Podstawy fizyki - Politechnika Warszawska
advertisement
Michał Marzantowicz, Wojciech Wróbel Podstawy fizyki Warszawa 2010 Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Kierunek "Edukacja techniczno informatyczna" 02-524 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel 22 849 43 07, 22 234 83 48 ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, e-mail: [email protected] Opiniodawca: prof. dr hab. Władysław Bogusz Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI, Michał MARZANTOWICZ, Wojciech WRÓBEL Publikacja bezpłatna, przeznaczona jest dla studentów kierunku "Edukacja techniczno informatyczna" Copyright © 2010 Politechnika Warszawska Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN 83-89703-56-4 Druk i oprawa: Drukarnia Expol P. Rybiński, J. Dąbek Spółka Jawna, 87-800 Włocławek, ul. Brzeska 4 Spis treści Wstęp ..................................................................... 7 1. Czym jest fizyka? Wielkości fizyczne , jednostki i wzorce......................... ...................................... 9 1.1. Czym jest fizyka? ....................................................................... 10 1.2. Jednostki podstawowe ................................................................ 12 1.3. Miano jednostek wielkości pochodnych..................................... 14 1.4. Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkości fizycznych 15 2. Opis ruchu ........................................................ 21 2.1. Układ odniesienia i układ współrzędnych .................................. 22 2.2. Przemieszczenie i droga ............................................................. 23 2.3. Prędkość ..................................................................................... 24 2.4. Przyspieszenie ............................................................................ 26 3. Dynamika ......................................................... 31 3.1. Zasady dynamiki Newtona ......................................................... 32 3.2. Zasada zachowania pędu ............................................................ 35 4. Praca i energia.................................................. 41 4.1. Praca ........................................................................................... 42 4.2. Pole sił zachowawczych i niezachowawczych ........................... 48 4.3. Pole sił grawitacyjnych............................................................... 49 4.4. Ruch po okręgu........................................................................... 53 4.5. Energia potencjalna sił sprężystości ........................................... 59 4.6. Energia kinetyczna ..................................................................... 60 4.7. Zasada zachowania energii mechanicznej .................................. 62 4.8. Zderzenia .................................................................................... 64 5. Dynamika bryły sztywnej ................................. 67 5.1. Bryła sztywna ............................................................................. 68 5.2. Równanie ruchu bryły sztywnej........................................ 72 5.3. Zasada zachowania momentu pędu ............................................ 74 5.4. Energia ruchu obrotowego.......................................................... 75 6. Ruch drgający................................................... 79 6.1. Drgania harmoniczne.................................................................. 80 6.2. Drgania tłumione ........................................................................ 86 6.3. Drgania wymuszone z tłumieniem ............................................. 90 7. Stany skupienia materii.................................... 93 7.1. Ciało stałe ................................................................................... 94 7.2. Płyny........................................................................................... 95 7.3. Inne stany materii ....................................................................... 95 7.4. Przejścia między stanami – przemiany fazowe .......................... 97 8. Hydrostatyka i hydrodynamika ...................... 101 8.1. Hydrostatyka............................................................................. 102 8.2. Hydrodynamika ........................................................................ 108 9. Termodynamika.............................................. 117 9.1. Temperatura, zerowa zasada termodynamiki ........................... 118 9.2. Równanie stanu gazu doskonałego........................................... 120 9.3. Ciepło i praca termodynamiczna .............................................. 121 9.4. Przemiany termodynamiczne ................................................... 127 9.5. Teoria kinetyczno-molekularna gazów .................................... 134 9.6. Równanie stanu gazu rzeczywistego ........................................ 138 9.7. Cykle gazowe ........................................................................... 139 9.8. Entropia .................................................................................... 146 9.9. Właściwości termiczne materii................................................. 149 10. Elektrostatyka .............................................. 157 10.1. Ładunek elektryczny............................................................... 158 10.2. Prawo Coulomba .................................................................... 159 10.3. Natężenie pola elektrycznego ....................................... 161 10.4. Energia i potencjał w polu elektrycznym ............................... 166 10.5. Prawo Gaussa ......................................................................... 168 Strona 4 10.6. Pojemność elektryczna przewodnika...................................... 174 10.7. Dielektryki.............................................................................. 179 11. Prąd elektryczny........................................... 187 11.1. Natężenie prądu elektrycznego............................................... 188 11.2. Prawo Ohma ........................................................................... 189 11.3. Praca i moc prądu elektrycznego............................................ 195 11.4. Obwody elektryczne............................................................... 196 Strona 5 Strona 6 Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego ze środków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczone są dla studentów pierwszego roku studiów inżynierskich kierunku nauczania „Edukacja techniczno-informatyczna” prowadzonych na Wydziale Samochodów i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej. Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt. „Podstawy fizyki”. Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opisanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu. Skrypt stanowi pierwszą część opracowanych materiałów dydaktycznych i dotyczy zagadnień omawianych podczas pierwszego semestru wykładów z ww. przedmiotu. Opracowane zagadnienia podzielone zostały na 11 rozdziałów. Rozdział 1 wprowadza pojęcie wielkości fizycznych, ich jednostek oraz operacji na tych jednostkach. Rozdział 2 został poświęcony opisowi ruchu ciał w różnych układach współrzędnych za pomocą takich wielkości fizycznych jak przemieszczenie, prędkość czy przyspieszenie. W rozdziale 3 omówione zostały zasady dynamiki Newtona oraz zasada zachowania pędu. W rozdziale 4 wprowadzone są pojęcia pracy oraz energii. Rozważane są różne formy energii (energia potencjalna i kinetyczna) oraz zasada zachowania energii. Rozdział 5 dotyczy zagadnień z zakresu dynamiki bryły sztywnej takich jak równanie ruchu bryły sztywnej, zasada zachowania momentu pędu czy energia ruchu obrotowego. Rozdział 6 został poświęcony zagadnieniom drgań, w szczególności drgań harmonicznych z uwzględnieniem wpływu tłumienia oraz wymuszenia. W rozdziale 7 omówione zostały różne stany skupienia materii – ciała stałe, płyny oraz inne stany materii. W rozdziale 8 przedstawione zostały podstawowe zagadnienia hydrostatyki i hydrodynamiki w tym prawo Pascala, Arhimedesa oraz równanie Bernouliego. Rozdział 9 poświęcony jest termodynamice. Omówiony został gaz doskonały, jego równanie stanu oraz różne przemiany jakim może podlegać. Przedstawiono definicję ciepła oraz pracy termodynamicznej, a także opis cykli i silników termodynamicznych. Omówiono również podstawowe właściwości termiczne materii. W rozdziale 10 omówione zostały takie zagadnienia elektrostatyki jak Coulombowska siła oddziaływania elektrostatycznego, natężenie, potencjał oraz energia pola elektrycznego czy pojemność elektryczna przewodnika. Przedstawione zostało prawo Gaussa wraz z przykładami stosowania go do wyznaczania natężenia pola elektrycznego. Rozdział opisuje także właściwości elektryczne dielektryków. Rozdział 11 dotyczy zagadnień z zakresu przepływu prądu elektrycznego. Podane zostało prawo Ohma, wyznaczona praca i moc prądu elektrycznego a także omówione podstawowe właściwości obwodów elektrycznych, w tym prawa Kirchhoffa. Strona 8 1 Czym jest fizyka? Wielkości fizyczne, jednostki i wzorce W tym rozdziale: o o o o o Czym jest fizyka? Jednostki podstawowe Miano jednostek wielkości podstawowych Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkości fizycznych Działania na wektorach ROZDZIAŁ 1 1.1. Czym jest fizyka? Fizyka jest podstawową nauką ścisłą wywodzącą się z filozofii. Ślad tego faktu, że fizyka była działem filozofii – filozofią przyrody – znajdujemy w tytule słynnego dzieła Izaaka Newtona, stanowiącego fundament nowożytnej fizyki: ”Principia mathematica philosophiae naturalis” (1686 r.), co może być przetłumaczone jako „Zasady matematyczne filozofii przyrody”. Fizyka jest nauką ścisła i empiryczną, czyli opartą na doświadczeniu ponieważ: • Używa wielkości fizycznych dokładnie zdefiniowanych. W definicji wielkości fizycznej zawarte są informacje dotyczące jej pomiaru. Wielkością fizyczną jest każda wielkość, która daje się mierzyć czyli porównywać ze wzorcem jednostki tej wielkości • Stosuje opis matematyczny zjawisk („matematyka jest językiem fizyki”) • Prawa fizyczne formułuje na podstawie doświadczeń Przez doświadczenie (eksperyment) fizyczny rozumiemy zjawisko przeprowadzone w możliwie uproszczonych i nadających się do analizy warunkach laboratoryjnych z eliminacją zjawisk ubocznych zakłócających zjawisko badane. Podstawowym działaniem w doświadczeniach są właśnie pomiary wielkości fizycznych. Fizyka opiera się na pewnej minimalnej liczbie praw podstawowych o charakterze pewników, aksjomatów, które w fizyce nazywamy zasadami. Czasami mówi się o nich, ze są to „prawa pierwsze”. Oznacza to, że nie odkryto praw bardziej podstawowych, które umożliwiłyby wyprowadzenie tych zasad. Słuszność zasad wynika tylko z doświadczeń i jest uogólnieniem dużej liczby eksperymentów. Klasycznymi przykładami zasad są zasady dynamiki Newtona. Natomiast inne szczegółowe prawa fizyczne (np. prawo Ohma lub prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya) wyprowadzamy z zasad fizyki za pomocą modeli fizycznych opisywanych zjawisk. Strona 10 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE Istnienie zasad i praw szczegółowych powoduje wzajemne powiązanie wielkości fizycznych. Stąd z kolei wynika, że jest w fizyce pewna liczba podstawowych wielkości fizycznych, a pozostałe wielkości są wielkościami zależnymi, pochodnymi. W tej sytuacji wystarczy, iż wzorce jednostek fizycznych stworzymy tylko dla wielkości podstawowych. Ustalono, że są cztery podstawowe wielkości fizyczne: długość, masa, czas i natężenie prądu. Stworzono zatem wzorce metra, kilograma, sekundy i ampera. Taki układ jednostek nazwano pierwotnie układem MKSA od początkowych liter nazw wzorców. Z powodu tradycji i dla wygody dodano jednak następnie przejściowo do układu jeszcze cztery wielkości fizyczne mimo, iż można by je określić przez te pierwsze cztery wielkości podstawowe. Są to: temperatura (w kelwinach), liczność materii (w molach), jasność źródeł promieniowania (w kandelach) i kąt płaski (w radianach). W ten sposób powstał układ jednostek złożony z ośmiu wzorców jednostek wielkości fizycznych wymienionych wyżej, nazywany układem SI (od fr. Systeme International). Wymagania postawione wzorcom jednostek dotyczą maksymalnej dokładności i powszechności, uniwersalności. Ta druga własność ma polegać na tym, by wzorzec mógł być z równą dokładnością odtwarzalny we wszystkich laboratoriach na świecie. Ma to zapewnić możliwość porównywania wyników doświadczeń różnych laboratoriów a przez to możliwość sprawdzania powtarzalności pomiarów, co ma decydujące znaczenie przy tworzeniu praw fizycznych. Jednostki pochodnych wielkości fizycznych są tworzone w oparciu o definicje tych wielkości i istniejące związki tych wielkości z wielkościami podstawowymi ustalone prawami fizyki. Jako przykład ustalmy jednostkę i sposób pomiaru prędkości chwilowej. Powołamy się tu na definicję prędkości chwilowej, która będzie uzasadniona w dalszej części skryptu: v = lim ∆t →0 ∆x ∆t (1.1) Ta matematyczna definicja wskazuje, że aby wyznaczyć prędkość chwilową obiektu trzeba mierzyć odcinki przesunięcia ∆x tego obiektu odpowiadające jak najkrótszym odcinkom czasu ∆t (dążącym do zera) i dzielić je przez siebie. Jest więc w definicji wskazówka pomiarowa i wiemy już, że jednostką prędkości będzie m/s. Strona 11 ROZDZIAŁ 1 1.2. Jednostki podstawowe Jednostką długości jest metr [m]. Metr jest to odległość, jaką pokonuje światło w próżni w czasie 1/299 792 458 s. Jednostką czasu jest sekunda [s]. Sekunda jest definiowana za pomocą tzw. zegara atomowego jako 9 192 631 770 okresów drgań określonego promieniowania atomu cezu 133Cs w temperaturze 0 K. Jednostką masy jest kilogram [kg]. Wzorzec kilograma, wykonany ze stopu platynowo-irydowego znajduje się w Sevres pod Paryżem. Kopie tego wzorca zostały rozesłane do instytutów miar i wag poszczególnych państw. Obecnie dąży się do opracowania lepszej definicji, opartej na masie atomowej. Jednostką temperatury jest Kelwin [K]. Jeden kelwin odpowiada 1 / 273.16 temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody – punktu, w którym współistnieją fazy ciekła (woda), stała (lód) i gazowa (para wodna). Temperatura termodynamiczna jest zdefiniowana w odniesieniu do tzw. zera absolutnego 0 K, która oznacza najniższą temperaturę do jakiej możemy się dowolnie zbliżyć, ale jest nieosiągalna. Na powszechnie stosowanej skali Celsjusza temperaturze punktu potrójnego wody (273.16 K) odpowiada 0.01ºC. W niniejszym skrypcie jako separator dziesiętny stosować będziemy znak kropki, a nie przecinka. Jednostką liczności materii jest jeden mol [mol]. Jest to liczność materii układu zawierającego liczbę cząsteczek równą liczbie atomów w masie 12 gramów izotopu węgla 12C. W jednym molu znajduje się ok. 6.0221415(10)·1023 cząsteczek. Liczba ta jest nazywana stałą Avogadra (liczbą Avogadra). Ponieważ różne cząsteczki mają różną masę równocześnie z licznością należy podać rodzaj cząsteczek (cząsteczki, atomy, jony itp.) lub też zdefiniować masę molową jako masę jednego mola danej substancji. W opisie materii używa się również masy atomowej, która określa ile razy masa jednego atomu danego pierwiastka chemicznego jest większa od jednostki zdefiniowanej jako 1 / 12 masy izotopu węgla 12C. Jednostką światłości jest kandela [cd] i definiuje się ja jako strumień energii (1 / 683 W/sr) wysyłany na sekundę w jednostkowy kąt przestrzenny – steradian. W definicji kandeli wykorzystuje się zielone świaStrona 12 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE tło monochromatyczne o długości 540 nm, dla której to długości ludzkie oko charakteryzuje się największą czułością. Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper [A]. Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośników ładunku elektrycznego. Natężenie prądu definiujemy jako stosunek wartości ładunku elektrycznego, który przepływa przez przewodnik w jednostce czasu. Z definicji tej wynika jednostka natężenia prądu – amper – 1A=1C/s (kulomb/sekunda). Wzorzec pomiarowy jednego ampera definiujemy w następujący sposób. Jeżeli w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach, umieszczonych w próżni w odległości 1 m od siebie będzie płynął stały prąd o natężeniu jednego ampera (1A), to spowoduje on wzajemne oddziaływanie przewodów z siłą równą 2·10-7N na każdy metr długości przewodu. Jako jednostek uzupełniających w układach opisywanych współrzędnymi kątowymi używa się: • radiana na oznaczenie kąta płaskiego [rad]. Kąt pełny wynosi 2π radianów. Wartość kąta może być również określana w stopniach, ale w dalszej części tego skryptu jako miarę kąta przyjmować będziemy radiany. • steradiana na oznaczenie kąta bryłowego [sr]. Kąt pełny wynosi 4π sr. Strona 13 ROZDZIAŁ 1 1.3. Miano jednostek wielkości pochodnych Tabela 1.1. Jednostki wielkości pochodnych układu SI. Według rozporządzenia Rady Ministrów z dnia 30 listopada 2006r w sprawie legalnych jednostek miar Wszystkie wielkości fizyczne mogą być opisane za pomocą jednostek wielkości podstawowych. Dla wygody i prostoty zapisu wprowadzone zostały jednak jednostki wielkości pochodnych. Przykładowo, opisując siły działające w wybranym układzie moglibyśmy za każdym razem podawać jednostkę siły jako kg m/s2, ale prościej i wygodniej jest oznaczyć tę jednostkę symbolem N (1 Newton). W Tabeli 1 przedstawione są definicje przykładowych jednostek wielkości pochodnych tzw. mian wielkości pochodnych Strona 14 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE 1.4. Rachunek mian, operacje na jednostkach wielkości fizycznych Wielkości skalarne i wektorowe Wielkości fizyczne dzielimy na skalary i wektory. Wielkości skalarne mają jedynie wartość. Przykładem takich wielkości są energia, masa, czas czy ładunek elektryczny. Wielkości wektorowe oprócz wartości (modułu) posiadają również kierunek i zwrot. Przykładem mogą być tutaj siła, prędkość czy pęd. W układzie współrzędnych wektor opisujemy podając jego składowe czyli rzuty tego wektora na osie układu r r r r współrzędnych. Przykładowo v = (3,2,4 ) = 3 i + 2 j + 4 k oznacza wektor prędkości o składowych: vx = 3 – w kierunku x czyli wzdłuż werso- r ra i (wektora jednostkowego); v y = 2 – w kierunku y, wzdłuż wersora r r j ; vz = 4 w kierunku z, wzdłuż wersora k . Działania na wektorach Podstawowe działania na wektorach, jakie będziemy wykorzystywać to dodawanie, odejmowanie i mnożenie Mnożenie r r r W wyniku mnożenia wektora b przez skalar, a = c b , otrzymujemy r r b a wektor , którego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora , zaś jego długość jest iloczynem długości wektora b oraz wielkości skalarnej r c ; a = c b . W przypadku, gdy c < 0 to zwrot wektora a jest przeciwny r niż b . To samo działanie możemy wykonać na składowych wektora. r Przykładowo jeśli wektor b = (1,3,5) wymnożymy skalarnie przez 3, otrzymujemy r r r r r a = 3 b = i 3 ⋅1 + j3 ⋅ 3 + k 3 ⋅5 = (3,9,15) Strona 15 ROZDZIAŁ 1 Rysunek 1.1. Dodawanie wektorów na płaszczyźnie a) i mnożenie wektorowe wektorów b) Dodawanie i odejmowanie wektorów Dodawanie wektorów można przeprowadzić graficznie (rysunek 1.1) lub przez dodanie składowych określających wektory w wybranym układzie współrzędnych. Suma dwóch wektorów jest również wektorem. Podobnie jak poprzednio, działanie dodawania można wykonać również na składowych wektorów. Przykładowo, dodając do siebie wektory r r r a = (0,2,−1) , b = (1,3,5) i c = (− 2,3,0) otrzymujemy wektor r r r r d = i [0 + 1 − 2] + j[2 + 3 + 3] + k[− 1 + 5 + 0] = (− 1,8,4 ) Odejmowanie wektorów przeprowadzamy podobnie – jeśli wykonujemy r r r r operację a − b , to do wektora a dodajemy wektor −b , czyli wektor r o identycznej długości i kierunku co b , ale o przeciwnym zwrocie. r r Odejmowanie nie jest przemienne tzn. działanie b −a daje wektor r r o przeciwnym zwrocie niż działanie a − b . Przykładowo, odejmując od r b = (1,3,5) otrzymujemy wektor r r r c = (− 1,−1,−6) , a wykonując działanie b −a otrzymujemy wektor r c = (1,1,6) wektora r a = (0,2,−1) wektor Iloczyn skalarny wektorów r r r r r wektora b na wektor a . Iloczyn skalarny możemy zapisać inaczej jako Iloczyn skalarny c = a ⋅ b jest iloczynem długości wektora a oraz rzutu Strona 16 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE r r c = a ⋅ b = a b cosα (1.2) r r gdzie α jest kątem między wektorami a i b . Przykładem mnożenia skalarnego jest praca będąca iloczynem przesunięcia oraz rzutu siły wywołującej przesunięcie na kierunek tego przesunięcia. Iloczyn skalarny uzyskuje maksymalną wartość gdy wektory są do siebie równoległe, natomiast dla wektorów prostopadłych wartość iloczynu skalarnego równa jest zeru. Iloczyn wektorowy wektorów r r r Wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów ( c = a× b ) jest wektor. Długość tego wektora możemy obliczyć ze wzoru c = ab sinα r (1.3), r gdzie α jest kątem między wektorami a i b . Kierunek tego wektora jest r r a b prostopadły oraz . Zwrot r do płaszczyzny, w której leżą wektory c wektora określa reguła śruby prawoskrętnej – jeśli będziemy kręcić r r a b do wektora po najmniejszym kącie, to kierunek śrubą od wektora ruchu postępowego śruby wyznacza zwrot wektora będącego iloczynem r r r wektorowym c = a×b . Przykładem iloczynu wektorowego jest moment r r r r siły M = r ×F – mnożąc wektorowo wektor r , określający położenie r punktu zaczepienia siły względem osi obrotu, oraz wektor siły F , otrzyr mujemy wektor momentu siły M prostopadły do płaszczyzny, w której oba wektory się znajdują. r r Iloczyn wektorowy uzyskuje wartość maksymalną gdy wektory a i b są do siebie prostopadłe (α = π/2). Gdy wektory są równoległe (α = 0) ich iloczyn wektorowy jest równy zeru. Mnożenie wektorowe nie jest przemienne – w wyniku mnożenia wektor r rowego b×a dostaniemy wektor o identycznej wartości i kierunku co r r a×b , ale o przeciwnym zwrocie. Algebraicznie iloczyn dwóch wektorów możemy przedstawić w postaci macierzy: Strona 17 ROZDZIAŁ 1 r i r r a× b = a x bx r j ay by r k az bz (1.4) Po przekształceniach otrzymujemy: r r a× b = a y b z − a z b y , − a x b z + a z b x , a x b y − a y b x [ ] (1.5) Rzuty wektorów Rozkładanie wektorów na składowe, czyli rzutowanie wektora na wybrane osie jest procedurą odwrotną do dodawania wektorów pozwalającą wyznaczyć składowe wektora w wybranych kierunkach. r Jeżeli rozpatrzymy wektor a na płaszczyźnie dwuwymiarowej, tworzący kąt α z wyróżnioną prostą, składowa równoległa do tej prostej wynosi a II = a cosα (dla α = 0 wartość tej składowej wynosi a II = a , a dla α = π/2 wynosi a II = 0 ) zaś składowa prostopadła a ⊥ = a sinα Przykład Rozłóż siłę grawitacji działającą na ciało znajdujące się na powierzchni równi o kącie nachylenia α na składową prostopadłą i równoległą do powierzchni równi. Siła ciężkości ( Fc = mg ) skierowana pionowo w dół może być składową równoległą i prostopadłą do równi (Rysunek. 