Materiały dydaktyczne Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne
Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Semestr III
Ćwiczenia
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Temat 1 (6 godzin): Obwody prądu stałego
Zagadnienie: 1. Obwody pasywne prądu stałego. (3h)
Obwodem pasywnym nazywa się obwód elektryczny złożony wyłącznie z elementów
pasywnych, czyli określonych tylko rezystancją R.
Rozwiązanie obwodu pasywnego polega na obliczeniu rozpływu prądów w gałęziach i
rozkładu napięć na poszczególnych elementach przy podanym stałym napięciu zasilania,
uproszczenie obwodu pasywnego rozgałęzionego sprowadza się do wyznaczenia rezystancji
zastępczej dla elementów połączonych szeregowo ze wzoru
n
R z  Rn
1
lub równolegle
n
1
1

Rz
1 Rn
Do rozwiązania obwodu pasywnego nierozgałęzionego
wystarczy znajomość prawa
Ohma
I
U
R
W metodzie rozwiązywania obwodów pasywnych wyodrębnia się dwie części. W
pierwszej części należy uprościć obwód do postaci nierozgałęzionej w celu obliczenia
prądu płynącego ze źródła, natomiast w drugiej należy rozwijać obwód do postaci
pierwotnej jednocześnie obliczając spadki napięcia na gałęziach. Biegunowość napięcia
przyjęto oznaczać na schematach za pomocą strzałki, której grot wskazuje potencjał wyższy,
czyli zacisk dodatni. Dodatni zwrot prądu przyjmuje się, zgodnie z tradycją, od zacisku
dodatniego do ujemnego. Wobec tego spadek napięcia na rezystancji R ma zwrot przeciwny
do kierunku prądu.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
2
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 1
Cztery jednakowe oporniki, każdy o rezystancji R, połączono w sposób pokazany na
rys. 1. Obliczyć rezystancję zastępcze w poszczególnych przypadkach.
Rys. 1
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
3
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 2
Znaleźć spadki napięcia na poszczególnych gałęziach obwodu (rys. 2), jeżeli
amperomierz wskazuje 3A, R1 = 3, R2 =2, R3 =4.
Rys. 2
Zadanie 3
Trzy jednakowe uzwojenia stojana silnika trójfazowego połączono w trójkąt (rys. 3).
Rezystancja zmierzona między zaciskami A i B wynosi 44Ω . Obliczyć rezystancję jednego
uzwojenia.
Rys. 3
Zadanie 4
Obwód podany na rys. 4 zasilany jest ze źródła napięcia stałego o wartości U = 220V.
Liczby oznaczają rezystancję w omach. Obliczyć prąd pobierany ze źródła.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
4
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rys. 4
Zadanie 5
W obwodzie przedstawionym na rys. 5 obliczyć rozpływ prądów. Liczby oznaczają
rezystancje w omach.
Rys. 5.
Zadanie 6
Rozwiązać obwód pasywny, podany na
rys. 6 (liczby oznaczają rezystancje w
omach).
Rys. 6.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
5
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 7
W obwodzie pasywnym (rys. 7) znane są rezystancje oraz prąd płynący przez
rezystancję R4. Obliczyć rozpływ prądów i napięcie zasilania.
Rys. 7.
Zadanie 8
Rozwiązać obwód rozgałęziony, przedstawiony na rys. 8.
Rys. 8.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
6
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 9
Rozwiązać obwód pasywny, podany na rys. 9.
Rys. 9
Zadanie 10
W obwodzie, podanym na rys. 10 prąd I2 = 2A. Wartości rezystancji: R1 = 3Ω, R2 =
18Ω, R3 = 3Ω, R4 = 6 Ω. Obliczyć rezystancje zastępcze obwodu i napięcie zasilające.
Rys. 10
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
7
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 11
Dziewięć jednakowych oporników o rezystancji R każdy, połączono w sposób pokazany
na rys. 11. Obliczyć rezystancje zastępcze RAB i RAC.
Rys. 11
Zadanie 12
W obwodzie przedstawionym na rys. 12, obliczyć prądy we wszystkich gałęziach,
napięcie doprowadzone do układu oraz rezystancję zastępczą układu. Dane obwodu: R1 = 5Ω,
R2 = 12Ω, R = 6Ω, R4 = 3Ω, R5 = 4Ω oraz I = 15A.
Rys. 12
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
8
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 13
W obwodzie (rys. 13) napięcie w rezystorze R5 jest równe 120V. Obliczyć prądy we
wszystkich gałęziach oraz napięcie zasilające, jeżeli R1 = R4 = 2Ω, R2 = R3 = R6 = 4Ω, R5 =
12Ω.
Rys. 13
Zadanie 14
Obliczyć całkowity prąd i napięcie doprowadzone do obwodu (rys. 14) jeżeli spadek
napięcia U6 = 36V, R1 = 1Ω, R2 = 5Ω, R3 = 12Ω, R4 = 12Ω, R5 = 21Ω, R6 = 4Ω.
Rys. 14
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
9
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 15
Wyznaczyć prądy w gałęziach obwodu (rys. 15), jeżeli U = 120V, R1 = R6 = 45Ω, R2
= 220Ω, R3 = 76Ω, R4 = 240Ω, R5 = 360Ω.
Rys. 15
Zadanie 16
W obwodzie pokazanym na rys. 16 o danych U = 44V, R1 = 40Ω, R2 = R4 = 120Ω, R3
= 20Ω, R5 = 35Ω, R6 = 45Ω obliczyć prądy w gałęziach i prąd całkowity.
Rys. 16
.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
10
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 17
Obliczyć rezystancje zastępcze między punktami A i E oraz G i F, jeżeli w
obwodzie (rys. 17) dane są: R1 = 3Ω, R2 = R5 = R7 = R8 = 4Ω, R3 = 12Ω, R4 = 6Ω, R6 =
12Ω.
Rys. 17
Zadanie 18
Do dzielnika napięcia składającego się z rezystorów R1 i R2 doprowadzono napięcie U =
200V (rys. 18). Obliczyć napięcia U2 na wyjściu dzielnika przy otwartym i zamkniętym
wyłączniku W. R1 = 100Ω, R2 = R3 = 300Ω .
Rys. 18
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
11
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 19
Odbiornik o rezystancji Rodb = 40Ω zasilany jest z potencjometru (Rp = 80Ω), do
którego końców doprowadzono napięcie U = 120V (rys. 19). Obliczyć prąd i napięcie odbiornika, jeżeli suwak potencjometru znajduje się w położeniu środkowym (Rg = Rd).
Rys. 19
Zadanie 20
Odbiornik zasilany jest z potencjometru (rys. 19). Rezystancja potencjometru Rp =
200Ω, napięcie zasilające U = 300V. Jaka jest rezystancja odbiornika, jeżeli przy położeniu
środkowym suwaka potencjometru napięcie na odbiorniku Uodb = 120V ?
Zadanie 21
Do obwodu pokazanego na rys. 20, doprowadzono napięcie UAC = 6 V. Dane obwodu:
R1 = 1Ω, R3 = 3Ω, R2= R4 = 6Ω. Obliczyć napięcie UBD przy otwartym wyłączniku W.
Rys. 20
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
12
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 22
W obwodzie przedstawionym na rys. 20, napięcie między biegunami otwartego
wyłącznika W wynosi 3V. Obliczyć napięcie zasilające U.
Zadanie 23
W obwodzie z zadania 21 (rys. 20) obliczyć, czy większy będzie prąd w obwodzie
przy zamkniętym, czy przy otwartym wyłączniku W.
Zadanie 24
Obliczyć prąd w gałęzi BD obwodu (rys. 20) przy zamkniętym wyłączniku W. Dane
obwodu:
U = 36V, R1 = 2Ω, R2 = 3Ω, R3 = 6Ω, R4 = 4Ω.
