id6236-BADANIA OPERA..

Analiza czasowo-kosztowa
Aspekt ekonomiczny: należy rozpatrzyć
techniczne możliwości skrócenia terminu
wykonania całego przedsięwzięcia, w taki
sposób aby koszty związane z jego realizacją
były jak najniższe.
Określenie optymalnego terminu realizacji
przedsięwzięcia wiąże się z takim ułożeniem
programu przyspieszenie, aby największa
akceleracja przypadła na te czynności
krytyczne, których koszty przyspieszenia
będą najniższe.
Oznaczenia:
tn – normalny czas trwania czynności, któremu
odpowiadają najniższe koszty wykonania
czynności Kn,
tgr – czas graniczny, najkrótszy możliwy ze
względów technicznych i technologicznych
czas wykonania czynności przy koszcie
granicznym Kgr,
S – średni gradient kosztu przy założeniu
liniowej zależności kosztów wykonania
czynności od czasu jej trwania:
1
S
K gr  Kn
tn  t gr
 tg
Gradient kosztów określa przyrost kosztów
realizacji
czynności
spowodowany
skróceniem czasu jej wykonania o
jednostkę.
koszt czynności
Kgr
GRANICZNY

NORMALNY
Kn
tgr
tn
czas trwania czynności
Procedura:
1) Na podstawie normalnych czasów trwania
czynności wyznaczamy termin końcowy i
ścieżkę krytyczną,
2) Ustalamy gradienty kosztów dla ścieżki
krytycznej,
3) Eliminujemy te czynności krytyczne, dla
których średni gradient kosztów nie
istnieje tzn. tn = tgr,
2
4) Proces
skracania
czasu
trwania
przedsięwzięcia
rozpoczynamy
od
czynności o najniższym gradiencie
kosztów S,
5) Przy skracaniu czasu trwania czynności
staramy się skrócić jej czas o jak
największą liczbę jednostek (dni, tygodni,
miesięcy itd.); występują tu dwa
ograniczenia:
 czas graniczny danej czynności tgr,
 pojawienie się nowej ścieżki
krytycznej (ma to miejsce wówczas
gdy zniknie zapas czasu dla
czynnościach niekrytycznych),
6) Jeżeli w sieci występuje dwie lub więcej
ścieżek krytycznych skracamy czas o tę
samą
wielkość
na
wszystkich
równoległych ścieżkach krytycznych.
7) Najkrótszy
czas
wykonania
przedsięwzięcia otrzymamy, gdy wszystkie
czynności leżące na którejkolwiek ścieżce
krytycznej osiągną czasy graniczne tgr,
8) Koszty przyspieszenia na każdym etapie
oblicza się jako iloczyn gradientu kosztów
S dla danej czynności i liczby jednostek
3
czasu, o które dana czynność krytyczna
została skrócona.
Łączne koszty przyspieszenia są
sumą
kosztów
poniesionych
na
poszczególnych etapach.
Zaprezentowana
procedura
służąca
wyznaczeniu
optymalnego
programu
akceleracji
czynności
i
określenia
najkrótszego czasu wykonania całego
przedsięwzięcia, przy minimum kosztów
może być zastosowana zarówno do sieci
CPM, jak i PERT.
Przykład:
CPM-COST
Mając
dane
charakteryzujące
pewne
przedsięwzięcie
dokonać
skrócenia
całkowitego czasu jego ukończenia, tak aby
koszt przyspieszenia terminu ukończenia
przedsięwzięcia był jak najmniejszy:
4
Czas
trwania
Czynność
(w dniach)
tn
A 1-2
Koszt (j.p.)
tgr
Kn
S
Kgr
6
280
B 1-4 10
5
100
4
10
15
2
300
260
150
200
1290
400
300
150
360
1760
C6
3
2-3
3-6
4-5
5-6
Suma
6
12
15
10
2
8
17
9
K gr  K n
14
50
20
20
x
23
9
z=9
1
0
tn  t gr
400  280
 60
400
86
150  100
 10
150
10  5
8
C
D
E
F
Gradient kosztów
S
6
0
35
0
35
0
4
10
E 15
10
0
5
25
z=0
25
0
5
Ścieżka krytyczna przebiega przez zdarzenia
1-4-5-6, a zatem odpowiada czynnościom
B-E-F. Czas wykonania przedsięwzięcia
ustalony na podstawie ścieżki krytycznej
wynosi 35 dni.
Zapas czasu czynności niekrytycznych
A-C-D wynosi 9 dni.
Skrócenie czasu całkowitego wykonania
przedsięwzięcia można uzyskać dzięki
skróceniu czasów trwania czynności
krytycznych B-E-F.
Czas
trwania
Czynność
Gradient kosztów
(w dniach)
tn tgr
B
E
F
Koszt (j.p.)
Kn
Kgr
10 5 100 150
15 15 150 150
10 2 200 360
S
K gr  K n
tn  t gr
10 MIN
20
Rozpoczynamy od czynności o najmniejszym
gradiencie kosztów. Ponieważ SMIN=SB=10
skracamy czas trwania czynności B do
poziomu czasu granicznego tgr = 5 dni, a
6
zatem o tn-tgr=10–5=5 dni. Tym samym czas
realizacji całego przedsięwzięcia zostanie
zmniejszony o 5 dni i wyniesie 35–5=30 dni,
a wzrost kosztów spowodowany tym
skróceniem będzie równy, skoro gradient
kosztów wyniósł SB=10:
K1  10  5  50 j.p.
2
8
12
4
C6
3
14
18
9
z=4
6
1
1
30
0
30
0
0
4
5
5
0
E 15
z=0
5
20
20
0
7
Czynność
A
B
C
D
E
F
t
8
10-5=5
6
12
15
10
tgr
6
5
4
10
15
2
Czynności E nie można skrócić, bowiem
tn=tgr, czyli że gradient kosztów SE nie
istnieje.
Można skrócić czynność F trwającą
normalnie 10 dni maksymalnie do czasu
granicznego tgr=2, czyli o 8 dni, co
skutkowałoby całkowitym czasem realizacji
przedsięwzięcia 22 dni (30-8=22).
Nie ma to sensu, gdyż druga droga w sieci
A-C-D daje czas trwania przedsięwzięcia
8+6+12=26 dni. Skrócenie więc czynności F
aż o 8 dni i tak dałoby czas trwania całego
projektu 26 dni gdyż:

Tjw  max Ti w  t ij

a zostałyby poniesione niepotrzebne koszty.
8
Dlatego też na tym etapie opłaca się skrócić
czynność F maksymalnie o 4 dni (do poziomu
6 dni), gdyż wówczas całe przedsięwzięcie
zakończy się nie po 30 lecz po 26 dniach.
Czynność
A
B
C
D
E
F
t
8
5
6
12
15
10-4=6
tgr
6
5
4
10
15
2
Dodatkowy koszt czasu jego skrócenia
wyniesie, skoro gradient kosztów SF=20:
K 2  4  20  80 j.p.
W tej sytuacji
krytyczne:
powstają
dwie
ścieżki
A-C-D
B-E-F
9
2
8
8
0
C6
3
14
14
0
z=0
6
1
0
26
0
26
0
0
4
5
5
0
E 15
z=0
5
20
20
0
Ścieżka B-E-F:
Czynność
B
E
F
t
5
15
6
tgr
5
15
2
Czynność B osiągnęła czas graniczny.
Czynność E osiągnęła czas graniczny.
Czynność F nie osiągnęła jeszcze czasu
granicznego.
Skracamy czynność F o 4 dni.
10
Czynność
B
E
F
t
5
15
6-4=2
tgr
5
15
2
Skrócenie czasu trwania ścieżki B-E-F o 4 dni
musi znaleźć odzwierciedlenie w skróceniu
drogi A-C-D także o 4 dni.
Ścieżka A-C-D:
Czynność
Gradient
kosztów
t
tgr
A
C
D
60
50
20
8
6
12
6
4
10
Czynność A nie osiągnęła jeszcze czasu
granicznego.
Czynność C nie osiągnęła jeszcze czasu
granicznego.
Czynność D nie osiągnęła jeszcze czasu
granicznego.
11
Można więc skrócić teoretycznie każdą z
tych czynności o 2 dni (co dałoby zysk 6 dni),
ale ze ścieżki B-E-F wynika, iż łączne ciąg
czynności A-C-D może zostać skrócony
maksymalnie o 4 dni. Musimy zatem dokonać
wyboru dwóch spośród trzech czynności, które
potencjalnie mogą zostać skrócone.
Kierujemy się kryterium gradientu
kosztów.
