metody perturbacyjne ii rzędu w mechanice

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
34, s. 111-118, Gliwice 2007
ISSN 1896-771X
METODY PERTURBACYJNE II RZĘDU W MECHANICE
JERZY SKRZYPCZYK
Zakład Mechaniki Teoretycznej, Politechnika Śląska
email: [email protected]
Streszczenie. W pracy przedstawiono nowy system algebraiczny ze specjalnie
zdefiniowanymi operacjami dodawania i mnoŜenia. Nowo wprowadzone liczby
zostały nazwane liczbami perturbacyjnymi II rzędu. Wykazano, Ŝe system liczb
rzeczywistych (R,+,•) jest zanurzony w nowym systemie algebraicznym
(Rε2,+ε2,•ε2). Przedstawiono równieŜ jak wykonuje się pozostałe operacje
algebraiczne takie jak: odejmowanie, odwrotność oraz dzielenie. Klasyczne
problemy perturbacyjne II rzędu mogą być rozwiązywane w nowym systemie
równie łatwo, jak zwykłe problemy matematyki stosowanej, mechaniki
teoretycznej i fizyki. Nie są wymagane Ŝadne dodatkowe przekształcenia. Jako
przykładem posłuŜono się prostymi zadaniami perturbacyjnymi ze statyki
i dynamiki dla ramy w zakresie spręŜystym.
1. WSTĘP
Teoria perturbacji pojawiła się w jednej z najstarszych dziedzin matematyki stosowanej:
mechanice nieba. Współczesne zastosowania teorii perturbacji sięgają dzisiaj daleko dalej niŜ
mechanika nieba, ale idea metody pozostała niezmieniona. Teoria perturbacji jest dzisiaj
częścią nauki o ogromnym znaczeniu teoretycznym i praktycznym. Dokładnie zaczęła się ona
w latach 1926/27 wraz z pracami Rayleigha i Schrödingera. Obecnie metody perturbacyjne
mają ogromną bibliografię liczoną w tysiącach pozycji i pozostają niezmiennie w uŜyciu. [5]
Analizę zaczyna się zwykle od prostego problemu, który łatwo rozwiązać, tzw. problemu
bez perturbacji i wykorzystuje się go jako przybliŜenie rozwiązania bardziej skomplikowanego problemu, który róŜni się od podstawowego tylko istnieniem pewnych małych składników. Rozwiązania poszukuje się w postaci kolejnych przybliŜeń rozwiązania podstawowego, przedstawionego najczęściej w postaci szeregu potęgowego pewnego małego parametru.
Generalnie metody perturbacyjne mogą być sformułowane w następującym sensie.
Zbadajmy jak perturbacje (małe) wielkości nominalnego parametru mogą zmienić
rozwiązanie rozwaŜanego problemu. ZałóŜmy, Ŝe rozwiązanie problemu, powiedzmy x0,
odpowiada macierzy współczynników A. Podstawowy problem teorii perturbacji jest
następujący: jak zmieni się rozwiązanie, jeŜeli macierz A zmieni wartość na A+εB, gdzie ε
jest pewnym małym parametrem, a B jest perturbacją. Poszukujemy rozwiązania w postaci
szeregu jednorodnych składników zaleŜnych od macierzy perturbacji B, tzn. postaci