Zadanie 25
Trzy spirale grzejnika połączono w trójkąt, z którego wierzchołków wyprowadzone są
trzy przewody (rys. 3). Mierząc rezystancję między poszczególnym przewodami otrzymano
następujące wyniki: RAB = 16Ω, RBC = 25Ω i RCA = 21Ω. Obliczyć rezystancje
poszczególnych spiral grzejnika.
Zagadnienie: 2. Obwody aktywne prądu stałego. (3h)
Obwody aktywne prądu stałego to takie, w których znajduje się co najmniej jeden
element aktywny. Może nim być prądnica, akumulator, silnik itd. W każdym elemencie
aktywnym wytwarzana jest siła elektromotoryczna (SEM).
Jedną z wielu metod rozwiązywania rozgałęzionych obwodów aktywnych jest metoda
równań Kirchhoffa. I prawo Kirchhoffa podaje bilans prądów w węźle.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
13
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
I  0
II prawo Kirchhoffa podaje bilans sił elektromotorycznych E i spadków napięć IR w dowolnie
wybranym obwodzie zamkniętym, czyli w oczku
 E   IR  0
Pierwszą czynnością w rozwiązaniu obwodu rozgałęzionego jest upraszczanie
(wyznaczanie rezystancji zastępczych oraz sumowanie algebraiczne SEM występujących w
jednej gałęzi).
Ilość gałęzi (zarówno pasywnych i aktywnych) określa liczbę niewiadomych prądów nx,
a więc i równań niezależnych, jeśli obwód posiada w węzłów, to należy ułożyć nx1 = w - 1
równań węzłowych (według I prawa Kirchhoffa). Pozostałą liczbę równań nx2 układa się dla
oczek niezależnych według II prawa Kirchhoffa
nx2 = nx – (w – 1)
Przed zapisem równań należy:
a) Wybrać nx1 niezależnych węzłów, oznaczyć prądy w gałęziach i nadać im zwroty w
dowolny sposób. Spadek napięcia na rezystancji oznaczyć w kierunku przeciwnym do
prądu.
b) Wybrać nx2 niezależnych oczek. Niezależność tę można uzyskać wtedy, gdy
powierzchnie zamknięte w oczkach nie nakrywają się wzajemnie.
c) Zorientować oczka, tzn. nadać dodatni zwrot przy obiegu oczka. Jeżeli, wędrując
wzdłuż gałęzi tworzących oczko, spotyka się SEM lub napięcie źródła o zwrocie
zgodnym z orientacją dodatnią, to przypisuje się im znak dodatni i odwrotnie.
Podobnie ze spadkiem napięcia na rezystancjach.
II prawo Kirchhoffa dla podanych założeń ma postać:
 E   IR  0
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
14
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
(suma sił elektromotorycznych i spadków napięcia na
rezystancjach po lewej stronie
równania równa jest zero).
w obwodach prądu stałego zarówno aktywnych (prądnica, silnik), jak i pasywnych
(grzejnik) moc elektryczna P wyrażona jest wzorem:
P=UI
Moc źródła Pźr:
Pźr = E I
Moc odbiornika Podb będącego opornikiem o rezystancji R = const. wynosi:
Podb = I2R
lub
Podb = U2/R
Zadanie 26
Dwa źródła połączone równolegle zasilają odbiornik. Stosunek prądów źródeł jest
odwrotnie proporcjonalny do ich rezystancji wewnętrznych. Jaki jest stosunek sił elektromotorycznych źródeł?
Zadanie 27
W obwodzie przedstawionym na rys. 21 obliczyć napięcie U oraz prądy I, I1, I2, jeżeli
E1 = E2 = 6,3V, E3 = 6,2V, Rw1 = 0,4Ω, Rw2 = 0,6Ω, Rw3 = 0,26Ω, R = 2Ω.
Rys. 21
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
15
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 28
Przy jakiej wartości E2 prąd I w gałęzi zawierajęcej siłę elektromotoryczną E2, równa
się zero (rys. 22).
Rys. 22
Zadanie 29
W obwodzie, przedstawionym na rys. 23, E2 = 1/3 E1. Przyjmując prąd I w gałęzi
zawierającej siłę elektromotoryczną E2 równy zero, obliczyć rezystancję Rx.
Rys. 23
Zadanie 30
W obwodzie, przedstawionym na rys. 24, siły elektromotoryczne równają się E =
100V, E = 200V. Przy jakim stosunku rezystancji R1 i R2 zwarcie między punktami A i B nie
spowoduje zmiany rozpływu prądu w obwodzie?
Rys. 24
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
16
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 31
W obwodzie, podanym na rys. 25, siły elektromotoryczne E1 = 100V, E2 = 120V,
rezystancje R1 = 10Ω, R2 = 40Ω. Obliczyć prąd I.
Rys. 25
Zadanie 32
Obliczyć napięcie U, jeżeli siły elektromotoryczne E1 = 120V, E2 = 160V, rezystancje
R1 = 20Ω, R2 = 10Ω, R = 50Ω (rys. 26).
Rys. 26
Zadanie 33
W obwodzie (rys. 27) przedstawiono wycinek obwodu elektrycznego. Dane są siły
elektromotoryczne E1 = 100V, E2 = 130V, prąd I = 8A, rezystancje R1 = 3Ω ,R2 = 5Ω,
napięcie UAC = 70V. Obliczyć wartości bezwzględne prądów I1 i I2.
Rys. 27
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
17
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 34
Dla układu mostkowego (rys. 28) napisać równania Kirchhoffa oraz obliczyć prąd w
gałęzi 5, jeżeli E = 16V, R1 = 6Ω, R2 = 2Ω, R3 = 2Ω, R4 = 6Ω, R5 = 2Ω, R6 = 2Ω.
Rys. 28
Zadanie 35
W podanym na rys. 29 obwodzie aktywnym znane są rezystancje oraz SEM idealnych
źródeł. Obliczyć rozpływ prądów.
Rys. 29
Zadanie 36
Obliczyć rozpływ prądów w obwodzie aktywnym (rys. 30).
Rys. 30
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
18
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 37
Przy jakiej rezystancji R3 napięcie UAB będzie się równać 20V, jeżeli obwód (rys. 31)
posiada parametry: E1 = 10V, E2 = 20V, E3 = 20V, R1 = 5Ω, R2 = 10Ω.
Rys. 31
Literatura:
1. Koś E., Krasucka E.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Skrypt Wyższej Szkoły
Morskiej w Szczecinie 1982.
2. 2) Cichowska Z.: Zbiór zadań z elektrotechniki teoretycznej. Politechnika Śląska,
1971.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
19
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Temat 2 (2 godziny): Obwody magnetyczne nierozgałęzione
Zagadnienie: 1. Obwody magnetyczne nierozgałęzione.
Obwód magnetyczny jest torem, w którym skupiają się linie pola magnetycznego.
Przyczyną powstawania tych linii może być magnes trwały, umieszczony w obwodzie lub
prąd płynący w cewce. Kształt torów można formować za pomocą ferromagnetycznego
materiału. Wzory opisujące obwód magnetyczny są w swej postaci podobne do wzorów
opisujących obwód elektryczny. Analogia ta jest tylko formalna i nie zawsze posiada
interpretację fizyczna. Formalny charakter posiada również terminologia przeniesiona z
obwodów
elektrycznych.
Wielkości
elektryczne
i
magnetyczne
wzajemnie
sobie
odpowiadające podano w poniższym zestawieniu.
Wielkości elektryczne
Siła elektromotoryczna (SEM) - E [V]
Prąd
-
I [A]
Rezystancja
-
R
Napięcie
-
U = RI [V]
Wielkości magnetyczne
Siła magnetomotoryczna (SMM) - Θ = Iz [A]
Strumień magnetyczny -
l
[]
 S
Φ [Wb]
- R  l []
Reluktancja
 S
Napięcie magnetyczne - Um = RmΦ = Hl [A]
Prawo Ohma dla obwodu zamkniętego
I
E
R


Rm
Pierwsze prawo Kirchhoffa dla węzła
E  0
  0
Drugie prawo Kirchhoffa dla oczka
 E   RI  0
    Hl  0
(prawo przepływu)
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
20
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Obok analogii istnieją również różnice, które nie pozwalają na stosowanie identycznej
techniki obliczeniowej. Przede wszystkim obwody magnetyczne są obwodami nieliniowymi z
powodu istnienia w nich materiału ferromagnetycznego. Krzywa magnesowania sprawia, że
prawo Ohma i prawa Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego przedstawiają zależności
nieliniowe i nie odpowiadają zasadzie superpozycji.
