Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną
zadania z odpowiedziami
Maciej Burnecki
opracowanie
Spis treści
I
Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna
II
Geometria analityczna w R2
2
4
III
Liczby zespolone
5
IV
Wielomiany i funkcje wymierne
7
V
Macierze i wyznaczniki
VI
Układy równań liniowych
Geometria analityczna w R3
VII
VIII
IX
X
8
11
12
Iloczyn skalarny i odległość w Rn
14
Przestrzenie i przekształcenia liniowe
15
Powtórzenie
17
1
XI
Pierwsze kolokwium
20
Zestaw A
20
Zestaw B
20
Zestaw C
21
Zestaw D
21
Zestaw E
22
Zestaw F
22
Zestaw G
23
Zestaw H
23
XII
Drugie kolokwium
23
Zestaw A
24
Zestaw B
24
Zestaw C
25
Zestaw D
25
Zestaw E
26
Zestaw F
26
Zestaw G
27
Zestaw H
27
XIII
Egzamin
28
Zestaw A
28
Zestaw B
29
Zestaw C
30
2
Część I
Wyrażenia algebraiczne, indukcja
matematyczna
1. Uprość wyrażenie
a
a−b
−
1
,
a2 − 2ab + b2 b
b−a
b
(b) 2
+1 ,
a − b2 a
a4 + a3 b + a2 b2 b2
−
1
.
(c)
a3 − b3
a2
(a)
2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f (x) wyznacz współczynnik przy
xm , jeśli
10
1
, m = 39,
(a) f (x) = x5 + √
x
9
1
(b) f (x) = x4 − 2
, m = 24.
x
3. Zapisz w prostszej postaci liczbę
n X
n k
(a)
3 ,
k
k=0
n X
n
(−2)k .
(b)
k
k=0
4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że dla wszystkich liczb
naturalnych dodatnich n ∈ N+ :
(a) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
(b) 4n−1 ­ n2 ,
(c) liczba 7n − 4n jest podzielna przez 3.
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a)
(b)
1
b,
− a1 ,
(c) −a − b.
3
2. (a) a2 =
(b) a2 =
10
2
9
2
= 45,
= 36.
3. (a) 4n ,
(b) (−1)n .
4. Najpierw przez podstawienie sprawdź, że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenie T1 . Następnie z prawdziwości twierdzeń
T1 , T2 , . . . , Tn (może wystarczyć użycie tylko Tn ) wywnioskuj prawdziwość
twierdzenia Tn+1 , gdzie n ∈ N+ .
Część II
Geometria analityczna w R2
1. Wyznacz w mierze łukowej kąt pomiędzy wektorami u, v, jeśli
√ √ (a) u = 1, 3 , v = −1, 3 ,
√ √ (b) u = − 3, 1 , v = −1, 3 ,
√ √ √ (c) u =
2, 2 , v = −1, − 3 ,
√
√
√ (d) u = − 2, − 2 , v =
3, −1 .
Wskazówka: dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako
sumy lub różnice odpowiednich kątów.
2. Wyznacz
kąt przy wierzchołku
C w trójkącie o wierzchołkach A = (1, 1), B =
√
√
√
( 3, 2 + 3), C = (1 + 3, 2).
3. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierzchołkach A = (3, 5), B = (0, 6) oraz C = (2, 2).
4. Wyznacz punkt przecięcia oraz
pod jakim
kąt, √
się proste, okre√ przecinają
x = s,
x = 2 3 − 3 t,
√
ślone przez układy równań
oraz
y = −5 + t
y = −1 − 3 s,
gdzie t, s ∈ R.
5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (4, 6), (5, 5) i (−2, −2).
6. Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktu A = (1, 2) jest dwa razy większa od odległości od punktu
B = (4, 5).
7. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną
ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli
4
(a) S = (1, −3), A = (−1, 2), B = (2, 4),
(b) S = (−2, −1), A = (1, 2), B = (4, 1).
8. Napisz równania tych stycznych do okręgu o równaniu x2 +2x+y 2 −3 = 0,
√
π
które przecinają się z prostą 3 x − y + 1 = 0 pod kątem .
3
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a)
(b)
(c)
(d)
2.
3.
π
3,
π
6,
11
12 π,
7
12 π.
π
2.
√
10.
4. Proste przecinają się pod kątem
π
6
√
w punkcie ( 3, −4).
5. (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25.
6. okrąg (zwany okręgiem Apoloniusza), o równaniu (x − 5)2 + (y − 6)2 = 8.
7. (a) (x − 1)2 + (y + 3)2 =
192
13 ,
2
(b) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 12
10 .
√
√
√
√
√
√
8. y = −2, y = 2, y = − 3 x + 3 + 14, y = − 3 x + 3 − 14.
Część III
Liczby zespolone
1. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
1+i
,
2−i
2 + 3i
(b) z =
.
4 + 5i
(a) z =
2. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek
(a) Re(−2iz + 4) ­ 0,
(b) Im(z − i) = Im((2 − i)z + i),
2
(c) Re z 2 = [Im(iz)] − 4,
5
(d) |iz + 2| = |iz − 2i|,
(e) | − 2z| = |4z − 4|.
3. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
√
(1 + 3i)20
(a) z =
,
(1 − i)40
(1 + i)40
(b) z = √
,
( 3 − i)20
√
( 3 − i)24
√
.
(c) z =
(1 − 3i)14 (1 − i)20
4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek
(a) 0 ¬ arg(1 + iz) ¬ π/2,
(b) Im z 4 < 0.
5. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z
liczby
(a) z = −1,
(b) z = i,
(c) z = −2 + 2i,
(d) z = 1 + i.
6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie
(a) z 2 − 2z + 4 = 0,
(b) z 4 = (−1 + 2z)4 .
7. Wyznacz pole figury F = {z ∈ C : Im z 3 ­ 0 ∧ −1 ¬ Im(z) < 0}.
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a) z =
(b) z =
1
3
5 + 5 i,
23
2
41 + 41 i.
2. (a) półpłaszczyzna y ­ −2,
(b) prosta y = 13 x − 23 ,
(c) proste y = 2, y = −2,
(d) prosta y = x,
(e) okrąg o środku w punkcie
4
3, 0
6
i promieniu 32 .
3. (a) − 12 +
(b) − 12 −
(c)
1
2
√
−
√
3
2 i,
√
3
2 i,
3
2 i.
4. (a) Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, określonych przez warunki
Re(z) ­ 0 ∧ Im(z) ¬ 1 ∧ z 6= i (przesunięta o wektor (0, 1) czwarta
ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu (0, 1)),
5π 3π
∪ 7π
(b) arg(z) ∈ π4 , π2 ∪ 3π
4 ,π ∪
4 , 2
4 , 2π , co na płaszczyźnie
przedstawia sumę wnętrz czterech kątów.
√
√
1
3
1
3
5. (a) w0 = +
, w1 = −1, w2 = −
,
2
2
2
2
√
√
3 1
3 1
+ i, w1 = −
+ i, w2 = −i,
(b) w0 =
2
2
2
2
√
√ !
√
3
1
3
1
3
1
+ − +
i, w2 = − +
+
(c) w0 = 1 + i, w1 = − −
2
2
2
2
2
2
√ !
1
3
− −
i,
2
2
√
√
√
√
3−1
1+ 3
−1
1
1− 3 1+ 3
√
√
√
√
√
√
(d) w0 =
+
i,
w
=
+
i,
w
=
−
i.
1
2
3
3
232
232 q
2
2√
232
232
√
√
π
1+cos(2· 12
)
3
π
√ 3 , sin π
Wskazówka: cos 12
=
= 2+
= 1+
2
2
12 =
2 2
√
3−1
√ .
2 2
√
√ 6. (a) z ∈ 1 + 3 i, 1 − 3 i ,
(b) z ∈ 1, 25 − 15 i, 13 , 25 + 15 i .
7.
√
3
3 .
Część IV
Wielomiany i funkcje wymierne
1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli
(a) P (x) = x5 − x4 + 3x3 + x + 7, Q(x) = x3 + x + 1,
(b) P (x) = x4 + 2x3 + x2 + x + 1, Q(x) = x2 + x + 3.
2. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian
W (x) = x4 + x3 − 3x2 − 4x − 4.
3. Nie wykonując dzielenia, wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
W (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 przez x2 − 1.
7
4. Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z) = z 3 − 2z 2 + 4z − 8.
5. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą
x2 + 3
,
+ 2x2 + 5x + 4
−x + 2
(b) f (x) = 3
,
x + 3x2 + 4x + 4
2x3 + 4x2 + 5x + 5
(c) f (x) = 4
.
x + 3x3 + 3x2 + 3x + 2
(a) f (x) =
x3
6. Rozłóż na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję
x4 − 5x3 + 5x2 − 19x − 1
wymierną f (x) =
.
x3 − 5x2 + 4x − 20
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a) I(x) = x2 − x + 2, R(x) = 5,
(b) I(x) = x2 + x − 3, R(x) = x + 10.
2. W (x) = (x + 2)(x − 2) x2 + x + 1 .
3. R(x) = 2x + 3.
4. W (z) = (z − 2)(z + 2i)(z − 2i).
5. (a) f (x) =
(b) f (x) =
(c) f (x) =
6. f (x) = x +
1
−1
x2 +x+4 + x+1 ,
−x
1
x2 +x+2 + x+2 ,
1
1
1
x+1 + x+2 + x2 +1 .
1
x−5
+
1
x2 +4 .
Część V
Macierze i wyznaczniki
1. Wyznacz macierz A wymiaru 3 × 3, której wyrazy określone są za pomocą
wzoru aij = i − 2j.
2. Podaj przykład dwóch macierzy wymiaru 2 × 2 dowodzący, że mnożenie
macierzy nie jest przemienne.
3. 
Rozwiąż
0 0
 1 0
0 1
równanie
 