x:=x0+εx1+ε2x2+ε3x3+………..
(1)
JeŜeli ograniczymy rozwaŜania do dwóch pierwszych składników szeregu (1), mówimy o
metodzie perturbacji I rzędu, jeŜeli do trzech to II rzędu itd. W metodach perturbacyjnych
powaŜne trudności są związane z koniecznością wykonywania duŜej ilości obliczeń
analitycznych. Jako wynik otrzymujemy zbiór klasycznych zadań, które zwykle
rozwiązujemy na drodze numerycznej, por. [1],[2],[6].
112
J. SKRZYPCZYK
W pracy zastosowano specjalny rodzaj liczb, zwanych dalej liczbami perturbacyjnymi II
rzędu (PN II rzędu) i podobnych do liczb perturbacyjnych zdefiniowanych we wcześniejszych
pracach autora, por. [8-18]. Przypomnijmy, Ŝe są one zdefiniowane jako uporządkowane
trójki liczb rzeczywistych (x,y,z)∈R3. [19]
Zbiór elementów PN II rzędu z dodawaniem (+ε2) i mnoŜeniem (•ε2) oraz ustalonym
elementem neutralnym dodawania 0ε2:=(0,0,0) i mnoŜenia 1ε2:=(1,0,0) jest ciałem, por. [4-5].
Zdefiniowane w taki sposób ciało jest nazwane ciałem liczb perturbacyjnych II rzędu.
Ciało PN II rzędu nie zawiera ciała liczb rzeczywistych R. MoŜna udowodnić, Ŝe liczby
rzeczywiste moŜna rozpatrywać jako pewne szczególne elementy podzbioru ciała PN II
rzędu, przy zachowaniu wszystkich obowiązujących dla nich reguł dodawania i mnoŜenia
oraz przy zachowaniu elementów neutralnych dodawania i mnoŜenia.
Zdefiniowano równieŜ funkcje o wartościach perturbacyjnych II rzędu dla argumentów
perturbacyjnych II rzędu, jako rozszerzenie klasycznych funkcji elementarnych i
trygonometrycznych. Własności ε2-funkcji są podobne do własności zwykłych funkcji.
Obliczenia z wykorzystaniem liczb perturbacyjnych II rzędu są z matematycznego punktu
widzenia równowaŜne klasycznym metodom perturbacyjnym II rzędu.
Nowy formalizm matematyczny został zastosowany do klasycznych zagadnień teorii
perturbacji z zakresu mechaniki teoretycznej. RozwaŜono problemy statyczne i dynamiczne
prostych ram w zakresie spręŜystym z perturbacjami w zakresie obciąŜeń i parametrów (systemy
liniowych równań algebraicznych z perturbacjami), podobnie jak dynamiczne problemy drgań
(perturbowane zagadnienie wartości własnych). Zalety nowej metodologii są przedstawione
zarówno w zakresie obliczeń analitycznych, jak i w specjalistycznych procedurach
numerycznych dedykowanych do zagadnień liniowych równań perturbowanych, zagadnień
wartości własnych i badań w zakresie równań róŜniczkowych. Nowa technika moŜe być np.
zastosowana do analizy równań ze zmiennymi róŜnych typów i w sytuacji, gdy wszystkie
parametry równania są perturbowane.
