Temat: Struktury do przechowywania danych w pamięci zewnętrznej

Temat: Struktury do przechowywania danych w pami ci
zewn trznej. B - drzewa. B* - drzewa. B+ - drzewa.
Podstawow jednostk w operacjach wej cia - wyj cia
zwi zanych z dyskiem (pami ci zewn trzn ) jest blok.
czas dost pu
||
czas szukania cie ki
+
bezwładno obrotowa (ok. 1/2 obrotu)
+
czas przesyłania
1
Przykład
Załó my, e dysk ma nast puj ce parametry:
• 40 ms trwa znalezienie cie ki,
• wykonuje 3000 obrotów na minut ,
• przesyła dane do pami ci wewn trznej z pr dko ci
1000 kB/s.
1. Odczytujemy blok 5kB z dysku i przesyłamy do pami ci
wewn trznej:
czas dost pu = 40 ms + 10 ms +5 ms = 55 ms
2. Odczytujemy dwa bloki po 5 kB z dysku i przesyłamy do
pami ci wewn trznej:
czas dost pu = 2 ⋅ ( 40 ms + 10 ms + 5 ms) = 110 ms
3. Odczytujemy blok 10 kB z dysku i przesyłamy do pami ci
wewn trznej:
czas dost pu = 40 ms + 10 ms +10 ms = 60 ms
Ka dy dost p do dysku jest bardzo kosztowny. Dane w
pami ci zewn trznej powinny by uj te w tak struktur , która
minimalizuje liczb dost pów.
2
Przyjmijmy, e w pliku znajduje si n danych. Rozmiar
bloku danych, który przesyłamy do pami ci wewn trznej
wynosi k.
Rozwa amy algorytmy realizacji operacji słownikowych:
• search(d, S) - wyszukiwanie danych d w zbiorze S
• insert(d, S) - dodanie danych d do zbioru S
• delete(d, S) - usuwanie danych d ze zbioru S.
1. Pliki nieuporz dkowane
Jeden dost p do pliku realizuje zapis albo odczyt bloku
zawieraj cego k danych.
• search(d, S) : Algorytm wyszukiwania polega na
przesłaniu co najwy ej n/k bloków.
• insert(d, S) : Algorytm wstawianiu wymaga przesłania co
najwy ej n/k bloków w celu sprawdzenia, czy element
d ∈S. Je eli ostatni blok jest pełny i d∉S, to element d
jest wstawiany do nowego, n/k +1 bloku i nowy blok
jest przesłany (zapisywany) w pliku. Tak wi c koszt
pesymistyczny całej operacji wynosi n/k +1.
3
• delete(d, S) : Algorytm usuwania wymaga przesłania co
najwy ej n/k bloków w celu sprawdzenia, czy element
d ∈S. Je eli element d znajdował si w bloku o numerze
i, to blok ten jest uzupełniany ostatnim elementem z
bloku o numerze n/k , a nast pnie zostaje zapisany jako
blok o numerze i. Zmieniony ostatni blok pliku jest
równie zapisywany na dysku, o ile po usuni ciu
z niego elementu ni stał si pusty.
Koszt całkowity operacji delete wynosi wi c:
i+1+2. Je eli i = n/k -1, to koszt wynosi:
n/k -1+1+2= n/k +2 i jest to koszt pesymistyczny
operacji delete.
l
l
d
1
2
3
............
i
.......... n/k -1
n/k
Podstawow wad tej struktury jest:
- długi czas działania operacji,
- zestaw danych jest nieuporz dkowany.
Podstawow zalet natomiast jest to, e:
- nie jest u ywana dodatkowa pami ,
- prostota algorytmów.
4
Struktura
plików
nieuporz dkowanych
mo e
by
zastosowana, gdy dane s zawsze przetwarzane sekwencyjnie,
bez wykorzystania porz dku.