1
0 ·
0
macierzowe


1 1
1
0 1  + 2 · AT =  3
1 0
2
8

2
3 .
−1

 
a h g
4. Wyznacz iloczyn A = x y 1 ·  h b f  · 
g f c
z jego pomocą, w notacji macierzowej zapisz równanie
4x + 6y − 12 = 0. Zaznacz ten okrąg na płaszczyżnie.
5. Rozłóż na iloczyn
1 2
(a) σ =
2 4
1 2
(b) σ =
7 5

x
y  , a następnie
1
okręgu x2 + y 2 +
cykli rozłącznych, a następnie transpozycji permutację
3 4 5 6
,
6 1 5 3
3 4 5 6 7
.
4 1 2 6 3
Określ parzystość i znak permutacji σ. W rozkładach zastosuj zapis cykliczny.
6. Za pomocą permutacyjnej definicji wyznacznika wyprowadź wzory na wyznaczniki macierzy stopnia 2 i 3 (wzór Sarrusa).
7. Dwoma sposobami, za pomocą rozwinięcia Laplace’a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, a dodatkowo w podpunkcie
(a) ze wzoru, w podpunkcie (b) ze wzoru Sarrusa, oblicz wyznacznik
1 2 ,
(a) 3 5 1 1 1 (b) 1 2 2 ,
1 2 4 1 1 1 1 1 2 1 1 .
(c) 1 1 2 1 1 1 1 2 8. Dla jakich wartości parametru a ∈ R macierz
a a
(a) A =
,
2 a


a 1 1
(b) A =  1 1 a  ,
1 a 1


a 1 1 1
 1 a 1 1 

(c) B = 
 1 1 1 a 
1 1 a 1
jest nieosobliwa?
9
9. Dwoma sposobami, za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową, wyznacz macierz odwrotną do
macierzy
1 1
(a) A =
,
−1 4