Wraz z nowym systemem obliczeń otrzymujemy niezwykle proste i uŜyteczne narzędzie
do rozwaŜań analitycznych i numerycznych zagadnień złoŜonych problemów perturbacyjnych
mechaniki. [14-27]
Bardziej zaawansowane zastosowania techniczne por. Skrzypczyk, Winkler-Skalna, Fale
akustyczne w warstwowym ośrodku niejednorodnym: nowa metoda perturbacji II rzędu,
niniejszy zeszyt.
2. SYSTEM ALGEBRAICZNY LICZB PERTURBACYJNYCH II RZĘDU
DEFINICJA 1. Zdefiniujemy liczbę zwaną dalej liczbą perturbacyjną II rzędu jako trójkę
uporządkowaną liczb rzeczywistych (x,y,z)∈R3. Zbiór liczb perturbacyjnych II rzędu
będziemy oznaczać jako Rε2. Pierwszy element x trójki (x,y,z) jest nazywany wartością
główną, drugi y - perturbacją I rzędu, natomiast trzeci z - perturbacją II rzędu.
Niech a,a1,a2,a3∈Rε2 oznaczają dowolne liczby perturbacyjne II rzędu oraz a:=(x,y,z),
a1:=(x1,y1,z1), a2:=(x2,y2,z2), a3:=(x3,y3,z3), x,y,z,xi,yi,zi∈R, i=1,2,3. Powiemy, Ŝe dwie liczby
perturbacyjne II rzędu są równe: a1≡a2 wtedy i tylko wtedy, gdy x1 = x2, y1 = y2 oraz z1 = z2.
Wprowadzimy w zbiorze Rε2 działania dodawania (+ε2) i mnoŜenia (•ε2) następująco:
a1 +ε2 a2:=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
(2)
a1 •ε2 a2:=(x1x2,x1y2+x2y1,x1z2+z1x2+y1y2)
(3)
TWIERDZENIE 1. Zbiór Rε2 z działaniami dodawania (+ε2) i mnoŜenia (•ε2) określonymi
wzorami (2) i (3) oraz z wyróŜnionymi elementami: zerowym 0ε2:=(0,0,0) oraz jedynkowym
1ε2:=(1,0,0) jest ciałem. Ciało to nazwiemy ciałem liczb perturbacyjnych II rzędu. 
METODY PERTURBACYJNE II RZĘDU W MECHANICE
113
Określone powyŜej w def. 1 ciało Rε2 nie zawiera ciała liczb rzeczywistych R. MoŜna
jednak wykazać, Ŝe liczby rzeczywiste mogą być traktowane jako pewne elementy ciała Rε2, z
zachowaniem działań algebraicznych oraz elementów neutralnych dodawania i mnoŜenia,
por. [8-9], [11-13].
TWIERDZENIE 2. Przekształcenie j:R→Rε2, j(x):=(x,0,0) dla kaŜdego x∈R, jest
zanurzeniem systemu algebraicznego liczb rzeczywistych R w systemie algebraicznym Rε2.
Jest ono przekształceniem róŜnowartościowym oraz zachowuje odpowiadające sobie
działania algebraiczne oraz elementy neutralne dodawania i mnoŜenia. 
Więcej szczegółów patrz [8]-[11].
3. NOTACJA UPROSZCZONA W RACHUNKU PERTURBACYJNYM
PoniewaŜ przekształcenie j(.) jest zanurzeniem, więc kaŜdą liczbę perturbacyjną postaci
(a,0,0)∈Rε2, a∈R moŜemy utoŜsamić z liczbą rzeczywistą a. MoŜemy skorzystać z tego
utoŜsamienia w celu wprowadzenia dogodniejszej symboliki dla liczb perturbacyjnych.
Oznaczmy przez ε liczbę perturbacyjną (0,1,0) oraz przez η liczbę perturbacyjną (0,0,1).
ZałóŜmy, Ŝe liczba perturbacyjna (x,0,0) będzie identyfikowana z liczbą x∈R, (y,0,0) z
