Wst¦p do analizy

Arytmetyka
Notatki do wykładu w semestrze letnim 2016/2017
Ewa Cygan
Wersja z 30 stycznia 2017
Spis treści
1 Rozdział I czyli co wiemy o liczbach naturalnych i całkowitych.
1.1 Aksjomatyka Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Liczby całkowite - definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Podzielność w zbiorze Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność .
1.5 Zadania zestaw 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
. 6
. 9
. 10
. 11
. 18
2 O liczbach pierwszych i ich własnościach cz.I.
21
2.1 Pojęcie liczby pierwszej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Kongruencje i ich własności (I)
3.1 Relacja przystawania modulo. . . . . . . . . . . .
3.2 Równania i układy równań liniowych kongruencji
3.3 Zadania zestaw 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Algebraiczne własności działań w Zm . . . . . . .
3.5 Funkcja Eulera - własności i zastosowania . . . .
3.6 Zadania zestaw 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Liczbowe struktury algebraiczne
4.1 Podstawowe struktury algebraiczne .
4.2 Struktura grupy i jej podstruktura .
4.3 Struktura pierścienia i podstruktury .
4.4 Podstawowe definicje i przykłady . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Ciało liczb zespolonych
5.1 Definicja zbioru C i wprowadzenie struktury . . . . . .
5.2 Postać ogólna liczby zespolonej i podstawowe operacje .
5.3 Postać trygonometryczna liczby zespolonej . . . . . . .
5.4 Wykładnicza postać liczby zespolonej . . . . . . . . . .
5.5 Pierwiastek z liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Zadania - zestaw 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
27
29
31
31
36
.
.
.
.
38
38
40
43
43
.
.
.
.
.
.
47
47
47
49
49
50
50
Rozdział 1
Rozdział I czyli co wiemy o liczbach
naturalnych i całkowitych.
Formalny rozwój arytmetyki sięga czasów starożytnej matematyki greckiej. Tym niemniej
współczesna teoria arytmetyczna rozwinęła się w drugiej połowie XIX wieku wraz z pracami
Hermanna Grassmanna (1809-1877), Richarda Dedekinda (1833-1916), Gottloba Frege’a
(1848-1925). To jednak dopiero w traktacie ’ Arithmetices principia, nova methodo exposita’
Giuseppe Peano (1858-1932) pojawiła się aksjomatycza podstawa arytmetyki jaką znamy
obecnie. 1
Giuseppe Peano urodził się 27 sierpnia 1858 roku niedaleko Turynu w miasteczku Spinetta. Chodził do szkoły najpierw w Spinetta potem niedaleko w Cuneo, a następnie kontynuował studia w Turynie. W 1876 roku został przyjęty na Uniwersytet w Turynie, który
ukończył w 1880 roku z najwyższymi wyróżnieniami.
Całą swoją akademicką karierę Peano spędził na tymże uniwersytecie, zaczynając ją
jako asystent w 1880 roku, konsekwentnie zdobywając kolejne szczeble kariery aż do ’full
chair’ w latach 1895 aż do śmierci w 1932 roku. W lata 1886-1901 był również profesorem
w Królewskiej Akademii Wojskowej w Turynie.
Główne osiągnięcia matematyczne Peano dotyczą analizy, aksjomatyzacji matematyki a
przede wszystkim logiki matematycznej. W końcówce wieku XIX i z początkiem dwudziestego był on uważany za wiodącą postać logiki równolegle z Frege’m i Bertrandem Russellem.
W zakresie analizy Peano znany jest najbardziej z krzywej, która nosi jego imię - krzywej
wypełniającej kwadrat. Miał on jednak swój udział także w wynikach dotyczących równań
różniczkowych oraz teorii miary. W szczególności Henri Lebesgue (1875-1941) przyznaje iż
w swoich pracach badawczych był częściowo pod wpływem Peano. Peano był także wielkim
zwolennikiem rewolucyjnych zmian proponowanych w algebrze liniowej przez Grassmanna,
był on w rzeczywistości pierwszym który zdał sobie sprawę z powagi i istoty prac Grassmanna. Jego książka podaje pierwszą aksjomatyczną wersję przestrzeni wektorowej. Nie
(1 )warto zauważyć, że najwcześniejszym dziełem dotyczącym aksjomatyki arytmetyki jest opracowanie
Grassmanna, które pojawiło się 20 lat przed pracami Frege’a, Dedekinda i Peano. Z drugiej strony prace
Frege’a, Dedekinda i Peano powstały w przeciągu 5 lat, a spośród nich pierwszą jest praca Frege’a a ostatnią
Peano, (1889). Choć prace Frege’a, Dedekinda i Peano mają wiele wspólnego ze sobą to z ich własnych
wypowiedzi wynika, iż nie byli oni świadomi swoich równoległych prac w czasie tworzenia własnych. Często
jednak aksjomaty Peano są nazywane aksjomatami Dedekinda-Peano i kwestia ich autorstwa budzi jednak
u niektórych kontrowersje.
5
6
Rozdział I czyli co wiemy o liczbach naturalnych i całkowitych.
jest faktem zbyt znanym, a wartym odnotowania, że Peano jest wynalazcą symbolu ’∈’
(stylizowane epsilon), który stosujemy teraz tak powszechnie. Najlepiej znane są jednak
chyba jego osiągnięcia dotyczące aksjomatyzacji liczb naturalnych, o których opowiemy
sobie teraz.
Peano był bardzo płodnym autorem. W ciągu całej swojej kariery opublikował ponad
200 książek i prac naukowych. Był też bardzo zaangażowany w prace wydawnicze. W 1891
roku założył czasopismo Rivista di Matematica i miał ogromny udział w katalogowaniu znanych twierdzeń w głównych nurtach matematyki - był to projekt zwany wówczas projektem
’Formulario’.
Peano stworzył własną szkołę matematyczną, której najbardziej znanymi przedstawicielami są Cesare Burali-Forti, Mario Pieri i Alessandro Padoa. Aktywnie też korespondował z
wiodącymi matematykami ówczesnego okresu, w tym z Georgem Cantorem, Fregem, Felixem
Kleinem, Russellem i innymi. Jego dyskusja, kontrowersje z innym sławnym turyńskim
profesorem Vitto Volterra zostały bardzo dobrze udokumentowane.
W czasie swojego życia Peano był bardzo cenionym matematykiem we Włoszech. W 1891
został wybrany członkiem Turyńskiej Akademii Nauk a w 1905 roku członkiem korespondencyjnym Accademia dei Lincei - co uchodzi za najwyższy możliwy honor dla włoskiego
naukowca. Był też wielokrotnie wyróżniany odznaczeniami państwowymi.
Międzynarodowy wpływ Peano bodaj najlepiej został zamanifestowany w 1900 roku
podczas Międzynarodowego Kongresu Filozoficznego w Paryżu, gdzie Peano i jego szkoła
zdominowali dyskusję.
Choć kongres był szczytem sławy Peano to stał się także punktem od którego powoli
pozycja Peano gasła. Jego zainteresowania przesuwały się w kierunku sztucznych języków
a później w kierunku edukacji matematycznej. W tym czasie języki sztuczne były bardzo
modne. Najpopularniejsze z nich to esperanto i volapuk. W ich miejsce Peano zaproponował
uproszczoną formę łaciny, łacinę odartą z zasad gramatycznych: Latino sine flexione. W 1908
roku został jednomyślnie wybrany dyrektorem Academia pro Interlingua - międzynarodowej
akademii języków sztucznych, której dyrektorem pozostał do śmierci. Od czasu tego wyboru
jego zainteresowanie skupiło się prawie wyłącznie na propagowaniu takich języków i niewiele
już miało wspólnego z matematyką.
Peano zmarł 20 kwietnia 1932 roku. Jego ostatnie lata były pełne radości. Był szanowaną postacią zarówno w światku matematycznym jak i w świecie języków. Jego delikatna
osobowość, tolerancja dla ludzkich ułomności i stały optymizm zostały zapamiętany przez
rodzinę, przyjaciół i uczniów.
1.1
Aksjomatyka Peano
To co nas najbardziej interesuje to opublikowany w 1889 roku ’Arithmetices principia, nova
methodo exposita’, gdzie pojawiły się sławne postulaty dla liczb naturalnych po raz pierwszy. Sam traktat składa się z przedmowy i 10 rozdziałów. W przedmowie Peano wyjaśnia
swój formalizm i omawia podstawowe zasady logiki i teorii zbiorów jakie używa w traktacie.
Rozdziały 1 do 7 to rozwinięcie aksjomatycznej teorii liczb naturalnych. W rozdziałach 8 i 9
1.1. Aksjomatyka Peano
7
pojawia się omówienie liczb wymiernych i rzeczywistych i ostatecznie rozdział 10 poświęcony
jest pewnym nowym twierdzeniom na temat zbiorów liczb rzeczywistych.
Aksjomatyka Peano w wersji oryginalnej.2
1. 1 ∈ N.
2. a ∈ N. ⊃ .a + 1 ∈ N.
3. a, b ∈ N. ⊃: a = b. = .a + 1 = b + 1.
4. a ∈ N. ⊃ .a + 1− = 1.
5. k ∈ K ∴ 1 ∈ k ∴ x ∈ N.x ∈ k :⊃x .x + 1 ∈ k ::⊃ .N ⊃ k.
Definicja 1.1.1 (Aksjomaty Dedekinda-Peano). Pojęcia pierwotne: symbol 1 i wyrażenie:
jest następnikiem
1. Istnieje liczba naturalna oznaczona jako 1,
2. Każda liczba naturalna α posiada następnik oznaczony jako α? ,
3. 1 nie jest następnikiem żadnej liczby,
4. n 6= m =⇒ n? 6= m? ,
5. jeśli liczba 1 posiada własność σ, oraz następnik każdej liczby posiadającej własność
σ tę własność posiada, to posiadają ją wszystkie liczby naturalne.
Ostatni z postulatów znamy pod nazwą ’Indukcji zupełnej’.
W dalszej części Peano definiuje działania na liczbach naturalnych wywodząc je z powyższej aksjomatyki. Zaczynamy więc od rekurencyjnej definicji dodawania:
Definicja 1.1.2 (Dodawanie). Jeśli a, b są liczbami naturalnymi i (a + b)? ma sens, (tzn.
a + b jest liczbą) ale a + (b + 1) nie zostało jeszcze zdefiniowane, to a + (b + 1) oznacza
następnik liczby a + b.
Pod koniec rozdziału 1 Peano dowodzi, że tak określone dodawanie jest poprawnie zdefiniowane, tzn. istotnie z faktu, że a, b są liczbami wynika, że a + b też jest liczbą, że jest
łączne i przemienne.
Uwagi: N = {1, 2, 3, . . .} - zero NIE jest dla nas liczbą naturalną,
3
W rozdziale 4 (o poprzednich rozdziałach za chwilę) Peano definiuje drugie działanie na
liczbach naturalnych: mnożenie.
Oryginalna definicja mnożenia
(2 )Peano przedstawia de facto 9 aksjomatów jednak pozostałe z nich dotyczą znanych własności równości
(typu zwrotność, symetryczność, przechodniość)
(3 )z punktu widzenia struktury algebraicznej (N, +) tworzy półgrupę
8
Rozdział I czyli co wiemy o liczbach naturalnych i całkowitych.
1. a ∈ N. ⊃ .a × 1 = a.
2. a, ∈ N. ⊃ .a × (b + 1) = a × b + a.
3. ab = a × b.
4. ab + c = (ab) + c.
Definicja 1.1.3 (mnożenie).
1. Dla a ∈ N przyjmujemy a × 1 = a
2. Dla a ∈ N : a × b? := a × b + a.
3. ab = a × b.
4. ab + c = (ab) + c.
Peano dowodzi, że tak określone mnożenie jest poprawnie zdefiniowane oraz formułuje
jego podstawowe własności: przemienność, łączność, rozdzielność względem dodawania i
inne. W szczególności dowodzi:
Własności dowodzone przez Peano
1. a, b ∈ N. ⊃ .ab = ba.
2. a, b, c ∈ N. ⊃ .a(b + c) = ab + ac.
3. a, b, a0 , b0 ∈ N.a < a0 .b < b0 :⊃: ab < a0 b0 .
4. a, b, c ∈ N. ⊃ .a(bc) = (ab)c.
5. k ∈ K ∴ 1 ∈ k ∴ x ∈ N.x ∈ k :⊃x .x + 1 ∈ k ::⊃ .N ⊃ k.
W kolejnym krótkim rozdziale 5 Peano podaje rekurencyjną definicję potęgi i dowodzi jej
podstawowe własności. W rozdziale 6 omawia dzielenie.
Wcześniej w rodziale drugim (jeszcze przed mnożeniem) Peano definiuje odejmowanie i
symbol <.
Oryginalna definicja odejmowania i porządku
1. a, b ∈ N. ⊃: b − a = N [x ∈](x + a = b).
2. a, b ∈ N. ⊃: a < b. = .b − a− = Λ.
3. a, b ∈ N. ⊃: b > a. = .a < b.
Definicja 1.1.4 (Odejmowanie, porządek).
1. Jeśli dla liczb a, b ∈ N istnieje x ∈ N
takie, że x + a = b to x nazywamy różnicą liczb b i a i oznaczamy przez b − a
2. Dla liczb a, b uznajemy, że a < b (a mniejsze od b) jeśli ma sens b − a
3. Dla liczb a, b uznajemy, że b > a (b większe od a) jeśli a < b.
1.2. Liczby całkowite - definicja
9
4. Dla liczb a, b ∈ N przyjmujemy a 6 b, (b > a) wtedy gdy [a < b lub a = b], (b > a lub
b = a)
Uwaga: Zadany w ten sposób porządek jest liniowy, zachowuje dodawania i mnożenie.
W pozostałej części drugiego rozdziału Peano dowodzi podstawowych własności nierówności. W szczególności dowodzi, że jeśli a < b i a0 < b0 to a+a0 < b+b0 oraz, że tak określony
porządek jest liniowy. W bardzo krótkim rozdziale 3 opisuje on dalej pojęcie maksimum i
minimum zbioru liczb naturalnych, natomiast w rozdziale 4 wprowadza mnożenie tych liczb.
1.2
Liczby całkowite - definicja
Na N × N wprowadzamy relację równoważności: (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c.
Definicja 1.2.1 (Liczby całkowite). Zbiór Z to zbiór klas równoważności względem powyżej
określonej relacji, tzn.
Z = N × N/ ∼
Oznaczenia:
(1) Klasę [(a, a)] dla dowolnego a ∈ N nazywamy zerem i oznaczamy 0,
(2) Jeśli dla klasy [(a, b)] zachodzi a − b = n ∈ N to klasę tę oznaczamy przez n,
(3) Gdy dla klasy [(a, b)] mamy b − a = n ∈ N to klasę tę oznaczamy −n.
Zauważmy, że N możemy traktować jako podzbiór Z za pomocą injekcji:
Φ : N 3 n −→[(n + 1, 1)] ∈ Z
Wprowadzamy porządek na Z (uogólniając porządek z N):
[(a, b)] < [(c, d)] ⇐⇒ a + d < b + c
Łatwo sprawdzić, że jeśli n, m - liczby naturalne to −n < m zawsze zaś −n < −m
dokładnie wtedy gdy n > m.
Wprowadzamy działania na klasach abstrakcji:
[(a, b)] + [(c, d)] := [(a + c, b + d)]
[(a, b)] · [(c, d)] := [(ac + bd, ad + bc)]
4
Definicja 1.2.2 (moduł). Dla liczby całkowitej k ∈ Z wprowadzamy pojęcie modułu jako:
k,
k>0
|k| =
−k, k < 0.
(4 ) Uwagi algebraiczne: (Z, +, ·) tworzy pierścień przemienny z 1 6= 0. Jak wyglądają podgrupy i ideały
wZ?
10
Rozdział I czyli co wiemy o liczbach naturalnych i całkowitych.
1.3
Podzielność w zbiorze Z
Definicja 1.3.1 (podzielność). Dla dwóch liczb a, b ∈ Z mówimy, że b dzieli a (lub b
jest dzielnikiem a), jeśli istnieje c ∈ Z: a = bc.
Oznaczenia: b|a - gdy b dzieli a,
b - a - gdy b nie dzieli a.
Wprost z definicji wynikają zebrane niżej własności.
Uwaga 1.3.2. a, b, c, m, n ∈ Z
1. 1|a,
a|0
2. jeśli 0|a, to a = 0
3. relacja jest zwrotna i przechodnia.
4. (b|a i a|b) wtedy i tylko wtedy, gdy |b| = |a|
5. jeśli c|a, c|b, to c|am + nb
6. jeśli a|b, b 6= 0, to 1 6 |a| 6 |b|