1
1 −1
(b) B =  1 −1 1  ,
−1 1
1


1 1 1
(c) C =  1 2 1  .
1 1 2
Odpowiedzi, wskazówki

−1
1. A =  0
1
1 1
2. np.
0 1
1 1
.
0 1
0 1
3. A =
1 1
−3
−2
−1
·

−5
−4  .
−3
1 1
1
=
0 0
0
1
−1
1
0
6=
1
0
2
0
=
1
0
0
1
3

2
3 ·
−12
·
.

4. A =
1
0
ax2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2f y + c
,
x
y
1
1 · 0
2

x
 y  = 0 ; równanie przedstawia okrąg o środku w punkcie (−2, −3)
1
i promieniu 5.

5. (a) Przykładowy zapis: σ = (1 2 4) (3 6) = (1 4) (1 2) (3 6), permutacja
nieparzysta, znak sgn(σ) = −1,
(b) przykładowy zapis: σ = (1 7 3 4) (2 5) = (1 4) (1 3) (1 7) (2 5),
permutacja parzysta, znak sgn(σ) = 1.
6. Dla n = 2 są dwie permutacje, zatem dwa składniki w sumie. Permutacji
zbioru trzyelementowego jest 6.
7. (a) −1,
(b) 2,
(c) 1.
10
8. (a) a ∈ R \ {0, 2},
(b) a ∈ R \ {−2, 1},
(c) a ∈ R \ {−3, 1}.
4
− 15
5
9. (a) A−1 =
,
1
1
5
5

 1 1
0
2
2
(b) B −1 =  12 0 12  ,
0 12 12


3 −1 −1
0 .
(c) C −1 =  −1 1
−1 0
1
Część VI
Układy równań liniowych
1. Metodą eliminacji Gaussa rozwiąż układ równań
x + y
= 3
(a)
x − 3y = −5,

 x + y + z = 0
x − y + z = 0
(b)

x + y − z = 2,

+ y + z − t = 4

 x

x
+ y − z + t = −4
(c)
x
− y + z + t = 2



−x + y + z + t = −2.
Dodatkowo, układ (a) rozwiąż za pomocą wzorów Cramera oraz metodą macierzy odwrotnej.
2. Rozwiąż układ równań

 −x − y + z + t =
x
− y − z + t =
(a)

x
− y − z − t =

+ y
+ z
= 1
 x
2x + y
+ 2z = 1
(b)

3x + 2y + 3z = 3.
4
0
−8,
3. 
Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
+ y
+ az = 1
 x
x
+ ay + z
= a

ax + y
+ z
= −a − 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
11

 −1
0
4. Niech sgn(a) =

1
Wyznacz te wartości a,

x + 2y +
z



x +
y + 2z
2x +
y +
z



2y + 2z
nie ma rozwiązań.
dla
dla
dla
dla
=
=
=
=
x ∈ (−∞, 0)
x=0
oznacza znak liczby a ∈ R.
x ∈ (0, ∞)
których układ równań
2
sgn(a) − 1
2
0
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a) x = 1, y = 2,
(b) x = 1, y = 0, z = −1,
(c) x = 1, y = −1, z = 2, t = −2.
2. (a) y = 2, t = 4, z = x + 2, z – dowolne,
(b) układ sprzeczny (brak rozwiązań).
3. a = −2.
4. a ∈ (−∞, 0].
Część VII
Geometria analityczna w R3
1. Dla jakich wartości parametru a ∈ R równoległościan o trzech kolejnych
wierzchołkach podstawy A = (−5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (3, a2 , 3) i wierzchołku E = (−a − 5, 4, −18) nad A, jest prostopadłościanem?
2. Dla jakich wartości parametru a ∈ R kąt pomiędzy wektorami
u = (a, −16, 4) oraz v = (2a, 1, −4) jest prosty?
3. Za pomocą iloczynu wektorowego wyznacz te wartości parametru a ∈ R,
dla których wektory u = (1, a2 , 1), v = (3, 12, 3) są równoległe.
4. Podaj przykład równania ogólnego płaszczyzny
(a) przechodzącej przez punkty A = (−1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (3, 0, 5),

 x=1+t+s
y = 2 + t − s gdzie t, s ∈ R.
(b) o równaniu parametrycznym

z = 1 + t + s,
5. Podaj przykład równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + 2z + 1 = 0.
12
6. Podajprzykład równania parametrycznego prostej o równaniu krawędziox+y+z−1=0
wym
x + 2y + 3z − 2 = 0.
7. Podajprzykład równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycz x=1+t
y = 2 − t gdzie t ∈ R.
nym

z = 4 + t,
8. Podaj przykład równania
parametrycznego
prostej prostopadłej do pro

