TEORIA LICZB W PRACACH PALA ERDÓSA

Antiquitates Mathematicae
vol. 6 (2012), p. 151–156
doi: 10.14708/am.v7i1.578
Andrzej Schinzel (Warszawa)
TEORIA LICZB W PRACACH PALA ERDÓSA
Pal (Paweł) Erdós (1913-1996) był po Eulerze najpłodniejszym matematykiem
w historii. Pozostawił 1548 prac, a liczba jego współautorów, największa w historii,
sięga 500. Teorii liczb poświęcił ca 600 prac, w tym ca 70% wspólnych, które są
omówione w nekrologu opublikowanym w Acta Arithmetica przez A. Sarkozy’ego
[9]. Niniejszy referat w wielu miejscach powtarza podane przez Sarkozy’ego infor­
macje, zbudowany jest jednak inaczej, w kolejności działów teorii liczb podanych
w MSC2010.
11A07 (kongruencje) Erdós [14] pierwszy zauważył istnienie pokrywających ukła­
dów kongruencji
(1)
x=a.m .odm. (1 <i<k)
o różnych modułach m > l i wykorzystał ten fakt do dowodu istnienia postępu aryt­
metycznego utworzonego z liczb nieparzystych, którego żaden wyraz nie jest posta­
ci 2k+p (p pierwsze). Z tematem tym wiąże się następujący problem Erdósa, ostatnio
rozwiązany negatywnie przez B. Hougha: czy dla każdego m istnieje układ pokrywa­
jący (1), gdzie m. są różne i większe od m?
1XA25 (funkcje arytmetyczne i związane z nimi liczby) W jednej ze swych pierw­
szych prac Erdós [1] podał elementarny dowód twierdzenia Davenporta, że liczby
naturalne nadmierne, tzn. takie, że o(n)>2n, mają gęstość asymptotyczną dodatnią,
a następnie określił [2] rząd wielkości (ale nie wzór asymptotyczny) dla log-^-^,
gdzie A(x) jest liczbą liczb <x nadmiernych pierwotnych, tzn. takich liczb nadmier­
nych, że żaden ich dzielnik właściwy nie jest nadmierny. Wiele lat później Erdós [20]
dowiódł, że liczba liczb <x wielokrotnie doskonałych, tzn. takich liczb n, że n | o{ń),
jest 0 (x 3/4+s) dla każdego e>0. Wynik ten został znacznie wzmocniony przez Wirsinga [13]. Z kolei Erdós i Rieger [26] dowiedli, że liczba zaprzyjaźnionych par
(a,b) gdzie a<b<x, tzn. takich par (a,b), że a(a):= o(b)=a+b, jest
O ( ----------
Vlog log log x j'
)
Wynik ten został znacznie wzmocniony przez Pomerance’a/67, który, jak sam przyzna­
je, zaczerpnął pomysł z cytowanej pracy Erdósa o liczbach nadmiernych pierwotnych.
11B13 (bazy addytywne) Bazą w zbiorze liczb naturalnych nazywamy taki pod­
zbiór В zbioru N, że dla pewnego h każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej h
elementów zbioru B. Składnikiem istotnym nazywamy taki podzbiór S zbioru N, że
dla każdego podzbioru^ zbioru W o dodatniej gęstości Sznirelmana d(A)< 1 mamy
d{A+S)>d{A).
Pierwotna wersja pracy ukazała sie w Wiesław, Witold (ed.) History of Polish Mathematics II. (Dzieje matematyki polskiej II.)
(in Polish), Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 2013, 326 pp. (ISBN 978-83-910055-8-3). ZBL1281.01005.
152
Erdos [4] dowiódł, że każda baza jest składnikiem istotnym, a pierwszy przykład
składnika istotnego, który nie jest bazą, został podany przez Linnika [3].
11B34 (liczba przedstawień) Erdós [18] dowiódł istnienia takiego ciągu liczb natural­
nych a., że liczbay(«) rozwiązań równania n=a.+a. spełnia nierówność
Cjlog «</(«) <C2log«, gdzie ct, c2 są pewnymi stałymi dodatnimi.
Do dziś nie jest znana odpowiedź na pytanie Erdósa i Turana z 1941 r., czy jeżeli
dla jakiegoś ciągu a. m am y/(«)>0 dla n>no, to mamy też limsup f{n) = oo, Erdós
[23] udowodnił jednak, że po zastąpieniu sumy przez iloczyn odpowiedź jest po­
zytywna. Ponadto dowiódł w [19] wspólnie z Fuchsem, że nie istnieje ciąg a., dla
którego byłoby
Ten wynik wiąże się z tzw. problemem koła, dotyczącym szacowania liczby punktów kratowych w kole o środku w punkcie (0,0) i promieniu yfx. Trzeba więc wziąć
a .= (z -l)2 (i= 1, 2,...). Wówczas/(« )= r2(n) i mamy, jak wiadomo,
n<x
^
/ (n ) = тех + о(л:1/ 4+£) dla każdego s>0.
n<x
Zauważmy, że Jurkat (nie publikowane), a następnie Vjontgomery i Vaughan [4],
ulepszyli twierdzenie Erdósa-Fuchsa, zastępując o ( ^ ^ 1/ 2) Przez o (x 1^4').
