Twierdzenie Ostrowskiego Witold Tomaszewski

Twierdzenie Ostrowskiego
Witold Tomaszewski
Denicja 1. Norm¡ w ciele F nazywamy odwzorowanie ||.|| z F w
liczby rzeczywiste nieujemne, takie »e:
1. ||x|| = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x = 0,
2. ||x · y|| = ||x|| · ||y||,
3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (nierówno±¢ trójk¡ta ).
Uwaga 1. Z warunków 2. i 1. wynika, »e ||1|| = 1, || − a|| = ||a|| i
||ak || = ||a||k dla a 6= 0 i dowolnej liczby caªkowitej k .
Norma ||.|| indukuje metryk¦ na F:
d(x, y) = ||x − y||.
Denicja 2. Ci¡g liczb wymiernych (an )n∈N nazywamy ci¡giem Cauchy'ego wzgl¦dem metryki d je±li speªnia warunek:
∀ε>0 ∃N ∈N ∀n,m>N d(an , am ) < ε.
Denicja 3. Mówimy, »e metryki d1 i d2 okre±lone na tym samym zbio-
rze X s¡ równowa»ne je»eli ka»dy ci¡g Cauchy'ego wzgl¦dem pierwszej
metryki jest ci¡giem Cauchy'ego wzgl¦dem drugiej metryki i odwrotnie ka»dy ci¡g Cauchy'ego wzgl¦dem drugiej metryki jest ci¡giem Cauchy'ego wzgl¦dem pierwszej metryki.
Mówimy, »e dwie normy sa równowa»ne, je»eli odpowiadaj¡ce im
metryki sa równowa»ne.
Stwierdzenie 1.
α>0
taka, »e
Je±li ||.||1 i ||.||2 s¡ normami na ciele F oraz istnieje
||x||1 = ||x||α2 dla ka»dego x ∈ F to normy ||.||1 i ||.||2 s¡
równowa»ne.
Normy w ciele liczb wymiernych Q
1. ||x|| = |x|α dla pewnego 0 < α ≤ 1. Ka»da taka norma jest równowa»na normie |.|.
2. Norma trywialna tj. norma taka, »e ||x|| = 0 je±li x = 0 i ||x|| = 1
je±li x 6= 0.
3. Normy p-adyczne. Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡. Dla ka»dej niezerowej liczby caªkowitej a okre±lamy warto±¢ ordp (a) (zwan¡ p-adicordinal ), jako najwy»sz¡ pot¦g¦ liczby p dziel¡c¡ a. Na przykªad:
ord2 (7) = 0; ord3 (9) = 2; ord3 (18) = 2. Dodatkowo przyjmujemy
ordp (0) = 1. Funkcja ordp ma wªasno±¢ logarytmu:
(1)
ordp (ab) = ordp (a) + ordp (b).
a
Je±li x = b jest liczb¡ wymiern¡ to deniujemy
ordp (x) = ordp (a) − ordp (b).
1
Zauwa»my, »e warto±¢ ordp (x) zale»y tylko od x a nie od zapisu w
dla pewnego c ∈ Z, c 6= 0. Mamy
postaci x = ab . Niech zatem x = ca
cb
wtedy:
(1)
= ordp (ca) − ordp (cb) =
ordp ca
cb
ordp (c) + ordp (a) − ordp (c) − ordp (b) =
ordp (a) − ordp (b) = ordp ( ab ).
Teraz deniujemy norm¦ na Q nast¦puj¡co:
− ord (x)
p
p
je±li x 6= 0,
|x|p =
0
je±li x = 0.
Stwierdzenie 2. |.|p
jest norm¡ na
Q.