Twierdzenie 1.3.1 (Algorytm dzielenia z resztą). Niech a, b ∈ Z, b 6= 0. Wtedy ∃ (q, r) ∈
Z × Z takie, że:
(1) a = qb + r,
(2) |r| < |b|.
Liczbę q nazywamy zwyczajowo wynikiem dzielenia zaś liczbę r resztą.
Powyższe sformułowanie algorytmu pozwala zauważyć, że w tezie tak dobieramy element
r by wartość funkcji Z 3 k −→ |k| ∈ N na tym elemencie była mniejsza od wartości tej funkcji na elemencie przez który dzieliliśmy. Nie jest to wybór przypadkowy o czym przekonamy
się kiedyś na algebrze omawiając pierścienie euklidesowe Warto jednak wspomnieć o dwóch
innych sformułowaniach algorytmu, które niosą ze sobą więcej informacji.
Twierdzenie 2.3. (B) Przy założeniach 2.3. zachodzą następujące własności:
(•) Istnieje dokładnie jedna para liczb (q, r) ∈ Z × Z:
(1) a = bq + r,
(2) 0 6 r < |b|.
(••) Jeśli dodatkowo b - a, to istnieją dokładnie dwie pary (q, r) ∈ Z × Z :
(1) a = bq + r,
(2) |r| < |b|.
1.4.
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
11
Dowód. Niech S = {a − kb : k ∈ Z, a − kb > 0}. Wtedy S ⊂ N0 jest niepustym podzbiorem
zbioru liczb naturalnych (z zerem) i posiada wobec tego element najmniejszy r = a − qb dla
pewnego q ∈ Z. Z definicji mamy, że r > 0 oraz jeśli r > |b|, to r − |b| byłoby też w S, skąd
r nie byłoby liczbą najmniejszą w tym zbiorze. W takim razie q i r spełniają tezę.
Dowód Tw.2.3.(B). Dla uzasadnienia pierwszej z własności zauważmy najpierw, iż w
dowodzie 2.3. wykazaliśmy istnienie pary (q, r) w której reszta spełnia nierówność: 0 6 r <
|b| tym samym pozostaje nam wykazanie jedyności takiej pary.
Przypuśćmy więc, że dla zadanych a i b istnieją dwie pary (q1 , r1 ) i (q2 , r2 ) spełniające
tezę 2.3.(B) (•) i niech na przykład r1 < r2 . Wtedy z równości a = bq1 + r1 = bq2 + r2
otrzymujemy, że q1 − q2 6= 0 oraz z drugiego warunku tezy: |b| < |b||q1 − q2 | = |r2 − r1 | =
(r2 − r1 ) < |b|. Ta sprzeczność dowodzi, że r2 = r1 , a tym samym q2 = q1 .
Dowód (••) przeprowadzimy przy założeniu b > 0, (analogiczne rozumowanie w przypadku b < 0 pozostawiamy czytelnikowi do samodzielnej analizy). Zauważmy, że dzięki
temu iż b nie dzieli a wiemy, że istnieje dokładnie jedna para (q, r) taka, że a = bq + r
gdzie 0 < r < b. Udowodnimy, że drugą parą spełniającą tezę jest w tym przypadku
(q1 , r1 ) = (q + 1, a − b(q + 1)). Wystarczy sprawdzić spełnienie odpowiedniej nierówności.
Jednak |r1 | = |a − b(q + 1)| = |r − b| = b − r < b a dodatkowo widzimy, że reszta r1 jest
ujemna. Wobec jedyności pary w sytuacji gdzie reszta jest dodatnia mamy też jedyność
pary, w której reszta jest ujemna, skąd teza.
Twierdzenie 1.3.2 (ilość liczb podzielnych przez zadaną liczbę). Niech a, b będę liczbami
całkowitymi.
Wtedy ilość liczb naturalnych mniejszych lub równych od a i podzielnych przez
b to ab gdzie b·c oznacza część całkowitą (podłogę) dla danej liczby.
Dowód. Niech
k będzie liczbą liczb naturalnych 6 a i podzielnych przez b. Musimy wykazać,
że k = ab . Dodatnie wielokrotności b, które są mniejsze lub równe od a to: b, 2b, 3b, . . . , kb.
Oczywiście, kb 6 a czyli k 6 ab . Musi też być (k + 1)b > a więc ab − 1 < k, stąd
a
a
−a<k 6
b
b
czyli k =
a
.
b
Przykład1.3.3.
Ilość liczb naturalnych mniejszych lub równych od 2076 podzielnych przez
2076
19 to k = 19 = 109.
1.4
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza
wspólna wielokrotność
W szkole średniej spotkaliśmy się z pewnością z pojęciem największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności. Przypomnimy tu więc znaną definicję w wersji
teorioliczbowej. Trzeba jednak pamiętać, że odpowiednie pojęcia w wersji algebraicznej
definiowane są nieco inaczej ze względu na podstawowy problem: rozważając struktury algebraiczne nie możemy na ogół mówić pojęciu ”najmniejszy”, czy ”największy”, musimy
przy definicjach uciekać się do innych własności, (por. późniejszy kurs algebry).
12
Rozdział I czyli co wiemy o liczbach naturalnych i całkowitych.
Definicja 1.4.1 (NWD, NWW, względna pierwszość). (•) Największym wspólnym
dzielnikiem liczb a1 , . . . , ar ∈ Z, ∃i = 1, . . . , r : ai 6= 0 nazywamy największą liczbę
całkowitą, która dzieli wszystkie a1 , . . . , ar .
Oznaczenie: (a1 , . . . , ar )
(•) Najmniejszą wspólną wielokrotnością niezerowych liczb całkowitych a1 , . . . , ar
nazywamy najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią, która jest podzielna przez każdą z liczb
a1 , . . . , a r .
Oznaczenie: [a1 , . . . , ar ]
(•) (liczby względnie pierwsze) Liczby a1 , . . . , ar ∈ Z, a1 6= 0 nazywamy względnie
pierwszymi, gdy NWD(a1 , . . . , ar ) = 1.
Uwaga 1.4.2 (Proste uwagi o NWD i NWW). a, b, k ∈ Z
1. (a) = [a] = |a|
2. (a, b) = (a, ka + b).
Przypomnimy teraz jak można obliczać największy wspólny dzielnik. Roważmy przypadek dwóch liczb: a, b ∈ Z. Oczywiście, jeśli a ∈ Z? , b = 0, to NWD(a, b) = |a|. Załóżmy
więc, że obie liczby są niezerowe i przypomnijmy algorytm służący do wyliczania wówczas
NWD. Choć omawiany niżej algorytm nie jest algorytmem we współczesnym sensie tego
słowa, to jednak zgodnie z tradycją zachował swą nazwę: algorytm Euklidesa.
Twierdzenie 1.4.1 (Algorytm Euklidesa).
5
Euklidesa6
a, b ∈ Z, a 6= 0. Poniższy algorytm oblicza największy wspólny dzielnik liczb a i b.
1. n := 0, a0 := |a|, b0 := |b|
2. jeśli bn = 0, to wynik algorytmu: an , w przeciwnym razie idziemy dalej
3. an = bn qn + rn gdzie 0 6 rn < bn
4. an+1 := bn , bn+1 := rn
5. zastępujemy n przez n + 1 i wracamy do kroku drugiego
(5 )Nazwa algorytm pochodzi od brzmienia fragmentu nazwiska arabskiego matematyka Muhammada
ibn Musa al.-Chorezmiego, którego uznaje się za prekursora metod obliczeniowych w matematyce. Żył on
na przełomie VIII i IX wieku, przyczynił się do upowszechnienia systemu dziesiętnego oraz wprowadził
stosowanie zera jako symbolu oznaczającego ”nic”
(6 )Euklides: matematyk grecki, głównie działający w Aleksandrii, (ok.364-300 p.n.e. dokładne daty nie
są znane), autor jednego z najbardziej znanych dzieł matematycznych: ’Elementy’ dla liczb całkowitych.
1.4.
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
13
Dowód. Wykażemy, że dla każdego n jakie pojawi się w pętli zachodzi (an , bn ) = (a, b). Z
tego wynika już teza, gdyż zwracana ostatecznie wartość an = (an , 0) = (an , bn ) = (a, b) dla
ostatniego z n. Dla n = 0 mamy (a0 , b0 ) = (|a|, |b|) = (a, b). Teraz przypuśćmy, że wiemy,
iż (an , bn ) = (a, b) i że bn 6= 0 (tzn. algorytm nie jest zakończony). Wtedy (an+1 , bn+1 ) =
(bn , an − bn qn ) = (bn , an ) = (an , bn ) skąd mamy tezę.
Algorytm Euklidesa to jeden z najstarszych i najbardziej znanych algorytmów; podany
został już ok. 2500 lat temu. Faktycznym autorem algorytmu jest Eudoksos z Knidos 7
zaś Euklides jedynie opisał go w swoim dziele Elementy. Euklidesowe elementy teorii liczb
zawarte zostały w księgach od VII do IX wspomnianego dzieła.
Czytając, trzeba pamiętać o tym, że w języku greckim słowo ”liczba” oznacza wówczas
liczby naturalne większe od 1, (jedynka rozważana jest osobno jako ”jedność” a nie jako
”liczba”), nie jest znana jeszcze koncepcja zera, liczby ujemnej, wymiernej, czy niewymiernej. Tym niemniej rozważane są stosunki liczb naturalnych jak i zagadnienia proporcji,
dzięki którym wiele własności liczb nie tylko naturalnych możemy z tych koncepcji wyczytać. Trzy wspomniane księgi Elementów znane są też pod nazwą ”Księgi arytmetyczne”.
Sam algorytm obliczania NWD liczb naturalnych, Euklides przedstawia na początku
Księgi VII, w której to księdze pojawia się również własność znana obecnie pod hasłem
”Lemat Euklidesa”. Dodać należy, że bazą dla omawianego przez nas algorytmu jest wówczas geometria i problem ”szukania wspólnej miary” dwóch odcinków. Danymi do tego
algorytmu są dwie liczby dodatnie a i b takie, że b < a, zaś podany algorytm opisać można
w trzech krokach: 1. jeśli b dzieli a, to przyjmujemy jako wynik b i kończymy; 2. jeśli b < a,
to bierzemy a = a − b; 3. przyjmujemy jako nową parę: (a, b). I dalej powtarzamy procedurę. De facto to krok drugi jest algorytmem dzielenia: odejmujemy b od a aż dostaniemy a
mniejsze od b, inaczej - w dzisiejszym sformułowaniu zapisujemy a = qb + r, gdzie r < b a
potem w miejsce b przyjmujemy r. Tak określony algorytm, jeśli dopuścilibyśmy nie tylko
liczby naturalne oczywiście nie zawsze musi się zakończyć.
W przypadku rozważania liczb naturalnych w efekcie działania algorytmu otrzymujemy
NWD wyjściowych liczb, (jak to udowodniliśmy). Euklides - podobnie jak my - dowodzi najpierw, że w efekcie wykonania algorytmu dostajemy liczbę, która jest wspólnym dzielnikiem
wyjściowych liczb, później zaś wykazuje, że każdy inny wspólny dzielnik tych liczb musi też
być podzielnikiem efektu algorytmu, tym samym musi też być od efektu naszego algorytmu
mniejszy lub równy. Zwłaszcza ta druga własność, niejako produkt uboczny algorytmu Euklidesa jest niezwykle istotna. Prowadzi do wielu ważnych wniosków, w szczególności zaś to
dzięki tej własności mamy możliwość uogólnienia w dalszych rozważaniach pojęcia NWD na
pierścienie, w których w ogólnej sytuacji, nie mając danego porządku nie możemy postawić
tej definicji w dokładnie taki sam sposób jak w pierścieniu liczb całkowitych. Czysto algebraiczna definicja NWD powie nam w przyszłości, iż element d w pierścieniu jest największym
wspólnym dzielnikiem dwóch (lub więcej) elementów a, b, gdy jest ich wspólnym dzielnikiem
oraz jest podzielny przez każdy inny ich wspólny dzielnik. Wspomniana własność bardzo
łatwo wynika też z tożsamości Bezouta. Tożsamość tę można także wykorzystać w dowodzie
(7 )Eudoksos: grecki astronom urodzony w 408 roku p.n.e., uczeń Platona, autor między innymi teorii
proporcji, najprawdopodobniej odkrywca algorytmu wyliczania NWD, później nazwanego algorytmem Euklidesa.
14
Rozdział I czyli co wiemy o liczbach naturalnych i całkowitych.
Lematu Euklidesa, który charakteryzuje liczby pierwsze, mówiącego, że jeśli liczba pierwsza
dzieli iloczyn dwóch liczb, to musi dzielić jedną z nich, (de facto jest to oczywiście również
warunek równoważny na pierwszość liczby p > 1). Euklides dowód swojego lematu opiera
na pewnych własnościach proporcji, z analizą czego zapoznać się można np. w artykule ”Did
Euclid Need the Euclidean Algorithm to Prove Unique Factorization” Davida Pengelleya i
Freda Richmana, (dostępny w internecie).
Aby algorytm zastosować nie tylko do liczb naturalnych wystarczy zauważyć, że dzielenie
z resztą to tak naprawdę wyłączanie części całkowitej i odwracanie tego co nam pozostało,
aby znów było co wyłączyć. Można więc algorytm ten zastosować wszędzie tam gdzie ma
sens takie wyłączenie całości. Wtedy oczywiście może się zdarzyć iż będzie on trwał w
nieskończoność. Ciekawym zastosowaniem algorytmu Euklidesa są ułamki łańcuchowe.
Warto w tym momencie zwrócić uwagę na jeden fakt, który znajdzie swoje uogólnienie w
teorii pierścieni. Nie bez przyczyny przypominamy znany algorytm Euklidesa tak dokładnie.
Przyglądając się bowiem uważnie przebiegowi algorytmu zauważymy, że reszty pojawiające
się w każdym kroku spełniają zależność: |ri+1 | < |ri |, słowem za każdym razem obniżana
jest wartość funkcji | · | dla reszty. W przyszłości będziemy chcieli prześledzić taki sam
algorytm w pierścieniach euklidesowych, zastępując moduł wartością pojawiającej się tam
funkcji ϕ. Zauważymy wówczas, że w taki sam jak wyżej sposób będziemy mogli znaleźć NWD
elementów pierścienia euklidesowego, (choć należy zwrócić uwagę na różnicę w definicji
tych pojęć w sensie algebraicznym i w sensie teorioliczbowym). Studiując teorię pierścieni
euklidesowych warto wrócić do dowodów przedstawianych poniżej i zauważyć, iż możemy je
przeprowadzić w analogiczny sposób w sytuacji algebraicznej.
Algorytm Euklidesa daja prostą i efektywną metodę wyznaczania nwd dwóch liczb.
Francuski matematyk Lamé (1795-1870) wykazał, że liczba kroków w tym algorytmie to co
najwyżej 5 razy liczba cyfr w mniejszej z liczb.
Przejdziemy teraz do wspomnianej identyczności Bezouta.
Twierdzenie 1.4.2 (Identyczność Bacheta-Bezouta). Z: a1 , . . . , an ∈ Z, ∃ i = 1, . . . , n :
ai 6= 0.
T: Istnieją liczby k1 , . . . , kn ∈ Z:
NWD(a1 , . . . , an ) = k1 a1 + . . . + kn an .
Dowód. Najpierw udowodnimy naszą własność dla dwóch liczb a, b z których co najmniej
jedna jest niezerowa. Rozważmy zbiór T = {ax + by : ax + by > 0, x, y ∈ Z}. Oczywiście,
jedna z liczb ±a, ±b należy do naszego zbioru bo któraś z liczb a, b jest niezerowa. Wobec
tego zbiór ten jest niepusty i posiada w takim razie element najmniejszy, powiedzmy d.
Istnieją więc liczby x0 , y0 ∈ Z takie, że d = ax0 + by0 . Udowodnimy, że d jest poszukiwanym
największym wspólnym dzielnikiem a i b.
Udowodnimy najpierw, że d|a. Z algorytmu dzielenia z resztą wiemy, że istnieją q, r
takie, że 0 6 r < d, że a = dq + r. Wobec tego
r = a − dq = a(1 − qx0 ) − by0 .
1.4.
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
15
Jeśli r > 0, to r ∈ T i jest to element mniejszy od d, sprzeczność. W takim razie r = 0 i
oznacza to, że d|a. Analogicznie dowodzimy, że d|b.
Załóżmy teraz, że 0 < t jest taką liczbą całkowitą, która dzieli i a i b. To oznacza, że
a = tm, b = tn, skąd d = ax0 + by0 = t(mx0 + ny0 ) czyli t|d, wobec czego t 6 d.