2. Struktury danych realizuj ce wył cznie wyszukiwanie
w pliku danych
a) Pliki z funkcj mieszaj c
Załó my, e mamy okre lon funkcj mieszaj c :
h : U → {0,1,... n / k − 1},
gdzie U jest uniwersum słownika
Warto ci funkcji haszuj cej jest numer bloku, w którym
powinien znajdowa si wyszukiwany element. Tablica
haszuj ca zawiera adresy bloków. Tablica ta jest równie
zapisana na dysku. Algorytm wyszukiwania polega na
przesłaniu do pami ci wewn trznej bloku o numerze h(d).
Koszt operacji jest zatem stały.
Zalet tej metody jest bardzo szybki czas realizacji operacji
search. Wad jest zu ycie dodatkowej pami ci dyskowej na
tablic haszuj c . Struktura taka nie powinna by u ywana,
gdy słownik jest modyfikowany, czyli realizowane jest
usuwanie b d wstawianie.
5
b) Sekwencyjne pliki indeksowe
W tej metodzie dane przechowywane s w tzw. pliku
głównym, uporz dkowanym wg danej relacji. Oprócz pliku
głównego tworzony jest plik pomocniczy nazywany indeksem
rzadkim. Dla ka dego bloku pliku głównego w indeksie
rzadkim znajduje si para (v, b), gdzie b jest adresem
(numerem) bloku, a v najmniejsz dan w bloku według
relacji porz dkuj cej.
Plik główny i indeks rzadki
(1, 1) (9, 2) (17, 3) (51, 4)
1: 1 2 5 8
2: 9 10 13 15
....
3: 17 18 45 49
4: 51 53 80 91
Zauwa my, e plik główny ma n/k bloków, a indeks rzadki
n/k2 bloków.
Algorytm wyszukiwania search(d, S) realizuje albo:
• sekwencyjne przegl danie bloków indeksu rzadkiego, a do
momentu:
(*) znalezienia bloku (v, b) w pliku indeksu rzadkiego
takiego, e v>d. Do pami ci wewn trznej przesyłany jest
blok b-1. Je eli dla wszystkich par indeksu rzadkiego
warunek v>d nie jest spełniony, to przesyłamy ostatni blok
pliku
głównego.
Koszt
pesymistyczny
operacji
wyszukiwania wynosi 1+ n/k2
6
albo
• binarne wyszukiwanie bloku spełniaj cego warunek (*).
Koszt pesymistyczny
wówczas
2+log2 n/k2 .
operacji wyszukiwania wynosi
Zalet tej struktury jest niski czas wyszukiwania (zwłaszcza
przy zastosowaniu wyszukiwania binarnego) i fakt, e dane w
pliku s uporz dkowane. Wad natomiast jest konieczno
utworzenia dodatkowego pliku indeksu rzadkiego i fakt, e nie
opłaca si w tej strukturze, ze wzgl du na wysoki koszt
czasowy, realizacja pozostałych operacji słownikowych.
3. Definicja B - drzewa ( B - drzewo klasyczne)
B - drzewo T jest drzewem wielokierunkowym z korzeniem
o nast puj cych własno ciach:
1. Ka dy w zeł x ma nast puj ce pola:
(a) n[x] - liczba kluczy aktualnie zapami tanych w w le
x,
(b) n[x] kluczy zapami tanych w porz dku niemalej cym
key1 [x]≤ key2 [x] ≤...≤ keyn[x] [x]
(keyi [x]- i - ty klucz w w le x)
(c) leaf[x] - pole logiczne, którego warto ci jest 1, je li x
jest li ciem albo 0, je li x jest w złem wewn trznym.
Typ wska nika na w zeł B - drzewa oznaczmy przez wsk.
7
2. Je li x jest w złem wewn trznym, to zawiera tak e n[x]+1
wska ników do synów c1 [x], c2 [x], cn[x]+1 [x]. Li cie nie
maj synów, wi c ich pola ci nie s zdefiniowane.
Schemat budowy w zła wewn trznego x typu wsk
n[x]
key1 [x] key2 [x] ...... keyn[x] [x] leaf[x]
c1 [x]
c2 [x] ...... cn[x][x] cn[x]+1 [x]
3. Klucze keyi [x] rozdzielaj przedziały kluczy pami tanych w
poddrzewach:
Je li ki jest dowolnym kluczem z poddrzewa o korzeniu
ci[x], to
k1 ≤ key1 [x ] ≤ k 2 ≤ key 2 [x ] ≤ ... ≤ key n [ x ] [x ] ≤ k n [ x ]+1
4. Wszystkie li cie le
na tej samej gł boko ci.
