MODELE TEORII GIER

Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
MODELE TEORII GIER
Podejmowanie decyzji inwestycyjnych często jest dokonywane
w sytuacjach, w których nie wiadomo, jaki będzie stan otoczenia lub
też, jaką decyzję podejmą inni decydenci, mający wpływ na wyniki
decyzji przez nas podejmowanych.
Przykładem może być konkurencja kilku przedsiębiorstw na
rynku, który jest podzielony między nie - decyzje podjęte przez
każdego z konkurentów mają wpływ na wyniki pozostałych
udziałowców rynku. Można powiedzieć, że w świecie finansów bez
przerwy stykamy się z konfliktem interesów, podobnie jak w grach.
Grać możemy np. na giełdzie. Sytuacje te noszą nazwę
konfliktowych (sytuacje decyzyjne, w których występują decydenci
o, najczęściej, rozbieżnych celach). Stąd nauka, która zajmuje się
analizą wszelkiego rodzaju sytuacji konfliktowych (nie tylko
ekonomicznych) nosi nazwę teorii gier. O uczestnikach gry mówi się,
że są jej graczami.
Grać można:
• z jednym graczem (gry dwuosobowe),
• bądź z wieloma graczami (gry wieloosobowe).
Gracze mogą się ze sobą porozumiewać, tworząc koalicje
(gry kooperacyjne), bądź mogą się nie porozumiewać
(gry niekooperacyjne). Grać można z przeciwnikiem inteligentnym
(gry właściwe), bądź z przeciwnikiem, któremu nie zależy na
wygranej (gry z naturą).
W naszych rozważaniach zajmiemy się szczegółowo grami
z naturą oraz grami dwuosobowymi o sumie zero1.
1
Gry o sumie zero są to takie gry, w których wygrana jednego gracza jest równa przegranej drugiego z nich.
1
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
7.1 GRY Z NATURĄ
Gry z naturą są grami dwuosobowymi, przy czym natura jest
rozumiana jako „przeciwnik nierozumny” w przeciwieństwie do
innych graczy. Naturze nie zależy na wyniku gry.
Istnieje kilka sposobów wyboru optymalnej strategii w grach z naturą:
a) kryterium optymisty;
b) kryterium pesymisty;
c) kryterium Hurwicza;
d) kryterium Bayes’a;
e) kryterium Savage’a.
Opisane rodzaje kryteriów zdefiniujemy na przykładzie.
Przykład 7.1
Rolnik posiadający glebę klasy III ma wybrać pod uprawę jeden
z trzech rodzajów zbóż. Plony tych zbóż z 1 ha, w kwintalach,
w zależności od warunków klimatycznych przedstawia tabela.
Który z rodzajów zbóż powinien wybrać rolnik?
Stany natury
Zboże
Żyto
Pszenica
Jęczmień
Susza
24
31
28
Normalnie Deszcze
28
30
34
36
28
29
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
M – liczba decyzji (w przykładzie: 3) ,
N – liczba stanów natury (w przykładzie: 3),
aij – wartość zysku (w przykładzie: wysokość plonów) wynikającego
z podjęcia decyzji o numerze i przy wystąpieniu sytuacji (stanu
natury) o numerze j, i = 1,..., M , j = 1,..., N ;
2
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
Kryterium optymisty zakłada, że wystąpi najlepszy z możliwych
stanów natury (jesteśmy optymistami). Wybór decyzji polega na
określeniu najlepszej wartości w każdym wierszu macierzy,
a następnie wybieramy tą decyzję (zboże), z którą jest związana
największa wartość z wcześniej określonych, tzn.
*
wybieramy taką decyzję io , dla której zachodzi:
()
vo io* = max max aij
(7.1)
i =1, M
j =1, N
Dla naszego przypadku mamy:
max a1 j = max{24, 28, 36} = 36
j =1, 3
max a2 j = max{31, 30, 28} = 31
j =1, 3
max a3 j = max{28, 34, 29} = 34
*
max=36, io =1
j =1, 3
Kryterium pesymisty jest kryterium ostrożnym. Zakłada ono, że
zajdzie sytuacja najmniej korzystna dla podejmującego decyzję
(jesteśmy pesymistami). Dlatego dla każdej strategii (każdego
wiersza) macierzy wypłat należy określić najmniejszą wartość
(związaną z najbardziej niekorzystną sytuacją) dla której ta minimalna
wartość jest największa, tzn.