Warunki 1. i 2. denicji 1 s¡ ªatwe do sprawdzenia. Sprawdzimy warunek 3. Dosy¢ ªatwo mo»na sprawdzi¢ ten warunek gdy
x = 0 lub y = 0 lub x + y = 0. Zaªó»my wi¦c, »e x, y, x + y s¡ ró»ne
od zera. Niech x = a/b, y = c/d. Wtedy x + y = (ad + bc)/bd, a st¡d
mamy ordp (x + y) = ordp (ad + bc) − ordp (b) − ordp (d). Zauwa»my ze
najwy»sza pot¦ga p dziel¡ca sum¦ dwóch liczb caªkowitych jest wi¦ksza b¡d¹ równa minimum z najwy»szych pot¦g liczby p dziel¡cych
pierwsz¡ i drug¡ liczb¦. Mamy wi¦c:
Dowód.
ordp (x + y) ≥ min(ordp (ad); ordp (bc)) − ordp (b) − ordp (d) =
min(ordp (a) + ordp (d), ordp (b) + ordp (c)) − ordp (b) − ordp (d) =
min(ordp (a) − ordp (b), ordp (c) − ordp (d)) = min(ordp (x), ordp (y)) =
− max(− ordp x, − ordp y).
Przej±cie mi¦dzy drug¡, a trzeci¡ linijk¡ nie powinno sprawia¢ problemu. St¡d mamy
|x + y|p = p− ordp (x+y) ≤ pmax(− ordp (x),− ordp y) =
max(p− ordp (x) , p− ordp (y) ) = max(|x|p , |y|p ) ≤ |x|p + |y|p .
Stwierdzenie 3.
0 < λ < 1 to funkcja
ord (x)
λ p
je±li x 6= 0,
||x|| =
0
je±li x = 0.
Je»eli
jest norm¡ w ciele
Q,
równowa»n¡ z norm¡
|.|p .
Fakt ze ||.|| jest norm¡ na Q mo»na udowodni¢ analogicznie jak
w dowodzie Stwierdzenia 2. Równowa»no±¢ norm wynika ze Stwierdzenia 1.
Dowód.
Twierdzenie 1 (Ostrowski). Ka»da nietrywialna norma na Q jest równowa»na normie
Dowód.
|.|p
lub normie
|.|.
1. Zaªó»my ze istnieje n ∈ N takie, »e ||n|| > 1. Niech n0
b¦dzie najmniejsz¡ tak¡ liczb¡ naturaln¡, »e ||n0 || > 1. Z Uwagi 1
wynika, »e n0 > 1 . Poniewa» n0 > 1 i ||n0 || > 1 to istnieje α > 0 taka,
»e ||n0 || = nα0 . We¹my dowolne n i zapiszmy je w systemie pozycyjnym
przy podstawie n0 :
(2)
s(n)
n = a0 + a1 n0 + a2 n20 + . . . + as(n) n0
gdzie 0 ≤ ai < n0 i as(n) 6= 0. Poniewa» n0 jest najmniejsz¡ liczb¡ naturaln¡ o wªasno±ci ||n0 || > 1 to ||ai || ≤ 1 dla i = 0, . . . , s(n). Zachodzi
te» ns(n)
≤ n. St¡d mamy:
0
s(n)
||n|| ≤ ||a0 || + ||a1 n0 || + ||a2 n20 || + . . . + ||as(n) n0 || =
s(n)
||a0 || + ||a1 || · ||n0 || + ||a2 || · ||n20 || + . . . + ||as(n) || · ||n0 || =
s(n)α
||a0 || + ||a1 || · nα0 + ||a2 || · n2α
≤
0 + . . . + ||as(n) || · n0
s(n)α
α
2α
1 + n0 + n0 + . . . + n0
≤
i
s(n)
∞ P 1 i
P
s(n)α
−s(n)α
−α
−2α
1
α
α
n0 (1 + n0 + n0 + . . . + n0
)≤n
≤n
.
nα
nα
0
i=0
Zatem istnieje staªa C =
∞ P
i=0
1
nα
0
i
0
i=0
taka, »e
||n|| ≤ Cnα ,
dla ka»dej liczby naturalnej n (chyba jest jasne, »e szereg
∞ P
i=0
1
nα
0
i
jest
zbie»ny).
We¹my teraz dowolne n, k ∈ N. Wtedy ||nk || = ||n||k ≤ Cnkα , wi¦c:
||n|| ≤
√
k
Cnα .
