Budowa atomu, poziomy energetyczne, model Bohra (ćw. 11)

Budowa atomu, poziomy energetyczne, model Bohra (ćw. 11)
Podstawowa literatura:
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, PWN, Warszawa 2006
Budowa atomu
Atom (z gr. atomos: "niepodzielny") – najmniejszy, niepodzielny metodami chemicznymi
składnik materii.
Atomy składają się z jądra i otaczających to jądro elektronów. W jądrze znajdują się z kolei
nukleony: protony i neutrony. Neutrony są cząsteczkami obojętnymi elektrycznie, protony noszą
ładunek elektryczny dodatni, zaś elektrony ujemny. W każdym obojętnym atomie liczba protonów
i elektronów jest jednakowa, ponieważ wartość ładunku elektrycznego protonów i elektronów jest
jednakowa. Atomy z liczbą elektronów różną od liczby protonów nazywane są jonami.
O właściwościach atomów decyduje głównie liczba protonów w jądrze atomowym, atomy o takiej
samej liczbie protonów w jądrze i różnej ilości neutronów są izotopami tego samego pierwiastka
chemicznego. Atomy są podstawowymi elementami budującymi materię z punktu widzenia chemii i
pozostają najmniejszymi cząstkami rozróżnianymi metodami chemicznymi. Nie zmieniają się w
reakcjach chemicznych.
Rozmiary atomów są rzędu 10 −10 m = 1 Å ale nie są dokładnie określone z powodów
kwantowych. Zależą od rodzaju atomu i stopnia wzbudzenia. Masa ich rośnie w miarę wzrostu liczby
atomowej w przedziale od 10-27 do 10-25 kg.
Budowa jądra
Jądro jest kilkadziesiąt tysięcy razy mniejsze od całego atomu i skupia ono w sobie
praktycznie całą masę atomu, gdyż proton i neutron są o ok. 1840 razy cięższe od elektronu. Protony
i neutrony mają w przybliżeniu taką samą masę. Powstało wiele modeli jądra atomowego
początkowo na gruncie mechaniki klasycznej a następnie kwantowej.
Jądro atomowe to centralna część atomu zbudowana z jednego lub więcej protonów i
neutronów, zwanych nukleonami. Jądro stanowi niewielką część objętości całego atomu, jednak to w
jądrze skupiona jest prawie cała masa. Przemiany jądrowe mogą prowadzić do powstawania
ogromnych ilości energii. Niewłaściwe ich wykorzystanie może stanowić zagrożenie dla środowiska.
Jądra atomowe oznacza się takim samym symbolem, jak pierwiastek chemiczny
odpowiadający temu jądru, dodatkowo na dole umieszcza się liczbę atomową (Z), a u góry liczbę
masową (A), dla przykładu jądro atomowe o 11 protonach i 12 neutronach, jest jądrem atomu sodu i
23
oznaczamy je symbolem: 11
Na .
Jądro atomowe a atom
Własności jądra są determinowane poprzez liczbę znajdujących się w nim nukleonów. Liczba
protonów określa ładunek elektryczny jądra. Wielkość tego ładunku wyznacza możliwe konfiguracje
elektronów otaczających jądro, z możliwych konfiguracji elektronów wynikają możliwości łączenia się
atomów z sobą, a tym samym ich własności chemiczne.
Liczba protonów w jądrze, czyli jego liczba atomowa, decyduje o tym jakiego pierwiastka
chemicznego jest ten atom. Atomy posiadające jądra o tej samej liczbie protonów, ale różnej
neutronów nazywa się izotopami.
1
O przebiegu reakcji chemicznych decyduje układ elektronów wokół jądra, który jest
determinowany wyłącznie liczbą protonów w jądrze. W reakcjach jądrowych ważna staje się nie tylko
liczba protonów, ale również liczba neutronów. Liczba neutronów ma też jednak pewien wpływ na
przebieg reakcji chemicznych poprzez tzw. efekt izotopowy.
Siły jądrowe
Między dodatnio naładowanymi protonami występuje odpychanie elektryczne, którego efekty
są równoważone przez oddziaływanie silne między nukleonami. Oddziaływania silne działają jednak
tylko na bardzo krótkich dystansach, zbliżonych do rozmiarów samych jąder. Przy większych
odległościach przeważają siły odpychania elektrycznego.