W obliczaniach obwodów nieliniowych stosowane są metody wykreślne i analitycznowykreślne. Metody czysto analityczne są stosowane jedynie w poszczególnych przypadkach
przy odpowiednia sformułowaniu tematu zadania. W obwodach elektrycznych występują
zwykle dwa typy zadań:
a) przy danych SEM i rezystancji należy obliczyć rozpływ prądów;
b) przy danym prądzie i rezystancji należy obliczyć napięcie lub SEM źródła.
Jeżeli obwód jest nieliniowy, zadanie typu „a” nie jest analitycznie rozwiązywalne. W
obwodach magnetycznych można rozpatrywać takie same typy zadań, w których zamiast
SEM i prądu przyjmie się odpowiednio SMM i strumień magnetyczny. Jednakże, z powodu
nieliniowości, znaczenie praktyczne posiada tu zadanie typu „b”. Zakłada się wymaganą
wartość strumienia magnetycznego i przy znanych wymiarach oraz własnościach
magnetycznych rdzenia stalowego wyznacza się analitycznie siłę magnetomotoryczną
(SMM). O własnościach magnetycznych stali informuje krzywa magnesowania. Posługiwanie
się tę krzywą jest więc nierozłączną czynnością przy obliczaniach obwodów magnetycznych.
Rozwiązanie
analityczne
zadania
typu
„b”
w
obwodach
magnetycznych
nierozgałęzionych przebiega według następującego schematu:
1. Przy założeniu strumienia magnetycznego Φ oblicza się indukcję magnetyczną B:


S
gdzie S jest przekrojem rdzenia prostopadłym do kierunku strumienia.
W obwodzie doskonałym Φ = const. i wartość indukcji magnetycznej zmienia się
wraz z przekrojem. Należy więc podzielić cały obwód na szereg odcinków, w którym S =
const. Szczelinę powietrzną wyodrębnia się w oddzielny odcinek.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
21
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2. Znajomość indukcji w poszczególnych odcinkach obwodu umożliwia wyznaczenie w nich
natężenia pola magnetycznego H.
- Natężenie pola H w stali wyznacza się wprost z krzywej magnesowania B = f(H). Znana
zależność H = B/μ nie może być tu wykorzystana, gdyż przenikalność dla stali jest zmienna i
na ogół nie podawana w literaturze.
- Odcinki obwodu magnetycznego wykonane z materiałów nie ferromagnetycznych
(powietrze, miedź, aluminium, drewno itd.) są elementami liniowymi. Dla nich przyjmuje się
przenikalność próżni:
μ 0  4 π  10  7 [
H
]
m
a następnie oblicza się natężenie pola Hp ze wzoru :
Hp 
3.
Bp
μ0

Bp
4 10
-7
 0,8  B p  10 6 [
A
A
]  0,8  B p  10 4 [
]
m
cm
Siłę magnetomotoryczną (SMM) czyli przepływ Θ oblicza się z drugiego prawa
Kirchhoffa:
    Hl
gdzie przez „l” rozumie się długość tej części obwodu, w której natężenie pola jest stałe.
Długość ta musi być mierzona wzdłuż środkowej linii rdzenia i równoległej do kierunku
strumienia. Przy prostokątnym kształcie rdzenia można przyjmować w narożnikach długość
nie w formie łuku, lecz w formie dwóch odcinków do siebie prostopadłych.
UWAGA
- Zwrot strumienia określa ale za pomocą reguły korkociągu lub śruby prawoskrętnej.
- Przy istnieniu izolacji międzyblachowej przekrój rdzenia S oblicza się następująco:
S = S1 kF
gdzie: S1 - przekrój rdzenia obliczony z wymiarów geometrycznych, kF - współczynnik
wypełnienia przekroju czynną blachą.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
22
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 1
Na toroid wykonany z materiału o μ>>μ0 nawinięto dwa uzwojenia (rys. 32). W
pierwszym uzwojeniu o z1 = 100 płynie prąd I1 = 4A, w drugim uzwojeniu o z2 = 70 płynie
prąd I2 = 5A. Jaki zwrot ma strumień magnetyczny w toroidzie?
Rys. 32
Zadanie 2
Na rysunku 33 przedstawiono toroid wykonany z materiału o μ = 103μ0 i wymiarach
geometrycznych R1 =10cm, R2 = 15cm, h = 5cm. Na toroid nawinięto cewkę o z = 1000
zwojów. Przez cewkę płynie prąd I = 1A. Obliczyć strumień magnetyczny przenikający przez
rdzeń toroidu.
Rys. 33
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
23
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 3
Toroid o przekroju kołowym (rys. 34) wykonano z materiału o μ = 103μ0 i wymiarach
R1 =12cm, R2 = 14cm. Na toroid nawinięto cewkę o z = 100 zwojów. Strumień przenikający
przez rdzeń toroidu
Φ = 2,42 x 10-5 Wb. Obliczyć prąd I płynący przez cewkę.
Rys. 34
Zadanie 4
Na rdzeń o przekroju prostokątnym ze szczeliną (rys. 35a) nawinięto cewkę o z = 200
zwojów. Średnia droga strumienia w rdzeniu l = 100cm, długość szczeliny δ = 0,3 mm. Na
rysunku 35b przedstawiono krzywe magnesowania materiału, z którego wykonano rdzeń.
Przy jakiej wartości prądu I w cewce, indukcja w szczelinie osiągnie wartość B = 1T ?
Rys. 35
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
24
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 5
Na toroid ze szczeliną (rys. 36a) nawinięto cewkę o ilości zwojów z = 300, przez którą
płynie prąd I = 2A. Średnia długość drogi strumienia w toroidzie l = 80cm, szczelina δ =
0,2mm, powierzchnia przekroju toroidu S = 6cm2. Na rysunku 36b przedstawiono krzywą
magnesowania materiału, z którego wykonano toroid. Obliczyć strumień indukcji
magnetycznej w toroidzie.
Rys. 36
Zadanie 6
W ciągu jakiego czasu strumień sprzężony z cewka zmaleje z wartości Φ1, do wartości
Φ2, jeżeli wiadomo, że siła elektromotoryczna indukowana w cewce jest stała i posiada
wartość e?
Zadanie 7
W chwili t = 0 przez cewkę o z = 100 zwojów przenika strumień magnetyczny o
wartości Φ = 10-5 Wb. Jaką wartość osiągnie strumień po upływie jednej sekundy, jeżeli
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
25
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
wiadomo, że strumień wzrasta, a w cewce indukowana jest stała siła elektromotoryczna E =
1V ?
Zadanie 8
Na rysunku 37 (wymiary podano w centymetrach) przedstawiono cewkę o ilości
zwojów z = 100 nawiniętą na obwód magnetyczny o μ = 10-3 H/m. Wyznaczyć indukcyjność
cewki.
Rys. 37
Literatura:
1. Koś E., Krasucka E.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Skrypt Wyższej Szkoły
Morskiej w Szczecinie 1982.
2. Markiewicz A.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Warszawa, WsiP 1978.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
26
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Temat 3 (7 godzin): Obwody prądu przemiennego
Zagadnienie: 1. Okres, częstotliwość, pulsacja, wartość skuteczna i średnia. (1h)
Częstotliwość i okres prądu sinusoidalnego:
f
1 ω

T 2π
gdzie T - okres w sekundach, f - częstotliwość w hercach (Hz), ω - pulsacja w radianach na
sekundę (rad/s). Zależność między prędkością obrotową - n, liczbą par biegunów - p i
częstotliwością - f:
f
pn
60
gdzie n podane jest w obr/min. Wartości chwilowe SEM, napięcia i prądu sinusoidalnie
zmiennych:
e = Em sin ωt
u = Um sin(ωt+φu)
i = Im sin(ωt+φi)
gdzie φ - faza początkowa w chwili t = 0; Em, Um, Im wartości maksymalne.
