Gry sekwencyjne

Czym zajmuje się teroia gier
„
„
„
Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy)
„ jak zachowują się gracze
„ jakie są ich możliwe zachowania
„ czy postępują racjonalnie
„ i co to znaczy
Poszukiwanie optymalnych strategii
„ jak zachować się optymalnie
„ czy da się przewidzieć rozwiązanie
Rodzaje gier:
„ kooperacyjne vs niekooperacyjne
„ jednorazowe vs powtarzalne
„ o sumie zerowej vs o sumie niezerowej
„ dwuosobowe vs wieloosobowe
„ z doskonałą informacją vs z niedoskonałą informacją
„ itd
Zastosowanie teoria gier w ekonomii
„
„
W co grają uczestnicy rynków?
„ bargaining game
„ one dolar game
„ aukcje
„ dylemat więźnia
O co grają między sobą?
„ o klienta
„ o polityków (regulacje)
„ o pozycje na rynku
„ o wejście na nowy rynek
„
obią pozostali gracze (unikajmy słowa: przeciwnicy)
Minimalne wymagania
„
„
„
„
„
Teoria gier powstała w 1944 wraz z publikacją książki J. von
Neumanna i O. Morgensterna „Teoria gier i zachowań
strategicznych”
Istotą każdej gry jest wzajemna współzależność graczy
Minimalne wymagania w każdej grze
„ jest co najmniej 2 graczy
„ wynik gry zależy od decyzji każdego gracza
„ wypłata każdego z nich zależy od decyzji wszystkich graczy
Jeśli gra zawiera kilka równowag Nasha, to racjonalni gracze
powinni osiągnąć tylko jedną z nich
Gry w postaci ekstensywnej (dynamiczne lub statyczne)
zawierają podgry
„ Podgra jest częścią większej gry i nie zawiera niepełnych
zbiorów informacji
Gry sekwencyjne
„
Często mamy do czynienia z grami, w których gracze
wykonują ruchy sekwencyjnie (np. naprzemiennie):
‹
‹
‹
„
„
wejście nowej firmy na rynek
odpowiedź na wprowadzenie nowych regulacji
odpowiedź na kampanie marketingowe przeciwników
Gry w postaci normalnej nie są najlepszą reprezentacją
takich (dynamicznych) gier, gdyż zakładają one, że gracze
wykonują ruch jednocześnie, tzn. nie obserwują ruchów
wykonanych przez innych graczy
Gry dynamiczne reprezentuje się w postaci ekstensywnej.
‹
‹
‹
Aby opisać kolejność ruchów w takiej grze często stosuje się
drzewka.
Drzewko gry składa się z węzłów i łuków (gałęzi).
Do węzłów decyzyjnych przypisany jest gracz podejmujący w
tym miejscu decyzję, a do węzłów końcowych przypisane są
wypłaty graczy.
Gry sekwencyjne
`
Dla gier sekwencyjnych – wygodnie przedstawić je w postaci ekstensywnej (extensive form) – w odróżnieniu od postaci uproszczonej, normalnej (normal form)
A
G
D
B
L
(3,9)
Węzły – decyzje
graczy
B
P
L
(1,8) (0,0)
P
(2,1)
Gałęzie – możliwe
strategie
Wypłaty
© Mikołaj Czajkowski
Gry z niepełną informacją
`
Każdą grę w postaci normalnej można przedstawić jako grę w postaci ekstensywnej
Gracz B
Gracz A
Zbiór informacji
B
D
P
L
A
G
B
Lewo
Prawo
Góra
3,9
1,8
Dół
0,0
2,1
(2,1)
P
(0,0)
(1,8)
L
(3,9)
Gra z pełną / niepełną informacją
© Mikołaj Czajkowski
Zbiór informacji
`
W danym zbiorze informacji:
`
`
`
`
`
Wierzchołki połączone przerywaną linią lub obwiedzione wspólną elipsą
Gracz nie zna wcześniejszego ruchu przeciwnika (nie wie dokładnie w którym węźle się znajduje)
Jeśli w danym zbiorze informacji tylko jeden węzeł – singleton
Każdy węzeł w danym zbiorze informacji musi mieć tę samą liczbę możliwych akcji do wyboru (w przeciwnym razie można byłoby je odróżnić)
Gra z pełną informacją – każdy zbiór informacji zawiera dokładnie jeden węzeł (singleton)
© Mikołaj Czajkowski
Ile podgier ma ta gra?
© Mikołaj Czajkowski
Dynamiczny versus statyczny dylemat więźniów
Gracze decydują reklamować się (R) czy nie (N)
Gracz 1
R
N
Gracz 2
Gracz 2
R
N
(6, 3)
(4,4)
N
R
(5, 5)
(3, 6)
gracz II 2
RRR
gracz I
RR
404, 4, 40
N
303, 6, 60
N
NN
6, 360, 30
50,5,
5 50
Indukcja wsteczna
„
Jak rozwiązać grę dynamiczną?
