Wyklad4 - Instytut Geofizyki UW

advertisement
Metody Przetwarzania Danych
Meteorologicznych
Wykład 4
Krzysztof Markowicz
Instytut Geofizyki UW
[email protected]
Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa
rozkład normalny
gęstość praw-a
dystrybuanta
Własności
Jeśli X ~ N(μ, σ2) i a i b są liczbami rzeczywistymi, to:
aX + b ~ N(aμ + b, (aσ)2).
Jeśli X1 ~ N(μ1, σ12) i X2 ~ N(μ2, σ22), i X1 i X2 są niezależne,
to X1 + X2 ~ N(μ1 + μ2, σ12 + σ22).
Jeśli X1, ..., Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o
standardowym rozkładzie normalnym,
to X12 + ... + Xn2 ma rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody.
2
Parametry rozkładu normalnego
•
•
•
•
•
•
wartość oczekiwana: μ
mediana: μ
wariancja: σ2
odchylenie standardowe: σ
skośność: 0
kurtoza: 0 (czwarty moment wynosi 3)
3
Centralne twierdzenie graniczne
• Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego jest
fakt, że, przy pewnych założeniach, rozkład sumy dużej liczby
zmiennych losowych jest w przybliżeniu normalny.
• W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie jeśli chcemy użyć
rozkładu normalnego jako przybliżenia dla innych rozkładów.
Np. w teorii błędów pomiarowych.
• Rozkład dwumianowy z parametrami n i p jest w przybliżeniu
normalny dla dużych n i p nie leżących zbyt blisko 1 lub 0.
Przybliżony rozkład ma średnią równą μ = np i odchylenie
standardowe σ = (n p (1 - p))0.5.
• Rozkład Poissona z parametrem λ jest w przybliżeniu
normalny dla dużych wartości λ. Przybliżony rozkład
normalny ma średnią μ = λ i odchylenie standardowe σ = √λ.
• Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu
użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu
normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej dokładne
w ogonach rozkładów.
4
Rozkład normalny - wielowymiarowy
• n-wymiarowa zmienna losowa
podlega n-wymiarowemu rozładowi normalnemu jeśli
dowolna kombinacja liniowa
jej składowych ma rozkład normalny.
• Funkcja gęstości n-wymiarowego rozkładu normalnego
wektora losowego X o wektorze wartości oczekiwanych
macierzy kowariancji 
dana jest wzorem:
co oznacza się w skrócie zapisem
5
Niezależność zmiennych
• Jeśli składowe wektora losowego X o wielowymiarowym
rozkładzie normalnym są nieskorelowane to są niezależne i
każda z nich podlega rozkładowi normalnemu N(i,i) .
Wówczas funkcja gęstości wektora losowego X jest
iloczynem funkcji gęstości każdej ze zmiennych:
6
Rozkład Poissona
• Rozkład Poissona to rozkład dyskretny przedstawiający
liczbę wystąpień zjawiska w czasie t, w określonej liczbie prób,
jeśli wystąpienia te są niezależne od siebie. Rozkład ma
zastosowanie do obliczenia przybliżonej wartości
prawdopodobieństwa w rozkładzie Bernoulliego przy dużej
liczbie prób i niskim prawdopodobieństwie sukcesu.
• Rozkład Poissona jest określany przez jeden parametr λ, który
ma interpretację wartości oczekiwanej. Parametr ten jest równy
prawdopodobieństwu uzyskania sukcesu w pojedynczej próbie
pomnożony przez liczbę prób.
• Gęstość prawdopodobieństwa
• Zmienna losowa ma rozkład Piossona gdy:
7
•
•
•
•
wartość oczekiwana: λ,
wariancja: λ,
Współczynnik skośności: λ-0.5
kurtoza: λ-1
8
Rozkład chi kwadrat
• Rozkład chi kwadrat (χ²) to rozkład zmiennej losowej, która
jest sumą k kwadratów niezależnych zmiennych losowych o
standardowym rozkładzie normalnym.
• Liczbę naturalną k nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu
zmiennej losowej.