 x=t
 x = −s
y=1
y = 2 + s gdzie t, s ∈ R. w punkcie
stych o równaniach


z = 1 + t,
z = 1 − s,
ich przecięcia.
9. Wyznacz kąt pomiędzy płaszczyznami
π1 , π2 , jeśli π1 jest określona rów
 x=1+t+s
y =t−s
gdzie t, s ∈ R, a π2 równaniem
naniem parametrycznym

z = t + s,
ogólnym y − z − 1 = 0.
x+y+z+2=0
10. Wyznacz kąt pomiędzy prostą l :
i płaszczyzną π :
x−y+z+3=0
x + y + 5 = 0.
11. Wyznacz pole
(a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach
A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2), C = (2, 1, 2),
(b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego
z boków A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2),
(c) trójkąta o wierzchołkach A = (−2, −2, −4), B = (0, 2, 2), C = (−2, −1, −2).
12. Wyznacz objętość
(a) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1, −2, −2)
i D = (−1, 1, −1),
(b) równoległościanu rozpietego na wektorach u = (1, 1, 1), v = (1, 1, 2)
oraz w = (−1, −1, 3) × (1, 2, 3).
Odpowiedzi, wskazówki
1. a = −3.
2. a = 4 lub a = −4.
3. a = 2 lub a = −2.
4. (a) x − z + 2 = 0,
13
5.
6.
7.
8.
(b) x − z = 0.

 x = −1 + t + 2s
y = −t

z = −s.

 x=1+t
y = −1 − 2t

z = 1 + t.
x+y−4=0
y + z − 6 = 0.

 x=1+t
y=1

z = 2 − t.
9.
π
3.
10.
π
6.
√
11. (a) 2 6,
√
(b) 4 5,
√
(c) 6.
12. (a) 1,
(b) 15.
Część VIII
Iloczyn skalarny i odległość w Rn
1. Wyznacz odległość pomiędzy punktami P, Q ∈ Rn , jeśli
(a) n = 4, P = (1, 2, 3, −2), Q = (2, 1, 4, −3),
(b) n = 8, P = (5, 3, −2, 7, 9, 11, 1, 2), Q = (3, 4, −3, 5, 9, 9, 2, 1).
2. Wyznacz kosinus kąta pomiędzy wektorami u, v ∈ Rn , jeśli
(a) n = 5, u = (1, 0, −2, 2, 0), v = (−1, 1, 1, 1, 0),
(b) n = 7, u = (1, −2, 0, 3,√
1, 0, −1),
√
v = 2 · (1, 1, −1, 1, 1, 2 3, −5) − (−1, 1, 0, 0, 0, 3 3, −10).
14
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a) 2,
(b) 4.
2. (a) − 16 ,
(b)
9
20 .
Część IX
Przestrzenie i przekształcenia
liniowe
1. Zbadaj liniową niezależność układu złożonego z wektorów
(a) (1, 2), (3, 4) ∈ R2 ,
(b) (1, 2, 3), (3, 4, 5) ∈ R3 ,
(c) (1, 2, 3), (3, 4, 5), (4, 6, 8) ∈ R3 ,
(d) (1, 0, −2, 2, 0), (−1, 1, 1, 1, 0), (1, 2, 0, 5, 7) ∈ R5 ,
√
√
(e) (1, −2, 0, 3, 1, 0,√−1), (3, 1, −2, 2, 2, 3, 0), (1, 1, −1, 1, 1, 2 3, −5),
(−1, 1, 0, 0, 0, 3 3, −10) ∈ R7 .
2. Zbadaj, czy układy niezależne w poprzednim zadaniu tworzą bazy danej
przestrzeni, a jeśli nie, to uzupełnij do bazy.
3. Załóżmy, że przekształcenie liniowe f : Rn → Rm jest określone wzorem
(a) f (x, y, z, t) = (x − y, x + y + z + 2t),
(b) f (x, y, z) = (x − y, x + y + z, x + y, x − z),
gdzie x, y, z, t ∈ R.
Wyznacz n, m ∈ N+ , a następnie zapisz w standardowych bazach macierz
Af przekształcenia f .
4. Wyznacz jądro, obraz i rząd przekształceń f z poprzedniego zadania.
5. Załóżmy, że macierz Af przekształcenia liniowego f : Rn → Rm ma postać
5 −1 −1 0 0
(a) Af =
,
8 −4
1 1 2


1 −1 0
 1
3 2 
.
(b) Af = 
 1
4 6 
1
5 7
15
Wyznacz n, m ∈ N+ , a następnie zapisz przekształcenie f za pomocą
wzoru.
6. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦g oraz f ◦g w bazach standardowych, jeżeli f : R3 → R5 oraz g : R4 → R3 są przekształceniami linowymi,
danymi wzorami: f (x, y, z) = (x, x + y, x + y + z, x + z, y + z), g(s, t, u, v) =
(u + v, t + u + v, s + t + u + v).
7. Wyznacz wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształcenia liniowego f : R2 → R2 , jeśli
(a) f (x, y) = (−y, 6x − 5y),
(b) f (x, y) = (−x + y, 2x).
Odpowiedzi, wskazówki
1. (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
liniowo
liniowo
liniowo
liniowo
liniowo
niezależny,
niezależny,
zależny,
niezależny,
zależny.
2. Bazą jest tylko układ z pierwszego
1 −1
3. (a) n = 4, m = 2, Af =
1
1

