Liczby Stirlinga (.pps)
advertisement
- matematyk szkocki
ur. 22 kwietnia 1692 - zm. 5 grudnia 1770
Zajmował się teorią szeregów nieskończonych
i teorią krzywych algebraicznych trzeciego stopnia
oraz opracował wzór Abrahama de Moivre’a na silnię n!
Liczby Stirlinga zostały wprowadzone przez Jamesa Stirlinga w dziele
„Methodus Differentialis” wydanym w Londynie w roku 1730.
- wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu
wartość silni.
Wzór ten daje dobre przybliżenie
dla dużych liczb n.
Formalnie:
dzielimy na:
- opisują ilość sposobów na rozmieszczenie
n liczb w k cyklach, oznaczane są symbolem
Czytamy:
„k cykli n”
lub rzadziej używanym symbolem:
Na przykład istnieje 11 różnych sposobów na stworzenie 2 cykli z 4 elementów ( s(4,2)):
[1,2,3] [4], [1,2,4] [3], [1,3,4] [2], [2,3,4] [1],
[1,3,2] [4], [1,4,2] [3], [1,4,3] [2], [2,4,3] [1],
[1,2] [3,4], [1,3] [2,4], [1,4] [2,3].
Cykl singletowy (tzn. cykl składający się tylko z jednego elementu) zasadniczo odpowiada
zbiorowi singletowemu (zbiór tylko z jednym elementem). Podobnie, 2-cykl odpowiada
2-zbiorowi, ponieważ [A, B] = [B, A], tak jak {A, B} = {B, A}. Ale istnieją różne 3-cykle:
[A, B, C] i [A, C, B]. Zauważmy, że 11 par cykli można uzyskać z poprzednio podanych
(liczby drugiego rodzaju) siedmiu par zbiorów poprzez stworzenie dwóch cykli z każdego
3-elementowego zbioru.
Przykład 1. Liczba sposobów podziału n obiektów na k niepustych, rozłącznych
bloków z cyklicznym uporządkowaniem elementów na każdym bloku.
Przykład 2. Liczba sposobów rozsadzenia n osób przy dokładnie k okrągłych
stolikach, jeśli przy stolikach może siedzieć nieograniczona liczba osób i liczy się sposób
ich usadzenia przy danym stoliku (czyli to, kto obok kogo siedzi)
/elementy zbioru-osoby
cykle permutacji-stoliki/
Dla lepszego rozróżnienia liczb odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju rozpatrzmy
sytuację:
Mamy prostokątne stoliki ustawione w rzędzie. Sadzamy przy nich osoby tak, że
wszystkie siedzą po tej samej stronie wszystkich stołów (czyli tworzą 'siedzący' szereg).
Wtedy:
to liczba rozsadzeń n osób przy k stolikach (przy każdym stoliku co najmniej jedna
osoba) takich, że przy lewym końcu stolika (z perspektywy siedzących) siedzi najstarsza
spośród osób przy tym stoliku, a pozostałe osoby siedzą w dowolnej kolejności po jej
prawej stronie.
to liczba rozsadzeń n osób przy k stolikach (przy każdym stoliku co najmniej jedna
osoba) takich, że osoby przy każdym stoliku siedzą w kolejności od najstarszej (przy
lewym końcu stolika) do najmłodszej (przy prawym końcu).
przy założeniach
Przyjmuje się, że jeżeli k > n, to
Pochodzenie wzoru rekurencyjnego:
Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga pierwszego rodzaju ilość rozmieszczeń n–liczb
w k–cyklach, łatwo jest pokazać pochodzenie rekurencyjnej zależności między nimi.
Wystarczy wybrać dowolną liczbę i rozpatrzyć ilość pozostałych cykli. Jeżeli ta liczba
była w cyklu, składającym się z jednego elementu, to pozostałe n-1–liczb jest
rozmieszczonych w k-1–cyklach, zaś dodanie jednej cyfry następuje w jeden sposób,
poprzez stworzenie nowego cyklu. Jeżeli liczba była w liczniejszym cyklu, to pozostałe
n-1–liczb jest rozmieszczonych w k–cyklach, zaś dodatkową liczbę można wstawić do
dowolnego cyklu w dowolny sposób, czyli "obok" każdej liczby, a liczb jest n-1, co
oznacza n-1–sposobów umieszczenia liczby w tym przypadku. Rekurencyjna zależność
jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór n–liczb można ustawić
w 0 cykli na 0 sposobów, oraz 1 liczbę w 1 cyklu na 1 sposób.
Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju bywają także definiowane
jako współczynniki, występujące przy zamianie potęg malejących
(silni dolnej) na zwyczajne potęgi:
Przy zamianie normalnych potęg na potęgi rosnące (silnię górną)
występuje zależność:
s(n,k)=(n-1) s(n-1,k)+s(n-1,k-1)
11=3 * 3 + 2
Po zastosowaniu podstawowych rekurencji
oraz
(liczby Stirlinga pierwszego rodzaju)
(liczby Stirlinga drugiego rodzaju)
poza ich kombinatoryczne znaczenie, czyli uznając, że są prawdziwe dla wszystkich
n,k całkowitych przy dodatkowym założeniu
S(0,k) = s(0,k) = [k=0] i S(n,0) = s(n,0) =[n=0]
otrzymujemy trójkąt Stirlinga dla cykli, który pojawia się powyżej trójkąta Stirlinga
dla podzbiorów (i odwrotnie!) za to oba rodzaje liczb Stirlinga powiązane są
wyjątkowo prostą zależnością:
s(n,k) = S(-k,-n), dla całkowitych k, n.
- opisują ilość sposobów podziału zbioru n elementowego na k
niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, które w sumie dają cały
zbiór, zatem opisują ilość k-blokowych partycji zbioru n. (NIEUJEMNE)
Czytamy:
"k podzbiorów n"
Liczby Stirlinga II rodzaju oznaczane są symbolem:
lub:
S(n, k)
Spełniają one związek rekurencyjny postaci:
przy założeniach
Przyjmuje się, że jeżeli k > n, to :
Ilekroć poniżej będziemy mówiły o przypisywaniu ludzi
do stolików lub do pokoi, to przyjmujemy, że:
-osoby są rozróżnialne;
-pokoje są rozróżnialne, np. ponumerowane;
-stoliki są nierozróżnialne, tzn. identyczne
Przykład 1. Liczba rozmieszczeń n różnych przedmiotów (np. kulek, każda innego
koloru) do m identycznych pudełek, gdy zajętych jest dokładnie k pudełek równa się
Podobnie : n osób możemy rozsadzić przy dokładnie k stolikach na
sposobów, jeśli przy stoliku może siedzieć nieograniczona liczba osób i sposób
ich usadzenia przy danym stoliku nie ma znaczenia.
Przykład 2. Liczba będąca iloczynem n różnych liczb pierwszych może być
przedstawiona w postaci iloczynu k różnych czynników (niekoniecznie będących
liczbami pierwszymi) na
sposobów.
Przykład 3. Rozważmy permutacje n liczb. Każda permutacja może być
przedstawiona w postaci iloczynu rozłącznych cykli. Weźmy tylko te permutacje,
których cykle (a konkretnie elementy tych cykli) są uporządkowane w pewien
konkretny sposób, np. w porządku rosnącym. Permutacji n liczb spełniających te
własność i rozkładających się na k cykli jest
Niekiedy liczby Stirlinga drugiego rodzaju są
definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie
normalnych potęg na potęgi malejące (silnię dolną).
Zachodzi wówczas zależność:
" x do m-tej
ubywającej "
m czynników
Dla wykładników mniejszych od 0
silnię dolną definiuje się jako:
Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga drugiego rodzaju ilość
sposobów podziału zbioru n–elementowego na k–podzbiorów
niepustych, łatwo jest uzasadnić rekurencyjną zależność.
Rozpatrzymy zbiór n–liczb, i wybierzmy jedną z nich. Jeżeli ta liczba
stanowiła jednoelementowy podzbiór, to pozostałe n-1–liczb będzie
podzielone na k-1–podzbiorów, zaś jedną liczbę można dodać
na jeden sposób, jako kolejny podzbiór. Jeżeli liczba była
elementem liczniejszego podzbioru, to pozostałe n-1–liczb zostało
podzielone na k–podzbiorów, zaś dodatkową liczbę można dołączyć
do każdego z podzbiorów, których jest k. Można to więc w tym
przypadku zrobić na dokładnie k–sposobów. Rekurencyjna
zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że
zbiór n–liczb można podzielić na 1 podzbiór na 1 sposób, a także
na n–podzbiorów na 1 sposób.
n
Za pomocą funkcji tworzących udowodnimy teraz jawny wzór na
k
* Niech f ( n, k )- oznacza liczbę k blokowych partycji zbioru n elementowego,
czyli ilość możliwości podziału zbioru n elementowego na k niepustych
podzbiorów.
