5 - Zagadnienie transportowe

Badania operacyjne
Ćwiczenia 5
Temat:
Zagadnienie transportowe
1. Wstęp
Zagadnienie transportowe zostało po raz pierwszy sformułowane przez F. L. Hitchcocka w r. 1941, jako sposób
zaplanowania przewozu jednorodnego produktu od określonej liczby dostawców do określonej liczby
odbiorców. Zagadnienie transportowe jest szczególnym przypadkiem programowania liniowego, zatem można
je rozwiązać za pomocą metody simpleks. Jednak dzięki charakterystycznej strukturze warunków
ograniczających, w zagadnieniu transportowym opracowano metody pozwalające otrzymać rozwiązanie w
sposób bardziej efektywny.
Opracowany w roku 1951 przez G.B. Dantziga schemat metody rozwiązania zagadnienia transportowego
nazywany algorytmem transportowym, pozostał w użyciu do dziś.
2. Charakterystyka zagadnienia transportowego
 M dostawców pewnego jednorodnego towaru, z których każdy dysponuje Ai (i  1, 2, ..., M) jednostkami
tego towaru, zaopatruje N odbiorców.
 Zapotrzebowanie każdego z odbiorców wynosi B j jednostek (j  1, 2, ..., N) . Każdy z dostawców może
zaopatrywać dowolnego odbiorcę i odwrotnie – każdy odbiorca może otrzymać towar od dowolnego
dostawcy.
 Dane są ponadto jednostkowe koszty transportu cij towaru i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Zakłada się,
że całkowity koszt transportu jest sumą kosztu transportu na poszczególnych trasach.
 Cel: należy opracować plan przewozu towaru między dostawcami a odbiorcami tak, aby łączne koszty
transportu były możliwie najniższe.
 Plan taki ma określić, ile towaru powinien dostarczyć i-ty dostawca j-temu odbiorcy.
 Zmienne decyzyjne: xij – ilość towaru, jaką i-ty dostawca powinien dostarczyć j-temu odbiorcy
( i  1, 2, ..., M ;
j  1, 2, ..., N ).
 Model zagadnień transportowych ma rozwiązanie, gdy
M
N
 A  B
i
i 1
 gdzie
M
 Ai oznacza łączną podaż dostawców, natomiast
i 1
j 1
j
,
N
B
j 1
j
– łączne zapotrzebowanie odbiorców.
 Występują dwa rodzaje zagadnienia transportowego:
a) zamknięte zagadnienie transportowe (ZZT)
M
gdy
b) otwarte zagadnienie transportowe (OZT)
N
 Ai   B j ;
i 1
gdy
j 1
M
N
i 1
j 1
 Ai   B j .
3. Zamknięte zagadnienie transportowe (ZZT)
 Warunki ograniczające:
N
a) dla dostawców:
x
j 1
ij
 Ai
i  1, 2,
,M
Oznacza to, że i-ty dostawca ma rozprowadzić pomiędzy odbiorców cały towar, który posiada.
Warunków tego typu jest tyle ilu dostawców, czyli M.
M
b) dla odbiorców:
x
i 1
ij
 Bj
j  1, 2,
,N
Oznacza to, że j-ty odbiorca ma otrzymać od wszystkich dostawców tyle towaru ile potrzebuje.
Warunków tego typu jest tyle ilu odbiorców, czyli N.
xij  0 (i  1, 2,..., M ; j  1, 2,..., N )
 Warunki brzegowe:
 Funkcja celu (kryterium):
M
N
 c x
i 1 j 1
ij ij
 min
Minimalizacja łącznych kosztów transportu – od wszystkich dostawców do wszystkich odbiorców.
1
Badania operacyjne
Ćwiczenia 5
3.1. Etapy rozwiązania zagadnienia transportowego:
 Sformułowanie wstępnego planu przewozów – wyznaczenie początkowego rozwiązania
dopuszczalnego;
 Poprawa powyższego rozwiązania w kolejnych iteracjach, aż do uzyskania rozwiązania optymalnego.
3.2. Metody uzyskiwania wstępnego rozwiązania dopuszczalnego:
 Metoda kąta północno-zachodniego
 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
 Metoda aproksymacji Vogla (VAM)
3.3. Metody poprawy wstępnego rozwiązania dopuszczalnego:
 Iteracyjna metoda potencjałów
 Algorytm Forda-Fulkersona
4. Otwarte zagadnienie transportowe (OZT) (zagadnienie transportowo-magazynowe)
OZT można sprowadzić do ZZT poprzez wprowadzenie fikcyjnego N+1 odbiorcy, którego zapotrzebowanie
M
N
i 1
j 1
BN 1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem: BN 1   Ai   B j .
W rzeczywistości najczęściej zakłada się, że nadwyżka towaru pozostanie w magazynach dostawców.