1 −1
 1
1
(b) n = 3, m = 4, Af = 
 1
1
1
0
podpunktu.
0 0
,
1 2

0
1 
.
0 
−1
4. (a) Ker(f ) = {(x, x, 2t − 2x, t) : x, t ∈ R} =
{x(1, 1, −2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : x, t ∈ R}(jedna z możliwości zapisu),
Im(f ) = R2 , Rz(f ) = 2,
(b) Ker(f ) = {(0, 0, 0)},
Im(f ) = {x(1, 1, 1, 1) + y(−1, 1, 1, 0) + z(0, 1, 0, −1) : x, y, z ∈ R},
Rz(f ) = 3.
5. (a) n = 5, m = 2, f (x, y, z, t, u) = (5x − y − z, 8x − 4y + z + t + u),
(b) n = 3, m = 4, f (x, y, z) = (x − y, x + 3y + 2z, x + 4y + 6z, x + 5y + 7z).
6. Złożenie g ◦ f nie istnieje.
Macierz złożenia f 
◦ g ma postać

1 0 0

 1 1 0 
0


· 0
1
1
1
Mf ◦g = Mf ·Mg = 


 1 0 1 
1
0 1 1
16

0
1
1
1
1
1


1

1 =


1
0
0
1
1
1
0
1
2
1
2
1
2
3
2
2
1
2
3
2
2



.


7. (a) Wartości własnej a1 = −2 odpowiadają wektory własne postaci v1 =
α(1, 2), wartości własnej a2 = −3 odpowiadają wektory własne postaci v2 = α(1, 3), gdzie α ∈ R \ {0},
(b) wartości własnej a1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci v1 =
α(1, 2), wartości własnej a2 = −2 odpowiadają wektory własne postaci v2 = α(1, −1) dla α ∈ R \ {0}.
Część X
Powtórzenie
1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (2, 4) oraz C = (1, 1).
2. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku
C w trójkącie
o wierz
√ √
chołkach A = (2, 1), B = (3, 2) oraz C = 2 − 3, 1 + 3 .
3. Wyznacz punkt przecięcia oraz kąt, pod jakim przecinają
się
√ proste na
x = 3 t,
płaszczyźnie, określone równaniami parametrycznymi
oraz
y = −t
√
x = 3,
gdzie t, s ∈ R
y = −1 + s,


1 2 1
4. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =  1 3 1  .
1 2 2
5. Zbadaj, dla jakich rzeczywistych
 parametrów
 a ∈ R istnieje macierz od1 1 1
wrotna A−1 do macierzy A =  1 2 1 ,
1 1 a
a następnie wyznacz ogólny wzór na A−1 .
6. 
Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
 2x + (1 + a)y + (1 + a)z = 1 + a
x + ay + z = a
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

ax + y + z = −a − 1
7. 
W zależności od rzeczywistego parametru a ∈ R, rozwiąż układ równań
 2x + 3y − z = 1
x − ay + 2z = 3

2x − ay + 3z = 5.
8. 
Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
 x=1+t+s
y = −t + s
gdzie t, s ∈ R.

z = 1 − t + 2s,
17


 x = −1 + t
 x=3−s
y=1
y=s
9. Wyznacz punkt przecięcia prostych
oraz


z =1+t
z = 5 − s,
a następnie napisz równanie ogólne płaszczyzny zawierającej te proste.
10. Wyznacz odległość punktu
 P = (1, 2, 1) od płaszczyzny π, zadanej w
 x=1+s+t
y =2+s
postaci parametrycznej

z = −1 + s − t.
11. Opisz oraz zaznacz na płaszczyżnie zbiór liczb zespolonych z spełniających
warunek
π
(a) 0 ¬ arg(2 − iz) ¬ ,
2
(b) Im z 4 > 0.
12. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
√
(− 3 + i)12
(a) z =
,
(1 − i)24
√
(1 − i 3)700
.
(b) z =
(−1 + i)1400
13. Zapisz w postaci
√ algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z
liczby z = −2 2.
14. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian
W (x) = x4 + 2x3 − x − 2.
15. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
3x2 + 5x + 1
f (x) = 3
.
x + 3x2 + 3x + 2
16. Wyznacz jądro, obraz i rząd przekształcenia f : R4 → R2 , określonego
wzorem f (x, y, z, t) = (z − y, x + y + z + 2t), gdzie x, y, z, t ∈ R.
17. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦ g oraz g ◦ f w bazach standardowych, jeżeli f : R3 → R2 oraz g : R2 → R5 są przekształceniami
linowymi, danymi wzorami: f (x, y, z) = (x − 2y, x + y + 3z), g(u, v) =
(u + v, v, u − 2v, 3u, u).
Odpowiedzi, wskazówki
√
10.
π
2. .
6
1.
3. P0 =
√
2
3, −1 , ϕ = π.
3
18

4. A−1
4
=  −1
−1
−2
1
0

−1
0 .
1
5. Macierz odwrotna
istnieje dla a ∈ R
\ {1},
 2a−1
−1 
−1
a−1
a−1
.
1
0
wtedy A−1 =  −1
1
−1
0
a−1
a−1
6. a = −2.
7. Dla a ∈ R \ {1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
 x = 1, y = 0, z = 1,
 x = 2 − z,
y = −1 + z,
a dla a = 1 nieskończenie wiele rozwiązań postaci

