Ograniczone zagadnienie 3 ciał Orbity typu podkowy (horseshoe)

MECHANIKA NIEBA
WYKŁAD 14
23.06.2008 r
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
www.asc.rssi.ru
sajri.astronomy.cz
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Warunek stabilności punktów L4 i L5 :
27  621
2 
 0.0385
54
Jest spełniony w Układzie Słonecznym dla wszystkich par Słońce-planeta i
planeta-księżyc, poza parą Pluton-Charon (ale Pluton już nie jest planetą)
W 1906 r. został odkryty pierwszy obiekt poruszający się wokół L4 układu
Jowisz-Słońce – (588) Achilles
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
(3753) Cruithne – pierwszy
obiekt poruszający się wokół
punktu równowagi układu
Ziemia-Słońce
Księżyce Kordylewskiego?
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Symulacje stabilności obiektów wokół
punktów równowagi układu Słońce-Ziemia
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
W tym wypadku mamy:
r1  r2  1
1
x   2
2
3
y
2
skąd:
U xx  3 / 4
U yy  9 / 4
U xy  3 31  2 2  / 4
Równanie charakterystyczne przyjmuje postać:
4  2 
27
 2 1   2   0
4
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Wybraliśmy układ jednostek, w którym ruch średni
masy μ2 jest jednostkowy, a okres orbitalny = 2π
Ruch cząstki jest złożeniem dwóch ruchów:
- krótkookresowego, okres= 2π/|λ1,2| jest zbliżony
do okresu orbitalnego masy μ2
- libracyjnego wokół punktu równowagi,
okres= 2π/|λ3,4|
Amplitudy tych ruchów zależą od stałych αj, βj,
które zależą od warunków początkowych
Ruch wypadkowy można traktować jako złożenie
długookresowego ruchu epicentrum wokół L4 i
krótkookresowego ruchu wokół epicentrum
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Przykład:
 2  0.01, x 0  0.49, y 0  3 / 2
0 Y
0  0
X 0  Y0  10 5 ,
X
odpowiednie wartości własne są równe:
 2.90  2.32i
Wtedy rozwiązanie ma postać:
Xt   3.45  105 cos 0.268t  2.45  105 cos 0.963t
 3.07  10 4 sin 0.268t  8.55  10 5 sin 0.963t
Yt   5.20  10 5 cos 0.268t  4.20  10 5 cos 0.963t
 1.76  10 4 sin 0.268t  4.90  10 5 sin 0.963t
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Ze względu na nachylenie orbity w stosunku do
osi łączącej masy, można dokonać uproszczenia
zagadnienia przez obrót układu współrzędnych
o 30:

 X' t   cos 30

  

 Y' t   sin 30
 sin 30  Xt 


 
cos 30  Yt 
Wtedy X(t) i Y(t) z przykładu przyjmują wartości:
X' t   3.54  10 4 sin 0.268t  9.85  10 5 sin 0.963t
Y' t   6.23  10  5 cos 0.268t  4.86  10  5 cos 0.963t
Są to dwa ruchy po elipsie. Ruch przypomina
wcześniej analizowane przybliżenie „guiding
center”
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu kijanki (tadpole)
sajri.astronomy.cz
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu kijanki (tadpole)
x  x 0  0.0065
y  y 0  0.0065
x  y  0
x 0  1 2  2
y0  3 2
x  x 0  0.008
y  y 0  0.008
x  y  0
μ2=0.001 – podobnie jak w przypadku układu Słońce-Jowisz
Na prawym wykresie ruch cząstki rozpoczął się nieco dalej od punktu równowagi
Co się stanie jeżeli ruch rozpocznie się jeszcze dalej?
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
x  0.97668
y  x  0
y  0.06118
 2  0.000953875
x  1.02745
y  x  0
y  0.04032
Kąt jaki zakreśla cząstka może osiągnąć wartości dużo większe od 180
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu kijanki (tadpole)
Janus
Prometeusz
Copyright by Calvin J. Hamilton
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
planetoida 2002 AA29
porusza się po orbicie
typu podkowy w układzie
Ziemia-Słońce
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
planetoida 2002 AA29
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
3753 Cruithine
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Quasi - księżyce
Tego rodzaju obiekty mogą zajmować
stabilne orbity przez cały czas życia
Układu Słonecznego
Preferowane są dalsze planety –
quasi-księżyce znaleziono w przypadku
Urana i Neptuna
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Ruch cząstki wokół centralnej masy jest przez
większość czasu keplerowski. Perturbacje
pojawiają się jedynie przy bliskim spotkaniu z
drugą masą.
Przykładem takiego ruchu są orbity typu podkowy
i kijanki.
Poza rozwiązywaniem pełnych równań ruchu warto
zbadać ruch wokół mniejszej masy.
Podstawy tego zagadnienia sformułował Hill (1878)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Jeżeli różnica mas jest duża możemy przyjąć,
że μ1≈1, wtedy równania ruchu płaskiego:
 xx
x  
x  2ny  n 2 x   1 3 2   2 3 1 
r1
r2 

  
y  2nx  n 2 y   31  32  y
 r1 r2 
przyjmują postać:
x
x 1
x  2 y  x   3   2 3
r1
r2
y  2 x  y  
y
y


