Slajd 1

projekt nr POKL.03.03.04-00-110/12
„Z Wojskową Akademią Techniczną nauka jest fascynująca!”
WYKŁAD Z MATEMATYKI
dla uczestników projektu w dniu 28.02.2015 r.
„ Liczba wyznacznikiem
matematycznego poznania Świata”
dr inż. Józef Rafa
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
,,Świat jest matematyczny’’
ks. prof. Michał HELLER
,,Wszystko co daje się poznać ma liczbę, ponieważ nic nie
może być wyobrażone ani poznane bez liczb’’
Filolaos z Krotony (480 r. p.n.e.)
grecki matematyk i filozof, uczeń Pitagorasa
Literatura:
Wacław SIERPIŃSKI ,,Wstęp do teorii liczb’’
Fernando CORBALA’N ,,Złota proporcja. Matematyczny język piękna’’
Enrique GRACIA’N ,,Liczby pierwsze. Wstęp do nieskończoności’’
Michał HELLER ,,Podglądanie wszechświata’’
**********************************
W swoim referacie przedstawię kilka wybranych zagadnień dotyczących prezentowanej
tematyki:
1. Rozwój pojęcia liczby – rys historyczny i aspekty praktyczne.
2. Złota proporcja i liczby Fibonacciego.
3. Liczby pierwsze, ich własności i zastosowania.
4. Liczby wyrażające uniwersalne stałe fizyczne i ich znaczenie w opisie świata materialnego
5. Magia liczb – ich spektakularne wykorzystanie w różnych kulturach.
**********************************
Wprowadzenie
Znany aktor mojego pokolenia Bogumił KOBIELA, występujący w sztuce Moliera ,,SKĄPIEC’’,
zwraca się do swojej żony: ,,Widzisz ja mówię prozą’’. W życiu również mówimy prozą liczb,
które towarzyszą nam na co dzień, nawet jeśli nie zdajemy sobie z tego sprawy.
Historycy badający rozwój cywilizacji zgodnie twierdzą, że ludzkość nauczyła się liczy, gdy
zaczęła się
osiedlać, uprawić ziemię i hodować zwierzęta.
Wyobraźmy sobie pasterza który wyprowadza rano na pastwisko stado owiec a wieczorem
sprowadza je
do zagrody. Interesuje go czy wszystkie owce powróciły z pastwiska.
Nie potrafi liczyć. Jak ma rozwiązać ten problem?
Do woreczka przy wyprowadzaniu owiec wrzuca 1 kamyk – 1 owca.
Wieczorem czyni odwrotnie, wyrzuca z woreczka 1 kamyk za każdą wracającą owcę. W ten
sposób
sprawdzi czy bilans się zgadza. Powstał pierwotny system liczenia (a dokładniej porównywania).
Słowo ,,kalkulacja’’ pochodzi od łacińskiego słowa ,,calculus’’, czyli kamyk. System kamykowy
,,Filozofia zapisana jest w wielkiej księdze która nieustannie leży otwarta przed naszymi oczami
(nazywam ją wszechświatem), ale do której nie można zajrzeć, jeśli nie rozumie się jej języka,
nie pozna pisma, nie wie się co zostało w niej zapisane. Jest ona bowiem napisana językiem
matematyki bez którego niemożliwe jest ludzkie poznanie. Bez nich człowiek błąka się bez celu
jak w ciemnym labiryncie’’ - powiedział Galileo Galilei
Z kolei Albert Einstein stwierdził:
,,Matematyka nigdy nie przestaje mnie zaskakiwać – to produkt ludzkiej wyobraźni, który
idealnie odpowiada rzeczywistości’’.
Angielski filozof Bertrand Russell wyraził swój pogląd na ten temat, następująco:
,,Matematyka jest nie tylko pewna ale i piękna’’.
Wszystko co nas otacza, od rzeczy codziennych po najbardziej abstrakcyjne, byłoby nie do
zrozumienia gdyby nie matematyka: od prognozy pogody po zabezpieczenia sieci i
technologie GPS, w sztuce i muzyce, modelach świata cyfrowego (telewizja cyfrowa,
fotografia cyfrowa, dźwięk cyfrowy itd.), poprzez podstawy logiki i racjonalnego myślenia.
