DODATEK 6

DODATEK 6
Pole elektryczne nieskończenie długiego walca z równomiernie rozłożonym w nim
ładunkiem objętościowym
Nieskończenie długi walec o promieniu R jest równomiernie naładowany ładunkiem objętościowym o stałej gęstości +qv = const. Całkowity ładunek Q walca wynosi Q = qv V = ∞. Pole
elektryczne jest symetryczne, radialne i wektory natężenia pola elektrycznego E na całej powierzchni są prostopadłe do niej, co ilustruje rys. D6.1. Linie sił pola elektrycznego są również prostopadle do pobocznicy walca, gdyż na podstawach nie istnieją składowe normalne
wektora natężenia pola elektrycznego E = En = 0. Natężenie pola elektrycznego E i potencjał
ϕ są funkcjami tylko jednej zmiennej r – promienia, czyli odległości od osi walca. Strumień
wektora natężenia pola Φ wyznacza się przez powierzchnię Gaussa SG o długości l i promieniu r, zarówno wewnątrz (r < R), jak i na zewnątrz walca (r > R), gdzie wektory natężenia pola E na danej powierzchni są wszędzie jednakowe, czyli wartość natężenia pola elektrycznego
jest stała E = En = const.
Rys. D6.1. Nieskończenie długi walec z równomiernie rozmieszczonym ładunkiem objętościowym
Powierzchnia Gaussa wynosi
S G = 2πrl ,
(D6.1)
gdzie r jest promieniem sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z walcem o promieniu R naładowanym ładunkiem objętościowym qv.
Całkowity ładunek Q zawarty w objętości V strefy o długości l jest równy
Q = qvV = qv πR 2l .
(D6.2)
Na zewnątrz powierzchni walca (r > R) strumień Φ wektora natężenia pola E przez powierzchnię Gaussa SG wynosi
Φ=
∫ E dS =
∫
SG
SG
SG
E dS = E ∫ dS = E SG = E 2πrl .
(D6.3)
0
Z definicji strumień ten jest także równy
Φ =
Q
εε 0
=
qvV
εε 0
=
qv
εε 0
πR 2l ,
(D6.4)
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem rozłożonym równomiernie w wydzielonej objętości V
walca.
Porównując wzory (D6.3) i (D6.4) otrzymuje się wzór na natężenie pola elektrycznego na
zewnątrz walca
E=
Q
2πεε 0 rl
=
qv R 2
2εε 0 r
.
(D6.5)
Na powierzchni walca r = R natężenie pola elektrycznego jest
E=
Q
2πεε 0 Rl
=
qv
R.
2εε 0
(D6.6)
Ponieważ
E = −gradϕ i E = −
dϕ
,
dr
(D6.7)
zatem potencjał ϕ w polu elektrycznym ładunku objętościowego qv dla r > R jest całką z natężenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D6.5) i jest opisany wzorem
ϕ = − ∫ E dr = − ∫
qv R 2 dr
q R2
= − v ln r + C1
2εε 0 r
2εε 0
(D6.8)
z dokładnością do stałej całkowania C1. Stałą całkowania można wyznaczyć z warunku ciągłości potencjału na powierzchni granicznej walca, czyli przy przejściu z wnętrza do zewnętrza walca.
Wewnątrz powierzchni walca (r < R) ładunek Q* jest częścią całkowitego ładunku w strefie o długości l i objętości V. Ładunek ten wynosi
Q* = Q
πr 2l
r2
.
=
Q
R2
πR 2l
(D6.9)
Strumień wektora natężenia pola elektrycznego Φ wynosi
Φ=
∫ E dS =
∫
SG
SG
SG
E dS = E ∫ dS = E SG = E 2πrl
(D6.10a)
0
i
Φ =
Q*
εε 0
=
Q r2
.
εε 0 R 2
(D6.10b)
Stąd wynika, że wewnątrz walca natężenie pola elektrycznego E jest opisane wzorem
E=
Q
r
q
= v r
2
2πεε 0l R
2εε 0
(D6.11)
Potencjał ϕ wewnątrz walca zmienia się zgodnie ze wzorem
ϕ = − ∫ E dr = − ∫
qv
q
r dr = − v r 2 + C 2 .
2εε 0
4εε 0
(D6.12)
Stałą całkowania C2 wyznacza się z warunku brzegowego
ϕ = 0 dla r = 0 i C2 = 0 ,
(D6.13)
ponieważ dla r = 0 jest Q* = 0 – wzór (D6.9) i nie może tam istnieć potencjał.
Potencjał ϕ wewnątrz walca jest zatem wyrażony wzorem
–2–
ϕ=−
qv 2
r .
4εε 0
(D6.14)
Aby wyznaczyć stałą całkowania C1, porównuje się wzory (D6.8) i (D6.14) dla r = R
−
qv R 2
q
ln R + C1 = − v R 2
2εε 0
4εε 0
(D6.15)
skąd
C1 =
qv R 2
q
ln R − v R 2 .
2εε 0
4εε 0
(D6.16)
Podstawiając C1 z wzoru (D6.16) do (D6.8) otrzymuje się wyrażenie na potencjał na zewnątrz
walca
ϕ=
qv R 2 R
q
ln − v R 2 .
2εε 0 r 4εε 0
(D6.17)
Na rys. D6.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjału ϕ w
funkcji odległości r dla wnętrza i zewnętrza równomiernie naładowanego ładunkiem objętościowym qv walca.
Rys. D6.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjał ϕ w funkcji odległości r
od osi walca równomiernie naładowanego ładunkiem objętościowym
Można pokazać, że ten sam wynik otrzymuje się rozwiązując łącznie równania Poissona
∇ ϕ = qv/εε0 i Laplace’a ∇2ϕ = 0. Z symetrii radialnej rozkładu pola elektrycznego i symetrii
osiowej rozkładu ładunku przestrzennego wynika osiowa symetria potencjału: ϕ = ϕ (r).
Przyjmuje się oś z wzdłuż osi walca i oś r prostopadle do osi i tworzącej walca. Oś r w prostokątnym układzie współrzędnych jest równoważna osiom x i y. Dlatego stosuje się w rozwiązaniu tego zagadnienia układ współrzędnych walcowych.
W tym układzie operator Laplace’a ma postać
2
∇ 2ϕ = ∆ =
∂ 2ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 1 ∂  ∂ϕ  1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
.
+
+
+
=
+
r
+
∂r 2 r ∂r r 2 ∂α 2 ∂z 2 r ∂r  ∂r  r 2 ∂α 2 ∂z 2
(D6.18)
Ponieważ potencjał ϕ jest funkcją tylko promienia r, zatem wyrażenie (D6.18) upraszcza się
do postaci
–3–
∇ 2ϕ = ∆ =
1 d  dϕ 
r
.
r dr  dr 
(D6.19)
Zgodnie z wzorem (D6.19) oba równania Poissona – wzór (2.43) i Laplace’a – wzór
(2.44) przyjmują postać
1 d  dϕ w 
q
r
=− v
r dr  dr 
εε 0
1 d  dϕ z
r
r dr  dr
dla 0 < r < R,
(D6.20)

