Prąd i opór elektryczny
advertisement
Prąd i opór elektryczny Prąd elektryczny to przepływ ładunków elektrycznych. Ilustracją jest rysunek przedstawiający strumieo ładunków płynących prostopadle do powierzchni A. Natężenie prądu elektrycznego definiuje się jako szybkośd/tempo, w którym nośniki prądu/ładunki płyną/przemieszczają się/przepływają przez dany przekrój powierzchni (patrz rysunek). Zatem jeśli ilośd ładunku przepływa w czasie , to średnie natężenie prądu wynosi Jednostką natężenia prądu jest w Si amper (A); 1A = 1C/sek. Wartości natężeo zmieniają się od megaamperów w błyskawicy do nanoamperów w układzie nerwowym człowieka. Chwilowe natężenie prądu definiujemy jako Jako kierunek przepływu prądu przyjmuje się kierunek płynięcia ładunku dodatniego. W przewodach nośnikami prądu są elektrony, które płyną w kierunku przeciwnym. Prądy elektronowe płyną w przewodnikach: metalach, półprzewodnikach, cieczach (w elektrolitach, w zjonizowanych cieczach), zjonizowanych gazach (świetlówki, plazma). Wektor gęstości prądu W celu powiązania prądu elektrycznego z mikroskopowymi wielkościami (ładunkiem nośników prądu) rozpatrzymy przewodnik o polu przekroju poprzecznego A (patrz rysunek) Przedstawimy teraz prąd elektryczny (przepływ ładunków) jako strumieo nowego wektora przez powierzchnię A , gdzie jest wektorem gęstości prądu elektrycznego. Jego wymiarem w Si jest A/m2. Niechaj ładunek nośnika prądu wynosi , koncentracja nośników , wtedy całkowity ładunek płynący w objętości przewodnika pokazanej na rysunku wyniesie Załóżmy, że prędkośd nośników prądu jest równa ładunki przebędą drogę . Wtedy w czasie Całkowite średnie natężenie prądu, który w tym czasie płynął przez przewodnik jest równe Prędkośd , z jaką nośniki prądu „płyną” w przewodniku przyjęto nazywad prędkością dryfu (prędkośd dryfowania, prędkośd unoszenia przez pole elektryczne). Z fizycznego punktu widzenia prędkośd jest średnią prędkością nośników prądu w objętości przewodnika, gdy w przewodniku istnieje pole elektryczne (tak jest po podłączeniu przewodnika do źródła prądu). Zauważmy, że w objętości przewodnika nośniki prądu nie poruszają się po liniach prostych lecz wykonują pewnego rodzaju błądzenie losowe, co ilustruje kolejny rysunek. W metalach dzieje się tak wskutek zderzania się prawie swobodnych elektronów gazu elektronowego z jądrami atomów metalu. Zestawienie dwóch ostatnich wzorów prowadzi nas do ważnego wyrażenia dla wektora gęstości prądu elektrycznego. Zauważmy, że zatem Jeśli teraz założymy, że wszystkie nośniki prądu mają identyczne wektory dryfu a wektor gęstości prądu jest stały w każdym punkcie pola przekroju poprzecznego przewodnika, to Jak widzimy wektor ma ten sam kierunek i zwrot co wektor prędkości dryfu nośników prądu! Jak wyznaczamy średnią wartośd dryfu nośników prądu? Odnotujmy, że na elektron umieszczony w polu elektrycznym działa siła , gdzie położono, że Niechaj prędkośd danego elektronu tuż po zderzeniu z innym lub jadrem atomowym wynosi . Wtedy prędkośd elektronu tuż przed kolejnym zderzeniem wyniesie . Prędkośd średnia elektronu w czasie między zderzeniami, czyli prędkośc dryfu jest równa Pod nieobecnośd pola elektrycznego , więc Niechaj średni czas gęstości prądu elektrycznego między zderzeniami wynosi . Wtedy wektor Zauważmy, że wektory oraz mają te same kierunki i zwroty. Prawo Ohma W wielu przypadkach, tak jest w metalach, wektor gęstości prądu jest proporcjonalny do natężenie pola elektrycznego, które oddziaływuje na nośniki prądu elektrycznego znajdujące się w objętości przewodnika. Zapisujemy to w postaci gdzie nosi nazwę przewodności materiału przewodnika. W Si jednostką przewodnictwa jest simens, przy czym 1S = (A/m2)/(N/C) = (A/m2)/(V/m) = A/(mV). Powyższe równanie