‹
Pierwszy sposób polega na znalezieniu postaci normalnej gry
i zastosowaniu znanych nam narzędzi. Zakładamy wtedy,
że gracze wybierają strategię, czyli kompletny plan gry
jednocześnie na początku gry.
‹
„
Tracimy jednak czas i pewne cenne informacje. Łatwiej i
lepiej rozwiązać taką grę przez indukcję wsteczną (cofając
się od ostatnich etapów do początku). Znalezione
rozwiązanie będzie równowagą Nasha nie tylko w całej grze,
ale też we wszystkich mniejszych „podgrach”, dlatego to
rozwiązanie nazywa się często równowagą Nasha
doskonałą w podgrach.
Zauważmy, że równowagą w dynamicznym dylemacie
więźniów jest (R, RR), czyli wynik jest ten sam co w grze
statycznej. Z reguły jest inaczej.
Metoda indukcji wstecznej
`
Twierdzenie Zermelo – każda skończona gra (w postaci ekstensywnej) z pełną informacją ma równowagę Nasha
w zakresie strategii czystych, którą można odnaleźć za pomocą indukcji wstecznej
`
`
Jeśli żaden z graczy nie ma tej samej wypłaty w dwóch końcowych węzłach, to jest to jedyna równowaga Nasha
Przykład – gra w szachy
`
`
zgodnie z twierdzeniem Zermelo, jeden z graczy ma strategie wygrywającą
jak dotąd nie udało się stwierdzić czy strategie wygrywającą mają białe czy czarne oraz czy w równowadze osiąga się remis czy zwycięstwo
© Mikołaj Czajkowski
Gry sekwencyjne
`
Gry sekwencyjne z pełną informacją można rozwiązać metodą indukcji wstecznej
P
(2,1)
gr.B
D
L
gr.A
P
G
gr.B
L
(0,0)
(1,8)
Choć zarówno (D,PL), (D,PP) jak
i (G,LL), (G,LP) są
równowagami Nasha gry
to rozwiązaniem (równowagą
doskonałą) będzie (G,LP)
Leader ma oczywistą przewagę
(3,9)
© Mikołaj Czajkowski
Równowaga doskonała
`
Nie wszystkie równowagi Nasha gier sekwencyjnych z pełną informacją mogą być oczekiwanym rozwiązaniem gry, jeśli zachodzi sekwencyjna racjonalność … `
`
Racjonalna strategia powinna być optymalna w każdej z podgier
Podgra – część większej gry, która:
` Zaczyna się od zbioru informacji zawierającej pojedynczy węzeł i zawiera wszystkie węzły do których można dojść wychodząc z początkowego węzła; zawiera tylko takie węzły
` Nie zawiera niepełnych zbiorów informacji
© Mikołaj Czajkowski
Gra w odstraszanie wejścia na rynek
Wersja 1:
Firma nowa
W
N
Firma stara
K
Wersja 2:
Firma stara
N
(2, 2)
(-1,-1)
N
K
(0, 9)
(0, 9)
Firma stara2
KR
Firma nowa
W
-1, -1
N
3010, 9, 60
N
N
2, 260, 30
50,0,
9 50
Doskonała równowaga
„
Znalezione rozwiązanie metodą indukcji wstecz będzie
równowagą Nasha (NE) nie tylko w całej grze, ale też we
wszystkich mniejszych „podgrach”, dlatego to rozwiązanie
nazywa się doskonała równowagą Nasha w podgrach
(SPNE), czyli gracze muszą na każdym etapie gry postępować
racjonalnie
„
Gra w odstraszanie wejścia na rynek:
‹
‹
‹
Wersja dynamiczna ma 3 podgry
Firma nowa ma 2 strategie (W i N), a firma stara – 4
strategie: KK, NN, KN, NK w grze dynamicznej i 2 strategie
(K i N) w grze statycznej
2 równowagi Nasha w grze statycznej: (W, N) i (N, K) oraz 4
równowagi Nasha w grze dynamicznej: (W, NK), (W, NN), i
(N, KK), (N, KN)
„

(N, K) lub (N, KK) i (N, KN) są oparte na niewiarygodnej groźbie Firmy
starej, która powinna być zignorowana przez Firmę nową.