liczbą y∈R oraz (z,0,0) z liczbą z. Wówczas dla dowolnej (x,y,z)∈Rε2, mamy
(x,y,z) = (x,0,0) +ε2 (0,y,0) +ε2 (0,0,z) = (x,0,0) +ε2 (y,0,0) •ε2 (0,1,0) +ε2 (z,0,0) •ε2 (0,0,1) =
=j(x) +ε2 ε•ε2 j(y) +ε2 η•ε2 j(z) = x +ε2 ε•ε2 y +ε2 η•ε2 z
(4)
Liczby rzeczywiste x,y,z nazywać będziemy odpowiednio: częścią główną: a_mv, częścią
małą I rzędu (perturbacją I rzędu): a_pv1 i częścią małą II rzędu (perturbacją II rzędu): a_pv2 .
Liczbę perturbacyjną II rzędu a=x+ε2ε•ε2y+ε2η•ε2z będziemy zapisywać w uproszczeniu
a=x+εy+ηz= a_mv+εa_pv1+ηa_pv2. JeŜeli obie części perturbacyjne są równe zeru, to a jest
liczbą rzeczywistą.
Z praw mnoŜenia wynika, Ŝe
ε2 := ε •ε2 ε = (0,1,0) •ε2 (0,1,0) = (0,0,1) = η,
a więc zgodnie z uproszczoną notacją ε2=η. Podobnie
εη := ε •ε2 η = (0,1,0) •ε2 (0,0,1) = (0,0,0),
η2 := η •ε2 η = (0,0,1) •ε2 (0,0,1) = (0,0,0),
ε3 := ε •ε2 ε •ε2 ε = ε2 •ε2 ε =(0,0,1) •ε2 (0,1,0) = (0,0,0),
i zgodnie z uproszczoną notacją ε3=0. Jak zwykle będziemy uŜywać skrótu dla a•ε2a1 jako aa1
oraz a +ε2 a1 jako a+a1.
MoŜemy zatem stwierdzić na podstawie powyŜszych rozwaŜań, Ŝe zdefiniowane zostały
nowe obiekty. Będą dalej nazywane liczbami perturbacyjnymi II rzędu i są uporządkowanymi
trójkami liczb rzeczywistych (x,y,z)∈R3, które będą zapisywane w następującej formie:
a:=x+εy+ηz =x+εy+ε2z. Zbiór liczb perturbacyjnych II rzędu będzie oznaczony jako Rε2,
naturalnie j(R)⊂Rε2.
Zwolennicy „zwykłych” metod perturbacyjnych mogą „działać” na nich tak jak na
liczbach rzeczywistych, dodając je, odejmując, mnoŜąc i dzieląc. Symbol ε będzie pełnił rolę
małego parametru II rzędu, przy załoŜeniu, Ŝe ε3=0.
Wzory na sumę, róŜnicę, iloczyn i iloraz dają się przy wykorzystaniu uproszczonej notacji
wyrazić następująco:
(5)
a1+a2 := x1+x2+ε(y1+y2)+ε2(z1+z2)
Odejmowanie zdefiniujemy jako a1-a2 = a1+(-a2), zatem
a1-a2 := x1-x2+ε(y1-y2) +ε2(z1-z2)
(6)
2
1
αa := αx+ε(αy)+ε (αz), for α∈R
(7)
a1a2 := x1x2+ε(x1y2+x2y1)+ε2(x1z2+z1x2+y1y2)
(8)
114
J. SKRZYPCZYK
Element odwrotny do liczby perturbacyjnej a=x+εy+ε2z jest zdefiniowany jako liczba
perturbacyjna a-1=x1+εy1+ε2z1 taka, Ŝe aa-1= (x+εy+ε2z)(x1+εy1+ε2z1)=(1,0,0),
x,y,z,x1,y1,z1∈R. ZauwaŜmy dalej
(9)
(x+εy+ε2z) (x1+εy1+ε2z1) = xx1+ε(xy1 +yx1)+ε2(xz1+yy1+zx1) =1+ε0+ε20
wtedy i tylko wtedy, gdy
1 y
z y2 
−1
2
x1 + εy1 + ε z1 = (x , y , z ) =  ,− 2 ,− 2 + 3  , x ≠ 0
(10)
x
x 
x x
Formuła dzielenia moŜe być zatem wprowadzona w następujący sposób
x + εy1 + ε 2 z1
a1 / a2 = 1
=
x2 + εy2 + ε 2 z2
(
)
(
)
2
1
 z
y
y 
= x1 + εy1 + ε 2 z1  − ε 22 + ε 2  − 22 + 23   =
 x2
x2
x2  
 x2

