teoria do ćwiczenia

Fizyka ćwiczenia laboratoryjne
JOLANTA RUTKOWSKA, TOMASZ KOSTRZYŃSKI, KONRAD ZUBKO
SKRYPT WAT, WARSZAWA 2008
www.wtc.wat.edu.pl
Teoria zjawisk fizycznych została pogrupowana w następujące działy (numery ćwiczeń):
•
Mechanika (2, 3, 4, 5, 33, 36, 39, 40, 41, 42)
•
Drgania i Fale (4, 5, 6, 16, 21, 24, 30, 37)
•
Elektryczność i magnetyzm (13, 14, 15, 16, 21, 22, 24, 26, 27, 37, 38, 39)
•
Optyka (27, 28, 29, 31, 32, 43, 44)
•
Jądro, atom, ciało stałe (17, 18, 19, 20, 23, 25, 28, 31, 32, 34, 35)
•
Ciecze i gazy (2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 30)
Informacje przydatne w danym ćwiczeniu mogą znajdować się w różnych działach.
JĄDRO, ATOM, CIAŁO STAŁE
Spis treści
I. Pasmowa teoria ciał stałych.....................................................................................................................................................2
II. Półprzewodniki samoistne......................................................................................................................................................3
III. Półprzewodniki domieszkowane...........................................................................................................................................5
IV. Koncentracja nośników, rezystywność, przerwa energetyczna.............................................................................................7
V. Złącze p -n czyli dioda półprzewodnikowa............................................................................................................................9
VI. Cechowanie termopary........................................................................................................................................................13
VII. Wyznaczenie e/m z pomiarów efektu magnetronowego...................................................................................................17
VIII. Wyznaczanie stałej Rydberga i stałej Plancka z widma liniowego wodoru.....................................................................21
IX. Badanie promieniowania ciała doskonale czarnego...........................................................................................................25
X. Zjawisko absorpcji promieniowania elektromagnetycznego...............................................................................................28
XI. Wyznaczanie współczynnika pochłaniania promieniowania  w metalach......................................................................30
XII. Zjawisko absorpcji promieniowania w półprzewodnikach...............................................................................................33
XIII. Równoważnik elektrochemicznego miedzi oraz stała Faradaya......................................................................................36
XIV. Zjawisko Halla..................................................................................................................................................................40
1
I. Pasmowa teoria ciał stałych
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczeń nr 18, 19, 28, 31, 32, 35 oraz innych.
Elektronowe poziomy energetyczne odosobnionego atomu są dyskretne. Naturalna szerokość
poziomu energetycznego wynikająca z zasady nieoznaczoności Heisenberga wynosi tylko około 10 7
eV. Gdy zaczniemy zbliżać atomy do siebie wówczas siły ich wzajemnego oddziaływania będą
stopniowo rosły. W ciele stałym atomy są już ułożone bardzo blisko siebie, a ich struktura elektronowa
tworzy nową jakość.
Ze zbliżaniem się atomów w wyniku oddziaływań międzyatomowych następuje rozszczepienie
się poszczególnych poziomów elektronowych na wiele blisko położonych podpoziomów. Temu
efektowi szczególnie łatwo ulegają poziomy zewnętrznych elektronów atomu. W ciele stałym ich stany
energetyczne zostają rozszczepione aż na 2N(2l+1) podpoziomów (gdzie N - ilość atomów w krysztale,
l - poboczna liczba kwantowa stanu) położonych bardzo blisko siebie (ich wzajemne odległości są
rzędu 10-22 eV).
Zmniejszenie odległości międzyatomowych prowadzi też do uwspólnienia się rozszczepionych
stanów (w wyniku tunelowania) i utworzenie rozmytych stanów elektronowych wspólnych dla
wszystkich atomów w krysztale tzw. pasm energetycznych. Elektrony wewnętrzne w atomie ulegają
najmniejszemu wpływowi ze strony atomów sąsiednich. Znajdują się one blisko jądra i są silnie z nim
związane. Dlatego pasma energii elektronów wewnętrznych są bardzo wąskie i praktycznie
odpowiadają poziomom w odosobnionym atomie. Natomiast wysokoenergetyczne poziomy elektronów
zewnętrznych tworzą szerokie pasma. W efekcie istnieją dwa pasma wspólne dla całego kryształu.
Niższe energetycznie jest zwane podstawowym lub walencyjnym, wyższe – dozwolonym lub
przewodnictwa. Szerokość tych pasm jest duża rzędu 1 eV. W temperaturze T = 0 K pasmo walencyjne
ciała stałego jest całkowicie zapełnione elektronami, natomiast pasmo przewodnictwa jest całkowicie
puste.
2
II. Półprzewodniki samoistne
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczeń nr 18, 19 oraz innych.
Ciała stałe ze względu na ich właściwości elektryczne dzielimy na trzy grupy:
 przewodniki, w których stany zapełnione sąsiadują bezpośrednio ze stanami pustymi (np.
metale),
 izolatory, w których najmniejsza energetyczna odległość między stanami zapełnionymi
elektronami i pustymi zwana przerwą energetyczną (E g) jest duża, tzn. większa niż 2 eV (np.
dla diamentu wynosi ona 5,4 eV),
 półprzewodniki, w których przerwa energetyczna jest mniejsza niż 2 eV , ale większa niż
0,1 eV (np. dla krzemu wynosi 1,1 eV).
Na rys. II.1 przedstawiono schematycznie strukturę pasmową tych materiałów oraz ich obsadzenie
elektronami w temperaturze zera bezwzględnego. W wyższych temperaturach wskutek oddziaływania
elektronów z termicznymi drganiami sieci kryształu część z nich może uzyskać energię wystarczająco
dużą aby przejść z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa i brać udział w przewodnictwie
prądu elektrycznego. Aby elektron uczestniczył w przewodnictwie prądu elektrycznego musi pobierać
energię od przyłożonego z zewnątrz pola elektrycznego, a to jest możliwe tylko wówczas, gdy znajdzie
się on w paśmie przewodnictwa. Elektrony takie nazywamy swobodnymi, gdyż mogą poruszać się po
całym krysztale.
Wydajność opisanego termicznego procesu wzbudzenia elektronu do pasma przewodnictwa bardzo
silnie zależy od wartości przerwy energetycznej:
 przy jej praktycznym braku (jak w przewodnikach) już w temperaturze kilkudziesięciu
stopni Kelwina wszystkie elektrony biorą udział w przewodnictwie,
 gdy jest ona bardzo duża (jak w izolatorach) nawet w temperaturach rzędu kilkuset stopni
Celsjusza elektronów swobodnych w ciele stałym jest tak mało, że praktycznie nie
przewodzi ono prądu,
 natomiast w półprzewodnikach, gdzie przerwa energetyczna jest mniejsza, już w
temperaturze pokojowej część elektronów jest przeniesiona do pasma przewodnictwa, co
umożliwia przepływ prądu.
Należy zaznaczyć, że ilość swobodnych elektronów w półprzewodniku jest stosunkowo mała. Dlatego
dalsze ogrzewanie półprzewodnika wymusza generację kolejnych elektronów swobodnych i następuje
silny wzrost przewodnictwa np. ogrzewając czysty krzem od 0 do 200 oC obserwujemy wzrost jego
przewodnictwa od 10-7 do 10-2 -1 cm-1, a więc o pięć rzędów wielkości. Ta silna zależność koncentracji
nośników ładunku od temperatury jest specyficzną właściwością półprzewodników odróżniającą je od
metali, w których koncentracja swobodnych elektronów jest praktycznie stała, niezależna od
temperatury.
Przejście elektronu z pasma walencyjnego w półprzewodniku do pasma przewodnictwa oznacza w
modelu energetycznym (rys. II.2) pojawienie się w paśmie walencyjnym wolnego stanu (nie
obsadzonego elektronem) zwanego dziurą. Wytworzona dziura może zostać zajęta przez jeden z
sąsiednich związanych elektronów i w rezultacie przesunąć się w inne miejsce. Jest więc ona
nośnikiem nieskompensowanego dodatniego ładunku elementarnego. W obecności zewnętrznego pola
elektrycznego dziury będą poruszać się w kierunku pola, a wolne elektrony w kierunku przeciwnym. W
ten sposób w półprzewodniku występują obok siebie dwa niezależne nośniki prądu. Z omówionego
3
mechanizmu generacji nośników ładunku (rys. II.2) wynika, że w półprzewodniku powinno być tyle
samo elektronów w paśmie przewodnictwa, jak i dziur w paśmie walencyjnym, gdyż w wyniku
każdego pojedynczego aktu generacji powstaje para nośników elektron-dziura. Właściwość tę ma
każdy czysty materiał półprzewodnikowy o nie zaburzonej strukturze krystalicznej. Półprzewodniki
takie nazywamy samoistnymi.
Rys. II.1. Struktura pasmowa ciał stałych w T = 0 K:
pp – pasmo przewodnictwa, pv – pasmo walencyjne, Eg – przerwa zabroniona.
Rys. II.2. Termiczna generacja nośników ładunku w półprzewodniku samoistnym
(model pasmowy).
4
III. Półprzewodniki domieszkowane
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczeń nr 18, 19 oraz innych.
W półprzewodnikach samoistnych nośnikami prądu są elektrony i dziury, przy czym koncentracje ich
są jednakowe. W wielu zastosowaniach korzystne jest posiadanie półprzewodnika tylko z jednym
rodzajem nośników prądu - elektronami albo dziurami. Półprzewodniki, w których przepływ prądu
wywołany jest głównie ruchem dziur, są nazywane półprzewodnikami typu p (symbol p wywodzi się
od angielskiego słowa positive –dodatni); jeśli przepływ prądu jest związany z ruchem elektronów, to
półprzewodnik jest typu n (negative, czyli ujemny).
Półprzewodnikiem samoistnym jest każdy materiał półprzewodnikowy o niezaburzonej strukturze
krystalicznej. Wprowadzenie do niego odpowiednich obcych atomów (domieszek) wpływa w
znacznym stopniu na jego właściwości elektryczne. Spróbujmy ten proces przeanalizować na
przykładzie struktury krystalicznej germanu Ge. Jego atom ma cztery elektrony walencyjne, które w
sieci krystalicznej tworzą wiązania z czterema najbliższymi sąsiadami.
Jeśli w tej siatce zastąpić jeden z atomów germanu atomem domieszki mającym pięć elektronów
walencyjnych (fosfor, arsen, antymon), to piąty elektron nie może utworzyć wiązania walencyjnego.
Jest on jedynie słabo elektrostatycznie związany z jądrem domieszki, potrzebna jest na ogół
stosunkowo mała energia (np. dla fosforu w Ge 0,012 eV), aby go oderwać. Dlatego taki stan
nazywamy stanem donorowym (od angielskiego słowa donor - dawca). Energia elektronów
znajdujących się w tym stanie jest ściśle określona, a w modelu pasmowym półprzewodnika opisana
przez jeden poziom zwany donorowym. Jest on położony wewnątrz przerwy zabronionej
półprzewodnika w pobliżu dna pasma przewodnictwa (rys. III.1a). Odległość energetyczna Ed w
porównaniu z przerwą energetyczną półprzewodnika Eg jest mała (np. dla Ge Eg = 0,7 eV). Wystarczy
niewielkie wzbudzenie cieplne, aby elektron opuścił poziom donorowy i znalazł się w paśmie
przewodnictwa (przejście (1) na rys. III.1a). Wskutek tych przejść w półprzewodniku pojawia się
niesamoistna (nadmiarowa) przewodność elektronowa zwana przewodnością typu n. Półprzewodnik po
domieszkowaniu donorami staje się półprzewodnikiem typu n.
Załóżmy, że do siatki germanu zostaje wprowadzony atom domieszki z trzema elektronami
walencyjnymi (bór, aluminium, ind). Elektrony te utworzą wiązania z trzema sąsiednimi atomami sieci
pierwotnej germanu. Czwarte, potrzebne sieci wiązanie, pozostanie niewysycone. Utworzy się
zlokalizowana (związana z atomem domieszki) dziura. Może ona być łatwo (nakładem małej energii)
wypełniona przez elektron biorący udział w którymś z sąsiednich wiązań german – german. Po takim
przyjęciu elektronu przez dziurę powstaje dziura w innym miejscu sieci. Jest to dziura o znacznej
ruchliwości.
Takie nieobsadzone (elektronami) stany nazywamy stanami akceptorowymi (od angielskiego słowa
accept – przyjmować), a związane z nimi poziomy energetyczne – poziomami akceptorowymi.
Znajdują się one tuż ponad górną granicą pasma walencyjnego (rys. III.1b), np. bor w germanie tworzy
poziom w odległości energetycznej Ea = 0,0104 eV. Wystarczy niewielkie wzbudzenie, aby elektron z
pasma walencyjnego został wyłapany przez akceptor, przeskoczył na poziom akceptorowy (przejście
(2) na rys. III.1b). Wówczas w paśmie walencyjnym powstaje swobodna dziura i w półprzewodniku
pojawia się niesamoistna (nadmiarowa) przewodność dziurowa zwana przewodnością typu p.
Półprzewodnik po domieszkowaniu go akceptorami staje się półprzewodnikiem typu p.
5
Rys. III.1 Modele pasmowe półprzewodników domieszkowanych: a) typu n, b) typu p;
pp - pasmo przewodnictwa, pv - pasmo walencyjne,
Ed (Ea) - odległość energetyczna poziomu donorowego (akceptorowego) od pp (pv)
Oba typy przewodnictwa różnią się jedynie rodzajem nośników prądu. W przypadku jednoczesnego
wprowadzenia do półprzewodnika akceptorów i donorów, następuje kompensacja wpływu domieszek.
Półprzewodnik wykazuje wówczas typ domieszki, której koncentracja jest większa.
6
IV. Koncentracja nośników, rezystywność, przerwa energetyczna
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczeń nr 18, 19, 35 oraz innych.
Wielkością fizyczną określającą ilość nośników ładunku jest ich koncentracja. Koncentracją
swobodnych elektronów n nazywamy liczbę elektronów w paśmie przewodnictwa przypadającą na
jednostkę objętości ciała, a koncentracją dziur p nazywamy liczbę dziur w paśmie walencyjnym w
jednostce objętości ciała. Szczegółowa teoria samoistnych półprzewodników pokazuje, że koncentracje
nośników ładunku rosną w sposób wykładniczy z temperaturą T wyrażoną w stopniach Kelwina:
 Eg 
p  n  no exp 
(IV.1)