5. Istniej dolne i górne ograniczenia na liczb kluczy w
danym w le. Ograniczenia te zale od ustalonej liczby
całkowitej t ≥ 2 nazywanej minimalnym stopniem
B-drzewa.
(a) Ka dy w zeł ró ny od korzenia musi mie co najmniej
t-1 kluczy. Ka dy w zeł wewn trzny ró ny od korzenia
ma zatem co najmniej t synów. Je li drzewo jest
niepuste, to korze musi mie co najmniej jeden klucz.
(b) Ka dy w zeł mo e zawiera co najwy ej 2t-1 kluczy.
Dlatego ka dy w zeł wewn trzny mo e mie co
8
najwy ej 2t synów. Powiemy, e w zeł jest pełny, je li
zawiera dokładnie 2t-1 kluczy.
Najprostsze B-drzewo ma minimalny stopie t = 2. Ka dy
w zeł wewn trzny ma wtedy 1, 2 lub 3 synów. W praktyce
u ywa si du o wi kszych warto ci t (co najmniej 100).
Przykład
B-drzewo o minimalnym stopniu t = 3. Ka dy w zeł
wewn trzny ró ny od korzenia ma co najmniej t-1=2 kluczy i
co najwy ej 2t-1=5 kluczy. Ka dy w zeł wewn trzny ma 6
wska ników.
1 30
2 10 20
3 1 3
4
0
2 40 60
0
1
4 12 13 14 18
4. Maksymalna wysoko
1
4 22 24 26 28
0
1
... ... ...
B- drzewa
Mo na si spodziewa , e koszt operacji słownikowych
zrealizowanych na B-drzewie zasadniczo zale y od jego
wysoko ci. Przez n oznaczymy rozmiar słownika.
Jaka b dzie maksymalna wysoko B-drzewa dla danego n≥1
i minimalnego stopnia t≥2?
9
Je eli B - drzewo ma wysoko h, to liczba jego w złów jest
najmniejsza, gdy korze zawiera jeden klucz, a wszystkie
pozostałe w zły zawieraj t-1 kluczy.
1
...
t-1
...
t-1
...
t-1
t-1
t-1
t-1 ... t-1
t-1
t-1
t-1
Gł boko
n ≥ 1 + (t − 1)
St d:
h ≤ log t
2t
i =1
... t-1
t-1
t-1
... t-1
Liczba w złów
0
1
2
3
4
h
...
1
2
2t
2t2
i −1
t h −1
= 1 + 2(t − 1)
= 2t h − 1
t −1
n +1
2
4. Wyszukiwanie w B-drzewie
x - wska nik na B-drzewo, k - poszukiwany klucz
Je eli k znajduje si w drzewie, to warto ci funkcji
B_tree_search jest wska nik na w zeł, w którym znajduje si
poszukiwany klucz.
Je eli k nie ma w drzewie, to funkcja zwraca adres pusty.
10
B_tree_search(x, k)
i=1;
while (i<=n[x] && k>keyi [x]) i++;
if (i<= n[x] && (k == keyi [x])
return x;
if (leaf[x]) return NULL;
else
{
Disk_Read(ci [x]);
return B_tree_search(ci [x],k);
}
Zło ono czasowa
Liczba dost pów do stron na dysku w funkcji B_tree_search
wynosi
Θ(h ) = Θ(log t n ) ,
gdzie h jest wysoko ci drzewa, a n liczb zapisanych w nim
kluczy.
6. Tworzenie pustego B-drzewa
Wstawienie pierwszego klucza do B - drzewa jest
poprzedzone utworzeniem pustego w zła, który b dzie
korzeniem drzewa (adres root).
B_tree_Create (root)
“przydziel pam dla root”;
leaf[root]=1;
n[root]=0;
Disk_Write(root);
11
Koszt czasowy operacji tworzenia pustego B-drzewa jest O(1)
ze wzgl du na liczb dost pów dyskowych.