(
)
 x1 z2 x1 y2 2 y1 y2 z1 
 y1 x1 y2 
x1
2


= + ε  − 2  + ε  − 2 +
− 2 +  , x2 ≠ 0
3
x2
x
x2 
x
x
x
x2
 2
2 
2
2

4. UOÓLNIONE ε-FUNKCJE
Funkcje o wartościach perturbacyjnych są definiowane dla argumentów perturbacyjnych
jako rozszerzenia klasycznych funkcji elementarnych i trygonometrycznych. Szczegółowe
własności ε-funkcji były analizowane bardziej szczegółowo w pracach [10], [12-14], [20],
[24-27].
Niech D⊂Rε2 będzie dowolnym podzbiorem. Jeśli kaŜdej liczbie a∈D przyporządkujemy
ξ-pewną liczbę perturbacyjną II rzędu, to powiemy, Ŝe w zbiorze D została określona funkcja
perturbacyjna II rzędu fε2 :D→Rε2, zmiennej perturbacyjnej a. Będziemy pisać fε :D→Rε lub
w = fε(z) lub w uproszczeniu w = ε-f(z).
Dla zilustrowania, w jaki sposób moŜna tworzyć rozszerzenia znanych funkcji na
argumenty perturbacyjne, wykorzystamy dowolną prostą funkcję. Obok wielomianów i
funkcji wymiernych do najprostszych funkcji zmiennej rzeczywistej naleŜy funkcja
wykładnicza exp(a). Jak zatem rozumieć natomiast zapis exp(a), gdy a=x+εy+ε2z∈Rε2?
Jak wiadomo, dla x∈R, funkcja wykładnicza jest określona szeregiem potęgowym
∞
x x 2 x3
xk
exp( x ) = 1 + + + + ....... = ∑ ,
x∈R
(11)
1! 2! 3!
k =0 k !
zbieŜnym na całej osi R. Na podstawie relacji (11) zdefiniujemy funkcję expε2(a), dla
a=x+εy+ε2z ∈Rε2 jako
∞
a a 2 a3
ak
expε 2 ( a ) := 1 + + + + ....... = ∑ ,
a ∈ Rε 2
(12)
1! 2! 3!
k =0 k !
Korzystając z relacji (11) oraz (12), moŜemy napisać
x + εy + ε 2 z x 2 + ε 2 xy + ε 2 2 xz + y 2
expε 2 ( a ) := 1 +
+
+ ....... =
1!
2!
(13)

y2 
2
=  1 + εy + ε  z +   exp( x )
a ∈ Rε
2




(
)
METODY PERTURBACYJNE II RZĘDU W MECHANICE
115
ZauwaŜmy, Ŝe szereg (13) jest bezwzględnie zbieŜny dla kaŜdej wartości a∈Rε2. Zachodzi
ponadto
j(exp(x)) =(exp(x),0,0)=expε2(x),
czyli nowa funkcja expε2(.) jest rzeczywiście rozszerzeniem funkcji rzeczywistej exp(x).
5. PRZYKŁAD
Nowy formalizm matematyczny został zastosowany do prostych problemów
perturbacyjnych, które występują w klasycznej mechanice teoretycznej. Przedyskutujmy
problem perturbacyjny dla zagadnienia statyki prostej ramy (rys. 1) oraz zagadnienie jej
drgań dynamicznych, por. [3]. Zalety nowej metody moŜna zauwaŜyć zarówno w
rozwaŜaniach analitycznych jak i w procedurach numerycznych, które słuŜą analizie układów
liniowych oraz problemów zagadnień własnych, por. [8-13], [20-27].
Równania równowagi przyjmują postać Kq=F, w szczególności
-λ 2   q1   0 

  
0  q2  6 pl2  2 Al 2
= pl  , λ =
(14)
J
0   q3  
    12 
λ 2  q4   0 
ZałóŜmy, Ŝe λ=80, l=5, p=4.157, szczegóły patrz [3]. Dla tych wartości nominalnych
przyjęto, Ŝe: perturbacje I rzędu dla wszystkich niezerowych elementów są losowe oraz rzędu
±10% nominalnej wartości, perturbacje II rzędu wszystkich elementów niezerowych są
losowe oraz rzędu ±1% nominalnej wartości. Znaki perturbacji załoŜono losowe. Numeryczne
wartości po obliczeniach następujące:
12 + λ 2

EJ  0
l 3  − 6l

2
 -λ
0
12 + λ 2
6l
0
-6 l
6l
8l 2
0
 6412.000 − ε 641.171 − ε 2 53.215
0.000
− 30.000 − ε 2.808 + ε 2 0.186 − 6400.00 + ε 303.480 − ε 2 31.170