z ∈ R.
8. x + 3y − 2z + 1 = 0.
9. Punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = 3 i s = 1), a
płaszczyzna ma równanie −x + z − 2 = 0.
10. Równaniem
r ogólnym płaszczyzny jest −x + 2y − z − 4 = 0, a odległość
2
.
d(P, π) =
3
11. (a) Jest to zbiór {z ∈ C : Rez ¬ 0 ∧ Imz ­ −2 ∧ z 6= −2i},
π π 3π 5π 3π 7π (b) arg(z) ∈ 0,
,
∪ π,
∪
,
, co na płasz∪
4
2 4
4
4 4
czyźnie jest sumą wnętrz czterech kątów.
12. (a) z = 1,
√
1
3
(b) z = − +
i.
2
2
√
√
√
√
2
6 √
2
6
+i
, − 2,
−i
.
13.
2
2
2
2
14. W (x) = (x − 1)(x + 2)(x2 + x + 1).
15. f (x) =
x2
2x
1
+
.
+x+1 x+2
16. Ker(f ) = {(z, z, 2t − 2z, t) : z, t ∈ R} =
{z(1, 1, −2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : z, t ∈ R}(jedna z możliwości zapisu),
Im(f ) = R2 , Rz(f ) = 2.
17. Złożenie f ◦ g nie istnieje. Macierz złożenia g ◦ f ma
postać


2
1 1
 1
 1 −2 

1 −2 0

Mg◦f = Mg · Mf = 
=
 −1
 3 0 · 1 1 3
 3
1 0
1
19
−1
1
−4
−6
−2
3
3
−6
0
0



.


Część XI
Pierwsze kolokwium
Zestaw A
1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = (−2, 2), B = (2, 4) oraz C = (7, 1).
√
(− 3 + i)25
.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(1 − i)50
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
2x2 + 5
f (x) = 3
.
x + 4x − 5
Odpowiedzi, wskazówki
1. h =
√22 .
34
2. z = − 12 −
3. f (x) =
√
1
x−1
3
2 i.
+
x
x2 +x+5 .
Zestaw B
1. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku
C w trójkącie
o wierz
√
√ chołkach A = (2, 6), B = (3, 7) oraz C = 2 − 3, 6 + 3 .
√
(1 − i 3)50
.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(−1 + i)100
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
3x2 + 6x + 3
f (x) = 3
.
x + 3x2 + 3x + 2
Odpowiedzi, wskazówki
1.
π
6.
2. z =
1
2
√
+
3. f (x) =
3
2 i.
1
x+2
+
2x+1
x2 +x+1 .
20
Zestaw C
1. Wyznacz kąt pomiędzy prostymi
na płaszczyźnie, o równaniach
x = −s,
x = t, √
√
oraz
gdzie t, s ∈ R.
y = − 3 s − 7,
y =− 3 t+2
√
( 3 − i)25
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
.
(−1 + i)50
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
2x2 − 2x + 2
f (x) = 3
.
x − 2x2 + 3x − 2
Odpowiedzi, wskazówki
1.
π
3.
2. z =
1
2
√
+
3. f (x) =
3
2 i.
1
x−1
+
x
x2 −x+2 .
Zestaw D
1
1. Wyznacz kąt pomiędzy prostą y = − √ x − 5, a prostą o równaniu
3
x = t, √
gdzie t ∈ R.
y = − 3 t + 11,
√
(−1 + i 3)50
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
.
(1 − i)100
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
2x2 + x + 1
f (x) = 3
.
x + x2 − x + 2
Odpowiedzi, wskazówki
1.
π
6.
2. z =
1
2
√
+
3. f (x) =
3
2 i.
1
x+2
+
x
x2 −x+1 .
21
Zestaw E
1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f (x) =
wyznacz współczynnik przy
1
x2 + √
x
20
1
.
x5
√
(− 3 + i)21
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
.
(1 − i)42
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
x2 + x + 10
f (x) = 3
.
x + 2x2 + 6x + 5
Odpowiedzi, wskazówki
1. 190.
2. z = −1.
3. f (x) =
2
x+1
+
−x
x2 +x+5 .
Zestaw F
1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f (x) =
wyznacz współczynnik przy
x5 −
1
x
30
1
.
x18
√
(1 − i 3)15
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
.
(−1 + i)30
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
x2 − x − 4
f (x) = 3
.
x − 2x2 + 5x − 4
Odpowiedzi, wskazówki
1. 435.
2. z = i.
3. f (x) =
−1
x−1
+
2x
x2 −x+4 .
22
Zestaw G
1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f (x) =
1
x+ √
x
30
wyznacz współczynnik przy x27 .
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
√
(1 − 3 i)21
.
(1 + i)42
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
2x2 + 7
f (x) = 3
.
x + 6x + 7
Odpowiedzi, wskazówki
1. 435.
2. z = i.
3. f (x) =
1
x+1
+
x
x2 −x+7 .
Zestaw H
1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f (x) =
√
1
x+
x
40
wyznacz współczynnik przy x17 .
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
√
(1 + 3 i)15
.
(1 − i)30
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
2x2 + 5
f (x) = 3
.
x + 4x − 5
Odpowiedzi, wskazówki
1. 780.
2. z = i.
3. f (x) =
1
x−1
+
x
x2 +x+5 .
23
Część XII
Drugie kolokwium
Zestaw A

2
1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =  1
1
5
3
2

2
1 .
2
2. 
Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
 x = 5 + t + 2s
y =2+t
gdzie t, s ∈ R.

z = −t + s,
3. 
Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
 3x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a
x + ay + z = a
nie ma rozwiązań?

ax + y + z = −a − 1
Odpowiedzi, wskazówki

1. A−1
4
=  −1
−1
−6
2
1

−1
0 .
1
2. x + 3y − 2z − 11 = 0.
3. a = 1.
Zestaw B

2
1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =  1
1
5
3
2

2
1 .
2
2. 
Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
 x = 5 + t + 2s
y=2
gdzie t, s ∈ R.

z = −t + s,
3. 
Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
 3x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a
x + ay + z = a
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

ax + y + z = −a − 1
24
Odpowiedzi, wskazówki

1. B −1
8
=  −3
−1
−2
1
0

−1
0 .
1
2. y = 2.
3. a = −2.
Zestaw C
1. 
Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
 x = 1 − t + 2s
y =2−t
gdzie t, s ∈ R.

z = t + s,
2. 
Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
 3x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a
x + ay + z = a
nie ma rozwiązań?