*
wybieramy taką decyzję i p , dla której zachodzi:
( )
v p i*p = max min aij
(7.2)
i =1, M
j =1, N
Dla naszego przypadku mamy:
min a1 j = min{24,28,36} = 24
j =1, 3
min
a2 j = min{31,30,28} = 28
min
a3 j = min{28,34,29} = 28
j =1, 3
j =1, 3
*
*
max=28, i p =2 lub i p =3
3
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
Kryterium Hurwicza jest kryterium ważonym między kryteriami:
optymisty i pesymisty. Wagą jest arbitralnie wybrana wartość
*
parametru α ∈ [0,1] (tzw. współczynnik optymizmu), a decyzją ih
optymalną dla tego kryterium jest taka decyzja, dla której zachodzi:
{
vh ( ih* , α ) = max α ⋅ max aij + (1 − α ) ⋅ min aij
(7.3)
i =1, M
Zauważmy:
j =1, N
j =1, N
}
*
*
jeżeli α = 1, to i h = io ,
*
*
jeżeli α = 0, to ih = i p .
Niech α=0,4.
Dla naszego przykładu mamy:
0,4 ⋅ max a1 j + 0,6 ⋅ min a1 j = 0,4 ⋅ 36 + 0,6 ⋅ 24 = 28,8
j =1, 3
j =1, 3
0,4 ⋅ max a2 j + 0,6 ⋅ min a2 j = 0,4 ⋅ 31 + 0,6 ⋅ 28 = 29,2
j =1, 3
j =1, 3
0,4 ⋅ max a3 j + 0,6 ⋅ min a3 j = 0,4 ⋅ 34 + 0,6 ⋅ 28 = 30,4
j =1, 3
j =1, 3
*
oraz max{28,2; 29,2; 30,4} = 30,4 , stąd ih = 3 .
Kryterium Bayes’a zakłada, że decyzją optymalną jest ta decyzja,
dla której wartość oczekiwana wygranej jest największa, przy
założeniu znajomości rozkładu p = ( p1 , p 2 , … , p m ) na stanach
natury. Najczęściej przyjmuje się, że każdy stan natury może wystąpić
1
p
=
, j = 1, N .
j
z jednakowym prawdopodobieństwem, tzn.
N
*
Wybieramy taką decyzję ib , dla której zachodzi:
(7.4)
()
N
vb i = max ∑ p j aij
*
b
i =1, M
j =1
4
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
Dla naszego przypadku mamy:
1 1
=
N 3
1
1
1
dla i = 1 → 24 ⋅ + 28 ⋅ + 36 ⋅ = 29,04
3
3
3
1
1
1
dla i = 2 → 31 ⋅ + 30 ⋅ + 28 ⋅ = 29,4
3
3
3
1
1
1
dla i = 3 → 28 ⋅ + 34 ⋅ + 29 ⋅ = 30,03
3
3
3
*
oraz max{29,04; 29,4; 30,03} = 30,03 , a stąd ib = 3 .
p1 = p2 = p3 =
Kryterium Savage’a spełnia postulat minimalizacji oczekiwanej
straty wynikłej z podjęcia przez nas decyzji gorszej niż najlepsza
możliwa dla danego stanu natury (z punktu widzenia podejmującego
decyzję). Pierwszym etapem jest znalezienie tzw. macierzy strat.
Strata jest różnicą między największą wygraną możliwą dla danego
stanu natury, a wygraną odpowiadającą naszej decyzji.