Przypuśćmy teraz, że n > 2 i twierdzenie mamy udowodnione dla mniej niż n liczb.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
d0 := (a1 , . . . , an−1 ) > 0,
d := ((a1 , . . . , an−1 ), an ) > 0.
Zgodnie z założeniem indukcyjnym wiemy, że istnieją l1 , . . . , ln−1 , k, l ∈ Z takie, że
(?) d0 = l1 a1 + . . . + ln−1 an−1 ,
d = kd0 + lan .
Udowodnimy, że d jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a1 , . . . , an , (przy okazji
udowodnimy własność rekurencyjnego obliczania NWD).
Z definicji wynika, że d dzieli d0 oraz an . Ponieważ d0 dzieli każde ai dla i = 1, . . . , n−1, z
przechodniości relacji podzielności d jest wspólnym dzielnikiem wszystkich liczb a1 , . . . , an .
Z drugiej strony jeśli d˜ ∈ N? jest wspólnym dzielnikiem a1 , . . . , an , to z (?) mamy, że
˜ 0 a tym samym dzieli d. Oznacza to, że d˜ 6 d i wobec tego d = (a1 , . . . , an ).
d|d
Jednocześnie ponownie dzięki (?) wiemy, że d = kd0 + lan = k(l1 a1 + . . . + ln−1 an−1 ) + lan
i przyjmując ki := kli dla i = 1, . . . , n − 1 i kn := l mamy tezę.
Przykład 1.4.3. Chcemy wyliczyć (720, 546) oraz przedstawić je w postaci Bezouta, (tak
nazywać będziemy poszukiwaną kombinację).
Wypiszmy, dla przejrzystości kolejne kroki w tabeli:
720
546
720
1
0
546
0
1
Wiemy teraz, że 720 = 1 · 546 + 174, mnożymy więc drugi wiersz przez 1 i odejmujemy
od pierwszego dostając:
546
174
720
0
1
546
1
−1
Jak widać dostajemy przedstawienie reszty: 174 = 1·720+(−1)·546 w postaci kombinacji
wyjściowych liczb. Dalej powtarzamy procedurę zgodnie z algorytmem Euklidesa i wiemy, że
546 = 3·174+24. Ponownie więc mnożymy drugi wiersz ostatniej tabeli przez 3 i odejmujemy
od pierwszego.
174
24
720
1
−3
546
−1
4
16
Rozdział I czyli co wiemy o liczbach naturalnych i całkowitych.
skąd 24 = (−3) · 720 + 4 · 546. Kontynuujemy biorąc pod uwagę, że 174 = 7 · 24 + 6 i
otrzymamy:
24
6
720
−3
22
546
4
−29
Jak widać teraz już po wydzieleniu 24 przez 6 jako resztę otrzymamy zero, wobec tego
NWD(720, 546) = 6 i otrzymaliśmy też: 6 = 22 · 720 + (−29) · 546.
Jeśli chcielibyśmy teraz znaleźć odpowiednie przedstawienie dla liczb a1 , . . . , an gdzie
jest ich więcej niż jedna, to przeprowadzamy to indukcyjnie. Najpierw więc znajdujemy x,
y takie, że:
((a1 , a2 , . . . , an−1 ), an ) = (a1 , . . . , an−1 )x + an y
a następnie korzystając z indukcyjnego założenia znajdujemy przedstawienie dla (a1 , . . . , an−1 )
- słowem można to zrobić algorytmicznie.
Bezpośrednio, z dowodu i twierdzenia otrzymujemy kolejne wnioski.
Wniosek 1.4.4. Z: a1 , . . . , ar ∈ Z, a1 6= 0.
T: (1) Liczby a1 , . . . , ar są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby
całkowite k1 , . . . , kr takie, że:
(?)
1 = k1 a1 + . . . + kr ar .
(2) Jeśli r > 2, to ((a1 , . . . , ar−1 ), ar ) = (a1 , . . . , ar ).
Identycznością Bezouta często nazywany jest sam wniosek 3.8. Jak się zdaje przypisanie tej identyczności wyłącznie Bezoutowi nie jest do końca uprawnione, gdyż wersja tego
twierdzenia dla dwóch liczb pojawia się już w 1612 roku w komentarzach do łacińskiego tłumaczenia Arytmetyki Diofantosa, 8 zredagowanego przez innego matematyka francuskiego
Bachet de Méziriac 9 . W komentarzach tych Bachet zapisuje identyczność Bezouta i podaje
jej algorytmiczny dowód.
Identyczność ta pojawia się także w drugiej edycji jego książki
”Problèmes plaisants et délectables” wydanej w roku 1624. Związanie nazwy
twierdzenia z nazwiskiem Bezouta bierze swój początek z faktu, iż właśnie
Etienne Bezout: matematyk francuski, (1730-1783), głównie kojarzony z metodami rozwiązywania równań algebraicznych jako pierwszy sformułował owo twierdzenie w języku algebry,
a konkretniej dla przypadku pierścienia wielomianów nad ciałem. Zaznaczmy też na razie, że
twierdzenie powyższe nie mówi o własności specyficznej dla liczb całkowitych. Udowodnimy
dalej jego uogólnienie jakie zachodzi w pierścieniu ideałów głównych, (ideałów generowanych
przez jeden element). Wspomnieć wypada też, że istnieją tzw. pierścienie Bezouta, których
znakiem charakterystycznym jest fakt, że wszystkie ich ideały skończenie generowane są
ideałami głównymi, co jest własnością dość dokładnie uogólniającą powyższe twierdzenie
(8 )Diophantus z Alexandrii: matematyk grecki (ok. 200-284), znany jako ”ojciec algebry”
(9 )Claude Gaspard Bachet de Méziriac: matematyk francuski, (1581-1638) to na marginesie jego tłumaczenia Arytmetyki Diofantosa Fermat skreślił swoje słynne Wielkie Twierdzenie Fermata
1.4.
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
17
na przypadek pierścieni. Tak naprawdę jednak można powiedzieć, że najbardziej naturalną
strukturą, na którą warto uogólniać własność B-B jest właśnie pierścień ideałów głównych pierścienie Bezouta powstały dość sztucznie na potrzeby rozważania konkretnie tej własności.
Zastosowania tożsamości Bezouta: liniowe równania diofantyczne.
Twierdzenie 1.4.3 (Lemat Eulera). Jeśli a, b, c ∈ Z, (a, c) = 1 oraz c|ab, to c|b.
Dowód. Skoro (a, c) = 1 to z tożsamości Bezouta wiadomo, że istnieją s, t ∈ Z: sa + tc = 1,
czyli sab + tcb = b. Lewa strona z założenia jest teraz podzielna przez c tak więc również b
dzieli się przez c
Nazwą liniowe równanie diofantyczne określamy równanie postaci:
ax + by = c
gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi, zaś poszukiwane rozwiązania też należą do Z.
Bezpośrednio z identyczności Bezouta łatwo wynika wniosek dotyczący istnienia rozwiązań liniowych równań diofantycznych.
Wniosek 1.4.5 (rozwiązania liniowych równań diofantycznych). (1) Liniowe równanie diofantyczne ax + by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy d = (a, b)|c.
(2) jeśli rozważane równanie posiada rozwiązanie, to ma ich nieskończenie wiele - znając
jedno szczególne (x0 , y0 ) otrzymujemy postać ogólną: (x0 + t db , y0 − t ad ), t ∈ Z.
Dowód. Część pierwsza jest oczywista, udowodnimy więc część drugą. Łatwo przeliczyć, że
podana postać ogólnego rozwiązania istotnie daje rozwiązanie naszego równania po prostu
wstawiając je do równania.
Z drugiej strony niech (x0 , y 0 ) będzie taką parą, że ax0 + by 0 = c. Ponieważ jednocześnie
ax0 + by0 = c, więc
a(x0 − x0 ) = b(y0 − y 0 ).
Dzieląc przez d = (a, b) dostajemy
a 0
b
(x − x0 ) = (y0 − y 0 ).
d
d
Ponieważ ad , db = 1 więc z Uwagi: ad |(y0 − y 0 ). Istnieje więc liczba całkowita t taka, że
t ad = y0 − y 0 czyli y = y0 − t ad . Z tego dostajemy, że
a 0
b a
(x − x0 ) = t ,
d
d d
inaczej mówiąc x0 = x0 + t db , co kończy dowód.
18
Rozdział I czyli co wiemy o liczbach naturalnych i całkowitych.
Ogólnie równania diofantyczne to równania o postaci wielomianowej, (wielomianowa
zależność względem zmiennych), dla których poszukujemy wymiernych lub całkowitych rozwiązań. Jak sama nazwa wskazuje wiele spośród problemów obecnie ukrytych pod nazwą
”równania diofantyczne” bierze swoje źródło z wymienionego już dzieła ”Arithmetica” Diophantusa. Jednak część z tych zagadnień była już dobrze znana wcześniej. Warto też zauważyć, że kilka słynnych problemów teorii liczb, długo pozostających nierozwiązanymi, jak
choćby najbardziej znane Wielkie Twierdzenie Fermata to problemy formułowane w języku
równań diofantycznych.
Niewiele wiadomo o życiu samego Diophantusa, historycy w przybliżeniu określają datę
jego urodzin w Aleksandrii na około 200 n.e. a jego śmierci na 284. Najbardziej znanym jego
dziełem jest wspomniana ”Arithmetica” zawierająca 13 ksiąg, (przetrwało z nich zaledwie
6) w tym 130 problemów w których podaje się rozwiązania równań tzw. oznaczonych, (z jednoznacznym rozwiązaniem) jak i nieoznaczonych. Równania liniowe nie należały jednak do
najbardziej interesujących samego Diofantosa, zaś pierwszym, który podał ogólne rozwiązanie liniowego równania diofantycznego w takiej postaci, w jakiej go przed chwilą omówiliśmy
był Brahmagupta. 10
Sam Diofantos zdobył sławę także dzięki drugiemu swojemu dziełu ”On polygonal numbers” zaś zaproponowane przez niego metody rozwiązywania problemów miały ogromny
wpływ na dalszy rozwój tak teorii liczb jak i algebry, choć on sam nie stosował nazbyt
wyszukanych zapisów algebraicznych. Równanie, które rozważaliśmy wyżej, czyli liniowe
równanie diofantyczne dwóch zmiennych jako problem datuje się jeszcze sprzed czasów samego Diofantosa, podobnie zresztą jak np. równanie stopnia 2 postaci x2 + y 2 = z 2 - oba te
problemy były znane już Babilończykom. Rozwiązania drugiego z nich noszą nazwę trójek
pitagorejskich, dzięki swojej interpretacji w języku długości boków trójkąta prostokątnego.
1.5
Zadania zestaw 1
Zadanie 1. Niech k będzie liczbą całkowitą dwucyfrową. Weźmy liczbę l powstałą przez
zamianę miejscami cyfr w liczbie k. Udowodnić, że k − l jest podzielna przez 9.
Zadanie 2. (a) Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 27 dzieli liczbę (10n +
18n − 1).
(b) Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n5 − n jest podzielna przez 5.
Zadanie 3. Wykazać, że jeśli a, b to liczby całkowite to a|b i b|a wtedy i tylko wtedy, gdy
|a| = |b|.
Zadanie 4. Udowodnić, że suma kolejnych 4 liczb całkowitych jest liczbą parzystą.
Zadanie 5. (a) Udowodnić, że suma 7 kolejnych liczb jest podzielna przez 7
(b) Udowodnić, że jeśli n ∈ N, to suma kolejnych 2n + 1 liczb jest podzielna przez 2n + 1
(c) Odpowiedzieć na pytanie, czy ogólnie dla n ∈ N jest prawdą, że suma kolejnych n
liczb jest podzielna przez n.
(10 )Brahmagupta: indyjski matematyk i astronom, 598-670, znany głównie z wierszowanego podręcznika
Brahmasphutasiddhanta, w którym pojawia się m.in.współczesny symbol zera oraz liczby ujemne
1.5. Zadania zestaw 1
19
Zadanie 6. Wiemy, że liczba n po podzieleniu przez 8 daje resztę 5. Jaka jest reszta po
podzieleniu liczby n3 + 5n przez 8 ?
Zadanie 7. Udowodnić, że dla dowolnego m ∈ Z liczba M = m(m+1)(2m+1) jest podzielna
przez 6.
Zadanie 8. Udowodnić, że jeśli a1 , . . . , ak ∈ Z to liczby które po podzieleniu przez n dają
resztę 1 to również liczba s := a1 · . . . · ak daje resztę 1 po podzieleniu przez n.
Zadanie 9. Udowodnić, że dla dowolnego n liczba 15n daje resztę 1 po podzieleniu przez 7.
Zadanie 10. (a) Udowodnić, że iloczyn 3 kolejnych liczb jest podzielny przez 3
(b) Udowodnić, że iloczyn 5 kolejnych liczb jest podzielny przez 5
(c) Czy można jakoś uogólnić powyższe twierdzenia ?
Zadanie 11. Udowodnić, że dla dowolnego n ∈ N wśród (n + 1) liczb są przynajmniej dwie
których różnica dzieli się przez n.
Zadanie 12. (a) Znaleźć ilość liczb naturalnych mniejszych lub równych od 2076 i niepodzielnych przez 4 ani przez 5.
(b) Znaleźć ilość liczb naturalnych mniejszych lub równych od 3000 i podzielnych przez
3, 5 i 7.
Zadanie 13. Znaleźć na dwa sposoby NWD(112, 356) oraz ich przedstawienie Bezouta.
Opisać wszystkie te liczby całkowite c, dla których równanie diofantyczne 112x + 356y = c
ma rozwiązanie.
Zadanie 14. (a) Wyliczyć d = NWD(408, 276) oraz wskazać dla d przedstawienie Bezouta.
(b) Wyliczyć na dwa sposoby NWW(408, 276). Analogiczne zadanie wykonać dla liczb
2772 i 1560 oraz dla 1980 i 1650.
(c) Używając rekurencji znaleźć NWD(18, 30, 60, 75, 132) oraz NWD(12, 18, 28, 38, 44).
Zadanie 15. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie: 3300x + 4095y = 45.
Zadanie 16. Znaleźć nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych równania 13x + 29y = 1
oraz sprawdzić, czy istnieją całkowite rozwiązania równania 3456x + 246y = 73.
Zadanie 17. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n oraz liczb całkowitych a, b
zachodzą własności:
1. NWD(n, n + 1) = 1,
2. NWD(n, n + 2) = 1 lub 2,
3. NWD(a, b) =NWD(a, a + b),
4. NWD(3n + 1, 10n + 3) = 1.
20
Rozdział I czyli co wiemy o liczbach naturalnych i całkowitych.
Zadanie 18. Wykazać, że zachodzą własności:
(1) ab = (a, b)[a, b]
(2) (a, bc) = (a, (a, b)c),
(3) (a2 , b2 ) = (a, b)2 ,
(4) (am − 1, an − 1) = a(m,n) − 1,
(5) (Fn , Fm ) = F(m,n) dla (Fn ) - ciągu Fibonacciego.
Zadanie 19. Wykazać, że działania zdefiniowane w trakcie konstruowania Z są zgodne z
rozważaną w konstrukcji relacją równoważności.
Zadanie 20. W Z[i] rozważamy algorytm dzielenia z resztą opisany na ćwiczeniach.
(a) Wykazać poprawność algorytmu,
(b) Podzielić w Z[i] z resztą: 10 przez 2 + i oraz 3 + 5i przez 1 − i.
(c) Uzasadnić, że reszta w dzieleniu w Z[i] nie musi być jednoznaczna.
Rozdział 2
O liczbach pierwszych i ich
własnościach cz.I.
2.1
Pojęcie liczby pierwszej
Definicja 2.1.1 (Liczba pierwsza). Liczbę całkowitą p ∈ Z nazywamy liczbą pierwszą,
jeśli
(1) p > 1
oraz
(2) d|p, d > 0 =⇒ d = 1 lub d = p.
Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy dalej przez P.
Każdą liczbę naturalną większą od jedynki, nie będącą liczbą pierwszą nazywamy liczbą
złożoną.
Pamiętajmy dalej o umowie, iż liczba jeden nie jest ani liczbą pierwszą ani też liczbą
złożoną.
Definicja liczby pierwszej i proste zastosowanie identyczności Bezouta prowadzi nas do
następującego wniosku.
Własność 2.1.2 (podstawowe własności liczb pierwszych). Dla liczb pierwszych mamy:
1. Jeśli p ∈ P, k ∈ Z, to (p, k) = 1 lub (p, k) = p.
2. Jeśli p ∈ P, k1 , . . . , kn ∈ Z, p|k1 · . . . · kn , to p|ki dla pewnego i = 1, . . . , n.
Warto zaznaczyć, że druga z własności jest własnością charakteryzującą liczby pierwsze
(ćw.)
2.2
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
