1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1
1.1
Zmienne losowe wielowymiarowe.
Definicja i przykłady.
• Definicja 1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym (Zmienna֒ losowa֒ n-wymiarowa֒) nazy-
wamy wektor n-wymiarowy, którego składowymi są zmienne losowe Xi dla i = 1, 2, . . . , n,
X(ω)=(X1(ω), X2 (ω), . . . , Xk (ω))
• Definicja 1.2. Dystrybuanta֒ n-wymiarowej zmiennej losowej X nazywamy funkcję
FX (t1 , t2 , . . . , tn ) : IRn −→ IR określoną wzorem
FX (t1 , t2 , . . . , tn ) = P (X1 < t1 , X2 < t2 , . . . , Xn < tn )
Zajmiemy się bliżej zmiennymi losowymi dwuwymiarowymi.
Dwuwymiarową zmienną losową (X,Y) przyjmującą co najwyżej przeliczalnie wiele wartości {(xi , yj ) : i ∈ I, j ∈ J} nazywamy dwuwymiarową zmienną losową dyskretną.
Rozkład prawdopodobieństwa takiej zmiennej można przedstawić w postaci
{((xi , yj ), pij )},
gdzie
pij = P (X = xi , Y = yj ),
dla i ∈ I, j ∈ J.
Dla zbiorów I, J skończonych wygodnie przedstawia się rozkład prawdopodobieństwa w
postaci tabeli
X\Y
y1
y2 . . . yn
x1
p11 p12 . . . p1n
x2
p21 p22 . . . p2n
..
.
xm
pm1
pm2
. . . pmn
Dystrybuanta takiej zmiennej jest funkcją schodkową
F (x, y) = P (X < x, Y < y) =
X
pij .
i,j;xi <x,yj <y
• Przykład 1.1.
Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych orłów a
zmienna losowa Y numer rzutu, w którym orzeł pojawił się po raz pierwszy. Łączny rozkład prawdopodobieństwa wektora losowego (X, Y ) przedstawia następujaca tabela.
X\Y
0
1
2
3
1
2
3
0.125
0
0
0.125 0.125 0.125
0.25 0.125
0
0.125
0
0
1
Mówimy, że zmienna losowa (X, Y ) jest typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja
całkowalna f (x, y) taka, że dystrybuanta ma postać
F (x, y) =
Zx Zy
f (u, v))dudv.
−∞ −∞
W punktach ciągłości (x0 , y0 ) funkcji f (x, y)
∂2F
(x0 , y0) = f (x0 , y0 ).
∂x∂y
Dla borelowskiego zbioru A ⊂ IR2 mamy
P ((X, Y ) ∈ A) =
ZZ
f (x, y))dxdy.
A
Następujące twierdzenie charakteryzuje dystrybuantę zmiennej losowej dwuwymiarowej
• Twierdzenie 1.1. Funkcja F (x, y) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (X, Y )wtedy
i tylko wtedy, gdy :
• F (x, y) jest niemalejąca ze względu na każdą ze zmiennych,
• F (x, y) jest lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych,
• dla każdego x i każdego y lim F (x, y) = 0,
x→−∞
oraz
lim F (x, y) = 0
y→−∞
lim F (x, y) = 1.
x,y→+∞
• dla każdych x1 < x2 , y1 < y2
F (x2 , y2) − F (x1 , y2) − F (x2 , y1) + F (x1 , y1 ) ­ 0.
Wnioskiem z twierdzenia 1.1 jest następująca charakteryzacja funkcji gęstości.
• Twierdzenie 1.2. Funkcja f (x, y) jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa pewnego
wektora losowego wtedy i tylko wtedy, gdy :
• f (x, y) ­ 0 dla każdego (x, y) ∈ IR2 ,
•
+∞
R
R +∞
f (x, y)dxdy = 1.