(1 + a)x + (1 + a)y + 2z = −1
3. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦ g oraz g ◦ f w bazach standardowych, jeżeli f : R3 → R2 oraz g : R2 → R5 są przekształceniami
linowymi, danymi wzorami: f (x, y, z) = (x − 2y, x − y − 3z), g(u, v) =
(u − v, v, u − 2v, 3u, u).
Odpowiedzi, wskazówki
1. x − 3y − 2z + 5 = 0,
2. a = 1,

3. Istnieje wyłącznie złożenie g ◦ f , o macierzy Ag◦f


=


0
1
−1
3
1
−1
−1
0
−6
−2
3
−3
6
0
0
Zestaw D
1. 
Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
 x = 1 + t + 2s
y =2+s
gdzie t, s ∈ R.

z = −t + s,
25



.


2. 
Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
 4x + (1 + 3a)y + (3 + a)z = 1 + 3a
x + ay + z = a
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

ax + y + z = −a − 1
3. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦g oraz g◦f w bazach standardowych, jeżeli f : R3 → R4 oraz g : R2 → R3 są przekształceniami linowymi,
danymi wzorami: f (x, y, z) = (x−2y, x+y+3z, x, y), g(u, v) = (u+v, v, u).
Odpowiedzi, wskazówki
1. x − 3y + z + 5 = 0,
2. a = −2,

3. Istnieje wyłącznie złożenie f ◦ g, o macierzy Af ◦g
1
 4
=
 1
0

−1
2 
.
1 
1
Zestaw E
1. Oblicz wysokość czworościanu, o wierzchołku nad podstawą D = (1, 2, 2) i
podstawie trójkątnej, wyznczonej przez punkty A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C =
(1, 2, 3).

+ z
+ t = 4
 −x − y
2x − 2y − 2z
= −8
2. Rozwiąż układ równań

x
− y
− z
− t = −8.
3. Zbadaj liniową niezależność układu wektorów u = (1, 1, 1, 1), v = (2, 1, 1, 1),
w = (1, 2, 1, 1), m = (1, 1, 2, 1) ∈ R4 .
Odpowiedzi, wskazówki
1
1. Równanie płaszyzny podstawy to x − 2y + z = 0, wysokość h = √ .
6
2. x = z − 2, y = 2, t = 4, z ∈ R.
3. Układ liniowo niezależny.
Zestaw F
1. 
Wyznacz odległość punktu P = (1, 1, −1) od płaszczyzny
 x = 1 + t + 2s
y =1+s
gdzie t, s ∈ R.

z = −t + s,
26

 x −
x −
2. Rozwiąż układ równań

x −

− z + 3t = 4
− z + t
= 0
− z − t
= −8.

1 1
2 2 .
4 4
3y
y
y
1
3. Wyznacz rząd macierzy A =  1
3
Odpowiedzi, wskazówki
2
1. Równanie ogólne płaszyzny to x − 3y + z + 1 = 0, odległość d = √ .
11
2. x = z − 2, y = 2, t = 4, z ∈ R.
3. Rząd wynosi 2.
Zestaw G
1. Oblicz wysokość czworościanu, o wierzchołku nad podstawą D = (2, 1, 1) i
podstawie trójkątnej, wyznczonej przez punkty A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 2), C =
(−1, 3, 1).

− 3y − z
+ t = −4
 x
2x − 2y − 2z
= −8
2. Rozwiąż układ równań

x
− y
− z
− t = −8.
3. Zbadaj liniową niezależność układu wektorów u = (1, 1, 1, 1), v = (5, 1, 1, 1),
w = (1, 2, 1, 1), p = (1, 1, 2, 1) ∈ R4 .
Odpowiedzi, wskazówki
1. Równanie ogólne płaszyzny podstawy to x + y − z − 1 = 0, wysokość
1
h= √ .
3
2. x = z − 2, y = 2, t = 4, z ∈ R.
3. Układ liniowo niezależny.
Zestaw H
1. 
Wyznacz odległość punktu P = (1, −1, −1) od płaszczyzny
 x = 1 + t + 2s
y = 1 + 5s
gdzie t, s ∈ R.

z = −t + s,
27

 2x
x
2. Rozwiąż układ równań

x
− 4y
− y
− y

2
3. Wyznacz rząd macierzy A =  1
3
3
2
4
− 2z
− z
− z

3
2 .
4
+ 4t
+ t
− t
= 4
= 0
= −8.
Odpowiedzi, wskazówki
1
1. Równanie ogólne płaszyzny to 5x − 3y + 5z − 2 = 0, odległość d = √ .
59
2. x = z − 2, y = 2, t = 4, z ∈ R.
3. Rząd wynosi 2.
Część XIII
Egzamin
Zestaw A
1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie
zbiór A liczb zespolonych z, spełnia√
3
|z|3 .
jących warunek Im z 3 <
2


4 11 4
2. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =  3 7 5  .
1 2 2
Sprawdź otrzymany wynik, wykonując mnożenie macierzy.
3. Oblicz wysokość (tzn. długość odcinka) w czworościanie o wierzchołkach
A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 4), C = (2, 5, 8), D = (−1, 1, −1), opuszczoną z
wierzchołka D.