Element Sij macierzy strat wyliczymy następująco:
(7.5)
Sij = a*j − aij
gdzie:
a*j = max aij
(7.6)
i =1, M
*
Mając określoną macierz strat wybieramy taką decyzję is , dla której
strata jest najmniejsza, tzn.:
(7.7)
()
vs is* = min max sij
i =1, M j =1, N
5
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
Utwórzmy najpierw macierz strat. Macierz pierwotna A miała postać:
24
A =  31
28
31
28 36
30 28
34 29
34 36 ← maksymalne wygrane dla poszczególnych
stanów natury
*
ai1 = 31 ,
tzn. a1 = max
i =1, M
a2* = max ai 2 = 34 ,
i =1, M
a3* = max ai 3 = 36.
i =1, M
Macierz strat S będzie miała wobec tego postać:
31 − 24 34 − 28 36 − 36 7 6 0
S =  31 − 31 34 − 30 36 − 28 = 0 4 8 
31 − 28 34 − 34 36 − 29 3 0 7 
max s1 j = max{7,6,0} = 7
j =1, 3
max s 2 j = max{0,4,8} = 8
j =1, 3
max s3 j = max{3,0,7} = 7
j =1, 3
*
*
oraz min{7,8,7} = 7 , stąd i s = 1 lub i s = 3 .
6
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
PRZYKŁAD (paradoks kryterium Savage’a)
Podejmujemy decyzję, czy iść do kina, teatru, czy muzeum.
Możemy trafić na dobry film lub spektakl, albo też słaby. Nie
wiemy tylko, czy muzeum jest otwarte.
Muzeum zamknięte
dobry słaby
Film
20
4
Spektakl
13
10
Wystawa
0
0
max
20
10
„Żal” odpowiadający
tabelki:
0
7
20
6
0
10
Muzeum otwarte
dobry słaby
Film
20
4
Spektakl
13
10
Wystawa 12
12
max
20
12
powyższym
sytuacjom
max Jeżeli muzeum jest zamknięte,
6 to idziemy do kina, w p.p. – do
teatru ?!!!!
7
20
przedstawiają
0
7
8
8
2
0
max
8
7
8
7
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
7.2 GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZERO
Załóżmy, że w grze bierze udział dwóch graczy ostrożnych
i inteligentnych: gracz A i gracz B. Każdy z nich może samodzielnie
podejmować decyzje (nazywane strategiami gracza). Przyjmijmy, że
gracz A ma ich M, a gracz B – N. Dla każdej pary (i, j) decyzji graczy
A i B znana jest pewna liczba aij oznaczająca wygraną gracza A w
przypadku, gdy gracz ten podejmie decyzję o numerze i przy podjęciu
przez gracza B decyzji o numerze j. Macierz MA=[aij]M×N nazywać
będziemy macierzą wypłat gracza A. Dla gracza B, w przypadku gier
z zerową sumą wypłat, macierz wypłat jest równa MB= −MA.
Oczywistym jest, że gracz A będzie się starał zmaksymalizować swoją
wygraną, a gracz B – zminimalizować swoją przegraną (ujemna
wygrana gracza A oznacza wygraną gracza B). Interesy obu graczy są
więc sprzeczne. Obaj gracze będą dążyć do osiągnięcia tzw. punktu
równowagi w grze. Jest to taka sytuacja (para strategii (i*, j*) obu
graczy), która zapewni graczowi A możliwie największą wygraną,
graczowi B – możliwie najmniejszą stratę oraz zmiana tej pary
strategii przez obu graczy nie jest dla żadnego z nich opłacalna.
Element ai* j* nosi nazwę wartości V gry. Punkt równowagi nazywa
się często punktem siodłowym macierzy wypłat. Jest to element
macierzy znajdujący się na przecięciu wiersza o takim numerze i* oraz
kolumny, o takim numerze j*, że element ai* j* jest najmniejszy w
swoim wierszu i jednocześnie największy w swojej kolumnie.
Formalnie punkt równowagi jest wyznaczany następująco:
wyznaczyć taką parę strategii (i*, j*), dla której zachodzi:
(7.8)
max min aij = min max aij = ai* j* = V
i∈{1,..,M } j∈{1,..., N }
j∈{1,.., N } i∈{1,...,M }
Jeżeli w grze istnieje taka para strategii, dla której spełnione jest (7.8),
to parę tą nazywamy rozwiązaniem gry w zbiorze tzw. strategii
czystych. Strategię czystą można utożsamiać z taką decyzją gracza,
która jest podejmowana tylko raz.