nosi nazwę mikroskopowego prawa Ohma. Materiał spełniający to prawo nazywamy opornikiem ohmowym. Porównując dwa ostatnie wzory dochodzimy do związku Wyprowadzimy obecnie inna tzw. całkową postad prawa Ohma dla prostoliniowego przewodnika o długości , polu przekroju poprzecznego , co pokazuje rysunek. Załóżmy, że różnica potencjałów dzieli kooce przewodnika, co generuje pole elektryczne w przewodniku o natężeniu i przepływ prądu o natężeniu Jeśli pole jest jednorodne, to . Wartośd wektora gęstości prądu elektrycznego wynosi co po prostym przekształceniu pozwala otrzymad gdzie jest oporem prostoliniowego przewodnika z prądem. Makroskopowe równanie Ohma zapisujemy w postaci W układzie SI jednostką oporu elektrycznego jest Ohm (), przy czym 1 = 1V/(1A). Materiał spełniający ostatnie z podanych wyżej równao nosi nazwę ohmowego. Tuta rozpatrujemy tylko takie materiały. W tej klasie znajdują się metale. Kolejny rysunek przedstawia materiał ohmowy i nieohmowy (po prawej stronie) Opornośd właściwą Zwiążemy obecnie definiujemy jako odwrotnośd przewodnictwa z oporem R. i ostatecznie opór prostoliniowego przewodnika z prądem jest równy . Warto dodad, że opornośd właściwa zależy od temperatury materiałów ohmowych , gdzie elektrycznego. jest temperaturowym współczynnikiem oporu Tabela przedstawia typowe wartości wprowadzonych do tej pory wielkości. Legenda: Tungsten – wolfram, Iron – żelazo, Alloys – stopy, Brass – mosiądz, Manganin stop miedzi z manganem i niklem, Nichrome – niemagnetyczny stop niklu I chromu (80% niklu i 20% chromu), Carbon (grafit) – forma/faza grafitowa węgla, Glass – szkło, Sulfur – siarka, Quartz – kwarc, Germanium – german, Silicon – krzem, Semiconductors – półprzewodniki, Insulators – izolatory, Elements – pierwiastki. Praca i moc prądu elektrycznego Rozpatrzmy zamknięty układ elektryczny przedstawiony na rysunku. Układ zawiera opór . Napięcie między okładkami baterii wynosi . Niech ładunek zostanie przemieszczony przez baterię, to jego energia wzrośnie o . Z drugiej strony ten sam ładunek płynący przez opornik w obwodzie traci swoją energię wskutek zderzeo z atomami opornika. Jeśli zaniedbamy oporności baterii i przewodów łączących, to płynący ładunek nie traci dodatkowo energii. Zatem strata energii ładunku wynosi Otrzymany wzór określa także moc dostarczaną obwodowi przez baterię! Stały prąd elektryczny Obwód elektryczny łączy, za pomocą przewodów elektrycznych, źródło prądu elektrycznego z tzw. obciążeniem, którym mogą byd: rezystory (oporniki), silniki, grzejniki, lampy. Energia elektryczna płynie natychmiast po uruchomieniu włącznika (włączenie kontaktu). Elementy obciążenia mogą byd połączone równolegle (lewa częśd rysunku) lub szeregowo. Poniżej pokazujemy schematyczne oznaczenia elementów obwodów elektrycznych Legenda: Voltage Source – źródło napięcia, resistor – opornik (rezystor), Switch – przełącznik (kontakt). Odnotujmy, że tzw. uziemienie, to element lub punkt obwodu elektrycznego, którego potencjał jest umownie przyjmowany jako zerowy. Potencjał dowolnego punktu obwodu jest liczony (odnoszony) do potencjału uziemionego elementu. Siła elektromedyczna (SEM=EMF) Źródło energii np. bateria, akumulator, generator, komórka fotowoltaiczna płynącej w każdym obwodzie elektrycznym nazywane jest źródłem siły elektromotorycznej SEM. Możemy o źródle tej energii jako o pompie ładunków, która powoduje przemieszczanie się ładunków elektrycznych z punktu o mniejszym potencjale do punktu o potencjale wyższym. Przypomnijmy, że prąd elektryczny płynie od punktów o wyższym potencjale do punktów o potencjale niższym. Wartośd siły elektromotorycznej, oznaczanej symbolem , definiuje się za pomocą wzoru . Powyższe wyrażenie oznacza więc pracę konieczną do