Definicja 2.2.1 (rozkład jednoznaczny). Niech k ∈ Z? \ {−1, 1}. Mówimy, że k posiada
rozkład jednoznaczny w Z, jeśli
(1) istnieją p1 , . . . , pr ∈ P, u ± 1 takie, że k = u · p1 · . . . · pr ,
21
22
O liczbach pierwszych i ich własnościach cz.I.
(2) dla dowolnych dwóch układów p1 , . . . , pr ∈ P, q1 , . . . , qs ∈ P, u, v ± 1 takich, że
k = u · p1 · . . . · pr = v · q1 · . . . · qs
mamy r = s oraz istnieje σ - bijekcja zbioru {1, . . . , r} na siebie taka, że: ∀ i ∈ {1, . . . , r} :
pi = qσ(i) .
Twierdzenie 2.2.1 (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Każda niezerowa liczba całkowita
k 6= ±1 w Z posiada rozkład jednoznaczny.
Dowód. Wystarczy oczywiście wykazać twierdzenie dla liczb naturalnych większych od jedynki. W naturalny sposób dowód rozbija się na dwie części: wykazanie istnienia rozkładu
i wykazanie jego jednoznaczności.
Istnienie. Indukcja względem n: dla n = 2 teza jest spełniona.
Załóżmy tezę dla liczb naturalnych m takich, że 1 < m < n.
Jeśli n jest liczbą pierwszą, to dowód zakończony.
Jeśli n nie jest liczbą pierwszą, to n = ab, gdzie 1 < a < n i 1 < b < n wobec tego z
założenia indukcyjnego a i b są liczbami pierwszymi bądź iloczynami takich. Stąd również
n jest iloczynem liczb pierwszych.
Jednoznaczność Ponownie indukcja względem n.
Dla n = 2 jednoznaczność rozkładu jest oczywista ze względu na pierwszość tej liczby.
Zakładając tezę dla liczb mniejszych lub równych (n − 1) gdzie n > 2 przypuśćmy, że
dla n, mamy dwa rozkłady:
n = p1 · . . . · pr = q1 · . . . · qs
gdzie pi , qj ∈ P oraz p1 6 . . . 6 pr , q1 6 . . . 6 qs . Oczywiście możemy przyjąć, że r > 1 w
przeciwnym razie mamy do czynienia z liczbą pierwszą.
Niech p będzie najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą n, skąd p dzieli pi dla pewnego i,
(2.2.(2)) skąd p = pi czyli z minimalności p mamy p = p1 , analogicznie p = q1 .
Niech teraz m :=
n
p
< n. Wobec tego mamy rozkład:
m = p2 · . . . · pr = q2 · . . . · qs .
Z założenia indukcyjnego otrzymujemy r = s i istnieje bijekcja σ
e zbioru {2, . . . , n} na
siebie, (permutacja tego zbioru) taka, że ∀ i ∈ {2, . . . , r} pi = qσe(i) . Przyjmując σ(1) = 1,
σ(i) = σ
e(i), dla i > 1 otrzymujemy poszukiwaną permutację zbioru {1, . . . , n}.
Uwaga 2.2.2 (Równoważna wypowiedź zasadniczego twierdzenia arytmetyki). Jak się okazuje powyższe twierdzenie jest równoważne Lematowi Eulera, o którym mówiliśmy wcześniej,
(por. 1.4.3).
2.2. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
23
Można powiedzieć, że już Euklides był bliski sformułowaniu zasadniczego twierdzenia
arytmetyki mimo, iż nie dysponował pojęciem rozkładu jako takiego. Część dotycząca istnienia rozkładu została już wypowiedziana i udowodniona przez matematyka perskiego Kamala
al-Din al Farisi 1 . Nie stwierdza on co prawda jednoznaczności, ale używa rozkładu na
liczby pierwsze do wyszukiwania wszystkich podzielników danej liczby i na podstawie jego
rozumowań można również uzyskać dowód jednoznaczności rozkładu. Dalszymi badaczami
podzielników danej liczby byli kolejno wspomniany wcześniej Jean Prestet, Euler, (1770) i
Legendre,2 (1798). Żaden z nich nie udowodnił jednoznaczności choć dość blisko był ten
ostatni podając kanoniczy rozkład na liczby pierwsze, dzieląc daną liczbę kolejno przez 2
tylekroć ile to możliwe, potem przez 3, 5 itd. W 1801 roku Gauss w Disquisitiones Arithmetica w Article 16 formułuje i dowodzi jednoznaczności rozkładu, (mówi też o istnieniu, nie
dowodzi go jednak uznając to za fakt prosty). Gauss stwierdza tam mniej więcej tyle: ”Jest
jasnym na podstawie elementarnych rozważań, że każda liczba złożona może zostać rozłożona na czynniki pierwsze, ale zakłada się milcząco i na ogół bez dowodu, że taki rozkład
nie może zostać przeprowadzony na różne sposoby”. Słowem pierwszy pełny dowód jednoznaczności rozkładu przypisać można Gaussowi. W dalszej części wykładu przyjrzymy się
uogólnieniu pojęcia jednoznaczności rozkładu na sytuację algebraiczną. W tej wersji jeszcze
niejednokrotnie spotkamy się z Gaussem, od którego biorą swą nazwę pierścienie, w których
elementy można przedstawiać jednoznacznie, (w odpowiednim sensie - z dokładnością do
porządku i mnożenia przez element odwracalny) jako iloczyny elementów nierozkładalnych,
które w sytuacji algebraicznej tworzą odpowiedniki liczb pierwszych.
Wbrew pozorom twierdzenie to wcale łatwe nie jest i przede wszystkim odkrycie faktu,
iż Z jest tu pierścieniem o wyjątkowych własnościach (nie w każdym pierścieniu taki rozkład
jest jednoznaczny) było zaskakujące. Długo bowiem przyjmowano ’domyślnie’, że tak jest
zawsze. Tymczasem
√
√
Przykład 2.2.3. Rozważmy pierścień Z[i 5]√= {a + bi√ 5 : a, b ∈ Z}. W tym pierścieniu
mamy dwa różne rozkłady: 6 = 2 · 3 = (1 + i 5)(1 − i 5), które nie są ze sobą związane
stowarzyszeniem.
Łatwo zobaczyć, że liczby tu rozważane są elementami nierozkładalnymi w tym pierścieniu (takimi ’liczbami pierwszym’) ale... ideały przez nie generowane nie są już pierwsze
stąd w pewnym kontekście pierwszości nie powinniśmy tak klasyfikować tych liczb i stąd
problem z jednoznacznością rozkładu.
Otwarty problem: Czy istnieje algorytm, który rozłoży zadaną liczbę całkowitą n na
liczby pierwsze ’szybko’ tzn. w czasie wielomianowym (tzn. ograniczonym przez wartość
pewnego wielomianu od ilości cyfr naszej liczby w zapisie dziesiętnym) ???
Zapewne zgadniemy, iż odpowiedź jest NIE, ale... nikt tego do tej pory nie udowodnił.
Jeśli taki algorytm by istniał mielibyśmy problem z szyfrowaniem naszych e-mail:((
10,000 $ do wygrania ! Jeśli uda się komuś rozłożyć na liczby pierwsze następującą
liczbę 174-cyfrową, zwaną ’RSA-576’ to wygra dzięsięć tysięcy dolarów !!
(1 )Kamal al-Din Abu’l-Hasan Muhammad Al-Farisi (ok. 1267-1319/20) - matematyk i fizyk perski
(2 )Adrien-Marie Legendre: matematyk francuski, (1752-1833)
24
O liczbach pierwszych i ich własnościach cz.I.
18819881292060796383869723946165043980716356337941738270076335
64229888597152346654853190606065047430453173880113033967161996
92321205734031879550656996221305168759307650257059
http://www.rsasecurity.com/rsalabs/challenges/factoring/index.html
Rozdział 3
Kongruencje i ich własności (I)
3.1
Relacja przystawania modulo.
Na pierwszej stronie swego dzieła ”Disquisitiones Arithmeticae” Gauss wprowadza pojęcie
”kongruencji”, czyli jak to określać będziemy dalej ”przystawania”. Dzięki zastosowaniu tej
notacji wiele własności i twierdzeń otrzymało prostszą postać, ale też znacznie ułatwiło to
przeprowadzanie wielu operacji matematycznych.
Definicja 3.1.1 (kongruencja). Niech m ∈ N. Mówimy, że liczby całkowite x, y przystają
modulo m, gdy m|(x − y).
Oznaczenie: x ≡ y( mod m).
Liczbę m nazywa się modułem kongruencji.
Uwaga 3.1.2. (1) Relacja przystawania modulo m jest relacją równoważności w zbiorze
liczb całkowitych.
(2) Zbiór {0, 1, . . . , m − 1} tworzy tzw. pełny układ reszt modulo m tzn. każda z
warstw jest w nim reprezentowana dokładnie raz, (mamy pełny układ reprezentantów). Z
dalszych własności łatwo sprawdzić, że jeśli x przebiega pełny układ reszt modulo m oraz
(a, m) = 1, to również ax + b przebiega pełny układ reszt. My w dalszej części będziemy
się głównie posługiwać wypisanym wyżej zredukowanym (tzn. (x, m) = 1) układem reszt minimalnym dla reszt modulo m.
Oznaczenie: Zbiór wszystkich klas równoważności modulo m będziemy dalej oznaczać Zm . Często korzystając ze zredukowanego układu reprezentantów będziemy zapisywać:
Zm = {0, 1, . . . , m − 1}.
Kolejna bardzo istotna dla dalszego ciągu uwaga, to fakt, że relacja przystawania modulo, jak łatwo sprawdzić jest zgodna z działaniami dodawania i mnożenia, co pozwoli dalej
określić poprawnie takie właśnie działania na zbiorze Zm . Konkretnie mówią nam o tym
własności...
Własność 3.1.3 (własność zgodności z działaniami). Z: m ∈ N? , x, y, x0 , y 0 ∈ Z takie, że
x ≡ x0 ( mod m) i y ≡ y 0 ( mod m).
T: (1) x ± y ≡ x0 ± y 0 ( mod m),
25
26
Kongruencje i ich własności (I)
(2) xy ≡ x0 y 0 (q mod m),
Własność ta oznacza, że na zbiorze klas równoważności możemy w poprawy sposób
określić działania dodawania i mnożenia przenosząc ich własności algebraiczne z działań
dodawania i mnożenia z pierścienia (Z, +, ·). Oznacza to, iż otrzymujemy w ten sposób
pierścień przemienny z 1: Zm .
Zauważmy jednocześnie, że z algebraicznego punktu widzenia utworzyliśmy ni mniej
ni więcej tylko pierścień ilorazowy. Rozważyliśmy bowiem ideał (m) = mZ oraz relację
równoważności względem (mZ, +) i otrzymaliśmy w ten sposób grupę/pierścień ilorazowy.
Własność 3.1.4 (podstawowe własności kongruencji). (1) Jeśli x, y - liczby całkowite,
a, m ∈ N, to x ≡ y(mod m) ⇐⇒ ax ≡ ay(mod am)
(2) Niech x, y - liczby całkowite, a - niezerowa liczby całkowita, m ∈ N. Wtedy:
m
ax ≡ ay(mod m) ⇐⇒ x ≡ y mod
(a, m)
(3) Jeśli x1 , . . . , xr ∈ Z, k ∈ Z względnie pierwsza z xi dla i = 1, . . . , r, to k jest
względnie pierwsza z iloczynem x1 · . . . · xr .
(4) Jeśli x1 , . . . , xr ∈ Z? , k ∈ Z taka, że xi |k dla każdego i = 1, . . . , r, to [x1 , . . . , xr ]|k,
(5) Jeśli x1 , . . . , xr ∈ Z? - parami względnie pierwsze, k ∈ Z taka, że xi |k dla każdego
i = 1, . . . , r, to x1 · . . . · xr |k.
Dowód. (2) Jeśli ax ≡ ay(mod m), to a(x − y) = sm dla pewnej liczby całkowitej m. To
oznacza, że
m
a
=s
.
(x − y)
(a, m)
(a, m)
a
m
m
Ponieważ (a,m)
, (a,m)
= 1 więc musi być (a,m)
|(x − y) co daje tezę w tę stronę.
am
m
Odwrotnie, jeśli x ≡ y(mod a,m
) to ax ≡ ay(mod (a,m)
) po przemnożeniu obu stron
przez a. Ale (a, m) dzieli a tak więc ta kongruencja oznacza, że ax − ay = tm dla pewnego
t, co daje tezę.
Wniosek 3.1.5. Jeśli (a, m) = 1 to ax ≡ ay(mod m) ⇐⇒ x ≡ y(mod m).
Własność 3.1.6 (przykład zastosowania). (1) Liczba naturalna m jest podzielna przez
k = 3, 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna odpowiednio przez k = 3, 9
Ćwiczenie: Znaleźć zasadę podzielności przez 11.
Dowód. Zapiszmy m w dziesiętnym układzie pozycyjnym jako n = ak 10k + ak−1 10k−1 +
. . . + a1 10 + a0 . Ponieważ 10 ≡ 1(mod 9) więc mamy 10j ≡ 1(mod 9). Stąd mamy n =
ak 10k + ak−1 10k−1 + . . . + a1 10 + a0 ≡ ak + . . . + a1 + a0 (mod 9).
3.2. Równania i układy równań liniowych kongruencji
3.2
27
Równania i układy równań liniowych kongruencji
Przejdziemy teraz do rozważania równań oraz układów równań kongruencyjnych.
Zauważmy najpierw, że łatwo sprawdzić kiedy jedno równanie postaci ax ≡ b(mod m)
posiada rozwiązanie całkowite: wprost z definicji warunkiem koniecznym i wystarczającym
na podstawie tożsamości Bezouta jest, aby (a, m)|b.
Zachodzi następująca własność:
Własność 3.2.1 (rozwiązania liniowego równania kongruencyjnego). Niech a, b ∈ Z, m ∈
N. Wtedy:
(1) Równanie ax ≡ b(mod m) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy (a, m)|b,
(2) Jeśli równanie z (1) ma rozwiązanie to posiada ono (a, m) różnych rozwiązań modulo
m (tzn. nieprzystających do siebie modulo m).
Dowód. Nasze równanie jest równoważne równaniu diofantycznemu ax + my = b, które jak
wiemy ma rozwiązania postaci x = x0 + mt/d, y = y0 − at/d gdzie d = (a, m), t ∈ Z oraz
ax0 + my0 = b. Gdy t przyjmuje wartości t = 0, 1, . . . , ((a, m) − 1) to otrzymujemy (a, m)
nieprzystających do siebie modulo m rozwiązań, ponieważ moduł ich różnicy jest mniejszy
od m. Gdy x = x0 + nt0 /d jest innym rozwiązaniem to możemy zapisać t0 = qd + r gdzie
0 6 r < d. Wtedy jednak:
x = x0 + n(qd + r)/d = x0 + nq + nr/d = x0 + nr/d(mod m).
Stąd każde rozwiązanie naszego równania przystaje modulo m do dokładnie jednego z d
wartości x0 + mt/d, gdzie 0 6 t 6 d − 1, czyli jeśli jakieś rozwiązanie istnieje to rozwiązań
różnych modulo m jest d.
Nas interesować będzie teraz poszukiwanie rozwiązania układów równań kongruencyjnych, (liniowych). Podstawowym tutaj twierdzeniem jest wspomniane w tytule chińskie
twierdzenie o resztach.
Twierdzenie 3.2.1 (chińskie o resztach, TCR). Z: m1 , . . . , mr ∈ N? - parami względnie
pierwsze, k1 , . . . , kr ∈ Z.
T: (1) Istnieje l ∈ Z takie, że l ≡ ki (mod mi ) dla każdego i = 1, . . . , r.
(2) Jeśli l, l0 spełniają (1), to l ≡ l0 (mod m) gdzie m = m1 · . . . · mr .
Dowód. Niech m := m1 · . . . · mr oraz si := mmi . Wtedy si jest iloczynem liczb mj dla
j 6= i wobec tego jest iloczynem liczb względnie pierwszych z mi . Z Własności ... wynika, że
również mi i si są względnie pierwsze. Wobec tego istnieją a1 , . . . , ar , b1 , . . . , br ∈ Z takie,
że
ai mi + bi si = 1 dla i = 1, . . . , r.
Określmy teraz l := k1 (b1 s1 ) + . . . + kr (br sr ). Wykażemy, że takie właśnie l spełnia warunki
tezy.
28
Kongruencje i ich własności (I)
Ustalmy i0 ∈ {1, . . . , r}. Wtedy
l − ki0 = k1 (b1 s1 ) + . . . + ki0 (bi0 si0 − 1) + . . . + kr (br sr ).
Ale mi0 |ai0 mi0 = 1 − bi0 si0 oraz si dla i 6= i0 są podzielne przez mi0 czyli l ≡ ki0 (mod mi0 ),
czego oczekiwaliśmy.
Niech teraz l0 spełnia również tę kongruencję, to oznacza, że l0 − l jest podzielne przez
każde mi . Wobec tego z Własności ... wynika, że l0 −l jest podzielne przez iloczyn m1 ·. . .·mr
i mamy tezę.
Zauważmy przy okazji, że dowód twierdzenia chińskiego o resztach dostarcza nam konkretnego algorytmu znajdowania rozwiązania układu kongruencji.
Przykład 3.2.2 (Przykład zastosowania TCR:).