1.2.). Ze względu na podobieństwo trójkątów kąt α tworzący równię będzie również występował między siłą ciężkości i jej składowymi. Składowa siły ciężkości równoległa do powierzchni równi (siła ściągająca ciało) wynosi więc FII = mg sinα , a składowa prostopadła będąca siłą nacisku ciała na równię F⊥ = mg cosα Strona 18 CZYM JEST FIZYKA? WIELKOŚCI FIZYCZNE , JEDNOSTKI I WZORCE Rysunek 1.2. Rozłożenie siły ciężkości działającej na ciało na powierzchni równi na składowe Strona 19 ROZDZIAŁ 1 Strona 20 2 Opis ruchu W tym rozdziale: o o o o Układ odniesienia i układ współrzędnych Przemieszczenie i droga Prędkość Przyspieszenie ROZDZIAŁ 2 2.1. Układ odniesienia i układ współrzędnych Opisując położenie obiektu musimy określić układ odniesienia, czyli powiedzieć względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie tego obiektu. Na przykład opisując położenie samochodu zaparkowanego na ulicy między dwoma skrzyżowaniami przyjmujemy środek jednego ze skrzyżowań jako układ odniesienia. Poza precyzyjnym określeniem względem jakiego punktu będziemy opisywać położenie samochodu istotne jest również zdefiniowanie układu współrzędnych. W zależności od tego, w którą stronę będziemy zwróceni stojąc na skrzyżowaniu, nasz samochód może być przed lub za nami, z prawej lub lewej strony. Po zdefiniowaniu okładu odniesienia oraz układu współrzędnych położenie obiektu określamy podając jego odległość od osi układu współrzędnych. Rozpatrzmy samochód zaparkowany na ulicy, stojący w odległości 20m od skrzyżowania. Samochód jest obiektem przestrzennym, ale w przypadku, gdy nie interesuje nas jak jest on zaparkowany (równolegle czy prostopadle) możemy zastąpić go punktem materialnym znajdującym się w środku samochodu o masie równej masie całego samochodu. Jeśli interesuje nas jedynie odległość miejsca zaparkowania od skrzyżowania mierzona wzdłuż ulicy (rysunek 2.1 a.), wybrany układ odniesienia ma tylko jeden wymiar ( x ). Jeżeli za początek układu przyjmiemy środek skrzyżowania, wówczas położenie samochodu można opisać: r = 20. Załóżmy teraz, że chcemy dokładniej opisać położenie samochodu (środka masy samochodu) – będzie nas interesować nie tylko odległość mierzona wzdłuż ulicy, ale również położenie względem środka ulicy (czy samochód zaparkowany jest tuż przy krawężniku czy na środku jezdni). W takim przypadku wprowadzimy dwuwymiarowy układ współrzędnych. Jeżeli przyjmiemy szerokość jezdni równą 4m oraz ponownie za początek układu współrzędnych przyjmiemy środek skrzyżowania, to środek samochodu zaparkowanego przy chodniku będzie się znajdował w odległości 3m od osi jezdni (rysunek 2.1a). Współrzędne zaparkowanego samochodu wynoszą więc x = 20 i y = −3 a jego położenie możemy r opisać wektorem r = (20, −3) . Gdybyśmy natomiast chcieli opisać położenie środka masy samochodu z uwzględnieniem wysokości względem drogi potrzebna będzie trzecia współrzędna z i trójwymiarowy układ współrzędnych. Przyjmując poStrona 22 OPIS RUCHU nownie za początek układu współrzędnych środek skrzyżowania, zakładając, że ulica jest pozioma oraz że środek masy samochodu znajduje się pół metra nawierzchnią ulicy otrzymujemy wektor położenia środka mar sy samochodu: r = (20,−3,0.5) . Rysunek 2.1. Opis położenia samochodu: a) z lewej – w układzie kartezjańskim dwuwymiarowym, b) z prawej – w układzie biegunowym dwuwymiarowym Warto zauważyć, że zdefiniowany w powyższym przykładzie układ współrzędnych jest układem prostokątnym (osie są wzajemnie prostopadłe). Taki układ nazywany jest również układem kartezjańskim. W pewnych przypadkach znacznie wygodniejszy niż układ kartezjański jest tzw. układ biegunowy. W układzie tym położenie obiektu wyznacza współrzędna radialna r oraz kąt α pod jakim widać obiekt względem wyróżnionego kierunku. Gdyby samochód został zaparkowany w dzielnicy o gwiaździstym układzie ulic (w Warszawie przykładem takiej zabudowy są Stary Żoliborz czy okolice gmachu głównego Politechniki Warszawskiej) jego położenie można by określić podając odległość od środka ronda oraz kąt (rysunek 2.1 b.). 2.2. Przemieszczenie i droga r Przemieszczenie obiektu ∆ r definiujemy jako zmianę jego położenia, r czyli różnicę wektora opisującego położenie końcowe rk oraz początko- r we rp obiektu: r r r ∆ r = rk − rp (2.1) Strona 23 ROZDZIAŁ 2 Widzimy że tak zdefiniowany wektor zależy jedynie od początkowego i końcowego położenia ciała, a nie od toru wzdłuż którego ciało się porusza. Wektor przemieszczenia nie określa toru po jakim ciało się przemieszcza z położenia początkowego do końcowego. Dlatego w opisie ruchu ciała często wyznaczamy drogę przebytą przez ciało, oznaczaną symbolem s, która jest równa długości toru, po którym ciało się porusza. W odróżnieniu od wektora przemieszczenia, droga jest wielkością skalarną. 2.3. Prędkość Kolejnym parametrem, określającym stan ruchu ciała, jest jego prędr kość v . Prędkość średnią obiektu można zdefiniować na dwa sposoby. Prędkość średnią definiujemy jako przemieszczenie obiektu, które nastąpiło na jednostkę czasu: r r ∆r v = ∆t (2.2) Tak wyrażona wielkość jest wektorem i zawiera informację o kierunku ruchu obiektu. Warto jednak zauważyć, że jeśli ruch nie odbywa się wzdłuż prostej, wartość wektora średniej prędkości będzie znacznie odbiegać od rzeczywistej prędkości obiektu. Prędkość średnią można również definiować za pomocą drogi pokonanej przez ciało w określonym czasie: v = ∆s ∆t (2.3) Wyliczona w ten sposób średnia prędkość obiektu jest skalarem i dobrze oddaje wartość średniej prędkości obiektu zarówno w przypadku ruchu prostoliniowego, jak i krzywoliniowego. Nie zawiera jednak informacji o kierunku ruchu. Dobrym przykładem pozwalającym zrozumieć definicję prędkości jest ruch windy w pionowym szybie. Załóżmy, że winda potrzebowała n sekund, żeby przemieścić się z parteru na wysokość x [m]. Dla wygody początek układu współrzędnych umieścimy na wysokości równej Strona 24 OPIS RUCHU wysokości środka masy windy, a zwrot osi – oznaczonej jako x − skierujemy do góry. W takim przypadku długość wektora przemieszczenia jest równa przebytej przez ciało drodze, i niezależnie od wyboru jednej z dwu powyższych definicji otrzymamy identyczną wartość prędkości: v= ∆x ∆t (2.4) Rysunek 2.2. Wyznaczanie średniej prędkości ciała Na rysunku 2.2 przedstawiony został wykres położenia ciała w funkcji czasu. Wyznaczając średnią prędkość ruchu tego ciała rysujemy cięciwę łączącą punkt początkowy oraz końcowy na tym wykresie a następnie wyznaczamy kąt nachylenia tej cięciwy. Tangens tego kąta nachylenia równy będzie co do wartości stosunkowi długości odcinków ∆x oraz ∆t i definiuje średnią prędkość ciała. Tak uzyskana wartość prędkości średniej nie zawiera jednak pełnej informacji o prędkości windy – początkowo winda znajduje się w spoczynku, następnie jej prędkość się zwiększa, na odcinku między piętrami pozostaje stała, a na najwyższym piętrze prędkość zmniejsza się aż do zatrzymania windy. Pełniejsze dane dotyczące prędkości w poszczególnych stadiach ruchu możemy otrzymać, dzieląc wykres na mniejsze odcinki. W ten sposób wyliczamy średnią prędkość windy w czasie ruszania z miejsca, średnią prędkość windy pomiędzy piętrami i średnią prędkość w trakcie hamowania. Podobnie jak poprzednio, wartość średniej prędkości wyliczonej dla danego odcinka jest równa tangensowi kąta nachylenia krzywej, wyliczonemu dla danego odcinka. Warto zwróStrona 25 ROZDZIAŁ 2 cić uwagę, że dla odcinka między piętrami, gdzie prędkość jest stała, obliczona średnia prędkość jest równa rzeczywistej prędkości windy. Zgodnie z równaniem 2.3 wyznaczając prędkość średnią ciała rozpatrujemy drogę ∆s jaką ciało to pokona w czasie ∆t. Jeżeli rozpatrywane odstępy czasowe będą nieskończenie krótkie, czyli ∆t→0 co oznaczamy symbolem dt, wówczas wyznaczona w ten sposób prędkość będzie prędkością chwilową ciała. Dla takich infinitezymalnych przedziałów czasowych wartość przemieszczenia ciała oraz droga przebyta przez to ciało są sobie równe a prędkość chwilową możemy zdefiniować: r r r ∆r d r = v = lim ∆t →0 ∆t dt (2.5) Ze wzoru 2.5 wynika, że prędkość chwilowa jest równa pochodnej wektora położenia po czasie liczonej dla danej chwili. Geometryczna interpretacja pochodnej to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w danym punkcie. Tak więc, żeby wyznaczyć prędkość chwilową należy na wykresie drogi przebytej w funkcji czasu narysować styczną do tej krzywej w interesującym nas punkcie. Im szybciej będzie się zmieniało położenie ciała, tym bardziej stromy będzie wykres położenia w funkcji czasu i w efekcie większa wartość prędkości chwilowej. 2.4. Przyspieszenie Przyspieszenie chwilowe ciała definiujemy jako pochodną prędkości po czasie. Przyspieszenie opisuje więc tempo zmian prędkości w danej chwili ruchu i wyraża się w m/s2. dv(t ) d(ds d t ) d 2 s a= = = 2 dt dt dt (2.6) Podobnie jak w przypadku prędkości chwilowej, przyspieszenie chwilowe jest równe tangensowi kąta nachylenia krzywej określającej zależność prędkości od czasu, obliczonemu dla danej chwili ruchu. Przeanalizujmy jeszcze raz omawiany wcześniej ruch windy wykreślając zależność prędkości windy od czasu. Kiedy winda rusza z miejsca i jej prędkość jednostajnie narasta to styczna do tej krzywej będzie taka sama w każdym punkcie, a więc otrzymujemy stałą, dodatnią wartość przyspieszenia. Na odcinku pomiędzy piętrami wartość prędkości windy nie Strona 26 OPIS RUCHU zmienia się, a więc kąt nachylenia krzywej prędkości względem osi czasu wynosi zero – wartość przyspieszenia jest również zerowa. Kiedy winda hamuje, wykres prędkości od czasu jest liniowy, a jego nachylenie przyjmuje wartość ujemną – zatem i przyspieszenie jest ujemne (opóźnienie). Wykresy przyśpieszenia, prędkości oraz położenia od czasu dla omawianej windy przedstawione są na rysunku 2.3. Droga przebyta przez windę w początkowym etapie ruchu jest proporcjonalna do kwadratu czasu i może być wyrażona zależnością typu s = kt2, gdzie k wyraża pewien stały współczynnik. Pochodna takiej funkcji jest funkcją liniową co oznacza, że prędkość windy rośnie liniowo w funkcji czasu. Podczas jednostajnego hamowania droga pokonywana przez windę również będzie opisana funkcją kwadratową, jednak w tym przypadku długość odcinków pokonywanych przez nią w jednostce czasu będzie malała z kwadratem czasu. W tym etapie ruchu prędkość również będzie się zmieniała liniowo, ale tym razem prędkość będzie malała jednostajnie w czasie. Pomiędzy piętrami nachylenie krzywej zależności drogi od czasu jest wielkością stałą w każdej chwili czasu – zatem również prędkość jest stała. Strona 27 ROZDZIAŁ 2 Rysunek 2.3. Wykres zależności czasowej położenia, prędkości i przyśpieszenia poruszającej się w górę windy Warto porównać otrzymane zależności ze znanymi wzorami opisującymi ruch jednostajny i jednostajnie przyspieszony. W ruchu prostoliniowym jednostajnie przyspieszonym przyspieszenie a ma wartość stałą – prędkość wyraża się wzorem: (2.7) v = v0 + at gdzie v0 – prędkość początkowa obiektu. Pokonana przez ciało droga s wyraża się natomiast wzorem: s = s 0 + v0 t + Strona 28 at 2 2 (2.8) OPIS RUCHU gdzie s0 oznacza drogę początkową. Jak łatwo zauważyć, wielkości te są ze sobą powiązane zależnościami różniczkowymi – obliczając pochodną drogi po czasie otrzymujemy prędkość, a obliczając z kolei pochodną prędkości otrzymujemy przyspieszenie, które jest stałe. Strona 29 ROZDZIAŁ 2 Strona 30 3 Dynamika W tym rozdziale: o o o Zasady dynamiki Newtona Zasada superpozycji Zasada zachowania pędu ROZDZIAŁ 3 3.1. Zasady dynamiki Newtona Dynamika zajmuje się przyczynami zmian ruchu. Ilość tego ruchu lub też stan ruchu danego ciała opisuje pęd. Pęd ciała jest proporcjonalny zarówno do prędkości poruszającego się ciała jak i jego masy – im szybciej ciało się porusza oraz im większą ma masę, tym większa ilość ruchu związana jest z tym ciałem, czyli tym większy jest jego pęd. Jednostką pędu jest kg m/s. Pęd jest wektorem, skierowanym zgodnie z kierunkiem prędkości ciała r r p =m v (3.1) Dynamikę ruchu ciała, czyli przyczyny zmian pędu ciała wyjaśniają zasady dynamiki Newtona. Zasady dynamiki Newtona są prawami pierwszymi, których nie można wyprowadzić ani udowodnić za pomocą innych praw. Zasady dynamiki Newtona są ścisłym matematycznym ujęciem powszechnych obserwacji dotyczących poruszających się obiektów. Druga zasada dynamiki Newtona Nasze rozważania rozpoczniemy od II zasady dynamiki Newtona. Wyobraźmy sobie, że chcemy rozpędzić ciężki wózek. Z codziennych doświadczeń wynika, że taki sam efekt możemy osiągnąć w wyniku krótkotrwałego, ale bardzo mocnego pchnięcia jak i długotrwałego popychania wózka z niewielką siłą. Można również powiedzieć, że im większa jest wartość siły działającej na ciało oraz im dłużej ona działa, czyli im większy jest popęd tej siły, tym większą zmianę pędu ona wywoła. Zależność tę możemy zapisać w postaci: r v dp = F d t (3.2) Powyższy wzór można przekształcić i zapisać w postaci różniczkowej (dla infinitezymalnie krótkiego przedziału czasowego dt ): r d pr F= dt Strona 32 (3.3) DYNAMIKA Miarą siły działającej na ciało jest pochodna jego pędu po czasie. Powyższe sformułowanie oraz równanie 3.3 jest współczesnym zapisem II zasady dynamiki Newtona. Definicja siły za pomocą pochodnej pędu ciała po czasie oznacza, że jeżeli wykreślimy zależność pędu ciała od czasu, to nachylenie stycznej do krzywej obrazującej zmiany wartości pędu od czasu będzie proporcjonalne do wartości siły działającej na ciało. Żeby dokładniej zrozumieć znaczenie II zasady dynamiki Newtona, wyliczmy teraz wartość pochodnej pędu po czasie pamiętając, że pęd jest wielkością złożoną, tzn. zależy zarówno od masy jak i prędkości ciała: F= d(v m ) dv dm = m+ v dt dt dt (3.4) Powyższe równanie jest tzw. różniczkowym równaniem ruchu ciała. Pierwszy człon tego równania jest równy iloczynowi masy i przyśpieszenia (pochodna prędkości po czasie). Widzimy zatem, że im większa jest masa ciała, tym trudniej jest mu nadać przyśpieszenie – masa jest miarą bezwładności ciała. Drugi człon równania opisuje przypadki kiedy zmiana pędu następuje w wyniku zmiany masy ciała. Przykładem takiego układu, w którym zmienia się masa może być rakieta. Podczas startu z dysz rakiety wyrzucany jest strumień spalin, który wywołuje jej ruch ale również zmniejsza masę całego obiektu. Dla układów których masa nie zmienia się drugi człon równania 3.4 wynosi zero i różniczkowe równanie ruchu można zapisać w postaci uproszczonej – siła F działająca na ciało o masie m nadaje mu przyspieszenie a o kierunku i zwrocie takim samym jak działająca siła: r r F =ma (3.5) Pierwsza zasada dynamiki Newtona Rozpatrzmy teraz przypadek, kiedy pęd ciała jest stały, czyli jego prędkość nie zmienia się w czasie. Wówczas wykres zależności pędu od czasu jest linią poziomą, czyli kąt nachylenia tej krzywej i zarazem tangens kąta stycznej do tej krzywej jest w każdym punkcie taki sam i wynosi zero. Oznacza to, że pochodna pędu po czasie w każdej chwili ruchu również wynosi zero. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona Strona 33 ROZDZIAŁ 3 jeżeli pochodna pędu po czasie wynosi zero to wypadkowa siła działająca na ciało również musi wynosić zero. Ten przypadek zachowania się ciała pod wpływem zerowej wypadkowej siły opisuje I zasada dynamiki Newtona: Jeżeli na ciało nie działa żadna siła, albo siły działające równoważą się to stan ruchu ciała nie ulega zmianie: jeśli poruszało się prostoliniowo jednostajnie, to będzie nadal trwało w tym ruchu a jeśli było w spoczynku to nadal pozostaje w spoczynku. Zasada ta nazywana jest również zasadą bezwładności – ciało nie jest władne zmienić stanu swego ruchu jeżeli nie działa na nie siła. Trzecia zasada dynamiki Newtona Względem każdego działania (akcji) istnieje równe mu przeciwdziałanie (reakcja) skierowane przeciwnie, tj. wzajemne oddziaływania dwóch ciał są zawsze równe sobie i skierowane przeciwnie. Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona jeżeli jakieś ciało A działa na ciało B pewną siłą, to również ciało B działa na ciało A siłą równą co do wartości ale o przeciwnym zwrocie co zapisujemy: r r FA na B = − FB na A (3.6) Rozpatrzmy uderzenie ręką piłki siatkowej. W momencie uderzenia działamy na piłkę siłą, która wywołuje jej ruch ale zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona również piłka działa na naszą dłoń z tą samą siłą lecz o przeciwnym zwrocie. Gdy odbijamy piłkę lekko, czyli działamy na nią niewielką siłą również siła reakcji ma niewielką wartość, ale przy mocnym uderzeniu, czyli gdy działamy na piłkę z dużą siłą występuje równie duża siła reakcji, którą odczuwamy jako ucisk czy nawet ból dłoni. Zasada superpozycji Opisując ruch ciał pod wpływem działających na nie sił należy pamiętać, że zarówno siła jak i pęd są wektorami. Szukając więc siły wypadkowej z kilku sił składowych działających na ciało należy dodać wektorowo wszystkie siły składowe. Zmiana pędu będzie następowała w tym samym kierunku co ta wypadkowa siła. W przypadku gdy różniczkowe Strona 34 DYNAMIKA równania ruchu dla każdego z kierunków, w których działają siły składowe, są liniowe możemy skorzystać z zasady superpozycji. Zgodnie z zasadą superpozycji wypadkowe zachowanie ciała pod wpływem kilku składowych sił może być opisane jako złożenie ruchów wywołanych każdą z sił z osobna. Zasadę superpozycji wykorzystamy do opisu ruchu ciała rzuconego z prędkością początkową v0 pod pewnym kątem α względem powierzchni Ziemi (rzut ukośny). Jeżeli chwilowo zaniedbamy opory powietrza to na takie ciało będzie działała tylko siła grawitacji skierowana wzdłuż osi pionowej ( y ). A więc tylko w kierunku pionowym będziemy obserwowali zmianę ruchu (zmianę pędu) ciała. W kierunku poziomym x natomiast na ciało nie działa żadna siła a więc pęd się nie zmienia i ruch jest jednostajny. Wypadkowy ruch ciała rzuconego ukośnie jest więc złożeniem ruchu jednostajnie przyspieszonego w kierunku pionowym (pod wpływem przyspieszenia g) oraz jednostajnego w kierunku poziomym i może być opisany krzywą paraboliczną. 3.2. Zasada zachowania pędu Rozpatrzmy układ odosobniony, w którym na ciała nie oddziałują żadne siły zewnętrzne a jedynie siły wzajemnych oddziaływań. Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona takie siły wzajemnych oddziaływań między każdymi dwoma ciałami układu są identyczne co do wartości, lecz mają przeciwne zwroty. Wypadkowa siła działająca na cały układ jest wówczas zerowa a więc zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona całkowity pęd układu nie zmienia się w czasie. Oznacza to, że jeżeli w takim układzie odosobnionym nastąpi zmiana pędu jednego ciała o ∆p, to pęd drugiego ciała (lub pozostałych ciał) musi również ulec zmianie o taką samą wartość lecz o przeciwnym zwrocie (-∆p). W ten sposób dochodzimy do zasady zachowania pędu, która może być zapisana w następujący sposób: W układzie odosobnionym całkowity pęd układu (suma pędów wszystkich ciał) jest wielkością stałą. r r p = ∑ p i = const. i r ∆p = 0 (3.7) Strona 35 ROZDZIAŁ 3 Ponieważ pęd jest wielkością wektorową w przypadku zdarzeń opisywanych w więcej niż jednym wymiarze zasada zachowania pędu jest spełniona niezależnie dla każdego z kierunków. W trójwymiarowym układzie kartezjańskim zasadę zachowania pędu można więc zapisać: ∆ px = 0 ∆ py = 0 (3.8) ∆ pz = 0 Przykład 1 Zastosujmy najpierw zasadę zachowania pędu dla przykładu jednowymiarowego. Rozpatrzmy nieruchomy pocisk o masie m, który w wyniku wybuchu ulega rozerwaniu na dwie części o masach 1/3m oraz 2/3m. Większa część porusza się w prawo z prędkością v0 . Z jaką prędkością i w którą stronę poruszać się będzie mniejsza część pocisku? Ponieważ układ jest odosobniony, to zgodnie z zasadą zachowania pędu całkowity pęd układu nie ulega zmianie. Czyli jeżeli pęd układu przed wystrzałem wynosił zero (pocisk był nieruchomy), to również pęd końcowy, będący sumą pędów obu części pocisku, będzie równy zeru. Zasadę zachowania pędu w tym przypadku możemy zapisać: 0 = 23 m v0 + 13 m v (3.9) v = −2 v 0 (3.10) Znak minus w powyższym wyniku oznacza, że wektor prędkości mniejszej części pocisku ma zwrot przeciwny do wektora prędkości większej części pocisku. Strona 36 DYNAMIKA Rysunek 3.1. Zderzenie dwóch kul Przykład 2 Zastosujmy teraz zasadę zachowania pędu dla układu dwuwymiarowego. Rozważmy zderzenie dwóch identycznych kul bilardowych o masie m każda. W chwili początkowej kula B jest nieruchoma i uderza w nią kula A poruszająca się wzdłuż osi x z prędkością v 0 . W jakim kierunku i z jaką prędkością będzie się poruszała po zderzeniu kula B, jeżeli po zderzeniu kula A porusza się z prędkością 0.5 v0 wzdłuż osi y, jak na rysunku 3.1. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zakładamy że rozważany układ jest układem odosobnionym, a więc całkowity pęd układu dwóch kul przed i po zderzeniu jest taki sam. W szczególności składowe pędu całkowitego układu w kierunku każdej z osi układu odniesienia również nie zmieniają się. Przed zderzeniem w kierunku osi x całkowity pęd układu był równy pędowi kuli A (tylko kula A porusza się w kierunku x a kula B jest nieruchoma), natomiast po zderzeniu tylko prędkość kuli B ma pewną składową wzdłuż osi x, a więc po zderzeniu pęd całkowity układu w kierunku osi x jest równy składowej pędu kuli B. Zasadę zachowania pędu dla kierunku x możemy zatem zapisać: p poczatkowy x = p koncowy x m A v0 = m B vBX (3.11) Strona 37 ROZDZIAŁ 3 W kierunku osi y pęd początkowy układu wynosi zero (żadna z kul nie porusza się wzdłuż osi y), zaś pęd końcowy związany jest z kulą A poruszającą się w górę w kierunku osi y oraz kulą B, której prędkość ma składową o zwrocie przeciwnym niż oś y (składowa w dół). Zasadę zachowania pędu dla kierunku y możemy więc zapisać: p poczatkowy y = p koncowy y (3.12) 0 = m A vAy − m B vBy Uwzględniając vBx = vB cosα , vBy = vB sinα , vAy = 0.5 v0 oraz przyjmując m A = m B = m układ równań 3.11 oraz 3.12 możemy przekształcić do postaci: m v0 = m⋅ vB cosα m⋅ 0.5v0 = m vBsinα (3.13) a następnie wyznaczyć prędkość kuli B oraz kąt pod jakim poruszać się będzie kula B: v = v 2 0 B 2 1 tgα = 2 ,α = π 4 Kula B poruszać się więc będzie z prędkością vB = v0 2 (3.14) 2 w prawo i w dół, pod kątem π/4 względem osi x. Zasada zachowania pędu jest wykorzystywana i pozwala wyjaśnić działanie między innymi silników odrzutowych samolotów czy strumieniowych łodzi. W silniku odrzutowym powietrze jest najpierw zasysane do komory silnika, w której ulega kompresji. W skompresowanym powietrzu następuje spalanie benzyny, a gorące spaliny opuszczają dyszę silnika z dużą prędkością. Pęd wyrzucanych spalin wywołuje w tym przypadku zmianę pędu silnika, a przez to całego samolotu. Konstrukcje innego typu, wykorzystujące strumień rozpędzonych jonów (naładowanych cząstek), używane są do pozycjonowania satelitów i sond kosmicznych. Silniki oparte na zasadzie odrzutu wykorzystywane są również w napędzie skuterów wodnych i nowoczesnych łodzi podwodnych. W tym drugim przypadku hałas wytwarzany przez układ napędowy jest niższy niż w tradycyjnym rozwiązaniu ze śrubą napędową. Należy pamiętać, że Strona 38 DYNAMIKA również w przypadku śrub, śmigieł i wirników napędowych wykorzystujemy w mniejszym lub większym stopniu zjawisko odrzutu. Strona 39 ROZDZIAŁ 3 Strona 40 4 Praca i energia W tym rozdziale: o o o o o o o o Praca Pole sił zachowawczych i niezachowawczych Pole sił grawitacyjnych, praca i energia w polu sił grawitacyjnych Ruch po okręgu, ruch planet wokół Słońca, prawa Keplera Energia potencjalna sprężystości Energia kinetyczna Zasada zachowania energii mechanicznej Zderzenia ROZDZIAŁ 4 4.1. Praca W języku potocznym pojęcie pracy ma wiele znaczeń. Mówimy o pracy umysłowej (na przykład uczenie się do egzaminów) ale najczęściej z pojęciem pracy wiąże się przemieszczaniem ciała Jeżeli na przykład przesuwamy meble w pokoju to tym bardziej się zmęczymy im dalej przesuniemy dany mebel. Wiemy również, że bardziej męczące jest przesuwanie ciężkiej kanapy niż lekkiego krzesła oraz, że dużo łatwiej jest przesuwać meble po gładkiej podłodze niż po dywanie. Tak więc moglibyśmy powiedzieć, że tym bardziej się zmęczymy (wykonamy większą pracę) im trudniej jest nam przesuwać ciało (pokonać większą siłę) oraz im dalej to ciało przesuniemy (większe przemieszczenie). W ten sposób dochodzimy do fizycznej definicji pracy. Praca jest równa iloczynowi przemieszczenia oraz siły, która te przemieszczenie wywołuje. Praca jest wielkością skalarną wyrażaną w dżulach (ang. Joul) [J] i w ogólności może być zdefiniowana jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia: r r W = F ⋅ s = F s cos α (4.1) gdzie α oznacza kąt między wektorem siły i przesunięcia. Rysunek 4.1. Praca jako iloczyn skalarny siły i przesunięcia Taka definicja pracy uwzględnia fakt, że pracę wykonuje tyko składowa siły równoległa do wektora przesunięcia. Na przykład jeśli przesuwamy skrzynię po podłodze na odległość D = 3m, ciągnąc ją za uchwyt siłą F = 20N skierowaną pod kątem α = 45º do poziomu, to zgodnie z powyższym wzorem wykonamy pracę W = 42.3J. Zależnie od wartości sił tarcia, wykonana praca może być w całości zużyta na pokonanie sił tarcia na tej drodze, bądź (jeśli podłoga jest śliska) na nadanie dodatkowo skrzyni przyspieszenia. Strona 42 PRACA I ENERGIA Definicja pracy przedstawiona w równaniu (4.1) słuszna jest, jeśli zarówno siła działająca na ciało jak i kąt między tą siłą a przesunięciem mają stałą wartość. Jeśli natomiast wartość siły lub kąta pomiędzy kierunkiem siły a wektorem przemieszczenia zmienia się podczas ruchu, musimy zastosować inną procedurę obliczania pracy całkowitej. Ponieważ praca jest wielkością addytywną, czyli całkowita praca wykonana na określonej drodze jest równa sumie prac wykonanych na poszczególnych jej odcinkach, to możemy całą drogę podzielić na takie odcinki, dla których wartość siły i kąta między siłą a przemieszczeniem są stałe. W = F1 x 1 cos α1 + F 2 x 2 cos α 2 + ... + F n x n cos α n (4.2) Przykładowo praca wykonana przy przesuwaniu kanapy w pokoju mogłaby zostać podzielona na dwie składowe – przesunięcia po dywanie oraz po parkiecie. Opisaną procedurę obliczania pracy całkowitej można również przedstawić w formie graficznej jako procedurę wyznaczania pola pod wykresem zależności siły od przesunięcia. Jeżeli na pewnym odcinku drogi x n siła ma stałą wartość F n to pole pod takim odcinkiem wykresu wynosi F n x n i jest równoznaczne wykonanej pracy. Jeżeli siła zmienia swoją wartość lub zwrot w każdej chwili czasu, niezbędne jest podzielenie drogi na nieskończenie wiele bardzo małych kawałeczków (infinitezymalnie małych), dla których można przyjąć stałą wartość działającej siły. Praca całkowita będzie sumą składowych prac wyznaczonych dla każdego z takich infinitezymalnych odcinków. Procedura taka odpowiada matematycznej operacji całkowania i możemy ją zapisać w postaci: x =b W = ∫ F (x ) cos (α x ) dx ) (4.3) ) ⋅ dxr (4.4) ( x =a lub w zapisie wektorowym: x =b W = r F ∫ (x x =a W powyższym zapisie wprowadziliśmy znak całki oznaczonej, który oznacza, że sumowanie składowych wartości pracy przeprowadzane jest od punktu x = a do x = b. Strona 43 ROZDZIAŁ 4 Aby wyjaśnić sposób obliczania całki oznaczonej rozpatrzmy najpierw całkę nieoznaczoną: g (x ) = ∫ f (x ) d x (4.5) ∫ gdzie jest symbolem całkowania (jest to stylizowana litera s i odpowiada sumowaniu), dx – zmienną całkowania, f(x) – funkcją podcałkową zaś g(x) jest funkcją pierwotną. Operacja całkowania jest operacją odwrotną do różniczkowania i oznacza, że szukamy takiej funkcji g(x), której pochodna po zmiennej x będzie równa funkcji podcałkowej f(x): d g (x ) = f (x ) dx (4.6) Należy podkreślić, że funkcję g(x) będącą wynikiem całkowania znamy z dokładnością do stałej – dodanie do funkcji g(x) dowolnej stałej C nie zmienia jej pochodnej f(x). Zatem wzór 4.5 należy przepisać w postaci: g (x ) + C = ∫ f (x ) d x (4.7) Rozpatrzmy teraz całkę oznaczoną: x =b Z= ∫ f ( x )dx = g ( x = b) − g ( x = a) (4.8) x =a gdzie x = a jest dolną granicą całkowania, zaś x = b jest górną granicą całkowania. W wyniku obliczania całki oznaczonej w przeciwieństwie do całki nieoznaczonej otrzymujemy liczbę (Z) a nie funkcję (g(x)). W praktyce w celu wyznaczenia wartości Z takiej całki oznaczonej najpierw znajdujemy funkcję g(x), będącą rozwiązaniem całki nieoznaczonej z funkcji f(x), a następnie od wartości tej funkcji w górnej granicy całkowania (g(x=b)) odejmujemy wartość otrzymaną w dolnej granicy całkowania (g(x=a)). Przykłady Przykład 1: Jaką pracę należy wykonać, by wciągnąć ciało o masie m po gładkiej równi pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H? Opory ruchu zaniedbujemy. Strona 44 PRACA I ENERGIA Rysunek 4.2. Ruch ciała po równi pochyłej Załóżmy, że działamy na ciało siłą F skierowaną wzdłuż powierzchni równi. Ciężar ciała (mg) skierowany pionowo w dół rozkładamy na dwie dwie składowe: równoległą do równi siłę ściągającą ciało w stronę podstawy równi, Fs, oraz prostopadłą do równi siłę nacisku, FN. Aby wciągać ciało, siła F musi równoważyć siłę zsuwającą Fs : F S = mg sin α (4.9) Droga, na której wykonujemy pracę, jest równa: S = H sin α (4.10) Zatem całkowita praca wynosi: W = F S S = mgH (4.11) Wynik ten jest identyczny, jaki uzyskamy gdybyśmy podnosili ciało pionowo w górę. Tak więc jeżeli zaniedbamy opory ruchu, praca (w polu grawitacyjnym) nie zależy od drogi, po której przesuwamy ciało, a jedynie od położenia punktu początkowego i końcowego. Przykład 2: Jaką pracę należy wykonać, by wciągnąć ciało o masie m po równi pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego o powierzchnię równi wynosi µ? W tym przypadku wciągając przedmiot po równi podobnie jak w poprzednim zadaniu również musimy pokonywać siłę ściągającą ciało ku podstawie równi, Fs, wykonując pracę równą W1 = mgH. Ponieważ na równi występuje dodatkowo siła tarcia T, do wciągnięcia ciała niezbędna będzie również dodatkowa praca. Siła tarcia jest proporcjonalna do siły Strona 45 ROZDZIAŁ 4 nacisku ciała na powierzchnię FN (wypadkowa wszystkich sił działających w kierunku prostopadłym do powierzchni) a jej kierunek i zwrot są zawsze przeciwne wektorowi przemieszczenia – tarcie przeciwdziała ruchowi ciała. T = FN S (4.12) Tak więc praca związana z pokonaniem siły tarcia wynosi: W 2 = T S = FN µ S (4.13) F N = mg cos α (4.14) gdzie Zatem całkowita praca wciągnięcia ciała po równi pochyłej o kącie nachylenia α na wysokość H jest równa: W = W 1 +W 2 = mg (sin α + µ cos α ) H sin α (4.15) Przykład 3: Jaką pracę należy wykonać, by opróżnić przydomowy kolektor ściekowy o głębokości D = 2m i objętości V = 6m3 do cysterny? Zarówno zbiornik kolektora, jak i zbiornik cysterny mają identyczne wymiary. Przyjmij, że dno zbiornika cysterny znajduje się na identycznej wysokości, jak górna powierzchnia zbiornika kolektora. Rysunek 4.3. Przepompowywanie wody z kolektora ściekowego do cysterny Problem z pozoru wydaje się prosty – należy unieść pewną ilość wody na określoną wysokość. Zauważamy, że praca do wpompowania pierwStrona 46 PRACA I ENERGIA szej porcji wody z powierzchni kolektora jest niewielka – dno cysterny znajduje się na identycznej wysokości co powierzchnia zbiornika. Jednak po wpompowaniu do cysterny pierwszej porcji wody, wytworzy ona warstwę o wysokości dh zaś poziom płynu w zbiorniku obniży się o dh i następna porcja musi być uniesiona na wysokość odpowiednio większą. Podzielmy rozwiązanie tego zagadnienia na dwa etapy – wypompowanie wody ze zbiornika na poziom ziemi (praca W1) oraz wpompowanie wody z poziomu ziemi do cysterny (W2). Będziemy rozpatrywać jednakowe małe porcje wody – warstwy o wysokości dh. Masę takiej warstwy możemy wyrazić jako dm = Sρdh, gdzie ρ jest gęstością wody a S polem przekroju zbiornika (również cysterny) a siła użyta do podniesienia każdej takiej porcji wody ma tę samą stałą wartość. Praca wykonana na podniesienie tej warstwy na wysokość h wynosi dW = Sρhdh. Przy opróżnianiu zbiornika porcję wody początkowo będziemy podnosić na wysokość 0 a na końcu na wysokość D – wielkości te będą granicami całkowania przy wyliczaniu pracy W1. D W 1 = ∫ S ρ g h dh = S ρρ 0 D2 D = Mg 2 2 (4.16), gdzie przez M możemy oznaczyć całkowitą masę wody równą M = Vρ. Pracę W2, niezbędną do napełnienia cysterny liczymy w identyczny sposób i otrzymamy tę samą wartość co w przypadku opróżniania zbiornika (W2 = W1). Całkowita praca wykonana przy przepompowaniu wody ze zbiornika do cysterny wynosi zatem: W = W 1 +W 2 = MgD (4.17) Warto zwrócić uwagę, że identyczny wynik uzyskalibyśmy, traktując wodę jako bryłę sztywną o środku masy położonym w połowie wysokości zbiornika (w praktyce można to osiągnąć np. żelując lub zamrażając wodę), którą podnosimy na wysokość D. Wówczas praca wykonana w obu przypadkach – czy mamy do czynienia z cieczą, czy z bryłą lodu musi być taka sama. Z przykładu tego wynika praktyczna wskazówka, że zamiast rozpatrywać obiekty rozciągłe przestrzennie możemy zastępować je masą punktową, czyli przyjąć że cała masa zgromadzona jest w jednym punkcie znajdującym się w środku ciężkości obiektu. Strona 47 ROZDZIAŁ 4 4.2. Pole sił zachowawczych i niezachowawczych Jeśli siły są zachowawcze to praca wykonana podczas przemieszczenia obiektu nie zależy od drogi po jakiej przesuwamy ciało a jedynie od położenia punktu początkowego oraz końcowego. Rysunek 4.4. Praca przemieszczenia ciała w polu sił zachowawczych Rozważmy dwie drogi między punktami A oraz B – A1B oraz A2B – przedstawione na rysunku 4.4. Jeżeli praca przemieszczenia ciała z punktu A do punktu B po drodze A1B oraz A2B ma taką samą wartość, to punkty A i B znajdują się w polu sił zachowawczych. Praca przemieszczenia ciała w polu sił zachowawczych zależy tylko od położenia punktu początkowego i końcowego. Zatem w przedstawionym przypadku praca wykonana po drodze zamkniętej wynosi zero, gdyż położenie końcowe jest tożsame z początkowym. Przykładem pola sił zachowawczych jest pole grawitacyjne. Jeżeli pewien przedmiot przesuniemy na wierzchołek idealnie gładkiej równi pochyłej, wykonamy pewną pracę przeciwstawiając się sile grawitacji. Przesunięcie tego przedmiotu z powrotem do położenia początkowego u podnóża równi odbywa się pod wpływem siły grawitacji. Wykonuje ona nad przedmiotem pracę równą co do wartości pracy wykonanej przez nas. Ponieważ w tym przypadku zwrot siły jest przeciwny, również praca ma przeciwny znak. W efekcie całkowita praca na takiej drodze zamkniętej (wsunięcie i zsunięcie po równi pochyłej) jest równa zeru. Podobnie zerową całkowitą pracę otrzymamy na przykład dla ruchu wahadła zegara, jeżeli zaniedbamy opory powietrza oraz opory mechanizmu. Wahadło podnosząc się wykonuje Strona 48 PRACA I ENERGIA pracę przeciw siłom grawitacji ale podczas obniżania to siły grawitacji wykonują identyczną pracę nad wahadłem. Jeśli ciało znajduje się w polu sił niezachowawczych, to praca wykonana na drodze zamkniętej jest różna od zera. Wszystkie układy, w których mamy do czynienia z siłami oporu, np. siłami tarcia, tworzą pole sił niezachowawczych. W polu sił niezachowawczych część pracy zazwyczaj rozpraszana jest w postaci ciepła i niemożliwe jest całkowite jej odzyskanie w postaci pracy mechanicznej. 4.3. Pole sił grawitacyjnych Siła grawitacji jest siłą przyciągającą, działającą między wszystkimi ciałami obdarzonymi masą. Wartość siły przyciągania grawitacyjnego zależy od masy oddziałujących ciał m1 i m2 oraz odległości r między nimi: F = G m 1m 2 r2 (4.18) gdzie: r – odległość pomiędzy masami; G = 6.6742·10-11 Nm2kg-2 – stała grawitacji Podkreślając powszechność siły przyciągania grawitacyjnego należy zaznaczyć również, że wpływ oddziaływań grawitacyjnych pochodzących od niektórych obiektów często może być pominięty. Na przykład na jabłko wiszące na drzewie działa nie tylko siła grawitacji pochodząca od Ziemi ale także od drzewa, obserwatora stojącego pod drzewem czy innych jabłek wiszących powyżej naszego jabłka. Ponieważ masa wszystkich wymienionych obiektów jest wielokrotnie mniejsza niż masa Ziemi, ich wpływ na wartość i zwrot wypadkowej siły grawitacji jest znikomo mały, dlatego z bardzo dobrym przybliżeniem możemy zaniedbać te czynniki i rozważać wyłącznie wpływ oddziaływania grawitacyjnego Ziemi. Dowodem tego, że na obiekty znajdujące się na Ziemi działają również siły przyciągania grawitacyjnego Słońca i Księżyca są m.in. pływy morskie. Wróćmy do przykładu pola sił grawitacyjnych wytworzonych przez Ziemię. Wartość siły grawitacji w takim polu sił jest proporcjonalna do masy ciała znajdującego się w tym polu. Aby scharakteryzować pole sił Strona 49 ROZDZIAŁ 4 grawitacyjnych niezależnie od masy ciała znajdującego się w tym polu definiujemy natężenie pola, czyli stosunek siły działającej na niewielką masę m (nie zaburzającą pola pochodzącego od dużej masy M) do wartości tej masy m: E = F GMm GM = 2 = 2 =g m r m r (4.19) Zauważmy że wartość natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od Ziemi wyznaczona na jej powierzchni (w odległości RZ od środka Ziemi) jest równa przyspieszeniu ziemskiemu g, czyli wartości przyspieszenia, z jakim poruszać się będzie ciało znajdujące się na powierzchni Ziemi podczas swobodnego spadku: g = GM RZ Z 2 (4.20) Wówczas siłę oddziaływania grawitacyjnego Ziemi (siłę ciężkości Fc) na ciało o masie m znajdującej się na powierzchni Ziemi możemy zapisać również w postaci: F c = mg (4.21) Praca w polu sił grawitacyjnych W poprzednim rozdziale przekonaliśmy się, że podniesienie ciała na wysokość h wymaga wykonania nad ciałem pracy związanej z pokonywaniem siły grawitacji (Fc = mg) i wynosi Wh = Fch = mgh. Wiemy również, że ciężarek ten upuszczony z tej samej wysokość h może wykonać pracę, WC, której wartość w układzie zachowawczym (nie istnieją siły oporu) jest identyczna z pracą wydatkowaną na jego podniesienie Wh = mgh. Ciężarek znajdując się na wysokości h posiada zdolność wykonania pracy o wartości Wh = mgh. Taka zdolność do wykonania pracy w fizyce nazywana jest energią. Praca i energia są ze sobą ściśle powiązane – wykonana praca jest magazynowana w postaci energii. Energia potencjalna sił grawitacyjnych Energię można nazwać energią potencjalną, jeśli zależy w jawny sposób od położenia w polu sił Strona 50 PRACA I ENERGIA Energia ciężarka z poprzedniego przykładu, znajdującego się na pewnej wysokości nad Ziemią, spełnia tę definicję. W pobliżu powierzchni Ziemi dla niedużych zmian wysokości na ciało działa siła przyciągania o wartości mg. Jeżeli opisując takie ciało wprowadzimy poziom odniesienia, względem którego liczymy wysokość (np. powierzchnię Ziemi), to dowolnemu ciału znajdującemu się na wysokości h powyżej tego poziomu możemy przypisać konkretną wartość energii potencjalnej: E = mgh (4.22) Mapa geograficzna z naniesionymi poziomicami, wyrażającymi wysokość punktów względem poziomu morza (punkt odniesienia) może zostać zatem odczytana również jako zapis energii potencjalnej ciała znajdującego się na powierzchni ziemi. Czy praca wykonana przeciwko siłom tarcia również powoduje wzrost energii potencjalnej? W tym przypadku praca nie jest magazynowana w postaci energii mechanicznej, ale tracona (rozpraszana) w postaci ciepła. Możemy wówczas mówić jedynie o wzroście energii wewnętrznej ciała – problem ten omówimy dokładniej w rozdziale poświęconym termodynamice. Podobnie jak w przypadku siły oddziaływania grawitacyjnego wzór 4.21 jest prawdziwy jedynie dla obiektów znajdujących się w pobliżu powierzchni Ziemi, tak samo zależność 4.22 opisująca energię potencjalną pola sił grawitacyjnych jest prawdziwa jedynie dla niewielkich w porównaniu z promieniem Ziemi odległości od powierzchni Ziemi. W ogólności energię potencjalną ciała możemy zdefiniować jako pracę, jaką należy wykonać, by umieścić ciało w danym punkcie. Załóżmy, że przemieszczenie ciała o masie m odbywa się z punktu odległego o r1 od środka ciała o masie M do punktu odległego o r2, gdzie r2 < r1 Obliczając pracę przesunięcia tego ciała z punktu r1 do r2 korzystamy ze wzoru 4.18 oraz 4.3, w którym za wartość cosinusa przyjmujemy 1, gdyż w rozważanym przypadku wektor przemieszczenia z punktu r1 do r2 oraz siła grawitacji mają ten sam kierunek i zwrot: r2 W = GMm dr r2 r1 ∫ (4.23) Skorzystaliśmy w tym przypadku z całkowej postaci wzoru na pracę, ponieważ siła działająca na ciało ma zmienną wartość – zależy od odległości od środka ciała o masie M. Funkcją pierwotną dla funkcji 1/r2 Strona 51 ROZDZIAŁ 4 jest funkcja 1/r. Aby obliczyć wartość powyższej całki od wartości funkcji pierwotnej wyznaczonej w górnej granicy odejmujemy wartość w dolnej granicy całkowania. Otrzymujemy wzór końcowy na pracę przesunięcia ciała o masie m w polu grawitacyjnym ciała o masie M z punktu odległego od środka ciała M o r1 do punktu odległego o r2: 1 1 W = GMm − r1 r 2 (4.24) Powyższy wzór na pracę zależy od dwóch zmiennych – punktu odniesięnia (r1) oraz punktu, w którym znajduje się ciało (r2). Żeby uniknąć problemu definiowania za każdym razem punktu odniesienia, we wszystkich zagadnieniach związanych z polem sił grawitacyjnych umieszczamy punkt odniesienia w nieskończoności. Wówczas pierwszy wyraz we wzorze 4.24 zeruje się (jedność podzielona przez nieskończoność wynosi zero) i wartość wykonanej pracy zależy wyłącznie od końcowego położenia ciała w polu grawitacyjnym. Oznacza to, że energia potencjalna grawitacji ciała o masie m znajdującego się w odległości r od masy M, będącej źródłem pola grawitacyjnego, wynosi więc: E P =W = − GMm r (4.25) Jak pokazaliśmy powyżej ujemny znak energii potencjalnej jest konsekwencją wyboru punktu odniesienia. Gdyby energia potencjalna nie była zdefiniowana ze znakiem minus, energia potencjalna ciała znajdującego się w większej odległości od masy M byłaby mniejsza. Ponieważ wszystkie układy dążą do osiągnięcia minimum energii, wszystkie ciała oderwałyby się od powierzchni Ziemi. Obecność znaku minus powoduje, że ciało, by obniżyć swoją energię potencjalną porusza się w kierunku środka Ziemi. Wówczas, gdy odległość r od środka Ziemi maleje energia potencjalna staje się coraz bardziej ujemna, czyli coraz mniejsza. Dla obiektów znajdujących się w polu grawitacyjnym definiuje się często jeszcze jedną wielkość fizyczną – potencjał grawitacyjny. Potencjał grawitacyjny jest równy energii ciała podzielonej przez jego masę m (traktujemy masę m jako na tyle małą, że nie zakłóca ona pola). Potencjał jest zatem związany wyłącznie z masą M, będącą źródłem pola grawitacyjnego: Strona 52 PRACA I ENERGIA Vg = − GM r (4.26) Druga prędkość kosmiczna Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką powinno mieć ciało, żeby mogło opuścić pole grawitacyjne Ziemi. W sposób ścisły warunek ten spełniony będzie tylko w nieskończoności ale w praktyce chodzi nam o odległość na tyle dużą, aby energia potencjalna ciała (wzór 4.25) była bliska zeru. Załóżmy że rakieta o masie m zostaje wystrzelona z powierzchni Ziemi pionowo do góry z prędkością v. Na powierzchni Ziemi rakieta ta będzie miała więc zarówno energię potencjalną (wzór 4.25) jak i energię kinetyczną równą Ek = ½·m·v2. Całkowita energia rakiety na powierzchni Ziemi wynosi zatem: Ec = − GMm m v2 + r 2 (4.27) Żeby rakieta mogła dolecieć do nieskończoności jej całkowita energia na powierzchni Ziemi musi być przynajmniej równa zero (Ec ≥ 0). Stąd otrzymujemy wzór na II prędkość kosmiczną: v II = 2 GM RZ Z = 2 gR Z (4.28), gdzie RZ jest promieniem, zaś MZ jest masą Ziemi, z której startuje rakieta. Dla Ziemi wartość II prędkości kosmicznej wynosi 11.2 km/s. Drugą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla różnych ciał niebieskich i np. dla Księżyca wynosi ona 2.4 km/s, zaś dla Jowisza 59.5 km/s. 4.4. Ruch po okręgu Szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego jest ruch jednostajny po okręgu, czyli ruch jaki wykonuje ciało poruszające się w jednej płaszczyźnie ze stałą prędkością będące jednocześnie w stałej odległości od wybranego punktu odniesienia. Tor ruchu takiego ciała jest okręgiem. Opisując ruch po okręgu korzystnie jest zastosować biegunowy układ Strona 53 ROZDZIAŁ 4 współrzędnych. Przypomnijmy, że w układzie biegunowym położenie ciała jest opisywane przez jego odległość od początku układu współrzędnych (współrzędna radialna r) oraz przez położenie kątowe względem wybranej osi odniesienia (współrzędna kątowa α). Jeżeli w opisie ruchu po okręgu początek biegunowego układu współrzędnych umieścimy w środku okręgu to współrzędna radialna będzie stała a zmieniać się będzie jedynie położenie kątowe ciała. Podobnie jak w przypadku ruchu prostoliniowego w ruchu po okręgu prędkość jest pochodną drogi kątowej po czasie i nazywana jest prędkością kątową ω: ω= dα dt (4.30) Prędkość kątowa, mierzona w radianach na sekundę, jest wektorem, którego kierunek zgodny jest z osią, wokół której następuje obrót, a zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej lub reguła prawej dłoni (jeżeli palce otwartej dłoni pokazują zwrot wektora prędkości liniowej, czyli kierunek obrotu, to kciuk wyznacza kierunek i zwrot wektora prędkości kątowej). Pochodna prędkości kątowej po czasie definiuje przyspieszenie kątowe ε: ε= dω d 2 α = 2 dt dt (4.31) Przedstawione powyżej definicje przyspieszenia i prędkości kątowych są analogiczne do odpowiednich wielkości w ruchu prostoliniowym. Poszukując relacji pomiędzy wielkościami opisującymi ruch obrotowy oraz ruch liniowy zaczniemy od wyznaczenia drogi, czyli długości łuku, przebytej przez ciało poruszające się po okręgu. Wielkość ta będzie zależała zarówno od zmiany położenia kątowego jak i od położenia radialnego, czyli odległości od osi obrotu l = α r . Jeżeli zróżniczkujemy tę zależność po czasie otrzymamy relacje między prędkością liniową i kątową a po ponownym zróżniczkowaniu relację między przyspieszeniem liniowym i kątowym. Otrzymamy w ten sposób zestaw zależności: l = αr v = ωr a = εr Strona 54 (4.32) PRACA I ENERGIA Ponieważ poruszające się po okręgu ciało wraca cyklicznie do miejsca startu, prędkość kątową można powiązać z częstotliwością: f = ω v 1 = = 2π 2π r T (4.33) Jednostką częstotliwości jest 1Hz (Hertz) = 1s–1 co oznacza, że przy częstotliwości 1Hz ciało wykonuje jeden obrót na sekundę. Odwrotnością częstotliwości jest okres obrotu T, czyli czas jednego pełnego obrotu, wyrażony w sekundach. Przyspieszenie w ruchu po okręgu W rozdziale 2.4 wprowadziliśmy składową styczną oraz normalną przyspieszenia dla ruchu krzywoliniowego. W przypadku jednostajnego ruchu po okręgu wartość prędkości mierzona wzdłuż okręgu jest stała a więc składowa styczna przyspieszenia jest zerowa. Przyśpieszenie całkowite w ruchu po okręgu jest więc równe składowej normalnej: a = an = v2 r (4.34) Składowa normalna przyspieszenia skierowana jest do środka krzywizny toru wzdłuż promienia okręgu i dlatego często nazywana jest składową radialną. Ponieważ przyspieszenie normalne skierowane jest do środka okręgu nazywa się je również przyspieszeniem dośrodkowym. Odpowiadająca mu siła oddziaływania, która wywołuje ruch ciała o masie m po okręgu o promieniu r, jest nazywana siłą dośrodkową: m v2 F = r (4.35) W przypadku obracającej się karuzeli metalowy pręt mocujący krzesełko działa na krzesełko karuzeli siłą skierowaną do środka, równą co do wartości zdefiniowanej powyżej sile dośrodkowej. Osoba siedząca na krzesełku karuzeli odczuwać będzie istnienie siły skierowanej wzdłuż promienia na zewnątrz. Siłę taką, występującą w układzie związanym z ciałem poruszającym się po okręgu nazywać będziemy siłą odśrodkową. Siła ta jest równa co do wartości sile dośrodkowej ale ma przeciwny zwrot. Warto podkreślić, że siła odśrodkowa jest siłą pozorną i w momencie przerwania pręta mocującego krzesełko karuzeli, krzesełko to nie będzie poruszało się ruchem przyspieszonym wzdłuż promienia, tylko ruchem jednostajnym prostoliniowym w kierunku wyznaczonym przez Strona 55 ROZDZIAŁ 4 wektor prędkości w momencie zerwania pręta. Układ odniesienia związany z takim poruszającym się po okręgu punktem jest tzw. układem nieinercjalnym, w którym występują siły bezwładności działające na ciało. W hamującym samochodzie przedmiot znajdujący się na półce doznaje przyspieszenia względem samochodu – przedmiot zachowuje się bezwładnie, czyli zachowuje stan ruchu przed hamowaniem i porusza się w kierunku przodu samochodu. Jeśli ten sam samochód porusza się po okręgu (wykonuje gwałtowny zakręt), przedmiot również doznaje przyspieszenia względem samochodu. Przedmiot również tutaj zachowuje się bezwładnie – porusza się po linii prostej (względem układu spoczynkowego) i w konsekwencji zmienia położenie względem samochodu – przesuwa się w kierunku boku samochodu. Siedząc w samochodzie odczuwamy siłę wypychającą ciało na zewnątrz okręgu, po którym porusza się pojazd. W obu przypadkach, zarówno hamowania jak i ruchu po okręgu, siły bezwładności jakim ulega przedmiot są konsekwencją przyspieszenia całego pojazdu. W przypadku pralek i suszarek bębnowych siła odśrodkowa wykorzystywana jest do usuwania wody z tkanin. W urządzeniach takich jak wirówki wykorzystuje się dodatkowo fakt, że siła odśrodkowa zależy nie tylko od prędkości z jaką kręcą się obiekty we wnętrzu bębna wirówki ale również od masy tych obiektów co umożliwia oddzielenie cięższych frakcji od lżejszych. Ruch planet wokół Słońca Pierwsza prędkość kosmiczna Przed odkryciem Kopernika w opisie ruchu planet i gwiazd korzystano z tzw. geocentrycznego modelu świata, w którym Ziemia znajdowała się w centrum wszechświata, a wszystkie ciała niebieskie krążyły wokół niej. W dziele „O obrotach ciał niebieskich” Kopernik zaproponował model w którym planety krążą wokół Słońca po orbitach kołowych (model heliocentryczny), co pozwoliło stworzyć spójny opis wielu zjawisk astronomicznych. Jak już wiemy z poprzednich rozdziałów aby planeta lub inne ciało niebieskie poruszało się po okręgu, musi na nie działać siła dośrodkowa. Newton jako pierwszy stwierdził, że siłą dośrodkową jest siła grawitacji: GMm m v2 = r2 r Strona 56 (4.36) PRACA I ENERGIA Gdyby nie istniała siła grawitacji ciało nie doznałoby przyspieszenia dośrodkowego, nie nastąpiłoby zakrzywienie toru i odleciało by w przestrzeń. Gdyby z kolei ciało nie miało prędkości stycznej na orbicie, spadłoby na ciało centralne. Na podstawie zależności 4.36 możemy policzyć prędkość jaką musi mieć ciało o masie m aby poruszać się po orbicie Ziemi o promieniu równym promieniowi Ziemi RZ: vI = GM Z = gR Z RZ (4.37) Tak zdefiniowana prędkość nazywana jest pierwszą prędkością kosmiczną. Dla Ziemi pierwsza prędkość kosmiczna przyjmuje wartość równą około 7.91 km/s. Podobnie jak w przypadku drugiej prędkości kosmicznej również pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć dla innych ciał niebieskich. W przeciwieństwie do drugiej prędkości kosmicznej, w przypadku której rozważaliśmy prędkość skierowaną prostopadle w stosunku do powierzchni ciała niebieskiego, pierwsza prędkość odnosi się do wartości prędkości skierowanej równolegle do powierzchni ciała niebieskiego. Jeśli satelita będzie miał mniejszą prędkość, spadnie na powierzchnię ciała niebieskiego, jeśli większą – siła grawitacji nie będzie wystarczająca do nadania satelicie odpowiedniego przyspieszenia dośrodkowego i ciało bądź znajdzie się na orbicie o większym promieniu, bądź opuści pole grawitacyjne. Prawa Keplera W heliocentrycznym modelu Kopernika planety krążą po kołowych orbitach. Późniejsze dokładniejsze analizy ruchu planet wykonane min. przez Tychona de Brahe i Johannesa Keplera, wykazały, że orbity te są w ogólności krzywymi eliptycznymi. Szczegółowy opis ruchu planet zawiera model Keplera, opierający się na trzech prawach: 1. Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych. Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy. Układ planeta-Słońce z dobrym przybliżeniem można potraktować jako układ odosobniony tzn. uwzględniamy jedynie siły wzajemnego oddziaływania zaniedbując oddziaływania zewnętrzne. W takim odosobnionym Strona 57 ROZDZIAŁ 4 układzie planeta i Słońce poruszać się będą względem środka masy układu po orbitach eliptycznych. W układzie Ziemia-Słońce, gdzie masa Ziemi jest ponad 3 tysiące razy mniejsza niż Słońca, z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że środek masy takiego układu pokrywa się z geometrycznym środkiem Słońca a w konsekwencji, że Słońce jest nieruchome a Ziemia porusza się po orbicie kołowej. 2. Prędkość polowa planety jest jednakowa – wektor łączący Słońce i planetę zakreśla jednakowe pola w jednakowych odstępach czasu. Drugie prawo Keplera wynika bezpośrednio z zasady zachowania momentu pędu, która zostanie omówiona w jednym z kolejnych rozdziałów. 3. Kwadrat czasu obiegu planety dookoła słońca jest proporcjonalny do sześcianu długiej osi elipsy po której porusza się planeta. Trzecie prawo Keplera wynika bezpośrednio z faktu, że siłą dośrodkową działającej na planetę jest siła grawitacji. Dla uproszczenia obliczeń załóżmy na razie, że planeta porusza się po orbicie kołowej. Wówczas przyrównując obie siły otrzymujemy zależność: Fg = G Mm m v2 = = Fo r2 r (4.38) Ponieważ prędkość planety wiąże czas pełnego obrotu (okres T) z długością orbity ( v = 2 π r T ) równość 4.38 można zapisać w postaci: GM (2π r ) = r T2 2 (4.39) a po przekształceniach: T Strona 58 2 = 4π2 r 3 GM (4.40) PRACA I ENERGIA 4.5. Energia potencjalna sił sprężystości W urządzeniach mechanicznych, które wykonują pracę np. obrót wskazówek zegara w starych zegarach szafkowych, praca ta wykonywana jest kosztem energii dostarczonej z zewnątrz. We współczesnych urządzeniach, w tym także w zegarach, jako źródło energii najczęściej stosuje się baterie elektryczne ale kiedyś powszechnie stosowano mechanizmy wykorzystujące energię potencjalną podciągniętych ciężarków lub w przenośnych zegarkach mechanizm magazynowania energii opierał się na „nakręcaniu” sprężyny. Jest to przykład pokazujący, że energia mechaniczna może zostać również zmagazynowana w postaci odkształcenia materiału – taki rodzaj energii potencjalnej będziemy nazywać energią potencjalną sił sprężystości wynikających z oddziaływań między cząsteczkami materiału. Rozpatrzmy sprężynę, którą rozciągniemy (lub ściśniemy) o długość x. Siła jaką musimy rozciągać tę sprężynę równoważy siłę sprężystości sprężyny, która zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona ma zwrot przeciwny do zwrotu siły rozciągającej. Jej wartość zależy od długości rozciągnięcia x co opisuje prawo Hooke’a: r r F = −k x (4.41), gdzie k jest współczynnikiem sprężystości. Znak minus w powyższym wzorze oznacza, że siła z jaką działa sprężyna ma przeciwny zwrot do wektora x, czyli siła sprężystości przeciwstawia się wydłużaniu (lub ściskaniu) i wskazuje zawsze na położenie równowagowe. Siła jaką musimy działać, żeby rozciągnąć sprężynę ma przeciwny zwrot r r niż siła sprężystości ( F = k x ). Ponieważ wartość tej siły zmienia się wraz z wartością wychylenia z położenia równowagi, to pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny o długość X obliczamy ze wzoru całkowego: X X W = ∫ F (x )d x = ∫ kx d x = 0 0 1 kX 2 2 =ES (4.41). Rozciągnięta sprężyna wracając do położenia równowagowego wykona taką samą pracę jaką wykonaliśmy podczas jej rozciągania. Możemy Strona 59 ROZDZIAŁ 4 również powiedzieć że rozciągnięta sprężyna posiada zdolność do wykonania pracy. Ponieważ wielkość tej pracy zależy jawnie od wartości odkształcenia sprężyny to spełnia ona definicję energii potencjalnej i nazywana jest energią potencjalną sprężystości ES. Energię potencjalną sił sprężystości można policzyć również dla ciał stałych, poddanych rozciąganiu lub ściskaniu. W tym przypadku rolę współczynnika sprężystości, opisującego własność materiału, pełni moduł Younga E. Poszukując związku między modułem Younga a stałą sprężystości możemy potraktować badany materiał, jakby był zbudowany z punktów (atomów) połączonych małymi sprężynkami. Sprężynki te obrazują oddziaływania międzyatomowe a ich stała sprężystości zależy od struktury materiału. Im większy będzie przekrój elementu wykonanego z danego materiału, czyli im więcej takich sprężynek opisuje badany element, tym większy będzie współczynnik sprężystości dla całego materiału – moduł Younga, E. F =− EA 0 ∆ L = − kx L0 (4.42), gdzie E jest modułem Younga, A0 – przekrojem poprzecznym próbki, L0 – długością początkową (równowagową), zaś ∆L jest zmianą długości próbki. 4.6. Energia kinetyczna Energia kinetyczna jest związana ze stanem ruchu ciała. Ciało posiada energię kinetyczną, jeśli znajduje się w ruchu w danym układzie odniesięnia. Energię kinetyczną można również zdefiniować jako ilość pracy, jaką należy wykonać żeby wprawić ciało w ruch. Jeżeli więc siła F przeprowadzi ciało ze stanu bezruchu (stan „A”) do prędkości v (stan „B”), to wykonana praca wyniesie: B W = ∫F ds = A Strona 60 B B dp dv ∫A d t d s = A∫ m d t d s (4.43) PRACA I ENERGIA W powyższych przekształceniach siłę F zastąpiliśmy pochodną pędu po czasie. Zależność tą można dalej przekształcić otrzymując zależność wykonanej pracy od prędkości v jaką osiągnie ciało: B W = ∫m A ds m v2 d v = ∫ m vd v = =Ek dt 2 0 v (4.44) Tak wyznaczona praca wykonana by nadać ciału o masie m prędkość v definiuje energię kinetyczną ciała. Energia ta jest wprost proporcjonalna do jego masy m i do kwadratu prędkości v2. Zależność energii kinetycznej od kwadratu prędkości jest jedną z głównych przyczyn (poza siłami oporu), dla których tzw. dynamika samochodów (sportowych i nie tylko) jest znacznie lepsza w zakresie niskich prędkości niż prędkości wysokich. Aby to wyjaśnić obliczmy najpierw pracę jaką należy wykonać, żeby rozpędzić samochód o masie m = 1000kg od prędkości v1 = 0 m/s do v2 = 10 m/s = 36 km/h oraz od v2 = 10 m/s do v3 = 20 m/s=72 km/h. Praca ta równa jest różnicy energii kinetycznej końcowej oraz początkowej i w pierwszym przypadku wynosi W1 = Ek(v2) – Ek(v1) = 50000J, zaś w drugim jest trzykrotnie większa i wynosi W2 = Ek(v3) – Ek(v2) = 150000J. Tak więc utrzymanie podobnego przyspieszenia w obu zakresach prędkości wymagałoby ciągłego wzrostu mocy, co w praktyce jest trudne do osiągnięcia. Podczas przyspieszania to silnik pojazdu wykonuje pracę równą energii kinetycznej tego pojazdu. Natomiast gdy pojazd hamuje pracę musi wykonać układ hamulcowy pojazdu. Ponieważ przy dwukrotnie większej prędkości energia kinetyczna jest czterokrotnie większa, to również praca wyhamowania jest czterokrotnie większa. Praca ta w większości zamieniana jest w energię cieplną i dlatego elementy układu hamulcowego, w szczególności samochodów sportowych powinny być odporne na wysokie temperatury oraz tak zaprojektowane, aby jak najwydajniej oddawały ciepło do otoczenia Warto również zwrócić uwagę, że furgonetka o masie 2 ton i prędkości 15 m/s, która ma identyczny pęd jak samochód osobowy o masie 1 tony i prędkości 30 m/s, ma dwukrotnie mniejszą energię kinetyczną, czyli zatrzymanie jej wymaga mniejszej pracy, jest „łatwiejsze”. Pojęcie energii kinetycznej możemy odnosić również do mikroskopowego opisu właściwości ciał. Nawet jeśli pojazd znajduje się w spoczynku, cząsteczki składające się na niego mają pewną energię kinetyczną – cząsteczki gazu znajdującego się w oponach znajdują się w ciągłym ruchu, Strona 61 ROZDZIAŁ 4 atomy metalu w karoserii wykonują drgania wokół położeń równowagowych. Energia kinetyczna jest w takim mikroskopowym ujęciu związana z temperaturą ciała, a dokładniej – temperatura jest funkcją średniej energii kinetycznej, o czym będzie jeszcze mowa w części poświęconej termodynamice. 4.7. Zasada zachowania energii mechanicznej Podsumowując rozważania dotyczące energii wprowadzimy zasadę zachowania energii mechanicznej: W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita energia mechaniczna, czyli suma energii potencjalnej, Ep, zarówno grawitacyjnej jak i sprężystości, oraz energii kinetycznej, Ek, ciała jest wielkością stałą. E k + E p= const. (4.45) Oznacza to, że jeżeli zaniedbamy straty energii (pracy wykonanej na rzecz sił tarcia itp.), różne formy energii jaką posiada ciało mogą się zmieniać, ale ich suma pozostaje stała. Dobrym przykładem do omówienia zasady zachowania energii jest skok na linie bungee. Stojąc na moście na wysokości h nad rzeką (na rysunku 4.4 h = h1 + h2) skoczek posiada energię potencjalną względem poziomu odniesienia znajdującego się na poziomie rzeki. Pierwsza faza skoku jest spadkiem swobodnym, w którym skoczek traci energię potencjalną ale nabiera prędkości, czyli zyskuje energię kinetyczną: mgh = m v2 2 (4.46) Kiedy lina rozwinie się w pełni, osiąga tzw. długość swobodną – na rysunku 4.4. oznaczoną jako h1. Od tego momentu lina zaczyna działać jak rozciągana sprężyna. W tej fazie skoku energia potencjalna nadal się zmniejsza, kosztem wzrostu zarówno energii kinetycznej, jak i energii potencjalnej sił sprężystości. Strona 62 PRACA I ENERGIA Rysunek 4.4. Energia skoczka bungee w różnych fazach skoku W pewnym momencie ruchu, gdy siła napięcia liny zrównoważy siłę grawitacji, prędkość ciała zacznie się zmniejszać, a więc spada również jego energia kinetyczna. W najniższym położeniu skoczka jego prędkość wynosi zero – nie posiada on zatem energii kinetycznej. Jego energia potencjalna grawitacji również wynosi zero (skoczek znajduje się w punkcie odniesienia) i cała energia zmagazynowana jest w postaci energii potencjalnej sprężystości. Tak więc początkowa energia potencjalna grawitacji zostaje w całości zmagazynowana w energii sprężystości rozciągniętej liny. Energia ta może następnie wykonać pracę podniesienia skoczka na wysokość mostu, a więc zgodnie z zasadą zachowania energii, skoczek może wrócić do swojego położenia początkowego na moście. W rzeczywistości mamy jednak do czynienia ze stratami energii związanymi zarówno z oporami powietrza jak i wydzieleniem się ciepła w rozciągającej się linie (nie jest to idealna sprężyna) i w efekcie skoczek nie powróci do poziomu mostu. Uogólnieniem zasady zachowania energii mechanicznej jest ogólna zasada zachowania energii, która mówi, że w układzie zachowawczym odosobnionym zmiana całkowitej energii ciała (suma zmian wszystkich rodzajów energii) wynosi zero. Jeżeli na przykład rozpędzony samochód uderzy w przeszkodę, to gwałtownie wytraci swoją energię kinetyczną, która zamieni się na pracę związaną z odkształceniem karoserii oraz na wydzielone ciepło. Zgodnie z zasadą zachowania energii w samochodach elektrycznych energia potencjalna ładunku elektrycznego zgromadzona w naładowaStrona 63 ROZDZIAŁ 4 nym akumulatorze zamieniana jest w energię kinetyczną pojazdu. Jeśli taki samochód jest wyposażony w hamulce elektromagnetyczne, w trakcie hamowania może odzyskać znaczną część energii kinetycznej i zgromadzić ją w postaci energii potencjalnej ładunku elektrycznego. 