1 yx xy + = 05 2 = - + - xy xy yx

Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zestaw I
Zad. 1. Dla jakich całkowitych liczb n, liczba postaci
n3  n2  2
również należy do zbioru liczb
n 1
całkowitych?
Zad. 2. Wyznacz wszystkie liczby całkowite k , dla których liczba
k2  2
jest liczbą naturalną.
k2
Zad. 3. Wyznacz wszystkie pary x, y  liczb całkowitych spełniające równanie
xy
 5.
x y
Zad. 4. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba
n n2 n3
 
jest całkowita,
3 2 6
n 4 n 3 11n 2 n
 
 jest całkowita.
b)
24 4
24 4
a)
Zad. 5. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba postaci n 5  n jest podzielna przez 30.
Zad. 6. Wykaż, że liczba postaci a  2918  3  2914  4 jest podzielna przez 200.
Zad. 7. Wykaż, że jeżeli m  C , to
m 6  2m 4  m 2 jest podzielne przez 36.
Zad. 8. Uzasadnij, że liczba 318  218 jest podzielna przez 19.
Zad. 9. Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i p  3 to liczba p 2  1 jest podzielna przez 24.
Zad. 10. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n dla których liczba n 4  99 jest kwadratem liczby
naturalnej.
Zad. 11. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:
a) xy  x  y
b) 3 x  xy  4 y  45
c) x 2  y 2  1
d xy  2 y  x  5  0
Zad. 12. Wyznacz wszystkie pary x, y  liczb całkowitych, które spełniają równanie
x
2


 2003 y 2  2003  2003x  y 
2
Zad. 13. Iloczyn dwóch liczb naturalnych, których największy wspólny dzielnik wynosi 8, jest równy
3200. Znajdź te liczby.
Zad. 14. Uzasadnij, że dowolne liczby całkowite a i b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio 2
lub 3, to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 10 wynosi 6.
1
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zad. 15. Znajdź wszystkie liczby naturalne większe od 800 i mniejsze od 1000, z których każda ma
następujące własności: jeśli odejmiemy od niej 56, to otrzymamy liczbę podzielną przez 28, jeśli
odejmiemy od niej 36, to otrzymamy liczbę podzielną przez 12, a jeśli dodamy 42, to otrzymana liczba
będzie podzielna przez 21.
Zad. 16. Wyznacz liczbę naturalną mniejszą od 1000, która przy dzieleniu przez 10 daje resztę 9, przy
dzieleniu przez 15 – resztę 14, a przy dzieleniu przez 21 – resztę 20.
Zad. 17 Wyznacz resztę, jaką daje przy dzieleniu przez 9 różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb
naturalnych niepodzielnych przez 3.
Zad. 18. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 168, a największy ich wspólny dzielnik
równa się 24. Znajdź te liczby.
Zad. 19. Udowodnij, że jeśli dwie liczby przy dzieleniu przez trzecią liczbę dają tę samą resztę, to ich
różnica jest podzielna przez tę liczbę.
Zad. 20. Dane są trzy kolejne liczby naturalne. Wykaż, że suma iloczynu tych liczb i ich średniej
arytmetycznej jest sześcianem liczby naturalnej.
Zad. 21. Zapis liczby n w systemie dziesiętnym składa się z 1995 dziewiątek. Ile dziewiątek występuje
w zapisie dziesiętnym liczby n2 ?
Zad. 22 W rebusie: KAR + KRA = RAK rozszyfruj, jaką liczbą jest RAK.
Zad. 23 Do ponumerowania stron książki zużyto 6837 cyfr. Ile stron liczy ta książka?
2
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zestaw II
Zad. 1. Wykaż, że wartość wyrażenia:
a)
3

3

3
3
 ... 
jest mniejsza od 30.
2 3
3 4
4 5
127  128
1
1
1
1
1


 ... 