przeniesienia jednostkowego ładunku w kierunku rosnącego potencjału. W SI jednostką siły elektromotorycznej jest wolt (V). Rozpatrzymy teraz obwód elektryczny przedstawiony na kolejnym rysunku Załóżmy najpierw, że bateria ma zerowy opór wewnętrzny oraz, że różnica potencjałów między dodatnim i ujemnym jej zaciskiem jest równa Oznacza to, że . Uruchomienie przepływu prądu w obwodzie elektrycznym jest wynikiem procesu zamiany energii chemicznej na elektryczną. Zauważmy, że SEM to ilośd energii chemicznej potrzebnej do uwolnienia jednostkowego ładunku elektrycznego. Proces ten zachodzi w baterii. Ze względu na zachowawczy charakter pola elektrostatycznego praca W potrzebna do przemieszczenia ładunku po krzywej zamkniętej, tj. po obwodzie zamkniętym wynosi zero Rozważmy pkt. a na poniższym rysunku. Obchodzimy obwód zamknięty zgodnie z ruchem wskazówek zegara zaczynając od punktu a. Przejście przez SEM oznacza wzrost potencjału o wartośd . Przejście przez rezystor oznacza spadek napięcia równy . Jeśli opory przewodników i opór wewnętrzny zaniedbamy, to zatem . W rzeczywistości bateria ma niezerowy opór elektryczny, więc rzeczywisty obwód ma postad Na tej podstawie możemy przedstawid (patrz poniżej) graficznie spadek napięcia w powyższym obwodzie Zauważmy, że najwyższy potencjał ma w obwodzie dodatni zacisk baterii. Różnica potencjałów na zaciskach baterii jest teraz równa Ponieważ pole jest zachowawcze, więc otrzymujemy prawo Ohma dla układu zamkniętego i . Moc prądu w obwodzie zamkniętym wynosi Baterie oporników Połączenie szeregowe – dwóch oporników tworzących najmniejszą z możliwych baterię przedstawia poniższy rysunek; po jego prawej stronie opornik zastępczy (ekwiwalentny) Spadek napięcia między punktami a i c obwodu . Układ 2 rezystorów można zastąpid w obwodzie jednym opornikiem którym spadek napięcia jest . Porównanie dwóch ostatnich wzorów , na , prowadzi nas do wniosku o dodawaniu się oporów połączonych szeregowo, tj. W ogólnym przypadku takie same rozważania dają wynik koocowy na opór zastępczy baterii N oporów połączonych szeregowo Połączenie równoległe – dwóch oporników tworzących najmniejszą z możliwych baterię przedstawia poniższy rysunek; po jego prawej stronie opornik zastępczy (ekwiwalentny) Z prawa zachowania ładunku elektrycznego wynika, że w punkcie a obwodu natężenie prądu I dzieli się na prądy oraz płynące odpowiednio przez oraz , czyli . Oporniki są ohmowe więc spadki napięd na nich są równe oraz , co pozwala zapisad, z uwzględnieniem równości spadków napięd na każdym z oporników, kolejną równośd , co oznacza, że . Tak więc przy równoległym połączeniu 2 rezystorów w jedną baterię oporników, jej równoważną (zastępcza) opornośd liczymy zgodnie z ostatnim wzorem. W ogólnym przypadku takie same rozważania dają wynik koocowy na opór zastępczy baterii N oporów połączonych równolegle Prawa Kirchhoffa Pierwsze prawo Kirchhoffa: Suma natężeo wpływających do danego węzła obwodu jest równa sumie natężeo prądów wypływających z niego . W ostatnim wzorze przyjęto, że do węzła obwodu wpływa prądów (natężeo) oraz wypływa; w ogólności Prostą sytuację przedstawia poniższy rysunek gdzie oraz Drugie prawo Kirchhoffa: Suma spadków napięd w zamkniętym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru . (*) Reguły znaków obowiązujące dla składników powyższej sumy zawiera poniższa tabela Komentarze: 1. Aby zastosowad II prawo Kirchhoffa wybieramy kierunek obchodzenia zamkniętego oczka. W tabeli wybrano kierunek obchodzenia zgodny z ruchem wskazówek zegara. Przyjęcie przeciwnego kierunku obchodu nie zmienia wyników koocowych. Dlaczego? 