Modele budowy jądra
Jądra atomowe bada się analizując samorzutne rozpady oraz rozpraszając na jądrach cząstki
(promieniowanie gama, elektrony, neutrony, protony itp.), na podstawie charakterystyki rozpraszania.
Stwierdzono, że większość jąder ma kształt zbliżony kuli, a niektóre są owalne. Gęstość obszarów
wewnątrz jąder jest jednakowa i szybko spada do zera w odległości od środka, którą określamy jako
promień jądra.
Jądra mają rozmiary rzędu 10-14 – 10-15 m, co stanowi około 1/100000 rozmiaru atomu.
Jednak to w jądrze skupione jest ponad 99,9% masy atomu. Istnieje prosta zależność pozwalająca
oszacować rozmiary jąder atomowych z wyjątkiem kilku najlżejszych pierwiastków:
1
R = (1,2 ⋅10 −15 m) A 3 , gdzie: R - promień jądra, m - metr. Wzór ten wynika z założeń modelu
kroplowego.
1. Model kroplowy
Jednym z pierwszych modeli budowy jądra był model kroplowy. Zakłada on, że nukleony w
jądrze zachowują się jak cząsteczki w cieczy i w związku z tym własności jądra jako całości powinny
być podobne do własności kropli cieczy. Mikroskopowe oddziaływania, oddziaływanie silne jądrowe
oraz siły elektrostatyczne są w tym modelu przedstawiane przez analogię do sił lepkości i napięcia
powierzchniowego. Najważniejszym założeniem modelu jest to, że jądra są kuliste. Model ten jest
bardzo przybliżony i nie wyjaśnia wszystkich własności jąder.
2. Model powłokowy
Powłokowy model jądra atomowego powstał na zasadzie analogii do powłokowego modelu
atomu i zgodnie z obserwacjami poziomów wzbudzenia jąder atomowych zakłada, że nukleony nie
mogą wewnątrz jądra przyjmować dowolnych stanów energetycznych, lecz tylko te zgodne z
energiami kolejnych powłok. Każdą powłokę może zajmować określona liczba nukleonów. Kiedy
zostanie ona wypełniona, energia wiązania dla pierwszego nukleonu na kolejnej powłoce jest
wyraźnie mniejsza. Model zakłada, że nukleony poruszają się w jądrze prawie niezależnie, a
oddziaływanie nukleonu z pozostałymi nukleonami można zastąpić oddziaływaniem tego nukleonu
ze średnim polem działającym na niego.
Model wyjaśnia odstępstwa energii wiązania jąder od energii określonej w modelu kroplowym.
Wyjaśnia też istnienie ”liczb magicznych”: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 dla których jądra atomowe są
najstabilniejsze. Jeżeli jądro ma jeden nukleon mniej lub więcej, to energia wiązań jest w nim
wyraźnie mniejsza.
Ciekawą cechą modelu powłokowego jądra jest istnienie oddzielnych powłok dla neutronów i
protonów. Jeżeli jednocześnie zarówno liczba neutronów jak i liczba protonów jest równa liczbie
magicznej, to jądro jest “podwójnie magiczne” (np. Hel) i cechuje je wyjątkowa trwałość. Wartości
2
liczby magicznych są pewne tylko do 82. Istnieją hipotezy, według których liczby 126 i 184 są
magiczne dla neutronów, a 114 dla protonów.
Model powłokowy odnosi się również do zjawiska magnetycznego rezonansu jądrowego.
Zauważono zależność poziomów energetycznych jąder o spinie połówkowym od natężenia
zewnętrznego pola magnetycznego.
3. Modele kolektywne
Modele te zakładają, że nie wszystkie zjawiska jądrowe da się wytłumaczyć jako
oddziaływanie nukleonów. Według tych modeli nukleony łącząc się w grupy tworzą nowe cząstki
wewnątrz jądra. Jednym z tego rodzaju modeli jest koncepcja bozonów (en. interacting boson model,
IBM). Opiera się ona na analogii do zjawisk kwantowych występujących w nadprzewodnikach.
Cząstki elementarne łączą się w pary uzyskując nowe własności. Neutrony mają łączyć się z
protonami i oddziaływać jako jeden bozon z całkowitym spinem 0, 2 lub 4. Istnieją dwa warianty tego
modelu, czyli IBM-I i IBM-II.