2
0.000
6412.000 + ε 129.975 + ε 50.220 30.000 + ε 0.090 − ε 2 0.061
0.000

K=
2
2


− 30.00 − ε 2.808 + ε 0.186
30.000 + ε 0.090 − ε 0.061
200.000 − ε 16.418
0.000


0.000
0.000
− 6400.000 + ε 303.480
− 6400.000 + ε 303.480 − ε 2 31.170

[
]
T
F = 0.000 124.703 + ε 2.293 + ε 2 0.029 8.660 + ε 0.652 + ε 2 0.086 0.000 .
11
2
a)
q3
p
pl
q6
EJ
1
q2
q1 1
ϕ 11
b)
2
q5
q4
1
w 32
ϕ
2
3
u
l EJ 2
u 11
1
w1
2
3
ϕ 21
1
2
u 21
w 21
2
q9
3
q8
w 32
q7
l
ϕ 32
3
u 32
Rys. 1 Schemat ramy [3]
Numeryczne obliczenia w nowej arytmetyce są bardzo łatwe do programowania, prawie z
taką samą złoŜonością jak dla liczb rzeczywistych lub zespolonych. Obliczenia wykonano z
pojedynczą precyzją z wykorzystaniem standardowej procedury eliminacji Gaussa z
116
J. SKRZYPCZYK
równowaŜeniem (pivoting) zastosowanym do części głównej macierzy perturbacyjnej K,
mianowicie do K_mv, [6]. Otrzymano następujące wyniki:
q=
[
l3
0.162 − ε 1.465 − ε 215.853, 0.019 + ε 0.009 − ε 2 0.011, 0.0647 − ε 0.209 + ε 2 0.000, 0.162 − ε 1.475 + ε 215.946
EJ
]
T
Dokładność obliczeń była kontrolowana przez śledzenie wartości odpowiednich residuów:
residuum_mv=[-.12207030E-03, -.15258790E-04, .95367430E-06, .00000000E+00]
residuum_pv1=[.00000000E+00, -.47683720E-06, -.22649770E-05, .00000000E+00]
residuum_pv2=[.00000000E+00, -.49173830E-06, -.28885900E-04, .00000000E+00]
Warunek wystarczający stabilności rozpatrywanej ramy jest następujący: macierz K - σ2KG0
musi być macierzą dodatnio określoną, por. [3,4], gdzie
KG
0
 6
 5
 0
=
− l
 10
 0
l
10
0
2l 2
15
0
0 −
0
0
0

0
Sl 2
0
2
, σ =
EJ
0

0 
Dla σ2=0 powyŜsza macierz jest macierzą sztywności i ma własność dodatniej określoności.
Ale własność ta moŜe ulec “zagubieniu“, jeŜeli spełniona będzie relacja det(K-σ2KG0) = 0, a
mianowicie
3
2
12 + λ2 )σ 4 − (192 + 25λ2 )σ 2 + 12(24 + 5λ2 ) = 0
(
(15)
20
5
ZałóŜmy, Ŝe λ = λ0 + ελ1 + ε 2 λ2 . Wówczas równanie (15) przyjmuje postać
(
)
(
)
(
)
3
2
 3

2
2
2
12 + λ0 σ 4 − 192 + 25λ0 σ 2 + 12 24 + 5λ0 + ελ0 λ1  σ 4 − 20σ 2 + 120  +
20
5
 10

(
)
(
)
(
)
 3
2
2
2 
+ ε 2
2λ0 λ2 + λ1 σ 4 + 10 2λ0 λ2 + λ1 σ 2 + 60 2λ0 λ2 + λ1  = 0
 20