−∞ −∞
Znając rozkład prawdopodobieństwa wektora (X, Y ) możemy wyznaczyć rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych X, Y . Nazywamy je rozkładami brzegowymi. W przypadku zmiennej losowej dwuwymiarowej dyskretnej (X, Y ) są one określone wzorami:
pi· = P (X = xi ) =
X
pij ,
j
oraz p·j = P (Y = yj ) =
X
pij
i
Dla zmiennej dwuwymiarowej ciągłej (X, Y ) tzw. gęstości brzegowe są następujące:
fX (x) =
Z∞
f (x, y)dy,
fY (y) =
−∞
Z∞
f (x, y)dx.
−∞
Rozkład wektora losowego (mówimy czasem rozkład łączny) wyznacza jednoznacznie
rozkłady brzegowe, ale nie na odwrót. Rozkłady brzegowe wyznaczają rozkład łączny, gdy
składowe wektora losowego są zmiennymi niezależnymi.
2
• Twierdzenie 1.3. Zmienne losowe X, Y
są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
F(X,Y ) (x, y) = FX (x) · FY (y).
W przypadku zmiennych dyskretnych warunek ten równoważny jest warunkowi
pik = pi· p·k dla wszystkich i, k
a dla zmiennych typu ciągłego – warunkowi
f(X,Y ) (x, y) = fX (x)fY (y) dla wszystkich x, y ∈ IR.
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej skończonej ilości zmiennych losowych
X1 , X2 , . . . , Xn .
• Przykład 1.2.
Zmienna losowa X jest liczbą spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna
losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej. Łączny rozkład wektora losowego
(X, Y ) opisuje tabela
X\Y
0
1
2
0
1
0.8 0.01
0
0.07
0.02 0.1
a) Obliczyć P ((X, Y ) ∈ {(2, 0), (2, 1)}).
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennej losowej X oraz Y . Ile wynosi P (X = 1),
P (Y = 0). Obliczyć EX, EY .
c) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne?
R o z w i ą z a n i e.
a) Na podstawie tabeli podanego rozkładu łącznego wektora (X, Y ) mamy
P ((X, Y ) ∈ {(2, 0), (2, 1)}) = 0.02 + 0.1 = 0.12.
b) Rozkład brzegowy zmiennej losowej X wyznaczamy sumując wiersze tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego (X, Y ), rozkład brzegowy zmiennej losowej Y wyznaczamy
sumując kolumny tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego (X, Y )
X\Y
0
1
2
r.brzegowy Y
0
0.8
0
0.02
0.82
1
0.01
0.07
0.1
0.18
r.brzegowy X
0.81
0.07
0.12
Mamy wtedy: P (X = 1) = 0.07, P (Y = 0) = 0.82 oraz
EX = 0 · 0.81 + 1 · 0.07 + 2 · 0.12 = 0.31
EY = 0 · 0.82 + 1 · 0.18 = 0.18
c)W twierdzeniu 1.3 podany jest warunek konieczny i wystarczajacy niezależności zmiennych losowych. Zmienne losowe X, Y nie są niezależne bo na przykład
P (X = 0, Y = 0) = 0.8 6= 0.81 · 0.82 = P (X = 0) · P (Y = 0).
3
• Przykład 1.3.
Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) =
cxy dla 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬
(
0
√
x
poza tym
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
c) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne?
d) Obliczyć P (0.25 < X < 0.5, Y > 0.5).
e) Obliczyć P (0.5 < X < 1, Y ­ X).
R o z w i ą z a n i e.
a) Funkcja f (x, y) jest gęstością wtedy i tylko wtedy gdy f (x, y) ­ 0 dla (x, y) ∈ R2 i
Z
∞
−∞
∞
Z
−∞
f (x, y)dxdy = 1.