11C08 (wielomiany) Erdós zajmował się z powodzeniem szacowaniem wysokości
An «-tego wielomianu podziału koła. Udowodnił w [21], że
i wyraził przypuszczenie, udowodnione później przez R. Yaughana [10], że
dla każdego c<log2 i nieskończenie wielu n. Ten wynik jest najlepszy możliwy.
11D04 (równania liniowe) Erdós i Graham [25] dowiedli, że jeżeli (ax,...,a y)= \
i 0 <ax<a2< ...< ak, to największa liczba naturalna nieprzedstawialna w postaci
<Zj«j + ... + aknk, gdzie n. liczby całkowite nieujemne, nie przekracza
11D41 (równania wyższych stopni) Erdós i Selfridge [27] dowiedli, że iloczyn kolej­
nych, co najmniej dwóch, liczb naturalnych nigdy nie jest pełną potęgą.
11D68 (liczby wymierne jako sumy ułamków) Niech N(a,b) będzie najmniejszą
liczbą naturalną k, przy której istnieje rozkład
153
a
l l
— _ -----1-------h
b
x1
x2
1
H----- .
xk
gdzie liczby <xx<x2< ... <xk są naturalne. Erdos [13] dowiódł, że
log log b « N( b) = max N( a, b) «
1 śaśb
logb
log log b'
i wyraził przypuszczenie, że iV(b) « log log b.
Najlepszy znany wynik w tym kierunku należący do Vose [12] jest
N ( b ) « y /lo g b.
Znane i sprawdzone dla 1 < b < 1014jest przypuszczenie Erdósa i Strausa, żeN(4,b)< 3
d la b > l.
11E20 (formy kwadratowe więcej niż dwu zmiennych) Erdós i Ko [3] dowiedli ist­
nienia dla każdego n > 5 formy kwadratowej dodatnio określonej z Z [xt,x2, ... ,xJ ,
która nie daje się rozłożyć na sumę dwóch dodatnio określonych lub półokreślonych
form z Z [xj,x2, ... ,x j.
11J72 (niewymiemość) Erdós [28] dowiódł, że jeżeli a. jest ciągiem rosnącym liczb
naturalnych i lim n^ 00( a n+1 — a n) = oo to
j est liczbą niewymierną.
11K06 (ogólna teoria rozmieszczenia) Erdós i Turan [10] podali następujące wzmoc­
nienie twierdzenia Weyla o równomiernym rozmieszczeniu: Niech z l < v < n,bę­
dzie ciągiem liczb rzeczywistych z przedziału (0,1). Wówczas dla każdego m
i 0< a< [< 1 mamy
1 — (fi
— a )n
m
n
П
ST* 1 ^
< c ~~+Г 1
Т +Z
/—
f“/
k=l
;=i
m
e 2 n i jz k
v<n
a<z <b
gdzie с jest stałą uniwersalną.
11K16 (liczby normalne) Davenport i Erdós [16] dowiedli, że dla dowolnego wielo­
mianu niestałego f. iV—►N 0.](1)J{2).. . jest normalna, przy czym liczby Д 1),.Д2)...
wypisujemy w układzie dziesiętnym.
11K50 (metryczna teoria ułamków łańcuchowych) Erdós [24] dowiódł, że dla do­
wolnego zbioru S liczb naturalnych prawie wszystkie liczby rzeczywiste mają nie­
skończenie wiele reduktów, których mianowniki należą do S, wtedy i tylko wtedy,
<p(n)
gdy 2
nes n2
00
d
11M20 (wyniki o L(l,x) Bateman, ChowlaiErdós [15] dowiedli, że jeżeli x (n) = ( 0
(symbol Kroneckera) i \d\ przebiega liczby pierwsze, to
lim su p L (l,x )(lo g lo g d )_1 > 18_1ey < lim su p L (l,^)(lo g lo g |d |) _1,
d->oo
d->—oo
liminfL(l,x)loglogd > 3 n 2e~Y < lim infL(l,^)loglog|d|.
d —>oo
d->—oo
11N05 (rozmieszczenie liczb pierwszych) Erdós [12] podał elementarny wywód
twierdzenia o liczbach pierwszych z tzw. formuły Selberga. O okolicznościach od­
krycia tego wywodu i zakończonym szczęśliwie konflikcie Erdósa z Selbergiem
154
patrz Goldfeld [2]. Wcześniej Erdós zajmował się różnicami kolejnych liczb pierw­
szych dn=pn+] - p ni dowiódł [3], że dla pewnej stałej c > 0 i nieskończenie wielu n
log log n
dn > с lo g n • ---- :---- :------rr.
