wydział elektroniki

WYDZIAŁ ETI PG
Katedra Systemów Elektroniki Morskiej
Laboratorium Układów Elektronicznych
Nieliniowych
Temat nr 6
MODULATORY I DEMODULATORY CZĘSTOTLIWOŚCI
Opracował: Witold Szkudliński
Gdańsk 2003
2
1. Wstęp
Sygnał zmodulowany, to przebieg quasisinusoidalny o następującej ogólnej postaci
u (t )  U (t )  sin (t )
(6.1)
Częstotliwość nie występuje bezpośrednio w zapisie (6.1), otrzymujemy ją w wyniku operacji
d(t )
dt
 (t ) 
(6.2)
W sygnale z modulacją częstotliwości FM (Frequency Modulated ) amplituda jest stała,
czyli U (t )  U  const , natomiast częstotliwość ma zawsze składową stałą
Uwzględniającą modulację, chwilową częstotliwość kątową (pulsację) zapiszemy jako
 (t )   0  k  u m (t )
0 .
(6.3)
gdzie k [rad / Vs] , to współczynnik zamiany w modulatorze napięcia modulującego na
przebieg zmian częstotliwości . Łącząc wyrażenia (6.2) i (6.3) otrzymujemy zmiany fazy
t
(t )    (t ) dt  0t  k  um ( )d  0
(6.4)
0
Ostatecznie sygnał FM można zapisać w postaci
t


u FM (t )  U c  sin  0t  k  um ( )d   0 
0


Często używanym parametrem sygnału FM jest dewiacja częstotliwości
, czyli maksymalna chwilowa odchyłka od częstotliwości spoczynkowej  0
D  max  (t )  0
t
(6.5)
(6.6)
Przyjmiemy teraz ważny ze znanych względów sygnał modulujący w postaci kosinusoidy
(6.7)
um (t )  U m  cos mt
W przypadku modulacji przebiegiem (6.7) możemy łatwo znaleźć funkcję określającą fazę
chwilową sygnału FM; otrzymujemy


D
(6.8)
uFM (t )  U c  sin 0t    sin  mt 
m


gdzie dewiacja D  k  U m
Fluktuacje fazy sygnału (6.8) mają charakter sinusoidalny i amplitudę , którą nazwiemy
dewiacją fazy D
D 
D
(6.9)
m
Dewiację fazy sygnału FM możemy w literaturze spotkać również (i to częściej) pod nazwą
indeksu modulacji FM mFM . Zatem również
D
mFM  
(6.10)
m
Mając do czynienia z sygnałem zmodulowanym interesuje nas w pierwszej kolejności jego
widmo. W przypadku sygnału (6.8) widmo wynika wprost z zapisu tego sygnału w postaci
szeregu Fouriera
u FM (t )  U c 

J
n  
n
(mFM )  sin(  0  n m )t
gdzie J n ( x)  J  n ( x) , to funkcje Bessela pierwszego rodzaju.
Funkcje Bessela spełniają równość
(6.11)
3