 2kT 
gdzie no możemy traktować jak stałą niezależną od temperatury.
Jeżeli do półprzewodnika przyłożymy pewne stałe napięcie, to w wyniku przyspieszającego działania
zewnętrznego pola elektrycznego oraz hamującego oddziaływania ze strukturą sieci kryształu, ustali się
pewna średnia prędkość ruchu nośników ładunków kierunku pola. Gęstość prądu w półprzewodnikach,
jak wynika z definicji tej wielkości, wyniesie w ogólnym przypadku:

j  e n vn  p v p

(IV.2)
gdzie: j – gęstość prądu, e – ładunek elektronu, vn, vp – średnie prędkości elektronów i dziur.
Wprowadzając pojęcie ruchliwości nośników zdefiniowanej wzorami:
v
v
n  n
i p  p
E
E
2
2
(np. dla germanu n  3900 cm /Vs i  p  1900 cm /Vs ) otrzymujemy:


j  e n n  p  p E
(IV.3)
(IV.4)
gdzie E – natężenie przyłożonego pola elektrycznego.
Porównując ostatni wzór z prawem Ohma: j  σ  E otrzymujemy wyrażenie na przewodnictwo
elektryczne półprzewodników w postaci:
  e  n n  p  p 
(IV.5)
Ponieważ dla półprzewodników samoistnych słuszna jest zależność (IV.1), możemy dla nich napisać:
 E 
  e  n   p no exp  g 
(IV.6)
 2kT 


lub

Eg 

 2kT 
można traktować jak stałą niezależną od temperatury.
   o exp 
gdzie  o
Wzór (IV.7) można zapisać w postaci:
7
(IV.7)
 Eg 
R  Ro exp 

 2kT 
(IV.8)
gdzie Ro jest z dobrym przybliżeniem stałą rezystancją zależną od rodzaju półprzewodnika i jego
wymiarów geometrycznych.
Logarytmując wyrażenie (IV.8) otrzymujemy:
ln R  ln Ro 
Eg 1
2k T
zatem zależność ln R  f 1 T  jest liniowa, a nachylenie prostej wynosi
(IV.9)
Eg
.
2k
Warunek liniowości (IV.9) jest spełniony tylko dla wystarczająco wysokich temperatur. Dla
półprzewodników domieszkowanych  n  p  w wysokich temperaturach intensywność termicznej
generacji nośników ładunku osiąga tak dużą wydajność (jednocześnie nośników domieszkowanych z
temperaturą nie przebywa), że półprzewodnik staje się samoistnym.
8
V. Złącze p -n czyli dioda półprzewodnikowa
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczenia nr 19 oraz innych.
Dioda półprzewodnikowa powstaje przez zetknięcie dwóch półprzewodników o różnych rodzajach
przewodności domieszkowej. Granica zetknięcia półprzewodnika typu p z półprzewodnikiem typu n
nosi nazwę złącza p-n. Można je uzyskać w jednym krysztale, przez wytworzenie w nim dzięki
odpowiednim domieszkom równocześnie obszarów o przewodności typu p i n. Złącza takie wytwarza
się zwykle w czasie wzrostu (hodowania) kryształu lub metodami dyfuzji domieszek w podwyższonej
temperaturze (np. do półprzewodnika zawierającego początkowo w całej objętości donory wprowadza
się do części próbki domieszki akceptorowe o koncentracji znacznie przekraczającej koncentrację
donorów). Złącze p-n znajduje się na ogół w obudowie metalowej chroniącej go przed uszkodzeniami
mechanicznymi i wpływami atmosferycznymi.
W obszarze złącza p-n elektrony przechodzą z półprzewodnika typy n do półprzewodnika typu p,
natomiast dziury w kierunku przeciwnym. Zjawisko to nazywamy dyfuzją nośników ładunku, a jego
przyczyną jest różnica koncentracji nośników po obu stronach złącza. W ten sposób powstaje warstwa
podwójna ładunku o grubości L mniejszej niż 1 m (rys. IV.1).
Rys. V.1 Rozkład ładunku i nośników w niespolaryzowanej diodzie półprzewodnikowej n - p
– swobodne nośniki ładunku.
W wyniku tego procesu w cienkim obszarze przyzłączowym półprzewodnika typu n wystąpi nadmiar
ładunku dodatniego (w porównaniu z głębszym obszarem półprzewodnika typu n). Natomiast w
obszarze przyzłączowym półprzewodnika typu p wystąpi nadmiar ładunku ujemnego (w porównaniu z
głębszym obszarem półprzewodnika typu p). Zatem warstwa podwójna wytwarza lokalne pole
elektryczne Enp o kierunku od typu n do p przeciwdziałające dalszej dyfuzji nośników ładunku. W
warstwie tej występuje również zmniejszenie koncentracji swobodnych nośników ładunku. Jest ich tu
bardzo mało w porównaniu z pozostałymi obszarami obu typów półprzewodnika. Dzięki temu ta
cienka warstwa posiada tak dużą rezystancję, że decyduje o łącznej rezystancji całego złącza. Jest to
9
bardzo ważne, bo decydujące o właściwościach elektrycznych diody półprzewodnikowej. Z
powyższych powodów omawianą warstwę nazywa się często warstwą zaporową.
Pole elektryczne Enp przeciwstawia się dyfuzji nośników większościowych i jednocześnie ułatwia
przepływ mniejszościowych przez złącze (jest to tzw. prąd unoszenia). W niespolaryzowanym złączu
ustala się stan równowagi, w którym znoszą się te obydwa rodzaje prądów (ich suma równa się zeru).
Rys. V.2. Spolaryzowana dioda n - p: a) w kierunku zaporowym, b) w kierunku przewodzenia.
Jeżeli do złącza p-n przyłożyć zewnętrzne pole elektryczne Ez w kierunku zgodnym z kierunkiem pola
Enp (do półprzewodnika typu n – biegun dodatni, a do typu p – biegun ujemny) (rys. V.2a), to grubość
warstwy zaporowej wzrośnie. W wyniku tego rezystancja złącza znacznie wzrośnie i będzie przez
10
niego płynąć stosunkowo słaby
przepływu - kierunku zaporowego.
prąd.
Nosi
on
nazwę
zaporowego,
a
jego
kierunek
Jeżeli do złącza p-n przyłożyć zewnętrzne pole elektryczne Ez w kierunku przeciwnym do
wewnętrznego pola złącza Enp (do typu n – biegun ujemny, a do typu p – biegun dodatni) (rys. V.2b), to
zmniejsza się grubość warstwy zaporowej i jej rezystancja. Przy takiej polaryzacji przez diodę może
płynąć prąd o dużym natężeniu, a jego kierunek nazywamy kierunkiem przewodzenia.
Natężenie prądu I płynącego przez złącze p-n pod wpływem przyłożonego z zewnątrz napięcia U
wyraża się następującym wzorem
  U  
  1
I  I S exp e
(V.1)
  kT 
gdzie Is – tzw. prąd nasycenia, e – ładunek elementarny, k – stała Boltzmanna.
W kierunku przewodzenia (U > 0) prąd (I > 0) wzrasta gwałtownie ze wzrostem napięcia, a w kierunku
zaporowym (U < 0) prąd (tu I < 0) szybko osiąga wartość ekstremalną
(I = -IS). Graficznym obrazem zależności (V.1) jest charakterystyka prądowo-napięciowa diody p-n.
Powyższa teoria złącza p-n wynika z modelu dyfuzyjnego, zaproponowanego przez Shockleya w 1949
r. Odchylenia od tej idealnej charakterystyki złącza są dosyć częste w takich półprzewodnikach jak np.
Si, GaAs i GaP. Główną przyczyną tych odchyleń jest zmiana gęstości prądu elektronów i dziur w
obszarze warstwy zaporowej, wynikająca z rekombinacji nośników, czego nie uwzględnia teoria
Shockleya. Dlatego w praktycznych pomiarach uzyskuje się charakterystykę opisaną równaniem
  U  
  1
I  I S exp e
(V.2)
  βkT 
Współczynnik  wskazuje na proporcję między składową prądu dyfuzyjnego, a składową prądu
rekombinacyjnego i jest równy 1 dla czystego prądu dyfuzyjnego oraz 2 dla prądu rekombinacyjnego.
Dla odpowiednio dużego napięcia polaryzującego diodę w kierunku przewodzenia (tzn. gdy spełniony
U
 3 ) jedynkę we wzorze (V.2) można pominąć i otrzymuje się zależność:
jest warunek e
βkT
 U 