x ≡ 2 (mod
x ≡ 3 (mod


x ≡ 1 (mod
Rozwiązać układ kongruencji:
3)
5)
7)
Podać rozwiązanie ogólne oraz znaleźć najmniejszą liczbę naturalną będącą rozwiązaniem
szczególnym.
Co zrobić, gdy moduły kongruencji nie są parami względnie pierwsze ? Oczywiście zawsze
można sprowadzić układ do sytuacji, gdy moduły kongruencji są potęgami liczb pierwszych,
a następnie ”pozbyć” się zbędnych potęg, (o ile oczywiście układ otrzymany nie okazuje się
sprzeczny). Można też stosować metody, które pozwalają na rozwiązywanie takich układów
bez ich wcześniejszego sprowadzania do sytuacji parami względnie pierwszych modułów
kongruencji.
Przykład 3.2.3.


x ≡ 7 (mod 8)
x ≡ 9 (mod 10)


x ≡ 14 (mod 15)
Układ ten jest równoważny układowi


x ≡ 7 (mod 8)
x ≡ 4 (mod 5)


x ≡ 2 (mod 3)
Możemy też startowy układ, (bez jego równoważnego przekształcania) rozwiązać następująco: x = 7 + 8k, czyli 7 + 8k ≡ 9 (mod 10) skąd 8k ≡ 2 (mod 10) co daje 4k ≡ 1 (mod 5).
Mnożymy obie strony kongruencji przez 4 i mamy k ≡ 4 (mod 5), skąd k = 4 + 5l i
x = 39 + 40l. Podstawiamy do ostatniego równania i dostajemy 39 + 40l ≡ 14 (mod 15),
skąd 10l ≡ 5 (mod 5) co jest równoważne 2l ≡ 1 (mod 3). Mnożąc przez 2 mamy wreszcie
l = 2 + 3s i ostatecznie x = 119 + 120s, s ∈ Z.
Oczywiście w przypadku tego akurat układu łatwo zgadnąć jedno z rozwiązań, ale nie
zawsze jest to od razu możliwe:)
3.3. Zadania zestaw 2
29
J ako genezę chińskiego twierdzenia o resztach uważa się następujący problem, który
napotkać można w podręczniku arytmetyki napisanym przez chińskiego matematyka Sunzi
(Sun Tsu) (1257 ??- można się tu spotkać z dość rozbieżnymi datami): Mamy zbiór pewnych ustalonych rzeczy, których liczba nie jest znana. Gdy ich liczbę podzielimy przez 3
dostaniemy resztę 2 (ustawiamy te rzeczy trójkami - na końcu zostaje nam dwójka), gdy
dzielimy przez 5 zostaje nam 3, gdy dzielimy je przez 7 zostaje nam 2. Ile jest tych rzeczy
?.
Oystein Ore w ”Number theory and its history” wspomina o innej zagadce pochodzącej
od Brahmagupta:
Stara kobieta podąża na targ z koszem jajek. W drodze zdarza się wypadek i koń następuje na kosz, niszcząc jajka. Jeździec oferuje się zapłacić za szkody i pyta kobietę ile jajek
miała. Niestety kobieta nie pamięta dokładnie ilości. Kiedy jednak wyjmowała je po dwa
na raz to pozostawało jedno jajko. Tak samo zdarzało się, gdy wyjmowała po trzy, cztery,
pięć i sześć. Gdy jednak wyjmowała po siedem nie zostało na końcu nic. Jaką najmniejszą
liczbę jajek mogła mieć w koszyku ?
Ogólnie na takie mniej lub bardziej interesujące zagadki odpowiada udowodnione przez
nas wyżej TCR. Twierdzenie to wykorzystywali m.in. chińscy generałowie przy zliczaniu
liczby wojsk chińskiej armii. W Europie TCR stało się szczególnie znane dzięki artykułowi
”Jotting on the science of Chinese arithmetic” autorstwa Alexandra Wylie’a z 1853 roku.
Warto dodać, że istnieje wiele różnych uogólnień TCR, (wspomnieć można by chociaż o
zastosowaniach w problemach interpolacyjnych wersji wielomianowej zaproponowanej przez
Legendre’a).
Własność 3.2.4 (zastosowanie). Niech n = n1 n2 będzie rozkładem liczby n na czynniki
względnie pierwsze większe od 2. Wtedy równanie x2 ≡ 1(mod n) ma co najmniej cztery
rozwiązania modulo n
Dowód. Rozważmy cztery różne pary kongruencji x ≡ ±1(mod n1 ), x ≡ ±1(mod n2 ).
Każda z tych par ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo n na podstawie TCR co daje 4
różne klasy modulo n. W każdym przypadku x2 − 1 jest podzielne i przez n1 i przez n2 a
jako, że obie są względnie pierwsze to mamy podzielność przez n. Uwaga: dzięki temu, że
ni > 3 mamy zapewnione, że 1 i −1 nie przystają do siebie modulo ni .
3.3
Zadania zestaw 2
Zadanie 21. Sprawdzić, które z poniższych kongruencji mają rozwiązanie. W przypadku
gdy rozwiązanie istnieje znaleźć liczbę nie przystających do siebie rozwiązań:
(1) 8x ≡ 10(mod 6),
(2) 2x ≡ 3(mod 4),
(3) 4x ≡ 7(mod 5),
(4) 12x ≡ 48(mod 18)
Zadanie 22. Sprawdzić, czy istnieje całkowite rozwiązanie równań:
(a) 18x ≡ 1(mod 25), (b) 12x ≡ 33(mod 57).
(c) 12x ≡ 7(mod 21), (d) 12x ≡ 7(mod 84), (e) 12x ≡ 7(mod 73).
30
Kongruencje i ich własności (I)
Zadanie 23. Poniższe układy równań sprowadzić do postaci równoważnej takiej by moduły
kongruencji były parami względnie pierwsze. Jeśli układ posiada rozwiązanie, to podać jego
postać ogólną oraz największe rozwiązanie ujemne.


 x ≡ 7, mod 12
 x ≡ 21, mod 24
x ≡ 10, mod 15
x ≡ 24, mod 18
(I)
(II)


x ≡ 8, mod 14
x ≡ 18, mod 21

 x ≡ 15,
x ≡ 12,
(III)

x ≡ 21,

 x ≡ 10,
x ≡ 8,
(V)

x ≡ 5,
mod 18
mod 15
mod 24
mod 12
mod 10
mod 7

 x ≡ 11,
x ≡ 5,
(IV)

x ≡ 20,

 x ≡ 5,
x ≡ 19,
(VI)