2 3
r13
r2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
W następnym kroku dokonujemy przesunięcia
początku układu współrzędnych tak, że x->1+x
i wprowadzamy Δ=r2.
Rozpatrujemy ruch w pobliżu masy m2 (tzn. w
okolicy punktów L1 i L2), więc x,y oraz Δ są
małymi wielkościami.
Rozwijając w szereg wyrażenie:
r12  x   2   y 2
2
i zaniedbując wyższe potęgi μ2, dostajemy:
r1  1  2 x 
1/ 2
co pozwala przepisać równania ruchu w postaci:
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
U H
  
x  2 y   3  32  x 
 
x


U H
y  2 x   32 y 

y
(14.1a)
(14.1b)
Są to tzw. równania Hilla, gdzie:

3
UH  x2  2
2

2  x 2  y 2
a zmodyfikowana stała Jacobiego jest równa:
C H  3x 2  2
2
 x 2  y 2

(14.2)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Z równania 14.1a widzimy, że radialna składowa
siły znika kiedy 3Δ3=μ2.
To pozwala zdefiniować sferę Hilla jako sferę
o promieniu:
 
H   2 
 3
1/ 3
otaczającą drugą masę.
Analogiczny wynik był uzyskany w przypadku
wyznaczania położeń punktów L1 i L2
(wykład 13):
 2 

  
3

 1
1/ 3
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Podstawiając w równaniach 14.1:
x  y  x  y  0
x  0 
możemy znaleźć położenie punktów L1 i L2.
Z równania 14.1a mamy:
L
1, 2
 
 2
 3
1/ 3
a z równania 14.2 dostajemy odpowiednią
zmodyfikowaną stałą Jacobiego:
C H  33 / 4  22 / 3
jeżeli zapiszemy:
krzywe zerowej prędkości
w otoczeniu punktów L1 i L2
C H  22 / 3
(14.3)
to orbity typu podkowy są możliwe w
obszarze, w którym ζ<34/3.
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Użyjemy teraz kryterium Tisseranda do wyznaczenia zależności między elementami
orbitalnymi przed i po spotkaniu z satelitą.
Niech elementy orbitalne przed i po spotkaniu z satelitą będą równe odpowiednio:
a 1  1  a 1
e  e1
a 2  1  a 2
e  e 2
gdzie wszystkie wielkości oznaczone przez Δ są małe.
Z kryterium Tisseranda mamy:
1
 a 1  e 2  cos I  const
2a
1
1/ 2
1/ 2
 21  a  1  e 2   const
1  a
co może być rozwinięte do postaci:
3 2
a  e 2  const
4
lub:
3 2
3
a 1  e12  a 22  e 22
4
4
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Tą samą zależność można uzyskać z równań Hilla:
  
x  2 y   3  32  x
 

y  2 x  
2
y
3

w przypadku dużych wartości Δ:
x  2y  3x
y  2x  0
(14.4)
co może być zapisane jako (przy użyciu 14.2 i 14.3):
x 2  y 2  3x 2  22 / 3
Używając teraz przybliżenia „guiding centre” możemy zapisać (n=1):
x  a  e sin t
x  e cos t
wtedy z równań 14.4:
3
y   a  2e sin t
2
y  2e cos t
x  e sin t
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Uzyskane wyrażenia można użyć do przekształcenia równania:
x 2  y 2  3x 2  22 / 3
do postaci:
2
2
 3

2
2
e cos t    a  2e sin t   3a  e sin t   22 / 3
 2

z którego mamy:
3 2
a  e 2  22 / 3
4
gdzie prawa strona jest stała.
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Równania Hilla skalują się z μ21/3. Jeśli podstawimy:
 
x  x'  2 
 3
1/ 3
 
y  y'  2 
 3
1/ 3
 
  '  2 
 3
1/ 3
to równania ruchu 14.1 przyjmują postać:
1 

x'2 y '  3x ' 1  3 
 ' 
y'
y'2 x '  3 3
'
Trajektorie cząstki otrzymane ze
skalowalnej postaci równań Hilla.
Masa perturbująca jest w początku
układu
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Księżyce „pasterskie”
www.astro.ljmu.ac.uk
www.universetoday.com
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Księżyce „pasterskie”
Copyright of Cassini Team