4.8. Zderzenia Opis zderzeń ciał stanowi ważny element dynamiki ciał stałych ale ponieważ podczas zderzenia dochodzi do przekazywania zarówno pędu, jak i energii, zderzenia odgrywają również dużą rolę w procesach transportu, na przykład ciepła lub ładunku elektrycznego. Podczas zderzenia obowiązuje zasada zachowania pędu, czyli pęd środka masy układu przed zderzeniem jest identyczny jak po zderzeniu. Jak już omawialiśmy wcześniej zasada zachowania pędu w układzie dwu-, lub trójwymiarowym obowiązuje dla każdego z wyróżnionych kierunków. Przykład zastosowania zasady zachowania pędu dla dwuwymiarowego zderzenia dwóch kul bilardowych omówiliśmy w rozdziale 3.2. Zasada zachowania energii jako jedna z podstawowych zasad fizyki obowiązuje zawsze, również podczas zderzeń. Jednakże w praktyce wykorzystujemy ją wyłącznie w przypadku zderzeń idealnie sprężystych, w których nie występują straty energii. Zderzeniem bliskim do idealnie sprężystego jest uderzenie piłki rakietą tenisową – w czasie zderzenia oba ciała odkształcają się sprężyście, zarówno piłka, jak i linka naciągu rakiety. Pojęcie zderzenia sprężystego można rozszerzyć również na przypadki w których ciała nie stykają się ze sobą w sposób widoczny dla obserwatora. Gdyby omawiane wcześniej kule bilardowe zostały naładowane elektrycznie lub namagnesowane w odpowiedni sposób, mogłoby dojść do przekazania pędu i energii bez zetknięcia się krawędzi krążków. O charakterze zderzenia (czy jest sprężyste czy niesprężyste) decyduje charakter sił wzajemnego oddziaływania ciał. Zderzenie sprężyste jest opisane następującymi równaniami: m 1 v 1P + m 2 v 2P = m 1 v 1K + m 2 v 2K – równanie wyrażające zasadę zachowania pędu, oraz Strona 64 (4.47) PRACA I ENERGIA 2 m 1 v 1P m v2 m v2 m v2 + 2 2P = 1 1K + 2 2K 2 2 2 2 (4.48) – równanie wyrażające zasadę zachowania energii kinetycznej. W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego dochodzi do odkształcenia plastycznego jednego lub obu ciał. Odkształcenie to wiąże się z rozpraszaniem energii w postaci ciepła. W wyniku niesprężystego zderzenia połączone ciała poruszają się w jednym kierunku. Równania opisujące zderzenie niesprężyste mają więc postać: m 1 v 1P + m 2 v 2P = (m 1 + m 2 ) v K 2 (m + m 2 ) v K2 + ∆ E m 1 v 1P m v2 + 2 2P = 1 2 2 2 (4.49) (4.50) gdzie ∆E oznacza straty energii w postaci ciepła. Zderzenie niesprężyste wykorzystywane jest do wyznaczania prędkości pocisków za pomocą tzw. wahadła balistycznego. Urządzenie to składa się z masywnego bloku, w który wbija się pocisk. Znając masę pocisku i masę bloku, oraz prędkość bloku z pociskiem po trafieniu można wyliczyć prędkość pocisku przed uderzeniem w blok. Pomiar stosunkowo niewielkiej prędkości bloku jest znacznie łatwiejszy niż bezpośredni pomiar prędkości rozpędzonego pocisku. W szczególności jeśli blok zawiesimy na dwóch niciach (rysunek 4.5) możemy oszacować prędkość na podstawie wysokości, na którą uniesie się blok. Obecnie można wykonać taki pomiar technikami fotograficznymi lub za pomocą czujników optycznych, jednak w XIX wieku wahadło balistyczne było jednym z podstawowych przyrządów do pomiaru prędkości pocisku. Rysunek 4.5. Zasada działania wahadła balistycznego Do odkształceń plastycznych dochodzi również podczas zderzenia dwóch samochodów, a więc zderzenia takie są niesprężyste. We współczesnych samochodach tzw. strefy zgniotu są odpowiedzialne za rozpraszanie energii uwolnionej podczas zderzenia. Analizując równania opisujące zderzenie niesprężyste można ponadto zauważyć, że jeśli zderzeniu ulega lekki samochód osobowy, to straty energii są tym większe Strona 65 ROZDZIAŁ 4 im cięższy jest pojazd z którym się zderza – zatem skutki zderzenia z samochodem ciężarowym są znacznie poważniejsze niż skutki kolizji z samochodem osobowym o podobnej masie. Strona 66 5 Dynamika bryły sztywnej W tym rozdziale: o o o o Bryła sztywna, moment bezwładności, środek masy Równanie ruchu bryły sztywnej Zasada zachowania momentu pędu Energia ruchu obrotowego ROZDZIAŁ 5 5.1. Bryła sztywna Bryłą sztywną będziemy nazywać ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe. Siły działające na bryłę sztywną nie wywołują więc ani deformacji plastycznych, ani odkształceń sprężystych, a jedynie ruch postępowy lub obrotowy. Wszystkie ciała, w których odległość między dwoma punktami nie zmienia się w czasie, lub odkształcenia pod wpływem działających sił są niewielkie, można traktować jako bryłę sztywną. Na przykład huśtawka wykonana z cienkiego pręta może ulegać deformacji, wpływając tym samym na zachowanie całego układu, ale jeżeli wykonamy ją np. z szyny kolejowej jej deformacja będzie zaniedbywalnie mała i może być wówczas potraktowana jako bryła sztywna. Moment bezwładności bryły sztywnej W większości dotąd rozważanych przykładów siła działająca na ciało przyłożona była do środka masy ciała i wywoływała ruch postępowy. W ruchu prostoliniowym miarą bezwładności ciała jest jego masa, tzn. tym trudniej jest zmienić ilość ruchu ciała (pęd) im większa jest jego masa. W przypadku ruchu obrotowego istotna jest nie tylko masa ale również jej odległość od osi obrotu. Miarą bezwładności w ruchu obrotowym jest moment bezwładności. Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się po okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu odległości od osi obrotu: I = mr 2 (5.1). Moment bezwładności podobnie jak masa jest wielkością addytywną tzn. moment bezwładności bryły sztywnej jest równy sumie momentów bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę: I = ∑ m i r i2 i gdzie ri jest odległością od osi obrotu i-tego elementu o masie mi. Strona 68 (5.2), DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ Rozpatrzmy dwie ołowiane kulki o masach m1 oraz m2 (potraktujemy je jako masy punktowe), połączone cienkim nieważkim prętem o długości r, którego masa oraz moment bezwładności są pomijalnie małe w porównaniu z masą i momentem bezwładności kul. Moment bezwładności takiej bryły sztywnej względem osi obrotu położonej w środku pręta możemy policzyć jako sumę momentów bezwładności obu kul. Otrzyma2 2 2 my: I = m 1 (r 2 ) + m 2 (r 2 ) = ( m 1 + m 2 )(r 2 ) W przypadku bryły o złożonym kształcie i rozkładzie masy procedura wyznaczania momentu bezwładności wymaga podzielenia bryły na jak najmniejsze elementy i zsumowania momentów bezwładności pochodzących od tych elementów. W granicznym przypadku działanie sumowania możemy zastąpić całkowaniem: M I = ∫ r 2 dm (5.3) 0 Jako przykład obliczania momentu bezwładności wyznaczymy moment bezwładności pręta o masie M oraz długości b względem osi przechodzącej prostopadle przez koniec pręta. Poszukując momentu bezwładności tej bryły musimy wykonywać całkowanie po całej masie pręta. W praktyce znacznie łatwiej jest przeprowadzać całkowanie we współrzędnych przestrzennych dlatego postaramy się powiązać masę z długością pręta. W tym celu wprowadzamy gęstość liniową λ, definiującą masę dm . Wówczas element masy dl pręta dm może być wyrażony: dm = λ dl , gdzie gęstość liniowa dla przypadającą na jednostkę długości: λ = pręta z zadania wynosi: λ = M . Po zamianie zmiennej całkowania oraz b granic całkowania moment bezwładności pręta wynosi: M b 0 0 I = ∫ r 2 dm = ∫ l 2 λdl = b 3 λ b 2b λ M b 2 = = 3 3 3 (5.4) W podobny sposób, posługując się gęstością powierzchniową lub objętościową, możemy obliczyć momenty bezwładności dla dowolnych brył. W tabeli 5.1 przedstawione zostały momenty bezwładności wybranych brył sztywnych względem osi obrotu przechodzących przez środek masy bryły. Strona 69 ROZDZIAŁ 5 Tabela 5.1. Momenty bezwładności wybranych brył względem środka masy Walec i walec wydrążony Pręt Iz = mr 12 2 ( Ix [( Stożek 3 mr Iz = 10 3m Ix = 5 Pierścień 2 I = mr m 2 r1 + r 22 2 m = 3 r12 + r 22 + h 12 IZ = Dysk 2 mr Iz = 2 Ix mr = 4 2 ) ) 2 r 2 +h2 4 2 mr 3 2 Sfera: I = 2 mr 5 2 Kula: I = Twierdzenie Steinera Załóżmy, że znana jest masa bryły oraz moment bezwładności I0 względem osi przechodzącej przez środek jej masy. Wtedy, zgodnie z twierdzeniem Steinera, moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu równoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d równy jest: I = I 0 + md 2 (5.5) Twierdzenie Steinera zastosujemy do obliczenia momentu bezwładności dysku o promieniu r i masie m względem osi przechodzącej przez jego krawędź, a prostopadłej do płaszczyzny dysku. Moment bezwładności dysku względem osi prostopadłej przechodzącej przez jego środek znajdziemy w tabeli 5.1: Strona 70 DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ 2 mr 2 I0 = (5.6) W naszym przypadku oś przesunięta jest równolegle o długość promienia dysku a więc stosując twierdzenie Steinera otrzymujemy: 2 I = I 0 + mr = mr 2 2 + mr 2 = 3 mr 2 2 (5.7) Środek masy bryły sztywnej Gdybyśmy chcieli układ ciał, lub bryłę sztywną, zastąpić masą punktową, czyli zgromadzić całkowitą masę układu w jednym punkcie geometrycznym, to punkt ten powinien się znajdować w środku masy. Swobodna oś obrotu bryły sztywnej lub układu ciał przechodzi przez ich środek masy. W układzie mas punktowych środek masy można obliczyć ze wzoru: r ∑m r = ∑m i r r SM i i (5.8) i i r gdzie mi – masy punktowe, zaś r i – położenia tych mas względem wybranego punktu odniesienia. Współrzędna x środka masy wynosić więc będzie x SM = ∑m x ∑m i i i . W przypadku, gdy rozkład masy nie jest i i dyskretny, podobnie jak przy obliczaniu momentu bezwładności, sumowanie musimy zastąpić całkowaniem. Sposób wyznaczenia środka masy dla jednorodnego pręta z poprzedniego zadania, przedstawiono poniżej. M L 0 0 ∫ r dm x SM = M ∫ l λdl = M = 1 2 L2 λ = M 1 2 LL λ 1 = L M 2 (5.9) Całkowanie przeprowadzono względem jednego z końców pręta a więc wynik L/2 oznacza, że środek masy znajduje się w połowie długości pręta. Strona 71 ROZDZIAŁ 5 5.2. Równanie ruchu bryły sztywnej Moment siły W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywaliśmy jedynie obiekty punktowe, lub też bryłę sztywną zastępowaliśmy masą punktową znajdującą się się w środku masy tej bryły. Wówczas rozważaliśmy jedynie ruch postępowy takich obiektów. W dalszej części tego rozdziału opiszemy ruch obrotowy bryły sztywnej, na którą działa siła przyłożona w punkcie innym niż środek masy. Rozważmy najpierw siłę przyłożoną w dowolnym punkcie bryły sztywnej, ale skierowaną wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt wyznaczający środek masy tego ciała. Wówczas siła ta wywoływać będzie ruch postępowy. Jeżeli jednak kierunek działania tej siły nie będzie wskazywał środka masy ciała, to na ciało działać będzie moment r siły, który wywołuje ruch obrotowy. Moment siły M zależy od r wartości siły działającej na bryłęr sztywną F , odległości punktu zaczepienia tej siły od osi obrotu r oraz kąta między tymi wektorami. r r Moment siły M definiujemy jako iloczyn wektorowy wektorów r r oraz F : r r r M = r ×F M = r F sin α = F r ⊥ (5.10) Wielkość r ⊥ = r sin α nazywana jest ramieniem siły. Moment siły r r uzyskuje maksymalną wartość, gdy kąt α między r oraz F jest kątem prostym. Siła działająca wzdłuż ramienia nie wywołuje obrotu a jedynie ruch postępowy. Jeśli oś obrotu nie jest wymuszona (obrót jest obrotem swobodnym) następuje on zawsze wokół osi o największym momencie bezwładności przechodzącej przez środek masy ciała. Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego definiowaliśmy siłę poprzez pochodną pędu ciała po czasie, tak w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej możemy zdefiniować moment siły jako pochodną momentu pędu po czasie: Strona 72 DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ r r dL M = dt (5.11) r Moment pędu L masy punktowej m poruszającej się po okręgu o pror mieniu r jest iloczynem wektorowym wektora wodzącego r i pędu ciała r p (rysunek 5.1.). Kierunek wektora momentu pędu jest zgodny z osią obrotu, a zwrot określamy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Zwrot r ten jest identyczny ze zwrotem wektora prędkości kątowej ω . r r r L =r ×p (5.12) L = r p = r m v = r m r ω = mr 2 ω = I ω (5.13) W ostatnim przekształceniu iloczyn mr2 został zastąpiony momentem bezwładności I. Pęd ciała w ruchu prostoliniowym jest proporcjonalny do jego masy i prędkości (równanie 3.1). W ruchu po okręgu miarą ilości r ruchu jest moment pędu L . We wzorze 5.13 wykazaliśmy, że ta ilość ruchu jest proporcjonalna do prędkości kątowej a współczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności I. Rysunek 5.1. Moment pędu masy punktowej poruszającej się po okręgu Zgodnie z równaniem 5.11 moment siły działający na bryłę sztywną wywołuje zmianę momentu pędu tej bryły. Zmiana momentu pędu może być związana ze zmianą prędkości kątowej bryły, której moment bezwładności się nie zmienia ale może również wynikać ze zmiany samego momentu bezwładności bryły sztywnej. Uwzględniając oba te człony możemy zapisać różniczkowe równanie ruchu obrotowego bryły sztywnej, które jest II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego: M = dL dω dI =I +ω dt dt dt (5.14) Strona 73 ROZDZIAŁ 5 5.3. Zasada zachowania momentu pędu Rozważmy teraz ruch obrotowy bryły sztywnej, na którą działa wypadkowy moment siły M równy zero. Wówczas zgodnie z równaniem 5.11 pochodna momentu pędu po czasie wynosi zero a więc wartość całkowitego momentu pędu musi być stała, co zapisujemy jako zasadę zachowania momentu pędu: r r L c = ∑ L i = const. (5.15) i Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych (układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu jest stały. W przypadku, gdy moment bezwładności układu nie zmienia się w czasie zasadę zachowania momentu pędu można zapisać: L = I ω = const . (5.16) Zasada zachowania momentu pędu pozwala wyjaśnić tzw. efekt żyroskopowy stabilizujący np. poruszający się rower czy motocykl. Z obracającymi się kołami związany jest moment pędu, skierowany poziomo, zgodnie z osią obrotu (kierunek i zwrot wektora wyznacza reguła prawej dłoni). Jeżeli równowaga roweru ulegnie zachwianiu i rower przechyli się, zmieni się kierunek wektora momentu pędu, oprócz składowej poziomej będzie miał również składową pionową. Rower, który przechyli się zaczyna poruszać się po łuku. Wówczas pojawia się dodatkowy moment pędu skierowany pionowo do góry, który jest w stanie skompensować zmianę momentu pędu wynikającą z przechyłu roweru. Im większe wychylenie z położenia równowagi, tym większą zmianę momentu pędu potrzeba skompensować i tym mniejszy musi być promień okręgu po którym poruszać się będzie rower. Z kolei im szybciej poruszać się będzie rower, tym większy jest moment pędu związany z obracającym się kołem ale również większy jest moment pędu z całym rowerem poruszającym się po okręgu, tak że nawet duże przechylenie roweru będzie kompensowane przez jego ruch po okręgu o dużym promieniu. W konsekwencji moment pędu koła stabilizuje zachowanie całego obiektu, w którym zamocowane jest to koło. Efekt żyroskopowy wykorzystywany jest również np. na pokładach łodzi, czy samolotów gdzie montowane Strona 74 DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ są specjalne wirujące dyski (żyroskopy) mające na celu zwiększenie stabilności tych pojazdów i zmniejszenie ich przechyłów. Zasada zachowania momentu pędu musi być również uwzględniona w konstrukcji śmigłowca. Obracanie wirnika wymaga działania na niego pewnym momentem siły. Identyczny moment siły, ale o przeciwnym zwrocie działa na kadłub śmigłowca. W efekcie kadłub zaczyna się obracać w stronę przeciwną do kierunku obrotu wirnika. Zasada zachowania momentu pędu dla takiego układu można zapisać I s ωs = I k ωk , gdzie indeksy s i k oznaczają odpowiednio śmigło i kadłub. Najpopularniejszym rozwiązaniem tego problemu w konstrukcji helikoptera jest umieszczenie dodatkowego wirnika na ogonie. Siła ciągu tego wirnika wytwarza moment sił działający na kadłub i przeciwdziałający obrotowi. Ponadto regulując siłę ciągu wirnika ogonowego, śmigłowiec może wykonać obrót w prawo lub w lewo. Zamiast jednego wirnika można również zastosować dwa śmigła obracające się w przeciwnych kierunkach, których moment pędu równoważy się. Efekty działania zasady zachowania momentu pędu są również obserwowane w przypadkach, kiedy zmieni się moment bezwładności obracającego się obiektu. Łyżwiarze przygotowując się do skoku z obrotem szeroko rozstawiają ręce, żeby uzyskać jak największy moment bezwładności, wprawiają ciało w ruch obrotowy i odbijają się. W powietrzu ściągają ręce do siebie zmniejszając tym samym moment bezwładności co zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wpływa na wzrost prędkości obrotowej i daje możliwości wykonania kilku obrotów w powietrzu. Podobne zjawisko obserwujemy dla chmury gazów wirującej wokół ciała niebieskiego (np. gwiazdy). Jeżeli chmura ta ulegnie zapadnięciu pod wpływem sił grawitacji gwałtownie maleje jej moment bezwładności (proporcjonalny do kwadratu promienia) a wzrasta prędkość obrotowa tych gazów. Z tego względu gwiazdy uformowane z materii pozostałej po wybuchu supernowych mają z reguły bardzo duże prędkości obrotu względem własnej osi. 5.4. Energia ruchu obrotowego Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego, moment siły działający na ciało może wywołać jego ruch obrotowy. Aby wyznaczyć energię jaką posiada ciało wykonujące ruch obrotowy wyznaczymy pracę jaką Strona 75 ROZDZIAŁ 5 należy wykonać aby wywołać ruch obrotowy bryły sztywnej. Rozpatrzmy moment siły M, który wywołuje ruch obrotowy bryły sztywnej, taki że siła F jest prostopadła do ramienia r na jakim działa. W przypadku ruchu postępowego pracę dW liczyliśmy jako iloczyn siły F oraz przesunięcia dx jakie ta siła wywołuje ( d W = F d x ). W przypadku ruchu obrotowego moment siły M działając na bryłę sztywną powoduje przemieszczenie kątowe dα a więc pracę dW w ruchu obrotowym możemy zapisać jako: dW = M d α (5.17) Pracę całkowitą jaką wykona moment siły M obracając bryłę sztywną od położenia początkowego (kątowego) αp do położenia końcowego αk wyznaczamy z zależności całkowej: αk ∫M W = dα (5.18) αp Podstawiając równanie 5.14 do 5.17, przy założeniu I =const. otrzymujemy: dW = M d α = I dω dα dα = I dω = I ω dω dt dt (5.19) Stąd wyznaczamy pracę jaką należy wykonać aby bryle o momencie bezwładności I nadać prędkość kątową ω. Praca ta jest równoważna energii ruchu obrotowego tej bryły: ω E o = W = ∫ I ω dω = 0 Iω2 2 (5.20) Powyższy wzór ma postać podobną do wzoru na energię kinetyczną ruchu postępowego, ale zamiast masy mamy moment bezwładności oraz prędkość kątową zamiast postępowej. W ogólności poruszająca się bryła sztywna może posiadać zarówno energię kinetyczną ruchu postępowego, która jest związana z ruchem postępowym środka masy ciała, oraz energię ruchu obrotowego związaną z obrotem ciała wokół osi obrotu. Dlatego ten sam obiekt staczający się z poślizgiem (bez obracania) oraz bez poślizgu (staczając się) będzie miał na dole równi inną prędkość postępową środka masy. W pierwszym przypadku bowiem, zgodnie z zasadą zachowania energii, cała energia potencjalna zamieni się w energię kinetyczną ruchu postępowego. W drugim przypadku ta sama początkowa Strona 76 DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ energia potencjalna ulega zamianie zarówno na energię kinetyczną ruchu postępowego jak i obrotowego decydując o mniejszej prędkości ruchu postępowego. Podobnie prędkość postępowa pocisku wystrzelonego z broni palnej o gwintowanej lufie jest mniejsza niż w przypadku gładkiej lufy, gdyż część energii jest zgromadzona w ruchu obrotowym pocisku. Jednakże ruch wirowy i zasada zachowania momentu pędu chroni pocisk przed koziołkowaniem wpływając na większą celność