Wartość średnia półokresowa:
2
I śr 
T
T
2
 i dt
0
Wartość średnia całookresowa:
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
27
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
T
12
I śr   i dt
T0
Dla prądu sinusoidalnego wartość średnia półokresowa wynosi:
I śr
2

T
T
2
I
sin ωt dt 
m
0
2
Im
π
Wartość skuteczna:
I
T
1
T
i
2
dt
0
Dla prądu i napięcia sinusoidalnego wartości skuteczne wynoszą:
I
Im
2
;
U
Um
2
 0,707U m .
Zadanie 1
Hydrogenerator zasila sieć o częstotliwości f = 50Hz. Prędkość kątowa wirnika ω =
20,9rad/s [n = 200obr/min]. Obliczyć liczbę par biegunów generatora.
Zadanie 2
Obliczyć częstotliwość prądnicy o dwóch parach biegunów i prędkości
kątowej
wirnika ω = 52,3rad/s [n = 500obr/min].
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
28
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 3
Prąd i napięcie maja następujące przebiegi: u = 310sin(ωt), i = 2sin(ωt – π/4).
Obliczyć wartości chwilowe napięcia i prądu dla t = 0,005s, jeżeli f = 50Hz.
Zadanie 4
Dwie wielkości sinusoidalnie zmienne przesunięte są w fazie o kąt φ = π/6. Jakie
jest przesunięcie w czasie ich dodatnich wartości maksymalnych, jeżeli częstotliwość f =
500Hz.
Zadanie 5
Trzy źródła napięcia sinusoidalnego połączono szeregowo. SEM każdego
zmienia się w czasie według następujących funkcji: e1 = 28,3 sin(ωt),
źródła
e2 = 56 sin(ωt -
π/4), e3 = 113 sin(ωt + 4). Posługując się wektorami wyznaczyć wykreślnie i analitycznie
SEM na zaciskach obwodu oraz napisać jej sinusoidę.
Zadanie 6
Wskazanie woltomierza włączonego do sieci o napięciu sinusoidalnym wynosi 220V.
Obliczyć wartość maksymalną napięcia.
Zadanie 7
Prąd o przebiegu i = Im sin(ωt + 2π/3) jest mierzony amperomierzem
elektromagnetycznym. Jakie jest wskazanie amperomierza, jeżeli w chwili t = 0 wartość
chwilowa prądu i = 1,3A.
UWAGA: Mierniki elektromagnetyczne wskazują wartość skuteczną.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
29
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zagadnienie: 2. Obwody nierozgałęzione jednofazowe, rezonans napięć (2h)
Do analizy obwodu prądu przemiennego wprowadzone zostały następujące wielkości,
tzw. elementy obwodu:
a. Rezystancja R.
b. Reaktancja indukcyjna, która występuje w każdej cewce indukcyjnej:
XL = ωL = 2πfL,
gdzie L - indukcyjność a henrach (H).
c. Reaktancja pojemnościowa, występująca w każdym kondensatorze:
XC = 1/ωC = 1/2πfC,
gdzie C - pojemność w faradach (F).
d. Reaktancja, która jest różnicę reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej:
X = XL - XC
e. Impedancja, określona wzorami
Z  R2  X 2
i odwzorowana za pomocą trójkąta impedancji.
Między wektorami prądu i napięcia występuje kąt przesunięcia fazowego:
cos φ = R/Z, sin φ = (XL - XC)/Z
przy tym za dodatni zwrot kąta φ przyjmuje się kąt mierzony od wektora prądu do napięcia.
Kąt przesunięcia fazowego zależy od charakteru elementów obwodu:
a. Na elemencie rezystancyjnym nie ma żadnego przesunięcia fazowego.
b. Na reaktancji indukcyjnej wektor napięcia wyprzedza wektor prądu o kąt π/2 .
c. Na reaktancji pojemnościowej wektor napięcia opóźnia się względem wektora prądu o
kąt π/2.
d. Przy szeregowym łączeniu elementów RLC wektor napięcia wyprzedzę lub opóźnia się
względem wektora prądu o kąt φ jaki wynika z trójkąta impedancji.
Rzut wektora napięcia na wektor prądu wyznacza składową czynną napięcia:
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
30
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Ucz = U cosφ = RI,
a rzut wektora napięcia na prostą prostopadłą do wektora prądu - składową bierną napięcia:
Ub = U sinφ = XL I
lub
Ub = U sin(-φ) = -XC I
Napięcie można więc wyznaczyć, jako:
2
U  Ucz
 Ub2 ,
W obwodzie nierozgałęzionym działa prawo Ohma:
I
U
Z
gdzie prąd I oraz napięcie U wyrażone są w wartościach skutecznych.
Moc jest dostarczona do obwodu w postaci:
a) mocy czynnej P = U I cos φ (W), gdzie cos φ nazywa się współczynnikiem mocy;
b) mocy biernej Q = U I sin φ (var);
c) mocy pozornej S = U I (VA).
Moc pozorna tworzy z pozostałymi mocami trójkąt mocy, który wynika z relacji:
S  P 2  Q2
tg 
Q
P
W obwodzie szeregowym RLC wystąpi rezonans napięć, gdy źródło zasilające ma
częstotliwość:
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
31
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
f0 
1
2 LC
UWAGA: W treści zadań niniejszego rozdziału nie jest podana częstotliwość źródła zasilania,
należy zatem przyjąć wartość częstotliwości sieciowej f = 50Hz.
ω = 2πf = 314rad/s
Jako wektor odniesienia na wykresach wektorowych przyjmują się z reguły wektor prądu.
Zadanie 8
Do źródła prądu sinusoidalnego o napięciu U = 220V (wartość skuteczna) przyłączono
idealną cewkę o indukcyjności L = 86mH. Obliczyć prąd płynący przez cewkę (wartość
skuteczną) oraz moc czynną, bierną i pozorną pobieraną przez cewkę.
Zadanie 9
Do sieci prądu sinusoidalnego o napięciu U = 380V przyłączono idealny kondensator o
pojemności C = 36,7μF. Obliczyć prąd płynący przez kondensator oraz moc czynną, bierną i pozorną pobierane przez kondensator.
Zadanie 10
Cewkę o rezystancji R = 80Ω i indukcyjności L = 255mH włączono do źródła prądu
sinusoidalnego o napięciu U = 24V. Obliczyć prąd w obwodzie, napięcia na rezystancji U
oraz na cewce U , a także przesunięcie fazowe między prądem i napięciem. Ponadto obliczyć
moc pobierane ze źródła i wykonać wykres wektorowy.
Zadanie 11
W cewce bezrdzeniowej włączonej do źródła o napięciu stałym U = 4,2V, płynie prąd I
= 0,14A a przy włączeniu jej do źródła o napięciu sinusoidalnym (U = 76V) prąd w cewce I =
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
32
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
1,5A. Obliczyć reaktancję indukcyjną i indukcyjność cewki oraz moc pobieraną z sieci przy
prądzie stałym i przemiennym; wykonać wykres wektorowy.
Zadanie 12
Przy włączaniu cewki z rdzeniem stalowym do źródła o napięciu U = 120V i
częstotliwości f = 100Hz prąd w cewce był równy 0,5A. Po wyjęciu rdzenia z cewki prąd
zwiększył się do 8A. Rezystancja cewki R = 4Ω Obliczyć indukcyjność cewki w obu
przypadkach, nie uwzględniając strat energii w rdzeniu.
Zadanie 13
W celu obliczania parametrów cewki indukcyjnej włączono ją wraz z miernikami do
sieci napięcia przemiennego. Mierniki wskazywały następujące wartości: woltomierz U =
220V, amperomierz I = 5,3A, watomierz P = 780W. Sposób włączenia mierników podano na
rys. 38. Obliczyć parametry cewki (R, L, Z), moc bierną i pozorną pobierane z sieci oraz wykonać wykres wektorowy.