I  I S exp e
(V.3)
 βkT
Po zlogarytmowaniu wyrażenia (V.3) otrzymujemy liniową zależność ln I od napięcia U:
e
U
(V.4)
βkT
Opierając się na zależności (V.4) można doświadczalne wyznaczyć prąd nasycenia IS oraz
współczynnika .
ln I  ln I S 
Aby wyznaczyć rezystancję diody, która zmienia się w sposób ciągły z napięciem należy wprowadzić
pojęcie rezystancji różniczkowej zdefiniowanej następująco:
 dI
Rr  
 dU




U U x 
11
1
(V.5)
Oznacza to, że dla wybranego punktu charakterystyki (U = Ux) znajdujemy rezystancję z nachylenia
stycznej do eksperymentalnej charakterystyki I  f (U ) poprowadzonej w tym punkcie.
12
VI. Cechowanie termopary
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczenia nr 17 oraz innych.
Eksperymentalnie stwierdzono, że na styku dwóch metali powstaje napięcie kontaktowe. W celu
wyjaśnienia tego zjawiska należy odwołać się do elektronowej teorii budowy materii
Drudego - Lorentza. Metal zbudowany jest z jonów dodatnich, tworzących sieć krystaliczną oraz z
poruszających się między nimi swobodnych elektronów. Ilość swobodnych elektronów w jednostce
objętości, czyli ich koncentracja, jest w każdym metalu inna. Po zetknięciu ze sobą dwóch metali o
różnej koncentracji elektronów w miejscu ich styku następuje dyfuzja elektronów z metalu A o
większej koncentracji elektronów swobodnych do metalu B o mniejszej koncentracji. Wskutek tego
procesu pierwszy z metali naładuje się dodatnio, a drugi ujemnie (rys. VI.1). Ładowanie to nie będzie
trwało długo, bowiem po obu stronach powierzchni S utworzy się „warstwa podwójna”, w której
napięcie dojdzie do takiej wartości, że elektrony na ogół nie będą w stanie jej przebyć. Opuściwszy
warstwę dodatnio naładowaną metalu A elektrony będą przez nią przyciągane, a odpychane przez
warstwę ujemną metalu B. W ten sposób napięcie kontaktowe dojdzie do pewnej maksymalnej
wartości, która już nie zostanie przekroczona. Zmniejszenie tej wartości jest również niemożliwe, gdyż
wówczas elektrony, które w większej liczbie bombardują powierzchnię graniczną od strony metalu A,
powiększyłyby napięcie kontaktowe do dawnej wartości. W ten sposób ustala się pewna równowaga:
powierzchnię graniczną bombarduje większa liczba elektronów od strony A, lecz przejście przez tę
powierzchnię jest utrudnione tak, że tylko najszybsze elektrony mogą ją sforsować. Natomiast od
strony metalu B powierzchnia graniczna jest bombardowana przez mniejszą liczbę elektronów, lecz jej
przejście od tej strony jest ułatwione tak, że stosunkowo większy odsetek całej liczby elektronów
metalu B ją przebywa. W stanie równowagi tyle samo elektronów przechodzi z A do B, co z B do A.
Rys. VI.1. Metal A i metal B, po zetknięciu wytwarzają po obu stronach powierzchni granicznej S
warstwę podwójną ładunków + i -.
Wielkości napięcia kontaktowego nie można mierzyć bezpośrednio; można je jednak porównywać
między sobą. Pomocne w tym jest prawo Volty zgodnie, z którym w obwodzie zamkniętym złożonym z
13
dowolnej liczby metalowych przewodników w stałej temperaturze suma wszystkich napięć
kontaktowych jest równa zeru. Rysunek VI.2 przedstawia przykładowy obwód zamknięty złożony z
trzech metali. Z prawa Volty wynika, że gdyby taki obwód rozciąć wewnątrz dowolnego z metali,
wówczas oba pozostałe kawałki będą miały te same potencjały i nie wystąpi pomiędzy nimi różnica
napięć.
W szczególnym przypadku, gdy utworzymy obwód zamknięty z dwóch metali (jest to tzw. termopara),
to napięcia kontaktowe na obu stykach są takie same, co do wartości, lecz przeciwnie skierowane. Ich
wpływy znoszą się i dlatego włączony w ten sposób miernik napięcia (woltomierz) będzie wskazywał
wartość zero (rys. VI.3a).
a)
b)
Rys. VI.2. Obwód zamknięty złożony z trzech metali (a), wykres ilustrujący prawo Volty U AB + UBC +
UCA = 0 (liczby podano dla przykładu) (b).
Opisany stan równowagi termopary może się zachwiać, jeżeli jedno ze złącz zostanie podgrzane (rys.
VI.3b). Ze wzrostem temperatury zmieniają się warunki równowagi na tym złączu, tzn. równowaga
wytworzy się przy innym napięciu kontaktowym (mniejszym lub większym). Włączony w obwód
woltomierz będzie wówczas mierzył wartość równą różnicy wartości bezwzględnych napięć
kontaktowych powstałych na obu stykach
VT  U BA  U AB
14
(VI.1)
Rys. VI.3. Schemat ogniwa termoelektrycznego: a) napięcia kontaktowe znoszą się,
b) napięcia kontaktowe nie znoszą się.
W ten prosty sposób otrzymaliśmy urządzenie, które zamienia energię cieplną na energię elektryczną;
różnica temperatur na złączach wytwarza różnicę potencjałów. Jest ono specyficznym źródłem
napięcia. Z tych względów tak uzyskane napięcie nazywamy siłą termoelektryczną (przez analogię do
siły elektromotorycznej np. ogniwa).
Jeżeli rezystancja wewnętrzna użytego do pomiaru woltomierza jest wystarczająco duża, to można
przyjąć, że jego wskazanie jest równe powstającej w układzie sile termoelektrycznej. Jej wartość
15
zależy od rodzaju stykających się metali oraz od różnicy temperatur złącz. Nie zależy natomiast od
długości przewodników oraz od wielkości powierzchni styku metali. Opisane wyżej zjawisko nosi
nazwę zjawiska Seebecka i zostało przez niego odkryte w 1821 roku.
Dla niezbyt dużych różnic temperatur pomiędzy złączami, można przyjąć liniową zależność siły
termoelektrycznej od różnicy temperatur:
V T   T 2  T 1 
(VI.2)
Stała  nosi nazwę współczynnika termoelektrycznego i oznacza wartość siły termoelektrycznej dla
termopary wykonanej z danej pary metali dla różnicy temperatur między złączami równej 1 K.
Termoogniwa dostarczają na ogół bardzo małych sił termoelektrycznych. Z tego powodu nie znalazły
one dotychczas praktycznego zastosowania jako źródła prądu, mimo wielu pomysłowych wynalazków
wykorzystujących zjawisko termoelektryczne.
Natomiast duże zastosowanie znalazły termoogniwa do pomiaru temperatur, zarówno w skali
technicznej, jak i w laboratorium. Posiadając małe rozmiary i masę, a co za tym idzie małą pojemność
cieplną, doskonale nadają się do mierzenia temperatur małych ilości ciał, albo np. temperatur w trudno
dostępnych częściach aparatury (wewnątrz długiej i cienkiej rurki, w szczelinie itp.). Oczywiście do
tego celu termoogniwo wraz z miliwoltomierzem lub lepiej z urządzeniem do mierzenia siły
elektromotorycznej musi być wycechowane przez porównanie ze zwykłym termometrem albo z
termometrem gazowym.
Termoogniwa sporządzone z platyny i ze stopu platyny i rodu (10% Rh) nadają się do mierzenia
wysokich temperatur dochodzących do 1500oC. Do mierzenia bardzo niskich temperatur stosuje się
termoogniwa, np. Cu - konstantan i inne. Termoogniwa Bi - Sb w połączeniu z bardzo czułym
miernikiem nadają się do mierzenia bardzo małych zmian temperatur. Poza tym termoogniwa
stosowane są do pomiaru natężenia promieniowania. Promieniowanie widzialne, podczerwone itp.,
padając na specjalnie zaczernione spojenie termoogniwa zostaje pochłonięte, wskutek czego ogrzewa
je i miliwoltomierz pokazuje wychylenie.
16
VII. Wyznaczenie e/m z pomiarów efektu magnetronowego
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczenia nr 20 oraz innych.

Prostopadle do linii sił jednorodnego pola magnetycznego o indukcji magnetycznej B

wstrzeliwany jest elektron (o ładunku elementarnym q = – e ) poruszający się z prędkością v .
W polu magnetycznym na poruszający się ładunek działa siła, którą można wyznaczyć ze wzoru
Lorentza :

 
F qvB
(VII.1)


gdzie: B – wektor indukcji magnetycznej, q – ładunek próbny, v – wektor prędkości ładunku.
W rozważanym przypadku q  e , co prowadzi do związku:

 
F  -ev  B
(VII.2)
 
Siła w tym przypadku jest skierowana przeciwnie niż iloczyn wektorowy v  B (patrz rys. VII.1),
którego kierunek można wyznaczyć za pomocą reguły prawej dłoni. Wartość bezwzględna
rozpatrywanej siły zgodnie z definicją iloczynu wektorowego wynosi:
F  e  v  B  sin 
(VII.3)

 
Ponieważ w rozpatrywanym przypadku wektory B i v są wzajemnie prostopadłe (   ), a więc
2
powyższe wyrażenie przyjmuje postać:
F  e v  B
(VII.4)
Wynikiem działania siły na rozważany
 elektron jest zakrzywienie jego toru w płaszczyźnie
prostopadłej do kierunku wektora B . Ponieważ elektron wciąż porusza się w kierunku

prostopadłym do B , to kąt  stale jest prosty, a wartość bezwzględna siły Lorentza jest stała, zatem
torem ruchu elektronu jest okrąg. Zjawisko to nazywane jest efektem magnetronowym.



