Drzewka gry

Drzewka gry.
Teoria gier a biznes.
Drzewka gry
 Gra jest to sytuacja konfliktowa, w której gracze podejmują
decyzję, co do strategii, w sposób sekwencyjny
i sukcesywny, w miarę przebiegu gry poznając kolejne ruchy
przeciwnika. Takie sytuacje możemy właśnie przedstawić za
pomocą drzewek gry.
 Taką grę, którą da się przedstawić w postaci drzewka, można łatwo
sprowadzić również do poznanej wcześniej postaci gry
macierzowej.
Przykład 1
(uproszczony poker)
 Gra odbywa się przy użyciu talii ograniczonej do asów i króli.Pan
Wiersz i Pani Kolumna dostają po jednej karcie i wkładają do puli po
1$. Po otrzymaniu swojej karty Pani Kolumna ma do wyboru dwie
opcje: podnieść stawkę o 2$ lub spasować. Jeżeli spasuje, Pan Wiersz
zgarnia całą pulę, jeśli jednak podniesie stawkę, wówczas Pan
Wiersz może sprawdzić (tzn. zaakceptować grę o wyższą stawkę)
lub spasować. Jeżeli Pan Wiersz spasuje, wówczas Pani Kolumna
zgarnia pulę, zaś jeśli zdecyduje się sprawdzać, to gracze porównują
swoje karty i wygrywa ten, który ma wyższą; jeśli oboje mają taką
samą, pula dzielona jest pomiędzy graczy po równo.
Aby zbudować model tej gry, musimy opisać ją najpierw jako sekwencję ruchów.
Pierwszy ruch, rozdając karty, wykonuje Los. Ma on cztery możliwości:
1. przydzielić obojgu graczom asa (A,A)
2. dać asa Panu Wierszowi i króla Pani Kolumnie (A,K)
3. dać króla Panu Wierszowi i asa Pani Kolumnie (K,A)
4. przydzielić obojgu graczom króla (K,K).
Zakładamy przy tym, że prawdopodobieństwo każdego z tych rozdań jest takie
samo i wynosi ¼.
Po ruchu wykonanym przez Los, kolejny ruch należy do Pani Kolumny,
która wybiera pomiędzy podniesieniem stawki a spasowaniem; jeśli podniosła,
wówczas Pan Wiersz wybiera pomiędzy sprawdzeniem a spasowaniem.
Na koniec obojgu graczom przydzielane są ich wypłaty.
Drzewka gry mogą być wykorzystywane do opisu sytuacji, w której gracze
(min. dwóch) wykonują sekwencyjnie szereg ruchów, jednak każde z nich
charakteryzuje się tym samym, tzn.:
każdy wewnętrzny węzeł przypisany jest któremuś z graczy (włączając
Los), wykonującemu z niego ruch
każda z gałęzi wyprowadzona w dół z danego węzła reprezentuje możliwy
ruch gracza
każdej z gałęzi, odpowiadającej ruchowi Losu przypisane jest p-stwo, z jakim
Los wykona odpowiedni ruch
każdemu węzłowi końcowemu przypisane są wypłaty obu graczy
węzły należące do każdego gracza podzielone są na zbiory informacyjne;
wykonując ruch gracz wie, w którym zbiorze informacyjnym się aktualnie
znajduje, nie wie jednak, w którym z jego węzłów
z każdego z węzłów należących do tego samego zbioru informacyjnego
wyprowadzona jest taka sama liczba gałęzi, oznaczanych w taki sam sposób
Każda dwuosobowa gra, którą da się przedstawić za pomocą drzewka
gry, może być również przedstawiona jako gra macierzowa.
To, co łączy ze sobą oba te przedstawienia to idea strategii.
W przypadku gry przedstawionej w postaci drzewka, strategią gracza
jest dokładny spis ruchów, jakie wykonałby w razie znalezienia się w
każdym ze zbiorów informacyjnych, w których mógłby się w
przebiegu gry znaleźć.
Biorąc pod uwagę wspomniany już przykład, łatwo możemy zauważyć,
że każdy z graczy, zarówno Pani Kolumna, jak i Pan Wiersz, mają
4 możliwe strategie w tej grze. Jeżeli wiemy, jakie strategie wybiorą gracze,
możemy, z dokładnością do ruchów Losu, wyznaczyć na drzewku gry cały
jej przebieg, a dodatkowo ponieważ znamy prawdopodobieństwa
poszczególnych ruchów Losu, możemy zatem wyznaczyć oczekiwane
wartości wypłat dla obu graczy.
Jeśli przypiszemy wierszom i kolumnom macierzy poszczególne strategie
Pana Wiersza i Pani Kolumny, a w odpowiednie komórki macierzy
wpiszemy wypłaty dla każdej pary strategii, uzyskamy wówczas grę
macierzową odpowiadającą grze pierwotnie przedstawionej w postaci
drzewka.