8
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
Przykład 7.2a (gra z zerową sumą wypłat, konflikt wojenny dwóch stron)
W czasie II wojny światowej japończycy walczyli z amerykanami
w basenie Oceanu Spokojnego. W 1943 roku Japończycy chcieli użyć
swoich sił stacjonujących w Rabaul, Nowa Brytania, aby zaatakować
amerykanów stacjonujących w Lae, Papua/Nowa Gwinea (rysunek
poniżej).
Przerzucając swoje wojska transportem morskim, japończycy mogli to
zrobić północnym (I strategia) lub południowym (II strategia)
korytarzem wokół Nowej Brytanii. Amerykanie z racji szczupłości sił
i odległości mogli skoncentrować swoje lotnictwo bombowe na
patrolowaniu północnego (strategia I) lub południowego (strategia II)
korytarza. Macierz poniżej przedstawia możliwą liczbę dni
bombardowania japońskiego transportu przez amerykańskie lotnictwo
w zależności od wybranej strategii jednych i drugich.
ai * j *
Co się stało? Którą strategię powinni byli wybrać jedni i drudzy?
9
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
• The japanese, who want to minimize the number of days of
bombing, pick strategy I, as this only gives them a single day of
bombing (instead of 3) if the americans pick strategy II.
• The americans, on their hand, want to maximize the number of days
of bombing, know that the japanese will pick strategy I, since that
obviously is the better choice for them, and therefore also pick
strategy I since that is the best choice given the japanese move.
For the japanese, strategy I is always better than strategy II, and is
therefore called a dominating strategy.
Pomimo tego, że japończycy wybrali najlpeszą z możliwych swoich
strategii (I) ponieśli bardzo ciężkie straty w czasie bombardowań.
Ale to już nie była „wina” teorii gier…
g
10
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
Przed sprawdzeniem, czy w grze istnieje para strategii czystych w
równowadze, powinniśmy usunąć z macierzy wypłat MA tak zwane
strategie zdominowane. Uzyskamy wówczas macierz M A .
Mówimy, że strategia i-ta gracza A (i-ty wierz macierzy MA)
dominuje strategię k-tą tego gracza (k-ty wierz macierzy MA) jeżeli
(7.9)
oraz
(7.10)
aij ≥ akj dla każdego j
aij > akj dla przynajmniej jednego j
Mówimy, że strategia j-ta gracza B (j-ta kolumna macierzy MA)
dominuje strategię k-tą tego gracza (k-tą kolumnę macierzy MA) jeżeli
(7.11)
aij ≤ aik dla każdego i
oraz
(7.12)
aij < aik dla przynajmniej jednego i
Poprzez usunięcie strategii zdominowanych zmniejszamy wymiar
macierzy wypłat, a następnie sprawdzamy, czy istnieje punkt
siodłowy. Jeśli istnieje, to para strategii (i*, j*), dla której spełnione
jest (7.8) jest rozwiązaniem gry.
Często zdarza się, że nie istnieje taka para strategii (i*, j*), dla której
spełnione jest (7.8) (czyli nie istnieje punkt siodłowy), tzn. zachodzi
(7.13)
α = max min aij ≠ min max aij = γ
i∈{1,..,M } j∈{1,..., N }
j∈{1,.., N } i∈{1,...,M }
Liczba α jest tzw. dolną wartością gry, a liczba γ - górną wartością
gry. Wówczas wyznacza się tzw. sytuację równowagi w zbiorze tzw.
strategii mieszanych. Strategia mieszana jest to kombinacja liniowa
strategii czystych. Inaczej można powiedzieć, że strategię mieszaną
każdego gracza tworzy rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze jego
strategii czystych. Strategie mieszane stosowane są na ogół w dwóch
rodzajach sytuacji: w przypadku wielokrotnego (niezależnego od
11
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
siebie) rozgrywania tej samej gry (wtedy prawdopodobieństwa
informują o częstości stosowania poszczególnych strategii czystych)
lub gdy obszar zastosowania decyzji (strategii czystych) daje się
podzielić na wystarczająco wiele obszarów częściowych (przykład
rolnika, który ma do obsiania pewien areał wieloma rodzajami
pszenicy i zmuszony jest stosować różny materiał siewny w
odpowiednich proporcjach).
