Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i
punkty siodłowe
Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych
warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada
jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.
Aby można było mówić o grze, należy określić kilka pojęć:
1. Gracz – uczestnik sytuacji, może nim być człowiek, firma, państwo,
gatunek w znaczeniu biologicznym; w grze musi być co najmniej dwóch
graczy
2. Strategia – możliwość postępowania każdego z graczy, sposób
rozgrywania przez niego gry
3. Wynik gry – determinowany jest przez kombinacje strategii wybieranych
przez poszczególnych graczy
4. Wypłata – określa wartość wyniku gry dla poszczególnych graczy, można
ją wyrazić liczbowo; poszczególne wyniki są przyporządkowane pewnym
zbiorom strategii
Pojęciu gry towarzyszą także takie określenia jak konflikt i kooperacja.
 Konflikt – mamy z nim do czynienia, ponieważ zazwyczaj każdy z graczy
dąży do innego wyniku gry
 Kooperacja – jest możliwa, gdy kilku graczy koordynuje swoje strategie,
by doprowadzić do wyniku dającego każdemu z nich wyższą wypłatę
Z przykładami gier spotykamy się w wielu sytuacjach społecznych. Kompletna
teoria racjonalnego rozwiązywania gier miałaby bardzo szerokie zastosowanie i
pozwalałaby na znalezienie właściwego sposobu postępowania w każdej
sytuacji. W praktyce jednak teoria gier ma pewne ograniczenia:
1. Gry rozgrywane w rzeczywistym świecie są bardzo skomplikowane –
wskazanie wszystkich graczy, opisanie ich strategii, możliwych wyników o
przypisanie do nich wartości wypłat jest trudne. Możliwe jest
konstruowanie prostych kier dotyczących niektórych istotnych
elementów rzeczywistości.
2. Teoria gier zakłada, że gracze zachowują się racjonalnie – w realnym
świecie nie zawsze ma to miejsce
3. Teoria gier nie potrafi dokładnie przewidzieć przebiegu gier, w których
interesy obu graczy nie są dokładnie przeciwstawne i w których bierze
udział więcej niż dwóch graczy
Gra o sumie zerowej – gra, w której interesy obu graczy są dokładnie
przeciwstawne; osoba pierwsza wygrywa dokładnie tyle, ile przegrywa druga.
Takie gry stanowią modele dla sytuacji czystego konfliktu dwóch stron.
Przykład
Dla takich gier wystarczy podać wypłaty jednego gracza. Wypłatę drugiego
uzyskamy mnożąc wypłatę pierwszego przez -1.
Analizując sposób, w jaki gracze powinni rozegrać taką grę, możemy ja zapisać
także jako diagram przesunięć. Strzałki przeprowadzamy w następujący
sposób:
- w poszczególnych wierszach prowadzimy je z każdej komórki do komórki z
najmniejszą wartością
- w kolumnach prowadzimy je z każdej komórki do komórki z największą
wartością w danej kolumnie
Gra o sumie niezerowej - gra, w której wypłaty obu graczy nie sumują się do
zera.
Przykład
Gra macierzowa – gra dwuosobowa o sumie zerowej, która jest macierzą m x n,
gdzie m to liczba strategii jednej osoby, a n to liczba strategii drugiej. Celem
osoby pierwszej jest taki wybór wiersza, by uzyskać wynik reprezentowany
przez największą wartość, drugiej – wybór kolumny, w której wynik gry jest
liczbą najmniejszą.
Definicja
Strategia S dominuje strategię T, jeżeli każdy wynik dawany przez S jest co
najmniej równie korzystny co odpowiedni wynik dawany przez T, a
przynajmniej jeden wynik dawany przez S jest bardziej korzystny niż
odpowiedni wynik dawany przez T.
Kryterium dominacji.
Racjonalny gracz nigdy nie wybiera strategii zdominowanej.
Kryterium to pozwala czasami wyeliminować niektóre strategie, ale ma dość
ograniczone zastosowanie.
Przykład
Dla osoby II strategia B jest bezwzględnie lepsza niż C, bo w każdej komórce B
znajduje się liczba mniejsza niż w odpowiedniej komórce kolumny C.
Mówimy, że strategia B dominuje strategię C lub strategia C jest zdominowana
przez strategię B.
Można zauważyć też, że strategie B i C są najbezpieczniejsze.
Para strategii C osoby I i B osoby II daje wynik będący punktem równowagi.