7. Rozbijanie w zła w B-drzewie
Kluczowym elementem algorytmu wstawiania do B - drzewa
jest rozbijanie "pełnego" w zła y na dwa w zły o t-1 kluczach.
W zeł y jest rozbijany wzgl dem rodkowego klucza keyt [y],
który jest przesuwany do ojca w zła y. Załó my tymczasowo,
e ojciec w zła y nie jest "pełny". Je eli w zeł y jest
korzeniem drzewa (nie ma ojca), to wysoko drzewa po
rozbiciu ro nie o 1.
x - "niepełny" w zeł wewn trzny, znajduj cy si w pami ci
wewn trznej, i - indeks z zakresu 1..n[x]+1, y - "pełny" w zeł
taki, e y = ci [x]. Procedura B_tree_Split_Child rozbija y na
dwa w zły i zmienia x tak, aby był uwzgl dniony jego nowy
syn.
B_tree_Split_Child(x, i, y)
„przydziel adres nowemu w złowi z”;
leaf[z]=leaf[y]; n[z]=t-1;
for (j=1; j<=t-1; j++) keyj [z]= keyj+t [y];
if (!leaf[y])
for (j=1; j<=t; j++) cj [z]= cj+t [y];
n[y]=t-1;
for (j=n[x]+1;j>=i+1;j--) cj+1 [x]= cj[x];
ci+1 [x]= z;
for (j=n[x]; j>=i; j--) do keyj+1 [x]= keyj[x];
keyi [x]= keyt[y];
n[x]=n[x]+1;
Disk_Write(y);
Disk_Write(z);
Disk_Write(x);
12
Przykład
x
keyi-1[x] keyi[x]
...
keyi+1[x]
keyi[x]
keyi-1[x]
x
N, W ...
...
N, S, W ...
y=ci [x]
y=ci [x]
z=ci+1 [x]
P Q R
P Q R S T U V
T U V
Rozbijanie w zła z t = 4. W zeł y jest rozbijany na dwa w zły:
y oraz z, rodkowy klucz S z y zostaje przesuni ty do ojca y.
root
H
r
ADFH L N P
r
A D F
s
L N P
Rozbijanie korzenia z t = 4. Korze r jest rozbijany na dwa
w zły i jest tworzony nowy korze s. Nowy korze zawiera
rodkowy klucz z r, a oba w zły powstałe z rozbicia zostaj
jego synami. Rozbicie korzenia powoduje zwi kszenie
wysoko ci drzewa o 1.
13
Koszt czasowy realizacji procedury B_tree_Split_Child jest
równie O(1).
8. Wstawianie klucza do B – drzewa
root – korze drzewa, k- wstawiany element
B_tree_Insert(root , k)
r=root;
if (n[r]==2t-1)
{
“przydziel pami w złowi s”;
root=s; leaf[s]=0; n[s]=0; c1[s]=r;
B_tree_Split_Child(s, 1, r);
B_tree_Insert_NoFull(s, k);
}
else B_tree_Insert_NoFull(r, k);
B_tree_Insert_NoFull(x, k);
i=n[x];
if (leaf[x])
{
while (i>=1 && k<keyi [x]) do
{
keyi+1 [x]= keyi [x]; i=i--;
}
keyi+1 [x]=k; n[x]=n[x]+1;
Disk_Write(x);
}
else {
while (i>=1 && (k<keyi [x]) i--;
i++;
14
}
Disk_Read(ci [x]);
if (n[ci [x]]=2t-1)
{
B_tree_Split_Child(x, i, ci [x]);
if (k> keyi [x]) i++;
}
B_tree_Insert_NoFull(ci [x], k);
Przykład (t = 3)
a) pocz tkowe drzewo
G M P X
ACDE
JK
N0
RSTUV
YZ
b) po wstawieniu B
G M P X
A BC D E
JK
N0
RSTUV
YZ
c) po wstawieniu Q
G M P T X
A BC D E
JK
N0
QRS
UV
YZ
d) po wstawieniu L
P
G M
A BC D E
JK L
T X
N 0
Q R S
U V
Y Z
15
e) po wstawieniu F
P
C G M
A B
DEF
JK L
T X
N 0
Q R S
U V
Y Z
Koszt pesymistyczny operacji wstawiania do B - drzewa jest
rz du wysoko ci drzewa O(h)=O(logt n).