Rys. 38
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
33
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 14
Kondensator o pojemności C = 10μFpołączono szeregowo z opornikiem o rezystancji
R = 500Ω i włączono do sieci napięcia przemiennego o napięciu skutecznym U = 240V.
Należy obliczyć prąd w obwodzie, spadki napięć UR, Uc, przesunięcie fazowe między
prądem a napięciem oraz moc pobieraną z sieci. Ponadto wykonać wykres wektorowy.
Zadanie 15
Szeregowo z grzejnikiem o mocy P = 40W i napięciu znamionowym U = 220V
włączono kondensator. Jaka musi być pojemność kondensatora, aby po doprowadzeniu do
układu napięcia U = 380V napięcie na grzejniku było równe 220V.
Zadanie 16
W nierozgałęzionym obwodzie, złożonym z opornika o rezystancji R = 400Ω i dwóch
kondensatorów (C1 = 16μF, C2 = 4μF) płynie prąd I = 0,24A. Obliczyć prąd w obwodzie,
poszczególne napięcia i kąt φ między prądem i napięciem zasilającym, po zwarciu
kondensatora C2. Ponadto obliczyć moc czynną, bierną i pozorną pobieraną z sieci oraz
wykonać wykres wektorowy przed i po zwarciu kondensatora C2.
Zadanie 17
Rtęciowa lampa wyładowcza zasilana napięciem 220V ma moc 500W i pobiera prąd
4A; lampa ta musi być wyposażona w dławik szeregowy. Obliczyć napięcie na lampie,
samoindukcji dławika UL oraz na zaciskach dławika URL (przy rezystancji jego uzwojenia
wynoszącej R = 2Ω), a także indukcyjność dławika, moc całkowitą pobieraną z sieci, moc
dławika oraz cos φ układu. Sporządzić wykres wektorowy.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
34
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 18
Cewkę o rezystancji R = 150Ω i indukcyjności L = 319mH połączono szeregowo z
kondensatorem o pojemności C = 31,9μF. Do układu doprowadzono napięcia przemienne U =
240V. Należy obliczyć prąd w obwodzie, napięcia na cewce i kondensatorze oraz
przesunięcie fazowe między prądem i napięciem, moc czynną, bierną i pozorną pobieraną z
sieci oraz moc na cewce i kondensatorze. Sporządzić bilans mocy a na podstawie trójkąta
mocy wykonać wykres wektorowy.
Zadanie 19
W szeregowym obwodzie RLC (rys. 39), UR = 40V, UL = 40V, U = 50V, R = 160Ω.
Obliczyć indukcyjność cewki i pojemność kondensatora oraz wykonać wykres wektorowy.
Rys. 39
Zadanie 20
Obwód podany na rys. 40 zasilany jest z sieci o napięciu przemiennym U = 212V, R1
= 40Ω, R2 = 60Ω, L1 = L2 = L3 = 180mH, C1 =33μF, C2 = 22μF. Obliczyć impedancję obwodu i prąd płynący z sieci, napięcia na poszczególnych elementach, moc pozorną, czynną i
bierną pobierane z sieci oraz wykonać wykres wektorowy.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
35
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rys. 40
Zadanie 21
Do źródła napięcia przemiennego włączono szeregowo cewkę indukcyjną o
rezystancji R1 = 2Ω i indukcyjności L1 = 121mH, opornik o rezystancji R1 = 4Ω oraz
kondensator o pojemności C = 55μF (rys. 41). Zmierzone napięcie na zaciskach kondensatora
wynosi U = 350V. Obliczyć: prąd płynący ze źródła, napięcie źródła oraz napięcie na cewce
U1. Wykonać wykres wektorowy.
Rys. 41
Zadanie 22
Trzy odbiorniki połączono szeregowo włączono do sieci prądu przemiennego (rys.
42). Napięcie na odbiornikach odpowiednio wynoszą: U1 = 50 V, U2 = 150V, U3 = 220V. Odbiornik pierwszy posiada tylko rezystancję R1 = 25Ω, drugi rezystancję R2 = 35Ω oraz
indukcyjność, trzeci rezystancję R3 = 50Ω oraz pojemność. Należy obliczyć: indukcyjność
drugiego odbiornika i pojemność trzeciego odbiornika, napięcie sieci i kąt fazowy między
tym napięciem i prądem oraz wykonać wykres wektorowy.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
36
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rys. 42
Zadanie 23
Odbiornik pobiera moc czynną P2 = 420kW i bierną pojemnościową Q = 560kvar przy
napięciu U = 3,1kV. Zasilanie odbiornika odbywa się za pomocą linii napowietrznej, której
rezystancja R = 1,2Ω, a reaktancja indukcyjna XP = 3,2Ω. (rys. 43). Należy obliczyć napięcie
UL, współczynnik mocy, moc czynną, bierną i pozorną na początku linii oraz sprawność
przesyłania. Wykonać wykres wektorowy.
Rys. 43
Zadanie 24
Dany jest obwód prądu przemiennego z szeregowo połączonymi elementami R, L, C.
Napięcie zasilania U = 220V, R = 15Ω, L = 158mH (rys. 44). Dobrać pojemność tak, aby
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
37
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
uzyskać rezonans napięć przy f = 50Hz a następnie obliczyć prąd płynący ze źródła i
współczynnik mocy w warunkach rezonansowych oraz napięcia na każdym elemencie obwodu przy rezonansie. Wykonać wykres wektorowy dla rezonansu.
Rys. 44
Zadanie 25
Przy pomiarze indukcyjności metodą rezonansową do zacisków generatora
akustycznego włączono obwód szeregowy złożony z amperomierza, kondensatora
wzorcowego o pojemności CN = 40nF i badanej cewki. Regulując częstotliwość generatora,
maksymalny prąd uzyskano przy f = 3kHz. Obliczyć indukcyjność cewki.
Zagadnienie: 3. Obwody równoległe. Rezonans prądów. (1h)
Dla obwodów równoległych wprowadzono następujące wielkości:
a. Konduktancja
G = 1/R
(S)
b. Susceptancja indukcyjna:
BL = 1/ωL (S),
gdzie L - indukcyjność a henrach (H).
c. Susceptancja pojemnościowa:
BC = ωC (S)
gdzie C - pojemność w faradach (F).
d. Admitancja:
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
38
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Y  G 2  (B 2C - B L2 ) 
1
(S),
Z
która jest odwzorowana za pomocą trójkąta admitancji. Kąt przesunięcia fazowego między
prądem i napięciem:
  arctg
B C  BL
.
G
Prawo Ohma dla obwodu równoległego:
I = UY
Podstawą obliczeń układów równoległych obok prawa Ohma jest I prawo Kirchhoffa bilans prądowy w węźle:



I  I 1  I 2  ...  I n
mówiący, że prąd płynący za źródła jest sumą wektorową znanych prądów gałęziowych.
Na wykresach wektorowych jako wektor odniesienia należy przyjęć wektor napięcia, gdyż na
gałęziach równoległych panuje to samo napięcie. Rzut wektora prądu na wektor napięcia
nazywa się składową czynną prądu:
Icz = I cos φ ,
a rzut wektora prądu na oś prostopadłą do wektora napięcia - składową bierną prądu:
Ib = I sin φ
Moduł prądu wypadkowego (pobieranego ze źródła):
I
I   I 
2
cz
2
b
,
zaś współczynnik mocy:
cos φ = Icz/I
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
39
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Przy częstotliwości f , takiej, że:
f0 
1
,
2 LC
wystąpi rezonans prądów (obwód równoległy jest bezsusceptancyjny B = 0, φ = 0).
Zadanie 26
Obwód złożony z opornika o rezystancji R = 110Ω i cewki o indukcyjności L =
350mH połączonych równolegle, włączono do źródła o napięciu U = 220V i częstotliwości f
= 50Hz Obliczyć admitancję obwodu, prądy w gałęziach, prąd źródła oraz przesunięcie
fazowe między prądem i napięciem. Wykonać wykres wektorowy.
