. Siłę przyciągania się
ciał z Ziemią nazywamy ciężarem. Zmianie ulega tylko odległość ciał. Ciężar zależy więc w tym przypadku od
odległości tego ciała od Ziemi. Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia siła wzajemnego oddziaływania jest
odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami. Odległość wzrosła 3 razy, to siła
grawitacji zmalała 9 razy, zatem prawidłowa odpowiedź: d
b/ zadania tekstowe
1. W tabeli przedstawiono dane dla trzech meteorytów, które spadły na trzy różne obiekty astronomiczne.
Nr meteorytu
Masa ( kg)
Ciężar (N)
I
12
44
II
2
20
III
18
30
a/ który z meteorytów spadł na Ziemię? Uzasadnij odpowiedź
b/ I meteoryt spadł an Marsa. Oblicz wartość przyspieszenia grawitacyjnego na tej planecie
c/ na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie jest takie jak na Marsie ( promień Ziemi R= 6400km)
rozwiązanie: dzieląc ciężar meteorytu przez jego masę otrzymujemy wartość przyspieszenia planety na której się on
znajduje. Po obliczeniach otrzymujemy g1= 3,67m/s2 g2 = 10m/s2 g3 = 1,67m/s2 Chcąc rozwiązać punkt c należy
skorzystać ze wzoru na wartość siły grawitacji F, która działa na ciało o masie m, znajdujące się w odległości r od
M m
gdzie G – stała grawitacji. Dzieląc wartość siły F przez masę ciała
r2
M
m, otrzymujemy wzór na wartość przyspieszenia g´ działającego w odległości r od środka Ziemi: g´= G  2 Jeżeli za r
r
M
wstawimy promień Ziemi R, to wówczas g´= 10m/s2 g= G  2 a więc G·M = g·R2 podstawiając to do wzoru na g´
R
środka Ziemi posiadającej masę M
otrzymujemy g´=
g  R2
czyli r =
r2
F G
g
 R jeżeli za g´ wstawimy przyspieszenie na Marsie, to otrzymamy, że
g
r = 10600 km Wysokość h = R- r a więc h = 4200 km. Odpowiedź: na wysokości 4200 km nad Ziemią przyspieszenie
jest takie jak na Marsie
2. Oblicz masę Ziemi. Do obliczeń wykorzystaj następujące dane: promień Ziemi r= 6400 km, stała grawitacji
G= 6,67 ·10-11
N  m2
,
2
kg 2 przyspieszenie ziemskie g~10m/s Rozwiązanie: korzystając z prawa
powszechnego ciążenia, możemy również obliczyć masę dowolnej planety, znając jej promień.
mM
Porównując siłę powszechnego ciążenia z ciężarem ciała na planecie otrzymujemy: G 2  mg
r
gr 2
stąd M=
G
3. Obliczyć siłę oddziaływania miedzy dwojgiem ludzi o masach 10kg i odległości między nimi 1m,
N  m2
-11
jeżeli G = 6,67·10
kg 2
4. Wartość jednej z mas wzrosła czterokrotnie . Co należy zrobić, aby siła oddziaływania między nimi
nie zmieniła się. Odpowiedź uzasadnij.
5. Jak zmieni się siła oddziaływania grawitacyjnego dwóch ciał, jeżeli masy zmaleją czterokrotnie.
Odpowiedź uzasadnij
6. Jak zmieni się siła oddziaływania grawitacyjnego dwóch ciał o jednakowych masach, jeśli odległość
między nimi zmniejszy się szesnastokrotnie. Odpowiedź uzasadnij.
7. Oblicz, jak zmieniłaby się siła z jaką Ziemia przyciąga 1kg znajdujący się na jej powierzchni, gdyby
Ziemia miała 2 razy mniejszą masę i 2 razy mniejszy promień
c/ problemy i doświadczenia