• Jeżeli ciąg niezależnych zmiennych losowych
 X i  i

Y
 
i
i 1 
k
oraz





2
to
Zmienna losowa Y ma rozkład chi kwadrat o k stopniach swobody
Gęstość prawdopodobieństwa ma postać:
9
gęstość pro-wa
dystrybuanta
Własności rozkładu:
Średnia: k
Wariancja: 2k
10
Rozkład Weibulla
2-parametrowy rozkład określony tylko dla zmiennej losowej x>0
k > 0 jest parametrem kształtu
λ > 0 określa skale rozkładu
Dystrybuanta rozkładu
F(x; k; λ) = 0
dla x ≥ 0,
dla x < 0.
11
Rozkładu używa się do analizy
prędkości wiatru i opadów.
Przy obliczaniu zasobów
energetycznych na potrzeby
energetyki wiatru.
Wartość średnia
 1
 1  
k
  k
1
Wariancja 2 / k 1  2    2 1  1 
 k
 k
12
• Rozkład prędkości wiatru w listopadzie
stacja Strzyżów
13
Wnioskowanie statystyczne - polega na uogólnianiu wyników
otrzymanych na podstawie próby losowej na całą populację
generalną, z której próba została pobrana
Wnioskowanie statystyczne dzieli się na:
Estymację – szacowanie wartości parametrów lub postaci
rozkładu zmiennej na podstawie próby – na podstawie
wyników próby formułujemy wnioski dla całej populacji
Weryfikację hipotez statystycznych – sprawdzanie
określonych założeń sformułowanych dla parametrów populacji
generalnej na podstawie wyników z próby – najpierw
wysuwamy założenie, które weryfikujemy na podstawie
wyników próby
14
Estymator – wielkość (charakterystyka, miara), obliczona na
podstawie próby, służąca do oceny wartości nieznanych
parametrów populacji generalnej.
Najlepszym z pośród wszystkich estymatorów parametru w
populacji generalnej jest ten, który spełnia wszystkie
właściwości estymatorów (jest równocześnie nieobciążony,
zgodny, efektywny, dostateczny).
15
Definicja estymatora
• Niech zmienna losowa X ma funkcję gęstości
prawdopodobieństwa fX zależną od m parametrów i
i= 1,2,…,m.
Jeśli zostało wygenerowanych (zmierzonych) N liczb
losowych x1, x2, …, xN , będących wartościami zmiennej
losowej X, wówczas można skonstruować m funkcji tych
liczb,
Si (x1, x2, …, xN), i=1,2,…,m których można użyć do
wyznaczenia parametrów i.
• Funkcje Si nazywamy estymatorami parametru i..
• Estymator nazywamy nieobciążonym, gdy dla każdego N
jego wartość oczekiwana E(Si) jest równa parametrowi i.
• Różnicę B(Si)=E(Si)- i
nazywamy obciążeniem (bias)
16
Estymacja parametrów
Mając dane n wektorów pobranych z pewnego
wielowymiarowego rozkładu możemy oszacować jego
parametry w następujący sposób:
Estymator wartości oczekiwanej:
Estymator macierzy kowariancji o największej wiarygodności :
Estymator nieobciążony macierzy kowariancji:
17
Estymacja przedziałowa
polega na budowie przedziału zwanego przedziałem ufności,
który z określonym prawdopodobieństwem będzie zawierał
nieznaną wartość szacowanego parametru
P{g1 (Xn )  Q  g 2 (Xn )}  1  
gdzie:
Q – nieznany parametr populacji generalnej,
g1 (Xn ) g 2 (X n ) końce przedziałów (dolna i górna granica
przedziału), będące funkcją wylosowanej próby
18
Przedział ufności
• Niech cecha X ma rozkład w populacji z nieznanym
parametrem θ. Z populacji wybieramy próbę losową (X1,
X2, ..., Xn).
• Przedziałem ufności (θ – θ1, θ + θ2) o współczynniku
ufności 1 - α nazywamy taki przedział (θ – θ1, θ + θ2),
który spełnia warunek:
P(θ1 < θ < θ2) = 1 − α
gdzie θ1 i θ2 są funkcjami wyznaczonymi na podstawie
próby losowej.