Wraz z rozwojem cywilizacyjnym, zwiększeniem ilości wytwarzanych dóbr, rozwojem handlu
itp. Powstała potrzeba rozszerzenia pojęcia liczby. Wpierw liczby naturalne opatrzono
znakami ,,+’’, ,,-’’ tworząc zbiór liczb całkowitych.
Konieczność podziału posiadanych dóbr wytworzyła następnie liczby wymierne (nazywane
potocznie ułamkowymi lub częściami całości). Załatwiło to możliwość wykonywania czterech
podstawowych działań: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.
Rozwój geometrii (geo-ziemia, metro-mierzę) spowodował zainteresowanie własnościami
figur geometrycznych. Powstała słynna szkoła mistrza Pitagorasa. Badając m.in. kwadrat o
boku równym jednostkowej długości, stwierdził, że przekątna tego kwadratu nie wyraża się w
postaci żadnej ze znanych dotąd liczb. Dzisiaj zapisujemy ją symbolicznie:
Z kolei równie słynny Grek Archimedes zainteresował się własnościami (jednego z
największych wynalazków ludzkości) koła. Badał stosunek długości obwodu koła do jego
średnicy. Był zdziwiony, że niezależnie od wielkości koła jest on jednakowy, stały.
Ponadto stwierdził, że ta wartość nie wyraża się żadną ze znanych liczb. I tak powstała liczba
Archimedesa, którą nazywamy dziś π (pi). Dla uczczenia tego faktu obchodzimy dziś światowy
dzień liczby π .
Zaczęło się pojawiać wiele takich liczb. Dało to asumpt do stworzenia liczb niewymiernych.
I znów wydawało się, że wszystkie liczby są poznane i pełny ich zbiór nazwano liczbami
rzeczywistymi. Tym razem do ataku przystąpiła algebra. Jej rozwój w XVI w. i zainteresowanie
rozwiązywaniem równań wielomianowych (drugiego, trzeciego i czwartego stopnia) wymusił
uogólnienie liczby rzeczywistej. Powstały liczby zespolone.
W 1545 r. Girolamo Cardano postawił zadanie: ,,podzielić 10 na dwie części, których
iloczynem jest 40’’. Zadanie to wyraża więc układ równań:
stąd po redukcji otrzymujemy równanie kwadratowe (które Cardano potrafił rozwiązać):
a więc
x  5   15 i y  5   15
Lub
x  5   15 i y  5   15
co rzeczywiście spełnia warunki zadania. Pojawił się jednak problem: obliczenie pierwiastka
co można zapisać jako
kwadratowego
Tak więc problemem staje się obliczenie
W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje liczba podniesiona do kwadratu (drugiej potęgi) o wartości
ujemnej.
Słynny Descartes nazwał taką nierzeczywistą liczbę urojoną.
Dopiero w XVIII w. niemiecki matematyk Johann Carl Gauss stworzył teorię nowych liczb i nazwał je
liczbami zespolonymi (pewnik Gaussa: i 2  1, gdzie i  jednostka urojona). Dziś odgrywają one
ogromne znaczenie nie tylko w matematyce ale również w fizyce i technice.
Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych. Dzięki liczbom zespolonym
możemy rozwiązać np. równanie kwadratowe jeżeli   0 , wykonywać wszystkie znane działania
matematyczne oraz tworzyć nowe wizje rzeczywistego świata.
Zajmiemy się obecnie sposobem zapisu liczb.
W kulturze starożytnych Majów do zapisu liczb używano tylko trzech symboli.
Wszyscy znamy notację rzymską. Stosowane obecnie znaki graficzne, cyfry służące do zapisu liczb
wymyślili Hindusi, zaś do Europy średniowiecznej przywieźli je Arabowie i stąd nazwa cyfry arabskie.
Źródłosłów cyfra jest taki sam co słowa szyfr. Cyfry arabskie uważano za tajemnicze znaki
sekretnego pisma.