strzałów oraz efektywnie większy zasięg strzału. W niektórych autobusach czy bolidach F1 stosuje się tzw. koła zamachowe do magazynowania energii w postaci energii ruchu obrotowego. Podczas hamownia energia kinetyczną pojazdu nie jest „trwoniona” w postaci ciepła wydzielanego na tarczach hamulcowych a wykonuje pracę wprawienia tarcz o dużym momencie bezwładności w ruch obrotowy. Tak zgromadzona energia ruchu obrotowego koła zamachowego może być odzyskana i może wykonać pracę rozpędzania pojazdu. Strona 77 ROZDZIAŁ 5 Strona 78 6 Ruch drgający W tym rozdziale: o o o o Drgania harmoniczne Wahadło sprężynowe, wahadło matematyczne, fizyczne i torsyjne Drgania tłumione Drgania wymuszone z tłumieniem ROZDZIAŁ 6 6.1. Drgania harmoniczne Rozpatrzmy ciało poruszające się po okręgu o promieniu R, tak jak opisywaliśmy to w rozdziale 5.1. Tym razem jednak będziemy obserwować ruch rzutu punktu na nieruchomy ekran (np. na ścianę) prostopadły do płaszczyzny ruchu po okręgu. Wówczas ciało przesuwać się będzie w jednym wymiarze w powtarzalny sposób z jednego do drugiego krańca odcinka o długości 2R. Ruch w którym ciało powtarza te same położenia nazywamy ruchem drgającym lub oscylującym. Jeżeli drgania te występują w stałych odstępach czasu to mamy do czynienia z ruchem drgającym okresowym. Gdybyśmy narysowali wykres położenia tego ciała w funkcji czasu otrzymalibyśmy krzywą sinusoidalną jak na rysunku 6.1. Rzut ruchu po okręgu jest więc ruchem drgającym okresowym opisanym funkcją typu sinus. Ruch okresowy drgający, w którym położenie ciała możemy opisać zależnością sinusoidalną nazywany jest ruchem harmonicznym. x = R sin α (6.1), gdzie R jest promieniem okręgu po jakim porusza się obiekt a α oznacza fazę ruchu drgającego i dla rozpatrywanego przykładu jest powiązana z położeniem kątowym ciała na okręgu. Ponieważ położenie kątowe ciała na okręgu zależy od jego prędkości kątowej ω, wiec również faza w ruchu drgającym zmienia się w czasie proporcjonalnie do tej prędkości kątowej. W zagadnieniach ruchu drgającego wielkość ω nazywa się częstotliwością kołową, w odróżnieniu od częstotliwości f. Należy jednak pamiętać, że obie te wielkości są ze sobą powiązane zależnością 5.4 (ω = 2πf ). Strona 80 RUCH DRGAJĄCY Rysunek 6.1. Rzut położenia ciała poruszającego się po okręgu na oś w układzie liniowym W ogólności położenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym prostym można zapisać w postaci: x (t ) = Asin (ωt + ϕ ) (6.2) gdzie A jest amplitudą drgania, argument funkcji sinus będziemy nazywać fazą ruchu, φ jest fazą początkową a ω częstotliwością kołową. Prędkość ciała w ruchu harmonicznym wyznaczymy obliczając pochodną jego położenia po czasie: v (t ) = dx (t ) = A ω cos (ωt + φ ) dt (6.3) Porównując zależności 6.2 oraz 6.3 widzimy, że prędkości i wychylenie z położenia równowagi nie są zgodne w fazie (opisane funkcjami sinus i cosinus). Oznacza to, że prędkość w ruchu drgającym jest największa w momencie, kiedy wychylenie jest równe zeru (w momencie przechodzenia przez położenie równowagi) i jest zerowa dla maksymalnego wychylenia. Obliczając pochodną prędkości po czasie otrzymamy przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem harmonicznym: a (t ) = d v (t ) = − A ω 2 sin (ωt + φ ) = − ω 2 x (t dt ) (6.4) Otrzymaliśmy zależność, w której występuje taka sama funkcja sinus jak dla wychylenia. Znak minus oznacza, że ciało wychylone z położenia Strona 81 ROZDZIAŁ 6 równowagi będzie doznawało przyspieszenia w kierunku przeciwnym do jego wychylenia z położenia równowagi. Przyspieszenie to jest wynikiem występowania siły, która tak jak przyspieszenie skierowana jest przeciwnie do wychylenia i która zawsze skierowana jest do położenia równowagi. Wartość tej siły jest proporcjonalna do wychylenia a więc im dalej od położenia równowagowego znajduje się ciało, tym większa siła na nie działa. Istnienie siły skierowanej do położenia równowagi o wartości proporcjonalnej do wartości wychylenia z położenia równowagi jest również cechą charakterystyczną ruchu harmonicznego. Przekształcenie wzoru 6.4 na przyśpieszenie ciała w ruchu harmonicznym pozwala nam zapisać różniczkowe równanie ruchu drgań harmonicznych: d 2 x (t ) + ω02 x (t ) = 0 2 dt (6.5) Jest to wzór ogólny, opisujący drgania harmoniczne, w którym zamiast wychylenia x możemy wstawić również inne wielkości fizyczne jak ładunek elektryczny czy natężenie pola elektrycznego. Wielkość ω0 oznacza częstotliwość kołową drgań własnych obiektu, czyli częstotliwość kołową, z jaką wykonuje on drgania swobodne, związane jedynie z siłami występującymi wewnątrz układu. Wahadło sprężynowe Prostym przykładem ruchu drgającego harmonicznego są oscylacje ciężarka zaczepionego do sprężyny o długości swobodnej x 0 . Dla uproszczenia przyjmijmy, że na ciężarek nie działa siła grawitacji oraz że masa sprężyny jest niewielka w stosunku do masy ciężarka, a opory ruchu można zaniedbać. Jeśli sprężynę rozciągniemy o długość x (spowodujemy wychylenie z położenia równowagi o odległość x), sprężyna będzie działać na ciężarek siłą o wartości proporcjonalnej do wychylenia (zgodnie z prawem Hooke’a – równanie 4.36) F = − k x . Gdy puścimy ciężarek będzie się on poruszał się w kierunku położenia równowagi. Ciężarek minie położenie i będzie miał wówczas maksymalną prędkość oraz energię kinetyczną. Energia kinetyczna ciała wykona pracę ściskania sprężyny i zostanie zamieniona na energię sił sprężystości (równanie 4.37). Gdyby w układzie nie było oporów tarcia ani strat energii, podczas ściskania sprężyny, ciężarek wychyliłby się na taką samą odległość względem położenia równowagi, na jaką została ona poprzednio rozciągnięta. Zatem amplituda drgań byłaby więc stała. Strona 82 RUCH DRGAJĄCY Siła sprężystości działającą na ciało o masie m znajdujące się na końcu rozciągniętej sprężyny nadaje temu ciału przyspieszenie. Równanie ruchu w takim przypadku można więc zapisać w postaci: m d2x +k x =0 dt 2 (6.6) Jeżeli podzielimy obie strony powyższego równania przez masę m otrzymamy równanie w postaci analogicznej do równania 6.5 nazywane równaniem wahadła sprężystego. Częstość drgań własnych oraz okres drgań takiego wahadła zależy od masy zaczepionej do sprężyny oraz współczynnika k sprężystości sprężyny: ω0 = k m ; T = 2π m k (6.7) W przypadku rzeczywistej sprężyny możemy uzyskać drgania harmoniczne jeżeli wyeliminujemy opory ruchu oraz gdy rozpatrywać będziemy wyłącznie niewielkie wychylenia z położenia równowagi. Przy zbyt dużych wychyleniach mogą nastąpić odkształcenia plastyczne materiału, z którego sprężyna jest zrobiona, powodując zmianę długości swobodnej sprężyny. Podobnie przy zbyt mocnym ściskaniu sprężyny zwoje sprężyny mogą stykać się uniemożliwiając dalsze odkształcanie. Wahadło matematyczne Nie tylko siła sprężystości sprężyny powodować drgania harmoniczne. W przypadku wahadła matematycznego to siła grawitacji wywołuje drgania harmoniczne. Wahadło matematyczne to idealny układ składający się z masy punktowej m zaczepionej do nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l, znajdujący się w polu grawitacyjnym. W stanie równowagi masa punktowa zwisa pionowo na nici zgodnie z kierunkiem linii pola grawitacyjnego. Rozpatrzmy teraz niewielkie wychylenie kątowe α z tego położenia równowagi (rysunek 6.2). Wówczas siłę grawitacji (Fc = mg, skierowaną pionowo w dół) możemy rozłożyć na dwie składowe – radialną (wzdłuż promienia, zaznaczona na niebiesko na rysunku 6.2) i styczną (prostopadłą do promienia, zaznaczoną na czerwono na rysunku 6.2). Składowa radialna jest równoważona przez naciąg nici i nie wpływa na ruch wahadła. Zatem siłą powodującą powrót ciężarka do położenia równowagi będzie składowa styczna siły ciężkości: F s = − mg sin α (6.8) Strona 83 ROZDZIAŁ 6 Przy niewielkich wychyleniach z położenia równowagi, czyli dla małych kątów α wartość funkcji sinus może być dobrze przybliżona argumentem tej funkcji. Dla małych kątów α składowa styczna siły ciężkości działającej na wychylone wahadło matematyczne jest skierowana do położenia równowagowego a jej wartość jest proporcjonalna do wartości tego wychylenia. Uwzględniając powyższe założenia możemy przekształcić równanie 6.8 i otrzymujemy równanie drgań harmonicznych dla wahadła matematycznego: d2α g + α=0 l dt 2 (6.9) Podobnie jak to zrobiliśmy dla wahadła sprężystego porównujemy równanie 6.9 z 6.5 i wyznaczamy częstości drgań własnych oraz okres drgań wahadła matematycznego o długości l: ω0 = g ; l T =2π l g (6.10) Warto zauważyć, że okres T drgań wahadła matematycznego zależy od długości nici l oraz przyspieszenia ziemskiego g i nie zależy od masy m zaczepionej na końcu nici (izochronizm). Rysunek 6.2. Wahadło matematyczne (z lewej) i fizyczne (z prawej) Strona 84 RUCH DRGAJĄCY Wahadło fizyczne W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie skonstruować idealnego wahadła matematycznego, ale z codziennych obserwacji wiemy, że rzeczywiste, fizyczne obiekty jak np. lampa zamocowana na linie, mogą wykonywać drgania harmoniczne w polu grawitacyjnym. Taki rzeczywisty układ drgający pod wpływem sił grawitacyjnych nazywamy wahadłem fizycznym. Rozpatrzmy bryłę sztywną o masie m, która może się obracać względem osi nie pokrywającej się z osią swobodną (środkiem masy ciała) odległej o d od środka masy bryły i która zostaje wychylona z położenia równowagi o niewielki kąt α (rysunek 6.2). W opisie ruchu tego ciała skorzystamy z drugiej zasady dynamiki dla bryły sztywnej: M =I dω d2α =I dt dt 2 (6.11) gdzie M oznacza moment siły działającej na bryłę a I jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu. Rozważając siły i momenty sił działające na taką bryłę sztywną, podobnie jak w poprzednim przypadku wahadła matematycznego, rozkładamy siłę ciężkości bryły, która jest zaczepiona do środka jej masy, na składową radialną i styczną. Ruch obrotowy bryły sztywnej będzie wywołany przez moment siły Mt związany ze składową styczną siły ciężkości (wyliczoną w identyczny sposób jak w przypadku wahadła matematycznego) działającą na ramieniu d i wyniesie: M t = − mg sin α d (6.12) Również w tym przypadku wartość funkcji sinus przybliżamy jej argumentem i otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego: d 2 α mgd + α=0 I dt 2 (6.13) W tym przypadku częstość drgań i okres obiegu wynoszą: ω0 = mgd ; I T = 2π I mgd (6.14) Jeżeli podstawimy l0 = I md powyższe zależności będą miały identyczną postać jaką otrzymaliśmy dla wahadła matematycznego (wzory 6.10). Długość l0 , dla której okres wahadła matematycznego jest taki Strona 85 ROZDZIAŁ 6 sam jak dla wahadła fizycznego nazywana jest długością zredukowaną wahadła fizycznego. Wahadło torsyjne Innym typem wahadła, w którym siłą sprawczą drgań jest siła sprężystości jest wahadło torsyjne. Zwykle jest to układ o momencie bezwładności I składający się z jednego lub kilku ciężarków, zawieszonych na cienkim pręcie lub drucie. Oś obrotu pokrywa się z osią pręta, a moment sił działających na ciężarek wynika z sił sprężystości powstających przy skręceniu pręta (inaczej układ ten jest nazywany wahadłem skrętnym). Ten moment sił skręcających jest proporcjonalny do wychylenia kątowego z położenia równowagi α oraz tzw. momentu kierującego D będącego cechą materiału pręta: M t = −D α (6.15), Dla wahadła torsyjnego druga zasada dynamiki przyjmuje postać: d2α D + α =0 dt 2 I (6.16), a częstość drgań i okres obiegu w tym przypadku wynoszą: ω0 = D I ; T = 2π I D (6.17) 6.2. Drgania tłumione W rzeczywistych układach drgających amplituda drgań będzie stopniowo malała i po pewnym czasie drgania ustaną. Związane jest to z występowaniem strat energii, wynikających między innymi z lepkości ośrodka, w którym poruszają się ciała, sił tarcia występujących na połączeniach mechanicznych itp. Opis ruchu z uwzględnieniem tłumienia wymaga określenia, który z czynników tłumienia jest dominujący, a następnie zapisania wpływu tego czynnika w równaniu ruchu. Najczęściej tłumienie jest proporcjonalne do prędkości ciała. Modelem takiego układu może być ciężarek umocowany do sprężyny i zanurzony w lepkiej cieczy. Jak pokażemy w rozdziale poświęconym hydrodynamice, jeśli przepływ cieczy ma charakter laminarny siły oporu są wprost proporcjonalne Strona 86 RUCH DRGAJĄCY do prędkości ciała. Równanie ruchu ciężarka w takim układzie możemy zapisać w postaci: ma = − kx − b v (6.18) gdzie współczynnik b jest stałą proporcjonalności między siłą oporu a prędkością. Zastępując prędkość pierwszą a przyspieszenie drugą pochodną położenia po czasie powyższy wzór możemy zapisać w postaci różniczkowej: d2x dx m +b + kx = 0 2 dt dt (6.19) Rozwiązanie równania ruchu drgań harmonicznych miało postać funkcji sinusoidalnej. Rozwiązanie równania drgań tłumionych jest złożeniem dwóch funkcji – funkcji okresowej sinusoidalnej oraz funkcji opisującej wykładnicze malenie amplitudy wychylenia: x (t ) = A e −γ t cos (ω′t + φ ) (6.20) Wykładnicze malenie amplitudy drgań zależy zarówno od lepkości ośrodka jak i masy ciężarka zamocowanego do sprężyny i opisane jest za pomocą współczynnik tłumienia γ=b/2m. Istnienie tłumienia w układzie wpływa również na zmniejszenie częstości kołowej drgań tłumionych ω’: k b2 k ω′ = − = − γ 2 = ω2 − γ 2 2 m 4m m (6.21) Jeśli współczynnik tłumienia jest niewielki, to częstotliwość kołowa drgań tłumionych ulega tylko nieznacznej zmianie a amplituda stopniowo zmniejsza się w kolejnych okresach drgań – funkcja wykładnicza stanowi obwiednię obserwowanego przebiegu (rysunek 6.3). Jeśli będziemy zwiększać wartość współczynnika tłumienia poprzez zmianę lepkości ośrodka lub zmianę masy drgającej zanik amplitudy drgań będzie coraz szybszy a częstotliwość tych drgań coraz mniejsza, aż w końcu osiągniemy wartość krytyczną dla której częstość kołowa drgań tłumionych będzie wynosiła zero: 2 γk = ω 2 (6.22) Strona 87 ROZDZIAŁ 6 Dla takiej wartości współczynnika tłumienia obserwujemy najszybsze z możliwych wygaśnięcie drgań i dojście układu do stanu równowagi. Zależność wychylenia od czasu nie ma wówczas postaci funkcji okresowej, a jedynie aperiodycznego wykładniczego spadku (rysunek 6.3). Jeśli współczynnik tłumienia będzie jeszcze większy, układ będzie przetłumiony. Podobnie jak w przypadku tłumienia krytycznego nie obserwujemy wówczas drgań okresowych a jedynie wykładnicze zmniejszanie się wychylenia. Jednak w tym przypadku siły oporu są na tyle duże, że powrót do położenia równowagi trwa wielokrotnie dłużej niż w przypadku tłumienia krytycznego (rysunek 6.3). Rysunek 6.3. Zależność wychylenia ciała dla oscylatora tłumionego w funkcji czasu. Różne kolory krzywej obrazują zachowanie oscylatora dla różnych wartości współczynnika tłumienia Urządzenia tłumiące drgania, amortyzatory Dobór odpowiedniego współczynnika tłumienia jest ważnym zagadnieniem inżynierskim, przy projektowaniu urządzeń mechanicznych. Stosunkowo prostym przykładem może być tutaj zamykacz do drzwi, który ma zapewnić jak najszybsze zamknięcie drzwi, tak aby zminimalizować straty ciepła z wewnątrz budynku. Znając masę drzwi, na etapie projektowania możemy tak dobrać olej o odpowiedniej lepkości oraz sprężynę o odpowiednim współczynniku sprężystości aby współczynnik tłumienia Strona 88 RUCH DRGAJĄCY był równy wartości krytycznego współczynnika tłumienia. Jeśli dobierzemy za mały współczynnik tłumienia, drzwi przed zamknięciem wykonają kilka oscylacji wokół położenia równowagi (jeśli mają taką możliwość) lub uderzą we framugę. Jeśli współczynnik tłumienia będzie zbyt duży, drzwi będą zamykały się powoli a może nawet mogą w ogóle się nie zamknąć. Jeśli natomiast tak dobierzemy parametry, że otrzymamy wartość krytyczną współczynnika tłumienia, drzwi zamkną się szybko nie powodując uderzenia we framugę. Warto zwrócić uwagę na fakt, że zimą, gdy pod wpływem spadku temperatury lepkość oleju w zamykaczu rośnie nadmiernie współczynnik tłumienia wzrasta spowalniając tempo zamykania drzwi. Wymiana oleju w zamykaczu byłaby w takim przypadku mało praktycznym rozwiązaniem, ale podobny efekt można również osiągnąć poprzez regulację długości sprężyny. Innym ważnym przykładem tłumionego oscylatora harmonicznego jest amortyzator samochodowy. Typowy amortyzator składa się z cylindra oraz tłoka na długim trzpieniu, wokół którego owinięta jest sprężyna. Tłok dzieli cylinder na dwie części, między którymi może odbywać się przepływ oleju przez otwory w tłoku. Wielkość otworów oraz lepkość użytego płynu determinuje współczynnik tłumienia – im mniejsza ich średnica i im większy współczynnik lepkości płynu, tym większy współczynnik tłumienia uzyskujemy. W typowych amortyzatorach wartość współczynnika tłumienia jest ustalona, istnieją jednak rozwiązania pozwalające ją regulować. Jednym z nich jest zastosowanie cieczy, których lepkość zwiększa się pod wpływem pola magnetycznego (magnetoreologiczne) lub elektrycznego (elektro-reologiczne). Układy elektroniczne poprzez wytwarzanie odpowiedniego pola magnetycznego lub elektrycznego mogą płynnie zmieniać współczynnik tłumienia amortyzatora i w ten sposób wpływać na charakterystykę układu zawieszenia. Amortyzatory lotnicze muszą wytłumić zarówno oscylacje o dużej amplitudzie powstające podczas lądowania przy zetknięciu z Ziemią jak i mniejsze drgania powstające podczas szybkiej jazdy po płycie lotniska. W tym celu stosuje się amortyzatory powietrzno-olejowe z dodatkową poduszka gazową tłumiącą drgania o dużej amplitudzie. Strona 89 ROZDZIAŁ 6 6.3. Drgania wymuszone z tłumieniem Wiemy już, że każdy układ charakteryzuje częstość kołowa drgań własnych ω0, oraz że tłumienie zmienia częstość drgań układu. Na układ mogą jednak działać również zewnętrzne siły wymuszające o charakterze okresowym. Rozpatrzmy oscylator harmoniczny tłumiony który będzie pobudzany zewnętrzną siłą okresową z częstością kłową ω. Wówczas równanie ruchu oscylatora w postaci różniczkowej będzie miało postać: d2x b dx + + ω0 x = A cos ωt 2 m dt dt (6.23) gdzie A oznacza amplitudę wymuszenia. Rozwiązania tego równania mają dość skomplikowaną postać i nie będziemy ich wyprowadzać. Przeanalizujemy tylko zależność amplitudy drgań od częstości wymuszenia i współczynnika tłumienia: X MAX ~ 1 ( m 2 ω 2 − ω02 ) 2 + γ 2 ω2 (6.24) Jeśli częstotliwość kołowa wymuszenia ω zbliża się do częstotliwości kołowej drgań własnych oscylatora ω0 to amplituda drgań rośnie. Gdy częstotliwość drgań wymuszających jest zgodna z częstotliwością drgań własnych amplituda drgań osiąga maksymalną wartość a w przypadku gdy nie ma tłumienia dąży do nieskończoności, a zjawisko to nazywa się rezonansem. Zjawisko rezonansu mechanicznego może więc doprowadzić do uszkodzenia budynków lub pojazdów. Jako przykład niszczącej siły rezonansu podawane jest zazwyczaj zawalenie się mostu w Angers w 1850 roku pod wpływem drgań wywołanych przemarszem wojska. Rytm kroku żołnierzy zgadzał się z częstością własną konstrukcji mostu wiszącego, co doprowadziło do zniszczenia podtrzymujących go wież. We współczesnych pojazdach na przykład zjawiska rezonansu mogą prowadzić do powstawania znacznych naprężeń mechanicznych na elementach konstrukcyjnych i luzowania połączeń skrętnych. Siłą wymuszającą drgania Strona 90 RUCH DRGAJĄCY mogą być również fale sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi i dlatego w regionach aktywnych sejsmicznie w konstrukcji wysokich budynków stosuje się różnego rodzaju amortyzatory oraz tzw. TMD – tuned mass damper, czyli dodatkowy oscylator o innej częstotliwości własnej, który przejmuje i rozprasza część energii drgań. Strona 91 ROZDZIAŁ 6 Strona 92 7 Stany skupienia materii W tym rozdziale: o o o o Ciało stałe Płyny Inne stany materii, szkło, tworzywa sztuczne, plazma Przemiany fazowe ROZDZIAŁ 7 Stany skupienia materii Dotychczas opisywaliśmy ciała stałe, które charakteryzowały się ustalonym kształtem, które pod wpływem działającej na nie siły poruszały się (bryła sztywna) lub też nieznacznie sprężyście się odkształcały (sprężyna). W tym rozdziale omówimy także inne cechy charakterystyczne ciał stałych oraz przedstawimy wybrane właściwości innych stanów skupienia materii – cieczy i gazów o których więcej mówić będziemy w dalszych rozdziałach. 