Dyfuzja nośników

Wykład V
Nośniki nadmiarowe w półprzewodnikach
cd.
• Dyfuzja i unoszenie nośników
• Prąd wstrzykiwania, długość drogi dyfuzji
• Gradienty quazi-poziomów Fermiego
1
Główne mechanizmy transportu prądu :
- dyfuzja jako wynik gradientu koncentracji
-dryft (unoszenie) w wyniku istnienia pola elektrycznego
Dyfuzja nośników: jakikolwiek gradient n lub p powoduje ruch
nośników z obszaru o wyższej koncentracji do obszaru o niższej
koncentracji
Proces dyfuzji zachodzi w wyniku chaotycznego ruchu termicznego i
zderzeń z siecią oraz z domieszkami
2
Dyfuzja nośników
Strumień cząstek poruszających się w wyniku dyfuzji:
dn( x )
dx
nazywa się współczynnikiem dyfuzji elektronów
 n ( x )   Dn
Dn
 p ( x)   D p
dp( x )
dx
Prąd dyfuzyjny na jednostkę powierzchni = (strumień cząstek) x
(ładunek nośników)
J n (dyf )  (q) Dn
J p (dyf )  ( q ) D p
dn( x)
dn( x)
  qDn
dx
dx
dp( x)
dp( x)
 qD p
dx
dx
3
Jeśli dodatkowo istnieje pole elektryczne:
J n ( x)  q n n( x) ( x)  qDn
dn( x)
dx
dp( x)
J p ( x)  q p p( x) ( x)  qD p
dx
Całkowita gęstość prądu : J(x) = Jn(x) + Jp(x)
4
Dyfuzja i unoszenie nośników - przykład
Uwaga: nośniki mniejszościowe mogą dawać istotny wkład do
prądu dyfuzyjnego ( gradienty!) , zaś zwykle niewielki do prądu
unoszenia (~ do koncentracji).
5
Diagram pasmowy i pole elektryczne
Ruch nośników w polu elektrycznym :
Natężenie pola elektrycznego:
 ( x)  
dV ( x )
dx
V ( x )  E ( x ) /( q)
 ( x)  
dV ( x)
d  E ( x)  1 dE ( x)
 


dx
dx  (q)  q dx
dla  ( x)   , E ( x)  q x
6
Złącze półprzewodnikowe
W stanie równowagi gradient poziomu Fermiego jest równy zeru!
dE F
0
dx
7
Dla energii E, szybkość przejścia elektronów ze stanu 1 do stanu 2 jest ~
do liczby stanów zajętych o energii E w materiale 1 razy liczba stanów
pustych o energii E w materiale 2 :
- Szybkość przejścia z 1 do 2 :  {N 1 ( E ) f1 ( E )}  {N 2 ( E )[1  f 2 ( E )]}
- Szybkość przejścia z 2 do 1 :
- w stanie równowagi :
 {N 2 ( E ) f 2 ( E )} {N 1 ( E )[1  f1 ( E )]}
{N1 ( E ) f1 ( E )} {N 2 ( E )[1  f 2 ( E )]}  {N 2 ( E ) f 2 ( E )} {N1 ( E )[1  f1 ( E )]}
- a stąd:
N 1 ( E ) f1 ( E ) N 2 ( E )  N 1 ( E ) f1 ( E ) N 2 ( E ) f 2( E ) N 2 ( E ) f 2 ( E ) N 1 ( E )  N 2 ( E ) f 2 ( E ) N1 ( E ) f1 ( E )
- więc :
- zatem :
N 1 ( E ) f1 ( E ) N 2 ( E )  N 2 ( E ) f 2 ( E ) N 1 ( E )
1
1
f
(
E
)


f
(
E
)


f1 ( E )  f 2 ( E )
1
2
( E  E F 1 ) / kT
1  e ( E  E F 2 ) / kT
1 e
E F1  E F 2
dE F
0
dx
A więc w stanie równowagi gradient poziomu
Fermiego jest równy zeru!
8
W stanie równowagi, prze półprzewodnik nie płynie prąd ! Zatem jeśli na
skutek fluktuacji nastąpi przepływ prądu dyfuzyjnego to natychmiast
pojawia się pole elektryczne, które niweluje ten prąd.
Prąd dziurowy w stanie równowagi,
J p ( x)  q p p( x) ( x)  qD p
 ( x) 
Dp
p
Ponieważ
dp( x)
0
dx
Dp
dp 0 ( x )
1 dp( x )
1

p( x ) dx
 p p0 ( x ) dx
p0  ni e
( E i  E F ) / kT
to
D p 1  dE i dE F 
 ( x) 



 p kT  dx dx 
W stanie równowagi
dE F
0
dx
oraz
dE i
 q (x )
dx
Stąd otrzymuje się relację Einsteina :
D
kT
dV ( x )
d  E i  1 dE i