 = 0 dla r > R,

gdzie indeksy w i z oznaczają „wewnątrz” i „zewnątrz” walca. Podwójne całkowanie daje
rozwiązanie ogólne
ϕw = −
qv 2
r + A1 ln r + B1 ,
4εε 0
(D6.21)
ϕ z = A2 ln r + B2 .
Z warunku ciągłości potencjału na granicy obu stref, czyli wnętrza i zewnętrza walca oraz że
potencjał wszędzie powinien mieć skończoną wartość wynika, że przy r → 0 lnr → −∞, co
nie ma sensu fizycznego. W osi walca (r = 0) potencjał ϕ musi być równy zero (warunek
brzegowy), bo wobec stałości gęstości ładunku objętościowego qv = const w nieskończenie
długiej osi nie ma żadnego ładunku Q*, zatem należy przyjąć, że współczynnik A1 = 0, co natychmiast daje również warunek, że B1 = 0.
Warunki ciągłości potencjału i jego pierwszej pochodnej na granicy stref (r = R) dają dwa
niezależne równania z dwoma niewiadomymi A2 i B2, stanowiące kolejne warunki brzegowe,
tzw. warunki Dirichleta i Neumanna. Według wzorów (D6.20) otrzymuje się dwa równania
−
qv
R 2 = A2 ln R + B2 ,
4εε 0
(D6.22)
q
A
− v R= 2.
R
2εε 0
Rozwiązując układ równań (D6.22) otrzymuje się następujące postaci końcowe potencjałów
wewnątrz i na zewnątrz walca
ϕw = −
qv 2
r , dla 0 < r < R,
4εε 0
(D6.23)
q
R
q
ϕ z = v R 2 ln − v R 2 dla r > R,
2εε 0
r 4εε 0
które są tożsame z otrzymanymi z prawa Gaussa – wzory (D6.14) i (D6.17).
Różniczkując potencjały w (D6.23) otrzymuje się wyrażenia dla natężeń pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz walca z równomiernie rozmieszczonym w nim ładunkiem objętościowym qv
Ew =
qv
r , dla 0 < r < R,
2εε 0
(D6.24)
q R2
Ez = v
dla r > R.
2εε 0 r
Porównując oba sposoby wyznaczania natężenia pole elektrycznego E i potencjału ϕ dla
nieskończenie długiego równomiernie naładowanego ładunkiem objętościowym qv należy
stwierdzić, że uzyskanie wzorów na potencjał wewnątrz i na zewnątrz wymaga dobrej znajo–4–
mości zarówno fizyki zjawiska, jak i obu warunków brzegowych. Natomiast zastosowanie
prawa Gaussa sprowadza się w zasadzie do prawidłowego wyznaczenia stałej całkowania C1
we wzorze (D6.8) na podstawie stałej całkowania C2, którą wyznacza się względnie łatwo z
warunku zerowania się potencjału w osi walca, co jest faktem oczywistym.
W rozwiązywaniu zagadnień związanych z obliczaniem pól elektrycznych dla różnych
rozkładów ładunków wybór sposobu jest istotnym elementem decyzyjnym, który wymaga
dobrej znajomości danego zjawiska i wprawy w stosowaniu odpowiedniego aparatu matematycznego. W wielu przypadkach stosowanie prawa Gaussa jest łatwiejsze niż rozwiązywanie
równań Poissona i Laplace’a, raczej „zarezerwowane” dla osób bardzo wprawnych.
–5–