ZESTAW 7. 1. Wektor (X, Y ) ma rozkład dany w następującej tabeli

ZESTAW 7.
1. Wektor (X, Y ) ma rozkład dany w następującej tabeli:
Y
X
-1
0
1
1
2
3
1
16
0
1
16
1
4
1
16
1
2
0
1
16
0
pk·
p·i
2.
3.
4.
5.
a) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych X i Y ; b) sprawdzić, czy zmienne
X i Y są niezależne; c) wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej Y przy warunku X = −1; d) obliczyć E(X|Y = 2); b) wyznaczyć rozkład zmiennej
losowej E(X|Y ).
W pudełku jest 10 losów. Jeden z nich wygrywa 100 zł, dwa wygrywają 1
zł, a pozostałe są puste. Ciągniemy kolejno i bez zwrotu dwa losy. Niech X
oznacza wygraną przypadającą na pierwszy wyciągnięty los, a Y wygraną
przypadającą na drugi los. Wyznaczyć a) rozkład wektora (X, Y ); b) rozkład
zmiennej losowej X + Y ; c) E(X|Y = 0); d) współczynnik korelacji ρXY .
W pudełku nr 1 jest 9 losów pustych i jeden wygrywający 100 zł, a w pudełku
nr 2 jest 7 losów pustych i 3 wygrywające 1 zł. Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Gdy wypadnie co najmniej jeden orzeł, ciągniemy kolejno
i bez zwrotu dwa losy z pudełka nr 1. W przeciwnym przypadku ciągniemy
kolejno i bez zwrotu dwa losy z drugiego pudełka. Niech X i Y oznaczają
odpowiednio wygraną przypadającą na pierwszy i drugi los. Wyznaczyć a)
rozkład wektora losowego (X, Y ); b) rozkład warunkowy X przy warunku
Y = 0; c) cov(X, Y ); d) macierz kowariancji wektora (X, Y ).
W pudełku jest 10 losów. Jeden z nich wygrywa 10 zł, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2 zł. Ciągniemy kolejno bez zwrotu 3 losy. Niech
X oznacza wygraną przypadającą na pierwszy los, Y zaś łączną wygraną
w drugim i trzecim losowaniu. Wyznaczyć a) rozkład wektora (X, Y ); b)
P (X = 10|Y = −4); c) cov(X, Y ).
Dana jest funkcja
f (x, y) =
x+y
0
dla 0 < x < 1 i 0 < y < 1,
dla innych(x, y)
a) Sprawdzić czy f jest gęstością pewnego dwuwymiarowego wektora losowego (X, Y ).
b) Wyznaczyć rozkład warunkowy (dystrybuantę i funkcję gęstości) zmiennej
X przy warunku, ze Y = 21 . c) Obliczyć EX, EY .
6. Dana jest funkcja
f (x, y) =
cxy
0
dla 0 ≤ x ≤ 1 i 0 ≤ y ≤ 1,
dla innych(x, y)
Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego
(X, Y ). Obliczyć: P (X > 21 ); E(Y |X = 12 ); współczynnik korelacji ρXY .
7. Zmienna losowa ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1) oraz rozkład
warunkowy zmiennej losowej X przy warunku Y = y jest rozkładem jed√
nostajnym na przedziale (0, y). Obliczyć gęstość rozkładu warunkowego
Y przy warunku X = x. Wyznaczyć E(Y |X) i narysować wykres funkcji
regresji Y na X.
1