Rys. VII.1. Ilustracja wyrażenia F  q v  B . Ładunek próbny (dodatni) wychodzi z początku układu

z prędkością v .
Zjawisko efektu magnetronowego można zastosować do wyznaczenia wartości stosunku ładunku
elektronu do jego masy, czyli stosunku e m . Na elektron poruszający się po okręgu działa zgodnie
z drugą zasadą dynamiki siła odśrodkowa o wartości:
m v2
(VII.5)
Fr 
r
gdzie: m – masa elektronu, r – promień toru elektronu.
Z warunku równowagi siły odśrodkowej Fr i siły Lorentza F otrzymuje się wyrażenie:
17
evB 
i rozwiązując to równanie względem
m v2
r
e
otrzymujemy:
m
e
v

m rB
(VII.6)
(VII.7)
Wyznaczając równocześnie trzy wielkości fizyczne: wielkość indukcji magnetycznej, prędkość
wstrzelenia elektronu w pole magnetyczne oraz promień okręgu, po którym krąży on w tym polu,
można obliczyć wartość stosunku e m . Ponieważ przy ustalonej wartości indukcji pola
magnetycznego trudno jest wyznaczyć krzywiznę toru elektronu (np. można to zrobić dysponując
komorą Wilsona) w przeprowadzanym
ćwiczeniu należy postąpić odwrotnie, poszukać pola

magnetycznego o takiej indukcji B , aby elektron krążył po z góry wyznaczonym torze o
określonym promieniu r .
Pomysł ten można łatwo zrealizować wykorzystując budowę diody lampowej, w której cienki drut
stanowiący katodę umieszczony jest w osi cylindrycznej anody, promienie katody i anody są
odpowiednio równe rb i ra . Elektrony wychodzące z katody poruszają się promieniście w kierunku
anody uzyskując przy tym prędkość:
v
2 eUa
m
(VII.8)
gdzie U a jest napięciem przyłożonym między katodą a anodą.
Przeprowadzając pomiary należy wyznaczyć wartość krytyczną indukcji pola magnetycznego Bkr ,
przy której tor elektronu jest styczny do powierzchni anody. Promień krzywizny toru elektronu w
tych warunkach wynosi:
r r
r a b
(VII.9)
2
Dioda lampowa jest umieszczona w polu magnetycznym wytwarzanym przez cewkę z prądem (rys.
VII.2). Znając natężenie prądu I płynącego w cewce można wyznaczyć indukcję magnetyczną pola
w pobliżu środka cewki za pomocą wzoru empirycznego:
BβI
(VII.10)
gdzie:  – empirycznie wyznaczona stała.
Uwaga: Porównaj ten wzór ze wzorem teoretycznym wyrażającym indukcję pola magnetycznego
w środku nieskończenie długiej cewki.
Podczas przeprowadzania pomiarów badana jest zależność prądu anodowego I a w funkcji indukcji
B przy ustalonym napięciu anodowym U a . Dla wartości indukcji mniejszej od wartości krytycznej
Bkr ( B  Bkr ) tory elektronów są stosunkowo słabo zakrzywiane (rys. VII.3b) i prawie wszystkie
elektrony dochodzą do anody, a więc obserwowany prąd anodowy jest duży (rys. VII.4). W
przeciwnym przypadku tzn. gdy B  Bkr tory elektronów są zbyt mocno zakrzywione (rys. VII.3d)
w wyniku czego, tylko niektóre elektrony dochodzą do anody i w obwodzie anodowym płynie już
znacznie mniejszy prąd I a . Punkt gwałtownej zmiany prądu anodowego odpowiada wartości
krytycznej indukcji magnetycznej. Tory elektronów są wówczas styczne do powierzchni anody (rys.
VII.3c).
18
Rys. VII.2 Układ pomiarowy do badania efektu magnetronowego.
Rys. VII.3. Zakrzywienia torów elektronów realizowane w diodzie lampowej
przy różnych wartościach indukcji magnetycznej B .
Rysunek VII.4 przedstawia typową zależność I a  f (B) i graficzny sposób wyznaczenia wartości
Bkr , która geometrycznie odpowiada punktowi przegięcia charakterystyki. W rzeczywistości
elektrony opuszczające katodę nie mają jednakowej prędkości równej wartości wyliczonej ze wzoru
(VII.7). Ich prędkości są różne, chociaż statystycznie rozłożone wokół tej wartości. Wynikiem tego
jest nachylenie badanej charakterystyki (rys. VII.4) tym większe, im większe jest statystyczne
rozmycie wartości prędkości elektronów, a rośnie ono ze wzrostem napięcia anodowego U a .
Wstawiając zależności (VII.7), (VII.8) i (VII.9) do wzoru (VII.6) po przekształceniach otrzymuje
się zależność:
19
8 Ua
e

2
2
m β I ra  rb 2
kr
(VII.10)
Rys. VII.4. Typowa eksperymentalna charakterystyka I a  f (B) dla efektu magnetronowego w
diodzie oraz sposób wyznaczania punktu krytycznego.
20
VIII. Wyznaczanie stałej Rydberga i stałej Plancka z widma liniowego wodoru
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczenia nr 31 oraz innych.
Spektroskopia atomowa to dział fizyki, którego przedmiotem badań jest struktura poziomów
energetycznych swobodnych atomów i jonów, znajdujących się w fazie gazowej pod bardzo niskim
ciśnieniem rzędu 10-6 Pa. Dostarczenie energii do atomu doprowadza do jego wzbudzenia.
Wzbudzenie atomu wiąże się z przeniesieniem jego elektronów na wyższe orbity, które są położone
dalej od jądra i odpowiadają im większe energie. Po czasie wzbudzenia (rzędu 10-8 s) elektrony
wracają do stanów o niższych energiach, położonych bliżej jądra. Wybór danego przejścia następuje
w sposób statystyczny. Każdemu przejściu towarzyszy emisja promieniowania
elektromagnetycznego o odpowiedniej, właściwej dla tego przejścia częstotliwości. Rozkład
wyemitowanej energii nazywany jest widmem liniowym. Badanie właściwości tego
promieniowania dostarcza informacji o strukturze poziomów energetycznych w atomach.
Trudnego zadania wyjaśnienia ogromnego materiału doświadczalnego z zakresu spektroskopii oraz
badań nad kwantowymi właściwościami promieniowania podjął się Niels Bohr wprowadzając trzy
postulaty:

I postulat Bohra - (postulat stacjonarnych stanów atomu) zakłada, że istnieją tzw.
stacjonarne stany atomu, w których elektron, wbrew regułom fizyki klasycznej, nie emituje
promieniowania. W stanie stacjonarnym elektrony poruszają się w atomie po pewnych,
określonych orbitach i nie wysyłają fal elektromagnetycznych.

II postulat Bohra - (postulat stacjonarnych orbit kwantowych) podaje warunek
określający dozwolone orbity odpowiadające stanom stacjonarnym. Zgodnie z tym
postulatem elektron nie może poruszać się w atomie po dowolnych orbitach, lecz tylko po
takich, dla których moment pędu elektronu L jest całkowitą wielokrotnością wielkości 
(   h 2 ), gdzie h  6,62 10 34 Js jest stałą Plancka:
Ln  n  
n  1, 2, 3.....
(VIII.1)
Dla orbit kołowych
Ln  me  vn  rn
gdzie:
(VIII.2)
me – masa elektronu,
vn – wartość orbitalnej prędkości elektronu na - n -tej orbicie,
rn – promień n -tej orbity elektronowej.
Stąd II postulat Bohra przyjmuje postać:
me  vn  rn  n  
(VIII.3)

III postulat Bohra - (postulat częstotliwości) dotyczy energii emitowanej przez atom,
który przechodząc ze stanu wzbudzonego o energii En do stanu o mniejszej energii Em
wypromieniowuje foton. Energia fotonu, zgodnie z postulatem Plancka związana z
częstotliwością promieniowania zależnością: E  h   , jest równa różnicy energii atomu w
stanie początkowym i końcowym:
E  En  E m
III postulat Bohra przyjmuje więc postać
h    En  E m
21
(VIII.4)
(VIII.5)
W ujęciu klasycznym warunkiem ruchu elektronu wokół jądra jest równość siły odśrodkowej i siły
przyciągania elektrostatycznego:
2
e2

r
4   o  r 2
stąd energię kinetyczną elektronu można wyrazić w postaci:
me
Ek  me
2
e2

2 8   o  r
(VIII.6)
(VIII.7)
Wyznaczając z II postulatu Bohra (31.3) pęd elektronu: p  me  v , energia kinetyczna elektronu
może być przedstawiona jako:
p2
n2  h2

(VIII.8)
2  me 8 2  r 2  me
Porównując oba wyrażenia na energię kinetyczną ze wzoru (VIII.7) i (VIII.18) można wyznaczyć
promień dozwolonej orbity dla elektronu w atomie wodoru jako:
Ek 
rn 
n 2  o  h2
n  1, 2, 3....
  e 2  me
Potencjał pola elektrycznego wokół jądra atomu wodoru wynosi V 
(VIII.9)
e
, stąd energia
4   o  r
potencjalna elektronu w tym polu jest równa:
e2
(VIII.10)
4   o  r
Energia całkowita elektronu E równa sumie energii kinetycznej i energii potencjalnej wyrażona
jest wzorem:
e2
e2
e2
E  Ek  E p 


(VIII.11)
8   o  r 4   o  r
4   o  r
Podstawiając w wyrażeniu (VIII.11) w miejsce r wyrażenie (VIII.9) otrzymuje się wyrażenie na
energię całkowitą elektronu w zależności od numeru dozwolonej orbity w postaci:
me  e 4
En  
(VIII.12)
8   o2  h 2  n 2
Konsekwencją wprowadzenia II postulatu Bohra jest zatem otrzymanie warunku kwantowania
energii. Energia elektronu może przyjmować tylko wartości dyskretne określone naturalną liczbą n ,
nazywaną główną liczbą kwantową. Określa ona liczbę porządkową poziomu energetycznego lub
numer stacjonarnej orbity elektronu.
Jak wynika ze wzoru (VIII.12), wraz ze zwiększaniem głównej liczby kwantowej n (czyli w miarę
wzrostu promienia dozwolonej orbity) energia elektronu w atomie rośnie (maleje przy tym jej
bezwzględna wartość). Maksymalna energia elektronu w atomie jest równa zeru, co zachodzi dla
warunku n   , czyli odpowiada oderwaniu elektronu od jądra (jonizacji atomu). Stan
odpowiadający n  1 , w którym elektron znajduje się najbliżej jądra, nazywamy stanem
podstawowym atomu. Stany odpowiadające wszystkim pozostałym wartościom n , tzn. n  1 noszą
nazwę stanów wzbudzonych.
E p  (  e)  V  
Aby przejść ze stanu podstawowego do stanu wzbudzonego atom musi otrzymać energię z
zewnątrz, odpowiadającą energetycznej różnicy stanów. Czynnik wzbudzający może dysponować
dowolnie dużą energią, ale atom zawsze będzie pobierał energię porcjami, odpowiadającymi
22
możliwym różnicom energii poziomów energetycznych. Swobodne atomy można wzbudzić w
różny sposób np.:
 w wyniku niesprężystego zderzenia atomów poruszających się ruchem cieplnym
(wzbudzenie termiczne),
 poprzez oświetlenie promieniowaniem o określonej częstotliwości np. promieniowaniem
rentgenowskim lub ultrafioletowym,
 poprzez przyłożenie wysokiego napięcia wskutek zderzenia z elektronami lub jonami
przyspieszanymi w polu elektrycznym.
Zgodnie z III postulatem Bohra (VIII.5) przy przejściu elektronu z orbity wyższej o energii En na
niższą o energii Ek ( n  k ) zostanie wypromieniowany foton o energii:
h    En  E k
(VIII.13)
Po uwzględnieniu wyrażenia na energię całkowitą elektronu wyrażoną wzorem (VIII.12) oraz
związku pomiędzy częstotliwością  , a długością fali  postaci   c  otrzymujemy wyrażenie
na długość wypromieniowanej fali jako:
me  e 4
1 
1


(VIII.14)

 8   o2  h 3  c  k 2 n 2 
Dla atomu wodoru długości fal odpowiadające dopuszczalnym przejściom układają się w liniowe
serie widmowe noszące nazwy od swoich odkrywców:
1

k 1
k2
k 3
k4
itd .
n  2, 3, 4....  seria Lymana
n  3, 4, 5....  seria Balmera
n  4, 5, 6....  seria Paschena
n  5, 6, 7....  seria Brackette' a
Widzialne linie widmowe należą do tzw. serii Balmera odkrytej doświadczalnie w 1885r. powstałej
podczas przejść elektronów z wyższych orbit na drugą orbitę:
1