Dla przypadku, gdy obaj gracze mają po dwie dopuszczalne strategie,
rozkład prawdopodobieństwa na strategiach czystych (czyli strategię
mieszaną) wyznacza się następująco:
(7.14)
x1* =
a22 − a21
a11 − a12 − a21 + a22 ,
x2* = 1 − x1*
(7.15)
y1* =
a22 − a12
a11 − a12 − a21 + a22 ,
y 2* = 1 − y1*
*
*
gdzie xi jest częstością stosowania i-tej strategii przez gracza A, a y j
jest częstością stosowania j-tej strategii przez gracza B. Oczekiwana
wygrana V obu graczy jest taka sama i wynosi:
(7.16)
2
2
H ( x , y ) = V = ∑∑ aij ⋅ xi* ⋅ y*j .
*
*
i =1 j =1
Jeżeli macierz M A jest wymiaru 2×N lub M×2, to stosujemy metodę
graficzną poszukiwania strategii mieszanych.
12
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
Przykład 7.2b (wykorzystanie teorii gier do ustalenia wielkości
produkcji dwóch firm)
Dwóch producentów wytwarza ten sam towar, który jest
sprzedawany na rynku. Niech d(z) oznacza funkcję popytu (z - liczba
sztuk towaru na rynku (w tys.)), c(z) - funkcja kosztów wytwarzania.
W ustalonym okresie producent A może wytworzyć z1 sztuk wyrobu,
zaś producent B - z2 sztuk wyrobu. Popyt maleje wraz ze wzrostem
liczby sztuk towaru na rynku i jest zerowy, gdy łączna liczba sztuk
towaru z≥z0. Załóżmy, że producenci z pewnych względów nie
porozumiewają się przed wystawieniem towaru na rynek.
Jeśli producenci wystawią na rynek z1 i z2 sztuk towaru, to pierwszy z
nich otrzyma zysk w wysokości:
(7.17)
H 1 ( z1 , z 2 ) = z1 ⋅ d ( z1 + z 2 ) − c( z1 )
a drugi
H 2 ( z1 , z 2 ) = z 2 ⋅ d ( z1 + z 2 ) − c( z 2 )
(7.18)
Przy założeniu, że
1
c
(
z
)
=
⋅z
(7.19)
10
(7.20)
1
 , z < z0 = 5
d ( z) =  z
0, w przeciwnym przypadku
określić ile towaru powinien każdy z producentów produkować,
aby jego udział w zysku był możliwie największy oraz wielkość
wygranej każdego z nich. Założyć, że obaj producenci mogą
produkować towar w następujących liczbach sztuk (w tys.): 1, 2 i są
jedynymi producentami na rynku tego wyrobu.
13
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
Rozwiązanie:
Z treści zadania wynika, że każdy z producentów ma do wyboru
2 strategie (liczba sztuk produkowanych wyrobów). Najpierw
tworzymy macierz wypłat dla gracza (producenta) nr 1 (A).
Elementami aij macierzy wypłat gracza nr 1 będą wartości funkcji
H 1 ( z1 , z 2 )
H 1 (z1 , z 2 ) =
H 1 (z1 , z 2 ) + H 2 (z1 , z 2 ) opisującej udział w zysku, przy
czym z1=i, z2=j.
Dla przykładu:
1 1
1⋅ −
H 1 (1,2 )
1⋅ d (1 + 2) − c(1)
3 10
a12 =
=
=
= 0.33
1
1
H 1 (1,2 ) + H 2 (1,2 ) 1⋅ d (1 + 2) − c(1) + 2 ⋅ d (1 + 2) − c(2) 1 ⋅ − + 2 ⋅ 1 − 2
3 10
3 10
Macierz wypłat MA dla gracza A po niezbędnych wyliczeniach
wygląda następująco:
1
2
(7.21)
1  0.5 0.33
MA = 
2 0.33 0.5 
Dla gracza B macierz wypłat jest następująca: MB=1−MA, gdzie
1 1
1= 
 . Otrzymaliśmy zatem grę ze stałą sumą wypłat2 równą 1.