Mamy zatem c ­ 0 oraz
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
1
Z
f (x, y)dxdy =
dx
0
√
Z
x
cxydy = c
0
Z
1
0
x2
c
dx = = 1
2
6
czyli c = 6.
b) rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y są następujące:
fX (x) =
fY (y) =
∞
Z
−∞
Z
∞
−∞
f (x, y)dy =
f (x, y)dx =
(
(
R √x
0
R1
y2
0, x ¬ 0, x ­ 1
,
6xydy = 3x2 , gdy 0 < x < 1
0, y ¬ 0, y ­ 1
6xydx = 3y − 3y 5 , gdy 0 < y < 1
c) Zmienne losowe X, Y nie są niezależne bo nie jest spełniony warunek
f (x, y) = fX (x) · fY (y) dla każdego (x, y) ∈ R2 ;
na przykład f ( 21 , 21 ) =
3
2
6=
3
4
d) P (0.25<X<0.5, Y >0.5) =
e) P (0.5< X< 1, Y ­X) =
• Przykład 1.4.
R1
·
45
32
R 0.5
= fX ( 21 ) · fY ( 12 ).
dx
0.25
0.5 dx
R √x
R √x
x
0.5
6xydy = 3
6xydy = 6
R1
R 0.5
0.25
0.5 xdx
x(x − 0.25)dx =
R √x
x
ydy = 3
Gęstość wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem f (x, y) =
R1
1 −x
e
2π
0.5
x(x − x2 )dx =
2 +y 2
2
5
128
.
a) Czy zmienne losowe X, Y są niezależne?
b) Obliczyć P (X > 1).
c) Obliczyć P ((X, Y ) ∈ A), gdzie A = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}.
R o z w i ą z a n i e.
a) Wyznaczmy gęstość brzegowa zmiennej losowej X
fX (x) =
1
2π
Z
∞
−∞
e−
x2 +y 2
2
dy =
1 − x2
e 2
2π
4
y2
x2
1
e− 2 dy = √ e− 2 , x ∈ R
−∞
2π
Z
∞
11
.
64
W obliczeniach wykorzystaliśmy znany nam fakt,że
Podobnie obliczając mamy:
y2
1
fY (y) = √ e− 2 ,
2π
R∞
y2
− 2
dy =
−∞ e
√
2π.
y ∈ R.
Równość f (x, y) = fX (x) · fY (y) zachodzi dla każdego (x, y) ∈ R2 zatem zmienne losowe
X, Y sa niezależne.
Zauważmy, że X oraz Y są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Podana
gęstość wektora losowego (X, Y ) jest szczególnym przypadkiem gęstości dwuwymiarowego
rozkładu normalnego.
b) Zmienna losowa X ma rozkład N(0, 1) zatem P (X > 1) = 1 − Φ(1) = 0.1587.
x2 +y 2
1
− 2
dxdy i wykorzystując współrzędne biegunowe otrzyc) P ((X, Y ) ∈ A) = 2π
Ae
mujemy
Z 1
1 Z Z − x2 +y2
r2
1 Z 2π
1
2
dϕ
re− 2 dr = 1 − √ .
e
dxdy =
2π
2π 0
e
0
A
RR
1.2
Parametry rozkładu wektorów losowych
Gdy dany jest rozkład wektora losowego (X, Y ) oraz h : IR2 −→ IR jest funkcją całkowalną,
to dla Z = h(X, Y )
EZ = Eh(X, Y ) =
 ∞ ∞
R R



h(x, y)f (x, y)dxdy
−∞ −∞
P


h(xi , yk )pi,k

dla wektora losowego typu ciągłego
dla wektora losowego typu dyskretnego
i,k
• Definicja 1.3. Dla wektora losowego (X, Y ) kowariancja֒ zmiennych X, Y
nazywamy liczbe֒
Cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) = EXY − EXEY.
Jeżeli VarX > 0, VarY > 0, to definiujemy ważny parametr zwany współczynnikiem
korelacji.
Cov(X, Y )
ρ(X,Y ) = √
.
VarX · VarY
• Twierdzenie 1.4. (Własności współczynnika korelacji):
1. |ρ(X, Y )| ¬ 1
2.Jeżeli zmienne losowe są niezależne, to ρ(X, Y ) = 0.