• Podobnie jak w przypadku estymatorów definicja pozwala
na dowolność wyboru funkcji z próby, jednak tutaj
kryterium wyboru najlepszych funkcji narzuca się
automatycznie - zazwyczaj będziemy poszukiwać
przedziałów najkrótszych.
19
• Współczynnik ufności 1 - α jest wielkością, którą można
interpretować w następujący sposób:
jest to prawdopodobieństwo, że rzeczywista wartość parametru θ
w populacji znajduje się w wyznaczonym przez nas przedziale
ufności.
• Im większa wartość tego współczynnika, tym szerszy przedział
ufności, a więc mniejsza dokładność estymacji parametru.
• Im mniejsza wartość 1 - α, tym większa dokładność estymacji, ale
jednocześnie tym większe prawdopodobieństwo popełnienia
błędu.
• Wybór odpowiedniego współczynnika jest więc kompromisem
pomiędzy dokładnością estymacji a ryzykiem błędu.
• W praktyce przyjmuje się zazwyczaj wartości: 0,99; 0,95 lub 0,90,
zależnie od parametru.
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
1-
/2
0.15
/2
0.10
0.05
20
0.00
-3
-2
-1
-t
n,
0
1
2
t
n,
3
Przedział ufności dla wartości oczekiwanej
(średniej) – rozkład normalny
• Jeśli cecha ma w populacji rozkład normalny N(m, σ), przy
czym odchylenie standardowe σ jest znane. Przedział
ufności dla parametru m tego rozkładu ma postać:
n to liczebność próby losowej
oznacza średnią z próby losowej
σ to odchylenie standardowe z próby
uα jest statystyką, spełniającą warunek:
P( − uα < U < uα) = 1 − α
gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0, 1).
oraz
to kwantyle rzędów odpowiednio i
rozkładu N(0, 1)
21
Przedział ufności dla wariancji
• Przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie
normalnym N(m, σ) wyznaczamy ze wzoru
• gdzie:
• n to liczebność próby losowej
i
• s to odchylenie standardowe z próby
•
i
to statystyki spełniające odpowiednio
równości:
• gdzie χ2 ma rozkład chi-kwadrat z n - 1 stopniami
swobody
22
Przykład - Minimalna liczebność próby
• Jeśli chcemy oszacować parametr z określoną dokładnością d,
możemy, po odpowiednich przekształceniach wzorów na
przedziały ufności, wyznaczyć liczebność próby losowej
potrzebną do osiągnięcia zakładanej dokładności.
• Przykład:
• Niech wzrost wszystkich osób w Polsce ma rozkład normalny z
odchyleniem standardowym 25,28 cm. Obliczmy ile osób
wystarczy zmierzyć, aby z prawdopodobieństwem 95%
wyznaczyć średni wzrost z dokładnością do 5 cm.
• Jeśli chcemy uzyskać dokładność 5 cm, należy zadbać o to,
aby połowa długości przedziału ufności była mniejsza lub
równa 5 cm. Ze wzoru na przedział ufności dla rozkładu
normalnego o znanym odchyleniu standardowym wynika, że
dokładność estymacji powinna spełniać zależność:
23
Mamy więc:
• Podstawiając do wzoru wartości σ = 25,28; d = 5 cm;
u = 1,96 (wartość obliczona na podstawie tablic
rozkładu normalnego lub w matlabie u =norminv(1/2,0,1) )
uzyskujemy minimalną wielkość próby na poziomie
n=99.
24
Poziom istotności
• Poziom istotności - jest to prawdopodobieństwo
popełnienia błędu I rodzaju (zazwyczaj oznaczane
symbolem α). Określa również maksymalne ryzyko błędu,
jakie badacz jest skłonny zaakceptować. Wybór wartości α
zależy natury problemu i od tego jak dokładnie chce on
weryfikować swoje hipotezy, najczęściej przyjmuje się
α = 0,05, 0,03 lub 0,01.
• Błąd pierwszego rodzaju ('false positive') - w statystyce
pojęcie z zakresu weryfikacji hipotez statystycznych - błąd
polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej, która w
rzeczywistości jest prawdziwa. Błąd pierwszego rodzaju
znany też jest jako: błąd pierwszego typu, błąd przyjęcia
lub alfa-błąd.