1
1


Okazuje się, że taką grę można rozpatrywać podobnie jak grę z
zerową sumą wypłat korzystając z pewnego twierdzenia3. Zauważmy,
że gra ta nie posiada rozwiązania w zbiorze strategii czystych
ponieważ w macierzy MA nie istnieje taki element, który byłby
najmniejszym w swoim wierszu i jednocześnie największym w swojej
kolumnie, tzn. nie da się wyznaczyć takiej pary strategii (i*, j*), dla
której zachodzi (7.8). W związku z tym, będziemy poszukiwali
rozwiązania w zbiorze strategii mieszanych wyznaczając rozkład
2
Gra z zerową sumą wypłat jest szczególnym przypadkiem gry ze stałą sumą wypłat.
Każda niekooperacyjna gra ze stałą sumą wypłat jest równoważna (w sensie strategii) pewnej grze z zerową
sumą wypłat.
3
14
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
prawdopodobieństwa na strategiach czystych obu graczy ze wzorów
(7.14), (7.15).
Otrzymamy:
• dla gracza A:
x1* =
a22 − a21
0.5 − 0.33
=
= 0.5 ,
a11 − a12 − a21 + a22 0.5 − 0.33 − 0.33 + 0.5
x2* = 1 − x1* = 0.5
• dla gracza B:
y1* =
a22 − a12
0.5 − 0.33
=
= 0.5 ,
a11 − a12 − a21 + a22 0.5 − 0.33 − 0.33 + 0.5
y2* = 1 − y1* = 0.5
Każdy z graczy powinien zatem stosować obie swoje strategie z
częstościami 0.5, co zapewni im oczekiwaną wygraną (oczekiwany
udział zysku) równą:
2
2
V = ∑∑ aij ⋅ xi* ⋅ y *j = 0.5 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 + 0.33 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 + 0.5 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 + 0.33 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 = 0.665
i =1 j =1
g
15
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
7.3 ZADANIA TEORII GIER A ZADANIA PL
Załóżmy, że mamy grę dwuosobową o sumie zero, przy czym
pierwszy z graczy posiada M strategii, a drugi odpowiednio N. Mamy
macierze wypłat: dla gracza A - M A =  aij  , dla gracza B MxN
M B = −M A oraz wektory x = (x1, x2 , … , xM ) , y = ( y1, y2 , … , y N )
oznaczające częstości stosowania poszczególnych strategii przez
graczy.
Zadanie wyznaczenia optymalnych wartości wektora x, dla gracza nr 1
można sformułować następująco:
max
(7.22)
przy ograniczeniach:
v
a11 ⋅ x1 + a21 ⋅ x2 + … + aM 1 ⋅ xM ≥ v
(7.23)
a1N ⋅ x1 + a2 N ⋅ x2 + … + aMN ⋅ xM ≥ v
x1 + x2 + … + xM = 1
x1 , x2 , … , xM ≥ 0
Podobnie dla gracza nr 2:
(7.24)
min v
a11 ⋅ y1 + a12 ⋅ y2 + … + a1N ⋅ y N ≤ v
(7.25)
aM 1 ⋅ y1 + aM 2 ⋅ y2 + … + aMN ⋅ y N ≤ v
y1 + y2 + … + y N = 1
y1 , y2 , … , y N ≥ 0
16
Modelowanie matematyczne
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 5: Modele teorii gier
Jeżeli dokonamy podstawień:
x
zi = i ,
v
(7.26)
y
wj = j
v
to pierwsze z tych zadań można zapisać następująco:
M
min ∑ zi =
(7.27)
i =1
1
v
przy ograniczeniach:
M
∑a
(7.28)
i =1
ij
⋅ zi ≥ 1,
j = 1, N
zi ≥ 0 , i = 1, M
Drugie zadanie po dokonaniu podstawień zapiszemy jak poniżej:
N
max ∑ w j =
(7.29)
j =1
1
v
przy ograniczeniach:
N
∑a
(7.30)
j =1
ij
⋅ w j ≤ 1, i = 1, M
wj ≥ 0 ,
j = 1, N
17