Jądra trwałe i nietrwałe
Tylko niektóre jądra atomowe są trwałe. Decydują o tym oddziaływania między tworzącymi je
nukleonami. Większość jąder atomowych o liczbie atomowej od 1 (wodór) aż do 83 (bizmut) posiada
trwałe izotopy. Cięższe pierwiastki zawsze są nietrwałe, jednak ich okresy półrozpadu są tak duże,
że można znaleźć je w naturze. Najcięższym z tych pierwiastków jest posiadający liczbę atomową 94
pluton. Cięższe pierwiastki nie występują na Ziemi, jednak można je sztucznie wytworzyć w
akceleratorach cząstek. Najcięższym obecnie uzyskanym jest pierwiastek o liczbie atomowej 118, o
nazwie Ununoctium, który jest "ostatnim możliwym" gazem szlachetnym i który został otrzymany w
1999 r. w liczbie kilkuset atomów, przez naukowców z Uniwersytetu Berkeley, w USA.
Trwałość jądra można przewidzieć na podstawie energii wiązania, którą da się wyznaczyć
doświadczalnie porównując masę jądra z masą składników hipotetycznego rozpadu (niedoboru
masy). Dla średnich i ciężkich jąder energia wiązania jest wprost proporcjonalna do liczby
nukleonów. Wzrost liczby nukleonów o jeden powoduje zwykle podniesienie energii o 7-8 MeV.
Prawo to jest zachowane dla jąder w zakresie liczb masowych od 30 do 70 nukleonów. Potem
następuje wyraźne odejście od tej zależności. Energie wiązania cięższych jąder są w efekcie
mniejsze niżby to wynikało z liczby nukleonów.
Jądra z parzystą ilością neutronów i protonów (parzysto-parzyste) cechują się największą
trwałością i można je odnaleźć na Ziemi w znacznych ilościach. Jądra z nieparzystą liczbą protonów
lub neutronów (parzysto-nieparzyste) są już dużo mniej trwałe. Nieparzysta liczba protonów i
neutronów powoduje nietrwałość jąder, choć od tej reguły są wyjątki (np: jądro wodoru). Zjawisko to
wyjaśnia model powłokowy jądra atomowego.
Historyczny rozwój koncepcji budowy atomu
Historia modeli budowy atomów:
• Niepodzielna kulka - Demokryt głosił, że atom jest niepodzielną, sztywną, bez struktury
wewnętrznej kulką,
• Model rodzynkowy (Thomsona) - odkrycie elektronów zmienia poglądy, teraz atom jest kulką,
w której są mniejsze kulki (elektrony), tak jak w cieście są rodzynki,
• Model jądrowy - zwany też planetarnym (model Rutheforda), większość masy i całkowity
ładunek dodatni skupiony jest w małej przestrzeni w centrum atomu zwanej jądrem, elektrony
krążą wokół jądra,
• Model atomu Bohra - elektrony mogą poruszać się wokół jądra tylko po określonych orbitach,
wyjaśnia jak poruszają się elektrony wokół jądra, ale nie podaje przyczyny,
3
•
Model kwantowy (ruchu elektronów wokół jądra) - mechanika kwantowa wyjaśnia dlaczego
elektrony przyjmują określone energie.
Model atomu Bohra
Model budowy atomu Bohra - model atomu wodoru autorstwa Nielsa Bohra. Bohr przyjął
wprowadzony przez Ernesta Rutherforda model atomu, według tego modelu elektron krąży wokół
jądra jako naładowany punkt materialny, przyciągany do jądra siłami elektrostatycznymi. Przez
analogię do ruchu planet wokół Słońca model ten nazwano "modelem planetarnym atomu".
Pierwszym równaniem modelu jest równość siły elektrostatycznej i siły dośrodkowej.
Bohr założył, że elektron może krążyć tylko po wybranych orbitach zwanych stabilnymi, oraz
że krążąc po tych orbitach nie emituje promieniowania (mimo że tak wynikałoby z rozwiązania
klasycznego). Atom wydziela promieniowanie tylko gdy elektron przechodzi między orbitami.
n=3
n=2
n=1
Ilustracja modelu atomu według N. Bohra.