Jak cz sto mo na si spodziewa konieczno ci rozdzielania
w złów?
Rozdzielanie korzenia B-drzewa powoduje powstanie dwóch
nowych w złów. We wszystkich pozostałych przypadkach
rozdzielanie zwi ksza liczb w złów w B - drzewie tylko o 1.
Podczas konstruowania B - drzewa o p - w złach rozdzielenie
w zła trzeba wykona p - h razy, gdzie h jest wysoko ci B drzewa. W B - drzewie o p w złach i minimalnym stopniu t
jest co najmniej 1 + (t − 1)( p − 1) kluczy.
Proporcja liczby rozdziele do liczby kluczy w B - drzewie
dana jest zatem wzorem:
p−h
1 + (t − 1)( p − 1)
Po podzieleniu licznika i mianownika przez p-h i obserwacji,
e
1
d
p−h
y do 0, a
p −1
p−h
d y do 1 ze wzrostem p,
wnioskujemy, e rednie prawdopodobie stwo rozdzielania
1
wynosi: t − 1 . Na przykład, gdy t = 5 prawdopodobie stwo to
jest równe 0,25, ale dla t=500 wynosi tylko 0,002. Jest to
zgodnie z oczekiwaniem; im wi ksza pojemno jednego
w zła, tym rzadziej trzeba w zły rozdziela .
16
9. Usuwanie klucza z B – drzewa
Załó my, e chcemy usun klucz k z poddrzewa o korzeniu
w w le x. Zakładamy równie , e gdy z korzenia x zostaj
usuni te wszystkie klucze i x jest w złem wewn trznym, to
jest on wtedy usuwany, a jego jedyny syn ci[x] zostaje nowym
korzeniem drzewa. W ten sposób wysoko drzewa jest
zmniejszana o jeden, a własno , e korze drzewa zawiera co
najmniej jeden klucz, jest zachowana (chyba, e drzewo jest
puste).
Opis algorytmu usuwania klucza z B - drzewa
1. Je li klucz k jest w w le x i x jest li ciem, to usu klucz k z
x.
2. Je li klucz k jest w w le x i x jest w złem wewn trznym, to
wykonaj:
a) Niech y b dzie synem x poprzedzaj cym k. Je li y ma co
najmniej t kluczy, to w poddrzewie o korzeniu y wyznacz
poprzednik k' klucza k. Rekurencyjnie usu k' i w w le
x zast p k przez k'.
b) Symetrycznie, je li syn z, który wyst puje po k w w le x,
ma co najmniej t kluczy, to wyznacz nast pnik k' dla k w
poddrzewie o korzeniu w z. Rekurencyjnie usu k' i zast p k
przez k' w x.
c) Je li obaj synowie y i z maj tylko po t-1 kluczy, to przenie
k i wszystko z w zła z do y. W wyniku tej operacji klucz k i
wska nik do z zostaj usuni te z x. Nast pnie zwolnij
pami przydzielon dla z i usu rekurencyjnie k z y.
3. Je eli klucz k nie wyst puje w wewn trznym w le x, to
wyznacz korze ci[x] poddrzewa, w którym musi znajdowa
si k (je li tylko jest w drzewie). Je li ci[x] ma tylko t-1
kluczy, to wykonaj krok 3a) lub 3b) w celu
zagwarantowania, e zej cie rekurencyjne nast puje do
17
w zła zawieraj cego co najmniej t kluczy. Nast pnie usu
rekurencyjnie k z wła ciwego poddrzewa.
a) Je li w w le ci[x] jest tylko t-1 kluczy, ale jeden z jego
s siednich braci ma t kluczy, to umie w ci[x] dodatkowy
klucz, przesuwaj c odpowiedni klucz z x, a w jego miejsce
przenosz c klucz z lewego lub prawego brata - z tego, który
zawiera t kluczy. Na koniec przesu jeszcze z wybranego
brata do ci[x] wska nik do odpowiedniego syna.
b) Je li ci[x] i s siedni bracia maj po t-1 kluczy, to poł cz
ci[x] z jednym z s siednich braci, przesuwaj c odpowiedni
klucz z x do nowo powstałego w zła. Przesuni ty klucz jest
kluczem rodkowym w nowym w le.