Znaczy to tyle, że strategie te są wzajemnie najlepszymi odpowiedziami na
siebie. W takim przypadku wypłata dla tej pary strategii jest jednocześnie
największa w swoim wierszu i najmniejsza w swojej kolumnie.
Definicja
Wynik gry macierzowej (dla macierzy zawierającej wypłaty gracza
wybierającego wiersze) nazywamy punktem siodłowym, jeżeli jego wartość
jest mniejsza lub równa każdej wartości w jego wierszu, a większa lub równa
każdej wartości w jego kolumnie.
Kryterium punktu siodłowego.
Jeżeli gra macierzowa ma punkt siodłowy, obaj gracze powinni wybrać
zawierające go strategie.
Definicja
Dla każdej gry macierzowej, dla której istnieje taka liczba v, że osoba I ma
strategię gwarantującą jej wygranie co najmniej v, a osoba II ma strategię
gwarantującą, że osoba I nie wygra więcej, v jest wartością gry.
Jeżeli gra ma punkt siodłowy , to jego wartość jest wartością gry.
Niektóre gry nie mają żadnego punktu siodłowego, inne mają ich kilka.
Gdy gra ma wiele punktów siodłowych, wszystkie one są ze sobą powiązane –
mają tę samą wartość i leżą na wierzchołkach jednego prostokąta.
Twierdzenie
Każde dwa punkt siodłowe tej samej gry mają taką samą wartość. Jeżeli
zarówno osoba I, jak i osoba II zagrają strategie zawierające punkty siodłowe, to
wynik gry zawsze będzie punktem siodłowym.
Metoda określania, czy gra ma punkt siodłowy i jeśli tak, pozwalająca go
znaleźć:
- wypisujemy najmniejsze wartości z każdego wiersza i wybieramy największą
spośród nich
- wypisujemy największe wartości z każdej kolumny i wybieramy najmniejszą z
nich
 Jeśli maksimin wierszy i minimaks kolumn jest taki sam, to leży on w punkcie
siodłowym
 Jeżeli maksimin i minimaks mają różne wartości, gra nie posiada punktu
siodłowego
Przykład
ZADANIA
Zad.1 W następującej grze wskaż wszystkie zdominowane i dominujące
strategie obu graczy.
Rozwiązanie:
Kolumna:
- C dominuje A, bo 2≤3, 0≤2, -5≤-4 (A jest zdominowana przez C)
- B dominuje D, bo -6≤-4, 1≤1, 3≤4 (D jest zdominowana przez B)
Wiersz:
- brak strategii zdominowanych
Kryterium dominacji wyższego rzędu – głosi ono, że gracze mogą wybierać jedynie te
strategie, które przetrwają proces eliminacji polegający na tym, że w pierwszym kroku
skreślamy wszystkie strategie zdominowane, uzyskując w ten sposób nową, mniejszą grę. W
tej mniejszej grze niektóre strategie mogą znów być zdominowane, pomimo że nie były
zdominowane w grze oryginalnej, znajdujemy je i skreślamy, otrzymując ponownie
zmniejszoną grę. Powtarzamy ten proceder, dopóki w uzyskanej grze nie ma już żadnych
strategii zdominowanych.
Zad.2 Które ze strategii w poniższej grze są dopuszczalne ze względu na
kryterium dominacji wyższego rzędu?
Rozwiązanie:
Krok 1:
- kB dominuje kA, bo 1≤1, 1≤2, 2≤2, 2≤2 (kA jest zdominowana przez kB)
- kC dominuje kB, bo 1≤1, 1≤1, 1≤2, 2≤2 (kB jest zdominowana przez kC)
Krok 2:
-wA dominuje wB, bo 1≥1, 2≥1, 2≥2 (wB jest zdominowany przez wA)
-wB dominuje wC, bo 1≥1, 1≥1, 2≥1 (wC jest zdominowany przez wB)
Krok3:
-kE dominuje nad kD, bo 2≤2, 0≤1 (kD jest zdominowana przez kE)
Strategie A i D dla Wiersza oraz strategie C i E dla Kolumny są dopuszczalne ze
względu na kryterium dominacji wyższego rzędu.
Zad.3 Wyznacz w poniższych grach wszystkie punkty siodłowe, a dla gier b) i c)
narysuj diagramy przesunięć.
Rozwiązanie:
a) 4 punkty siodłowe
b) 1 punkt siodłowy
c) Brak punktów siodłowych