Zadanie 1A

Zestaw 3/TH
Zadanie 1A. Wykazać, że rodzina rozkładów Cauchy’ego {C (0, ) :   0} nie ma
monotonicznego ilorazu wiarygodności, a rodzina rozkładów statystyki dostatecznej X ma
monotoniczny iloraz wiarygodności.
Zadanie 1B. Niech rodzina gęstości f ( , x ) na prostej rzeczywistej ma monotoniczny iloraz
wiarygodności względem x.
a) Jeśli  jest niemalejącą funkcją x, to E  (X )  jest niemalejącą funkcją parametru  .
b) Jeśli X 1 , X 2 ,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstości f ( , x ) , a  jest
niemalejącą funkcją ze względu na każdy argument, to E  ( X 1 , X 2 ,..., X n ) jest
niemalejącą funkcją parametru  .
c) Dla dowolnych    ' dystrybuanty zmiennych losowych X1 , X 2 o gęstościach
odpowiednio f ( , x ) i f ( ' , x) spełniają nierówność F ' ( x)  F ( x) dla każdego x.
Zadanie 2A. Niech X będzie próbą z rozkładu dwumianowego b(1, p) .
a) sprawdzić z definicji, ze rodzina rozkładów próby X ma monotoniczny iloraz
wiarygodności,
b) wyznaczyć JNM test zrandomizowany o rozmiarze  do testowania hipotezy H : p  p0
przy alternatywie K : p  p0 ,
c) zapisać test (obszar krytyczny) w przejrzystej postaci, używając kwantyli znanych
rozkładów,
d) wyznaczyć funkcję mocy tego testu.
Zadanie 2B. Na dziesięciu zapytanych przypadkowych studentów pięciu potwierdziło, że pali
papierosy.
a) czy prawdziwe jest przypuszczenie, że liczba palących studentów przekracza 30%
wszystkich studentów. Weryfikacji przypuszczenia dokonać na poziomie istotności   0.05 ,
b) wyznaczyć moc użytego testu przy alternatywie K : p  0.4 .
Zadanie 3A. Niech X będzie próbą z rozkładu wykładniczego G ( ,1) :
a) sprawdzić z definicji, ze rodzina rozkładów próby X ma monotoniczny iloraz
wiarygodności,
b) wyznaczyć JNM test o rozmiarze  do testowania hipotezy H :   0 przy alternatywie
K :   0 ,
c) zapisać test (obszar krytyczny) w przejrzystej postaci, używając kwantyli rozkładu chikwadrat,
d) wyznaczyć funkcję mocy tego testu.
Zadanie 3B. Przy badaniu dziesięciu przyrządów tego samego typu zarejestrowano czas
bezawaryjnej pracy przyrządu (do momentu pierwszej awarii):
Numer przyrządu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Czas bezawaryjnej pracy 200 350 600 450 400 400 500 350 450 550
Czy prawdziwe jest przypuszczenie, że oczekiwany czas bezawaryjnej pracy jest większy od
400 godzin. Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy ma rozkład wykładniczy zweryfikuj
powyższe przypuszczenie na poziomie istotności   0.05 .
Zadanie 4. Wykazać, że rodzina R(0, ) :
a) jest rodziną z monotonicznym ilorazem wiarygodności,
b) wyznaczyć JNM test o rozmiarze  do testowania hipotezy H :    0 przy alternatywie
K :    0 w oparciu o punkt a) zadania,
c) wyznaczyć funkcje mocy tych testów,
1 x  0
d) wykazać, że JNM test wyznaczony z lematu Neymana-Pearsona  ( x)  
 x   0
jest niedopuszczalny w sensie ryzyka przy standardowej dla testów funkcji straty.