Mamy zbiór n elementowy, musimy utworzyć k niepustych (parami rozłącznych)
podzbiorów, które w sumie dadzą nam nowy n elementowy zbiór.
Rozpatrzmy np. pierwszy element:
1. może być on sam w którymś podzbiorze, a wtedy reszta (n-1 elementów)
będzie rozłożona w k-1 niepustych (parami rozłącznych) podzbiorów, czyli
na f
sposobów.
(
n
1
,
k
1
)
2. albo być w którymś z k podzbiorów, które zostały wcześniej podzielone na k
f
(
n
1
,
k
)
niepustych podzbiorów, czyli sposobów jest k
Sumując te dwa przypadki otrzymujemy:
f
(
n
,
k
)
f
(
n
1
,
k
1
)
k
f
(
n
1
,
k
)
(1)
( Rekurencja obejmuje również ujemne wartości jak i np. przypadki kiedy k>n, ale
wtedy naturalnie f ( n, k ) =0 )
* Funkcje tworzące
Mamy możliwość wyboru czy będziemy obliczać funkcję tworzącą po zmiennej k czy n
czy k i n jednocześnie (funkcje tworzące wielu zmiennych). My zajmiemy się tylko
drugą z nich.
Niech:
n
n
k
k
n
n
A
(
y
)
f
(
n
,
k
)
y
y
B
(
x
)
f
(
n
,
k
)
x
x
n
k
k
k
k
k
n
n
n
n
k
n
k
C
(
x
,
y
)
f
(
n
,
k
)
x
y
x
y
k
n
,
k
n
,
k
Funkcja Bk (x )
Czyli zgodnie z zasadą mnożymy (1) stronami przez
x n i sumujemy po wszystkich n.
f
(
n
,
k
)
x
f
(
n
1
,
k
1
)
x
k
f
(
n
1
,
k
)
x
n
n
n
n
n
n
n
1
n
1
B
(
x
)
x
f
(
n
1
,
k
1
)
x
kx
f
(
n
1
,
k
)
x
k
n
n
B
(
x
)
xB
(
x
)
kxB
(
x
)
k
k
1
k
x
B
(
x
)
B
(
x
)
k
k
1
1
kx
dla k>0 (przyjmujemy B0 (x)=1)
(2)
Zauważamy iż (2) można
zapisać jako :
Wyciągnijmy xk
i rozłóżmy na ułamki proste
Szukamy teraz
współczynników Ai , jeśli
pomnożymy
przez 1-rx i podstawimy
1
za x , wszystkie
r
po prawej
wyzerują się
i znajdziemy Ar
A
1 k
i
(
1
x
)(
1
2
x
)...(
1
kx
)
(
1
ix
)
i
1
k
A
(
1
rx
)
(
1
rx
)
i
A
r
(
1
x
)(
1
2
x
)...(
1
kx
) i
(
1
ix
)
1
i
r
k
1
r
A
1
r
(
r
1
)!
(
k
r
)!
k
r
Wróćmy do funkcji tworzącej
k
x
Szukamy współczynników przy xn w rozwinięciu funkcji (
1
x
)(
1
2
x
)...(
1
kx
) , zauważmy że
w liczniku występuje xk czyli właściwie szukamy współczynników przy xn-k funkcji
1
Zapiszmy
(
1
x
)(
1
2
x
)...(
1
kx
)
to formalnie:
k
n
x
1
k
f
(
n
,
k
)
x
x
=
(
1
x
)(
1
2
x
)...(
1
kx
)
(
1
x
)(
1
2
x
)..
1
kx
)
k
k
1
k
A
r
1
n
k
k
r
r
n
k
x
= x
1
(
1
r
)
(
r
1
)!
(
k
r
)!