2. Jeśli „przechodząc” przez opornik z prądem wstępnie wybrany kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem obchodzenia oczka, to spadek potencjału (napięcia) równy bierzemy do wyżej przytoczonej sumy ze znakiem ujemnym. W przeciwnym przypadku ze znakiem dodatnim; patrz górny wiersz tabeli. 3. Jeśli „obchodząc” oczko przy wybranym kierunku obchodzenia natrafiamy na zacisk ujemny (niższy potencjał) źródła prądu, to spadek napięcia , tj. siłę elektromotoryczną źródła bierzemy, do sumy ze znakiem dodatnim. W przeciwnym przypadku ze znakiem ujemnym; patrz dolny wiersz tabeli. Regułę drugą oraz drugi komentarz, którym odpowiada lewy górny róg tabeli łatwo zapamiętad i zrozumied. Prąd elektryczny płynie od miejsc o wyższym potencjale do miejsc o mniejszym potencjale. „Przechodząc” w obchodzie oczka opornik (kierunek obchodzenia i kierunek przepływu prądu są zgodne) zauważamy, że różnica potencjałów między jego koocem i początkiem jest ujemna; dlatego spadek napięcia ma wartośd ujemną, tj. ; oznacza to, że . Dlatego do sumy (*) spadek napięcie wpisujemy ze znakiem ujemnym. Jeśli jednak kierunek obchodu oczka i kierunek prądu w oporniku są przeciwne (patrz prawy górny róg tabeli), to spadek napięcia ma wartośd dodatnią, tj. . Obowiązuje tutaj zasada podwójnego minusa. Otóż przyjmując kierunek przepływu prądu w lewo (patrz prawy górny róg tabeli) uważamy, że potencjał punktu a jest niższy niż punktu b. Zatem Ale kierunek obchodu jest przeciwny do kierunku prądu. Dlatego spadek napięcia na w tym przypadku wyniesie Oznacza to więc, że do sumy (*) spadek napięcie wpisujemy ze znakiem dodatnim. Regułę drugą oraz trzeci komentarz jest również stosunkowo łatwo zrozumied i zapamiętad. „Obchodząc” oczko i przechodząc przez źródło prądu zgodnie z wybranym kierunkiem obchodzenia od bieguna ujemnego do dodatniego (patrz lewy dolny róg tabeli) wartośd SEM wpisujemy do sumy (*) ze znakiem dodatnim. Wędrówka ładunku dodatniego od ujemnego do dodatniego zacisku oznacza przejście od miejsca o potencjale niższym do miejsca o potencjale wyższym. Wtedy zamiast spadku potencjału mamy jego wzrost równy . Jeśli jednak obchodząc oczko zgodnie z przyjętym kierunkiem przechodzimy przez źródło w ten sposób, że najpierw natrafiamy na dodatni biegun źródła (patrz dolny prawy ród tabeli), to . Dlatego w tym przypadku do sumy (*) SEM wpisujemy ze znakiem ujemnym. Przykład przedstawia poniższy rysunek, na którym widzimy układ zwany dzielnikiem napięcia. Napięcie na wyjściu napięcia na wejściu otrzymujemy , tj. spadek napięcia na oporniku jest mniejszy od . Stosując II prawo Kirchhoffa do zamkniętego oczka , więc , a szukane napięcie na wyjściu dzielnika jest równe , tj. W ostatnim wzorze przyjęto, że do węzła obwodu wpływa prądów (natężeo) oraz wypływa; w ogólności Prostą sytuację przedstawia poniższy rysunek gdzie oraz Strategia rozwiązywania zadao z wykorzystaniem praw Kirchhoffa 1. Narysuj schemat układu elektrycznego. Wskaż i nanieś na rysunek wielkości znane i nieznane. Liczba niewiadomych powinna byd równa liczbie niezależnych równao. 2. Przypisz/przyporządkuj każdemu oczku w analizowanym obwodzie kierunek obchodzenie. Jeśli wybierzesz kierunek obchodzenia niezgodnie z rzeczywistym płynięciem prądu, to otrzymasz wartości ujemne wyznaczanych niewiadomych. 3. Zastosuje I regułę Kirchhoffa do węzłów układu. 4. Zastosuj II i III regułę Kirchhoffa do zamkniętych oczek w układzie. Pozwoli to na sformułowanie odpowiedniej liczby niezależnych równao (patrz pkt. 1). Przestrzegaj przy tym następujących reguł znaków: 5. Rozwiąż otrzymany układ równao liniowych. Przykład. W poniższym układzie znane są , oraz opory prądów , oraz . , i Mamy wyznaczyd natężenia 1. Opatrzony Rozwiązanie symbolami schemat układu elektrycznego jest przedstawiony poniżej. Niewiadomymi są natężenia prądów , 2. oraz . Na rysunku przyporządkowano każdemu z dwóch oczku kierunek obchodzenie. 