• Oszacowanie prawdopodobieństwa popełnienia błędu
pierwszego rodzaju oznaczamy symbolem α i nazywamy
25
poziomem istotności testu.
Weryfikacja hipotez statystycznych
• Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugim, obok
estymacji statystycznej, sposobem uogólniania wyników
losowej próby na populacje z której próba pochodzi.
• Polega ona na sprawdzaniu przypuszczeń na temat
rozkładów statystycznych jednej lub wielu zmiennych w
populacji.
• Podobnie jak w przypadku estymacji, wnioskowanie z
próby o populacji nie jest i nie może być niezawodne.
• Będzie można jednak oceniać prawdopodobieństwa
popełnienia błędów związanych ze stosowaną metodą
weryfikacji hipotez.
• Hipotezą statystyczna nazywa się dowolne
przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu
statystycznego jednej zmiennej lub łącznego rozkładu
wielu zmiennych w populacji.
26
• Wyróżnia się hipotezy parametryczne dotyczące nieznanych
wartości parametrów rozkładu statystycznego oraz hipotezy
nieparametryczne, które są przypuszczeniami na temat klasy
rozkładów do których należy rozkład statystyczny w
populacji.
Przebieg procedury weryfikacyjnej
1. Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej
• Hipoteza zerowa (H0) - Jest to hipoteza poddana procedurze
weryfikacyjnej, w której zakładamy, że różnica między analizowanymi
parametrami lub rozkładami wynosi zero. Przykładowo wnioskując o
parametrach hipotezę zerową zapiszemy jako: H0: θ1 = θ2 .
• Hipoteza alternatywna (H1) - hipoteza przeciwstawna do weryfikowanej.
Możemy ją zapisać na trzy sposoby w zależności od sformułowania
badanego problemu:
» H 1 : θ1 ≠ θ 2
» H 1 : θ1 > θ 2
» H 1 : θ1 < θ 2
27
2. Wybór statystyki testowej
Budujemy pewną statystykę W, która jest funkcją
wyników z próby losowej W = f(x1, x2, ..., xn) i
wyznaczamy jej rozkład przy założeniu, że hipoteza
zerowa jest prawdziwa. Funkcję W nazywa się
statystyką testową lub funkcją testową.
3. Określenie poziomu istotności α
Na tym etapie procedury weryfikacyjnej przyjmujemy
prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju,
który polega na odrzuceniu hipotezy zerowej wtedy,
gdy jest ona prawdziwa. Prawdopodobieństwo to jest
oznaczane symbolem α i nazywane poziomem
istotności. Na ogół przyjmujemy
prawdopodobieństwo bliskie zeru, ponieważ chcemy
aby ryzyko popełnienia błędu było jak najmniejsze.
Najczęściej zakładamy, że poziom istotności α≤ 0.1
(np. α=0.01 ; α=0.05 ; α=0.1)
28
4. Wyznaczenie obszaru krytycznego testu
– Obszar krytyczny - obszar znajdujący się zawsze na
krańcach rozkładu. Jeżeli obliczona przez nas wartość
statystyki testowej znajdzie się w tym obszarze to
weryfikowaną przez nas hipotezę Ho odrzucamy.
Wielkość obszaru krytycznego wyznacza dowolnie mały
poziom istotności α, natomiast jego położenie określane
jest przez hipotezę alternatywną.
– Obszar krytyczny od pozostałej części rozkładu
statystyki oddzielony jest przez tzw. wartości krytyczne
testu (w), czyli wartości odczytane z rozkładu statystyki
przy danym α, tak aby spełniona była relacja zależna od
sposobu sformułowania H1:
• P{|w|≥w} = α gdy H1: θ1 ≠ θ2 (obszar
dwustronny)
• P{w ≥w} = α gdy H1: θ1 > θ2 (obszar
prawostronny)
• P{w ≤w} = α gdy H1: θ1 < θ2 (obszar
lewostronny)
29
5. Obliczenie statystyki na podstawie próby
Wyniki próby opracowujemy w odpowiedni
sposób, zgodnie z procedurą wybranego testu i są
one podstawą do obliczenia statystyki testowej.