(
1
rx
)
r
1
r
1
n
k
1
k
r
Szukamy współczynnika przy zmiennej x, wszystko
k
r
n
k 1
1
x
co jej nie zawiera to jakby stała czyli można zapisać:
(
r
1
)!
(
k
r
)!
(
1
rx
)
r
1
1
n
k1
n
k
n
n
i
i
Zatem:
A teraz, wiemy że x
czyli x
(
1
ix
)
(
1
ix
)
No i mamy jawny wzór na liczbę k-blokowych partycji
n
zbioru n-elementowego:
n
k k
r r
f
(
n
,
k
)
=
1
k
r
!
(
k
r
)!
r
1
S(n,k)=S(n-1,k-1)+k S(n-1,k)
7= 1+2*3
Uzasadnienie:
Z każdego n-elementowego zbioru można stworzyć n!/n = (n-1)! różnych n-cykli,
n>0. (Istnieje n! permutacji, a każdy n-cykl występuje n razy, bo każdy z jego
elementów może być wypisany jako pierwszy.) Zatem otrzymujemy tezę.
Jest to znacznie więcej niż
podzbiorowych Stirlinga.
którą otrzymaliśmy w przypadku liczb
Uzasadnienie:
Ponieważ każdy podział na niepuste podzbiory prowadzi do co najmniej jednego
ustawienia w cykl, liczba cykli musi być co najmniej tak duża jak liczba podzbiorów.
Równość zaś zachodzi wyłącznie wtedy, gdy wszystkie cykle są albo singletonami,
albo dubletonami (wtedy cykle równoważne podzbiorom)
Zatem:
s(n,n) = S(n,n) , co daje 1.
Uzasadnienie:
Ponieważ każdy podział na niepuste podzbiory prowadzi do co najmniej jednego
ustawienia w cykl, liczba cykli musi być co najmniej tak duża jak liczba podzbiorów.
Równość zaś zachodzi wyłącznie wtedy, gdy wszystkie cykle są albo singletonami,
albo dubletonami (wtedy cykle równoważne podzbiorom). Zatem: s(n,n) = S(n,n) oraz
s(n,n-1) = S(n,n-1), co w każdym z przypadków daje 1.
(Liczba sposobów ustawienia n obiektów w n-1 cykli lub podzbiorów odpowiada liczbie
sposobów wybrania dwóch obiektów, które będą w tym samym cyklu lub podzbiorze.)
Uzasadnienie:
Ponieważ każda permutacja definiuje układ cykli (i odwrotnie, każdy układ cykli
permutację), jest liczbą permutacji n obiektów, które zawierają dokładnie k cykli. Jeżeli
zsumujemy ją po wszystkich k, dla całkowitych i nieujemnych n musimy otrzymać
całkowitą liczbę permutacji.
Np.: 6+11+6+1=24=4!
Związek liczb Stirlinga i liczb Bella
Liczba Bella dla liczby naturalnej n (ozn: Bn) to liczba podziałów
zbioru {1,...,n}.
Bn =
1
1
2
5
15
52
203
877
4140
21147
S(n,k)
Związek pomiędzy liczbami Stirlinga II rodzaju i funkcjami
z X na Y
Niech X i Y będą zbiorami skończonymi, |X|= n i |Y| = m.
|X|
|Y|
Ile jest wszystkich funkcji całkowitych ze zbioru X w Y ?
m*(m1)*...*3*2*1
Ile jest różnych funkcji całkowitych
różnowartościowych ?
Ile jest funkcji całkowitych z X na Y ?
Zauważmy, że jeśli mamy podział zbioru
X na k części, to przypisując tym
częściom elementy zbioru Y określamy
funkcję z X na Y.
Niech Y będzie zbiorem cztero-elementowym.
X:
1
2
3
Każdy taki podział determinuje funkcję na
zbiór Y określoną jako
Mamy dokładnie
S(n,k) różnych
podziałów zbioru X na
k części.
f(x)= y1, jeśli x jest elementem niebieskim,
f(x)= y2, jeśli x jest czerwony,
f(x)= y3, jeśli x jest żółty,
f(x)= y4 , jeśli x jest zielony.
k! różnych
przypisań
wartości
2
3
4
4
1
PRZYGOTOWAŁY:
• Edyta Kordowska
• Katarzyna Młodzikowska
• Agnieszka Potaś