J
n  
2
n
(mFM )  1
(6.12)
co oznacza, że moc sygnału FM nie zależy od głębokości modulacji. Przebiegi czterech
pierwszych funkcji J n (x) przedstawiono na rys.6.1.
Rys.6.1. Wykresy kilku funkcji Bessela pierwszego rodzaju w funkcji
mFM
Z modułów funkcji Bessela beżpośrednio wynikają (patrz wzór 6.11) amplitudy prążków
widma sygnału. Na rys.6.1 widzimy, że dla mFM  1 widmo sygnału FM składa się praktycznie
tylko z trzech prążków, w czym nie różni się od widma sygnału AM. Dla większych
głębokości modulacji widmo sygnału AM pozostaje 3-prążkowe zaś widmo sygnału FM staje
się wieloprążkowe. Interesującą właściwością tego widma jest znikanie nośnej (innych
składowych też) dla pewnych wartości indeksu modulacji. Prążków w widmie sygnału FM
jest wiele, jednak ich amplitudy maleją (niemonotonicznie) w miarę oddalania się na osi
częstotliwości od nośnej. Odrzucając prążki, które są mniejsze od 12 procent niemodulowanej
nośnej otrzymujemy wzór na techniczną szerokość pasma sygnału FM (podany przez
Carsona)
B f  2 f m (mFM  1)
(6.13)
W przypadku bardzo powolnych zmian częstotliwości pasmo zajęte przez sygnał jest w
przybliżeniu równe podwojonej wartości dewiacji częstotliwości. W przypadku bardzo małej
dewiacji częstotliwości pasmo to jest w przybliżeniu równe podwojonej wartości
częstotliwości modulującej.
2. Analogowe modulatory częstotliwości
Modulatorem częstotliwości jest każdy generator sterowany napięciem VCO (VoltageControlled Oscillator).Wszystkie takie modulatory możemy określić jako bezpośrednie i ,
niezależnie od ich budowy , można je wszystkie określić jako generatory, których
częstotliwość jest (najlepiej w sposób liniowy) zależna od napięcia sterującego
(modulującego). Napięcie sterujące generator VCO, oprócz składowej zmiennej, może
zawierać składową stałą (DC). Oprócz modulatorów bezpośrednich znane są modulatory
pośrednie , w których sygnał FM jest wytwarzany drogą łącznego przetwarzania nośnej i
przebiegu modulującego
4
Modulator typu VCO
Omawianie generatora VCO ograniczymy tutaj do zapisu związku pomiędzy generowaną
częstotliwością i napięciem sterującym
f  f 0  k f  us
(6.14)
Napięcie sterujące może być sumą składowej stałej i pasmowego przebiegu modulującego
u s (t )  U s DC  u m (t )
(6.15)
Możliwość sterowania składową nośną sygnału FM stwarza szereg możliwości związanych z
rozwiązywaniem problemu wymaganej precyzji częstotliwości f 0 bądź szybkiej jej zmiany.
Amplituda U c generowanego przez VCO sygnału FM nie ma bezpośredniego związku z
wyrażeniem (6.14) i wynika z innego rodzaju właściwości generatora.
3. Demodulatory sygnału FM
Sygnał FM przechowuje modulację wewnątrz (patrz wzór 6.5) argumentu przebiegu
sinusoidalnego . Determinuje to rodzaj operacji jakie muszą być realizowane przez
demodulator. Zwykle w demodulatorze sygnał z modulacją częstotliwości jest najpierw
zamieniany na sygnał modulacji amplitudy i następnie przetwarzany na przebieg modulujący
w detektorze amplitudy. Innym sposobem demodulacji jest generacja stałej „porcji” ładunku
elektrycznego (lub impulsu napięciowego o stałej powierzchni) w każdym kolejnym cyklu
czasowym sygnału FM. Wytwarzany ciąg impulsów jest uśredniany w układzie całkującym
(filtrze dolnoprzepustowym) dając w efekcie przebieg odtwarzający zmiany czasowe
charakterystyczne dla danego przebiegu modulującego.
Demodulator z różniczkowaniem sygnału FM
Po zróżniczkowaniu sygnału FM postaci (6.5) otrzymujemy
t


d
u FM (t )  U c  k r   0  k  u m (t ) cos  0 t  k  u m ( )d 
(6.25)
dt
0


gdzie k r [s] jest stałą układu różniczkującego.
Po detektorze amplitudy otrzymujemy
(6.26)
u0 (t )  U c  k r  k d   0  k  u m (t )
gdzie k d [V / V ] to stała detektora amplitudy.
Wzór (6.26) uwidacznia podstawowy problem wynikający z implementacji takiej koncepcji
demodulacji: mianowicie w wyniku różniczkowania powstaje kosinusoida o amplitudzie
wielokrotnie większej od amplitudy U c .
Demodulator częstotliwości ze zliczaniem impulsów
Jeżeli dla każdego przejścia sygnału wejściowego przez zero i w kierunku dodatnim
zdołamy wygenerować impuls (rys.6.2) o stałej powierzchni
Ua
Ta
t
Rys.6.2. Generowany impuls
5
Po uśrednieniu skumulowanego efektu wszystkich impulsów jakie wystąpiły do momentu t
otrzymujemy dla sinusoidy wejściowej o częstotliwości 
uo 
U aTa
 H d ( 0)  
2
(6.27)
gdzie H d (0) to moduł ( dla transmitancji dolnoprzepustowego filtra uśredniającego
impulsy. Oczywiście, filtr dolnoprzepustowy (najlepiej Butterworth`a) winien być
dopasowany do pasma zajętego na osi częstotliwości przez sygnał modulujący.
uo
U o max
U o max  U a  H d (0)
f max 
1
Ta
f
f max
f
Rys.6.3. Charakterystyka statyczna detektora częstotliwości ze zliczaniem impulsów
Charakterystyka z rys.6.3 jest w szerokim zakresie liniowa lecz jej nachylenie
kf 
przy wzroście
U a  H d ( 0)
f max
(6.28)
f max niestety maleje.
Demodulator kwadraturowy
Schemat blokowy tego powszechnie spotykanego w odbiornikach radiowych demodulatora
jest przedstawiony na rys.6.4.
km
u i (t )
H ( j )
H LPF ( j )
u 0 (t )
Rys. 6.4. Demodulator kwadraturowy
W omawianym demodulatorze układ o transmitancji H ( j ) winien spełniać kilka istotnych
warunków. Przede wszystkim charakterystyka fazowa transmitancji dla częstotliwości
środkowej sygnału  0