Mogą być dodatkowo podane jednostkowe koszty magazynowania u poszczególnych dostawców ci , N 1 lub
też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie małe w porównaniu z kosztami transportu.
W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu i magazynowania.
5. Zagadnienie transportowo-produkcyjne (ZT-P)
W ZT-P dostawcami są producenci towaru, a nie magazyny:
 M producentów pewnego jednorodnego towaru, z których każdy ma zdolność produkcyjną
Ai (i  1, 2, ..., M) jednostek towaru, zaopatruje w swoją produkcję N odbiorców.

Każdy odbiorca zgłasza zapotrzebowanie na B j jednostek (j  1, 2, ..., N) . Zakłada się, że łączne zdolności
produkcyjne zakładów produkcyjnych przekraczają łączne zapotrzebowanie odbiorców.
 Oprócz jednostkowych kosztów transportu od i-tego producenta do j-tego odbiorcy, dane są jednostkowe
koszty produkcji w i-tym zakładzie pi .
Zadanie ZT-P można sprowadzić do ZZT poprzez:
 wprowadzenie fikcyjnego N+1 odbiorcy, który będzie reprezentować albo niewykorzystane zdolności
produkcyjne poszczególnych producentów, albo magazyny u producentów, i którego zapotrzebowanie
BN 1 jest równe różnicy pomiędzy sumą zdolności produkcyjnych wytwórców i sumą zapotrzebowań
odbiorców, czyli: BN 1 
M
N
i 1
j 1
 Ai   B j ,

skonstruowanie macierzy łącznych kosztów produkcji oraz transportu (i ewentualnie magazynowania)
kij w następujący sposób: kij  pi  cij (i  1, 2,..., M ; j  1, 2,..., N  1) ,

przy czym ki , N 1  0 jeżeli fikcyjny odbiorca reprezentuje niewykorzystane zdolności produkcyjne.
W zadaniu ZT-P zmienne decyzyjne xij to ilości towaru wyprodukowane w i-tym zakładzie, dostarczone do
j-tego odbiorcy, natomiast wielkości xi , N 1 to niewykorzystane zdolności produkcyjne poszczególnych
wytwórców lub ilości wyprodukowane, pozostające w magazynach producentów.
2
Badania operacyjne
Ćwiczenia 5
Zadanie 1
Trzy piekarnie zlokalizowane na terenie miasta są zaopatrywane w mąkę z trzech magazynów znajdujących się na
peryferiach. Zasoby mąki w magazynach wynoszą: w magazynie I – 5 ton, w magazynie II – 15 ton, w magazynie
III – 6 ton. Zapotrzebowanie piekarni wynosi odpowiednio 9, 13 i 4 tony. Jednostkowe koszty dostawy mąki do
piekarń podano w tabeli:
Wyznacz plan przewozów, który minimalizuje łączny koszt transportu mąki.
P1
P2
P3
Wykorzystaj metodę kąta północno-zachodniego oraz metodę minimalnego
M1
17
10
12
elementu macierzy kosztów.
M2
10
4
5
M3
3
6
3
Zadanie 2
Załóż, że podaż pierwszego magazynu z zadania 1 zwiększyła się z 5 do 9 ton. Podaj plan przewozu
i magazynowania nadwyżki mąki ponad zapotrzebowanie piekarń, minimalizujący łączne koszty transportu
i magazynowania. Załóż dodatkowo, że koszty magazynowania w poszczególnych magazynach wynoszą
odpowiednio 1, 2 i 3 jednostki.
Zadanie 3
Dostawcami mąki do piekarń są jej bezpośredni producenci – młyny M1, M2 i M3. Parametry Ai są potencjalnymi
zdolnościami produkcyjnymi młynów. Obok kosztów transportu w tabeli podano również koszty produkcji 1 tony
mąki w poszczególnych młynach (pi):
Wyznacz optymalny plan produkcji i transportu mąki tak, aby
P1
P2
P3
Ai
pi
zminimalizować łączne koszty produkcji i transportu mąki z
M1
17
10
12
9
50
młynów do piekarń. Załóż, że zdolności produkcyjne młynów
będą w pełni wykorzystane, a nadwyżka produkcji ponad
M2
10
4
5
15
60
zapotrzebowanie
piekarń
będzie
magazynowana
u
M3
3
6
3
6
70
producentów, przy jednostkowych kosztach magazynowania
Bj
9
13
4
równych odpowiednio 1,2 i 3 jednostki.
Zadanie 4
Pewien dystrybutor jest odpowiedzialny za rozwiezienie butelek z napojami chłodzącymi od trzech dostawców do
czterech odbiorców. Dystrybutor wie, ile jednostek towaru mają do dyspozycji dostawcy (odpowiednio 1000, 1500
i 2000 butelek) i wie, ile jednostek towaru potrzebują odbiorcy (odpowiednio 1250, 650, 1850, 750). Aby
zaspokoić popyt odbiorców, dostawcy dysponować muszą ilością towaru co najmniej równą popytowi. Zadaniem
dystrybutora jest ustalić taki plan przewozów, który spełniałby wymagania odbiorców, i jednocześnie brał pod
uwagę możliwości dostawców. Kryterium oceny rozwiązań jest koszt całkowity transportu. Koszty jednostkowe
transportu przedstawiają się następująco:
12 10 9 7 
 6 8 11 14  .