3. ρ(aX + b, cY + d) = sgn(ac)ρ(X, Y ).
4. ρ(X, Y ) = ±1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe a, b takie, że P (Y = aX + b) = 1.
Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej zmiennych X i Y . W przypadku, gdy
ρ = 0, zmienne losowe nazywamy nieskorelowanymi. Jeżeli ρ(X, Y ) = 0, to zmienne
losowe moga być zależne. Świadczy o tym poniższy przykład.
5
• Przykład 1.5.
Zmienna losowa X ma rozkład N(0, σ) i niech Y = X 2 . Sprawdzić, że Cov(X, Y ) = 0, a
zmienne X, Y są zależne.
R o z w i ą z a n i e.
Zmienna losowa o rozkładzie N(0, σ) ma wszystkie momemty stopnia nieparzystego równe
0. W szczególności EX = 0, EX 3 = 0, zaś EY = V arX = σ 2 . Mamy zatem
Cov(X, Y ) = Cov(X, X 2) = EX 3 − EX · EX 2 = 0.
• Definicja 1.4. Dla wektora losowego (X1, X2, . . . , Xn) określamy macierz kowariacji
Cn×n , w której
cij = Cov(Xi , Xj ), i, j = 1, 2, . . . , n
Macierz C jest macierzą symetryczną , cii ­ 0.
• Przykład 1.6.
Gęstość wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem
f (x, y) =
(
− 83 y 2 cos x dla
0
π
2
¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ 2
poza tym
a) Znaleźć rozkłady brzegowe
b) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y . Czy X, Y są niezależne?
R o z w i ą z a n i e.
a) Rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y są następujące:
fX (x) =
Z
∞
−∞
fY (y) =
Z
f (x, y)dy =
∞
−∞
(
f (x, y)dx =
− 83
(
R2
0
− 38
0, x ¬ π2 , x ­ π
,
y 2 cos xdy = − cos x, gdy π2 < x < π
Rπ
π
2
0, y ¬ 0, y ­ 2
y 2 cos xdx = 38 y 2 , gdy 0 < y < 2
b) Zauważmy, że zmienne losowe X, Y są niezależne ( ponieważ f (x, y) = fX (x) · fY (y)
dla każdego (x, y)) zatem Cov(X, Y ) = 0 oraz ρ(X, Y ) = 0.
• Przykład 1.7.
Wektor losowy (X, Y ) ma następującą funkcję gęstości
f (x, y) =
(
1
xy,
2
gdy 0 < x < 2, 0 < y < x
0, poza tym
a) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y .
b) Napisać macierz kowariancji wektora losowego (X, Y ).
6
R o z w i ą z a n i e.
a) Cov(X, Y ) = EXY − EX · EY
Obliczmy najpierw EXY .
EXY =
Z
0
2
dx
Z
x
0
1
1
xy xydy =
2
6
Z
2
0
x5 dx =
16
.
9
Do obliczenia pozostałych wielkości potrzebna jest znajomość funkcji gęstości zmiennych
X oraz Y .
fX (x) =
fY (y) =
Z
Z
∞
−∞
∞
−∞
f (x, y)dy =
f (x, y)dx =
Obliczmy jeszcze;
(
(
0,
Rx
1
0 2 xydy
=
1 3
x,
4
x ¬ 0, x ­ 2
,
gdy 0 < x < 2
0,
R2
1
y 2 xydx
=y−
1 3
y ,
4
y ¬ 0, y ­ 2
gdy 0 < y < 2
x3
dx = 85
4
R
3
16
EY = 02 y(y − y4 )dy = 15
R
3
EX 2 = 02 x2 · x4 dx = 38
8
V arX = EX 2 − (EX)2 = 75
R
3
EY 2 = 02 y 2 (y − y4 )dy = 34
44
V arY = EY 2 − (EY )2 = 225
EX =
R2
0
x·
Mamy zatem:
16
16
16
− 58 · 15
= 225
9
√ Cov(X,Y )
= √466 .