Równanie (16) ma dwa rozwiązania
4 192 + 25λ2 m 2 5976 + 1455λ2 + 100λ4
σ 1,2 =
3
12 + λ2
gdzie wszystkie operacje są w sensie perturbacyjnym.
ZałóŜmy, Ŝe λ=80+ε0.8+ε20.08, wówczas otrzymujemy wyniki numeryczne postaci
σ12=6.663858+ε5.612860E-05+ε24.770570E-06
σ22=59.957890+ε8.406466E-04+ε27.148685E-05
2
(16)
(17)
6. WNIOSKI
Obliczenia z wykorzystaniem nowych liczb perturbacyjnych prowadzą do aplikacji, które
z matematycznego punktu widzenia są równowaŜne metodom perturbacyjnym II rzędu w
klasycznej teorii perturbacji. Zalety nowego systemu algebraicznego są następujące:
•
moŜemy całkowicie pominąć etap złoŜonych obliczeń analitycznych, które są typowe
dla rozwijania aproksymowanych wielkości rozwiązań w szeregi nieskończone. Ta metoda
jest skuteczna równieŜ dla wielkości nieznanych - poszukiwanych rozwiązań, jak równieŜ
dla współczynników perturbacyjnych rozpatrywanego problemu;
METODY PERTURBACYJNE II RZĘDU W MECHANICE
117
•
otrzymujemy ogromne uproszczenie wszystkich obliczeń arytmetycznych, które
występują zwykle w analitycznym sformułowaniu i analizie problemu;
•
większość znanych algorytmów numerycznych moŜe być w prosty sposób adaptowana
dla nowego systemu algebraicznego bez większych trudności.
Wraz z nowym systemem algebraicznym otrzymujemy zbiór bardzo prostych narzędzi
matematycznych, które moŜna w łatwy sposób wykorzystać w rozwaŜaniach analitycznych
oraz w komputerowej części analizy złoŜonych problemów perturbacyjnych.
Pokazano przykłady aplikacji sformułowania perturbacyjnego w dwóch klasycznych
zadaniach mechaniki komputerowej. Przedstawiono szczegóły analizy numerycznej dla: ramy
spręŜystej o parametrach perturbowanych pod działaniem perturbowanych obciąŜeń (systemy
liniowych równań algebraicznych) oraz analizy perturbacyjnej stabilności (perturbacyjne
zagadnienie wartości własnych).
BIBLIOGRAFIA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Bellman R: Introduction to m matrix analysis. New York : Mc-Graw-Hill Book
Company, 1976.
Gelfand I.M.: Wykłady z algebry liniowej. Warszawa: PWN, 1971.
Gomuliński A., Witkowski M.: Mechanika budowli: kurs dla zaawansowanych.
Warszawa: Oficyna Wyd. Pol. Warszawskiej, 1993.
Kaczorek T.:Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice. Warszawa: WNT,
1998.
Kato T.: Perturbation theory for linear operators. Berlin : Springer-Verlag, 1966.
Kiełbasiński A., Schwetlick H.: Numerische lineare Algebra. Berlin: VEB Deutcher
Verlag der Wissenschaften , 1988.
Korn G.A., Korn T.M.: Matematyka dla pracowników naukowych i inŜynierów. Cz. I.
Warszawa: PWN, 1983.
Skrzypczyk, J.: Perturbation methods - new arithmetic. Zeszyty Naukowe Pol. Śl., ser.
Budownictwo. Gliwice 2003, s. 391-398.
Skrzypczyk, J.: Metody perturbacyjne - nowa arytmetyka. Zeszyty Naukowe Katedry
Mechaniki Stosowanej Politechniki Śląskiej, Gliwice 2004, nr 23, s. 363-368.
Skrzypczyk, J.: Perturbation methods I - algebra, functions, linear equations, eigenvalue
problems: new algebraic methodology. Proc. of International Conference New Trends
in Statics and Dynamics of Buildings, October 2004, Faculty of Civil Engineering SUT
Bratislava, Slovakia, s. 55-58.
Skrzypczyk, J.: Perturbation methods - New Algebraic Methodology with Applications in
Mechanics. W: XLIV Sympozjon “Modelowanie w mechanice”. Gliwice 2005. Zesz.
Nauk. Kat. Mech. Stos. nr 29, s. 413 – 418.
Skrzypczyk J.: Perturbation methods for systems with interval parameters: Proc. of AIMETH 2005 – Artificial Intelligence Methods, November 16-18, Poland, Gliwice, 2005.
Skrzypczyk J.: Perturbation methods - new algebraic methodology. Proc. of CMM2005 – Computer Methods in Mechanics, June 21-24, 2005. Częstochowa 2005.
