D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 1

D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
BADANIA OPERACYJNE
Wykład 4: Podstawy teorii gier.
dr Dorota Ciołek
Katedra Ekonometrii
Wydział Zarządzania UG
http://wzr.pl/dc
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Podstawowe pojęcia
Z „grą” mamy do czynienia wtedy, gdy musimy podjąć pewną decyzję
nie znając wszystkich czynników, przy czym wynik zależy nie tylko
od naszej decyzji, ale od decyzji innych osób lub też od
zachowania się czynników niekontrolowanych.
Sytuacja do której można zastosować teorię gier strategicznych:

skończona liczba uczestników, zarówno zainteresowanych jak i
niezainteresowanych,

każdy uczestnik dysponuje skończoną liczbą sposobów działania,

każdy z uczestników zna wszystkie możliwe sposoby działania
innych uczestników, nie wie jednak, które z nich zostaną wybrane,

każdej kombinacji sposobów działania wszystkich uczestników
odpowiada określona korzyść,

korzyść (wygrana) uczestnika zależy zarówno od jego działania jak
i od działań wszystkich pozostałych,

wszystkie możliwe wyniki podjętych decyzji dają się wyliczyć.
Sytuację spełniającą powyższe warunki można nazwać grą.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Podstawowe pojęcia

Graczem nazywamy każdą zainteresowaną stronę.

Gry o sumie zero to takie gry, w których algebraiczna
suma wygranych vi jest równa zeru:
n
 vi  0
i 1

Gry dwuosobowe o sumie zero to takie gry, w których udział
biorą tylko dwie strony, a suma wygranych obu graczy
równa się zeru.

Partia to jednokrotny wybór sposobu działania przez
wszystkich graczy.

Strategia to reguła podejmowania decyzji, określająca
sposób działania gracza.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Podstawowe pojęcia

Strategia mieszana polega na zastosowaniu wszystkich
lub niektórych sposobów działania w pewnej ustalonej
proporcji.

Jeśli gracz postanawia zastosować tylko jeden sposób
działania, mówimy, że stosuje on strategią czystą.

Wartość gry to przeciętna kwota, którą gracz mógłby
wygrać w ciągu wielu powtarzanych partii, jeżeli wszyscy
gracze stosują optymalne strategie.

Macierz wypłat (korzyści) to tabela określająca wygrane
gracza G1 przy wszystkich możliwych sposobach działania
obydwu graczy. Wartość liczbowa aij określona wyborem
graczy, reprezentuje kwotę, którą gracz G2 powinien
przekazać swojemu przeciwnikowi - graczowi G1.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Definicje
Rozwiązanie gry wymaga określenia:

wartości gry (v),

strategii gracza G1 zapewniającej, że przeciętna wygrana w
grze jest co najmniej równa wartości gry,

strategii gracza G2 zapewniającej, że przeciętna przegrana
w grze jest co najwyżej równa wartości gry.
Definicja 1
Mówimy, że określona jest gra macierzowa, jeżeli dana jest
macierz wypłat A = [aij] o wymiarze m × n, gdzie aij –
dowolne liczby rzeczywiste, aij oznacza wypłatę gracza G2
na rzecz gracza G1 przy wyborze odpowiednich sposobów
działania, tzn. gracz G1 wybiera wiersz „i”, a gracz G2 –
kolumnę „j” w macierzy wypłat.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Definicje
Definicja 2
Przez strategię mieszaną gracza G1 rozumiemy wektor
wierszowy x = [x1, x2, ・ ・ ・ , xm] nieujemnych liczb xi
takich, że:
xi  0,
m
 xi  1,
i  1,2,..., m
i 1
Definicja 3
Przez strategię mieszaną gracza G2 rozumiemy wektor
kolumnowy u, o elementach uj takich, że:
u j  0,
n
 u j  1,
j 1
j  1,2,..., n
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Definicje
Definicja 4
Strategia mieszana, której k-ty element jest równy jeden, a
pozostałe są równe zeru, jest k-tą strategią czystą gracza.
Definicja 5
Jeżeli rozwiązanie gry wymaga, aby każdy z graczy stosował
tylko jeden ze sposobów działania, to grę taką nazywamy grą
z punktem siodłowym.
Definicja 6
Punkt siodłowy to taki punkt w macierzy wypłat, dla którego:

v
max
a
min
ij max min aij
j
j
i
i
gdzie minj maxi aij = v2 to górna wartość, a maxi minj aij = v1
dolna wartość gry.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Definicje
Twierdzenie von Neumanna I:
Jeżeli w macierzy wypłat gry istnieje punkt siodłowy to czyste
strategie minimaksowe są optymalne.
Jeżeli w macierzy wypłat gry nie istnieje punkt siodłowy, to
zachodzi:
v1 < v < v2 .
Definicja 7
Funkcję wypłaty gracza G1 definiujemy jako:
m
n
F xu  x  A  u   xi  aij  u j
i 1 j 1
Funkcja wypłaty określa oczekiwaną wartość wygranej gracza
G1 w jednej partii przy wielokrotnym podejmowaniu decyzji
w sposób losowy.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Definicje
Twierdzenie von Neumanna II
Niech x, u oznaczają mieszane strategie optymalne.
Można wykazać, że dla mieszanych strategii optymalnych
zachodzi:
F xu   F xu   F xu 
 
Ponieważ F x u  v , to oznacza, że funkcja wypłaty gracza
G1 dla mieszanych strategii optymalnych jest równa
wartości gry.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Definicje
Definicja 8 reguła dominacji
Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny w macierzy wypłat
są większe lub równe odpowiednim elementom innej
kolumny, to pierwszą z nich nazywamy kolumną
zdominowaną.
Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza są mniejsze lub
równe odpowiednim elementom innego wiersza, to pierwszy
z nich nazywamy wierszem zdominowanym.
Zdominowane wiersze lub kolumny usuwamy z macierzy
wypłat, co oznacza, że dane sposoby działania będą
stosowane z prawdopodobieństwem zero.
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Przykład 1
Dwóch graczy rozgrywa następującą grę. Każdy gracz wybiera
niezależnie od drugiego gracza, jeden z trzech kolorów:
biały (B), czarny (C) lub zielony (Z). Po niezależnym
dokonaniu wyboru koloru przez obu graczy porównuje się
wybrane kolory. Jeżeli obaj gracze wybrali biały, nikt nie
wygrywa, jeżeli gracz G1 wybrał biały, a gracz G2 czarny,
gracz G1 przegrywa 1 punkt.
Wszystkie możliwe wyniki zawarte są w tablicy.
B
C
Z
B
0
-1
6
C
2
4
5
Z
1
-2
8
Maksimum
Minimum
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Przykład 2
Należy rozwiązać grę dwuosobową o sumie zero, gdzie
symbolami A i B oznaczono obu graczy, a wektory X i Y
oznaczają odpowiednio strategie gracz A i B.
Wszystkie możliwe wyniki zawarte są w tablicy.
Y1
Y2
Y3
X1
2
4
6
X2
3
1
4
X3
2
3
3
Maksimum
Minimum
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Algorytm rozwiązywania gry
Algorytm postępowania:

czy w macierzy wypłat występuje punkt siodłowy, jeżeli tak
– to czyste strategie minimaksowe są optymalne.

czy występują wiersze lub kolumny zdominowane, jeżeli tak
to usuwamy je z macierzy wypłat.