Poniewa wi kszo kluczy w B - drzewie znajduje si w
li ciach, mo emy oczekiwa , e wła nie te klucze s usuwane
najcz ciej. W tym przypadku usuwanie jest wykonywane w
jednym przej ciu od korzenia do li cia. Je li jest usuwany
klucz z w zła wewn trznego, to oprócz przej cia "w dół"
drzewa mo e by jeszcze konieczny powrót do w zła, którego
klucz jest usuwany, w celu zast pienia go przez poprzednik
lub nast pnik w drzewie.
Zło ono czasowa operacji usuwania klucza z B - drzewa
jest taka sama (zarówno pesymistyczna jak i rednia) operacji
wstawiania.
18
Przykład (t = 3)
a) Pocz tkowe drzewo
P
C G M
A B
DEF
T X
JKL
NO
b) Po usuni ciu F: przypadek 1
QRS
X
UV
YZ
P
C G M
A B
DE
T X
JKL
NO
c) Po usuni ciu M: przypadek 2a
QRS
X
UV
YZ
P
C G L
A B
DE
T X
JK
NO
d) Po usuni ciu G: przypadek 2c
QRS
X
UV
YZ
P
C L
A B
DEJK
T X
NO
QRS
X
UV
YZ
19
e) Po usuni ciu D: przypadek 3b
C L P T X
A B
EJK
QRS
X
NO
UV
YZ
f) Po usuni ciu N: przypadek 3a
C L Q T X
A B
EJK
OP
RS
UV
YZ
Z definicji B - drzewa wynika, e s one wypełnione w co
najmniej 50%. Mo e si wi c zdarzy , e 50% miejsca si w
nich "marnuje". Analiza i symulacje wykazuj jednak, e po
du ej liczbie losowych wstawie i usuni B - drzewo jest
wypełnione w około 69%, a pó niejsze zmiany w proporcji
zaj tego miejsca s ju bardzo niewielkie. To, e B - drzewo
b dzie wypełnione całkowicie, jest równie mało
prawdopodobne, celowe wi c wydaje si przyj cie
dodatkowych warunków.
20
10. B* - drzewa
B* - drzewo jest odmian B - drzewa wprowadzon przez
Donalda Knutha, a nazwan tak przez Douglasa Comera.
W B* - drzewie wszystkie w zły z wyj tkiem korzenia musz
by wypełnione przynajmniej w dwóch trzecich, a nie tylko w
połowie, jak w zwykłym B - drzewie. Dokładniej, liczba
kluczy k, w nie b d cym korzeniem w le B* - drzewa, o
minimalnym stopniu t spełnia warunek:
4t − 2
≤ k ≤ 2t − 1
3
Cz sto
rozdzielania w złów zmniejszamy, opó niaj c
operacj
rozdzielania, a w odpowiednim momencie
rozdzielaj c dwa w zły na trzy zamiast jednego na dwa.
Operacj rozdzielenia opó nia si , próbuj c przemieszcza
klucze mi dzy w złem, a jego bratem, kiedy w zeł jest pełny.
21
Przykład (t = 4)
a) Drzewo pocz tkowe
K
A B C F G H I
M O R S T W Y
b)Po wstawieniu E
G O
A B C E
H I K M
R S T W Y
Zwró my uwag , e równo zostały podzielone nie tylko
klucze, ale i wolne miejsca, dzi ki czemu w zeł, który jest
pełny, mo e teraz pomie ci jeszcze jeden klucz.