Skrzypczyk J.: Perturbation methods for systems with interval parameters. Proc. of
International Conference New Trends in Statics and Dynamics of Buildings. October
2005, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia , s. 85-88.
Skrzypczyk, J., Multi-scale perturbation methods in mechanics. “Modelowanie
InŜynierskie” 2006, nr 32, t. 1, s. 427-432.
Skrzypczyk, J.: Multi-scale perturbation methods in mechanics. Proc. of International
Conference New Trends in Statics And Dynamics Of Buildings, October 2006, Faculty
of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, s. 85-88.
118
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
J. SKRZYPCZYK
Skrzypczyk, J.: Multi-scale perturbation methods in mechanic. “Slovak Journal of Civil
Engineering” 2006, 3, s. 10-14.
Skrzypczyk, J.: II-order perturbation methods in mechanics. Materiały I Kongresu
Mechaniki, 29-31 sierpnia 2007, Warszawa, CD s. 166.
Skrzypczyk, J.: II-order perturbation methods in mechanics – new algebraic
methodology. Proc. of International Conference New Trends in Statics and Dynamics of
Buildings, October 2007, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, s.
233-236.
Skrzypczyk, J., Winkler A.: Perturbation methods II-differentiation, integration and
elements of functional analysis with applications to perturbed wave equation. Proc. of
International Conference New Trends in Statics and Dynamics of Buildings, October
2004, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, Slovakia, s. 147-150.
Skrzypczyk, J., Winkler-Skalna A.: Sound wave propagation problems new perturbation
methodology. “Archives of Acoustic” 2006, 31, No.3, 2006, s. 400-401.
Skrzypczyk, J., Winkler-Skalna A.: Sound wave propagation problems new perturbation
methodology. “Archives of Acoustic” 2006, 31, No. 4, Suplement, s. 115-122.
Skrzypczyk, J., Winkler-Skalna A.: Sound wave propagation problems new perturbation
methodology. Proc. of International Conference “New Trends in Statics and Dynamics
of Buildings”, October 2006, Faculty of Civil Engineering SUT Bratislava, s. 97-100.
Skrzypczyk, J., Winkler-Skalna A.: Acoustic waves propagation problems in layered
medium: the new II order perturbation approach. “Archives of Acoustic” 2006, 32, s.
762-763.
Skrzypczyk, J., Witek, H.: Fuzzy boundary element methods: a new perturbation
approach for systems with fuzzy parameters. Proc. of International Conference New
Trends in Statics and Dynamics of Buildings, October 2005, Faculty of Civil
Engineering SUT Bratislava, 2005, s. 21-24.
Skrzypczyk, J., Witek H.: Fuzzy boundary element methods: a new algebraic approach
for systems with fuzzy parameters. W: AI-METH Series on Artifcial Intelligence
Methods : Recent Developments in Artificial Intelligence Methods 2005, s. 187 – 190.
Skrzypczyk, J., Witek, H.: Fuzzy boundary element methods: a new multi-scale
perturbation approach for systems with fuzzy parameters. “Modelowanie InŜynierskie”
2006, nr 32, t. 1, s. 433 – 438.
II-ORDER PERTURBATION METHODS IN MECHANICS
Summary. The aim of the paper is to present a new algebraic system with
specifically defined addition and multiplication operations. The new numbers
called II-order perturbation numbers are introduced. It’s proved that the system of
real numbers (R,+,•) is imbedded into the new algebraic system (Rε2,+ε2,•ε2).
Some additional properties as subtraction, inversion and division are presented
too. Classical higher-order perturbation problems can be solved in the new
algebraic system as easy as usual problems of applied mathematics, theoretical
physics and techniques. Additional analytical transformations are not required.
Static perturbation problems of a simple frame are discussed as well as dynamical
vibration problems.