3. Stosujemy I regułę Kirchhoffa do węzła b i otrzymujemy . 4. Stosujemy II i III regułę Kirchhoffa do zamkniętych oczek 1 i 2 w analizowanym układzie. Pozwala to nam sformułowad dwa dodatkowe niezależne równania. Przestrzegamy podanych wyżej reguł znaków. Dla oczka befcb Podobnie dla oczka abcda otrzymujemy 5. Rozwiązujemy układ 3 równao liniowych i wyznaczamy szukane natężenia prądu , Obwód RC prądu stałego Ładowanie kondensatora Rozpatrzymy obecnie proces ładowania kondensatora umieszczonego w obwodzie pokazanym na rysunku Po zwarciu klucza (rys. prawy) w układzie płynie prąd. Mówimy, że następuje ładowanie kondensatora. W chwili początkowej, kondensator nie jest naładowany, więc początkowa wartośd prądu wyniesie . W chwilę potem napięcie na kondensatorze, początkowo równe zeru zaczyna narastad i w chwili t wyniesie Zastosujemy teraz reguły Kirchhoffa do obwodu zamkniętego pokazanego na prawym rysunku. W poniższej tabeli zamieszczono znaki spadków napięd na kondensatorze umieszczonym w obwodzie prądu stałego. Lewa kolumna pokazuje, że przechodzenie przez kondensator oznacza wzrost lub spadek potencjału liczony tak, jakby był on źródłem prądu (bo jest). Zauważmy, że podczas ładowania kondensatora rośnie napięcie między jego okładkami, aż osiągnie po pewnym czasie wartośd SEM, tj. . Od tego momentu natężenie prądu jest równe zeru. Dynamikę ładowania, czyli zależnośd oraz wyznaczymy rozwiązując „równanie ruchu”, tj. równanie różniczkowe o postaci . Po rozseparowaniu zmiennych mamy którego scałkowanie pozwala napisad Z ostatniego wyrażenia otrzymujemy ostatecznie , gdzie jest maksymalnym ładunkiem zgromadzonym na kondensatorze. Wyprowadzona zależnośd graficznie ilustruje kolejny rysunek Z rysunku widad, że maksymalny ładunek zostanie zgromadzony na kondensatorze po czasie równym nieskooczoności. Podobnie ma się sprawa z potencjałem kondensatora, którego zależnośd o d czasu zadaje równanie . Natężenie prądu w układzie podczas ładowania kondensatora także zależy od czasu Poniżej graficzna ilustracja ostatniego związku Często wprowadza się pojęcie stałej czasowej obwodu RC, która jest równa Wtedy Jaki jest wymiar stałej czasowej obwodu? Dla mamy (patrz rysunek poniżej) Zauważmy, że po czasie wartośd napięcie na okładkach kondensatora osiąga Rozładowanie kondensatora Rozpatrzymy obecnie proces odwrotny do ładowania, czyli rozładowania kondensatora umieszczonego w obwodzie pokazanym na rysunku Przed zwarciem klucza (rys. lewy) w układzie nie płynie prąd. Mówimy, że kondensator jest naładowany. Po zwarciu klucza (rys. prawy) kondensator zaczyna rozładowywad się poprzez opornik. Początkowa wartośd napięcia na koocówkach oporu wynosi Po zainicjowaniu rozładowywania kondensator działa w rozpatrywanym obwodzie jak źródło prądu. Stosując reguły Kirchhoffa otrzymujemy teraz (patrz rys. prawy) . Prąd płynący w obwodzie gdzie użyto znak minus w celu wskazania tego, że szybkośd zmiany ładunku jest proporcjonalna do ujemnej wartości ładunku zgromadzonego na kondensatorze. Zauważmy, że ładunek na okładce dodatniej maleje! Zatem równanie ruchu teraz przyjmuje postad równania różniczkowego Po rozseparowaniu zmiennych otrzymujemy równanie które jest łatwo całkowalne co po odwróceniu funkcji logarytmicznej prowadzi do równania na zależnośd ładunku zgromadzonego na rozładowywanym kondensatorze . Napięcie na kondensatorze zależy również od czasu . Ilustracją graficzną ostatniej zależności jest . Zauważmy, że również natężenie prądu w rozpatrywanym obwodzie maleje wraz z czasem jak Wyprowadzoną zależnośd graficznie ilustruje kolejny rysunek Z rysunku widad, że natężenie prądu w obwodzie maleje do wartości po czasie równym stałej czasowej obwodu RC