b)
1 2
2 3
3 4
2003  2004
2004  2005
jest mniejsza od 2005
1
1
1
1


 ... 
c) oblicz:
.
0 1
1 2
2 3
n 1  n
Zad. 2. Porównaj liczby: a  4 5  2 6 
Zad. 3. Oblicz:
3  2 oraz b  9  4 5  14  6 5 .
2 3  2 2 3  2 2 2 3  2 2 2 3 .
Zad. 4. Uzasadnij, że
3  8  5  24  7  48  1 .
Zad. 5. Wykaż, że liczba
3
5 2  7  3 5 2  7 jest liczbą wymierną.
Zad. 6. Wykaż, bez użycia tablic i kalkulatora, że
Zad. 7. Udowodnij, że
3
20  14 2  3 20  14 2 jest liczbą całkowitą.
6  32  3  2 2  1
Zad. 8. Która z liczb jest większa: 3100  2150 czy 3 50  2 75 ? Odpowiedź uzasadnij
Zad.9. Która z liczb: A  2008  2010, B  2 2009 jest większa? Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 10. Wiedząc, że x 
1
 3 oblicz:
x
1
,
x2
b)
a)
x2 
x3 
1
.
x3
1
1
, mając dane x 2  2 = 14.
3
x
x
Zad.12.Wyznacztakie liczby rzeczywiste x, y, dla których wyrażenie 2 x 2  4 y 2  4 xy  6 x  2015
Zad. 11. Oblicz wartość wyrażenia x 3 
przyjmuje najmniejszą wartość.
3
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zestaw III
Zad.1. Wykaż, że jeśli a, b, c  R i a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac , to a  b  c .
Zad.2. Wykaż, że jeśli x 2  y 2  2 i x  y  1 , to xy  
1
.
2
Zad. 3. Udowodnić, że jeżeli liczby całkowite a, b, c, d spełniają warunek a 2  b 2  c 2  d 2 ,
to liczba a  b  c  d jest liczbą parzystą.
Zad.4. Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają następujące nierówności: a  b  c , b  c  a ,
oraz c  a  b . Udowodnić, że a  b  c  0.
ab 
Zad. 5. Wykaż, że jeśli a, b są liczbami nieujemnymi, to
ab
.
2
Zad. 6. Wykaż, że jeśli x  y  z  0, to xy  yz  zx  0.
Zad. 7 . Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d zachodzi nierówność:
a) a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
b) a 2  b 2  c 2  3  2(a  b  c)
Zad. 8. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi nierówność:
a) a 2  b 2  1  ab  a  b
b) a 2  b 2  2  2a  b 


Zad.9. Wykaż, że jeżeli liczby a, b, c, d są dodatnie to:  a 
1 
1 
1
 b   c    8.
b 
c 
a
1
8
Zad. 10. Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a i b spełniają równość a  b  1 , to a 4  b 4  .
Zad. 11. Udowodnij, że jeżeli a, b, c są takimi liczbami rzeczywistymi, że a 2  b 2  c 2 1, to
 a  b 2   b  c 2   c  a 2  3 .
Zad.

12.


Udowodnij,


że
a 1 b  b 1 c  c 1 a
2
2
2
2
2
dla
2
dowolnych
  6abc
liczb
a , b, c
zachodzi
nierówność
Zad. 13. Dane są takie różne od zera liczby rzeczywiste a, b, c, d że b  d  0 oraz spełniona jest
równość
a c ac
 
Wykaż, że ac  0.
b d bd
4
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zestaw IV
Zad. 1. Określ dziedzinę funkcji: f ( x) 
 2x  8

x  3 1
Zad. 2. Sporządź wykres funkcji: f ( x) 
x 2  2x
2.
x2
x3
x  2 1
.
a) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie?
b) Jakie wartości funkcja f przyjmuje dwa razy, a jakie tylko raz?
Zad. 3. Dla jakich wartości parametru b jedna z figur ograniczonych osią OX, wykresem funkcji
f ( x)  x  2  b oraz prostą o równaniu x  1, jest czworokątem o polu 7?
Zad. 4. Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji f ( x)  x  1  2  x  2  1 z osią 0X.
Zad. 5. Narysuj wykres funkcji:
x
x  1
x
2 x
 x  2.
b) f ( x) 
x2
a) f ( x) 
Zad. 6. Narysuj wykres i wyznacz zbiór wartości funkcji f określonej wzorem:
a) f ( x) 
 2  6x
9x 2  6x  1
b) f  x    2 sgn

x  3  2 .
Zad.7. Wykaż, że funkcja określona wzorem
a) f ( x) 
3 x 2  4 x  12
, gdzie x  R , przyjmuje najmniejszą wartość równą 2, zaś największą
x2  4
równą 4,
b)
2