Zadanie 27
Odbiornik energii elektrycznej o rezystancji R = 100Ω jest połączony równolegle z
kondensatorem 10μF. Obliczyć prąd odbiornika IR kondensatora IC, prąd wypadkowy ze
źródła, admitancję obwodu i przesunięcie fazy pomiędzy prądem wypadkowym I, a
napięciem sieci U = 220V. wykonać wykres wektorowy.
Zadanie 28
Kondensator C = 8μF i cewka o indukcyjności L = 4H zostały połączone równolegle.
Określić susceptancję pojemnościową i indukcyjną gałęzi, admitancję układu oraz wszystkie
prądy przy zasilaniu obwodu napięciem sieci 220V. Wykonać wykres wektorowy.
Zadanie 29
W równoległym obwodzie RC prąd w oporniku o rezystancji R = 70Ω wynosi 1,5A.
Przesunięcie fazowe między prądem całkowitym i napięciem φ = 60°. Obliczyć prąd IC, Z,
susceptancję BC i admitancję Y oraz narysować wykres wektorowy i trójkąt admitancji.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
40
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 30
Obliczyć prąd w oporniku oraz narysować trójkąt prądów dla obwodu równoległego
RC, jeśli prąd całkowity I = 2,5A, prąd w kondensatorze IC = 1,2A.
Zadanie 31
Obliczyć parametry BL, R, G oraz Y obwodu równoległego RL, jeżeli wiadomo, że
I/IL = 2 oraz XL = 2,5Ω. Narysować trójkąt prądów i trójkąt admitancji.
Zadanie 32
W odbiorniku o charakterze indukcyjnym włączonym do źródła o napięciu U = 380V,
prąd I = 5,2A, współczynnik mocy cos φ = 0,3. O jakiej pojemności kondensator należy
dołączyć równolegle do obwodu, aby prąd źródła zmalał do połowy przy niezmienionym
charakterze obwodu? Przy jakiej pojemności kondensatora prąd w obwodzie miał najmniejszą
wartość? Obliczenia przeprowadzić w oparciu o wykres wektorowy.
Zadanie 33
Do obwodu równoległego RLC (G = 0,03S, BL = 0,16S, BC = 0,12S) doprowadzono
napięcie sinusoidalne U = 50V. Obliczyć parametry Y, IR, IL, IC, I, kąt między prądem całkowitym i napięciem oraz narysować wykres wektorowy i trójkąt admitancji.
Zadanie 34
W obwodzie równoległym złożonym z cewki idealnej L = 20mH i kondensatora
idealnego C = 0,12μF, obliczyć częstotliwość rezonansową f oraz impedancję i admitancję
obwodu przy częstotliwości rezonansowej.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
41
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 35
Obwód równoległy RLC należy zastąpić równoważnym obwodem szeregowym. Dane
obwodu: GR = 0,4S, BCr = 0,8S, BLr = 0,5S. Obliczyć Rs, XLs, XCs.
UWAGA: Moc czynna i moce bierne w obu równoważnych obwodach są takie same.
Zadanie 36
W układzie obie gałęzie złożone są z szeregowego połączenia rezystancji oraz
indukcyjności R1 , L1 (R2, L2). Elementy te mają wartości: R1 = 5Ω, R2 = 7Ω, L1 = 0,01H, L2
= 0,2H. Należy wykonać wykres wektorowy prądów i napięć, obliczyć impedancje obu
gałęzi, prądy w gałęziach oraz cos φ i cos φ2, wypadkowy prąd I oraz jego składową czynną i
bierną, a także wypadkowy współczynnik mocy dla całego obwodu. Obwód jest zasilany
napięciem przemiennym U = 24V.
Zadanie 37
Obwód, przedstawiony na rys. 45, zawiera elementy: C = 4μF, L = 1H, R = 50Ω i jest
zasilany napięciem przemiennym U = 220V, f = 50Hz. Jaką częstotliwość powinno mieć
źródło napięcia, aby wystąpił rezonans? Obliczyć wartość prądu rezonansowego. Narysować
wykres wektorowy.
Rys. 45
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
42
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 38
Jaką pojemność należy przyłączyć równolegle do zacisków silnika jednofazowego o
indukcyjności L = 2H oraz rezystancji R = 5Ω, żeby współczynnik mocy wynosił cos φ = 1?
Napięcie zasilające U = 220V.
Zadanie 39
Dane znamionowe silnika indukcyjnego jednofazowego są następujące: P = 200W, U
= 220V, cos φ = 0,6. Równolegle z silnikiem włączono kondensator do poprawy cos φ .
Obliczyć jaka musi być pojemność kondensatora, aby cos φ układu zwiększył się do 0,9 ?
Wykonać wykres wektorowy.
Zadanie 40
Trzy odbiorniki połączono równolegle i włączono do sieci o napięciu U = 220V (rys.
46). Parametry odbiorników są następujące: R1 = 21,6Ω, C1 = 70,8μF, R2 = 27Ω, L2 =
45,5mH, R3 = 15,4Ω, C3 = 168μF, L3 = 192mH. Wykonać wykres wektorowy i obliczyć: prąd
płynący w każdym odbiorniku oraz z sieci, moc czynną, bierną i pozorną każdego odbiornika,
moc czynną, bierną i pozorną pobieraną z sieci.
Rys. 46
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
43
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zagadnienie: 4. Obwody trójfazowe symetryczne.(2h)
W układzie symetrycznym wszystkie napięcia mają taką samą wartość skuteczną (i
szczytową), a kąt przesunięcia między napięciami poszczególnych faz wynosi 2π/3, tj 120º.
W każdej fazie płyną prądy równe sobie co do modułu (IR = IS = IT = I), lecz przesunięte
względem siebie o kąt fazowy 120º, a względem napięć fazowych – o kąt fazowy φ (rys. 47).
Rys. 47
W obwodach trójfazowych występują wielkości fazowe If, Uf oraz wielkości
przewodowe I, U, w zależności od tego, czy układ trójfazowy jest skojarzony w gwiazdę czy
w trójkąt. W układzie gwiazdowym (rys. 48a):
oraz
If  I
Uf 
U
3
,
a wektor napięcia przewodowego wyprzedza wektor napięcia fazowego o kąt fazowy
30°. W układzie trójkątnym (rys. 48b):
If 
I
3
oraz
Uf  U ,
a wektor prądu przewodowego opóźnia się względem wektora prądu fazowego o kąt
fazowy 30°.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
44
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rys. 48
Obliczenia symetrycznych obwodów trójfazowych sprowadzają się do obliczeń obwodów
jednofazowych. Zamiast schematu trójfazowego można analizować schemat jednofazowy
(jednej fazy) i odpowiadający mu jednofazowy schemat wektorowy. Prawo Ohma dla
obwodów symetrycznych trójfazowych:
If 
Uf
Zf
Moc pobierana przez odbiornik trójfazowy symetryczny
a) przy danych wielkościach fazowych:
P = 3Uf If cos φ (W)
Q = 3Uf If sin φ (var)
S = 3Uf If
(VA)
b) przy danych wielkościach przewodowych:
P=
3 U I cos φ
Q=
3 U I sin φ
S=
3UI
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
45
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Równoległe łączenie odbiorników do sieci trójfazowej
Jeżeli odbiorniki są różnie połączone, tzn. jeden w gwiazdę, a drugi w trójkąt, to należy
dokonać przekształcania gwiazdy w trójkąt lub odwrotnie, a następnie rozwiązać schemat
jednofazowy, w którym jedna faza każdego odbiornika staje się jedną gałęzią równoległą.
Impedancje fazowe przelicza się zgodnie ze wzorem:
ZΔ = 3 ZY
gdzie: ZΔ – impedancja jednej fazy w trójkącie,
ZY – impedancja jednej fazy w gwieździe.