 5x − 7y − 5z + t = −20
2x − 2y − 2z
= −8
4. Rozwiąż układ równań

x
− y
− z
− t = −8.
5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦ g oraz g ◦ f w bazach standardowych, jeżeli f : R4 → R3 oraz g : R3 → R6 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: f (x, y, z, t) = (x − 2y, x − y − 3z, x + t), g(u, v, w) =
(u − v, v, u − 2v, 3u, u, u + v + w).
28
Odpowiedzi, wskazówki
√
1. Otrzymujemy Im z 3 = |z|3 sin(3ϕ) < 23 |z|3 , stąd |z| =
6 0 oraz sin(3ϕ) <
√
3
4
1
2
7
8
3ϕ ∈ − 3 π, 3 π ∪ 3 π, 3 π ∪ 3 π, 13
2 . Otrzymujemy
3 π , zatem ϕ ∈
− 49 π, 19 π ∪ 92 π, 79 π ∪ 89 π, 13
9 π , co przedstawia sumę wnętrz trzech
kątów.


4 −14 27
4
−8  .
2. A−1 =  −1
−1
3
−5
3. Równanie x − 2y + z = 0 opisuje płaszczyznę podstawy,
wysokość to
√
odległość wierzchołka D od tej płaszczyzny i wynosi h = 2√32 .
4. x = z − 2, y = 2, z ∈ R, t = 4 – nieskończenie wiele rozwiązań.
5. Istnieje tylko
 macierzą w bazach standardowych jest
 złożenie g ◦ f , jego
0 −1 3 0
 1 −1 −3 0 


 −1 0
6 0 
.

Mg◦f = 

 3 −6 0 0 
 1 −2 0 0 
3 −3 −3 1
Zestaw B
1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełnia 1
jących warunek Re z 3 ­ |z|3 .
2


4 11 4
2. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =  1 3 1  .
1 2 2
Sprawdź otrzymany wynik, wykonując mnożenie macierzy.
3. 
Wyznacz odległość punktu P = (−2, 1, −1)
 x = 1 + t + 2s
y = 1 + 2s
gdzie t, s ∈ R.

z = 2 − 2t + s,

 4x − 6y −
x
− y
−
4. Rozwiąż układ równań

x
− y
−
od płaszczyzny
4z
z
z
+ 6t
+ t
− t
= 4
= 0
= −8.
5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦g oraz g◦f w bazach standardowych, jeżeli f : R4 → R5 oraz g : R3 → R4 są przekształceniami linowymi,
danymi wzorami: f (x, y, z, t) = (x − 2y, x + y + 3z, x, y, t − z), g(u, v, w) =
(u + v, v, u, u − w).
29
Odpowiedzi, wskazówki
1. Otrzymujemy Re z 3 = |z|3 cos(3ϕ) ­ 21 |z|3 , stąd |z| = 0 lub cos(3ϕ) ­
√
1 1 5 7 11 13 3
3ϕ
∈
π, 3π ∪ 3 π, 3 π ∪ 3 π, 3 π ,
2 . W tymdrugim przypadku,
5 7 11− 3 13
1
1
zatem ϕ ∈ − 9 π, 9 π ∪ 9 π, 9 π ∪ 9 π, 9 π . Zbiór A jest sumą trzech
kątów wraz z brzegami.


4 −14 −1
4
0 .
2. A−1 =  −1
−1
3
1
3. Równanie 4x − 5y + 2z − 3 = 0 jest równaniem ogólnym danej płaszczyzny,
odległość d = √65 .
4. x = z − 2, y = 2, z ∈ R, t = 4 – nieskończenie wiele rozwiązań.
5. Istnieje tylko
 złożenie f
1 −1 0
 4 2
0

1
1
0
Mf ◦g = 

 0 1
0
0 0 −1
◦ g, jego macierzą w bazach standardowych jest



.


Zestaw C
1. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełniających waruπ
nek 0 ¬ arg(2 − iz) ¬ .
2

 x=1+t+s
y = −t + s
2. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny µ o równaniu

z = 1 − t + 2s,
a następnie
 w mierze łukowej kąt pomiędzy płaszczyzną µ i prostą l o
 x = 3 − 2t
y = 2 − 6t gdzie t, s ∈ R.
równaniu

z = 1 + 4t,


1 0
1
0
1
3. Rozwiąż równanie macierzowe X −1 =
×  0 1 ,
0 1 1
1 0
gdzie X −1 oznacza macierz odwrotną do macierzy X.
4. 
Określ, dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
 2x + (1 + a)y + (1 + a)z = 1 + a
x + ay + z = a

ax + y + z = −a − 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
30
5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦g oraz g◦f w bazach standardowych, jeżeli f : R3 → R2 oraz g : R2 → R4 są przekształceniami linowymi,
danymi wzorami: f (x, y, z) = (x + y, y + z), g(u, v) = (u, v, u + v, u − v).
Odpowiedzi, wskazówki
1. Jest to (przesunięta) ćwiartka płaszczyzny bez wierzchołka,
A = {z ∈ C : Re(z) ¬ 0 ∧ Im(z) ­ −2} \ {−2i}.
2. x + 3y − 2z + 1 = 0, α =
1
0
2
3. X =
.
− 12 1
π
2.
4. a = −2.
5. Istnieje tylko

1
 0

Mg◦f = 
1
1
złożenie
1 0
1 1
2 1
0 −1
g◦ f , jego macierzą w bazach standardowych jest

.

31