x  4
f ( x)  
, gdzie x  R, przyjmuje
x 2  16
najmniejszą wartość
równą
 2 , zaś największą
równą 0.
Zad. 8. Wyznacz f  f  f 2014 jeśli f ( x) 
Zad.9.
Znajdź funkcję liniową
f ,
1
.
1 x
która dla każdej liczby rzeczywistej x
spełnia warunek
f ( 2 x  3)  3 x  1 .
5
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zad. 10. Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) 
x 2  4 x  4  x  1 . Jak należy dobrać
parametr m , aby funkcja określona wzorem g ( x)  f x   m nie posiadała miejsc zerowych?
Zad. 11. Dla jakich wartości parametru m , funkcja określona wzorem f x   3  x  2  m  7
posiada więcej miejsc zerowych dodatnich niż ujemnych ?
Zad.12. Dla jakich wartości parametru a miejsca zerowe funkcji y  2 x  a oraz y  x  a  2
należą do przedziału 0;1 ?
Zad. 13. Funkcja f każdej liczbie naturalnej mniejszej od 200 przyporządkowuje resztę z jej dzielenia
przez 4. Podaj zbiór wartości tej funkcji. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
6
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zestaw V
Uwaga: x oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od x
x  1 x  1
Zad.1. Rozwiąż równanie: 
.
 3   2
 [ x ]  y  2[ z ]  1
Zad.2. Rozwiąż układ równań :  x  y  [ z ]  2
3[ x ]  4[ y ]  z  3

Zad. 3. Rozwiąż równanie
2 x  6  2 x  3   x 2  9  15  5x  0 .
Zad.4. Dla jakiej wartości parametru
2
równanie
x  22
 1  a  1 ma dokładnie 3
pierwiastki?
Zad.5. Dla jakich wartości parametru k równanie x  1  2k  4 ma dokładnie 5 rozwiązań?
Zad.6. Rozwiąż równanie x 2  y 2  6 x  2 y  10  0.
Zad.7. Znajdź wszystkie liczby pierwsze x, y, z spełniające równanie xyz  5x  y  z  .
 yz  6

Zad. 8. Liczby x, y, z są rozwiązaniami układu równań:  zx  2 . Oblicz wartość sumy : x  y  z.
 xy  3