 Zadanie 1)
Odtwórz rachunki, które dla gry z przykładu 1 pozwoliły
wyznaczyć:
a) Wypłatę 5/4
b) wypłatę -1/2
Przykład 2
(model kubańskiego kryzysu rakietowego)
 W grze biorą udział: Stany Zjednoczone pod prezydenturą
Kennedy’ego i ZSRR pod przywództwem Chruszczowa.
Rozpoczyna Chruszczow, decydując, czy zainstalować na Kubie
pociski rakietowe, mogące razić terytorium USA. Jeżeli zdecyduje
się na ich rozmieszczenie, wówczas Kennedy ma trzy możliwości
postępowania: nie zrobić nic, ogłosić blokadę Kuby lub zniszczyć
rakiety za pomocą precyzyjnego uderzenia z powietrza. Jeśli
Kennedy zdecyduje się na działania agresywne, czyli blokadę
wyspy lub zniszczenie rakiet, wówczas Chruszczow może albo
ustąpić, albo zastosować kroki odwetowe, co mogłoby ostatecznie
doprowadzić do wojny nuklearnej.
W przedstawionej sytuacji Kennedy ma do wyboru trzy strategie, odpowiadające
trzem ruchom możliwym do wykonania z jego jedynego węzła:
A) nie robić nic,
B) zastosować blokadę,
C) zniszczyć rakiety,
natomiast kwestia strategii Chruszczowa jest bardziej skomplikowana,
gdyż ma on do wyboru aż pięć różnych strategii:
A)nie rozmieszczać rakiet,
B)rozmieścić rakiety; w przypadku jakiejkolwiek agresywnej reakcji Kennedy’ego
ustąpić,
C)rozmieścić rakiety; w przypadku blokady ustąpić, zaś w przypadku
zniszczenia rakiet zastosować odwet,
D)rozmieścić rakiety; w przypadku blokady zastosować odwet, zaś w
przypadku zniszczenia- ustąpić,
E)rozmieścić rakiety; w przypadku agresywnej reakcji Kennedy’ego zastosować
odwet.
Ponieważ każdy z graczy zna uprzednie ruchy przeciwnika, zatem wszystkie
zbiory informacyjne zawierają tylko po jednym węźle.
Gra o pełnej informacji
 O grze o pełnej informacji mówimy wtedy, gdy:
 żaden z węzłów nie jest przypisany ruchowi Losu
 każdy węzeł należy do osobnego zbioru informacyjnego
o Inaczej mówiąc, w grze nic nie zależy od przypadku- wszyscy gracze znają
obowiązujące reguły gry, wszystkie dotychczas wykonane w grze ruchy, a
także wypłaty przeciwnika.
o Ten rodzaj gry może być analizowany techniką „przycinania drzewka”,
czyli indukcji wstecznej.
Opis:
Mamy tu do czynienia z grą o sumie zerowej. Analizując drzewko metodą
„przycinania”, należy na początku zastanowić się nad ostatnim ruchem Pani
Kolumny w grze przedstawionej na pierwszym drzewku. Pani Kolumna zawsze
wybierze tę gałąź, która prowadzi do wyniku gorszego dla Pana Wiersza, a zatem
możemy „przyciąć” ostatnie gałązki drzewka, a każdemu spośród powstałych w ten
sposób węzłów końcowych gry przypisać najniższą ze znajdujących się pierwotnie
poniżej danego węzła wypłatę Pana Wiersza, w ten sposób uzyskując drugie
drzewko. Teraz ostatni ruch wykonuje Pan Wiersz, który zawsze wybierze gałąź
prowadzącą do najwyższej dla siebie wypłaty, można zatem po raz kolejny
zredukować ostatni poziom gałązek i uzyskać w ten sposób ostatnie drzewo gry.
Znów teraz decyzję podejmuje Pani Kolumna, zgodnie z opisanymi wcześniej
zasadami. W tym przypadku powinna ona wybrać prawą gałąź, a racjonalnym
wynikiem gry jest wypłata „-2” dla Pana Wiersza.
Posuwając się śladem uprzednio odciętych gałęzi, możemy teraz odtworzyć
sekwencję prowadzących do tego wyniku ruchów.
 Zadanie 2)
Załóżmy, że w kryzysie kubańskim gracze w następujący sposób
porządkują wyniki od najlepszego dla danego gracza do
najgorszego:
Kennedy: w, y, u, v, x, z
Chruszczow: v, u, w, y, z, x
Zastosuj technikę indukcji wstecznej („przycinania”) do
drzewka gry z rysunku 7.2, aby znaleźć jej racjonalne
rozwiązanie.
 Zadanie 3)
Dla gry z rysunku:
a) znajdź rozwiązanie techniką indukcji wstecznej
(„przycinania”)
b) wypisz wszystkie strategie Pani Kolumny
c) wypisz wszystkie strategie Pana Wiersza
d) zapisz macierz gry
e) Rozwiąż grę macierzową i sprawdź, czy uzyskane
rozwiązanie jest takie samo jak w podpunkcie a
Teoria gier a biznes:
podejmowanie decyzji
w warunkach
konkurencji
W świecie biznesu przedsiębiorstwa często podejmują decyzje w
warunkach strategicznej niepewności co do działań, które
podejmują inne firmy. Dodatkowymi czynnikami niepewności
mogą być przy tym przyszła koniunktura gospodarcza, wielkość
rynku dla nowego produktu, koszty oraz wiele innych zmiennych.