Czynność
Gradient
kosztów
t
tgr
A
C
D
60
50
20
8
6-2=4
12-2=10
6
4
10
Najmniejszy gradient kosztów ma
czynność D a następnie czynność C oraz
czynność A; skoro musimy skrócić dwie
spośród trzech czynności (bo zależy nam aby
łącznie „wygospodarować” tylko 4 dni), tak
więc skracamy czynności D i C (każdą o 2
dni).
Daje to przyrost kosztów realizacji
przedsięwzięcia:
12
Gradient
Ścieżka Czynność kosztów
Koszty
S
B-E-F
20
F
4  20 = 80
20
D
2  20 = 40
A-C-D
50
C
2  50 = 100
Suma
K3 = 220
Dalsze
skracanie
czasu
realizacji
przedsięwzięcia jest niemożliwe, gdyż
czynności leżące na drodze B-E-F osiągnęły
czasy graniczne.
Całkowity koszt przyspieszenia realizacji
przedsięwzięcia z 35 do 22 dni jest równy:
K1  K 2  K 3  50  80  220  350 j.p.
Całkowity koszt przedsięwzięcia skróconego
z 35 do 22 dni wynosi zatem:
1290  350  1640 j.p.
13
2
8
8
0
3
C4
12
z=0
12
0
1
2
6
0
22
0
22
0
4
5
0
5
E 15 20
20
5
0
z=0
Zastosowanie winqsb:
File
New Problem
14
Solve and Analyze
Solve Critical Path Using Normal Time
Solve and Analyze
Solve Critical Path Using Crash Time
15
Results Perform Crashing Analysis
Czas realizacji
skrócony do
30 dni:
K1=50
Czas realizacji
skrócony do 26
dni:
K2=80
K1+K2=130
16
Czas realizacji
skrócony do 22
dni:
K3=220
K1+K2+K3=350
Zadanie do rozwiązania:
Przedsięwzięcie składa się z 10 czynności, dla których podano
czasy normalne tn, czasy graniczne tgr (w tygodniach) oraz
koszty normalne Kn i graniczne Kgr (w tys. zł) jak następuje:
Czynność
A
1-2
B
1-3
C
1-4
D
2-5
E
3-5
F
4-6
G
5-6
H
5-7
I
6-7
tn
9
27
16
14
24
20
6
12
22
tgr
9
18
8
12
24
18
4
10
20
Kn
30
36
16
14,4
24
18
40
10
20
Kgr
30
54
36
16
24
24
64
15
23
17
a) narysować sieć oraz wyznaczyć najwcześniejszy możliwy termin
realizacji całego przedsięwzięcia,
b) ile wyniosłyby koszty realizacji w wariancie normalnym i
granicznym,
c) jaki jest koszt czynności leżących na ścieżce krytycznej,
d) które czynności i dlaczego nie wpływają na wzrost kosztów
realizacji całego przedsięwzięcia,
e) czy i dlaczego opłacalne jest skrócenie czynności B o 3 tygodnie z
punktu widzenia czasu realizacji całego przedsięwzięcia,
f) czy i dlaczego możliwe i opłacalne jest skrócenie czynności C
dwukrotnie z punktu widzenia czasu realizacji całego
przedsięwzięcia,
g) o ile tygodni można skrócić maksymalnie realizację
przedsięwzięcia i jakie zostaną w związku z tym poniesione koszty,
h) skrócić czas realizacji przedsięwzięcia o 10 tygodni przy możliwie
najniższym koszcie; ile wynoszą koszty akceleracji,
i) skrócić tak czas realizacji przedsięwzięcia aby koszty akceleracji
nie przekroczyły 11 tys. zł; jaki będzie wówczas czas realizacji
przedsięwzięcia?
Rozwiązanie:
a) ścieżka krytyczna B-E-G-I, czas realizacji całego przedsięwzięcia
79 tygodni,
b) wariant normalny 208,4 wariant graniczny 286,0 tys. zł,
c) 120 tys. zł,
d) A i E, gdyż ich gradient kosztów nie istnieje,
e) tak, gdyż czynność B leży na ścieżce krytycznej i jej skrócenie o 3
tygodnie skróci czas realizacji całego przedsięwzięcia też o 3
tygodnie,
f) możliwe gdyż normalny czas czynności C wynosi 16, zaś
graniczny 8 tygodni; nieopłacalne bowiem nie zmieni czasu
realizacji całego przedsięwzięcia,
g) maksymalnie o 13 tygodni przy wzroście kosztów o 45 tys. zł,
h) 19 tys. zł,
i) 73 tygodnie.
18