Zadanie 41
Trzy grzejniki o rezystancjach R = 11Ω połączone w trójkąt zasilane są z sieci
trójfazowej o napięciu przewodowym U = 220V. Obliczyć prądy fazowe odbiornika, prądy
przewodowe oraz moc odbiornika.
Zadanie 42
Obliczyć znamionowe prądy przewodowe prądnicy trójfazowej o mocy znamionowej
Pn = 25MW, napięciu przewodowym U = 6,3kV i cos φ = 0,75.
Zadanie 43
Odbiornik trójfazowy symetryczny o rezystancji fazy Rf = 10Ω i cosφ = 1 włączono
do źródła trójfazowego symetrycznego o napięciu przewodowym U = 380V za pośrednictwem przełącznika gwiazda - trójkąt. Obliczyć prądy przewodowe przy połączeniu odbiornika
w gwiazdę i trójkąt oraz stosunek mocy PΔ/PY.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
46
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 44
Trzy jednakowe impedancje połączone w gwiazdę pobierają moc P = 5 kW przy cos
φ= 0,8 gdy napięcie przewodowe wynosi 380V. Obliczyć prąd fazowy i przewodowy płynący
do odbiornika przy połączeniu tych samych impedancji w trójkąt oraz moc pobieraną przez
odbiornik w połączeniu w trójkąt.
Zadanie 45
Do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V włączono dwa odbiorniki
trójfazowe symetryczne o rezystancji fazy Rf = 100Ω i cos φ = 1. Jeden z odbiorników połączony jest w trójkąt, drugi - w gwiazdę. Obliczyć wypadkowe prądy w linii zasilającej i
narysować schemat zastępczy jednofazowy.
Zadanie 46
Dwa odbiorniki trójfazowe symetryczne włączono do sieci trójfazowej o napięciu
przewodowym U = 380V. Jeden złożono z trzech oporników połączonych w trójkąt, drugi z
trzech kondensatorów połączonych w gwiazdę. Obliczyć wypadkowe prądy przewodowe oraz
współczynnik mocy cos φ całego układu, jeżeli wiadomo, że prądy fazowe obu odbiorników
są równe 1A; wykonać wykres wektorowy oraz schemat zastępczy jednofazowy.
Zadanie 47
Do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V przyłączono dwa
symetryczne odbiorniki w układzie gwiazdowym o następujących parametrach: L1 = 91 mH,
R2 = 20Ω , C2 = 79,6μF (rys. 49). Obliczyć prąd fazowy i przewodowy każdego odbiornika,
prąd przewodowy płynący z sieci, moc pobieraną z sieci. Wykonać wykres wektorowy i
schemat zastępczy jednofazowy.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
47
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rys. 49
Zadanie 48
Odbiorniki o parametrach, jak w zadaniu 47, połączono w trójkąt. Obliczyć prąd
fazowy i przewodowy każdego odbiornika, prąd przewodowy płynący z sieci, moc pobieraną
z sieci. Wykonać wykres wektorowy i schemat zastępczy jednofazowy.
Zadanie 49
Do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V przyłączono równolegle dwa
symetryczne odbiorniki o następujących parametrach jednej fazy:
odbiornik 1 – R1 = 6Ω,
L1 = 25,5mH;
odbiornik 2 – R2 = 5,75Ω,
C2 = 139μF.
Należy obliczyć rozpływ prądów i moc pobierane z sieci przy następujących połączeniach
odbiorników:
a) obydwa odbiorniki są połączone w gwiazdę;
b) obydwa odbiorniki są połączona w trójkąt;
c) odbiornik 1 jest połączony w gwiazdę, a drugi - w trójkąt;
d) odbiornik 1 jest połączony w trójkąt, a drugi - w gwiazdę.
Dla każdego przypadku wykonać wykres wektorowy dla jednofazowego schematu
zastępczego.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
48
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 50
Dwa silniki trójfazowe włączono do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U =
500V. Pierwszy silnik pobiera moc P1 = 10kW przy cos φ1 = 0,866, drugi silnik moc P2 =
8kW, cos φ2 = 0,707. Obliczyć wypadkowe prądy w linii zasilającej oraz wypadkowy cos φ
układu.
Zadanie 51
Dwa symetryczne odbiorniki połączono w trójkąt:
odbiornik 1 – P1 = 2840W, cos φ1 = 0,71 (indukcyjny);
odbiornik 2 – L2 = 43mH, C2 = 48μF (rys. 50).
Obliczyć rozpływ prądów oraz moc pobieraną z sieci, jeżeli napięcie przewodowe U = 380V.
Wykonać wykres wektorowy dla zastępczego schematu jednofazowego.
Rys. 50
Zadanie 52
Trzy symetryczne odbiorniki o następujących danych:
- R1 = 22Ω, L1 = 70mH, C1 = 65μF, gwiazda;
- C2 = 20,3μF, trójkąt;
- P3 = 7,5kW, cos φ3 = 0,85 indukcyjny,
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
49
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
przyłączono do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V (rys. 51). Należy
wykonać wykres wektorowy oraz obliczyć rozpływ prądów i moc trójfazową pobieraną z
sieci przez cały układ.
Rys. 51
Zadanie 53
Zakład przemysłowy pobiera moc czynną P = 1200kW przy cos φ = 0,6 i napięciu U
= 6kV. Obliczyć pojemność baterii kondensatorów służącej do poprawy cos φ z wartościami
0,5 do 0,8 przy połączeniu kondensatorów:
a)
w gwiazdę,
b)
w trójkąt.
Zadanie 54
Do sieci o napięciu przewodowym U = 380V włączono odbiornik trójfazowy
symetryczny w układzie gwiazdowym o parametrach R1 = 9,3Ω, L1 = 94,3mH dla jednej fazy.
Ze względu na jego niski współczynnik mocy przyłączono równolegle do niego kondensator
w układzie gwiazdowym o pojemności C2 = 65μF. Obliczyć prąd pobierany z sieci przed i po
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
50
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
skompensowaniu, współczynnik mocy przed i po kompensacji, moc bierną skompensowaną i
nieskompensowaną. Wykonać schemat zastępczy oraz wykres wektorowy.
Zadanie 55
Odbiornik trójfazowy o mocy P = 30kW, cos φ = 1 i napięciu przewodowym U =
380V zasilany jest ze źródła trójfazowego odległego o 200m. Obliczyć przekrój przewodów
aluminiowych linii zasilającej, jeżeli dopuszczalny spadek napięcia w linii wynosi 5 proc.
Obliczyć ponadto straty mocy w linii w watach i procentach. γAl = 35 • 10 S/m
(konduktywność). Nie uwzględniać indukcyjności linii.
Zadanie 56
Odbiornik trójfazowy symetryczny o mocy P = 40kW, cos φ = 1 i napięciu
przewodowym U = 6kV zasilany jest ze źródła za pomocą linii trójprzewodowej o rezystancji
R1 = 4Ω i reaktancji X1 = 3Ω (indukcyjnej) każdego przewodu. Obliczyć spadek i stratę
napięcia w linii odniesione do jednego przewodu i do napięcia fazowego oraz straty mocy
czynnej w linii.
UWAGA: Spadek napięcia w linii występuje na rezystancji linii, strata napięcia - na
impedancji linii.
Zadanie 57
Grupa silników trójfazowych zasilana jest ze źródła linią trójfazową o rezystancji
każdego przewodu Rp = 0,18Ω. Obliczyć prądy pobierane przez każdy silnik, spadek napięcia
w całej linii oraz straty mocy czynnej w linii. Dane znamionowe silników P1 = 20kW, cos
φ1 = 0,8, η1 = 0,85, P2 = P3 = 5kW, cos φ2 = cos φ3 = 0,866, η2 = η3 = 0,8. Napięcie
przewodowe wynosi U = 380V.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
51
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
UWAGA: Spadek napięcia na rezystancji linii spowodowany jest przez składową czynną
prądu płynącego w przewodzie.