x ≡ 4,
mod 16
mod 10
mod 25
mod 6
mod 21
mod 5
Zadanie 24. Pięciu żeglarzy i jedna małpa utknęło na bezludnej wyspie. W ciągu dnia zebrali
oni pewną ilość kokosów do jedzenia. Postanowili podzielić się nimi rankiem a najpierw
pójść się przespać. Podczas gdy inni spali jeden z żeglarzy wstał i podzielił kokosy na 5
równolicznych stosów - pozostał jeden kokos osobno, którego rzucił małpie. Zabrał jeden
ze stosów i ukrył dla siebie, pozostałe z powrotem uporządkował razem, zostawił i poszedł
spać. Niedługo później wstał drugi żeglarz - ponownie podzielił to co zostało na 5 stosów,
ponownie pozostał mu jeden kokos, który dostała małpa. Znów zabrał swoją część i znów
uporządkował resztę. Dalej historia się powtarzała aż wreszcie nad rankiem podzielili to co
zostało między siebie w równych częściach - znów pozostał jeden kokos, który rzucili małpie.
Znaleźć najmniejszą możliwą liczbę kokosów jaką zebrali na początku.
Zadanie 25. Diophantus lived in Alexandria around A.D. 250. Not much is known about his
life or nationality, except what is found in an epigram in the Greek Anthology: “Diophantus
passed one-sixth of his life in childhood, one-twentieth in youth, and one-seventh more as a
bachelor. Five years after his marriage was born a son who died four years before his father,
at half his father’s age (at the time of the father’s death).” Ile lat żył Diofantos ?
Zadanie 26. Udowodnić, że a · b = [a, b](a, b) dla dowolnych a, b ∈ N,
Odpowiedzieć na pytanie, czy prawdą jest, że a · b · c = [a, b, c](a, b, c) gdy a, b, c ∈ Z.
Zadanie 27. Udowodnić, że jeśli a ∈ {0, . . . , m − 1} gdzie m ∈ N to istnieje x ∈ Z takie,
że ax ≡ 1(mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) = 1.
Zadanie 28. (a) Uzasadnić, że jeśli k > 5 to k! ≡ 0(mod 15)
(b) Znaleźć resztę z dzielenia 1! + 2! + . . . + 100! przez 15
Zadanie 29. Znaleźć resztę z dzielenia 1653 przez 7 oraz resztę z dzielenia 3247 przez 17.
1999
Zadanie 30. Znaleźć cyfrę dziesiątek dla liczby 19971998
Zadanie 31. Wykazać, że liczba 11 · 14n + 1 jest liczbą złożoną.
3.4. Algebraiczne własności działań w Zm
31
Zadanie 32. Czy prawdą jest, że jeśli a2 ≡ b2 (mod m) to a ≡ b(mod m) gdzie a, b ∈ Z zaś
m∈N?
Zadanie 33. Wykazać, że kwadrat liczby nieparzystej całkowitej przystaje do 1 modulo 4.
Zadanie 34. Wykazać, że dla dowolnego n ∈ N zachodzi: n4 + 2n3 + n2 ≡ 0(mod 4).
Zadanie 35. Wykazać, że każda liczba pierwsza większa od 3 przystaje do ±1 modulo 6.
3.4
Algebraiczne własności działań w Zm
Dzięki własności 3.1.3 możemy na Zm wprowadzić dwa podstawowe działania na klasach
abstrakcji.
Definicja 3.4.1 (dodawanie i mnożenie w Zm ). Niech k, l ∈ Zm . Wtedy określamy:
k + l := k +m l := (k + l)(mod m),
k · l := k ·m l := (k · l)(mod m)
i działania te nazwiemy odpowiednio dodawaniem i mnożeniem modulo m.
W tej krótkiej części uzasadnimy podstawowe własności działań modulo, które kiedyś
pozwolą nam stwierdzić, że Zm z działaniami dodawania i mnożenia modulo m tworzy
pierścień.
Własność 3.4.2 (algebraiczne własności działań modulo). Działania dodawania i mnożenia
modulo m wykonywane są działaniami łącznymi i przemiennymi na Zm tzn.
(1) ∀ k, l, n ∈ Zm : (k +m l) +m n = k +m (l +m n),
(2) ∀ k, l ∈ Zm : k +m l = l +m k,
3.5
(k ·m l) ·m n = k ·m (l ·m n)
k ·m l = l ·m k
Funkcja Eulera - własności i zastosowania
Definicja funkcji Eulera
Zaczniemy od zapoznania się z jedną z ważniejszych w zastosowaniach, (w szczególności w
teorii grup oraz dalej m.in. w teorii ciał, teorii Galois) funkcją arytmetyczną 1 . Funkcję tę
można definiować na różne sposoby, ale postawimy tu standardową definicję teorioliczbową.
Definicja 3.5.1 (funkcja Eulera). Niech ϕ : N −→ N będzie funkcją
przypisującą liczbie n liczbę względnie pierwszych z nią liczb całkowitych
k ∈ [0, n). Funkcję ϕ nazywamy funkcją Eulera.
Własność 3.5.2 (podstawowe własności ϕ). (1) ϕ(1) = 1, (zero jest względnie pierwsze z
jedynką).
(1 )funkcja o dziedzinie N i wartościach zespolonych
32
Kongruencje i ich własności (I)
(2) Niech p - liczba pierwsza. Wtedy: ϕ(p) = p − 1 = p(1 − p1 ), (tylko zero nie jest
względnie pierwsze z p).
(3) Niech p - liczba pierwsza, k ∈ N. Wtedy ϕ(pk ) = pk − pk−1 = pk (1 − p1 ), gdyż mamy
pk−1 liczb całkowitych takich, że 0 6 l < pk , które są podzielne przez p
(4) ϕ(n) = liczba elementów odwracalnych w pierścieniu Zn
Udowodnimy teraz, że funkcja ϕ jest funkcją multliplikatywną (uwaga: nie jest to funkcja
całkowicie multiplikatywna - tzn. jej multiplikatywność ogranicza się do względnie pierwszych argumentów, takie rozróżnienie w teorii liczb jest bardzo ważne). W dowodzie wykorzystamy twierdzenie chińskie o resztach.
Twierdzenie 3.5.1 (multiplikatywność funkcji ϕ). Niech m, n ∈ N - względnie pierwsze.
Wtedy zachodzi: ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
Dowód. Niech I := {k ∈ [0, m) : (k, m) = 1}, J := {l ∈ [0, n) : (l, n) = 1}
A := {s ∈ [0, m · n) : (s, m · n) = 1}.
Wtedy oczywiście #(I × J) = ϕ(m)ϕ(n), zaś #(A) = ϕ(mn). Skonstruujemy bijekcję
między zbiorami I × J i A.
Zgodnie z twierdzeniem chińskim o resztach dla dowolnej pary liczb (k, l) ∈ I ×J istnieje
dokładnie jedna liczba zk,l taka, że 0 6 zk,l < mn oraz
(
zk,l ≡ k(mod m)
zk,l ≡ l (mod n)
(jedyność wynika z żądania, aby 0 6 zk,l < mn). Liczba ta jest względnie pierwsza z m (bo
k była) oraz z n (bo l była) stąd jest względnie pierwsza z mn.
Mamy więc dobrze określone odwzorowanie:
Φ : I × J 3 (k, l) −→ zk,l ∈ A.
(1) Φ jest injekcją.
Niech bowiem zk,l = zk0 ,l0 i na przykład 0 6 k < k 0 < m. Wtedy m|(zk,l −k) i m|(zk,l −k 0 )
skąd m|(k 0 − k), co prowadzi do sprzeczności.
(2) Φ jest surjekcją.
Jeśli bowiem z ∈ A, to z = Φ(k, l) gdzie k := z(mod m) zaś l := z(mod n). Łatwo
sprawdzić, że (k, l) ∈ I × J.
Wobec tego ϕ(m)ϕ(n) = #(I) · #(J) = #(I × J) = #(A) = ϕ(mn).
Wniosek 3.5.3 (wzór na ϕ). ϕ(n) = n
Q
p|n, p∈P
1−
1
p
, dla dowolnego n ∈ N.
3.5. Funkcja Eulera - własności i zastosowania
33
P
Własność 3.5.4. Niech n ∈ N, ϕ - funkcja Eulera. Wtedy
ϕ(d) = n.
d∈N,d|n
Dowód. Zauważmy, że n to moc zbioru A = {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Rozbijemy zbiór A na sumę
rozłącznych podzbiorów mocy ϕ(d), po wszystkich naturalnych dzielnikach d liczby n.
Dla 0 < d, d|n określmy Nd := {x ∈ AS: (x, n) = ndP
}. Zbiory te stanowią rozbicie A
na zbiory rozłączne, więc n = #A = #(
Nd ) =
#Nd . Wystarczy wobec tego
d|n, 0<d
d|n, 0<d
wykazać, że #Nd = ϕ(d).
Ustalmy d i zauważmy, że x ∈ Nd wtedy i tylko wtedy, gdy n =
pewnego k takiego, że 0 6 k < d (bo x < n) oraz (k, d) = 1, bo
wspólnym dzielnikiem x i n.
n
d
n
d
· d, x = nd · k, dla
jest największym
Wobec tego takich x-ów jest ϕ(d), czyli #Nd = ϕ(d).
MTF i twierdzenie Eulera-Fermata
Zaczniemy od sformułowania tzw. ”Małego Twierdzenia Fermata”, którego w tym momencie
dowodzić nie będziemy. W tej chwili wykorzystamy fakt, że dziś możemy na niego patrzeć
jak na wniosek z ogólniejszego twierdzenia Eulera, choć historycznie rzecz ujmując to MTF
było pierwszą udowodnioną własnością.
Twierdzenie 3.5.2 (Małe Twierdzenie Fermata). Niech p - liczba pierwsza, k ∈ Z. Wtedy
(1) Jeśli k jest wzgędnie pierwsza z p, to k p−1 ≡ 1(mod p) (2) k p ≡ k(mod p).
Uogólnieniem powyższej własności jest następne Twierdzenie Eulera (nazywane też
Twierdzeniem Eulera-Fermata), które wykorzystuje wprowadzone wcześniej pojęcie funkcji
Eulera.
Twierdzenie 3.5.3 (Euler). Niech m ∈ N, k ∈ Z - względnie pierwsza z m. Wtedy k ϕ(m) ≡
1(mod m).
Dowód. Jest to oczywiste gdy m = 1, wobec tego załóżmy, że m > 1.
Niech I := {j ∈ [0, m) : (j, m) = 1}. Wówczas #I = ϕ(m).
Jeśli j jest liczbą względnie pierwszą z m, to także kj ma tę własność. Dla każdego
j ∈ I istnieje 0 6 rj < m takie, że kj = mqj + rj , dla pewnego qj . Oczywiście z tej równości
wynika, że rj ∈ I. Zauważmy, że
I 3 j −→ rj ∈ I
jest bijekcją. Istotnie dla i < j ze zbioru I reszty ri , rj muszą być różne, gdyż w przeciwnym
wypadku k(j − i) = m(qj − qi ), czyli k(j − i) byłoby podzielne przez m - sprzeczność.
Q
Q
Wobec tego z =
j=
rj i jest to liczba względnie pierwsza z m. Otrzymujemy w
j∈I
j∈I
ten sposób układ ϕ(m) kongruencji kj ≡ rj (mod m).
34
Kongruencje i ich własności (I)
Mnożąc stronami kongruencje kj ≡ rj (mod m) dla wszystkich j ∈ I dostajemy:
k ϕ(m) z ≡ z(mod p)
gdzie z jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych z I. Ale z jest względnie pierwsza z m,
skąd mamy k ϕ(m) ≡ 1(mod m).
Jak widać, jeśli m jest liczbą pierwszą jak w Twierdzeniu Fermata, dostajemy dokładnie
tezę tego twierdzenia, gdyż ϕ(m) wtedy jest równe m − 1.
Wniosek 3.5.5. Jeśli a, m są względnie pierwsze to rozwiązanie kongruencji:
ax ≡ b(mod m)
jest dane wzorem:
x ≡ baϕ(m)−1 (mod m).
Małe Twierdzenie Fermata, (w skrócie dalej MTF) zostało sformułowane przez samego
Pierre’a de Fermat w liście datowanym na 18 października 1640 roku, którego adresatem
był jego przyjaciel i powiernik Frénicle de Bessy. Postawienie problemu brzmiało wówczas
następująco:
Liczba pierwsza p dzieli różnicę ap−1 − 1, gdy a jest liczbą względnie pierwszą z p.
Fermat, (jak to miał w zwyczaju) nie umieścił dowodu, a jedynie notkę:
” ...przesłałbym Ci dowód tej własności, gdyby nie fakt, że byłby on zapewne zbyt długi
by go tu umieścić ”.
Pierwszy dowód przypisuje się Eulerowi, ale trzeba pamiętać, że chodzi o pierwszą opublikowaną wersję dowodu. Rzeczywiście bowiem to do Eulera należy pierwsza taka publikacja, która pojawiła się w jego pracy z 1736 roku zatytułowanej: ”Theorematum Quorundam
ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio”, (o tym dowodzie szczegółowo można poczytać dalej: DE ). Jednak pozostawiony przez Leibniza 2 praktycznie taki sam dowód w
jego nieopublikowanym manuskrypcie, pochodzi ze znacznie wcześniejszego okresu, sprzed
1683 roku.
Skąd nazwa ”Małe Twierdzenie Fermata” ? Nie jest do końca jasne kto pierwszy tak
nazwał omawiane twierdzenie. Prawdopodobnie najwcześniejsze znane źródło, w którym
pojawia się taka nazwa pochodzi z 1913 roku i jest nim opublikowana w Zahlentheorie przez
Kurta Hensela3 praca w której czytamy: (interpretacja Twierdzenia Fermata w języku teorii
grup patrz G ):
” Jest też takie fundamentalne twierdzenie zachodzące dla każdej grupy skończonej zwyczajowo zwane Małym Twierdzenie Fermata, gdyż to Fermat właśnie był pierwszym, który
wykazał jego szczególny przypadek. ”
Omawiając twierdzenie Fermata nie sposób nie wspomnieć o tym, że podobne hipotezy
stawiane były przez akademików chińskich, (czasami nazywane są one właśnie ”hipotezami
chińskimi”) ok. 2500 lat temu. Przypuszczali oni, że liczba p jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy 2p ≡ 2(mod p). Jak obecnie wiadomo tylko wynikanie w jedną stronę jest prawdziwe,
(2 )Gottfried Wilhelm Leibniz, filozof i matematyk niemiecki, 1646-1716
(3 )Kurt Hensel, matematyk ur. w Prusach Wschodnich, 1861-1941
3.5. Funkcja Eulera - własności i zastosowania
35
a więc takie jakie poznajemy dzięki twierdzeniu Fermata. Jako przykład fałszywości odwrotnej implikacji mamy: 341 = 11 · 31 - liczbę, która spełnia kongruencję 2341 ≡ 2(mod 341)
ale nie jest pierwsza. Jest to jednocześnie najmniejsza liczba pseudopierwsza Fermata przy
bazie równej 2, (czyli właśnie taka, która spełnia założenia MTF dla a = 2) która nie jest
pierwsza. Fakt, iż takie liczby pojawiają się stosunkowo rzadko ma duże praktyczne znaczenie, jest wykorzystywany np. w konstrukcji klucza publicznego do algorytmu szyfrującego
RSA.
Przykłady:
(1) 3120 ≡ 1(mod 121) choć 121 = 112 , 3670 ≡ 1(mod 671) ale 671 = 11 · 61 itd.
Łatwo jednak odwrócić Małe Twierdzenie Fermata następująco:
Twierdzenie 3.5.4. Jeżeli dla każdej liczby całkowitej a niepodzielnej przez liczbę p > 1
zachodzi: ap−1 ≡ 1(mod p), to p jest liczbą pierwszą.
Dowód. Gdyby p > 1 nie była pierwsza, to p = mn, dla pewnych m, n dodatnich, mniejszych
od p. Oczywiście liczba m nie jest więc podzielna przez p. Jednocześnie nie może dla niej
zachodzić: mp−1 ≡ 1(mod p) bo gdyby tak było to mielibyśmy mp−1 ≡ 1(mod m), co jest
niemożliwe.
Twierdzenie 3.5.5 (Wilson). (1) Jeśli p jest liczbą pierwszą, to (p − 1)! ≡ −1(mod p)
(2) Jeśli p jest liczbą złożoną, p 6= 4, to (p − 1)! ≡ 0(mod p)
Dowód. (1) Dla p = 2 i p = 3 możemy to sprawdzić na palcach, załóżmy więc, że p > 3 i
rozważmy wszystkie liczby naturalne 2 6 n 6 p − 2. W pierścieniu Zp wszystkie elementy
niezerowe są jak wiadomo odwracalne (wszystkie są bowiem względnie pierwsze z p, Zp jest
ciałem !). Wobec tego każdy element n posiada element n−1 przy czym odwrotny do jedynki
to ona sama oraz odwrotny do p − 1 to też p − 1 (bo (p − 1)2 = p2 − 2p + 1 = 1(mod p).
Zauważmy, że są to jedyne elementy odwrotne same do siebie. Jeśli bowiem mamy n2 ≡
1(mod p) to p|(n−1)(n+1) a z pierwszości p: p|n−1 lub p|n+1 czyli albo n ≡ 1(mod p) albo
n ≡ (p − 1)(mod p). Wobec tego każde n możemy połączyć w parę z pewnym elementem z
zakresu [2, p − 2] który jest do niego odwrotny i przemnożenie ich wszystkich daje 1. Inaczej
mówiąc:
2 · 3 · . . . · (p − 2) ≡ 1(mod p)
Inaczej
!
(p − 1)! ≡ 1 ·
Y
j
· (p − 1) ≡ 1 · 1 · (p − 1) ≡ −1(mod p).
26a6p−2
(2) Przypuśćmy teraz, że n jest liczbą złożoną, chcemy pokazać, że nie zachodzi nasza
kongruencja. Niech n = rs dla r 6= s, r < n, s < n - oznacza to, że liczby r, s występują w
liczbach mnożonych do otrzymania (n − 1)! i wobec tego n|(n − 1)! czyli (n − 1)! ≡ 0(mod n)
i to kończy nasz dowód.
Pozostaje przypadek gdy n = p2 gdzie p jest liczbą pierwszą. Jeśli n > 2p, to p·2p|(n−1)!
i znów mamy (n − 1)! ≡ 0(mod n). Pozstaje więc sytuacja n 6 2p, czyli p2 6 2p skąd p 6 2
36
Kongruencje i ich własności (I)
skąd oczywiście p = 2. Ale wtedy n = 4 i 3! ≡ 2(mod 4). Jak widać tak naprawdę zawsze
gdy n - złożona mamy (n − 1)! ≡ 0(mod n) poza przypadkiem n = 4.
Pytanie: Załóżmy, że mamy n > 1 i niech a1 , . . . , ak to liczby od 1 do n względnie
pierwsze z n. Ile wynosi ich iloczyn ? (1 albo −1)
W ”Meditationes Algebraicae” Edwarda Waringa opublikowanym w Cambridge w 1770
roku znaleźć można wzmianki o niektórych własnościach teorioliczbowych. Między innymi
znajduje się też następująca własność: dla dowolnej liczby pierwszej p ułamek
1 · 2 · . . . · (p − 1) + 1
p
jest liczbą całkowitą.
Istnieje uogólnienie twierdzenia Wilsona podane przez Gaussa następujące:
Twierdzenie 3.5.6. Dla liczby naturalnej m iloczyn P reszt modulo m względnie pierwszych