Je li brat pełnego w zła jest tak e pełny, to trzeba wykona
operacj rozdzielania: tworzy si jeden nowy w zeł, klucze z
w zła i jego brata (wraz z rozdzielaj cym je kluczem z ojca)
s równo dzielone mi dzy trzy w zły, a dwa oddzielaj ce je
klucze s umieszczane w ojcu. Wszystkie trzy w zły bior ce
udział w operacji rozdzielania pozostaj
wypełnione
przynajmniej w dwóch trzecich.
22
11. B+ - drzewa
Jak zrealizowa w klasycznym B - drzewie algorytm
wypisania wszystkich kluczy w porz dku rosn cym?
Mo na by u y łatwej do zaimplementowania metody inorder,
ale dla wszystkich w złów wewn trznych byłby wypisywany
jednorazowo tylko jeden klucz naraz, a potem nast pny krok
wymagałby wczytania innego bloku.
W B - drzewie odwołania do danych wyst puj w ka dym
w le drzewa, natomiast w B+ - drzewie - jedynie w li ciach.
Wewn trzne w zły B+ - drzewa słu
jako indeksy
umo liwiaj ce szybki dost p do danych; ta cz
drzewa jest
nazywana zbiorem indeksowym. Li cie s zazwyczaj
poł czone w list . Przegl danie tej listy daje sekwencyjny
dost p do danych.
Wstawianie klucza do li cia, w którym jest jeszcze wolne
miejsce, wymaga ustawienia kluczy w tym li ciu we
wła ciwej kolejno ci. Nie zmienia si przy tym zbiór
indeksowy. Je li klucz jest wstawiany do pełnego li cia, to li
ten jest rozdzielany, nowy li jest wł czany do listy, klucze
s rozdzielane równomiernie mi dzy stary i nowy li , a
pierwszy klucz z nowego w zła jest kopiowany (a nie
przemieszczany, jak w B - drzewie) do ojca jako separator
pomi dzy tymi li mi. Je li ojciec nie jest pełny, mo e to
wymaga lokalnej reorganizacji kluczy w tym w le. Nowy
li jest tworzony i wł czany do listy, klucze s rozdzielane
mi dzy te dwa li cie, a nowy separator zostaje skopiowany z
nowego li cia do ojca. Je li ojciec jest pełny, to proces
rozdzielania post puje jak w zwykłym B - drzewie - zbiór
indeksowy jest przecie B - drzewem.
23
Przykład (t = 3)
a) Drzewo pocz tkowe
P
...
G K
A B D EF
G H I
K O
b) Po wstawieniu C
P
...
D G K
A BC
DE F
G H I
K O
Usuni cie klucza z li cia, je li nie powoduje wyst pienia
niedoboru, ogranicza si
do poprawienia ustawienia
pozostałych kluczy w kolejno ci, bez zmian w zbiorze
indeksowym. W szczególno ci, je li trzeba skasowa klucz
wyst puj cy nie tylko w li ciu, to po prostu usuwa si go z
li cia, ale pozostawia w w le wewn trznym. Powodem
takiego post powania jest to, e klucz ten nadal pomaga
znale
wła ciw cie k podczas w drówki w dół B+ drzewa, poniewa wci poprawnie separuje klucze dwóch
s siednich synów swojego w zła, chocia sam separator nie
wyst puje w adnym z tych dwóch poddrzew.
24
Przykład
a) Drzewo pocz tkowe
P
...
C F K
A B
CD
F H I
K O
b) Po usuni ciu B
P
...
F K
A C D
F H I
K O
Je li usuni cie klucza z li cia powoduje niedobór, to albo
klucze z tego li cia i jego brata s równo rozdzielane mi dzy
te dwa w zły, albo li zostaje usuni ty, a jego pozostałe
klucze s przenoszone do jego brata. Powy szy rysunek
ilustruje ten ostatni przypadek. Po usuni ciu B pojawia si
niedobór i dwa li cie s ł czone w jeden. Pierwszy klucz
prawego s siada w zła powstaj cego po poł czeniu jest
kopiowany do ojca, a klucze w ojcu s porz dkowane.
Obydwie te operacje wymagaj uaktualnienia mieszcz cego
si w ojcu klucza separuj cego dwa li cie. Usuni cie li cia
mo e te wywoła seri zł cze w złów w zbiorze
indeksowym.
25