H ( j 0 )  
(6.29)
2
Dalej nachylenie charakterystyki fazowej (najlepiej liniowej w szerokim otoczeniu  0 )
6
d
H ( j )  0
d
powinno być odpowiednio małe
2
t0 
t0 
m
0 .2
t0 
D
Dodajmy jeszcze, że charakterystyka amplitudowa
częstotliwości środkowej być stała
(6.30)
`
(6.31)
winna w szerokim otoczeniu
H ( j )    H 0
(6.32)
0
Układ o transmitancji H ( j ) jest w schemacie blokowym z rys.6.4 uzupełniony układem
mnożącym oraz filtrem dolnoprzepustowym (najlepiej Butterworth`a) dopasowanym do
pasma zajętego na osi częstotliwości przez sygnał modulujący.
Bardzo trudna analiza działania układu z rys.6.4 prowadzi do następującego przybliżonego
wyrażenia na napięcie wyjściowe
1
u 0 (t )   U c  H 0  k m  H LPF (0)  k  u m (t  t 0 )
2
(6.33)
Przy takiej ilości założeń , możemy się domyślać (i będziemy mieli rację), że napięcie
wyjściowe jest niezniekształconą wersją przebiegu modulującego tylko dla odpowiednio
małych : częstotliwości modulującej  m oraz dewiacji D .
Kluczowy dla działania demodulatora układ o transmitancji H ( j ) przyjmiemy w postaci
czwórnika przedstawionego na rys.6.5
R
L
u i (t )
C
u 0 (t )
Rys. 6.5. Przykład czwórnika o transmitancji H ( j )
Transmitancja napięciowa czwórnika z rys. 6.5
1
H ( j ) 
(6.34)
2
1   LC  jRC
Badając właściwości wąskopasmowej transmitancji (6.34) wprowadzimy oznaczenia
 L
1
0 
, Q  0 ,    0  2 0
(6.35)
R
LC
W otoczeniu częstotliwości środkowej czwórnik o dobroci Q  1 wykazuje transmitancję
niewiele odbiegającą od funkcji, której potrzebujemy
 jQ
(6.36)
H ( j ) 
  0
1  j 2Q
0
Z postaci transmitancji (6.36) wynika przesunięcie fazowe , które w otoczeniu    0 wyraża
się wzorem
   0 


(6.37)
( )    arctg  2Q
2

0


7
Pogląd o właściwościach demodulatora daje jego tzw. charakterystyka statyczna czyli
zależność stałego napięcia wyjściowego od stałej częstotliwości z otoczenia    0
1
U 0  U c2  k m  H LPF ( j 0) 
2
Q
   0 
2
1  4Q 2

    0 

sin arctg  2Q

0



(6.38)
 02
Powyższą charakterystykę statyczną w unormowanej postaci
U0
1

sin arctg x 
U 0 max
1 x2
przedstawiono na rys.6.6.
(6.39)
0,6
0,5
0,4
0,3
Uo/Uo max
0,2
0,1
0
-5,5 -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
x
Rys.6.6. Unormowana charakterystyka statyczna demodulatora kwadraturowego
Przebieg charakterystyki z rys.6.6 informuje nas o zakresie quasiliniowym demodulatora ,
który możemy oszacować na
  0
1
(6.40)

0
4Q
Ważne jest dobre wykorzystanie zakresu quasiliniowego, czyli możliwie precyzyjne
dostrojenie centrum charakterystyki statycznej (6.38) do częstotliwości środkowej
wejściowego sygnału FM. W porównaniu do demodulatora ze zliczaniem powierzchni
impulsów demodulator kwadraturowy jest zdecydowanie wąskopasmowy o potencjalnie
dużym nachyleniu charakterystyki.