z m spełnia kongruencję:
P ≡ ±1(mod m)
W kongruencji tej wartość +1 występuje we wszystkich przypadkach za wyjątkiem:
1. m = 4,
2 m = pβ - potęga nieparzystej liczby pierwszej,
3. m = 2pβ - podwojona potęga nieparzystej liczby pierwszej.
Na przykład dla p = 13 mamy 6! ≡ 5(mod 13) i 52 + 1 ≡ 0(mod 13).
Liczby spełniające kongruencję an−1 ≡ 1(mod p) przy a i n względnie pierwszych nazywa
się liczbami pseudopierwszymi, (nazwę tę wprowadził w swojej pracy S.Sispanov, dowodząc
jednocześnie pewne warunki równoważne na pseudopierwszość związane z postacią rozkładu
danej liczby na liczby pierwsze 4 )
3.6
Zadania zestaw 3
Zadanie 36. (1) Wykorzystując MTF wykazać, że dla każdej liczby pierwszej p > 5 liczba
240 dzieli p4 − 1.
(2) Wykorzystująć MTF znaleźć resztę dzielenia 241947 przez 17.
Zadanie 37. (1) Znaleźć odwrotność 12 modulo 7.
(2) Rozwiązać równanie 24x ≡ 11(mod 17).
Zadanie 38. Wyznaczyć ilość liczb 0 < a < 240, które nie są względnie pierwsze z 240.
Zadanie 39. Wykorzystując twierdzenie Eulera wyliczyć 2451040 (mod 18), 311 (mod 26),
1992020 (mod 28) oraz 237777 (mod 10).
(4 )S.Sispánov 1941, ”Sobre los numeros pseudo-primos”, Boletin Matetmatico 14, 1941, 99-106
3.6. Zadania zestaw 3
37
11
Zadanie 40. Wyliczyć 36·7 (mod 711 ) oraz 1711 (mod 36).
Zadanie 41. Wyliczyć ϕ(36) oraz znaleźć resztę z dzielenia 517 + 4 przez 6.
Zadanie 42. Uprościć wyrażenie 11169 (mod 24).
17
Zadanie 43. Wyliczyć 1717 (mod 10).
Zadanie 44. Udowodnić, że 11104 + 1 dzieli się przez 17.
Zadanie 45. Udowodnić, bez stosowania indukcji, że dla każdej liczby naturalnej n5 − n
jest podzielna przez 30.
Zadanie 46. Wyliczyć 523 (mod 72).
Zadanie 47. Niech a1 := 4, an+1 := 4an −1 . Znaleźć resztę z dzielenia a100 przez 7.
Rozdział 4
Liczbowe struktury algebraiczne
4.1
Podstawowe struktury algebraiczne
Definicja 4.1.1 (działanie). Niech X będzie zbiorem niepustym, zaś X × X := {(x, y) :
x ∈ X, y ∈ X} iloczynem kartezjańskim tego zbioru przez siebie. Każde odwzorowanie
przypisujące parze elementów z X, (czyli elementowi z X × X) element z X:
? : X × X 3 (x, y) −→ x ? y ∈ X
nazywamy działaniem na zbiorze X. (1 )
Przykład 4.1.2. (i) R × R 3 (x, y) −→ x · y ∈ R jest działaniem na zbiorze liczb rzeczywistych, (iloczyn liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą)
(ii) N × N 3 (x, y) −→ x − y ∈ Z NIE jest działaniem na zbiorze N gdyż może parze liczb
naturalnych przypisać liczbę ujemną.
Definicja 4.1.3 (rodzaje działań). Niech ? : X ×X 3 (x, y) −→ x?y ∈ X będzie działaniem
na zbiorze X.
(i) Działanie ’?’ nazywamy łącznym gdy ∀ x, y, z ∈ X : (x ? y) ? z = x ? (y ? z)
(ii) Działanie ’?’ nazywamy przemiennym gdy ∀ x, y ∈ X : x ? y = y ? x
(iii) Element e ∈ X nazywamy elementem neutralnym działania ’?’ gdy ∀ x ∈ X :
x ? e = e ? x = x (2 )
(iv) Jeśli dla działania ’?’ istnieje element neutralny e, to dla dowolnego x ∈ X element x
nazywamy elementem symetrycznym do elementu x względem działania ’?’ jeśli
x ? x = x ? x = e, (3 )
(v) Jeśli na zbiorze X zadane są dwa działania: ? oraz • to działanie • nazywamy rozdzielnym względem działania ? gdy:
∀ x, y, z ∈ X : (x ? y) • z = (x • z) ? (y • z) i z • (x ? y) = (z • x) ? (z • y)
(1 )czasem fakt, że para punktów z X przechodzi na punkt z X nazywa się wewnętrznością działania
(2 )uwaga: element neutralny nie zawsze musi istnieć, np. w N nie istnieje element neutralny dodawania
(3 )uwaga: element symetryczny może dla pewnych elementów istnieć, dla innych nie np. w zbiorze Z z
działaniem mnożenia dla 1 element symetryczny istnieje ale nie istnieje np. dla 2
38
4.1. Podstawowe struktury algebraiczne
39
I. Kanoniczne przykłady liczbowe działań
(1) Działania dodawania wprowadzone na zbiorach N, Z, Q, R, C.
(2) Działania mnożenia wprowadzone na zbiorach Z? , Q? , R? , C? .
II. Działania w zbiorach macierzy
Bardzo ważnym typem działania jest działanie mnożenia w tzw. zbiorach macierzy. Będziemy rozważać dwa podstawowe działania na macierzach, które znają Państwo z algebry
liniowej. Najczęściej pracować będziemy z macierzami o wartościach liczbowych, (tzn. całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych).
Zbiór wszystkim macierzy kwadratowych wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym A
będziemy oznaczać przez Mn (A). Na zbiorze tym rozważać będziemy działanie dodawania
macierzy.
Zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych 4 wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym
A oznaczać będziemy GLn (A). W zbiorze tym rozważać będziemy działanie mnożenia macierzy.
III. Zbiory odwzorowań i działania na nich
Definicja 4.1.4 (permutacje zbioru). Jeśli X jest zbiorem niepustym, zaś f : X −→ X jest
bijekcją zbioru X na samego siebie to odwzorowanie takie będziemy nazywać permutacją
zbioru X.
Zbiór wszystkich permutacji zbioru X będziemy oznaczać przez S(X).
Szczególnym przypadkiem permutacji są permutacje zbioru skończonego.
Definicja 4.1.5 (permutacje). Rozważmy zbiór n-elementowy: {1, 2, . . . , n}. Każde odwzorowanie tego zbioru przypisujące jego elementowi dokładnie jeden element tego zbioru nazywać będziemy permutacją zbioru {1, . . . , n} i zwyczajowo oznaczać będziemy takie
odwzorowania przez greckie literki np. σ
Każde z takich odwozorowań oznaczać będziemy dalej następująco:
1
2
...
n
σ=
σ(1) σ(2) . . . σ(n)
gdzie oznaczenie to mówi, że nasze odwzorowanie σ przeprowadza 1 na σ(1), 2 na σ(2) itd.
aż do n na σ(n).
Zbiór permutacji zbioru X będziemy zawsze rozważać z działaniem składania tzn.
g ? f := g ◦ f .
Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, . . . , n} będziemy dalej oznaczać przez Sn .
Tabela działania na zbiorze
(4 )Pamiętamy, że macierz nieosobliwa to macierz o wyznaczniku różnym od zera
40
Liczbowe struktury algebraiczne
Częstym sposobem zapisu działania na zbiorze skończonym jest tabela
tego działania - tzw. tabliczka Cayleya. Arthur Cayley - matematyk i
prawnik angielski (1821-1895) znany m.in. z prac na temat teorii grup,
o której zaczniemy mówić na kolejnym wykładzie. Od niego pochodzi
m.in. dowód faktu, że każda grupa (zbiór z działaniem łącznym, dla
którego istnieje element neutralny i każdy z elementów posiada symetryczny) może być traktowana jako ’część’ grupy permutacji.
Ułóżmy dla przykładu tabelę działania w grupie permutacji:
Tabela działania składania/mnożenia permutacji
3 elementowych
1 2 3
S3 = {σ1 , σ2 , . . . , σ6 } gdzie σ1 = id, σ2 =
, σ3 =
2
1
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, σ4 =
, σ5 =
, σ6 =
3 2 1
1 3 2
3 1 2
2 3 1
◦
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
σ1
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
σ2
σ2
σ1
σ6
σ5
σ4
σ3
σ3
σ3
σ5
σ1
σ6
σ2
σ4
σ4
σ4
σ6
σ5
σ1
σ3
σ2
σ5
σ5
σ3
σ4
σ2
σ6
σ1
σ6
σ6
σ4
σ2
σ3
σ1
σ5
(?) Tabela działania mnożenia modulo 5 w Z?5 = {1, 2, 3, 4}
?
1
2
3
4
4.2
1
1
2
3
4
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
4
3
2
1
Struktura grupy i jej podstruktura
Definicja 4.2.1 (grupa). Niech G będzie zbiorem niepustym, zaś
? : G × G 3 (x, y) −→ x ? y ∈ G
działaniem (4.1.1) na G, dla którego zachodzą następujące własności:
(1) jest ono łączne,
(2) posiada element neutralny e ∈ G,
(3) każdy element x ∈ G posiada element symetryczny x ∈ G.
Wtedy parę (G, ?) nazywamy grupą z działaniem ?. Jeśli nie będzie to prowadziło do
nieporozumień będziemy często pisali po prostu grupa G zamiast grupa (G, ?). W domyśle
jednak grupa jest zawsze zbiorem wraz z działaniem.
4.2. Struktura grupy i jej podstruktura
41
Jeśli dodatkowo działanie ? jest przemienne grupę nazywamy przemienną lub abelową.
Uwaga 4.2.2. (i) Jeśli określone na G działanie spełnia jedynie warunek łączności, to
parę (G, ?) nazywamy półgrupą
(ii) Jeśli (G, ?) jest półgrupą i dodatkowo istnieje w G element neutralny działania ? to
(G, ?) nazywamy monoidem
Definicja 4.2.3 (rząd grupy). O grupie G mówimy, że jest skończona, gdy zbiór G ma
skończoną ilość elementów. Wówczas ilość tę, czyli #G nazywamy rzędem grupy G i
oznaczamy |G|.
Jeśli zbiór G ma nieskończoną ilość elementów, to mówimy, że G jest grupą o rzędzie
nieskończonym i piszemy: |G| = ∞.
Przykład 4.2.4. (i) (Z, +), (Q, +), (R, +), C, +)
liczba przeciwna - grupy abelowe.
(ii) (Q? , ·), (R? , ·), (C? , ·)
abelowe z mnożeniem.
e = 0, element symetryczny =
e = 1, element symetryczny = odwrotność liczby, - grupy
(iii) Grupy reszt modulo:
(Zn , +n ), gdzie [k]n +n [l]n := [k + l]n - grupa abelowa.
(Z?n , ·n ), gdzie [k]n ·n [l]n := [k · l]n - grupa abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy n ∈ P,
(U (Zn ), ·n ) - grupa reszt modulo n liczb względnie pierwszych z n (tzn. takich, których
największy wspólny dzielnik z n jest równy 1).
W dalszej części wykładu, jeśli będziemy mieć do czynienia z elementami zbioru Zn to
ich dodawanie i mnożenie oznaczać będziemy zwykłymi znakami: ”+” i ”·” pamiętając
o tym, że oznacza to wykonywanie tych działań modulo n.
(iv) Grupy macierzy: (Mn (G), +) - grupa macierzy kwadratowych wymiaru n o wspøłczynnikach z G, gdzie G oznacza grupy addytywne Z, Q, R lub C, (działanie: dodawanie
macierzy).
Jeśli F = Q, R, C to (GLn (F ), ·) - grupa nieosobliwych macierzy kwadratowych wymiaru n o współczynnikach z F ,
(v) Grupy symetryczne (ogólne grupy permutacji):
Niech E 6= ∅ oraz S(E) := SE := {f : E −→ E : f bijekcja}. Wtedy (SE , ◦) jest grupą
nazywaną grupą symetryczną.
Dla E := {1, . . . , n} grupę SE oznaczamy Sn i nazywamy grupą permutacji nelementowych. Elementy grupy Sn nazywamy permutacjami i zazwyczaj oznaczamy
małymi literami greckimi. (5 )
(5 )Taka notacja przyjęła się za klasycznym podręcznikiem H.Wielandta,F inite Permutation Groups, Academic Press, New York, 1964
42
Liczbowe struktury algebraiczne
W przypadku gdy E jest zbiorem n-elementowym grupę SE oznaczać będziemy przez
Sn - grupa permutacji n-elementowych.
Warto pamiętać, że często pod pojęciem ”grupy permutacji” rozumie się dowolną grupę, której elementy tworzą permutacje zadanego zbioru a działanie jest ich składaniem.
(vi) Grupa diedralna (dihedral (6 )) - grupa symetrii wielokąta foremnego z działaniem składania. Można spotkać się z dwoma notacjami dla tej grupy: Dn oraz D2n gdzie ta
ostatnia związana jest z liczbą elementów grupy symetrii n-kąta foremnego, (grupa
taka złożona jest z n odbić i n-obrotów, (w tym obrotu o 360 stopni - identyczność).
W teorii grup używa się klasycznie dwóch notacji: multiplikatywnej i addytywnej.
Nazwa
Oznaczenie
Działanie
mnożenie
x · y lub xy
Element neutralny
jedynka grupy
1G lub 1
Element symetryczny
element odwrotny
x−1
Tabela 4.1: Notacja multiplikatywna.
Nazwa
Oznaczenie
Działanie
dodawanie
x+y
Element neutralny
zero grupy
0G lub 0
Element symetryczny
element przeciwny
−x
Tabela 4.2: Notacja addytywna.
Podgrupy
Definicja 4.2.5 (podgrupa). Jeśli (G, ?) jest grupą, to podzbiór H ⊂ G nazywamy podgrupą grupy G, gdy:
(1) H 6= ∅,
(2) zawężenie ?|H×H przyjmuje wartości w H, (czyli jest to działanie na H)
(3) (H, ?|H×H ) ma strukturę grupy.
Działanie ? po zawężeniu do H × H nazywamy działaniem indukowanym. Inaczej
mówiąc H jest podgrupą G, jeśli jest grupą z działaniem indukowanym z G. Piszemy wtedy
H < G.
Własność 4.2.6 (warunki równoważne na podgrupę). Gdy G jest grupą oraz H ⊆ G, to
następujące warunki są równoważne:
(a) H jest podgrupą G,
(b) H 6= ∅ oraz spełnione są dwa warunki:
(6 )Dihedral group - określenie to oznacza dokładnie ”grupę dwuścianu”
4.3. Struktura pierścienia i podstruktury
43
(1) xy ∈ H dla dowolnych x, y ∈ H,
(2) x−1 ∈ H dla dowolnego x ∈ H.
(c) H 6= ∅ oraz spełniony jest warunek:
(1) xy −1 ∈ H dla dowolnych x, y ∈ H,
Dowód. Zauważmy, że oczywiście jeśli H jest podgrupą to spełniony jest warunek (a), zaś
jeśli spełniony jest warunek (b) to oczywiście także (c) gdyż jeśli x, y ∈ H to z (b)(2) mamy
y −1 ∈ H a z (b)1 mamy xy −1 ∈ H.
Niech teraz spełniony będzie warunek (c). Zauważmy najpierw, że skoro H 6= ∅ to
istnieje x ∈ H więc zgodnie z warunkiem (c) mamy 1G ∈ x · x−1 ∈ H. Jeśli teraz z ∈ H jest
dowolnym elementem to biorąc x := 1G ∈ H, y := z ∈ H dostaniemy, że z −1 = 1G z −1 ∈ H.
Ostatecznie niech a, b ∈ H. Wiemy już, że wtedy też b−1 ∈ H, biorąc więc x := a, y = b−1
i stosując warunek (c) mamy ab = xy −1 ∈ H. Ponieważ łączność działania oczywiście
zachodzi dla każdych elementów w G więc i dla każdych elementów podzbioru G jakim jest
H wykazaliśmy, że H jest podgrupą G.
Uwaga 4.2.7. Gdy H jest skończonym i niepustym podzbiorem grupy G, to wystarczy
wykazać warunek wewnętrzności (1), aby H było podgrupą w G.
Przykład 4.2.8.
(1) (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +).
(2) (Q∗ , · ) < (R∗ , · ) < (C∗ , · ).
(3) Dla n > 0 określamy Un (C) = {z ∈ C : z n = 1}. Wtedy (Un (C), · ) < (C∗ , · ).
Własność 4.2.9 (charakteryzacja podgrup w Z). Niepusty podzbiór H zbioru liczb całkowitych Z jest podgrupą grupy (Z, +) wtedy i tylko wtedy, gdy H = nZ dla pewnego n ∈ N0 .
Dowód. Sprawdzenie, że każdy podzbiór postaci nZ jest podgrupą pozostawiamy jako proste ćwiczenie. Udowodnimy teraz, że każda podgrupa ma taką postać. Jeśli H = {0}, to
wystarczy przyjąć n = 0. Załóżmy więc, że H 6= {0} i przyjmijmy (korzystamy z ??)
n = min{k ∈ N : k ∈ H}.
Ponieważ n ∈ H, więc nZ ⊆ H. Jeśli zaś k ∈ H, to możemy podzielić k przez n z resztą
(por. ??) otrzymując takie (q, r) ∈ Z × Z, że k = qn + r oraz 0 ¬ r < n. Oczywiście
r = k − qn ∈ H, co wobec minimalności n daje r = 0. W takich razie k = qn ∈ nZ oraz
H ⊆ nZ.
4.3
4.4
Struktura pierścienia i podstruktury
Podstawowe definicje i przykłady
Do tej pory strukturę algebraiczną zadawaliśmy na zbiorze za pomocą jednego działania.
Teraz, podobnie jak w sposób naturalny pojawia się to w przypadkach podzbiorów liczbowych, będziemy operować dwoma działaniami zadając tym samym (przy odpowiednich
44
Liczbowe struktury algebraiczne
własnościach działań) strukturę pierścienia. Najbardziej „intuicyjnym” przykładem jest tu
ponownie znany nam zbiór liczb całkowitych, na którym mamy dwa naturalne działania
dodawania i mnożenia. Jest to „bazowy” dla nas przykład pierścienia.
Definicja 4.4.1 (pierścień). Jeśli P jest zbiorem niepustym, na którym zadano dwa działania oznaczane odpowiednio + oraz · (nazywane dodawaniem i mnożeniem) o następujących
własnościach:
(1) (P, +) jest grupą abelową z elementem neutralnym oznaczanym przez 0,