V arX·V arY
Cov(X, Y ) =
ρ(X, Y ) =
b) Macierz kowariancji C wektora losowego X, Y , gdzie
c12 = c21 = Cov(X, Y ), c11 = V arX, c22 = V arY jest nastepująca:

C=

8
75
16
225
16
225
44
225



• Przykład 1.8.
Współczynnik korelacji zmiennych losowych X, Y wynosi 0.25. Jaki współczynnik korelacji mają zmienne losowe 4X − 3 oraz −2Y + 4?
R o z w i ą z a n i e.
Wykorzystując własności współczynnika korelacji mamy
ρ(4X − 3, −2Y + 4) = sgn(−8)ρ(X, Y ) = −0.25
7
1.2.1
Rozkłady warunkowe
W rozdziale 2 rozważaliśmy prawdopodobieństwo warunkowe ( warunek był zdarzeniem o
prawdopodobieństwie dodatnim). Dla wektora losowego (X, Y ) interesujące jest pytanie jak
wartości jednej składowej wpływają na prawdopodobieństwo przyjmowania wartości przez
drugą składową. Zależności te opisują rozkłady warunkowe.
• Definicja 1.5. Dla dyskretnego wektora losowego (X, Y ) warunkowy rozkład zmiennej X przy warunku (Y = yk ), P (Y = yk ) 6= 0 określamy jako
(xi , P (X = xi |Y = yk )), i ∈ I
i analogicznie
warunkowy rozkład zmiennej Y przy warunku (X = xi ), P (X = xi ) 6= 0 to
(yk , P (Y = yk |X = xi )) , k ∈ J
.
• Definicja 1.6. Dla wektora losowego (X, Y ) typu ciągłego gęstością warunkową zmiennej losowej X przy warunku (Y = y), fY (y) > 0 nazywamy funkcję
fX|Y (x|y) =
f (x, y)
fY (y)
i analogicznie gęstościa warunkową zmiennej losowej Y przy warunku (X = x),
fX (x) > 0 nazywamy funkcję
f (x, y)
.
fY |X (y|x) =
fX (x)
Zauważmy, że bezpośrednio z definicji wynika,że rozkład warunkowy jest prawdopodobieństwem, gęstośc warunkowa jest funkcją gęstości. Ponadto dla niezależnych zmiennych losowych X, Y prawdopodobieństwa warunkowe są prawdopodobieństwami brzegowymi, gęstości warunkowe są gęstościami brzegowymi.
Możemy zatem obliczać wartość oczekiwaną rozkładu warunkowego.
•
Definicja 1.7. Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X przy warunku (Y = yk ) określamy następujaco:
E(X|Y = yk ) =
( P
i∈I
xi P (X
= xi |Y = yk ), gdy (X, Y ) jest dyskretny
R∞
−∞ xf (x|yk )dx, gdy (X, Y ) jest typu ciagłego
i analogicznie
warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y przy warunku (X = xi )
określamy następujaco:
E(Y |X = xi ) =
( P
k∈J
yk P (YR = yk |X = xi ), gdy (X, Y ) jest dyskretny
∞
−∞ yf (y|xi)dx, gdy (X, Y ) jest typu ciagłego
8
• Twierdzenie 1.5. Jeśli istnieje EX to istnieje E(X|Y
= y).
W zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa, posługujemy się pojęciem warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X,
oznaczanej przez E(Y |X).
E(Y |X) to nowa zmienna losowa postaci mY (X). Najczęściej podajemy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X poprzez wzór na funkcję
:
mY (x) = E(Y |X = x).
Funkcję mY (X) nazywamy funkcją regresji zmiennej losowj Y względem zmiennej
losowej X.
Analogicznie określamy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X
względem zmiennej losowej Y i oznaczamy E(X|Y ).