Przyjął on dwa najważniejsze założenia oparte na zasadach kwantowych:
1) atom wodoru może znajdować się jedynie w ściśle określonych stanach stacjonarnych, w których
nie promieniuje energii;
2) warunkiem wypromieniowania energii jest przejście atomu ze stanu o energii wyższej Ek do stanu
o energii niższej Ej, co opisuje równanie:
hv = Ek – Ej
Przeskoki między orbitami (a) i schemat poziomów energetycznych w atomie wodoru (b).
Zaznaczone są trzy z istniejących serii widmowych. Nie są zachowane proporcje pomiędzy
promieniami kolejnych orbit.
4
Sposoby wzbudzania atomów do świecenia:
- przez przekazanie energii atomowi przy niesprężystym zderzeniu z innym atomem lub
cząsteczką
- pochłonięcie przez atom fotonu o energii E=nhv
Atom dąży do wyzbycia się nadmiaru energii. W stanie wzbudzonym atom pozostaje około 10-8 s.
Długość fali elektronu mieści się całkowitą liczbę razy w długości orbity kołowej. Model Bohra,
jakkolwiek będący sztucznym połączeniem mechaniki klasycznej i relacji de Broglie'a, daje
prawidłowe wyniki na temat wartości energii elektronu na kolejnych orbitach.
Mimo pozornej poprawności modelu zrezygnowano z niego, ponieważ zgodnie z
elektrodynamiką klasyczną poruszający się po okręgu (lub elipsie), a więc przyspieszany, elektron
powinien, w sposób ciągły, wypromieniowywać energię i w efekcie "spadłby" na jądro już po czasie
rzędu 10-6 sekundy. Fakt, że tak się nie dzieje, nie dawał się wytłumaczyć na gruncie fizyki
klasycznej. Model Bohra został ostatecznie odrzucony również ze względu na to, że nie dawało go
się zaadaptować do atomów posiadających więcej niż dwa elektrony i nie można było za jego
pomocą stworzyć przekonującej, zgodnej ze znanymi faktami eksperymentalnymi teorii powstawania
wiązań chemicznych.
Energia jonizacji – energia potrzebna do uzunięcia najsłabiej związanego elektronu z atomem.
Pasmowa teoria przewodnictwa elektrycznego
Jest
to
kwantowomechaniczna
teoria
opisująca
przewodnictwo
elektryczne.
W przeciwieństwie do teorii klasycznej punktem wyjścia w tej teorii jest statystyka Fermiego-Diraca i
falowa natura elektronów.
Statystyka Fermiego-Diraca – statystyka dotycząca fermionów, cząstek o spinie połówkowym,
które obowiązuje zakaz Pauliego. Zgodnie z zakazem Pauliego w danym stanie nie może znajdować
się więcej niż jeden fermion. Zgodnie z rozkładem Fermiego-Diraca średnia liczba cząstek w danym
stanie dana jest przez:
< n >=
1
(e
β ( E −µ )
+ 1)
gdzie E jest energią tego stanu, µ jest potencjałem chemicznym, a β = 1 / (kBT), gdzie kB jest stałą
Boltzmanna a T – temperaturą w skali Kelvina.
Rozkład Fermiego-Diraca może opisywać sposób obsadzenia poziomów energetycznych
przez elektrony w układzie wieloelektronowym (np. w atomie). Prawdopodobieństwo znalezienia
P=
1
β (E−E f )
+ 1) gdzie: E - energia Fermiego. Dla E − E >>
f
f
1
kT rozkład przechodzi w klasyczny rozkład Maxwella-Boltzmanna: P = β ( E − E f ) .
e
elektronu w stanie o energii E wynosi:
(e
Najważniejszym pojęciem tej teorii jest pasmo energetyczne – jest to przedział energii, jaką
mogą posiadać elektrony w przewodniku. Istnienie ciągłego widma energetycznego jest związane z
oddziaływaniem na siebie poszczególnych atomów (jest to zbiór bardzo blisko położonych widm
liniowych), natomiast występowanie obszarów zabronionych wynika z warunków nakładanych na
periodyczność funkcji falowej elektronów.
Energetyczny model pasmowy jest używany w elektronice głównie do wyjaśniania
przewodnictwa w ciałach stałych i niektórych ich własności. W atomie poszczególne elektrony mogą
znajdować się w ściśle określonych, dyskretnych stanach energetycznych. Dodatkowo w ciele stałym
atomy są ze sobą związane, co daje dalsze ograniczenia na dopuszczalne energie elektronów.