12 15 17 11
Zadanie 5
Trzy cukrownie C1, C2 i C3 zaopatrują w cukier trzy magazyny M1, M2 i M3. Poszczególne cukrownie mogą
dostarczyć dziennie odpowiednio 50, 40 i 80 ton cukru, natomiast zapotrzebowanie magazynów wynosi 70, 80 i 20
ton. Koszty transportu cukru z cukrowni do magazynów podano w tabeli:
Cukrownie
C1
C2
C3
M1
7
2
3
Magazyny
M2
4
5
4
M3
3
1
2
Wyznacz optymalny plan minimalizujący koszty przewozu cukru z
cukrowni do magazynów.
3
Badania operacyjne
Ćwiczenia 5
Zadanie 6
Czterech dostawców może łącznie dostarczyć ładunek o masie 800 kg, przy czym pierwszy z nich jest w stanie
nadać 150 kg, drugi – 250 kg, trzeci – 200 kg i czwarty – 200 kg. Ładunek ma zostać przewieziony do trzech
odbiorców, przy czym pierwszy z nich wyraża zapotrzebowanie na 100 kg, drugi – na 300 kg, a trzeci – na 400 kg.
Macierz kosztów jednostkowych (w jednostkach pieniężnych) transportu ładunku pomiędzy poszczególnymi
dostawcami i odbiorcami przedstawia się następująco:
cij
I
II
III
IV
I
4
5
3
2
II
2
3
4
2
III
1
2
4
1
Ustal taki plan przewozu ładunku, który zapewni minimalny całkowity koszt
transportu i zarazem zaspokoi oczekiwania dostawców i odbiorców. Wstępne
rozwiązanie bazowe wyznacz metodą minimalnego kosztu. Jeżeli istnieje więcej niż
jedno rozwiązanie optymalne, podaj wszystkie rozwiązania alternatywne.
Zadanie 7
Trzech dostawców może łącznie dostarczyć ładunek o masie 900 kg, przy czym pierwszy z nich jest w stanie nadać
200 kg, drugi – 400 kg, trzeci – 300 kg. Ładunek ma zostać przewieziony do czterech odbiorców, przy czym
pierwszy z nich wyraża zapotrzebowanie na 150 kg, drugi – 300 kg, trzeci – 250 kg, a czwarty – 200 kg. Macierz
kosztów jednostkowych (w jednostkach pieniężnych) transportu ładunku pomiędzy poszczególnymi dostawcami i
odbiorcami przedstawia się następująco:
cij
I
II
III
I
6
5
7
II
5
6
8
III
8
6
7
IV
5
9
8
Ustal optymalny plan przewozu ładunku, który zapewni minimalny całkowity
koszt
transportu
i
zarazem
zaspokoi
oczekiwania
dostawców
i odbiorców.
Wstępne rozwiązanie bazowe wyznacz metodą minimalnego kosztu.
Zadanie 8
Cztery magazyny zaopatrują dwie hurtownie w proszek do prania. Magazyny mogą łącznie dostarczyć 2000 kg
proszku, przy czym pierwszy z nich jest w stanie wysłać 500 kg proszku, drugi – 400 kg, trzeci – 700 kg, a czwarty
– 400 kg. Pierwsza hurtownia wyraża zapotrzebowanie na 1200 kg proszku, a druga – na 800 kg. Macierz kosztów
jednostkowych (w zł) transportu proszku między poszczególnymi magazynami i hurtowniami przedstawia się
następująco:
cij
M1
M2
M3
M4
H1
8
9
8
7
H2
6
7
5
4
Ustal taki plan przewozu, który zapewni minimalny całkowity koszt transportu,
a zarazem zaspokoi oczekiwania dostawców i odbiorców.
Wstępne rozwiązanie bazowe wyznacz metodą kąta północno-zachodniego.
4