x 2  9  4 y

Zad. 9. Rozwiąż układ równań  y 2  1  6 z
z 2  4  2x

Zad.10. Cena biletu na mecz wynosiła 45 zł. Gdy cenę obniżono, okazało się, że na mecz przychodzi
50% widzów więcej, a dochód ze sprzedaży biletów wzrósł o 25%. O ile obniżono cenę biletu?
Zad. 11. Przyjmijmy cenę komputera 2000 zł, cenę drukarki 1500 zł, cenę oprogramowania 2000 zł.
Jeżeli komputer zdrożał o 10%, drukarka o 15% to o ile procent należy obniżyć cenę oprogramowania,
aby cena zestawu nie zmieniła się?
Zad. 12. Średnia wieku drużyny piłkarskiej (11 osób) jest równa 22 lata. Jeden z piłkarzy po
otrzymaniu czerwonej kartki opuścił boisko i wówczas średnia wieku pozostałych zawodników
wyniosła 21 lat. Ile lat miał piłkarz, który zszedł z boiska?
7
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zad. 13. Bartek i Tomek chodzą do klasy, w której chłopcy stanowią nie mniej niż 93% i nie więcej niż
94% liczby wszystkich uczniów klasy. Ile osób liczy klasa, jeżeli wiadomo, że chłopców jest mniej niż
38, a różnica między liczbą chłopców i dziewcząt jest liczbą pierwszą.
Zad. 14. Spośród 300 uczniów klas drugich i trzecich liceum 100 wzięło udział w olimpiadzie
matematycznej, 80 – w fizycznej, 60 – w informatycznej; w tym 23 – w matematycznej i fizycznej,
16 – w matematycznej i informatycznej, 14 – w fizycznej i informatycznej, a 5 uczniów wzięło udział
we wszystkich trzech olimpiadach. Ilu uczniów wzięło udział:
a) tylko w olimpiadzie matematycznej,
b) tylko w jednej olimpiadzie,
c) w co najmniej jednej olimpiadzie?
Zad. 15. Na pewnej wyspie mieszka 300 dzikusów, z których każdy jest matematykiem lub filozofem
lub ludożercą. Połowa ludożerców zajmuje się filozofią, połowa filozofów matematyką, a połowa
matematyków to ludożercy. Wiedząc, że żaden z ludożerców nie zajmuje się filozofią i matematyką,
odpowiedz na pytanie, z ilu osób składają się te grupy.
Zad. 16. Bartek ma o 10% więcej pieniędzy niż Adam, ale o 10% mniej niż Czesiek. O ile procent
więcej pieniędzy od Adama ma Czesiek? Ile pieniędzy ma każdy z chłopców, jeśli razem mają mniej
niż 300 pln i każdy ma całkowitą liczbę złotych?
Zad. 17. Pan Kowalski kupił nowy samochód. Z prospektu wynika, że zużywa on 7 l / 100 km paliwa
poza miastem i 10 l / 100 km w mieście. Po przebyciu 1500 km okazało się, że spalił 132 litry
benzyny. Ile kilometrów pan Kowalski przejechał w mieście?
Zad. 18. Uczniowie zobowiązali się do uporządkowania ogródka szkolnego w ciągu 80 dni i
zobowiązanie wypełnili w ciągu 60 dni. Ilu uczniów pracowało w ogródku, jeżeli nawet przy ilości o 12
mniejszej zobowiązanie byłoby wypełnione w terminie?
Zad. 19. Po okręgu o długości 80 cm poruszają się punkty A i B. Jeżeli kierunki ruchu punktów są
zgodne, to A wyprzedza B co 5 sekund; jeżeli natomiast są przeciwne, to punkty się mijają co 2
sekundy. Oblicz prędkości tych punktów.
8
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zestaw VI
Zad. 1.
Dany
jest trójkąt o bokach długości a, b, c . Rozstrzygnij, czy z odcinków
długości
a , b , c można zbudować trójkąt. Odpowiedź uzasadnij.
Zad.2. W trójkącie
CM 
punkt
jest środkiem boku
oraz ACB  120 . Udowodnij, że
3
 AB .
6
Zad. 3. Dany jest taki trójkąt ABC, że ACB  45 . Punkt M jest środkiem boku AB tego trójkąta.