5
Dozwolone poziomy energetyczne odizolowanych atomów na skutek oddziaływania z innymi
atomami w sieci krystalicznej zostają przesunięte tworząc tzw. pasma dozwolone, tj. zakresy energii
jakie elektrony znajdujące się na poszczególnych orbitach mogą przyjmować; poziomy leżące poza
dozwolonymi określane są pasmami wzbronionymi.
Schematyczne przedstawienie struktur pasmowych.
Elektronika posługuje się zwykle uproszczonym modelem energetycznym, w którym opisuje
się energię elektronów walencyjnych dwoma pasmami dozwolonymi:
1. pasmo walencyjne (pasmo podstawowe) - zakres energii jaką posiadają elektrony walencyjne
związane z jądrem atomu;
2. pasmo przewodnictwa - zakres energii jaką posiadają elektrony walencyjne uwolnione z
atomu, będące wówczas nośnikami swobodnymi w ciele stałym.
Dolna granica pasma przewodnictwa jest położona wyżej (wyższa energia) niż górna granica pasma
walencyjnego (niższa energia). Przerwa energetyczna pomiędzy tymi pasmami jest nazywana
pasmem zabronionym (wzbronionym) lub przerwą zabronioną (energia ta jest oznaczana przez Eg).
Żeby w danym materiale mógł płynąć prąd elektryczny muszą istnieć swobodne nośniki pojawią się one, gdy elektrony z pasma walencyjnego przejdą do pasma przewodnictwa. Musi więc
zostać z zewnątrz dostarczona energia co najmniej tak duża, jak przerwa zabroniona.
W przewodnikach (miedź, aluminium itp.) nie ma pasma zabronionego (przerwy
energetycznej). Może to wynikać z dwóch powodów:
• Pasmo walencyjne jest tylko częściowo zapełnione elektronami, mogą się one swobodnie
poruszać, a więc pasmo walencyjne w przewodnikach pełni analogiczną rolę jak pasmo
przewodnictwa w półprzewodnikach i izolatorach.
• Pasmo przewodnictwa i walencyjne zachodzą na siebie, toteż w tym wspólnym paśmie
występuje dużo elektronów swobodnych i możliwy jest przepływ prądu.
Natomiast w materiałach izolacyjnych przerwa energetyczna jest bardzo duża (Eg rzędu 10eV).
Dostarczenie tak dużej energii zewnętrznej (napięcia) najczęściej w praktyce oznacza fizyczne
zniszczenie izolatora.
Pośrednią grupą są półprzewodniki. Przerwa energetyczna w tych materiałach jest mniejsza
niż 2eV (obecnie 2eV to jedynie wartość umowna, znane są półprzewodniki o większej przerwie
energetycznej, np. fosforek indu lub węglik krzemu), toteż swobodne elektrony mogą pojawić się przy
dostarczeniu względnie niskiego napięcia zewnętrznego lub pod wpływem promieniowania
elektromagnetycznego.
6
półprzewodnik
izolator
półprzewodnik spontaniczny
półprzewodnik typu n
półprzewodnik typu p
Lokalizacja poziomu Fermiego w różnych materiałach.
W przewodnikach poziom Fermiego znajduje się w obszarze poziomu przewodnictwa, dzięki
czemu elektrony przewodnictwa mogą swobodnie poruszać się w obrębie materiału (ponieważ łatwo
mogą przechodzić do wyższego poziomu energetycznego)
Poziom Fermiego w izolatorach znajduje się w okolicy granicy pasma walencyjnego, a pasmo
wzbronione jest szerokie. Powoduje to, że elektrony nie mogą łatwo zwiększać swojej energii
(ponieważ najpierw muszą przeskoczyć do pasma przewodnictwa).
W półprzewodniku poziom Fermiego położony jest podobnie jak w przypadku izolatorów,
jednak przerwa energetyczna (szerokość pasma wzbronionego) jest niewielka (umownie za
półprzewodnik przyjmuje się ciało, w którym szerokość pasma wzbronionego jest mniejsza niż 2 eV).