(log log log n ) 2
Obiecał 10000$ za dowód, że dla pewnego c> 0 i nieskończenie wielu n
dn > (lo g n )1+c.
Najlepszy znany wynik w tym kierunku należy do Pintza [6] i mówi, że
J ^ ^ V
lo g n - lo g lo g n - lo g log log lo g n
n
e
8
(log log lo g n )2
dla każdego e>0 i nieskończenie wielu п. у jest tu stałą Eulera.
Erdós i Turan [11] dowiedli, że dla pewnego c> 0 każda z nierówności
d n+1 > (1 + z ) d n i d n > (1 + e ) d n+1 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
11N25 (rozmieszczenie liczb z warunkiem na ich strukturę multyplikatywną) Er­
dós [22] dowiódł, że liczba różnych liczb postaci ab, gdzie 1 <a<x, 1 <b<x, jest
%2( lo g x ) _a+0(:i), gdzie a = 1 - l o g ( e l o g 2 ) / l o g 2 (= 0 .0 8 6 0 ...), Ten wy­
nik został wzmocniony przez K. Forda [7].
11N32 (multyplikatywna struktura wartości wielomianu) Erdós [17] dowiódł, że
wielomian o współczynnikach całkowitych nieprzywiedlny stopnia d, którego jedy­
ny stały dzielnik będący d - 1 potęgą jest 1, przedstawia nieskończenie wiele liczb
wolnych od d - 1 potęg.
M. Nair [5] dowiódł, że można w tym twierdzeniu zastąpić d - 1 przez
[(V 2 - i ) d] + 1.
11N37 (wyniki asymptotyczne dla funkcji arytmetycznych) Erdós [9] dowiódł, że
jedynymi funkcjami addytywnymi i monofonicznymi są с logn (c stała).
11N64 (funkcje rozkładu związane z funkcjami addytywnymi) Erdós i Kac [7] do­
wiedli, że co(«), liczba różnych czynników pierwszych n, spełnia związek
\
1
ęc
lim - 1n < x: (o (ń ) - log lo g n < Cy/\og\ogn\ = —= . I e~t2/2 dt,
x-*°°X
yj2n _oo
J
przy czym twierdzenie przenosi się na obszerną klasę funkcji addytywnych.
11P05 (problem Waringa i jego warianty) Davenport i Erdos^ó] dowiedli, że licz­
ba sum
+ x \ + x \ < n jest > n a~£, gdzie a = - — — dla każdego e>0 i
Kr
К
n >n0(e). Ten wynik dla n >6 nie został dotąd poprawiony.1 Uogólnienie na sumę s> 3
k-tych potęg podał Vaughan [11].
11P81 (elementarna teoria partycji) Erdós [8] podał dowód elementarny wzoru
asymptotycznego dla liczby partycjip(x):
✓ч a
I
ln '
p (n )
exp 27Г П
V V6;
nie wyznaczając jednak współczynnika a. Ten ostatni krok został zrobiony przez
D.J. Newmana [6].
1. został poprawiony dopiero w 1989r. przez R.C.Vaughana (Acta Math.162,1-71 patrz też J.London Math.
Soc.(2)39,219-230).(ad. autor)
155
11P82 (analityczna teoria partycji) Powiemy, że partycja n = a x+ a 2+ . . . a n p rze d sta ­
w ia /я, jeżeli dla pewnych e = 0 lub 1, m = E la + . .. + e kak. Erdós i Szalay [29] dowiedli,
że prawie wszystkie partycje n przedstawiają każdą liczbę < n i wśród partycji, które
nie przedstawiają pewnej liczby < n , w prawie wszystkich nie występuje liczba 1.
Cytowane prace P. Erdósa
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
On the density o f the abundant numbers, J. London Math. Soc. 9 (1934), 278-282.
On primitive abundant numbers, ibid. 10 (1935), 49-58.
On the difference o f consecutive primes, Quart. J. Math. Oxford Ser. 6 (1935), 124-128.
On the arithmetical density o f the sum o f two sequences one o f which form s a basis fo r
the integers, ActaArith. 1 (1936), 197-200.
(z Chao Ко) On definite quadratic form s which are not the sum o f two definite or semidefinite forms, ibid. 3 (1939), 102-121.
(z H. Davenportem) On sums o f positive integral к-powers, Ann. o f Math. (2) 40
(1939), 533-536.
(z M. Kacem) The Gaussian law o f errors in the theory o f additive number-theoretic
functions, Amer. J. Math. 62 (1940), 738-742.