(
x
)






uwaga :


dx
dx  (q)  q dx

q
9
Współczynnik dyfuzji i ruchliwość nośników w
półprzewodnikach samoistnych w T= 300K.
 p (cm2 / Vs)
Dn (cm 2 / s)
D p (cm / s)
n (cm 2 / Vs )
Ge
100
50
3900
1900
Si
35
12.5
1350
480
GaAs
220
10
8500
400
2
D


kT
q
10
Dyfuzja i rekombinacja ; Równanie ciągłości
Analizując procesy dyfuzji do tej pory zaniedbywana była
rekombinacja. Tymczasem musi być brana pod uwagę przy analizie
transportu prądu, gdyż prowadzi do zmiany dystrybucji nośników.
Rozważmy prąd wchodzący i wychodzący z elementu objętości ∆xA.
11
Równania ciągłości dla elektronów i dziur
• szybkość wzrostu ilości dziur = [wzrost koncentracji w elemencie
objętości (xA)] – [szybkość rekombinacji]
p
t
Jeśli
x  x  x
1 J p ( x )  J p ( x  x ) p


q
x
p
x  0 , zmianę prądu można zapisać w postaci różniczki:
p( x, t )  p
1 J p  p



dla dziur
t
t
q x  p
n( x, t )  n
1 J n  n



dla elektronów
t
t
q x  n
Są to równania ciągłości, odpowiednio dla dziur i elektronów
12
Równania ciągłości dla elektronów i dziur
Jeśli założyć, że nie ma prądu unoszenia :
dn( x)
 n
J n  J n (dyf )   qDn
 qDn
dx
x
n
 2n n
 Dn

2
t
n
x
i podobnie dla dziur:
p
 2p p
 Dp

2
t
x
p
Są to równania opisujące proces dyfuzji, któremu towarzyszy proces
rekombinacji.
13
Stan stacjonarny
n
 n n
 Dn

0
2
t
n
x
2
 n
n
Dn

2
n
x
2
Można przejść do różniczek zupełnych, bo w stanie stacjonarnym nie ma
zależności od czasu
d 2n
n
n

 2
2
Dn n Ln
dx
Ln  Dn n
d 2p
p
p

 2
2
D p p L p
dx
L p  D p p
Długość dyfuzji dla
elektronów
Długość dyfuzji dla
dziur
14
d 2n
n
n

 2
2
Dn n Ln
dx
Ln  Dn n
d 2p
p
p

 2
2
D p p L p
dx
L p  D p p
 p( x )  C 1 e
x / Lp
 C 2e
 x / Lp
Długość dyfuzji dla
elektronów
Długość dyfuzji dla
dziur
(rozwiązanie
ogólne)
Przykład
Załóżmy, że dziury są wstrzykiwane w x = 0, i koncentracja dziur
Jest utrzymywana na stalym poziomie, tak, że p(x=0) = Δp. Wówczas z war.
brzegowych : p(x) = 0  C1 = 0 i C2 = Δp, oraz
p( x )  pe
 x / Lp
p( x)  p0  pe
 x / Lp
Dp
dp( x )
J p ( x )  qD p
q
 p( x )
dx
Lp
15
Na skutek rekombinacji, wstrzyknięta nadmiarowa koncentracja dziur maleje
wykładniczo ze wzrostem x. Długość dyfuzji (Lp), odpowiada odległości przy
której nadmiarowa koncentracja dziur spada do wartości 1/e z wartości (Δp) .
Wstrzyknięcie dziur w x = 0, prowadzi do rozkładu stacjonarnego p(x) i
prądu dyfuzyjnego Jp(x).
16
Gradienty quasi-poziomów Fermiego
W stanie równowagi gradEF = 0. Pojawienie się prądu unoszenia i dyfuzji
prowadzi do gradientów quasi-poziomów Fermiego:
dn( x )
J n ( x )  q n n( x ) ( x )  qDn
dx
D
kT
dn( x ) d
n( x )  dFn dE i 
( F  E ) / kT

ni e
  kT  dx  dx 

dx
dx

q


dE i 
 dF
J n ( x )  q n n( x ) ( x )   n n( x )  n 
dx 
 dx
n
i
 dF

 q n n( x ) ( x )   n n( x )  n  q ( x )
 dx

dFn
d ( Fn / q)
d ( Fn / q)
  n n( x )
 q n n ( x )
  n ( x)
dx
dx
dx
J p ( x)  q  p p ( x)
d ( Fp / q)
dx
  p ( x)
d ( Fp / q)
dx
*
zmodyfikowane
prawo Ohma
Procesy unoszenia i dyfuzji nośników są równoważne przestrzennej
17
zmianie quasi-poziomów Fermiego