Wykaż, że
CM
AB

1 2
.
2
Zad.4. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny od wierzchołków danego
czworokąta jest większa od połowy obwodu tego czworokąta.
Zad.5. Wykaż, że połowa sumy długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości środkowej
trzeciego boku.
Zad.6. Niech a, b, c będą długościami boków w dowolnym trójkącie. Uzasadnij, że prawdziwa jest
nierówność a 2  b 2  c 2  2ab  bc  ca  .
Zad. 7. Wykaż, że suma długości środkowych trójkąta jest większa od połowy obwodu i mniejsza od
obwodu tego trójkąta.
Zad. 8. Uzasadnij, że „Jeśli a i b są długościami boków dowolnego trójkąta, to prawdziwa jest
nierówność: a 2  b 2  4  P
Zad. 9. Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na przedłużeniu boku AC poza punkt C wybrano punkt
D. Na przedłużeniu boku BC poza punkt C wybrano taki punkt E, że BD  DE .
Wykazać, że AD  CE .
Zad. 10. W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD i BE. Kąty CAD i CBE mają miary
Wykazać, że trójkąt ABC jest równoboczny.
.
9
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zad.11. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, AC  BC . Punkt O leży na boku AB. Wykaż, że
suma odległości punku O od ramion AC i BC jest równa odległości wierzchołka A od boku BC.
Zad.12. Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu M trójkąta równobocznego od trzech boków
tego trójkąta jest stała ( tzn. nie zależy od położenia punktu M).
10
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zestaw VII
Zad. 1. W trójkącie równoramiennym ABC, AC= BC, środek okręgu wpisanego oznaczono przez
W, a środek okręgu opisanego przez O. Załóżmy, że  ACB= 48 . Oblicz  WAO.
Zad. 2. Na przedłużeniach boków trójkąta ABC odkładamy odcinki odpowiednio równe tym bokom.
Oblicz pole powstałego w ten sposób sześciokąta, jeżeli pole trójkąta ABC wynosi 1.
Zad. 3. W kwadracie ABCD o boku długości 1 punkt E leży na boku BC, punkt F leży na boku CD. Miary
kątów EAB i EAF wynoszą odpowiednio 20 i 45. Oblicz wysokość trójkąta AEF poprowadzoną z
wierzchołka A.
Zad. 4. W pewnym prostokącie z przeciwległych wierzchołków poprowadzono proste prostopadłe do
przekątnej prostokąta. Prostopadłe te podzieliły przekątną na trzy części o równych długościach.
Długość jednego z boków prostokąta wynosi 2 2 . Oblicz długość drugiego boku.
Zad.5. Na jednym z boków trójkąta ABC obrano punkt K. Przez punkt K poprowadzono proste
równoległe do pozostałych boków. Mając dane pola P1 i P2 dwóch powstałych trójkątów, oblicz
pole trójkąta ABC.
Zad.6. W trójkącie prostokątnym na dłuższej przyprostokątnej jako na średnicy opisano półokrąg.
Wyznacz długość półokręgu, jeśli krótsza przyprostokątna ma długość 30 cm, cięciwa łącząca
wierzchołek kąta prostego z punktem przecięcia przeciwprostokątnej z półokręgiem ma długość 24
cm.
Zad. 7. Pole trójkąta wynosi 1. Ile wynosi pole trójkąta zbudowanego z jego środkowych.
Zad. 8 Stosunek długości przekątnych pewnego rombu wynosi 1:4. Jeżeli długość każdej przekątnej
zwiększymy o 2 cm , to pole rombu powiększy się o 9,5 cm2. Oblicz wysokość tego rombu.
Zad. 9. W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki AD i DB takie, że
AD
DB

