Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty
zmiennych losowych.
Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady
Doświadczenie losowe:
• Rzut monetą
• Rzut kostką
• Wybór losowy n kart z talii 52
• Gry losowe
Doświadczenie losowe:
• Rzut monetą
• Rzut kostką
• Wybór losowy n kart z talii 52
• Gry losowe
Z wynikiem doświadczenia losowego wiąże się w naturalny sposób
pewną liczbę albo ciąg liczb. Funkcję przekształcająca wynik
eksperymentu losowego na liczbę rzeczywistą nazywamy zmienną
losową.
Zmienna losowa
• Niech (Ω, F, P) oznacza podstawową przestrzeń
probabilistyczną.
•
Definicja: Zmienna losowa
Zmienną losową nazywamy funkcję określoną na przestrzeni
zdarzeń elementarnych Ω o wartościach ze zbioru liczb
rzeczywistych X : Ω → R, taką że dla każdego a ∈ R
{ω : X (ω) ¬ a} ∈ F
Zmienna losowa
• Niech (Ω, F, P) oznacza podstawową przestrzeń
probabilistyczną.
•
Definicja: Zmienna losowa
Zmienną losową nazywamy funkcję określoną na przestrzeni
zdarzeń elementarnych Ω o wartościach ze zbioru liczb
rzeczywistych X : Ω → R, taką że dla każdego a ∈ R
{ω : X (ω) ¬ a} ∈ F
• Mniej formalnie mówiąc, zmienna losowa to taka funkcja X
określona na zbiorze zdarzeń elementarnych o wartościach
liczbowych, dla której dane są prawdopodobieństwa
przyjmowania przez X wartości z dowolnego zbioru.
Zmienna losowa
• Zmienne losowe:
• dyskretne (typu skokowego) - zmienna przyjmuje dowolne
wartości ze zbioru skończonego albo przeliczalnego
• typu ciągłego -zmienna przyjmuje dowolne wartości z
określonego przedziału
Zmienna losowa
• Zmienne losowe:
• dyskretne (typu skokowego) - zmienna przyjmuje dowolne
wartości ze zbioru skończonego albo przeliczalnego
• typu ciągłego -zmienna przyjmuje dowolne wartości z
określonego przedziału
• Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami, np.: X , Y , Z ,
natomiast małymi literami (x, y , z) oznaczamy wartości
zmiennych losowych.
Rozkład zmiennej losowej
Definicja: Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X nazywamy funkcję
FX (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako
FX (t) = P(ω : X (ω) ¬ t)
Rozkład zmiennej losowej
Definicja: Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X nazywamy funkcję
FX (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako
FX (t) = P(ω : X (ω) ¬ t)
Własności dystrybuanty
• FX jest niemalejąca
• limt→∞ FX (t) = 1
• limt→−∞ FX (t) = 0
• FX jest prawostronnie ciągła
Rozkład zmiennej losowej
Warto zauważyć, że dla ciągłej zmiennej losowej i dowolnych liczb
a, b ∈ R
• P(X ¬ a) = FX (a)
• P(X ­ a) = 1 − FX (a)
• P(a ¬ X ¬ b) = FX (b) − FX (a)
Gęstość zmiennej losowej
Definicja:
Funkcją gęstości rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X
nazywamy funkcję fX (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako
fX (t) = P(ω : X (ω) = t)
Definicja:
Funkcją gęstości rozkładu ciągłej zmiennej losowej X nazywamy
funkcję fX (t) zdefiniowaną dla wszystkich t jako
Z t
FX (t) =
−∞
fX (t)dt
Własności gęstości zmiennej losowej
Uwaga!
•
d
FX (t) = fX (t)
dt
• Każda funkcja, będąca gęstością prawdopodobieństwa,
wyznacza jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym
rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej.
Własności gęstości zmiennej losowej
Uwaga!
•
d
FX (t) = fX (t)
dt
• Każda funkcja, będąca gęstością prawdopodobieństwa,
wyznacza jednoznacznie pewną dystrybuantę, a tym samym
rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej.
Twierdzenie 2.1
Funkcja f (x) jest gęstością pewnej zmiennej losowej wtedy i tylko
wtedy, gdy
1. f (x) ­ 0
2.
R∞
−∞ f (t)dt
=1
Własności gęstości zmiennej losowej
Przykład
Dobrać stałe a i b > 0 tak, aby funkcja
(
f (x) =
a cos x dla x ∈ [0, b]
0 dla x ∈
/ [0, b]
była gęstością pewnej zmiennej losowej.
Należy dobrać stałe tak aby były spełnione warunki 1 i 2 z
Twierdzenia 2.1. A zatem, aby f (x) ­ 0 musi zachodzić
a ­ 0 oraz 0 ¬ b ¬ π/2.
Aby był spełniony warunek 2 musi zachodzić równość:
Z b
a cos xdx = 1
0
Własności gęstości zmiennej losowej
Obliczając całkę
Z b
0
a cos xdx = a sin x|b0 = a sin b − a sin 0 = a sin b
dostajemy warunek a sin b = 1, a stąd b = arc sin(1/a).
Zatem aby dana funkcja była gęstością, stałe muszą spełniać
warunki: a ­ 0, b = arc sin(1/a).
Interpretacja graficzna zależności pomiędzy funkcją
gęstości a rozkładem prawdopodobieństwa
Funkcje zmiennych losowych
Przykład
Niech X będzie nieujemną zmienną
√ losową o gęstości fX . Znaleźć
gęstość zmiennej losowej Y = X .