√
Mo»emy zastosowa¢ przej±cie graniczne k → ∞. Poniewa» lim k C = 1
k→∞
to otrzymujemy ||n|| ≤ nα , dla ka»dej liczby naturalnej n.
Liczba n zapisana w postaci (1) speªnia nierówno±ci
s(n)
n0
s(n)+1
≤ n ≤ n0
,
a st¡d otrzymujemy
s(n)+1
||n0
s(n)+1
|| = ||n0
s(n)+1
− n + n|| ≤ ||n0
− n|| + ||n||.
Zatem
s(n)+1
s(n)+1
||n|| ≥ ||n0
|| − ||n0
− n||
(s(n)+1)α
s(n)+1
α
≥ n0
− (n
− n) (bo ||m|| ≤ mα dla ka»dego m ∈ N)
0
α
− n0
(bo n ≥ n0 )
α
(s(n)+1)α
(s(n)+1)α
≥ n0
− n0
1 − n10
α (s(n)+1)α
= n0
1 − 1 − n10
≥ C 0 nα .
(s(n)+1)α
≥ n0
s(n)+1
− n0
s(n)
s(n)
A teraz rozumuj¡c jak poprzednio otrzymujemy ||n|| ≥ nα dla ka»dego n ∈ N. Zatem mamy ||n|| = nα dla wszystkich n ∈ N. Z Uwagi 1
wynika, »e
||x|| = |x|α ,
dla wszystkich x ∈ Q. Zatem ze Stwierdzenia 1 wynika, »e norma ||.||
jest równowa»na normie |.|.
2. Zaªó»my teraz, »e ||n|| ≤ 1 dla wszystkich n ∈ N. Musz¡ te» istnie¢
liczby naturalne, których norma jest mniejsza od 1, bo w przeciwnym
wypadku norma b¦dzie trywialna. Niech n0 b¦dzie najmniejszym takim
n. Liczba n0 musi by¢ pierwsza, poniewa» je»eli n0 = n1 n2 , gdzie
n1 , n2 < n0 to na podstawie denicji liczby n0 mamy ||n1 || = ||n2 || = 1,
a wtedy ||n0 || = ||n1 ||·||n2 || = 1 wbrew okre±leniu liczby n0 . Oznaczmy
liczb¦ n0 przez p, oraz ||p|| = ρ. Poka»emy, »e je»eli q jest liczb¡
pierwsz¡ ró»n¡ od p to ||q|| = 1. Zaªó»my, »e ||q|| < 1. Poniewa»
||p|| < 1 i ||q|| < 1 to istniej¡ N, M ∈ N, takie »e ||q N || = ||q||N < 21 i
||pM || = ||p||M < 21 . Liczby q N i pM sa wzgl¦dnie pierwsze, wi¦c istniej¡
liczby caªkowite m, n takie, »e mpM + nq N = 1. Wtedy:
1 = ||1|| = ||mpM + nq N || ≤ ||mpM || + ||nq N || =
||m|| · ||pM || + ||n|| · ||q N || ≤ ||pM || + ||q N || < 12 +
1
2
= 1.
Co jest niemo»liwe. Zatem ||q|| = 1. We¹my teraz dowoln¡ liczb¦ naturaln¡ a. Mo»na ja zapisa¢ jako iloczyn pewnych pot¦g ró»nych liczb
pierwszych: a = pd11 pd22 . . . pds s , przy czym p1 = p (wtedy wykªadnik d1
jest równy ordp (a) i mo»e by¢ równy 0). Obliczamy norm¦ a:
||a|| = ||pd11 pd22 . . . pds s || = ||p1 ||d1 ||p2 ||d2 . . . ||ps ||ds = ||p1 ||d1 = ρordp (a) .
Na podstawie Uwagi 1 otrzymujemy ||x|| = ρordp (x) , dla ka»dej liczby
wymiernej x. Zatem na podstawie Stwierdzenia 3 norma ||.|| jest równowa»na normie |.|p , to ko«czy dowód.
Twierdzenie Ostrowskiego zostaªo udowodnione. To jeszcze nie wszytko.
Ale to ju» inna historia...