On an elementary p ro o f o f some asymptotic formulas in the theory ofpartitions, Ann,
o f Math. (2) 42 (1942), 437-450.
On the distribution function o f additive functions, ibid. 47 (1946), 1-20.
(z P. Turanem) On a problem in the theory o f uniform distribution I, II, Indag. Math.
10 (1948), 370-378, 406-413.
(z P. Turanem) On some new questions on the distribution o f prim e numbers, Bull.
Amer. Math. Soc. 54 (1948), 371-378.
On a new method in elementary number theory which leads to an elementary p ro o f o f
the prim e number theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 35 (1949), 374-384.
On the integer solutions o f the equation — + — + ••• + — = - (po węgiersku, ze stresz­
czeniem rosyjskim i angielskim), Mat. Lapok 1 (1950), 192-210.
On integers o f the form 2k+ p and some related problems, Summa Brasil. Math. 2
(1950), 113-123.
(z P. T. Batemanem i S. Chowlą) Remarks on the size o /L (l, %), Publ. Math. Debrecen
1 (1950), 165-182.
(z H. Davenportem) A note on normal decimals, Canad. J. Math. 4 (1952), 58-63.
Arithmetical properties ofpolynom ials, J. London Math. Soc. 28 (1953), 416-425.
On a problem o f Sidon in additive number theory, Acta Sci. Math. Szeged 15 (1954),
255-259.
(z W. H. J. Fuchsem) On a problem o f additive number theory, J. London Math. Soc.
31 (1956), 67-73.
On perfect and multiply perfect numbers, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 42 (1956), 2 5 3 258.
On the growth o f the cyclotomic polynom ial in the interval (0,1), Proc. Glasgow Math.
Assoc. 3 (1957), 102-104.
Об одном асимптотическом неравенстве в теории чисел, Вестник
Ленинградского Университета 15 (1960), по. 13, 41—49.
On the multiplicative representation o f integers, Israel J. Math. 2 (1965), 251-261.
On the distribution o f convergents o f almost all real numbers, J. Number Theory
156
2 (1970), 425-441.
[25] (z R. L. Grahamem) On a linear diophantine problem o f Frobenius, Acta Arith. 21
(1972), 399-408.
[26] (z G. J. Riegerem) Ein Nachtrag uber befreundete Zahlen, J. Reine Angew. Math. 273
(1975), 220.
[27] (z J. L. Selfridgem) The product o f consecutive integers is never a power, Illinois J.
Math. 19(1975), 292-301.
[28] Sur I’irrationalite d ’une certaine serie, С. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 292 (1981),
765-768.
[29] (z M. Szalayem) On some problem s o f J. Denes and P. Turan, in: Studies in Pure Math­
ematics, Birkhauser 1983, 187-212.
Prace innych autorów
[1 ]
К. Ford, Integers with a divisor in [y, 2y], in: Anatomy o f Integers, CRM Proc. Lecture
Notes 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, 65-80.
[2 ]
D. Goldfeld, The elementary p ro o f o f the prim e number theorem, an historical per­
spective, in: Number Theory, Springer 2004,179-192.
[3 ]
Yu. V. Linnik, On Erdós s theorem on the addition o f numerical sequences, Rec. Math.
[Mat. Sbomik] N.S. 10(52) (1942), 67-78.
[4 ]
H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, On the Erdós—Fuchs theorems, in: A Tribute
to Paul Erdos, Cambridge Univ. Press 1990, 331-338.
[5 ]
M. Nair, Pow er free values o f polynomials, Mathematika 23 (1976), 159-183.
[6 ]
D. J. Newman, The evaluation o f the constant in the formula fo r the number ofparti­
tions o f nn, Amer. J. Math. 73 (1951), 599-601.
[7 ]
J. Pintz, Very large gaps between consecutive primes, J. Number Theory 63 (1997),
2 8 6 -3 0 1 .
[8 ]
C. Pomerance, On the distribution o f amicable numbers I— II, J. Reine Angew. Math.
293/294 (1977), 217-222; 325 (1981), 183-188.
[9 ]
A. Sarkozy, Paul Erdós (1913-1986), Acta Arith. 81 (1997), 301-343.
[1 0 ] R. C. Vaughan, Bounds fo r the coefficients o f cyclotomic polynomials, Michigan Math.
J. 21 (1974), 289-295.
[11]
R. C. Vaughan, The Hardy—Littlewood Method, Cambridge Univ. Press 1981.
[1 2 ] M. D. Vose, Egyptian fractions, Bull. London Math. Soc. 17 (1985), 21-24.
[1 3 ] E. Wirsing, Bemerkung zu der Arbeit iiber volkommene Zahlen, Math. Ann. 137
(1959), 316-318.
Andrzej Schinzel
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk
ul. Śniadeckich 8
00-956 Warszawa
e-mail: [email protected]