Są to cztery linie:

me  e 4
1 
1




8   o2  h 3  c  2 2 n 2 
(VIII.15)
H  czerwona
odpowiadająca przejściu 3  2
H  niebieska
odpowiadająca przejściu 4  2
H  fioletowa
odpowiadająca przejściu 5  2
H  fioletowa
odpowiadająca przejściu 6  2
Występujący ze wzorze (VIII.14) współczynnik
me  e 4
8   o2  h 3  c
nazywany jest stałą Rydberga dla
atomu wodoru i oznaczany symbolem RH .
Znając stałą Rydberga RH można wyznaczyć stałą Plancka:
h3
me  e 4
8   o2  c  RH
23
(VIII.16)
Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że stała Plancka jest stałą fizyczną uniwersalną (tzn.
zachowuje swoją wartość we wszystkich zjawiskach kwantowo-mechanicznych). Natomiast stała
Rydberga jest stała tylko dla zjawisk zachodzących wewnątrz atomu wodoru.
24
IX. Badanie promieniowania ciała doskonale czarnego
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczenia nr 32 oraz innych.
Jak wynika z obserwacji dowolne ciało ogrzane do dostatecznie wysokiej temperatury zaczyna
wysyłać promieniowanie widzialne, przy czym ciało ogrzane do temperatury wyższej promieniuje
bardziej intensywnie niż ciało o temperaturze niższej. Wskazuje to na ścisły związek między
natężeniem promieniowania ciała a jego temperaturą. Proces wysyłania promieniowania przez ciało
zachodzi w każdej temperaturze wyższej od zera bezwzględnego ( T  0 K ) i nosi nazwę
promieniowania cieplnego. Promieniowanie to jest wynikiem wysyłania przez ciało fal
elektromagnetycznych. Długości fal promieniowania ciał o wysokich temperaturach (np. Słońca,
plazmy włókna żarówki) leżą w zakresie widzialnym, ultrafioletowym a nawet rentgenowskim.
Ciała o temperaturach niższych wysyłają promieniowanie z zakresu podczerwieni (np. żelazko,
ciało ludzkie), a o bardzo niskich – z zakresu fal radiowych.
Długość fal promieniowania widzialnego zawarta jest w przedziale 0,4 – 0,7 m. Promieniowanie o
długości fali większej od 0,7 m nosi nazwę promieniowania podczerwonego lub inaczej
podczerwieni. Obejmuje ona dużą część widma promieniowania elektromagnetycznego.
Krótkofalowa granica promieniowania podczerwonego przylega do czerwonej części widma
zakresu widzialnego, czyli do 0,7 m, a jej granica długofalowa nie jest określona i charakteryzuje
się największymi długościami fal, które jeszcze mogą być zarejestrowane metodami optycznymi
przy użyciu specjalnych przyrządów: spektrometrów przewidzianych dla dalekiej podczerwieni. Do
chwili obecnej granica ta wynosi około 1200 m. Ze względów praktycznych, w związku z różną
budową używanych przyrządów, obszar podczerwieni dzielimy umownie na bliską podczerwień
(mniej niż 2,5 m), średnią (2,5 – 25 m) i daleką (ponad 25 m).
Ilość wysyłanego przez dane ciało promieniowania o określonej długości fali określa widmowa
zdolność emisyjna R , zdefiniowana jako moc P promieniowania wysyłanego z jednostki
powierzchni S ciała w jednostkowym przedziale długości fal  , czyli:
P
R 
(IX.1)
S  
Całkowita zdolność emisyjna R ciała jest to moc promieniowania wysyłanego z jednostki
powierzchni ciała w całym zakresie długości fal. Jako suma widmowych zdolności emisyjnych
ciała (tzn. emitowanych we wszystkich długościach fal) wyraża się całką:

R   R  d
(IX.2)
0
Zdolności emisyjne ciała, zarówno widmowe jak i całkowite zależą od rodzaju ciała i jego
temperatury. Teoretyczny opis promieniowania cieplnego przeprowadza się dla wyidealizowanego
ciała tzw. ciała doskonale czarnego. Jako ciało doskonale czarne definiujemy takie ciało, które
pochłania całkowicie padające na nie promieniowanie niezależnie od jego składu widmowego i
temperatury, a jednocześnie najwydajniej je emituje.
Zbudowanie modelu teoretycznego opisującego promieniowanie ciała doskonale czarnego w
sposób zgodny z doświadczeniem okazało się zagadnieniem niemożliwym do rozwiązania na bazie
klasycznej teorii promieniowania. Pierwszym z licznego grona badaczy, któremu udało się
rozwiązać to zagadnienie, był wybitny fizyk angielski Max Planck. Wnioski wynikające z jego
teorii miały fundamentalne znaczenie dla współczesnej fizyki. Wynika z niej, że promieniowanie
nie ma charakteru ciągłego, lecz dyskretny – energia promieniowania jest wysyłana porcjami i nie
może przyjmować dowolnych wartości, lecz musi być wielokrotnością kwantu energii. Powyższa
właściwość
nazwana
została
kwantowością,
a
kwanty
energii
promieniowania
elektromagnetycznego fotonami.
25
Postulując hipotezę kwantów Planck jako pierwszy wprowadził wzór na widmową zdolność
emisyjną ciała doskonale czarnego i otrzymał bardzo dobrą zgodność z doświadczeniem:
2  c 2  h
 hc

(IX.3)

5  kT
 e
 1




c
gdzie: h – stała Plancka, k – stała Boltzmanna, – prędkość światła, T – temperatura w skali
bezwzględnej. Rysunek IX.1 obrazuje powyższą zależność dla różnych wartości temperatury T ciała
doskonale czarnego.
R 
Rys. IX.1. Zależność zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego od długości fali dla trzech
różnych wartości temperatur (T1<T2<T3 ).
Całkowanie wyrażenia na R po wszystkich długościach fali  zgodnie ze wzorem (IX.2) prowadzi
do wyrażenie na całkowitą zdolność emisyjną. Przyjmując za R postać podaną przez Plancka
zgodną ze wzorem (IX.3) otrzymuje się całkowitą zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego w
postaci:
R
25  k 4
3
15  h  c
2
T 4
(IX.4)
Powyższy związek zapisuje się często w postaci
R   T 4
(IX.5)
gdzie   5,67 10 8 Wm 2 K 4 .
Zgodnie z wyrażeniem (IX.5) całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego jest
proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury bezwzględnej. To sformułowanie znane jest
pod nazwą prawo Stefana-Boltzmanna.
Widmowa zdolność emisji (rys. IX.1) ma wartość maksymalną dla pewnej długości fali max , którą
można obliczyć z warunku ekstremum funkcji R tj. z warunku:
26
dR
0
d
(IX.6)
Rozwiązując to równanie względem  otrzymuje się zależność:
max  T  b
(IX.7)
gdzie b  2898 m  K jest stałą uniwersalną zwaną stałą Wiena.
Wzór (IX.7) nazywany jest prawem przesunięć Wiena i zgodnie z nim ze wzrostem temperatury
położenie maksimum widmowej zdolności emisyjnej ciała przesuwa się w stronę fal krótszych (im
większe T tym mniejsze max ). Wyrażenie (IX.7) opisuje ilościowo efekt, który jest łatwo
obserwowalny jako zmiana barwy ciała ogrzewanego do wysokiej temperatury.
Warto jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że wartość maksimum widmowej zdolności emisyjnej ciała
doskonale czarnego przy wzroście temperatury rośnie proporcjonalnie do piątej potęgi temperatury
w skali bezwzględnej ciała (  T 5 ), a więc bardzo szybko.
Większość ciał w przyrodzie to są tzw. ciała szare, których widmowa zdolność emisyjna jest także
opisana wzorem Plancka, jednak jest ona mniejsza od emisyjności ciała doskonale czarnego:
Rsz    R
(IX.8)
Współczynnik  nazywamy emisyjnością danego ciała i dla ciał szarych jest on stały (niezależny od
długości fali) i mniejszy od jedności, natomiast dla ciał doskonale czarnych  = 1.
27
X. Zjawisko absorpcji promieniowania elektromagnetycznego
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczeń nr 32, 34 oraz innych.
Promieniowanie elektromagnetyczne padające na powierzchnię ciała stałego częściowo przechodzi
przez ciało, częściowo zostaje odbite od powierzchni i częściowo zaabsorbowane, co
schematycznie pokazano na rysunku XI.l.
Rys. X.1 Odbicie, absorpcja i przepuszczanie światła przez ciało stałe, I o - natężenie
promieniowania padającego na powierzchnię ciała, Ia - natężenie promieniowania zaabsorbowanego
(pochłoniętego) w ciele, Ip - natężenie promieniowania przechodzącego przez ciało, Iod - natężanie
promieniowania odbitego od ciała.
Absorpcja (pochłanianie) promieniowania elektromagnetycznego przez ośrodek materialny
prowadzi do przemiany energii strumienia świetlnego w różne rodzaje energii wewnątrz tego
ośrodka. Absorpcja światła może prowadzić do ogrzewania substancji danego ośrodka, do jonizacji
bądź wzbudzania jego atomów lub molekuł, jak również do procesów fotochemicznych. Oprócz
wymienionych, straty energii mogą wynikać z rozpraszania światła przez ośrodek. Stosunek
natężenia promieniowania przepuszczanego przez ośrodek do natężenia wiązki promieniowania
padającego na niego, czyli I p I o nazywa się przepuszczalnością lub transmisją T, które wyraża się
w procentach:
T
Ip
Io
Analogicznie można zdefiniować absorpcję A :
100%
(X.1)
I
A  A 100%
(X.2)
Io
Część promieniowania odbitego stanowi z reguły mały procent wiązki padającej i dlatego w
dalszym toku rozważań efekt ten będzie pomijany. Wówczas można zapisać:
A  1T 
Io  I p
Io
28
100%
(X.3)
Taka sama wiązka promieniowania padając na różne ośrodki materialne będzie w różnym stopniu
przez nie pochłaniana. Wielkością fizyczną charakteryzującą właściwość pochłaniania danego
 . Przechodzeniu równoległej wiązki
ośrodka jest współczynnik pochłaniania
elektromagnetycznego promieniowania monochromatycznego o natężeniu I przez jednorodną
warstwę o nieskończenie małej grubości dx towarzyszy zmniejszenie się jej natężenia. Zmniejszenie
to (  dI ) jest proporcjonalne do natężenia wiązki padającej na rozpatrywaną warstwę I i do
grubości warstwy pochłaniającej dx zgodnie z zależnością:
 dI    I  dx
(X.4)
Współczynnik proporcjonalności  zależny od rodzaju materiału nazywamy współczynnikiem
pochłaniania (rys. X..2).
Rys. X.2. Absorpcja światła w ciele stałym.
Całkując to wyrażenie po całej grubości ciała stałego d , tzn. od przedniej powierzchni, gdzie
natężenie promieniowania padającego równą się I o (dla x  0 ), do tylnej powierzchni, gdzie
natężenie to wynosi już tylko I p (dla x  d ) otrzymuje się:
Ip
d
dI
 I    dx
0
(X.5)
Io
a stąd:
ln
Ip
Io
   d
(X.6)
I p  I o  e  d
(X.7)
Ze wzoru (X.7) tzw. prawa Bouguera - Lamberta wynika, że natężenie promieniowania padającego
prostopadle na ciało maleje w głębi ośrodka według funkcji ekspotencjalnej, a współczynnik
absorpcji  określa szybkość tej zmiany.
Odwrotność współczynnika absorpcji określa głębokość, na której strumień fotonów przenikających
przez ośrodek maleje e-krotnie. Współczynnik  jest wielkością charakterystyczną dla danego
ośrodka pochłaniającego i zależy od długości fali zastosowanego w doświadczeniu
promieniowania. Zależność współczynnika absorpcji od długości fali () lub od częstotliwości
() nazywa się widmem absorpcji ośrodka materialnego.
29
XI. Wyznaczanie współczynnika pochłaniania promieniowania  w metalach
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczenia nr 34 oraz innych.
Energie jąder, podobnie jak energie atomów są skwantowane, co oznacza, że jądra mogą
występować tylko w dyskretnych stanach kwantowych, każdy o ściśle określonej energii. Procesy
zachodzące wewnątrz jądra; np. po emisji cząstki  lub  mogą prowadzić do utworzenia jądra w
stanie wzbudzonym, tj. w energetycznie wyższym w porównaniu ze stanem podstawowym
(energetycznie najniższym). Kiedy jądro przechodzi do niższego stanu energetycznego, pozbywa
się nadmiaru energii emitując foton. Emitowane fotony są to kwanty promieniowania
elektromagnetycznego pochodzenia jądrowego tzw. promieniowanie  . Natura promieniowania 
jest taka sama jak promieni X , których źródłem są powłoki elektronowe atomu, natomiast dla
promieniowania  źródłem są jądra atomu. Energia kwantu promieniowania  jest większa od
energii promieniowania X i jest zawarta w granicach od 0,05 MeV do 5 MeV . Energia kwantów
promieniowania  jest wielkością charakteryzującą dany pierwiastek promieniotwórczy. Wzajemne
powiązania energii kwantów E  z długością fali  lub częstotliwością  wyraża się wzorem
Plancka:
c
E  h    h 
(XI.1)