Tylko (W, N) lub (W, NN) jest równowagą doskonałą
Uwiarygodnianie gróźb
„
„
„
Groźba musi być wiarygodna aby była skuteczna
Groźby bez pokrycia
„ jej spełnienie jest (ex post) wbrew interesom grożącego
Groźba musi być wiarygodna aby była skuteczna
„ inwestycje w mocy produkcyjne (obniża to koszty krańcowe
w razie wojny cenowej, choć inwestycja jest kosztem
utopionym)
„ kampania reklamowa
„ reputacja
Gry koordynacyjne – wojna płci
`
`
Gry koordynacyjne – gry jednoczesne, w których wypłaty są maksymalne, jeśli gracze współpracują (koordynują swoje posunięcia)
Słynne przykłady:
`
`
`
Wojna płci (Battle of the Sexes)
Tchórz (Chicken)
Jastrząb‐Gołąb (Hawk‐Dove)
© Mikołaj Czajkowski
Gry koordynacyjne – wojna płci
`
Wojna płci
`
`
`
Kobieta woli oglądać jazdę figurową na łyżwach niż zapasy w błocie
Mężczyzna woli oglądać zapasy w błocie niż jazdę figurową na łyżwach
Każde woli oglądać coś razem, niż spędzać czas osobno Mężczyzna
Kobieta
`
Łyżwy
Zapasy
Łyżwy
8,4
1,1
Zapasy
0,0
4,8
NE {Łyżwy, Łyżwy}, {Zapasy, Zapasy}. MNE {(2/3,1/3); (1/3,2/3)} © Mikołaj Czajkowski
Gry koordynacyjne – tchórz
`
`
2 nastolatków ściga się samochodami – jadą naprzeciwko siebie wąską ścieżką
Ten który pierwszy skręci – przegrywa
Czerwony
Niebieski
`
`
`
Wytrzymać
Wymięknąć
Wytrzymać
‐100,‐100
100,‐10
Wymięknąć
‐10,100
‐5,‐5
NE {Wytrzymać, Wymięknąć}, {Wymięknąć, Wytrzymać}. MNE {1/50,49/50;1/50,49/50}
Kluczowe zobowiązanie (commitment), sygnalizowanie
Np. dylemat więźnia i rodziny mafijne
`
`
`
Więzy rodzinne
Wiążące ‘kontrakty’
Opieka nad rodziną
© Mikołaj Czajkowski
Gry na współistnienie
`
`
Jastrząb‐Gołąb (Hawk‐Dove)
Np. dwóch podchmielonych typów wpada na siebie na ulicy
`
`
`
Jastrząb – być agresywnym
Gołąb – spasować
Lepiej być agresywnym i przepędzić rywala, ale z tym wiąże się ryzyko obrażeń, jeśli on również zagra ‘jastrzębia’
Zenek
Mietek
`
Jastrząb
Gołąb
Jastrząb
‐5,‐5
8,0
Gołąb
0,8
4,4
NE {Jastrząb, Gołąb}, {Gołąb, Jastrzęb} MNE{(4/9,5/9);(4/9,5/9)}
© Mikołaj Czajkowski
Aukcje
`
Stosunkowo wydajna i często stosowana metoda sprzedaży (zbierania ofert)
`
`
`
Zachęca do konkurencji
Niskie koszty transakcyjne
Szczególnie efektywne dla dóbr unikalnych i rynków o dużych fluktuacjach
`
`
`
`
Giełdy towarowe, akcje
Dobra unikalne: antyki, dzieła sztuki, konie
Bony skarbowe
Pozwolenia na emisje zanieczyszczeń
© Mikołaj Czajkowski
Aukcje
`
Aukcja tradycyjna (angielska, ustna)
`
`
`
`
`
`
Sprzedawca aktywnie proponuje coraz wyższe stawki
Kupujący mogą składać oferty
Kupujący w każdej chwili znają najwyższą ofertę
Koniec jeśli nikt nie chce dać więcej
Jaka jest najlepsza strategia kupującego?
` strategia dominująca to sukcesywne podbijanie ceny aż do osiągnięcia wartości dobra, później wycofanie się z licytacji
Aukcja holenderska
`
`
`
Sprzedawca zaczyna od wysokiej kwoty
Obniża cenę, dopóki nie znajdzie się kupujący
Jaka jest najlepsza strategia kupującego?
`
brak strategii dominującej
© Mikołaj Czajkowski
Aukcje
`
Aukcja niejawna (first‐price sealed‐bid)
`
`
`
`
Kupujący składają oferty w kopertach
Po otwarciu ofert wygrywa najwyższa
Wygrywający musi zapłacić tyle ile wylicytował
` najlepszą strategią jest oferować nieco mniej niż wartość dobra
Aukcja niejawna drugiej ceny (Vickreya)
Dobro jest przydzielane agentowi oferującemu najwyższą cenę
ale płaci za nie drugą najwyższą oferowaną cenę
` oferowanie prawdziwej wartości prywatnej jest strategią dominującą
`
`
`
Wybór formatu aukcji
Wybór sposobu licytacji
© Mikołaj Czajkowski