(2) (P, · ) jest półgrupą (łączność mnożenia),
(3) a(b + c) = ab + ac oraz (b + c)a = ba + ca dla dowolnych a, b, c ∈ P (rozdzielność
mnożenia względem dodawania),
to trójkę (P, +, · ) (w skrócie R) nazywamy wówczas pierścieniem. Dodatkowo jeśli:
(4) istnieje takie 1 ∈ P , że a · 1 = a = 1 · a dla dowolnego a ∈ P (element neutralny
mnożenia), to mówimy o pierścieniu z jedynką,
(5) ab = ba dla dowolnych a, b ∈ P (przemienność mnożenia), to mówimy o pierścieniu
przemiennym.
Jeśli zachodzą warunki (1) − (5), to mówimy o pierścieniu przemiennym z jedynką.
Podzbiór R pierścienia (P, +, · ) nazywamy jego podpierścieniem, gdy (R, +|R×R , ·|R×R )
jest pierścieniem. Jeśli P ma jedynkę 1P , to dodatkowo wymagamy aby 1P ∈ R.
Własność 4.4.2 (podstawowe własności elementów pierścienia). Niech P będzie pierścieniem oraz niech a, b, a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ∈ P .
(1) a · 0 = 0 = 0 · a.
(2) (−a)b = −ab = a(−b) oraz (−a)(−b) = ab.
(3) (ka)b = k(ab) = a(kb), k(a + b) = ka + kb oraz k(la) = (kl)a = l(ka) dla k, l ∈ Z.
Pm
Pn Pm
Pn
(4)
a
b
= i=1 j=1 ai bj .
i
j
i=1
j=1
Dowód. ćwiczenie
Uwaga 4.4.3 (dwumian Newtona). Jeśli P jest pierścieniem
oraz a, b ∈ P spełniają ab =
P
ba (tzn. a oraz b są ze sobą przemienne), to (a + b)n = ni=0 ni ai bn−i dla dowolnego n > 0.
Dowód. ćwiczenie.
Zestawimy teraz definicje wyróżnionych elementów zadanego pierścienia, z którymi będziemy mieli do czynienia w dalszej części wykładu.
Mówiąc dalej ’pierścień’ mamy na myśli pierścień przemienny z 1 6= 0.
4.4. Podstawowe definicje i przykłady
45
Definicja 4.4.4 (dzielnik zera, element odwracalny). Jeśli P jest pierścieniem, to element
a ∈ P ? nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje takie b ∈ P ? , że ab = 0. Zbiór dzielników
zera pierścienia P oznaczamy D(P ).
Element u ∈ P nazywamy odwracalnym (jednością), jeśli istnieje takie v ∈ P , że
uv = 1. Zbiór elementów odwracalnych pierścienia P oznaczamy przez U(P ).
Przykład 4.4.5.
(1) Dla pierścienia (Z, +, · ) mamy D(Z) = ∅ oraz U(Z) = {−1, 1}.
(2) Dla pierścienia (Z6 , +, · ) mamy D(Z6 ) = {2, 3, 4} oraz U(Z6 ) = {1, 5}.
Definicja 4.4.6 (pierścień całkowity, pierścień z dzieleniem, ciało). Mówimy, że pierścień
P jest całkowity (jest dziedziną), jeśli P nie posiada dzielników zera. Inaczej, pierścień
jest całkowity gdy zachodzi w nim implikacja: a, b ∈ P, a · b = 0 =⇒ a = 0 lub b = 0.
Pierścień, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny nazywamy ciałem
Przykład 4.4.7. Najprostszym przykładem pierścienia całkowitego jest pierścień liczb całkowitych Z. Jest to także przykład pierścienia całkowitego, który nie jest ciałem.
Własność 4.4.8 (element odwracalne a dzielniki zera). Niech P będzie pierścieniem z
1 6= 0.
(1) Element odwracalny nie może być dzielnikiem zera, inaczej U(P ) ∩ D(P ) = ∅.
(2) Każde ciało jest pierścieniem całkowitym.
(3) Zbiór U(P ) tworzy grupę z działaniem mnożenia.
Dowód. (1) Jeśli a ∈ P byłby jednocześnie elementem odwracalnym i dzielnikiem zera,
byłby to element niezerowy dla którego istniałyby dwa elementy: b ∈ P ? , c ∈ P takie,
ab = 0 oraz ac = 1. Mnożąc pierwsze z równań obustronnie przez c dostalibyśmy cab
c · 0 = 0, ale korzystając z przemienności mnożenia mamy acb = 0 a ponieważ ac = 1
dostajemy, że b = 0 co jest sprzeczne z założeniem.
to
że
=
to
(2) Skoro w ciele każdy element niezerowy jest odwracalny, to zgodnie z (1) żaden
niezerowy element nie może być dzielnikiem zera, czyli pierścień jest całkowity.
(3) ćwiczenie.
Definicja 4.4.9 (homomorfizm pierścieni). Niech P , R będą dwoma pierścieniami przemiennymi, f : P −→ R nazywamy homomorfizmem pierścieni gdy zachowuje oba działania tzn. ∀ x, y ∈ P zachodzi:
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (x · y) = f (x) · f (y).
Własność 4.4.10. Zauważmy, że łatwo sprawdzić iż jeśli f : P −→ R to homomorfizm pierścieni, to f (P ) jest podpierścieniem R. Jeśli dodatkowo f jest injekcją to możemy pierścień
P utożsamiać z f (P ) i traktować jako podpierścień R.
46
Liczbowe struktury algebraiczne
Ideały i ich własności
Definicja 4.4.11 (ideał). Podzbiór I ⊆ P pierścienia P nazywamy ideałem w P , jeśli:
(1) (I, +) jest podgrupą (P, +),
(2) dla dowolnych: a ∈ I, r ∈ P zachodzi a · r ∈ I (warunek wciągania)
Jeśli I jest ideałem w P , to piszemy I C P . Ideał I nazywamy właściwym, jeśli I 6= P zaś
nietrywialnym gdy I 6= {0}.
Twierdzenie 4.4.1 (charakteryzacja ideałów w Z). Podzbiór I ⊂ Z jest ideałem w Z wtedy
i tylko wtedy, gdy I = nZ dla pewnego n ∈ N0 .
Rozdział 5
Ciało liczb zespolonych
5.1
Definicja zbioru C i wprowadzenie struktury
Definicja 5.1.1 (zbiór liczb zespolonych). Zbiór liczb zespolonych określimy jako zbiór
uporządkowanych par liczb rzeczywistych tzn.
C := {(x, y), x, y ∈ R}
Każdy element tego zbioru nazywać będziemy liczbą zespoloną.
Z punktu widzenia teorii mnogości zbiór liczb zespolonych to de facto iloczyn kartezjański R × R - różnice pojawiają się gdy zadamy na tym zbiorze działania.
Definicja 5.1.2 (podstawowe działania na liczbach zespolonych). Niech (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈
C. Okreśmy dwa działania na zbiorze C kładąc:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 )
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := (x1 x2 − y1 y2 , y1 x2 + x1 y2 )
Bezpośrednie przeliczenie prowadzi do następującego wniosku.
Własność 5.1.3 (pierścień liczb zespolonych). Zbiór liczb zespolonych z wprowadzonymi
wyżej działaniami tworzy pierścień przemienny z 1C = (1, 0) 6= (0, 0) = 0C .
Własność 5.1.4 (zanurzenie pierścienia R w C). Odwzorowanie I : R 3 x −→(x, 0) ∈ C
jest injektywnym homomorfizmem pierścieni, tym samym R możemy utożsamiać z podpierścieniem C.
W dalszym ciągu liczbę rzeczywistą x będziemy utożsamiać z parą (x, 0) i rozumieć
także jako liczbę zespoloną.
5.2
Postać ogólna liczby zespolonej i podstawowe
operacje
Definicja 5.2.1 (jednostka urojona). Niech i := (0, 1) ∈ C oznacza tzw. jednostkę urojoną. Zauważmy, że i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) czyli i2 = −1. Zauważmy też, że i ∈
/ R
gdyż nie jest obrazem żadnej liczby rzeczywistej poprzez zanurzenie I.
47
48
Ciało liczb zespolonych
Rzadko w praktyce zapisujemy liczby zespolone w postaci par: częściej zamiast pisać
(x, y) piszemy x + iy. Dlaczego nam tak wolno ? O tym powie poniższa własność.
Własność 5.2.2. Dla dowolnej liczby zespolonej (x, y) ∈ C zachodzi:
(x, y) = x + yi
gdzie x, y to liczby rzeczywiste utożsamione z parami (x, 0) i (y, 0) za pomocą zanurzenia
I a tym samym C = {x + yi, x, y ∈ R}. Dodatkowo dla x + yi, v + wi ∈ C zachodzi
x + yi = v + wi ⇐⇒ x = v oraz y = w.
Sprzężenie i moduł liczby zespolonej
Definicja 5.2.3 (sprzężenie). Dla liczby zespolonej z = x + yi określamy jej sprzężenie
jako liczbę zespoloną oznaczaną przez z i zadaną wzorem:
z = x − yi.
Własność 5.2.4. Dla dowolnych z, w ∈ C zachodzą własności:
(1) z + w = z + w,
(2) z · w = z · w,
(3) z = z,
−z = −z,
(4) z = z ⇐⇒ z ∈ R,
(5) jeśli z = x + iy, to z · z = x2 + y 2 a tym samym z · z > 0 oraz z · z > 0 ⇐⇒ z 6= 0.
Dzięki własnościom operacji sprzężenia możemy dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej z znaleźć do niej liczbę odwrotną w sensie mnożenia w C czyli element odwrotny do
z.
Własność 5.2.5. Jeśli z ∈ C, z 6= 0 to liczba w = (z · z)−1 z spełnia warunek z · w = 1.
Zauważmy, że z · z to liczba rzeczywista niezerowa więc znamy liczbę do niej odwrotną.
Wniosek 5.2.6. Zbiór liczb zespolonych C z zadanymi wcześniej działaniami tworzy ciało.
Definicja 5.2.7 (moduł liczby zespolonej). Dla z = x + yi ∈ C określamy moduł liczby z
jako
p
|z| := x2 + y 2 .
Własność 5.2.8 (podstawowe własności modułu). Dla dowolnych liczb zespolonych z, w ∈
C zachodzą następujące własności:
(1) z 2 = z · z,
(2) |z · w| = |z| · |w|, | − z| = |z|, |z| = |z|,
5.3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
49
(3) |z| = 0 ⇐⇒ z = 0,
(4) jeśli z = x + yi, to |x| 6 |z| oraz |y| 6 |z|,
(5) (nierówność trójkąta) |z + w| 6 |z| + |w|, ||z| − |w|| 6 |z − w|
5.3
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Jeśli punkt (x, y) ∈ R2 zapiszemy za pomocą (r, ϕ) gdzie r - odległość euklidesowa punktu
do początku układu współrzędnych, ϕ - kąt między prostą przechodzącą przez (x, y) i (0, 0)
i osią OX to możemy jednoznacznie zapisać
z = x + yi = r cos ϕ + r sin ϕ · i
jeśli tylko ϕ ∈ [0, 2π). Zauważmy, że |z| = r.
Definicja 5.3.1 (postać trygonometryczna liczby zespolonej). Jeśli z = x + iy ∈ C zapiszmy w postaci z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) gdzie ϕ - kąt między prostą przechodzącą przez
(x, y) i (0, 0) i osią OX to taką postać z nazywamy trygonometryczną postacią liczby
zespolonej z. Postać ta jest jednoznaczna jeśli założymy, że ϕ ∈ [0, 2π). Kąt ϕ nazywamy
argumentem liczby zespolonej z zaś jedyny z tych kątów który należy do przedziału [0, 2π)
nazywamy argumentem głównym liczby z. Dalej pisząc ’argument’ będziemy mieli na
myśli argument główny.
Własność 5.3.2 (mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej). Jeśli z, w ∈ C
zapiszemy w postaci trygonometrycznej z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), w = |w|(cos ψ + i sin ψ) to
z · w = |z||w|(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ).
Wniosek 5.3.3 (liczba odwrotna w postaci trygonometrycznej). Jeśli z ∈ C? jest równa
1
(cos ϕ − i sin ϕ).
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), to z −1 =
|z|
Twierdzenie 5.3.1 (wzory de Moivre’a). Niech z = |z|(cos ϕ+i sin ϕ) ∈ C? , n ∈ Z. Wtedy:
z n = rn cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
5.4
Wykładnicza postać liczby zespolonej
Definicja 5.4.1 (zespolona funkcja wykładnicza). Dla z = x + iy ∈ C przyjmujemy:
ez := ex (cos y + i sin y).
Zauważmy, że w szczególności gdy y ∈ R eiy = cos y + i sin y oraz ez = ex · eiy , zaś
|e | = ex .
z
Własność 5.4.2 (postać wykładnicza liczby zespolonej). Dla z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) ∈ C
mamy:
z = |z|eϕi .
Postać liczby z z tego twierdzenia nazywamy wykładniczą postacią liczby z.
50
Ciało liczb zespolonych
5.5
Pierwiastek z liczby zespolonej
Definicja 5.5.1 (pierwiastek z liczby zespolonej stopnia n). Niech z ∈ C, n ∈ N. Wtedy
każdą liczbę w ∈ C taką, że wn = z nazywamy zespolonym pierwiastkiem stopnia n z
z.
Własność 5.5.2 (liczba pierwiastków). Każda liczba zespolona z 6= 0 ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych stopnia n. Jeśli z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) pierwiastki te są postaci:
p
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
.
wk := |z| cos
n
n
Na płaszczyźnie pierwiastki te są wierzchołkami n-kąta foremnego o środku w zerze.
5.6
Zadania - zestaw 4
Zadanie 48. Następujące liczby zespolone przedstawić w postaci algebraicznej:
√ !2
8
1
−
i
5−i
1
−
i
3
(a)
,
(b) (2 − i)3 ,
(c)
,
(d)
.
1 + 2i
1+i
1−i
Po wyliczeniu w każdym wypadku wyliczyć część rzeczywistą i urojoną otrzymanej liczby,
jej moduł oraz sprzężenie.
Zadanie 49. Następujące działania wykonać geometrycznie na płaszczyźnie zespolonej, wynik zaś sprawdzić obliczeniem algebraicznym:
(a) (2 + i) + (3 − i),
(b) (1 − i) − (2 + i)
Zadanie 50. Znaleźć liczby rzeczywiste a, b, dla których zachodzą równości:
√
√
a
b+1
(b)
+
= 2.
(a) a(− 2 + i) + b(3 2 + 5i) = 8i,
2−i 1+i
Zadanie 51. Udowodnić, że jeśli z0 jest pierwiastkiem wielomianu f ∈ R[X], to z0 też jest
pierwiastkiem tego samego wielomianu.
Zadanie 52. (a) Obliczyć in , gdzie n ∈ Z,
(1 + i)8n = 24n .
(b) Udowodnić, że dla n ∈ Z zachodzi równość:
Zadanie 53. Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:
√ √
√ √
√
√
1, −1, i, −i, 1 + i 3, 3 − i, 4 − 4i, − 2 + 2i, − 2 − 6i, 1 − cos α + i sin α, α ∈ (0, 2π)
√
3 3 3
Zadanie 54. Przedstawić w formie wykładniczej liczby zespolone: −2i, 3, 1+i, − −
i.
2
2
Zadanie 55. Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej i zaznaczyć na płaszczyźnie
π
zespolonej: e 2 i , 3eπi , 2e2πi .
5.6. Zadania - zestaw 4
51
−4
√ i podać geometryczną
i+ 3
interpretację zbioru A = {z ∈ C : |z − 1| 6 1, re(z) 6 im(u)}.
Zadanie 56. Wyznaczyć postać trygonometryczną liczby u =
Zadanie 57. √
Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej i wykładniczej:
−6 + 6i, −2i, 3 + i.
Zadanie 58. Wyliczyć
√ !7
√
2
2
(a) (1+i)10 , (b)
, (c) (1+i)24 , (d)
+
i , (e) (1− 3i)5 ,
2
2
p
√
√
√
√
√
√
4
(f ) 4 1,
(g) 4 −1,
(h) 6 64,
(i)s −8 + 8 3i,
(j) 3 −8i,
(k) 4 16,
p
√
1+i
√ .
(l) 3 (1 + i)6 ,
(m)
3 − 4i,
(n) 6
1 + 3i
1+i
√
2
22
√
Zadanie 59. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równania:
(a) x2 + (1 + i)x + i = 0,
(b) x4 − 3x2 − 4 = 0,
(c) z 2 − (2 + i)z + (−1 + 7i) = 0,
4
2
4
(d) z + 3z − 4 = 0,
(e) z + (1 − i)z = 0,
(f ) z 2 + (−3 − i)z + (8 − i) = 0.
Zadanie 60. Znaleźć wszystkie pierwiastki zespolone równania: z 4 − 2z 3 + 2z 2 − 2z + 1 = 0.
Zadanie 61. Wyliczyć
(1 + i)9
.
(1 − i)7
Zadanie 62. Zaznaczyć każdą z poniższych liczb na płaszczyźnie i zamienić na formę algebraiczną lub trygonometryczną w zależności od sytuacji:
(a) 5[cos π6 + i sin π6 ],
(b) 3 + 5i,
(c) −3i,
(d) 7[cos 3π
+ i sin 3π
].
4
4
Zadanie 63. Narysować na płaszczyźnie zbiór liczb zespolonych spełniających warunek:
(b) |z−i| = 2, (c) 2 < |z+1−2i| 6 4, (d) Im(z 2 ) > Re[(z)2 ],
π
3π
π
5π
(e) |z + 3| = |z − 2i|,
(f )
< arg(z) 6
,
(g) − < arg(z − 2 + 3i) 6
.
6
4
4
6
(a) z − i = z−1,
Zadanie 64. Udowodnić, że (a) z1 · z2 = z1 ·z2 , (b) |z+w| 6 |z|+|w|, (c) ||z|−|w|| 6
|z − w|.
√
3 1
Zadanie 65. Niech z =
+ i. Ile elementów ma zbiór {z n , n ∈ N} ?
2
2
√
Zadanie 66. (a) Liczba 3−1 jest jednym z pierwiastków stopnia 3 pewnej liczby zespolonej
z. Znaleźć pozostałe dwa pierwiastki.
(b) Znaleźć postać równania stopnia 3 którego pierwiastkami są 2 − 2i, 2 + 2i i 2.
(c) Równanie wielomianowe stopnia
√ 4 o współczynnikach rzeczywistych ma w dziedzinie zespolonej m.in. pierwiastki 1 − i 3, −i. Znaleźć iloczyn wszystkich pierwiastków tego
równania.
Zadanie 67. Rozwiązać równanie: z 6 = (2 + 4i)6 .
52
Ciało liczb zespolonych
Zadanie 68. (1 )Przedstawić sin4 x za pomocą sumy sinusów i cosinusów wielokrotności
kąta x
(2) Wyrazić tg(6x) za pomocą funkcji tg(x) korzystając ze wzorów de Moivre’a.
Zadanie 69. Wykorzystując wzór na sumę wyrazów zespolonego ciągu geometrycznego obliczyć sumę: sin x + sin 2x + . . . + sin nx.