W półprzewodnikach spontanicznych część elektronów przechodzi do pasma przewodnictwa dzięki
energii termicznej lub np. wzbudzeń fotonowych. Przewodnictwo w półprzewodnikach
spontanicznych ma charakter pół na pół elektronowo-dziurowy. Jeżeli do półprzewodnika (będącego
pierwiastkiem grupy 14) wprowadzimy pierwiastek z grupy 15 nadmiarowe elektrony w strukturze
krystalicznej utworzą nowy poziom - poziom donorowy, który znajduje się tuż poniżej pasma
przewodnictwa. Elektrony z poziomu donorowego niewielkim kosztem energetycznym mogą
przenosić się do pasma przewodnictwa. W półprzewodnikach typu n główny wkład do przewodnictwa
pochodzi od elektronów (ale efekty opisane dla spontanicznych też grają role).
Analogicznie do półprzewodników typu n, jeżeli wprowadzimy pierwiastek grupy 13 to tuż
powyżej pasma walencyjnego pojawia się wolny poziom, zwany akceptorowym (półprzewodniki typu
p). Spontaniczne przejście elektronów na ten poziom powoduje powstawanie dziur, które są
nośnikiem dominującym.
7
Energia potencjalna dwóch naładowanych cząstek o ładunkach q1 i q2, będzie ogólnie równa:
U=
dla atomu wodoru natomiast: U = −
1
q1q2
4πε 0 r
1 e2
4πε 0 r
Energia stanów elektronów w atomie wodoru jest równa: En = −
me 4 1
13,6
= − 2 [eV ] , gdzie
2 2
2
8ε 0 h n
n
n=1, 2, 3, ...; m – masa elektronu; n – powłoka
Liczby kwantowe:
n – główna liczba kwantowa 1, 2, 3 ...
l – orbitalna liczba kwantowa 0, 1, 2, 3...(n-1)
mL – magnetyczna liczba kwantowa -l, -(l-l), ..., +(l-l), +l
Aby zlokalizowany elektron mógł pochłonąć foton, energia tego fotonu hν musi być równa różnicy ∆E
pomiędzy początkowym poziomem energetycznym elektronu a wyższym poziomem energetycznym:
hν = ∆E = Ew − En
ZAKAZ PAULIEGO: Żadne dwa elektrony uwięzione w tej samej pułapce nie mogą mieć
jednakowych wszystkich liczb kwantowych.
STAŁA RYDBERGA: Występuje we wzorze Rydberga i innych wzorach opisujących promieniowanie
elektromagnetyczne atomów, serie widmowe atomów wynikające z poziomów energetycznych.
Stała Rydberga w układzie SI dla nieruchomego jądra o nieskończonej masie jest równa:
R∞ =
me e 4
me e 4
=
= 1,0973731568525(73) ⋅10 7 [m −1 ]
(4πε 0 ) 2 h 3 4πc 8ε 0 2 h 3c
gdzie:
m – masa ( 9,10939 ⋅10 −31[kg ] ),
e – ładunek elektronu ( 1,6022 ⋅10 −19 [C ] ),
c – prędkość światła ( 3 ⋅108 [
m
] ),
s
h
– stała Plancka dzielona przez 2π (h= 6,626075 ⋅10 −34 [ J ⋅ s ] ),
2π
F
ε0 – przenikalność elektryczna próżni ( 8,854187 ⋅10 −12 [ ] ).
m
7
−1
Dla atomu wodoru wynosi R = 1,09677 ⋅10 [ m ]
h=
Dla skończonych mas jądra stała Rydberga (dla danego nuklidu o masie jądra M) równa jest
−1
m

RD = R∞ 1 +  .
 M
Wartość liczbową występującą we wzorze Balmera wyznaczył na podstawie danych
spektroskopowych J.R. Rydberg w 1889, a N.H. Bohr w 1913 określił wzór wiążący ją z wartościami
ogólniejszych stałych na podstawie własnej teorii zwanej obecnie modelem atomu Bohra.
W warunkach laboratoryjnych, wykorzystując siatkę dyfrakcyjną lub spektrometr światłowodowy, po
odczytaniu długości fali dla poszczególnych linii widmowych atomu wodoru, wyznacza się stałą
Rydberga w oparciu o zależność:
 1 1
= R 2 − 2  , gdzie i oraz j to kolejne orbity.
λ
i 
j
1
8