Większość statystyk testowych, mających
dokładny rozkład normalny, t-Studenta lub
graniczny rozkład normalny, obliczamy w
następujący sposób:
gdzie:
• W - Statystyka testowa
• a - Statystyka obliczona z próby
• b - Hipotetyczna wartość parametru(ów)
• c - Odchylenie standardowe rozkładu statystyki
30
6. Podjęcie decyzji
– Wyznaczoną na podstawie próby wartość
statystyki porównujemy z wartością krytyczną
testu.
– Jeżeli wartość ta znajdzie się w obszarze
krytycznym to hipotezę zerową należy odrzucić
jako nieprawdziwą. Stąd wniosek, że prawdziwa
jest hipoteza alternatywna.
– Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza
obszarem krytycznym, oznacza to, że brak jest
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Stąd
wniosek, że hipoteza zerowa może, ale nie musi,
być prawdziwa.
31
32
Test dla średniej
• Hipotezę zerową i alternatywną oznaczamy w następujący
sposób:
• Ho: μ = μo
Zakłada ona, że nieznana średnia w populacji μ jest
równa średniej hipotetycznej μo
H1: μ ≠ μo lub H1: μ > μo lub
H1: μ < μo
Jest ona zaprzeczeniem Ho, występuje w trzech wersjach
w zależności od sformułowania badanego problemu.
• Sprawdzianem hipotezy jest statystyka testowa, która jest
funkcją wyników próby losowej. Postać funkcji testowej
(tzw. statystyki) zależy od:
– rozkładu cechy w populacji
– znajomości wartości odchylenia standardowego w
populacji
– liczebności próby
Biorąc pod uwagę powyższe przypadki, założoną przez
nas hipotezę możemy sprawdzić za pomocą trzech
33
testów:
1. Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(μ,σ) o nieznanej
średniej μ i znanym odchyleniu standardowym σ, natomiast
liczebność próby n jest dowolna, wtedy statystyka ma
postać:
gdzie: m - średnia z próby
– Jeżeli Ho jest prawdziwa, to statystyka testowa Z ma
rozkład asymptotycznie normalny.
– Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z
powyższego wzoru, oznaczamy jako z. Następnie
porównujemy ją z wartością krytyczną testu z , którą
możemy odczytać z tablic standaryzowanego rozkładu
normalnego, uwzględniając poziom istotności α.
– Decyzję o odrzuceniu Ho podejmujemy, jeżeli wartość
statystyki znajduje się w obszarze krytycznym. Jeżeli
natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem
krytycznym, nie ma wtedy podstaw do odrzucenia Ho.
34
2. Jeżeli rozkład populacji jest dowolny, o nieznanej średniej μ i
nieznanym odchyleniu standardowym σ, natomiast liczebność próby
jest n > 30, wtedy statystyka ma postać:
• Jeżeli Ho jest prawdziwa, to statystyka testowa ma rozkład
asymptotycznie normalny.
3. Jeżeli rozkład populacji jest normalny N(μ,σ), o nieznanej średniej μ i
nieznanym odchyleniu standardowym σ, natomiast liczebność próby
jest n < 30, wtedy statystyka ma postać:
•
• Jeżeli Ho jest prawdziwa, to statystyka testowa ma rozkład
t-Studenta o liczbie stopni swobody ν = n-1.
• Wartość statystyki, którą obliczymy korzystając z powyższego wzoru,
oznaczamy jako t. Następnie porównujemy ją z wartością krytyczną
testu t, którą odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta przy założonym
poziomie istotności α oraz liczbie stopni swobody ν = n-1.
35
Testy dla jednej wariancji
•
Porównujemy wariancję w populacji z „wzorcową”
wartością o2
• Hipotezy mają postać:
Ho: 2= o2
H1: postać hipotezy alternatywnej zależy od sformułowania
zagadnienia:
(a) 2> o2
(b) 2< o2
(c) 2 o2
Postać statystyki i dalszy przebieg testu zależy od rozmiaru
próby.