Dla x ­ 0 zachodzi:
√
2
2
FY (t) = P( X ¬ t) = P(X ¬ t ) = FX (t ) =
Z t2
a stąd:
fY (t) =
dFY (t)
= 2tfX (t 2 )I(0,∞) (t)
dt
0
fX (u)du
Transformacje zmiennych losowych
Twierdzenie 2.2
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie z gęstością fX (x) oraz
niech Y = g (X ), gdzie g jest funkcją ściśle monotoniczną.
Załóżmy, że fX (x) jest funkcją ciągłą oraz że g −1 (y ) jest funkcją z
ciągłą pochodną. Wtedy gęstość rozkładu zmiennej losowej Y jest
postaci:
d
fY (y ) = fX (g −1 (y )) g −1 (y )
dy
Transformacje zmiennych losowych
Przykład
Niech X oznacza zmienną losową o gęstości:
fX (x) = e −x I(0,∞) (x).
Chcemy znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ln X .
Funkcją g jest tutaj g (x) = ln(x), a zatem dla y ∈ R,
d −1
g −1 (y ) = e y . Dalej dy
g (y ) = e y .
Korzystając z Twierdzenia 2.2 otrzymujemy
y
fY (y ) = e −e · e y
Transformacje zmiennych losowych
Przykład
Niech X będzie daną zmienną losową. Znaleźć gęstość zmiennej
losowej Y = aX + b, a, b ∈ R+
• Sposób I:
t −b
FY (t) = P(aX +b ¬ t) = P(ax ¬ t −b) = P X ¬
a
= FX
zatem
fY (t) =
t −b
a
dFY (t)
1
= fX
dt
a
t −b
a
=
Transformacje zmiennych losowych
• Sposób II
g (x) = ax + b, a stąd g −1 (y ) = 1a (y − b), a następnie
d −1
(y ) = 1a . Zatem
dy g
d
fY (y ) = fX (g −1 (y )) dy
g −1 (y ) =
1
fX
|a|
y −b
a
Momenty zmiennych losowych
Wartość oczekiwana
W wielu zagadnieniach praktycznych istnieje potrzeba istniej
potrzeba opisania zmiennej losowej przez jedną charakterystykę
liczbową oddającą jej najbardziej typowe, przeciętne wartości. Np.:
• jak długo przeciętnie czekamy na przystanku na autobus
• na ile średnio dni deszczowych może liczyć rolnik w miesiącu
kwietniu
• jakie są oczekiwane zbiory danych owoców/warzyw
Wartość oczekiwana
Definicja:
Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną losową
P
dyskretną oraz i |xi |P(X = xi ) < ∞, to istnieje wartość
oczekiwana EX dana wzorem:
EX =
X
xi P(X = xi )
i
Jeżeli X jest zmienną losową z ciągłą gęstością f oraz
−∞ |x|f (x)dx < ∞, to istnieje wartość oczekiwana EX dana
wzorem
Z ∞
EX =
xf (x)dx
R∞
−∞
Wartość oczekiwana
Niech g będzie funkcją dla której istnieje wartość oczekiwana.
Wówczas dla zmiennej losowej X typu dyskretnego:
E [g (X )] =
X
g (xi )P(X = xi ),
i
dla zmiennej losowej X typu ciągłego
Z ∞
EX =
g (x)f (x)dx.
−∞
Własności wartości oczekiwanej
Niech będą dane zmienne losowe X i Y oraz stała a
• E (a) = a
• E (aX ) = aE (X )
• E (X − Y ) = EX − EY
• E (X + Y ) = EX + EY
Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to:
• E (XY ) = EX · EY
Momenty
Wartość oczekiwana EX jest pierwszym momentem rozkładu
zmiennej losowej X
Definicja:
Momentem rzędu n rozkładu zmiennej losowej X nazywamy:
µn = EX n
Momentem centralnym rzędu n rozkładu zmiennej losowej X
nazywamy:
mn = E [X − EX ]n
Momenty
Szczególnym przypadkiem momentu centralnego jest wariancja
zmiennej losowej, którą będziemy oznaczać Var :
Definicja:
Moment centralny rzędu 2 rozkładu zmiennej losowej X nazywamy
wariancją:
Var (X ) = E [X − EX ]2 = EX 2 − (EX 2 )
Momenty
Szczególnym przypadkiem momentu centralnego jest wariancja
zmiennej losowej, którą będziemy oznaczać Var :
Definicja:
Moment centralny rzędu 2 rozkładu zmiennej losowej X nazywamy
wariancją:
Var (X ) = E [X − EX ]2 = EX 2 − (EX 2 )
Wariancja zmiennej losowej (błąd średniokwadratowy) jest to miara
rozproszenia wartości zmiennej wokół wartości średniej. Im
wariancja jest mniejsza tym bardziej wartości zmiennej skupiają się
wokół średnie EX .
Momenty
Twierdzenie 2.3
Jeżeli zmienna losowa X ma skończoną wariancję to dla dowolnych
stałych a i b zachodzi:
Var (aX + b) = a2 Var (X )
Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne i mają skończone
wariancje to
Var (X + Y ) = Var (X ) + Var (Y )
Dowód na ćwiczeniach.
Momenty
W statystyce znaczenie mają równiez momenty centralne rzędów
trzeciego i czwartego, za pomoca których wyznacza się znane
miary statystyczne:
Definicja:
• wskaźnik asymetrii (wskaźnik skośności)
γ1 =
E [X − EX ]3
m3
= 2/3
[Var (X )]3/2
m2
• wskaźnik spłaszczenia (kurtoza, eksces)
γ2 =
m4
E [X − EX ]4
−3= 2 −3
[Var (X )]2
m2