Zajmiemy się teraz pokrótce pewnymi intrygującymi liczbami, ich własnościami i związkami ze
sztuką, architekturą oraz przyrodą. Analogicznie do zadania podanego przez Cardano które
doprowadziło do pojęcia liczby zespolonej, sformułujemy podane przez słynnego Euklidesa z
Aleksandrii (około 300 r. p.n.e.) w księdze VI swojego słynnego dzieła ,,Elementy geometrii’’ (do dziś
uprawiamy geometrię euklidesową) zadania: ,,Powiemy, że linia prosta została podzielona
harmonicznie, gdy większy odcinek ma się tak do mniejszego jak całość do większego’’. W języku
matematycznym zapiszemy to następująco:
x
1

1 x 1
lub
x2  x  1  0
czyli dodatni pierwiastek ma wartość: x 
1 5
 1,618
2
czyli wyraża też liczbę niewymierną. Liczbę tę na cześć greckiego budowniczego Panteonu Fidiasza
oznaczono literą  (fi) i nazwano w 1509 roku przez Luca Pacioliego (Fibonacci) boską proporcją.
Dzisiaj używamy nazwy ,,złota proporcja’’.
Tworząc pewną konstrukcję myślową, liczbę  można wyprowadzić w bardzo spektakularny sposób:
  1  1  1  1  ...
jako nieskończony ciąg pierwiastków kwadratowych.
Przedstawimy obecnie szereg interesujących powiązań liczby wyrażającej złotą proporcję z
wydawałoby się bardzo odległymi faktami.
Znamy wszyscy pojęcie ciągu liczbowego np. arytmetycznego czy też geometrycznego. W latach
(1170 - 1250) żył i tworzył najwybitniejszy matematyk średniowiecza Leonardo Pitano, Fibonacci z
Pizy. Zajmował się geometrią, arytmetyką, liczbami i metodami obliczeń. (m.in. przyczynił się do
upowszechnienia liczb arabskich). Pominiemy tu szczegóły jego zadania o rozmnażaniu się pary
królików, powiemy natomiast wprost, że przeszedł do historii jako twórca tzw. ciągu Fibonacciego, o
postaci:
a1  1, a2  1, an  an1  an2 dla n  2
Zaskakującą rzeczą jest, co otrzymamy jeżeli obliczymy granicę ilorazu wyrazów ciągu Fibonacciego:
an
  dla dużych n
an 1
Tak więc wykazaliśmy bezpośredni związek ciągu Fibonacciego ze złotą proporcją. Fibonacci określił
swój ciąg w sposób rekurencyjny.
W 1843 roku francuski matematyk Jaques Binet podał ogólny wzór na n-ty wyraz ciągu:
n
1 1  5 
1 1  5 
 

an 
 
 
2
2
5 
5 


lub
n 1
1
n ( 1)
an 
 
5
n
a więc zapisany za pomocą liczby  wyrażającej złotą proporcję.
n
Złotą proporcję wprowadził do świata piękna i sztuki słynny Leonardo da Vinci m.in. w dziele ,,O
złotej proporcji’’, napisanym w 1498.
W późniejszym traktacie ,,Traktat o malarstwie’’ Leonardo napisał:
,,Niech nikt nie czyta moich prac, kto nie jest matematykiem’’
Słynna figura Leonarda ,,człowiek idealny’’ ukazuje idealne proporce ludzkiego ciała wyrażona
złotym stosunkiem. Twarz słynnego obrazu Mona Lisy i inne dzieła Leonarda wyrażają się przy
pomocy złotej proporcji. Również inni artyści np. Michał Anioł również wykorzystywali ,,złotą
proporcję’’.
W architekturze klasycznym przykładem zastosowania tego fenomenu jest dzieło Fidiasza –
Panteon. Warto nadmienić, że słynne Wrota Słońca w Boliwii zbudowane około 1500 r. p.n.e. są
zbudowane zgodnie z regułą  .