sprawdzić, w jakim przedziale znajduje się wartość gry,
zapewnić jej nieujemność, poprzez przekształcenie macierzy
A na macierz:
A′ = A + |v1|
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Zastosowanie programowania liniowego
Każdą grę dwuosobową o sumie zero, można przedstawić w
postaci dwóch modeli programowania liniowego:
Dla gracza G1:
Dla gracza G2:
znaleźć taki nieujemny
znaleźć taki nieujemny
wektor x, który:
wektor u, który:
W xu  v  max
W xu  v  min
n
m
p.w.
 aij xi  v
p.w.
j 1
i 1
m
 xi  1
i 1
Oba modele są wobec siebie dualne.
 a ij u j  v
n
u j 1
j 1
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Przykład 3
Każdy z graczy wybiera liczbę ze zbioru {1, 2, 3}. Gracz, który
wybrał mniejszą liczbę wygrywa 2 punkty z wyjątkiem
przypadku, gdy jego liczba jest dokładnie mniejsza o jeden,
wtedy przegrywa 4 punkty. Jeżeli liczby są równe nikt nie
wygrywa. Wszystkie możliwe wyniki zawarte są w tablicy.
„1” „2” „3”
„1”
0
-4
2
„2”
4
0
-4
„3”
-2
4
0
Maksimum
Minimum
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Gry z naturą
Dwaj gracze: decydent i natura.
Natura - nie jest zainteresowana wynikiem gry
Reguły decyzyjne:

kryterium Walda (reguła maxmin),

kryterium Laplace'a - Bayesa,

kryterium Hurwicza,

kryterium Savage'a,
Niech A = [aij ] oznacza macierz wypłat (korzyści).
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Gry z naturą
1. Kryterium Walda
Podejmujemy taką decyzję, przy której minimalna wygrana (ze
względu na stan natury) przyjmie wartość największą, tzn.
szukamy takiego i0, dla którego:
a i0  max min aij
i
j
2. Kryterium Laplace'a - Bayesa
Zakładamy, że wszystkie stany natury są jednakowo
prawdopodobne, możliwe jest wyliczenie wartości
oczekiwanej wygranej. Najlepsza decyzja, to ta dla której
oczekiwany rezultat jest największy. Szukamy takiego i0,
dla którego:
1 n

Ei0  max   aij 
i
 n j 1 
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Gry z naturą
3. Kryterium Hurwicza
Wprowadzamy współczynnik optymizmu - skłonności do ryzyka
  0,1 , wybieramy tę decyzję i0, dla której:


H i0 ( )  max
i


a
min
ij 
j


max
a
ij 1 
j
W zależności od wartości współczynnika optymizmu,
otrzymujemy:
 0
 1
- reguła pesymistyczna (Walda),
- reguła optymistyczna
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Gry z naturą
4. Kryterium Savage'a
Definiujemy macierz żalu lub strat relatywnych.
Strata relatywna - różnica pomiędzy maksymalną wygraną
przy danym stanie natury, a wygraną wynikającą z podjętej
decyzji.
Macierz strat relatywnych
gdzie:
 
Aˆ  aˆ ij
 aij
aˆij  max
a
ij
i
j 1,2,...,n
Wybieramy tę strategię i0, która spełnia postulat minimalizacji
strat relatywnych (minimalny maksymalny żal).
ˆij
aˆi  min
max
a
i
i
0
D. Ciołek
BADANIA OPERACYJNE – wykład 4
Przykład 4
Istnieje możliwość zbudowania czterech typów zakładu
usługowego. Koszt eksploatacji zależy od różnych
czynników, takich jak: rozwój sytuacji gospodarczej w
regionie, stan rynku pracy, przyszłe ceny surowców, oraz
efektywny popyt na dany rodzaj usług. Dla każdego z
projektowanych zakładów oszacowano koszty eksploatacji w
trzech wariantach: najmniej korzystnym (S1),
umiarkowanym (S2), sprzyjającym (S3). Tablica prezentuje
oszacowane poziomy kosztów eksploatacji zakładów.
„S1” „S2” „S3”
„Z1”
40
35
25
„Z2”
50
30
25
„Z3”
65
20
20
„Z4”
70
20
14