gdzie: h – stała Plancka, c – prędkość fali elektromagnetycznej w próżni,  – częstotliwość fali
elektromagnetycznej.
Obliczone na podstawie wyrażenia (X.1) długości fal odpowiadające wspomnianym energiom leżą
w granicach od 10 11 m do 10 13 m . Ze względu na przenoszone duże energie i związane z nimi
krótkie długości fal promieniowanie  wykazuje silny charakter korpuskularny (kwantowy), stąd
traktuje się je jako strumień fotonów wielkich energii (strumień kwantów).
Promieniowanie  słabo oddziałuje z materią (mała wydajność absorpcji) i dlatego jest ona
zauważalna w ciałach stałych i gęstych cieczach, natomiast dla gazów jest praktycznie
niezauważalna.
Oznaczmy przez I o natężenie padającej wiązki monochromatycznej promieniowania  . Po
przejściu przez dowolny absorbent o grubości x natężenie wiązki promieniowania  ulega
osłabieniu i można przedstawić je za pomocą wykładniczego równania:
(XI.2)
I ( x)  I o  e k  x
gdzie: I – natężenie wiązki po przejściu przez absorbent o grubości x , k – całkowity liniowy
współczynnik pochłaniania (absorpcji), który wskazuje jaka część promieniowania I została
usunięta z pierwotnej wiązki I o przy przejściu przez jednostkę grubości absorbenta.
Wartość całkowitego współczynnika absorpcji zależy od rodzaju absorbenta i od energii
promieniowania. Przy przejściu przez dowolną substancję promieniowanie  zostaje pochłonięte w
trzech procesach:
 fotoefektu,
 rozproszenia comptonowskiego,
 tworzenia par elektron-pozyton.
W każdym z tych procesów promieniowanie traci energię całkowicie lub częściowo i zmienia
kierunek propagacji, co jest jednoznaczne z ubytkiem kwantów z pierwotnej wiązki padającego
promieniowania. Dla każdego z procesów można wprowadzić częściowe współczynniki
30
pochłaniania: dla zjawiska fotoelektrycznego – k f , dla zjawiska tworzenia par elektronpozyton – k p i dla rozpraszania w zjawisku Comptona – k c . Całkowity współczynnik pochłaniania
jest sumą trzech współczynników dla wymienionych procesów:
k  k f  k p  kc
(XI.3)
Zjawisko fotoelektryczne polega na oddziaływaniu kwantów promieniowania  z elektronami
atomów, w wyniku którego kwant  zostaje całkowicie pochłonięty:
  e z  es
(XI.4)
gdzie: e z – elektron związany, es – elektron swobodny.
Energia kwantu  zostaje zużyta na pokonanie energii wiązania elektronu i nadanie mu znacznej
energii kinetycznej. Zjawisko to nie może zachodzić dla elektronów swobodnych, ponieważ w tym
przypadku nie może być spełnione prawo zachowania pędu. Z tego powodu zjawisko
fotoelektryczne najefektywniej zachodzi dla silnie związanych elektronów wewnętrznych, wówczas
nadmiar pędu przejmuje jądro atomowe. W związku z tym prawdopodobieństwo wystąpienia
zjawiska fotoelektrycznego bardzo silnie zależy od liczby atomowej Z absorbenta (w
przybliżeniu ~ Z 5 ) oraz szybko maleje ze wzrostem energii kwantu. Zależność Z 5 powoduje, że z
łatwo dostępnych materiałów najlepszym absorbentem promieniowania rentgenowskiego i
promieniowania  jest ołów.
Zjawisko Comptona polega na rozpraszaniu kwantów na elektronach swobodnych:
  es   '  e R
(XI.5)
gdzie: es – elektron swobodny, eR – elektron rozproszony,  ' – kwant rozproszony.
W zjawisku Comptona zostaje zachowana energia i pęd. W oparciu o te dwie zasady zachowania
można wyznaczyć wartość straty energii kwantu oraz energię rozproszonego elektronu. Zjawisko
Comptona zachodzi z największą wydajnością dla elektronów walencyjnych. Elektrony walencyjne,
czyli związane na powłokach zewnętrznych można traktować jako swobodne, gdyż ich energia
wiązania jest bardzo mała w porównaniu z energią kwantu . Prawdopodobieństwo wystąpienia
efektu Comptona jest w przybliżeniu proporcjonalne do liczby atomowej Z i maleje ze wzrostem
energii kwantu. Dla energii z zakresu 0,5  5 MeV udział zjawiska Comptona w całkowitej
absorpcji promieniowania  jest dominujący.
Zjawisko tworzenia par polega na całkowitej absorpcji fotonu (kwantu  ) i pojawieniu się pary
elektron-pozyton ( e  , e  ):
(XI.6)
  e  e
Dla tej reakcji nie mogą być równocześnie spełnione prawa zachowania energii i pędu (pęd kwantu
 jest zawsze większy od pędu pary e  , e  ), stąd proces tworzenia pary zachodzi w silnym polu
elektrycznym jądra, które przejmuje nadmiar pędu. Zjawisko tworzenia par zachodzi powyżej
energii progowej równej 1,02 MeV , gdyż energia kwantu  musi być wyższa od energii
spoczynkowej pary elektron-pozyton:
E  2  m  c 2
(XI.7)
gdzie: m – masa spoczynkowa elektronu.
Dla ilościowego opisu zjawiska pochłaniania promieniowania  wygodnie jest wprowadzić pojęcie
warstwy półchłonnej d1 2 . Przy tej grubości warstwy pochłaniającej promieniowanie intensywność
31
strumienia padającego promieniowania zmniejsza się o połowę. Zgodnie ze wzorem (XI.2) dla
grubości warstwy absorbenta równej grubości warstwy półchłonnej otrzymuje się następujący
związek pomiędzy d1 2 i liniowym współczynnikiem pochłaniania k :
Io
 k d1 2
 Io  e
(XI.8)
2
stąd po zlogarytmowaniu obu stron równości:
d1 2 
ln 2
k
k
lub
ln 2 0,693

d1 2
d1 2
(XI.9)
Wyrażenie (XI.2) po wstawieniu w miejsce k wyrażenie (XI.9) przyjmuje postać:

I ( x)  I o  e
ln 2
x
d1 2

 Io  2
x
d1 2
(XI.10)
Pomiar współczynnika pochłaniania k promieniowania  odbywa się w następujący sposób: na
drodze wiązki promieniowania pochodzącego ze źródła promieniotwórczego ustawia się płytki z
materiału, który osłabia intensywność przenikającej przez niego wiązki. Intensywność
przechodzącej wiązki mierzona jest za pomocą specjalnego licznika kwantów umieszczonego w
stałej odległości od źródła. W miarę zwiększania ilości płytek absorbenta, a tym samym grubości
absorbenta intensywność przechodzącego strumienia maleje zgodnie ze wzorem (XI.10). Wielkości
I o , I we wzorze (XI.10) można zastąpić ilością kwantów zarejestrowanych przez licznik w ciągu
jednostki czasu bez użycia absorbenta no i z absorbentem n , czyli wzór (XI.10) można wyrazić w
postaci
x
d1 2
(XI.11)
log 2
x
d1 2
(XI.12)