• Twierdzenie 1.6. Jeśli V arX < ∞,
V arY < ∞ to dla mY (X) = E(Y |X) zachodzi
minh E(Y − h(X))2 = E(Y − mY (X))2 ,
gdzie h(x) jest dowolną funkcją borelowską, że Eh2 (X) < ∞.
• Twierdzenie 1.7. Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym i istnieje EX to:
1. E(E(X|Y )) = EX
2. dla niezależnych zmiennych X, Y mamy E(X|Y ) = EX.
• Przykład 1.9.
Dla zmiennych losowych X, Y opisanych w rozwiązaniu Przykładu 3.9 wyznaczyć:
a) rozkład warunkowy zmiennej losowej Y przy warunku (X = k),
b) rozkład łączny wektora (X, Y ), rozkłady brzegowe,
c) funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X i narysować jej wykres.
• Przykład 1.10.
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład jednostajny na zbiorze D = {(x, y) :
x2 + y 2 ¬ 9, y ­ 0}, to znaczy
f (x, y) =
(
c, gdy (x, y) ∈ D
0, poza tym
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y.
c) Wyznaczyć gęstości warunkowe fX|Y , fY |X .
d) Czy zmienne losowe X,Y są niezależne ?
e) Wyznaczyć funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X.
9
• Przykład 1.11.
Gęstością wektora losowego (X, Y ) jest funkcja
f (x, y) =
(
1
xy,
2
gdy 0 < x < 2, 0 < y < x
0, poza tym
a) Wyznaczyć gęstości warunkowe fX|Y , fY |X . Czy zmienne losowe X,Y są niezależne.
b) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej
X.
• Definicja 1.8. Mówimy ,że wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny,
jeśli jego funkcja gęstości ma postać
f (x, y) =
gdzie
1
√
2πσx σy 1 − ρ2
−
e
1
2(1−ρ2 )
h
(y−my )2
2ρ(x−mx )(y−my )
(x−mx )2
+
−
2
2
σx σy
σx
σy
i
2
EX = mX , EY = mY , V arX = σX
, V arY = σY2 , ρ(X, Y ) = ρ.
Jeśli wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny
i Cov(X, Y ) = 0 to zmienne losowe X, Y są niezależne.
• Przykład 1.12.
Badano wpływ zawartości pewnego składnika, zawartość składnika opisuje zmienna losowa X, na wytrzymałość Y tworzywa i stwierdzono, że łączny rozkład zmiennych losowych
(X,Y) dobrze opisuje dwuwymiarowy rozkład normalny o parametrach mX = 3, mY =
1.6, σX = 1,
σY = 0.4, ρ = 0.9.
a) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji Y względem X.
b) Obliczyć, ile wynosi najmniejsza zawartość składnika X, przy której wytrzymałość tworzywa Y przekroczy 2, z prawdopodobieństwem 0.9?
W praktycznych zagadnieniach trzeba nieraz wyznaczyć taką prostą, że spośród wszystkich prostych leżących na płaszczyżnie xOy średnie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od tej prostej jest najmniejsze.
• Definicja 1.9. Prostą y = a0 x + b0 dla której zachodzi
E(Y − (a0 X + b0 ))2 = mina,b E(Y − (aX + b))2
nazywamy prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej X.
10
Nietrudno uzasadnić następujący fakt.
Jeśli V arX, V arY są skończone to prosta y = a0 x + b0 gdzie
Cov(X, Y )
, b0 = EY − a0 EX
V arX
jest prostą regresji zmiennej losowej Y względem X.
a0 =
Równoważne równanie prostej regresji zmiennej losowej Y względem X ma postać
y − EY
x − EX
√
= ρ(X, Y ) √
V arX
V arY
Dla wektora losowego (X, Y ) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym funkcje regresji
pokrywaja się z prostymi regresji.
• Przykład 1.13.
Dla wektora losowego opisanego w Przykładzie 3 tego rozdziału wyznaczyć prostą regresji
zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X oraz prostą regresji X względem Y.
11