Możemy więc powiedzieć, że przedsiębiorstwa biorą udział w
grach z udziałem zarówno innych graczy, jak i losu. W tego typu
grach szczególnego znaczenia nabiera informacja, zarówno
dotycząca działań konkurentów, jak i czynników ogólnie
określanych mianem losu.
Przykład
 Rozważmy dwie firmy: Zeus Music, będącą liderem w produkcji
nowoczesnego sprzętu audio oraz Atena Acoustics, będącą firmą
mniejszą, lecz cenioną ze względu na innowacyjność i wysoką jakość
produktów. Obie firmy opracowały nowy, obiecujący „heksafoniczny”
system dźwiękowy, polegający na zawieszeniu słuchacza na pewnej
wysokości, tak aby z każdej strony był otoczony muzyką i mógł słuchać
jej z sześciu głośników, umieszczonych z przodu, tyłu, lewej, prawej,
góry i dołu.
 Czynnikiem niepewności jest tutaj wielkość rynku na tego typu
urządzenia: mały (zysk około 24 mln $) lub duży (zysk około 40 mln $)szanse istnienia obu są takie same i wynoszą 50%. Obie firmy muszą
zatem zdecydować, jakiego typu produkt wypuścić najlepiej na rynek:
najwyższej jakości system adresowany do audiofilów (NJ) czy też system
tańszy, skierowany do odbiorców poszukujących nowości, ale
o mniejszych wymaganiach co do jakości dźwięku (T) Jeżeli rynek jest
mały, lepiej będzie się sprzedawać system wyższej jakości, jeżeli jednak
byłby duży, wówczas większym powodzeniem cieszyłby się system
tańszy.
Uwzględniając wszystkie czynniki, analitycy Zeusa oszacowali udziały w rynku
obu firm w różnych sytuacjach (zakładamy, że analitycy Ateny ocenili sytuację
podobnie, bowiem do obliczeń wykorzystano informacje powszechnie dostępne):
Przypadek 1
 Obie firmy trzymają w tajemnicy swoje decyzje co do
kierunku produkcji- żadna nie zna decyzji drugiej; nie zna
także „decyzji” Losu.
 Obie firmy mają tu po dwie strategie: produkować sprzęt
najwyższej jakości (NJ), bądź też tańszy (T).
Przypadek 2
 Zeus, jako firma wiodąca na rynku, musi podjąć decyzję co do
wyboru produktu wcześniej, a Atena- firma mniejsza i bardziej
elastyczna- może zdecydować się na tyle późno, by poznać
najpierw decyzję podjętą przez konkurenta.
 Firma Zeusa ma w tym przypadku dwie możliwości strategii,
zaś firma Ateny- cztery.
Przypadek 3
 Zeus wykonuje ruch jako pierwszy, ale zanim go wykona,
przeprowadza dokładne badania rynku, które pozwolą mu
określić, czy rynek jest duży, czy też mały. Atena nie będzie znać
wyniku badań, będzie jednak wiedzieć, że miały one miejsce.
 Obie firmy mają tu po cztery strategie.
Przypadek 4
 Obie firmy, zarówno Zeus, jak i Atena przeprowadzają
badania rynku, pozwalające określić czy rynek jest mały, czy
duży; Atena wykonuje swój ruch znając już decyzje
zarówno Zeusa, jak i Losu.
 Firma Zeusa ma w tym przypadku cztery strategie, zaś
firma
Ateny- aż szesnaście.
Przypadek 5
 Zeus wykonuje badania rynku, ale ukrywa ten fakt przed Ateną,
stąd też ma ona błędne wyobrażenie o grzegrze- według niej mamy do
czynienia z grą z przypadku 2, dlatego będzie grać strategią
optymalną dla tego przypadku, czyli NJ/T.
 Zeus wiedząc o tym, jak zagra Atena i wiedząc, że ma do
czynienia z grą z przypadku 3, zagra więc strategią optymalną dla
tego też przypadku, czyli NJ/T, dzięki czemu uzyska wypłatę 24
(zysk o 2, w porównaniu z przypadkiem 3)
 Wniosek: posiadanie informacji może pozwolić graczowi na
zapewnienie sobie lepszego wyniku gry
gry-- dotyczy to także informacji
o tym, co który z graczy wie o informacjach posiadanych przez
drugiego, a więc o tym, jaka gra jest w rzeczywistości rozgrywana.
Ćwiczenie




Załóżmy, że obaj gracze wykonują ruchy jednocześnie,
ale uprzednio Zeus przeprowadza badania rynku, o czym
Atena wie, ale nie zna ich wyników.
Wskaż zbiory informacyjne w tej grze.
Zapisz i rozwiąż odpowiednią grę 4x2.
Co by się zmieniło, gdyby Atena nie wiedziała o
przeprowadzonych badaniach rynku?