36
Próby małe
• Wyznaczamy wartość statystyki
s2 jest tutaj wariancją z próby a n – liczebnością próby. Statystyka ta ma
rozkład chi-kwadrat - zatem wartość krytyczną kryt2 odczytujemy z tablic
rozkładu chi-kwadrat dla v = n − 1 stopni swobody i dla poziomu istotności 
gdy hipoteza alternatywna H1 ma postać (a), w przypadku (b) – odczytujemy z
tablic
w przypadku (c) - odczytujemy dwie wartości:
oraz
Przedział krytyczny
• W przypadku (a) jest prawostronny, czyli gdy 2 > kryt2
odrzucamy H0, w przypadku przeciwnym – nie ma podstaw do jej odrzucenia.
• W przypadku (b) – przedział krytyczny jest lewostronny
• (dla 2 <kryt2 odrzucamy H0),
• W przypadku (c) – przedział krytyczny jest obustronny.
37
Próby duże
•
Dla liczebności próby n > 30 możemy przekształcić wyznaczoną w
poprzednim punkcie statystykę chi-kwadrat w statystykę z
o rozkładzie normalnym obliczając:
•
•
•
•
•
•
W powyższym wzorze χ2 oraz v = n − 1 oznaczają statystykę chikwadrat i jej liczbę stopni swobody wyznaczone tak, jak w
poprzednim paragrafie (dla prób małych).
Wartości krytyczne znajdujemy z tablic dystrybuanty rozkładu
normalnego.Jeżeli Fn(z) jest dystrybuantą standardowego rozkładu
normalnego, a Fn-1(z) - funkcją odwrotną do dystrybuanty,
natomiast α - założonym poziomem istotności – to odczytujemy:
dla przypadku (a)
w przypadku (b)
w przypadku (c) mamy 2 wartości graniczne:
38
oraz zkryty2 = − zkryt1
Inne testy wariancji
•
•
•
•
Testy dla dwóch wariancji
Testy dla dwóch prób niezależnych
Testy dla dwóch prób zależnych
Testy dla wielu wariancji
39
Testy nieparametryczne dla
współczynnika korelacji
r
cov( X, Y)
 
2
X
2
Y

(X  X )( Y  Y )
(X  X )
2
(Y  Y )
2
Formułujemy zerowa hipotezę Ho: „Brak korelacji pomiędzy
zmienną X a zmienną Y:
Ustalamy poziom istotności : 1-
Hipotezę testujemy przy pomocy testu studenta o N-2
stopniach swobody (N jest długością wektorów X i Y)
Wyznaczamy wartość:
N2
tr
1 r2
40
• Kolejno obliczamy wartości krytyczną testu t
• Jeśli t>t to hipotezę zerową odrzucamy w przeciwnym
razie przyjmujemy.
• Alternatywnie możemy zdefiniować krytyczną wartość
współczynnika korelacji (na podstawie ostatniego wzoru):
rc 
t
N  2  t 2
41
Przykład
• Mamy zbiór danych meteorologicznych zawierający:
temperaturę na stacji A ora na stacji B.
• Testujemy hipotezę, że obie wielkości nie są ze sobą
skorelowane na poziomie istotności =0.05.
• Wykujemy to w 2 przypadkach gdy bierzemy pod uwagę
jedynie 6 punktów pomiarowych (niebieskie kwadraty na
wykresie) oraz gdy bierzemy wszystkie punkty (20)
Przepadek 1.
Obliczamy współ. korelacji: r=0.47
Obliczamy wartość krytyczną
testu (dla N=6) studenta
t=tinv(1-0.05/2,4).
Następnie krytyczna wartość
współ. korelacji rc=0.72.
rc> r wiec hipotezę przyjmujemy.
42
• Przepadek 2 (wszystkie punkty).
• Obliczamy współ. korelacji: r=0.84
• Obliczamy wartość krytyczną testu (dla N=20)
studenta
t =tinv(1-0.05/2,18).
• Następnie krytyczna wartość współ. korelacji rc
=0.44.
• rc < r wiec hipotezę odrzucamy. Nie podstaw do
wnioskowania, że dane są nie skorelowane!
43
Download