Również współcześni słynni architekci wykorzystują ideę złotej proporcji. Niezwykle interesujące
obserwacje powiązane z ciągiem Fibonacciego i złotą proporcją występują w przyrodzie.
Bardzo spektakularnym przykładem jest pospolita stokrotka, której liczba płatków wynoszą: 21, 34,
55, 89 i są to liczby Fibonacciego. Złota spirala opisuje kształt muszli ślimaków itd.
W matematyce, w oparciu o złotą proporcję powstało pojęcie tzw. fraktali (francuski matematyk
polskiego pochodzenia, Benoit Mandelbrot, 1975 r., ,,Fraktale i kształt, przypadek i wymiar’’).
Drzewa wzrastają powielając wzorce opisane za pomocą własności fraktalnych.
Przenieśmy się na moment do innego świata liczb zwanych liczbami pierwszymi. Wszyscy
pamiętamy co to jest liczba pierwsza?
Podstawowe twierdzenie arytmetyki (przypisywane Euklidesowi) brzmi:
,,każda liczba naturalna może być zapisana jako iloczyn liczb pierwszych na dokładnie jeden
sposób’’.
O liczbach pierwszych mówimy często, że to cegły matematyki, jej atomy lub kod genetyczny liczb.
Większość liczb funkcjonuje według prostych i zrozumiałych reguł. Liczby pierwsze są zaś
nieobliczalne pojawiają się gdzie chcą, chaotycznie.
Największe umysły matematyczne zajmowały się zasadami dotyczącymi liczb pierwszych (Euler,
Gauss, Riemman). Mają bardzo ważne zastosowanie w nowej dziedzinie zwanej kryptologią.
Tworzenie tzw. szyfrów zabezpieczających konta bankowe, telefony komórkowe, Internet, itd.
zwane cyberbezpieczeństwem, bazują na znajomości wielkich liczb pierwszych. Podana do
wiadomości taka liczba (w 2009 r.) ma 100 355 cyfr.
Wyznaczono nagrodę w wysokości 100 000 $ za podanie możliwie największej liczby pierwszej.
Natomiast za udowodnienie hipotezy Riemmana o rozłożeniu wszystkich liczb pierwszych na tzw.
płaszczyźnie zespolonej wyznaczono nagrodę w wysokości 1 000 000 $.
Należy wspomnieć o znaczeniu liczb w fizycznym opisie świata. Chodzi o tzw. uniwersalne stałe
fizyczne opisujące oddziaływania fizyczne w przyrodzie. Zaliczamy do nich m.in. stałą grawitacji,
stałą Boltzmanna, stałą Plancka, prędkość światła w próżni i inne.
Powszechnie uważa się, że zmiana wartości liczbowej tych stałych nawet na drugim miejscu cyfry
znaczącej, spowodowałoby, że powstałby zupełnie inny wszechświat (a także życie jako takie).
Można więc powiedzieć, że liczby rządzą światem.
Na zakończenie odniesiemy się do tzw. magii liczb.
W wielu kulturach na różnych poziomach cywilizacji liczbom przypisywano magiczne własności.
Związek między matematyką a tzw. numerologią jest podobny do związku między astronomią a
astrologią lub chemią i alchemią.
Obecnie uznajemy, że nic ich prawie nie łączy, lecz w przeszłości były ściśle powiązane.
W wielu kulturach tłumaczono litery alfabetu na język liczb.
Napisano książkę pt. ,,Kod Biblii’’. Taka sytuacji ma miejsce w odniesieniu do alfabetu greckiego i
hebrajskiego. Powstała z tego spektakularna interpretacja opisana przez Homera w wojnie
trojańskiej (Iliada i Odyseja).
Dlaczego Achilles pokonał Hektora?
Wyjaśnienie jest niesłychanie prozaiczne. Liczba przypisywana imieniu Achilles wynosi 1276, zaś
imieniu Hektor tylko 1125 . Zatem wg. relacji porządku:
1276 > 1125
i Achilles walkę wygrał.
,,I najwspanialsze doktoraty mysz schrupie pod
progiem, bo to co poznane to już nie jest bogiem’’