Zagadnienie: 5. Analiza obwodów metodą liczb zespolonych. (1h)
Analizę obwodów elektrycznych o wymuszeniu sinusoidalnym umożliwia w całym
tego słowa znaczeniu metoda symboliczna polegająca na zastąpieniu działań na wektorach
reprezentujących przebiegi sinusoidalne odpowiadającymi im działaniami algebraicznymi.
Wiadomo, że wielkość sinusoidalną można przedstawić za pomocą wektora
wodzącego, o module równym amplitudzie taj wielkości, obracającego się na płaszczyźnie ze
stałą prędkością kątową. Jeśli wektor wodzący OA umieścimy na płaszczyźnie liczb
zespolonych (rys. 52), to do jego opisania wystarcza jedna liczba zespolona „z” i na odwrót
każdej liczbie zespolonej „z” jest przyporządkowany jednoznacznie odpowiadający jej wektor
wodzący na płaszczyźnie liczbowej.
Rys. 52
Postacie liczby zespolonej
a) Algebraiczna
z = a + jb
gdzie: a = Re z – część rzeczywista liczby zespolonej „z”,
b = Im z – część urojona liczby zespolonej „z”,
j=
 1 – jednostka urojona.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
52
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
b) Trygonometryczna
z = r (cos α + j sin α)
gdzie: r = |z| =
a 2  b 2 – moduł liczby zespolonej „z”,
α = arctg (b/a) – argument liczby zespolonej “z”.
c) Wykładnicza
z  r  e jα
Liczba e jα jest liczbą zespoloną o module jednostkowym. Liczbą zespoloną sprzężoną z
daną liczbą „z” nazywamy taka liczbę „z*” która różni się od liczby „z” tylko znakiem części
urojonej lub też znakiem argumentu:
z  a  jb  r(cos   jsin  )  r  e jα
z   a  jb  r(cos   jsin  )  r  e -jα
z  z  a 2  b 2  1
Zadanie 58
Dla napięcia sinusoidalnego o wartości skutecznej U = 220V, częstotliwości f = 50Hz
i fazie początkowej Ψu = 60° napisać wartość skuteczną zespoloną w postaci wykładniczej,
trygonometrycznej i algebraicznej oraz funkcję zespoloną w postaci wykładniczej i
trygonometrycznej.
Rozwiązanie:
0
Wartość skuteczna zespolona U  220 e j60  220 (cos 60 o  jsin 60 o )  110  j190
Wektor wodzący Um (t)  220 2e j( t  u )  220 2 e

j(314t  )
3
ωt  2πft  314t
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
53
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
u  60 o 

3

 

Um (t)  220 2 cos (314t  )  j sin(314t  )
3
3 

Zadanie 59
Dla przebiegu prądu i = 28,3 sin(ωt - 30°) napisać równania wektora wodzącego Im(t) i
obliczyć wartość skuteczną zespoloną I.
Zadanie 60
Dla podanych wartości kątów φ lub α przedstawić operator obrotu w postaci wykładniczej
i w postaci algebraicznej :
a) φ = 60°; b) φ = 45°; c) φ = 90°; d) cos φ = 0,8 (φ > 0);
e) cos φ = 0,8 (φ < 0); f) α = 120°; g) α = 120°.
Zadanie 61
Podać wartości zespolone i funkcje zespolone odpowiadające podanym niżej
przebiegom sinusoidalnym:
a) i = 5 2 sin (ωt - 36,9°);
b) i = -2,83 sin(ωt - 60°);
c) u = 220 2 cos ωt;
d) u = 500 2 sin ωt;
e) u = -380 2 sin (ωt + 120°);
f) u = 220 2 sin (ωt - 240°).
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
54
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 62
Wyznaczyć przebiegi sinusoidalne odpowiadające danym wartościom zespolonym:
a) U = -j220; b) U = -110-j190; c) E = -500; d) I = 10; e) I = 1- j; f) I = -1- j; g) I =
3 + j.
Zadanie 63
Dana jest wartość zespolona prądu I = 3 - j4. Wyznaczyć wartość zespoloną napięcia o
module U = 120V przesuniętego względem prądu o kąt:
a) 0°; b) 30° w przód; c) 60° wstecz; d) 90° wstecz; e) 90° w przód; f) φ = arctg 0,75 w
przód.
Zadanie 64
Z danego węzła odpływają dwa prądy o wartościach skutecznych I1 = 20A; I2 =
10A, przy czym przebieg prądu i2 jest opóźniony w fazie względem przebiegu prądu i1 o
kąt 60°, a częstotliwość obu prądów f = 50Hz. Wyznaczyć przebieg prądu dopływającego i
odpowiadające mu funkcję wykładnicze, przyjmując dla prądu I1 fazę początkową Ψ1 = 90°.
Zadanie 65
W dwóch gałęziach równoległych płyną następujące prądy: I1 = (2 + j3)A, I2 = (2,5 j2,5)A. Obliczyć prąd w gałęzi wspólnej. W której gałęzi amperomierz wskaże większy prąd?
Zadanie 66
Pomnożyć dwie liczby zespolone: I = 3 + j4 oraz Z = 2-j4; iloczyn przedstawić w
postaci wykładniczej.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
55
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie 67
Obliczyć iloraz, U/Z, jeżeli U = 380e j90º, a Z = 76e j30º.
Zadanie 68
Iloczyn dwóch liczb zespolonych Z1 i Z2 podzielić przez ich sumę
Z1 = 2 + j4; Z2 = 2 – j6.
Zadanie 69
Cewka idealna o indukcyjności L = 0,1H jest zasilana napięciem U = 125,6 + j94,2, o
częstotliwości f = 50Hz . Wyznaczyć wartość skuteczną zespoloną i przebieg prądu w cewce.
Zadanie 70
Gałąź R, L, C o parametrach R = 21Ω , L = 0,2H, C = 40μF włączono na napięcie U =
215V, f = 50Hz. Faza początkowa napięcia Ψu = 30°. Wyznaczyć: wartości skuteczne
zespolone prądu i napięć na poszczególnych elementach (l, UR, UL ,UC) w postaci
algebraicznej i wykładniczej oraz przebiegi i, uR, uL, uC w funkcji czasu. Wykonać wykres
wektorowy.
Zadanie 71
Obwód złożony z opornika o rezystancji R = 110Ω i cewki o indukcyjności L = 0,35H,
połączonych równolegle, włączono do źródła o napięciu U = 220V i częstotliwości f = 50Hz.
Obliczyć admitancję obwodu, prądy w gałęziach, prąd źródła oraz przesunięcie fazowe
między prądem i napięciem. Sporządzić wykres wektorowy.
Zadanie 72
W układach podanych na rys. 53 a, b, c, d zmierzono prąd I1 = 10A. Wyznaczyć
wartość zespoloną prądu zasilającego I w postaci algebraicznej i w postaci wykładniczej,
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
56
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
jeżeli faza początkowa prądu I2 wynosi Ψi2 = -30°, a między parametrami zachodzą
zależności:
a) XL = 2R, b) XC = 4R, c) XL = 4R, d) XC = 2XL = 2R. Wykonać wykresy wektorowe
prądów.
Rys. 53
Zadanie 73
W równoległym obwodzie RC prąd w oporniku o rezystancji R = 70Ω wynosi 1,5A.
Przesunięcie fazowe między prądem całkowitym i napięciem φ = 60°. Obliczyć prąd IC, I,
susceptancję BC i admitancję Y oraz narysować wykres wektorowy i trójkąt admitancji.
Literatura:
1. Koś E., Krasucka E.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Skrypt Wyższej Szkoły
Morskiej w Szczecinie, 1982.
2. Markiewicz A.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Warszawa, WsiP, 1978.
3. Cichowska Z.: Zbiór zadań z elektrotechniki teoretycznej. Politechnika Śląska, 1971.
4. Sikora R.: Zbiór zadań testowych z elektrotechniki teoretycznej. Politechnika
Szczecińska, 1990.
5. Zawalich E.: Zadania z elektrotechniki ogólnej. Politechnika Gdańska, 1972.
Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”
Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin
57