n( x)  no  2
Po zlogarytmowaniu wzoru (XI.11) otrzymuje się zależność:
log n  log no 
Zgodnie z zależnością (XI.12) logarytm zmierzonej intensywności promieniowania  powinien
zależeć liniowo od grubości warstwy pochłaniającej x . Wystarczy zatem mierzyć za pomocą
licznika ilość kwantów przechodzących przez warstwę pochłaniającą w jednostce czasu, stopniowo
zwiększając jej grubość, a następnie otrzymane wyniki przedstawić w postaci wykresu log n  f ( x)
. Jeżeli spełnione jest prawo pochłaniania (XI.2), to zgodnie z równaniem (XI.12) wykres powinien
log 2
przedstawić linię prostą. Z otrzymanego wykresu łatwo jest wyznaczyć
jako współczynnik
d1 2
nachylenia prostej do osi x , a następnie obliczyć wartość d1 2 , która po podstawieniu do wzoru
(XI.9) pozwoli wyznaczyć wartość współczynnika pochłaniania k .
Każdy licznik promieniowania daje pewną ilość zliczeń nawet w nieobecności źródła
promieniotwórczego. Zliczenia te stanowią tzw. tło licznika, pochodzą od naturalnej
promieniotwórczości wszystkich ciał w otoczeniu, od promieniowania kosmicznego, a także od
własnych szumów licznika. Aby uwzględnić promieniowanie tła należy od n ilości kwantów w
jednostce czasu, pochodzących ze źródła promieniotwórczego odjąć nt ilość zliczeń w jednostce
czas pochodzących od tła. Oznacza to, że przy graficznym przedstawieniu równania (XI.10) w
rzeczywistości należy zbudować wykres log(n  nt )  f ( x) .
32
XII. Zjawisko absorpcji promieniowania w półprzewodnikach
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczeń nr 34, 35 oraz innych.
Badanie zjawiska absorpcji promieniowania elektromagnetycznego poprzez pomiar widma
absorpcji pozwala na najbardziej bezpośrednią metodę badania struktury pasmowej
półprzewodników. Badając promieniowanie przechodzące przez próbkę półprzewodnika można
znaleźć wszystkie możliwe przejścia elektronowe. Procesy zachodzące w półprzewodnikach w
wyniku pochłonięcia fotonu, dzielą się na dwie grupy:
a) procesy w których zachodzi częściowa, bądź całkowita przemiana energii na inny rodzaj energii,
ale nie zachodzi przy tym jonizacja atomów półprzewodnika;
b) procesy fotoelektryczne - oddziaływania fotonu z siecią krystaliczną półprzewodnika w wyniku,
których następuje pochłonięcie energii fotonu oraz jonizacja atomów sieci i wytworzenie
swobodnych nośników ładunku.
Schematycznie procesy przedstawiono fotoelektryczne na rysunku XII.1.
Rys. XII.1. Różne rodzaje fotoelektrycznego oddziaływania fotonów z siecią krystaliczną
półprzewodnika: pp - pasmo przewodnictwa; pv - pasmo walencyjne; pd - poziom domieszkowy;
h - kwant promieniowania elektromagnetycznego; fn - fonon;  - swobodny elektron; 
- swobodna dziura
Rysunek XII.1a obrazuje wyrzucanie elektronu z półprzewodnika na zewnątrz pod wpływem
padającego fotonu o energii h . Foton oddziałuje z atomem domieszki i w związku z tym następuje
uwolnienie elektronu związanego z takim atomem. Gdy energia kwantu nie jest przejęta w całości
przez elektron, to pozostała jej część ulega rozproszeniu w sieci krystalicznej. Pobudzona sieć
zaczyna drgać dopóki energia nie zamieni się na energię cieplną. Ponieważ stany energetyczne sieci
półprzewodnika są skwantowane, może ona zaabsorbować tylko ściśle określone dawki energii
zwane fononami f n .
33
Na rysunku XII.1b przedstawiono podobny proces, z taką różnicą, że uwolniony elektron pozostaje
w krysztale i w ten sposób zwiększa przewodnictwo półprzewodnika. Wymagana energia fotonu
jest tutaj mniejsza niż w przypadku (a). Zjawiska (a) i (b) zachodzą w półprzewodnikach
domieszkowanych.
Rysunek XII.1c przedstawia proces powstawania dwóch swobodnych nośników ładunku: dziury i
elektronu w półprzewodniku pod wpływem kwantu promieniowania elektromagnetycznego. Oba
nośniki wnoszą swój wkład do przewodnictwa półprzewodnika. Zjawisko polega na absorpcji
fotonu z jednoczesnym przeniesieniem elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa i
nazywa się absorpcją międzypasmową lub podstawową.
Procesy (b) i (c), w których uwolnione poprzez absorpcje promieniowania nośniki ładunku
pozostają wewnątrz półprzewodnika nazywane są zjawiskiem fotoelektrycznym wewnętrznym. W
półprzewodnikach samoistnych zachodzi tylko fotoproces c).
Metoda wyznaczania wartości przerwy energetycznej E g półprzewodnika poprzez pochłanianie
promieniowania jest metodą bezpośrednią, ponieważ minimalna energia fotonu, która jest potrzebna
do międzypasmowego przeniesienia elektronu równa jest właśnie wartości tej przerwy.
Widmo absorpcji podstawowej półprzewodnika przedstawia rysunek XIII.1. Krzywa pochłaniania
stromo opada w pobliżu minimalnej wartości energii niezbędnej do spowodowania przeniesienia
pasmo - pasmo. Minimalna wartość energii odpowiada wartości E g , a odpowiadająca jej długość
fali nazywa się krawędzią absorpcji  g .
Rys. XII.1. Widmo pochłaniania promieniowania elektromagnetycznego przez półprzewodnik: a)
absorpcja międzypasmowa (zachodzi dla  < g), b) absorpcja na swobodnych nośnikach ładunków
(tzw. ogon absorpcji).
Dla    g obserwuje się tzw. ogon absorpcji. Przyczyną jego występowania jest zjawisko
pochłaniania promieniowania elektromagnetycznego przez swobodne nośniki ładunku w krysztale
półprzewodnika. Absorpcja tego rodzaju jest powodowana przejściami swobodnych elektronów lub
dziur między stanami energetycznymi wewnątrz pasm przewodnictwa i walencyjnego,
odpowiednio. Pochłanianie to jest tym silniejsze, im większa jest koncentracja swobodnych
nośników ładunku, a ta rośnie ze wzrostem koncentracji domieszek oraz podczas ogrzewania
półprzewodnika.
34
Dla fotonów, których energia spełnia warunek h  E g współczynnik absorpcji  dla
półprzewodnika samoistnego jest bliski zeru, czyli dla takich fotonów półprzewodnik jest prawie
przezroczysty, pochłanianie zachodzi tylko w ogonie absorpcji. Natomiast dla fotonów o energii
h  E g współczynnik absorpcji gwałtownie rośnie ze wzrostem h .
35
XIII. Równoważnik elektrochemicznego miedzi oraz stała Faradaya
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczenia nr 23 oraz innych.
Elektrolity stanowią charakterystyczną grupę przewodników prądu elektrycznego. Do elektrolitów
należą roztwory soli, kwasów lub zasad w wodzie lub w innych rozpuszczalnikach o dużej
przenikalności elektrycznej  . Ogólnie elektrolity są tworzone przez substancje, w których
występują wiązania jonowe. Cząsteczki takich substancji złożone są z atomów lub grup atomów o
ładunkach przeciwnego znaku. Części te nazwano odpowiednio jonami dodatnimi (kationami) i
jonami ujemnymi (anionami). Przyciągają się one wzajemnie siłami elektrostatycznymi. Ładunek
jonów w cząsteczce powstaje w czasie reakcji chemicznej dzięki przekazaniu przez atom lub grupę
atomów jednego lub więcej elektronów walencyjnych innemu atomowi lub grupie. Dzięki temu jon
ujemny zyskuje nadmiar elektronów, jon dodatni ma ich niedobór. Wielkość ładunku każdego z
jonów wyraża się iloczynem ładunku elementarnego e i wartościowości jonu.
Jeśli z pewnych przyczyn siły przyciągania między jonami zostają zmniejszone, wówczas nawet
energia ruchu termicznego wystarcza do rozerwania wiązania jonowego i rozpadu cząsteczki na
swobodne jony, proces ten nosi nazwę dysocjacji. Gdy cząsteczka o wiązaniu jonowym znajdzie się
w roztworze w otoczeniu cząsteczek wody, wówczas pole elektryczne cząsteczek dipolowych wody
osłabia pole elektryczne między jonami. Siła przyciągania elektrostatycznego wynosi:
q q
1
F
 1 2
(XIII.1)
4 o  r
r2
gdzie: q1 i q2 – ładunki jonów, r – odległość między jonami,  o – bezwzględna przenikalność
elektryczna próżni,  r – względna przenikalność elektryczna wody, równa około 80. Dzięki dużej
wartości  r wiązanie jonowe cząsteczki substancji rozpuszczonej w wodzie jest tak osłabione, że
ruchy termiczne cząsteczek wystarczają, aby przy zderzeniu rozpadły się one na dwa fragmenty
(jony). Praca rozrywania cząsteczki jest wykonana kosztem jej energii kinetycznej. Jonami
dodatnimi (kationami) są np. jony wodoru H  i metali ( Na  , Al 3 ). Jonami ujemnymi
(anionami) są np. jony reszt kwasowych ( SO42  , Cl  ) i grupy wodorotlenowej OH  .
Jako przykłady dysocjacji elektrolitycznej można wymienić:
NaCl  Na   Cl 
KOH  K   OH 
H 2 SO4  2 H   SO42 
Ca (OH ) 2  Ca 2   2OH 
CuSO4  Cu 2   SO42 
KHSO4  K   H   SO42 
Z chwilą przyłożenia do elektrolitu zewnętrznego pola elektrycznego tzn. z chwilą zanurzenia w
roztworze dwóch elektrod połączonych ze źródłem napięcia, na jony działają siły elektrostatyczne
(rys. XIII.1).
36
Anoda
Katoda
-
+
Elektrolit
E
+
-
Kation
Anion
Rys. XIII.1. Ruch jonów w elektrolicie podczas elektrolizy.
Pod ich wpływem istniejące w roztworze kationy (jony dodatnie) przemieszczają się w kierunku
elektrody o potencjale ujemnym (zwanej katodą), a aniony (jony ujemne) w kierunku elektrody o
potencjale dodatnim (zwanej anodą). W elektrolicie następuje uporządkowany ruch ładunków
elektrycznych, czyli płynie prąd. Przewodzenie prądu przez elektrolity związane jest zatem z
transportem masy. Zgodnie z umową za kierunek prądu przyjmuje się kierunek ruchu ładunków
dodatnich, czyli kationów.
Całość zjawisk zachodzących przy przepływie prądu elektrycznego przez elektrolity nazywana jest
elektrolizą. Jony docierając do elektrod w trakcie procesu elektrolizy, ulegają zobojętnieniu i
wydzielają się na nich, bądź też reagują z materiałem elektrody lub z rozpuszczalnikiem. Podczas
elektrolizy na katodzie powstają produkty redukcji (w wyniku przyłączania elektronów do jonów),
a na anodzie produkty utleniania (na skutek utraty elektronów przez jony).
W przypadku elektrolizy wodnego roztworu siarczanu miedzi CuSO4, gdy elektrody są węglowe lub
platynowe na elektrodach zachodzą następujące reakcje:
 2e
Katoda:
Cu 2  
Cu
Anoda:
2e
SO4 2  
 SO4
1
SO4  H 2O H 2 SO4  O2
2
W wyniku tak prowadzonej elektrolizy siarczanu miedzi na elektrodach wydzielają się
odpowiednio: na katodzie miedź metaliczna, na anodzie tlen.
i reakcja wtórna
Natomiast, gdy przy elektrolizie roztworu CuSO4 zastosujemy obie elektrody miedziane elektroliza
przebiega tak samo z tą jednak różnicą, że na anodzie w wyniku wtórnej reakcji obojętnej
cząsteczki SO4 z miedzią Cu wytwarza się nowa cząsteczka CuSO4.
37
SO4 Cu CuSO4
W tym przypadku podczas elektrolizy stężenie roztworu nie zmienia się, natomiast zmniejsza się
masa anody. O tyle samo zwiększa się masa katody, co łatwo sprawdzić eksperymentalnie. Ilość
substancji wydzielających się w czasie elektrolizy na elektrodach jest określona prawami, które na
drodze eksperymentalnej zostały sformułowane przez Faradaya.
Pierwsze prawo Faradaya zostało sformułowane w 1833 r. Jego treść można sformułować
następująco: ilość wydzielonej masy na elektrodach jest proporcjonalna do ładunku Q, który
przepłynął przez elektrolit:
m  k Q  k  I t
(XIII.2)
gdzie: I – natężenie prądu, t – czas, k – równoważnikiem elektrochemicznym.
Na podstawie prawa Faradaya znając wydzieloną na elektrodzie masę m i ładunek Q  I  t , który
przepłynął przez elektrolit można eksperymentalnie wyznaczyć wartość równoważników
elektrochemicznych k dla różnych rodzajów jonów.
Jeśli przez m' oznaczymy masę pojedynczego jonu, przez e' jego ładunek, a liczbę wydzielonych
podczas elektrolizy jonów przez N ' , to słuszne są następujące zależności: m  N 'm' i Q  N 'e' ,
skąd można wyprowadzić związek:
m'
m  Q
(XIII.3)
e'
Porównanie równań (XIII.2) i (XIII.3) prowadzi do wyrażenia:
m'
k
(XIII.4)
e'
co pozwala na prostą interpretacje równoważnika elektrochemicznego jako stosunku masy jonu do
jego ładunku. Masę pojedynczego jonu można przestawić jako stosunek masy cząsteczkowej M
jonu do liczby Avogadra:
m' 
M
NA
(XIII.5)
Stwierdzono również, że:



wszystkie jony jednowartościowe (np. H  , Na  , Ag  , Cl  , NO3   , Br  ) mają taki
sam ładunek, równy ładunkowi elektronu e ,
wszystkie jony dwuwartościowe (np. Cu 2  , SO42  , Zn 2  , Sn 2  ) posiadają taki sam
ładunek równy ładunkowi dwu elektronów 2e ,
wszystkie jony trójwartościowe (np. Al 3  , Au 3 , PO43  ) posiadają taki sam ładunek
równy ładunkowi trzech elektronów 3e , itd.
Ogólnie więc jony o wartościowości równej w ( w  1, 2, 3... ) posiadają ładunek elektryczny e'
dodatni lub ujemny równy co do wielkości ładunkowi w elektronów e tzn:
e'  w  e
(XIII.6)
Stanowi to właściwy sens drugiego prawa Faradaya.
Treść obu praw Faradaya można zatem podać następująco. Mnożąc licznik i mianownik wyrażenia
(XIII.3) przez liczbę Avogadra i stosując wyrażenia (XIII.5) i (XIII .6) otrzymuje się zależność:
m'N A
m'
M
1
M
m  Q 
Q 
Q 
 Q
(XIII.7)
e'
e'N A
e w N A
e NA w
38
gdzie: M – masa molowa wydzielonej substancji chemicznej.
Jeśli wprowadzimy oznaczenia M w  R – gramorównoważnik jonu, N A  e  F stała Faradaya,
równanie (XIII.7) sprowadza się do postaci:
R
Q
F
Porównując wyrażenie (XIII.2) z wyrażeniem (23.8) otrzymuje się zależność:
R
k
F
m
(XIII.8)
(XIII.9)
Równanie (XIV.8) można interpretować następująco: wydzielenie na elektrodzie masy równej
jednemu gramorównoważnikowi R wymaga przepływu jonów o ładunku równym stałej Faradaya
F.
Stała Faradaya jest specyficznym ładunkiem. Najdokładniejsze doświadczenia dają wynik
F  96485,309 C . Ponieważ N A i e są uniwersalnymi stałymi fizycznymi, zatem stała Faradaya
jest uniwersalną stałą fizyczną.
Treść obu praw Faradaya zawarta we wzorze (XIII.8) może być wypowiedziana w następujący
sposób: prąd elektryczny przepływający przez elektrolit wydziela na elektrodach masy jonów
proporcjonalne do przeniesionego ładunku tak, że każde 96485,309 C ładunku wydziela jeden
gramorównoważnik dowolnego jonu.
39
XIV. Zjawisko Halla
Opis użyteczny do zrozumienia ćwiczenia nr 25 oraz innych.
Zjawisko Halla polega na powstawaniu poprzecznej różnicy potencjałów w płytce półprzewodnika
lub metalu, przez którą przepływa prąd elektryczny, jeżeli jest ona umieszczona w polu
magnetycznym prostopadłym do kierunku przepływu prądu (rys. XIV.1).
Rys. XIV.1. Zjawisko Halla.
Niech w przewodzeniu
prądu biorą udział elektrony. W polu magnetycznym o indukcji


magnetycznej B na elektrony poruszające się z prędkością v działa siła Lorentza, opisana
wyrażeniem:

 
FL  e   v  B 
(XIV.1)


Gdy wektor prędkości v elektronów jest prostopadły do wektora indukcji B wartość bezwzględna
siły jest równa:
FL  e  v  B
(XIV.2)
Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego siła Lorentza jest prostopadła do obu wektorów:
prędkości elektronu i indukcji pola magnetycznego. Siła prostopadła do wektora prędkości
powoduje odchylenie toru ruchu elektronów od prostoliniowego kierunku i zakrzywienie go. Dla
rozważanej geometrii układu (rys. XIV.1) tor ruchu elektronów zostaje zakrzywiony w stronę jednej
ze ścianek płytki. W efekcie elektrony gromadzą się na jednej powierzchni płytki pozostawiając na
przeciwległej powierzchni nieskompensowane ładunki dodatnie. Rozdzielenie dodatnich
 i
ujemnych ładunków powoduje powstanie wewnątrz próbki poprzecznego pola elektrycznego E H .


To pole działa siłą elektryczną Fe  e  E H na każdy elektron, przeciwdziałając dalszemu

odchylaniu elektronów. W warunkach równowagi siła pola elektrycznego Fe jest równa co do

wartości sile Lorentza FL , a więc zachodzi równość:
e  EH  e  v  B
(XIV.3)
Gęstość prądu płynącego przez płytkę z definicji wyraża się jako:
j  env
(XIV.4)
gdzie n – koncentracja elektronów.
Po podstawieniu do (XIV.3) wyrażania otrzymanego z (XIV.4): e  v 
j
i przeprowadzeniu
n
odpowiednich przekształceń otrzymuje się:
EH
gdzie R 
jB
 R jB
en
(XIV.5)
1
jest nazywana stałą Halla.
en
Stosując widoczne na rysunku XIV.1 oznaczenia opisujące geometrię próbki można gęstość prądu
wyrazić jako:
I
j 
(XIV.6)
bd
Z poprzecznym polem elektrycznym EH związana jest poprzeczna różnica potencjałów U H tzw.
napięcie Halla równe odpowiednio:
U H  EH  b
(XIV.7)
40
Po podstawieniu wyrażeń (XIV.6) i (XIV.7) do (XIV.5) i po wykonaniu odpowiednich przekształceń
otrzymuje się wyrażenie określające koncentrację nośników ładunku n w następującej postaci:
BI
n
(XIV.8)
e  d U H
Koncentrację nośników ładunku n można zatem wyznaczyć wykonując pomiar napięcia Halla i
natężenia prądu dla próbki półprzewodnika lub metalu o znanej geometrii, umieszczonej w polu
magnetycznym o znanej indukcji, tak aby kierunki płynącego prądu i wektora indukcji były do
siebie prostopadłe.
W półprzewodniku istnieją dwa rodzaje nośników ładunku: elektrony i dziury, w obecności pola
magnetycznego są one odchylane w kierunku tej samej powierzchni próbki. Odchylenie dziur
powoduje zmniejszenie napięcia Halla powstałego w wyniku odchylenia elektronów. Z tego
powodu omawiane zjawisko nadaje się do pomiaru koncentracji nośników ładunku tylko w
półprzewodnikach domieszkowanych, w których koncentracja większościowych nośników ładunku
jest dużo większa od koncentracji mniejszościowych nośników. To znaczy spełniony jest warunek,
że koncentracja elektronów jest dużo większa od koncentracji dziur (n  p ) lub odwrotnie
( p  n ) . Przeprowadzenie pomiarów pozwala rozróżnić, z którym z tych przypadków mamy do
czynienia, gdyż znak napięcia Halla zależy od rodzaju przewodnictwa płytki półprzewodnikowej.
Jeżeli przewodnictwo jest elektronowe (n  p ) , to napięcie Halla U H ujemne, dla przewodnictwa
dziurowego ( p  n ) U H jest dodatnie. Wyznaczanie napięcia Halla jest jednym z
najdokładniejszych sposobów określenia koncentracji nośników prądu w materiałach
półprzewodnikowych domieszkowanych.
Mierząc dodatkowo przewodność właściwą  lub opór właściwy  próbki można wyznaczyć
v
ruchliwość nośników większościowych n  n , czyli prędkość unoszenia w polu elektrycznym o
E
jednostkowym natężeniu. Uwzględniając definicję ruchliwości nośników wyrażenie (XIV.4)
przekształca się do postaci:
(XIV.9)
j  e  n  n  E
j
, gdzie E natężenie pola elektrycznego
E
wewnątrz próbki wyrażenie na ruchliwość przyjmuje postać:
1
  e  n  n 
(XIV.10)
Zgodnie z definicją przewodności właściwej  


gdzie
– oporność właściwa, którą z prawa Ohma można związać z napięciem przyłożonym do
próbki V, natężeniem płynącego prądu I i wymiarami geometrycznymi próbki w następujący
sposób:
V bd
 
(XIV.11)
I l
Porównując wyrażenia (XIV.10) i (XIV.11) ruchliwość  n nośników większościowych można
przedstawić jako:
I
l
n 
(XIV.12)
V bd en
41
Rys. XIV.2. Kształt próbki do pomiarów napięcia Halla.
Próbka do pomiaru napięcia Halla powinna mieć specjalne kontakty, aby wyeliminować
niekorzystne efekty utrudniające pomiar (wstrzykiwanie nośników, zwieranie próbki, rekombinację
nośników). Przykładowy kształt próbki do pomiaru napięcia Halla jest przedstawiony na rysunku
XIV.2. Prąd płynie między kontaktami (1) i (2), natomiast napięcie Halla jest mierzone między
kontaktami (3-4) lub (5-6). Napięcie V przyłożone do próbki mierzymy pomiędzy kontaktami (3) i
(5) w celu wyeliminowania dodatkowego spadku napięcia na kontaktach. Przez kontakty (3) i (5) w
odróżnieniu od (1) i (2) nie płynie prąd elektryczny.
Zjawisku Halla towarzyszy szereg efektów utrudniających prawidłowy pomiar napięcia. Są to:
 zjawisko Ettingshausena – powoduje ono powstanie poprzecznego względem kierunku
przepływu prądu, gradientu temperatury spowodowanego odchylaniem przez pole
magnetyczne w przeciwne strony „gorących” (o prędkości większej od vśr ) i „zimnych”
(o prędkości mniejszej od vśr ) nośników ładunku. Poprzeczny gradient temperatury
powoduje powstanie napięcia termoelektrycznego na kontaktach (3) i (4), które dodaje
się do napięcia Halla (stanowi ono około 5% napięcia U H ).

zjawisko Nernsta – powoduje ono powstanie gradientu temperatury wzdłuż kierunku
przepływu prądu na skutek różnego rozpraszania „gorących” i „zimnych” elektronów.
Podłużny gradient temperatury powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego w
wyniku przepływu strumienia ciepła w polu magnetycznym. Powstałe napięcie dodaje się
do napięcia Halla.

zjawisko Righiego-Leduca – przepływ strumienia ciepła powoduje powstanie również
poprzecznego gradientu temperatury. Efektowi temu towarzyszy napięcie
termoelektryczne dodające się do napięcia Halla.

napięcie asymetrii – napięcie powstające pomiędzy elektrodami (3) i (4) oraz (5) i (6)
przy przepływie prądu na skutek ich niesymetrycznego położenia.
Wartość napięcia Halla można jednak określić, jeżeli wykona się cztery niezależne pomiary napięć
przy dwu przeciwnych kierunkach przepływu prądu I i przy dwu przeciwnych zwrotach indukcji B,
czyli odpowiednio: U1 ( I , B) , U 2 ( I , B) , U 3 ( I , B), U 4 ( I , B) . Wówczas:
U  U 2 U 3  U 4
UH  1
(XIV.13)
4
Wyprowadzając równanie (XIV.7) założono, że w warunkach równowagi siła Lorentza kompensuje
siłę wywołaną hallowskim polem elektrycznym EH, czyli że w kierunku poprzecznym w płytce nie
42
płynie prąd elektryczny. Zatem pomiar napięcia Halla należy przeprowadzić bez przepływu prądu w
tym kierunku. W tym celu do pomiaru napięcia Halla zazwyczaj stosuje się kompensacyjne metody
pomiaru małych napięć, woltomierze lampowe i cyfrowe o dużej rezystancji wejściowej lub
elektrometry.
43