1
.
3
o
Miara kąta ABC jest równa 30 . Udowodnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.
Zad. 10. Punkt S leży wewnątrz sześciokąta foremnego ABCDEF. Udowodnić, że suma pól trójkątów
ABS, CDS, EFS jest równa połowie pola sześciokąta ABCDEF.
Zad. 11. Na bokach n-kąta foremnego zbudowano na zewnątrz kwadraty. Wiadomo, że
2n-kąt, którego wierzchołkami są wierzchołki tych kwadratów nie będące wierzchołkami danego nkąta jest foremny. Udowodnij, że n = 6.
Zad. 12. W rombie ABCD poprowadzono przekątne, które przecinają się w punkcie O. Wykazać, że
środki okręgów wpisanych w trójkąty AOD, BOC, COD i AOB są wierzchołkami kwadratu.
Zad. 13. Uzasadnij, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego
długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw.
Zad. 14. Pewien kwadrat i półkole mają równe obwody. Która z tych figur ma większe pole?
11
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zad. 15. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym wysokość h poprowadzona z wierzchołka kąta
prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości c1 , c 2 , dla których h 
c1  c 2 .
Zad.16. Wykaż, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach długości a, b,
c, gdzie c to długość przeciwprostokątnej, wyraża się wzorem:
abc
.
2
Zad.17. Wykaż, że jeśli suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia
okręgu wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny.
Zad. 18. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli przeciwległy bok w stosunku 2:3.
Oblicz
r
, gdzie r oznacza długość promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt, a R – długość
R
promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zad. 19. We wnętrzu kąta o mierze
odpowiednio 4 6 i
leży punkt S. Odległość punktu S od ramion kąta wynosi
6 . Oblicz odległość punktu S od wierzchołka O tego kąta.
Zad. 20. Z wierzchołka C kąta prostego w trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono wysokość CD.
Udowodnij, że długość wysokości CD jest równa sumie długości promieni okręgów wpisanych w
trójkąty: ABC, ACD, BCD.
Zad. 21. W trójkącie ostrokątnym ABC punkt H jest punktem przecięcia wysokości. Wyznacz miarę
kąta przy wierzchołku C tego trójkąta, jeżeli AB  CH .
12
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
ZADANIA RÓŻNE
ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM METODY SZUFLADKOWEJ
Zad.1. Uzasadnij, że spośród dowolnych pięciu liczb całkowitych niepodzielnych przez 5 zawsze
można wybrać dwie, których różnica dzieli się przez 5.
Zad.2. Spośród liczb: 1, 2, 3, ..., 199, 200 wybrano 101 liczb. Dowieść, że wśród wybranych liczb są
dwie kolejne liczby.
Zad. 3. Na odcinku [0,1] leży dziewięć różnych punktów. Uzasadnij, że wśród tych punktów są dwa
punkty odległe od siebie o nie więcej niż ⅛
Zad.4. Wykazać, że wśród pięciu dowolnie wybranych osób istnieją co najmniej dwie, które posiadają
tą samą liczbę znajomych wśród wybranych osób.
Zad.5. W bloku mieszkają 123 osoby. Suma ich wieku wynosi 3813 lat. Czy można wybrać 100 osób
spośród mieszkańców owego bloku, którzy razem mają nie mniej niż 3100 lat?
Zad. 6. Udowodnij, że jeżeli w kwadracie o boku długości 1 wybierzemy 51 punktów, to wśród nich są
3 takie, które należą do pewnego koła o promieniu
1
7
Literatura
1. M. Kurczab, E. Kurczab, E. Świda, Matematyka zbiór zadań dla liceów i techników kl.I
2. A. Śnieżek, P. Tęcza, Zbiór zadań z algebry dla szkół średnich
3. H. Pawłowski, Matematyka zbiór zadań kl. I,
4. M. Bury, A. Kałuża, Trening przed zawodami matematycznymi
5. Zadania do matexu www.staszic.waw.pl
6. K. Dworacka, Z. Kochanowski, Konkursy matematyczne
9. T. Szymczyk, Przed konkursem matematycznym
10. J. Kwolik, T. Szwed, Matematyka dla odważnych
11. B. Mokrski, J. Siwy, T. Szymczyk Matematyczny sezam
13
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Rozwiązania zadań – maj 2015
Zestaw I
Zad.1. n   1, 0, 2, 3
Zad. 2. k   1, 0, 1, 4
Zad.3.
Zad.4. a)
nn  1n  2 
,
6
b)
nn  1n  2 n  3
24
Zad. 10.
lub
Zad. 11 a) x, y   0,0, 2,2 ,
b) x, y   7,8, 15,0, 37,2, 5,30,  29,4,  7,6, 1,14, 3,36,
c) x, y   1,0,  1,0
d) x, y   3,2, 1,4, 5,0,  1,2
Zad.12.
.
Zad.13.
400 i 8, 16 i 200
Zad.15.
840, 924
Zad.16. 209 lub 419 lub 629 lub 839.
Zad.17. reszta wynosi 7
Zad. 18.Szukane pary to: 24 i 144, 48 i 120, 72 i 96.
Zad. 21.1994 dziewiątek
Zad. 22.RAK = 954
Zad.23. 1986 stron
Zestaw II
Zad. 1.
a) 21 2  30 b) 2005  1
Zad.3.
Wartość wyrażenia wynosi 1.
Zad. 6.
Wartość tego wyrażenia wynosi 4
Zad.9.
.
Zad.10. a) 1 b) 0
Zad. 11.  52
Zad. 12. x  3; x 
c)
n
3
.
2
Zestaw IV
Zad. 2. a)
b) funkcja f przyjmuje dwa razy każdą wartość dodatnią;
funkcja f przyjmuje tylko raz każdą wartość z przedziału
.
Zad.3.
Zad. 8. 2014
Zad. 9. f  x  
3
7
x .
2
2
Zad.11.
Zestaw V
Zad. 1.
Zad.2. (x, y, z) = (2,1,1)
Zad. 4. a=2
Zad.5. k =
Zad. 6.
Zad. 7.
Zad.9. Układ nie ma rozwiązania
Zad.12. 32 lata
14
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM
Zadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2015
Zad. 13.
Zad. 14.
Zad. 18.
Zad. 19.
Zad. 19.
33 uczniów
a) 66 uczniów, b) 149 uczniów, c) 192 uczniów
Adam ma 90 pln, Bartek ma 99 pln, Czesiek ma 110 pln.
48 uczniów.
Prędkość punktu A jest równa
; prędkość punktu B jest równa
.
Zestaw VII
Zad.18.
Zad.19.
Zad. 21.
15
Opracowanie – zespół nauczycieli RKM