7.1. Ciało stałe Cechami charakterystycznymi ciała stałego są: Strona 94 • ustalony kształt i objętość • występowanie oddziaływań harmonicznych pomiędzy atomami i cząsteczkami. W pewnym zakresie naprężeń ciało stałe zachowuje się jak sprężyna – ściśnięte, wraca do pierwotnego kształtu, a odkształcenie sprężyste jest proporcjonalne do wartości przyłożonej siły. Atomy ciała stałego wykonują drgania wokół położenia równowagi a amplituda tych drgań jest tym wyższa im wyższa jest temperatura. • uporządkowanie dalekiego zasięgu. Krystaliczne ciało stałe otrzymujemy powielając niewielki podstawowy jego fragment (tak zwaną komórkę elementarną) w każdym z kierunków. Taka powtarzalność układów atomowych, tzw. periodyczność pozwala nam zatem na podstawie znajomości układu atomów w danym miejscu określić dokładnie, jakie jest położenie atomów w dowolnym innym miejscu. STANY SKUPIENIA MATERII 7.2. Płyny Płyny, do których zaliczamy ciecze i gazy, różnią się od ciał stałych reakcją na naprężenie ścinające. Ciała stałe w reakcji na takie naprężenie (w pewnym zakresie wartości) odkształcają się sprężyście, a po zwolnieniu siły powracają do pierwotnego kształtu. Płyny natomiast ulegają odkształceniu plastycznemu czyli obserwujemy płynięcie ciała i zmianę jego kształtu. Ciecze Ciecze w odróżnieniu od ciała stałego nie posiadają ustalonego kształtu, choć są podobnie jak ciała stałe słabo ściśliwe. Ciecze tworzą powierzchnię swobodną oraz charakteryzują się uporządkowaniem bliskiego zasięgu. Oznacza to, że najbliższe otoczenie atomów jest takie samo. Ciecze tworzą cząsteczki o ustalonej strukturze. Jednakże względne ułożenie cząsteczek względem siebie jest przypadkowe i dlatego możemy przewidzieć położenie sąsiedniego atomu ale nie jesteśmy w stanie obliczyć dokładnie struktury w dalszym miejscu. Ruch obrotowy i ruch postępowy cząsteczek cieczy jest znacznie ograniczony. Gazy Gaz wypełnia całą dostępną objętość naczynia, w którym się znajduje. Jest ściśliwy, a odległości wzajemne między cząsteczkami są duże. Cząsteczki gazu znajdują się w ciągłym ruchu chaotycznym (ruchy Browna). Istnieją także silne ruchy obrotowe i ruchy drgające wewnątrz cząsteczek. Dominującą formą oddziaływań są zderzenia. Prędkość cząsteczek jest większa niż w przypadku cieczy. 7.3. Inne stany materii Powyższe kryteria podziału stanów skupienia odnoszą się do właściwości idealnych ciał stałych, gazów i cieczy. W rzeczywistości obserwowane są pewne odstępstwa od zaprezentowanych cech. Istnieją również ciała, które trudno jest jednoznacznie przyporządkować do określonej kategorii. Strona 95 ROZDZIAŁ 7 Szkło Szkło jest materiałem, w którym, podobnie jak w cieczy, występuje jedynie uporządkowanie bliskiego zasięgu. W warunkach, w których je obserwujemy zachowuje ono jednak nie tylko objętość, ale i kształt, co jest cechą charakterystyczną ciał stałych. Szkło jest w istocie stanem metastabilnym, tzw. przechłodzoną cieczą – czyli cieczą, której ruchy uległy zamrożeniu bez przejścia w stan stały (krystalizacji). Czas potrzebny na reorganizację ustawienia cząsteczek (tak zwany czas relaksacji) jest na tyle długi, że obserwator nie zauważy efektu płynięcia pod wpływem działania sił ścinających. Umowną granicą jest w tym przypadku czas relaksacji równy 100 sekund – jeśli jest on krótszy, możemy nazywać dane ciało cieczą. Zamrażanie ruchów cząsteczek cieczy nazywane jest również przejściem szklistym, a jego temperatura oznaczana jako Tg – temperaturą przejścia szklistego. Istnieje przeświadczenie, że efekty płynięcia szkła są widoczne przy odpowiednio długiej obserwacji czyli w wystarczająco „starych” obiektach. Dokładne badania szkła wytworzonego w starożytnym Egipcie oraz szkła użytego w witrażach średniowiecznych katedr wykazało jednak, że czas potrzebny na obserwację efektu płynięcia dla tych szkieł, w temperaturze pokojowej, jest porównywalny z wiekiem wszechświata, a więc trudny do zaobserwowania w normalnych warunkach. Atomy szkła zaczynają się szybciej ruszać, czyli szkło zaczyna płynąć dopiero po podgrzaniu powyżej temperatury przejścia szklistego, co wykorzystywane jest w hutach szkła do nadawania mu oczekiwanych kształtów. Tworzywa sztuczne Z tworzyw sztucznych zbudowane są takie przedmioty codziennego użytku jak opona, gumowa piłka lub zderzak większości nowoczesnych samochodów. Wydaje się, że zarówno przedmioty te jak i materiał, z których są zbudowane spełniają kryteria stawiane ciału stałemu. Okazuje się jednak, że również w tych materiałach nie istnieje uporządkowanie dalekiego zasięgu, a charakter oddziaływań między cząsteczkami jest harmoniczny jedynie w wąskim zakresie przyłożonych naprężeń. Tworzywa sztuczne są zbudowane z łańcuchów polimerowych, gdzie identyczne cząsteczki połączone są w długie łańcuchy. Oddziaływania między łańcuchami mają złożony charakter i zależą od struktury łańcucha. Prostym modelem tworzywa sztucznego może być miska pełna spaghetti. Pojedyncze nitki makaronu oddziałują ze sobą nie tylko poprzez tarcie ale dodatkowo występują różnorakie zapętlenia i zawęźleStrona 96 STANY SKUPIENIA MATERII nia w efekcie czego makaron nie rozpływa się. W tworzywach sztucznych poprzez tzw. sieciowanie można dodatkowo zwiększyć oddziaływania między łańcuchami zwiększając ich wytrzymałość. W tworzywach sztucznych często nawet nieznaczne modyfikacje materiału wyjściowego zmieniają zachowanie tworzywa z typowego dla cieczy na typowe dla ciała stałego. Rozciągnięcie lub ściśnięcie opony widziane w ujęciu mikroskopowym jest związane przede wszystkim z rekonfiguracją wzajemnego położenia łańcuchów. Gdybyśmy umieścili wewnątrz opony miernik temperatury okazałoby się, że na skutek rozciągania i ściskania zmienia się lokalnie jej temperatura – zachodzi przemiana termodynamiczna. Plazma Obok ciał stałych, cieczy i gazów wymienia się zazwyczaj również czwarty stan skupienia materii – stan plazmy. Jest to stan o najwyższej energii, w którym materia jest zjonizowana i składa się z naładowanych cząstek o przeciwnych znakach ładunku elektrycznego. W odróżnieniu od innych stanów skupienia w stanie plazmy oddziaływanie pomiędzy cząsteczkami ma charakter dalekozasięgowy, czyli nie ogranicza się do najbliższych sąsiadów, ale każda z naładowanych cząstek oddziałuje z wieloma innymi dalszymi cząstkami. Plazma jest bardzo dobrym przewodnikiem elektrycznym. Materię w tym stanie możemy obserwować m.in. w płomieniu i łuku elektrycznym, jak również w wyładowaniu następującym w lampach jarzeniowych i w wyładowaniach atmosferycznych. 7.4. Przejścia między stanami – przemiany fazowe Stan skupienia danego ciała zależy od takich wielkości makroskopowych jak objętość, temperatura czy ciśnienie. Analizując stany, w jakich występuje dane ciało przy określonych wielkościach makroskopowych, możemy przygotować tak zwany diagram fazowy, który zwyczajowo przedstawia się na wykresie ciśnienia od temperatury. Linie stanowiące granicę występowania danej fazy związane są ze zmianą stanu skupienia. Ponieważ stany skupienia różnią się między sobą zarówno energią jak i charakterem oddziaływań, zmiana stanu skupienia wymaga dostarczeStrona 97 ROZDZIAŁ 7 nia lub odebrania tej energii. Dokładniejszą dyskusję przemian fazowych przeprowadzimy w rozdziale poświęconym termodynamice. Teraz jedynie wymienimy przemiany fazowe. Przejście pomiędzy ciałem stałym a cieczą nazywamy topnieniem. Przykładem jest topnienie lodu lub proces przetapiania złomu w hucie. W procesie topnienia energia cząsteczek zwiększa się i następuje zerwanie wiązań. W pewnych warunkach ciało stałe może również przejść bezpośrednio w stan gazowy – proces taki nazywamy sublimacją. Sublimację obserwujemy w mroźne zimy – obecny na obiektach szron i lód stopniowo znika bez udziału pośredniego procesu topnienia. Ciecz przechodząc w stan stały ulega krystalizacji. Podczas obniżania temperatury cieczy maleje energia kinetyczna cząsteczek cieczy i dominować zaczynają procesy porządkowania atomów w charakterystyczną dla danego związku periodyczną strukturę krystaliczną. Cząsteczki tracą możliwość przemieszczania się ruchem postępowym - w ciele stałym dominują ruchy drgające, polegające na niewielkich oscylacjach wokół położenia równowagi. Podczas ogrzewania cieczy natomiast wzrasta energia kinetyczna cząsteczek. Gdy ta energia jest odpowiednio duża i cząsteczka cieczy jest w stanie pokonać siły oddziaływania międzycząsteczkowego fazy ciekłej, odrywa się do cieczy, co nazywamy parowaniem. Warto zwrócić uwagę na to, że parowanie nie następuje tylko w temperaturze wrzenia cieczy. Rysunek 7.1. Schematyczny diagram fazowy. Zaznaczono kierunki zachodzących przemian fazowych Strona 98 STANY SKUPIENIA MATERII Cząsteczki znajdujące się na powierzchni cieczy mają szansę uwolnić się do fazy gazowej w całym zakresie temperatur, w których ciecz istnieje, jednak intensywność tego procesu jest różna w różnych warunkach. Podczas wrzenia natomiast zmiana stanu skupienia następuje w całej objętości cieczy. Procesem odwrotnym do parowania jest skraplanie. Proces ten obserwujemy na przykład w postaci rosy w chłodne poranki, a warunki makroskopowe (temperatura i ciśnienie) niezbędne do jego zajścia nazywamy punktem rosy. Gaz może również przejść do fazy stałej bezpośrednio w wyniku resublimacji. Przykładem resublimacji jest osadzanie się szronu na chłodnych powierzchniach. Zjawisko resublimacji wykorzystywane jest w procesie technologicznym wytwarzania cienkich warstw na potrzeby elektroniki. W przypadku typowego zachowania materii możemy tak dobrać ciśnienie, objętość i temperaturę ciała aby otrzymać stan, w którym współistnieć mogą trzy fazy, gazowy, ciekły i ciało stałe. Taki punkt na diagramie fazowym nazywamy punktem potrójnym. Strona 99 ROZDZIAŁ 7 Strona 100 8 Hydrostatyka i hydrodynamika W tym rozdziale: o o o o o o Ciśnienie Prawo Pascala Siła wyporu – prawo Archimedesa Równanie Bernoulliego, dysza, skrzydło samolotowe Płyny rzeczywiste, wiry i turbulencje Opór dynamiczny ROZDZIAŁ 8 8.1. Hydrostatyka Hydrostatyka i hydrodynamika opisują własności i zachowanie płynów, czyli cieczy oraz gazów. Ciśnienie Jedną z kluczowych wielkości, charakteryzujących płyny jest ciśnienie. Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły wywieranej na daną powierzchnię do wielkości tej powierzchni A: p = F A (8.1) Jednostką ciśnienia jest paskal (1Pa=1N/m2), który odpowiada sile 1 N działającej na powierzchnię 1 metra kwadratowego. Ponieważ ciśnienia spotykane w opisie zjawisk przyrodniczych są wielokrotnie większe, np. ciśnienie wywierane przez atmosferę jest równe około 105 Pa, powstały jednostki takie jak atmosfera fizyczna, atmosfera techniczna oraz bar. W motoryzacji natomiast często używa się jednostki angielskiej – psi, czyli funt na cal kwadratowy, Podczas gdy w technice próżniowej z kolei często stosowaną jednostką jest tor. Tabela 8.1. Wybrane jednostki ciśnienia mm Hg, Tr 133.3 At 9.807⋅104 Atm 1.013⋅105 bar 1.0⋅105 Psi 6.893⋅103 Dla nieściśliwego płynu ciśnienie hydrostatyczne na pewnej głębokości h pod powierzchnią cieczy zależy wyłącznie od tej głębokości: p = p 0 + ρ gh (8.2) gdzie po jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę na powierzchnię cieczy a ρ – gęstością płynu. W celu przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia wyodrębnijmy „wycinek” cieczy o płaskich podstawach (np. walec). Jeśli w cieczy nie ma ruchów konwekcyjnych, wycinek ten nie Strona 102 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA unosi się ani nie opada, a zatem siły działające na obie postawy (górną i dolną) muszą się równoważyć. Siłę działającą na górną podstawę możemy wyrazić poprzez ciśnienie przy górnej krawędzi p G oraz pole powierzchni tego walca A: FG = p G A (8.3) Podobnie możemy wyznaczyć siłę działającą na dolną podstawę: FD = pD A (8.4) Siłę działającą na dolną podstawę można również wyznaczyć sumując siłę działającą na górną podstawę oraz siłę ciężkości rozważanego „wycinka”: F D = p D A + mg = p D A + ρ hA g (8.5) Jeżeli porównamy zależności 8.4 i 8.5 to po podzieleniu obu stron przez powierzchnię A otrzymujemy równanie 8.2. Wzrost ciśnienia wywołany głębokością pod powierzchnią płynu jest związany z ciężarem tego płynu. W przypadku ogólnym rozważany „wycinek” cieczy może obejmować cały słup cieczy począwszy od jej powierzchni, na której panuje ciśnienie p0. Barometr cieczowy Barometr cieczowy jest prostym urządzeniem do pomiaru ciśnienia atmosferycznego za pomocą ciśnienia hydrostatycznego. Barometr cieczowy składa się z płaskiej zlewki i długiej rury, zamkniętej na jednym końcu. Zarówno zlewkę, jak i rurę napełniamy cieczą, a następnie rurę odwracamy tak, by jej otwarty koniec znalazł się pod powierzchnią płynu w zlewce (rysunek 8.1). Wydawać by się mogło, że skoro powierzchnia cieczy w rurce znajduje się wyżej od powierzchni płynu w zlewce, czyli ma wyższą energię potencjalną, ciecz znajdująca się w rurze powinna w całości wypłynąć do zlewki. Tymczasem obserwujemy jedynie obniżenie się wysokości słupa cieczy do pewnej wysokości. Toricelli stwierdził, że w rurce ustala się taki poziom płynu, który równoważy zewnętrzne ciśnienie atmosferyczne działające na otwartą zlewkę. p 0 = ρ gh (8.6) Strona 103 ROZDZIAŁ 8 Rysunek 8.1. Barometr cieczowy Przy zmieniającym się ciśnieniu atmosferycznym zmieniać się będzie również wysokość słupa płynu a więc układ taki może być stosowany jako barometr do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. W praktyce najczęściej stosuje się barometry rtęciowe, gdyż ze względu na wysoką gęstość rtęci barometr taki nie musi być bardzo wysoki – ciśnienie słupa rtęci o wysokości około 760mm jest porównywalne z ciśnieniem atmosferycznym. Wpływ ciśnienia słupa płynu należy uwzględniać np. przy projektowaniu sieci wodociągowej i ujęć wody. Jeśli różnica wysokości między ujęciem wody a punktem odbioru jest znaczna (źródło znajduje się na przykład na zboczu góry) stosuje się reduktory ciśnienia tak aby rury doprowadzające wodę nie zostały rozsadzone. Z odwrotnym problemem spotykamy się dostarczając wodę do wysokich budynków – przy zasilaniu bezpośrednio z sieci wodociągowej woda ma właściwe ciśnienie jedynie na najniższych piętrach. Z tego względu w niektórych przypadkach wodę pompuje się najpierw na najwyższe piętra, by następnie przez odpowiednią redukcję ciśnienia uzyskać pożądaną wartość na poszczególnych kondygnacjach. Regulacji ciśnienia w sieci wodociągowej mogą służyć również tzw. wieże ciśnień – wysokość słupa wody zgromadzonego w wieży określa ciśnienie w połączonej z nią sieci wodociągowej. Przykładem naturalnej „wieży ciśnień” są tzw. studnie artezyjskie. Jeśli teren jest zagłębiony – tworzy tzw. nieckę artezyjską, a warstwa wodonośna jest uwięziona pomiędzy słabo przepuszczalnymi skałami, ciśnienie wywierane przez wodę z warstwy na uniesionych brzegach niecki powoduje samorzutne wypływanie wody w zagłębionej części niecki. Strona 104 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA Prawo Pascala Ciśnienie w cieczy rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo. Powyższe prawo Pascala jest podstawą działania systemów hydraulicznych. Wzrost ciśnienia w jednym punkcie zamkniętego układu powoduje identyczny i natychmiastowy wzrost ciśnienia we wszystkich innych punktach. Prostym przykładem wykorzystania tego prawa jest bębnowy hamulec hydrauliczny. Naciskając pedał hamulca wciskamy (za pośrednictwem dźwigni) tłok w niewielkim cylindrze, wypełnionym cieczą. Ponieważ średnica tłoka jest niewielka, to siła, którą naciskamy pedał, powoduje znaczny wzrost ciśnienia cieczy w układzie hamulcowym (ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni, na którą działa siła zgodnie z równaniem 8.1). Poprzez przewód hamulcowy ciśnienie to jest przekazywane do cylindra z dwoma tłokami, znajdującego się wewnątrz mechanizmu hamulca. W tej części układu powierzchnia tłoków jest znacznie większa, a więc siła z jaką tłoki dociskają okładki hamulcowe do wewnętrznej części bębna jest wielokrotnie większa niż siła nacisku na pedały, wytwarzając w ten sposób duży moment hamujący. Zasada działania podnośnika hydraulicznego (prasy hydraulicznej) również może być wyjaśniona w oparciu o prawo Pascala. Prasa hydrauliczna składa się z połączonych ze sobą dwóch cylindrów o różnych średnicach (rysunek 8.2). Naciskając jeden z nich o powierzchni S1 siłą F1 wytwarzamy ciśnienie: p = F1 S1 (8.7) W układzie zamkniętym prasy dokładnie takie samo ciśnienie będzie działało na drugi tłok, jeśli tylko znajduje się on na identycznej wysokości (jeśli wysokości byłyby różne, należałoby uwzględnić dodatkowe ciśnienie słupa cieczy). Możemy zatem obliczyć siłę F2 działającą na drugi tłok o powierzchni S2: F2 = F1 S2 S1 (8.8) Siła F2 zależy zatem od stosunku powierzchni tłoków. Jeśli średnica mniejszego tłoka wynosi 1cm, a średnica większego 10cm (czyli powierzchnia tłoka jest 100 razy większa), to naciskając na mniejszy tłok Strona 105 ROZDZIAŁ 8 siłą 100N (około 10kg) wytwarzamy na większym tłoku siłę stokrotnie większą zdolną podnieść masę jednej tony. Za pomocą przenośnego podnośnika hydraulicznego możemy zatem łatwo unieść samochód w celu dokonania napraw. W dużych prasach siła ta może osiągać kilkaset ton, co jest wystarczające np. do formowania blach karoserii samochodowych. Rysunek 8.2. Schemat budowy podnośnika hydraulicznego Warto zwrócić uwagę, że przemieszczenie dużego tłoka w powyższej prasie hydraulicznej jest odpowiednio mniejsze. Aby uzyskać przemieszczenie dużego tłoka o 1cm przy danych identycznych jak w powyższym przykładzie, mniejszy tłok należałoby przesunąć o 1 metr. Ponieważ w praktyce może być to trudne do zrealizowania, w systemach siłowników hydraulicznych stosuje się system zaworów zwrotnych – pozwalających na przepływ płynu tylko w jedną stronę. W podnośniku ręcznym zawór zwrotny pozwala na wielokrotny ruch mniejszego tłoka w celu uzyskania odpowiedniego przesunięcia dużego tłoka. W obu przypadkach wykonana praca jest jednak identyczna. Przyjmując oznaczenie przemieszczenia tłoka jako x otrzymujemy: W 1 = F1 x 1 = F1 F V V V = 2 S1 = F2 = F 2 x 2 = W 2 (8.9) S1 S2 S1 S2 Siła wyporu – prawo Archimedesa Zgodnie z prawem Archimedesa: Na ciało zanurzone w płynie działa siła wyporu skierowana pionowo do góry równa ciężarowi wypartego płynu. Strona 106 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA FW = V ρc g (8.10) Wzór na wartość siły wyporu można wyprowadzić w sposób analogiczny do zastosowanego przy wyznaczaniu ciśnienia wywieranego przez słup cieczy. Wyodrębnijmy z cieczy o gęstości ρ fragment o objętości V, polu przekroju S oraz wysokości h, który ani nie tonie ani nie unosi się. Oznacza to, że ciężar tego fragmentu musi być zrównoważony przez siłę wyporu skierowaną w górę. Rozważania te nie zmienią się jeżeli na miejsce wyodrębnionego fragmentu wstawimy badane ciało, w szczególności nie zmieni się wartość siły wyporu – wartość siły wyporu zależy od objętości zanurzonego ciała oraz gęstości cieczy, w której te ciało jest zanurzone. W przypadku ciał pływających na powierzchni wody prawo Archimedesa możemy sformułować w następujący sposób: Ciało pływające na powierzchni wody wypiera ilość wody ważącą tyle, ile samo waży. Ciało pływające na powierzchni wypiera jedynie tyle wody, ile wynosi objętość jego zanurzonej części. Siła wyporu związana jest z objętością wypartej cieczy o gęstości ρc, czyli tylko z częścią zanurzoną ciała Vz ale siła ta równoważy ciężar całego ciała (mg) co zapisujemy: mg = V z ρc g (8.11) Działania siły wyporu możemy doświadczyć pływając w wodzie. Biorąc pod uwagę powietrze zgromadzone w płucach, ciało ludzkie ma średnią gęstość mniejszą od wody, co pozwala mu unosić się na powierzchni. Pojazdy i konstrukcje pływające mają również średnią gęstość mniejszą od wody – choć kadłub statku jest wykonany ze stali o znacznie większej gęstości od wody ale średnia gęstość liczona dla całej bryły okrętu jest mniejsza od gęstości wody. Siła wyporu unosi również balony, zarówno wypełnione gazami lżejszymi od powietrza (hel, wodór) jak i napełnione ogrzanym powietrzem. W obu przypadkach balon unosi się ponieważ średnia gęstość liczona dla całej bryły balonu jest mniejsza niż gęstość otaczającego powietrza. Jak wynika z prawa Archimedesa i jak widać w przytoczonych przykładach siła wyporu zależy od gęstości płynu, w którym ciało jest zanurzone. Oznacza to również, że mierząc siłę wyporu możemy mierzyć gęstości cieczy. Urządzenia wykorzystujące ten efekt nazywa się areometrami i stosowane są zarówno w przemyśle winiarskim (do wyznaczania zawartości alkoholu) jak i paliwowym. Areometr ma zwykle kształt długiej rurki, obciążonej na jednym końcu. Po umieszczeniu w cieczy przyjmuje pozycję pionową. Głębokość zanurzenia pływaStrona 107 ROZDZIAŁ 8 ka zależy od gęstości cieczy – jeśli gęstość jest mniejsza (np. więcej alkoholu w stosunku do wody), zmniejsza się siła wyporu i pływak zanurza się głębiej. Jeśli gęstość jest większa zanurzenie zmniejsza się. Podobnie dzieje się z naszym ciałem – w gęstszej wodzie słonej siła wyporu jest większa i łatwiej jest unosić się na powierzchni. Z tego samego powodu trudno jest utonąć w tzw. grząskich piaskach – ich gęstość jest znacznie większa niż gęstość ludzkiego ciała. Prawo Archimedesa w praktyce wykorzystywane jest w różnych urządzeniach hydrologicznych. Na przykład w niektórych krajach odcinki kanałów żeglugowych poprowadzone są na wiaduktach. Kiedy barka wpływa na taki wiadukt, obciążenie konstrukcji nie zmienia się jednak, ponieważ barka pływając na powierzchni wody, wypiera z kanału dokładnie tyle wody, ile sama waży. 8.2. Hydrodynamika Hydrodynamika opisuje zjawiska związane z przepływem płynów. W pierwszym przybliżeniu badany ośrodek możemy zastąpić płynem idealnym, który wyróżnia się następującymi cechami: • Przepływ laminarny – prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się z upływem czasu. • Przepływ nieściśliwy – gęstość płynu jest stała. • Przepływ nielepki – brak strat związanych z oporem wewnętrznym. • Przepływ bezwirowy – zawieszona w płynie cząstka nie obraca się względem środka masy. Równanie ciągłości W celu zobrazowania przepływu płynu idealnego wygodnie jest wprowadzić linie prądu. Są to linie w każdym punkcie styczne do toru oraz prędkości cząstki zawieszonej w płynie. Rozpatrzmy strugę nieściśliwego płynu definiowaną jako zespół linii prądu wypełniających poprzeczny Strona 108 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA do linii prądu mały kontur zamknięty (rurkę prądu). Jeżeli płyn jest nieściśliwy oraz w rurce prądu nie ma żadnych źródeł ani wypływów, wówczas masa płynu przepływająca w jednostce czasu przez dowolny przekrój poprzeczny tej strugi musi być taka sama. Zasadę zachowania masy dla takiej strugi płynu można więc zapisać: d m 1 = ρ S 1 v1 d t = ρ S 2 v 2 d t = d m 2 (8.12), gdzie dm1 oraz dm2 oznaczają masę strugi płynu, która w czasie dt przepływa z prędkością v1 oraz v2 przez przekrój strugi o powierzchni odpowiednio S1 oraz S2. Po przekształceniach otrzymujemy równość: S 1 v1 = S 2 v 2 (8.13), co zapisujemy jako tzw. równanie ciągłości: S v = const. (8.14), gdzie S jest polem przekroju poprzecznego, zaś v prędkością przepływu płynu przez ten przekrój. Z równania tego wynika, że im węższy jest przekrój, tym większa prędkość przepływu cieczy. Efekt taki możemy zaobserwować na przykład dla wody w koryta rzecznego. Jeśli koryto jest szerokie, rzeka płynie powoli, natomiast jeśli koryto jest wąskie – np. w miejscu przełomu przez warstwy skał – prędkość nurtu zwiększa się. Równanie Bernoulliego Równanie Bernoulliego określa związek między ciśnieniem cieczy, prędkością jej przepływu oraz wysokością, na której znajduje się ta ciecz. Rozpatrzmy rurę o zmiennym przekroju, której dwa końce znajdują sie na różnych wysokościach jak na rysunku 8.3. Przepływ płynu z dolnej części (indeksy 1) do górnej części (indeksy 2) odbywa się pod wpływem siły parcia F1 zdefiniowanej przez ciśnienie p1. Strona 109 ROZDZIAŁ 8 Rysunek 8.3. Ilustracja równania Bernoulliego Siła ta przesuwając płyn o pewną odległość l1 wykonuje pracę: W 1 = F 1 l1 = p 1 S 1 l1 = p 1V 1 (8.15) Przesunięciu temu przeciwdziałać będzie siła parcia F2 związana z ciśnieniem p2., która wykona pracę: W 2 = − F 2 l 2 = − p 2 S 2 l 2 = − p 2V 2 (8.16) Ponieważ zgodnie z równaniem ciągłości taka sama objętość płynu przesunie się w dolnej i górnej części rury więc wypadkowa praca wykonana przez siły parcia wynosi: ∆W = p 1V 1 − p 2V 2 = (p 1 − p 2 ) V (8.17) Praca sił parcia wpływać będzie na zmianę energii kinetycznej i potencjalna tej porcji płynu o objętości V. Płyn ten przepływając z prędkością v1 przez rurę znajdującą się na wysokości y1 będzie miał energię: E1 = 1 m v 12 + mgy 2 (8.18), 1 gdzie m oznacza masę porcji płynu o objętości V oraz gęstości ρ. Zmiana energii płynu przepływającego przez rozważaną rurę wynosić więc będzie: ∆E = 1 1 m v 12 + mgy 1 − m v 22 − mgy 2 2 2 (8.19) Jeśli przyrównamy zmianę energii płynu oraz wypadkową pracę sił parcia, po podzieleniu równania przez objętość, otrzymamy: Strona 110 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA p1 + 1 1 ρv 12 + ρ gy 1 = p 2 + ρv 22 + ρ gy 2 2 2 (8.20) Powyższe wyprowadzenie można uogólnić w postaci tzw. równania Bernoulliego, które mówi, że dla dowolnych dwóch przekroi rurki cieczy idealnej suma trzech ciśnień – statycznego, hydrostatycznego oraz spiętrzania – jest stała. p+ 1 ρv 2 + ρ g h = const. 2 (8.21) Z równania Bernoulliego wynika na przykład, że jeżeli będziemy rozpatrywać przepływ płynu na stałej wysokości (ciśnienie hydrostatyczne jest stałe) wówczas im większa jest prędkość przepływu cieczy (ciśnienie spiętrzania), tym mniejsze jest ciśnienie statyczne wytwarzane przez tę ciecz. Efekt ten wykorzystujemy w szeregu urządzeń. Dysza W pistolecie natryskowym wykorzystuje się strumień gazu poruszający się z dużą prędkością. W miejscu podłączenia zbiornika z farbą znajduje się przewężenie o przekroju znacznie mniejszym niż przekrój wlotu dyszy. Z równania ciągłości wiemy, że w takim przewężeniu gaz ma znacznie większą prędkość niż przy wlocie i wylocie dyszy. Z równania Bernoulliego zaś wynika, że w takim punkcie gdzie prędkość przepływu płynu jest wysoka, ciśnienie jest niskie. Przy odpowiednio wąskim przewężeniu uzyskamy na tyle niskie ciśnienie (próżnię), że farba jest zasysana do wnętrza dyszy, gdzie jej kropelki są rozpylane w strumieniu przepływającego powietrza i mogą być wykorzystane do równomiernego rozprowadzenia farby. Wykorzystując podobną konstrukcję można również budować miniaturowe pompy próżniowe, a także przyrządy do pomiaru prędkości gazu. Skrzydło samolotu Równanie Bernoulliego pozwala również wyjaśnić zasadę wytwarzania siły nośnej przez skrzydło samolotu. Niesymetryczny kształt przekroju płata skrzydła powoduje powstawanie różnicy prędkości strumienia powietrza powyżej i poniżej płata. Różnica ta zależy od tzw. kąta natarcia – określonego umownie pomiędzy cięciwą skrzydła a kierunkiem strugi powietrza. Przy pewnym kącie natarcia prędkości powietrza owiewającego płat są sobie równe, ciśnienie po obu stronach płata jest zatem również identyczne. Płat nie wytwarza wtedy siły nośnej. Jeśli Strona 111 ROZDZIAŁ 8 zwiększymy kąt natarcia, masy powietrza opływające skrzydło od góry muszą pokonać dłuższą drogę a więc prędkość powietrza na górnej powierzchni płata jest większa niż na dolnej. Zatem zgodnie z równaniem Bernoulliego ciśnienie na górnej powierzchni jest niższe. Różnica ciśnień po obu stronach płata powoduje powstanie siły nośnej, unoszącej samolot. Im większy kąt natarcia, tym większa siła nośna – należy jednak pamiętać, że przy zbyt dużym kącie natarcia wzrastają również siły hamujące działające na układ. Dochodzi wtedy do tzw. przeciągnięcia – zbyt duży kąt natarcia powoduje utratę prędkości i w konsekwencji spadek siły nośnej. Rysunek 8.4. Linie prądu powietrza opływającego skrzydło samolotu Płyny rzeczywiste Opis zachowania płynów rzeczywistych jest znacznie bardziej złożony niż idealnych. Płyny rzeczywiste różnią się od idealnych przede wszystkim niezerową lepkością oraz ściśliwością. Ściśliwość opisuje zmianę objętości obiektu pod wpływem ciśnienia zewnętrznego. Gazy charakteryzują się znacznie większą ściśliwością niż ciecze, jednak w pewnym zagadnieniach można ją również zaniedbać. Kryterium jest tzw. liczba Macha, która wyraża się stosunkiem prędkości przepływu gazu do prędkości dźwięku w tym gazie. Jeśli prędkość przepływu jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku, ściśliwość gazu można zaniedbać. Lepkość płynu jest związana z tarciem wewnętrznym, występującym w płynie. Jeśli podzielimy płyn na cienkie warstwy ułożone równolegle do linii prądu, to tarcie wewnętrzne określa wielkość sił oporu występujących pomiędzy poszczególnymi warstwami. Jeśli lepkość jest niewielka, czyli wpływ sił lepkości na ruch płynu jest niewielki, to przepływający płyn nie napotyka na przeszkody i poszczególne warstwy płynu poruStrona 112 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA szają się ze zbliżoną prędkością. Jeśli w strumieniu cieczy znajduje się nieruchomy obiekt, na skutek oddziaływania sił lepkości warstwa płynu najbliższa jego powierzchni będzie poruszała się z niewielką prędkością – w przybliżeniu można przyjąć, że warstwa ta znajduje się w spoczynku. Kolejne warstwy, coraz bardziej odległe od przeszkody będą poruszały się z coraz większą prędkością. Stosunek sił tarcia wewnętrznego do powierzchni warstwy możemy wyrazić jako tzw. naprężenie styczne τ: τ = ∂v T =η x A ∂y (8.22) Naprężenie styczne jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości występującego pomiędzy kolejnymi warstwami płynu. Współczynnik proporcjonalności nazywamy dynamicznym współczynnikiem lepkości η a jego jednostką jest paskal sekunda [Pa·s]. Wiry i turbulencje Cechą charakterystyczną płynów rzeczywistych jest możliwość występowania w nich turbulencji i wirów. Przepływ wirowy występuje wtedy, kiedy wydzielony przez obserwatora element płynu ulega obrotowi. Oprócz obrotu wokół punktu wyznaczającego środek wiru, obrót może następować także (w sposób jednoczesny) wokół osi własnej elementu. Można to porównać do karuzeli w wesołym miasteczku, na której fotele obracają się nie tylko wokół osi karuzeli, ale również własnej osi. Powstawanie wirów można obserwować m.in. za przeszkodami w nurcie rzeki czy też za skrzydłem samolotu. Podczas pokazów lotniczych często prezentowane są „skrzydła anioła” które powstają w wyniku rozpylenia przez lecący samolot barwnika w powietrzu. Drobiny barwnika zostają zassane przez wir powstający za skrzydłami, a następnie opadają. Przepływ wirowy powstaje również za lotkami skrzydeł ptaków. Grupowanie się ptaków w klucz podczas migracji jest metodą redukcji oporu związanego z powstawaniem wirów. Warto zwrócić uwagę, że przyczyną powstawania różnego rodzaju wirów może być również np. siła Coriolisa związana z ruchem obrotowym Ziemi. Kierunek obrotu wiru nad otworem odpływowym zbiornika jest na półkuli północnej Ziemi zawsze identyczny i próby „odwrócenia” go nie powiodą się. Z turbulencjami mamy do czynienia wtedy, kiedy przepływ nie jest stacjonarny – kierunek i wartość prędkości w danym punkcie ulegają zmianom w czasie. Prostym przykładem turbulencji są bystrza rzeki i wodospady - widzimy, że choć średni kierunek przepływu jest idenStrona 113 ROZDZIAŁ 8 tyczny, układ rozbryzgów wody w poszczególnych punktach zmienia się w czasie. Turbulencje powstają również w strumieniach mas powietrza. Szczególnie narażone na to zjawisko są zawietrzne stoki gór, ale turbulencje mogą pojawiać się również na granicy mas powietrza o różnych temperaturach, wilgotności itp. Opór dynamiczny Płyn opływający ciało napotyka na opór dynamiczny, na który składają się dwa czynniki – siły tarcia wewnętrznego T i tzw. opór ciśnieniowy R. Siły tarcia wewnętrznego związane są z lepkością opływającego płynu i zależą liniowo od prędkości v obiektu względem strumienia płynu: T = Bη L v (8.23) gdzie B jest współczynnikiem proporcjonalności, η oznacza współczynnik lepkości, a L określa tzw. rozmiar ciała. Dla kuli umownie przyjmuje się wielkość L równą jej promieniowi. Opór ciśnieniowy jest związany z naciskiem strumienia płynu na powierzchnię czołową przeszkody oraz koniecznością „rozepchnięcia” przez przeszkodę warstw płynu, który go opływa. Wartość oporu ciśnieniowego R jest proporcjonalna do kwadratu prędkości: R = Cρ A v 2 = Cρ L 2 v 2 (8.24) gdzie ρ oznacza gęstość cieczy a A powierzchnię – która zależy od wymiaru ciała L w kwadracie. Współczynnik C jest stałą proporcjonalności, która zależy od kształtu ciała i dla kuli przykładowo współczynnik ten wynosi około 0.15. Liczba Reynoldsa Re jest definiowana poprzez stosunek oporu ciśnieniowego do tarcia wewnętrznego: R C ρ L 2 v 2 C ρL v C = = = Re T Bη L v B η B (8.25) Liczba Reynoldsa charakteryzuje tzw. podobieństwo hydrodynamiczne – jeśli warunki przepływu dwóch płynów są określone identycznymi liczbami Reynoldsa, ich przepływ będzie miał podobny charakter. Jeśli liczba Reynoldsa jest znacznie mniejsza od jedności, przepływ ma charakter warstwowy, a dominującą rolę mają siły lepkości. Jeśli liczba Reynoldsa Strona 114 HYDROSTATYKA I HYDRODYNAMIKA jest znacznie większa od jedności, przepływ ma charakter burzliwy, a na opór decydujący wpływ ma opór ciśnieniowy i powstające za obiektem turbulencje. W przypadku nadwozia samochodowego decydujące znaczenie ma opór ciśnieniowy i dlatego siły oporu aerodynamicznego rosną z kwadratem prędkości. Niski współczynnik oporu ciśnieniowego jest korzystny ze względu na zużycie paliwa i uzyskiwaną prędkość maksymalną, ale może pogarszać kontakt pojazdu z nawierzchnią. Z tego względu stosuje się tzw. spoilery, które działając podobnie jak skrzydło samolotu wytwarzają siłę dociskającą pojazd do drogi. W przypadku bolidów Formuły1 opływowe kształty ma kadłub, natomiast zarówno z przodu jak i z tyłu samochodu zamontowane są płaty zapewniające odpowiedni docisk i sterowność bolidu. Z tego względu współczynnik oporu aerodynamicznego bolidów F1 jest stosunkowo wysoki – co równoważone jest jednak przez dużą moc silnika. Z oporem aero- i hydro-dynamicznym jest związane również pojęcie tzw. prędkości granicznej ośrodka. Podczas spadku swobodnego w powietrzu prędkość ciała początkowo rośnie, ponieważ na ciało działa siła przyciągania ziemskiego. Wartość tej siły należy zmniejszyć o wartość siły wyporu ośrodka. Wraz ze wzrostem prędkości ciała wzrastają jednak również siły oporu – zależnie od rodzaju ośrodka i charakteru przepływu są one proporcjonalne do wartości prędkości lub do jej kwadratu. W pewnym momencie, przy pewnej prędkości, nazywanej prędkością graniczną, dochodzi do zrównoważenia się siły grawitacji i sumy sił wyporu oraz oporu ośrodka. Prędkość graniczna jest maksymalną prędkością osiąganą przez ciało w danym ośrodku i np. dla skoczków spadochronowych, przed otwarciem spadochronu, wynosi ona od ok. 195 do ok. 320 km/h w zależności od pozycji w jakiej spadają. Osiągnięcie większej prędkości wymaga wykonania skoku na dużej wysokości, gdzie atmosfera jest rozrzedzona i siły oporu są mniejsze. Strona 115 ROZDZIAŁ 8 Strona 116 9 Termodynamika W tym rozdziale: o o o o o o o o Temperatura, skale temperatur Równanie stanu gazu doskonałego Ciepło i praca termodynamiczna Pierwsza zasada termodynamiki Przemiany termodynamiczne Cykle gazowe, druga zasada termodynamiki Entropia Mechanizmy przekazywania ciepła, rozszerzalność cieplna ciał stałych ROZDZIAŁ 9 Termodynamika Termodynamika jest nauką zajmującą się badaniem zjawisk przemiany energii (w szczególności zamiany ciepła na pracę mechaniczną) zachodzących w układach makroskopowych. Szybki rozwój termodynamiki nastąpił w XIX wieku, co jest związane z rozwojem technologii budowy silników parowych i spalinowych. Opisując stan układu termodynamika posługuje się wielkościami makroskopowymi. Rozważając różne stany skupienia materii oraz występujące między nimi przejścia fazowe posłużyliśmy się już takimi parametrami, inaczej nazywanymi parametrami stanu układu – ciśnieniem, objętością i temperaturą. Objętość jest rozmiarem przestrzeni zajmowanej przez dane ciało, a definicję ciśnienia poznaliśmy już przy okazji omawiania zagadnień związanych z mechaniką płynów – wartość ciśnienia otrzymujemy dzieląc siłę przez powierzchnię, na którą działa ta siła. O temperaturze wspominaliśmy już, wprowadzając pojęcie energii kinetycznej. Wykazaliśmy wówczas, że im szybciej poruszają się cząsteczki, tym większą mają energię i tym wyższa jest temperatura układu. Do tego mikroskopowego opisu jeszcze wrócimy, postaramy się jednak najpierw opisać temperaturę w ujęciu makroskopowym. Opisu takiego dostarcza tzw. zerowa zasada termodynamiki. 9.1. Temperatura, zerowa zasada termodynamiki Istnieje wielkość skalarna zwana temperaturą, która jest właściwością wszystkich ciał izolowanego układu termodynamicznego pozostających w równowadze wzajemnej. Równowaga polega na tym, że każde z ciał tyle samo energii emituje (wysyła) co pochłania. Temperatura każdego ciała układu pozostaje taka sama. Zerowa zasada termodynamiki może być również sformułowana następująco: Jeśli ciało A jest w równowadze termicznej z ciałem B i z ciałem C to ciało B jest w równowadze z ciałem C. Strona 118 TERMODYNAMIKA Ciała znajdują się w stanie równowagi termicznej, jeśli zachodzi między nimi wymiana ciepła. Jeśli postawimy szklankę z gorącą wodą na kamiennym zimnym blacie, szklanka będzie stawać się coraz chłodniejsza a blat coraz cieplejszy – temperatura szklanki będzie malała, a temperatura blatu rosła. Kiedy temperatura szklanki zrówna się z temperaturą blatu, znajdą się w stanie równowagi termicznej – ich temperatura będzie taka sama. Żeby sprawdzić, czy ciała są w stanie równowagi termicznej nie muszą być one w bezpośrednim kontakcie. Wystarczy znać temperaturę obu ciał. Jeśli stwierdzimy, że dowolne ciała A i B są w stanie równowagi termicznej z trzecim ciałem T, to są także w stanie równowagi ze sobą nawzajem. Ciało T pełni rolę termometru. Termometr Temperaturę możemy mierzyć różnymi metodami. W popularnych termometrach rtęciowych lub spirytusowych wykorzystywana jest liniowa rozszerzalność cieplna tych cieczy, a wartość temperatury pokazuje wysokość słupka cieczy. Rozszerzalność temperaturową metali wykorzystuje się również we wskaźnikach na desce rozdzielczej starszych samochodów, czy na drzwiczkach starych modeli piekarników – spirala z metalu rozszerzając się pod wpływem ciepła obraca wskazówkę. Ciekawy rodzaj termometru możemy zbudować wykorzystując siłę wyporu – jeśli umieścimy w kolumnie z cieczą odważniki o innym współczynniku rozszerzalności cieplnej niż otaczająca ciecz, w zależności od temperatury poszczególne odważniki będą się wynurzać lub opadać w miarę jak będzie zmieniać się gęstość otaczającej cieczy. Obecnie często stosuje się termometry elektroniczne, w których wykorzystujemy bądź zależność temperaturową oporu elektrycznego (np. samochodowe czujniki typu Pt-100 i Pt-1000), bądź zjawisko Seebecka powstania różnicy potencjałów kontaktowych na połączeniu dwóch różnych metali – miernik taki nazywamy termoparą. Skale temperatur Jednostką temperatury w układzie jednostek SI jest kelwin. Często używa się jednak innych skali, jak skala Celsjusza lub Fahrenheita. Aby zdefiniować skalę temperatury, są potrzebne dwa charakterystyczne punkty, możliwie łatwe do odtworzenia w warunkach eksperymentalnych. Zero absolutne - 0K - oznacza najniższą temperaturę do jakiej możemy się zbliżyć dowolnie blisko, która jednak pozostaje nieosiągalna. Drugi charakterystyczny punkt skali to tzw. punkt potrójny wody – stan, w którym współistnieją ze sobą faza gazowa (para wodna), woda Strona 119 ROZDZIAŁ 9 w stanie ciekłym i stanie stałym (lód). Pomiędzy tymi dwoma punktami skalę temperatur podzielono na 273.16 równych części – każda z nich to jeden kelwin. Zatem temperatura punktu potrójnego wody wynosi 273.16 K (kelwinów). W często stosowanej skali Celsjusza jednostką temperatury jest stopień Celsjusza ºC. Jednym z charakterystycznych punktów tej skali jest punkt potrójny wody. Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 0ºC. Drugim punktem jest punkt wrzenia wody, czyli przejście z fazy ciekłej do gazowej. Temperatura tego punktu w skali Celsjusza wynosi 100ºC. Warto zauważyć, że 1ºC na skali temperatur ma identyczną rozpiętość jak 1K – zatem zmiana temperatury o 50ºC oznacza zmianę o 50K. Do zdefiniowania skali Fahrenheita użyto roztworu o znanym stężeniu soli chlorku amonu w wodzie. Punkt potrójny takiego roztworu, użyty do wyznaczenia „zera” skali występuje w niższej temperaturze niż dla czystej wody. Temperaturze 100ºC odpowiada 212ºF, a temperaturze 0ºC odpowiada 32ºF. Przybliżony wzór do przeliczania obu skal ma postać: TC = 5 (T F − 32) 9 (9.1) gdzie TC i TF oznaczają temperatury odpowiednio w skali Fahrenheita i Celsjusza. 9.2. Równanie stanu gazu doskonałego Gaz doskonały Wiele właściwości fizycznych gazu daje się wyjaśnić przez zastosowanie prostego modelu gazu doskonałego. Model ten opiera się na kilku założeniach: • Strona 120 gaz składa się z cząsteczek o rozmiarach dużo mniejszych niż średnia objętość przypadająca na cząsteczkę TERMODYNAMIKA • cząsteczki są w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym (ruchy Browna) • jedyną formą oddziaływań między cząsteczkami są wzajemne zderzenia, które mają charakter zderzeń sprężystych. Poza zderzeniami cząsteczki nie oddziałują wzajemnie i dlatego energia układu cząsteczek nie zależy od objętości tego układu (tzn. także od średniej odległości między cząsteczkami) • liczba cząsteczek w jednostce objętości jest bardzo duża (n > 1023 m-3), co umożliwia stosowanie do opisu parametrów ich ruchu metod statystycznych. Równanie stanu gazu doskonałego, nazywane również równaniem Clapeyrona, określa stan gazu doskonałego, czyli podaje zależności między ciśnieniem p, objętością V i temperaturą T. Równanie to jest spełnione dla dowolnego stanu, czyli zestawu wartości parametrów p,V i T , niezależnie od tego w jaki sposób nastąpiło przejście z jednego stanu do drugiego. Równanie stanu gazu doskonałego ma postać: pV = n R T (9.2), gdzie R oznacza stałą gazową, równą R=8.31 Jmol-1K-1 a n liczbę moli gazu. Równanie to możemy wyrazić również przez całkowitą liczbę cząsteczek gazu: N: pV = N k B T (9.3), gdzie kB jest stałą Boltzmanna (kB=1.380·10-23 JK-1). Stałą Boltzmana otrzymujemy, dzieląc stałą gazową przez liczbę Avogadra (NA=6.02214179·1023mol-1). 9.3. Ciepło i praca termodynamiczna Definiując temperaturę mówiliśmy, że temperatura dwóch ciał uzyskuje identyczną wartość w stanie równowagi termicznej. Aby ciała nie będące początkowo w stanie równowagi termicznej mogły osiągnąć taki stan, muszą wymieniać między sobą energię. Możliwe są dwa sposoby Strona 121 ROZDZIAŁ 9 przekazywania energii: na sposób pracy (np. poprzez ruch tłoka) oraz na sposób cieplny – przez chaotyczne ruchy cząsteczkowe. Energię przekazywaną na drugi sposób będziemy nazywali ciepłem i oznaczali jako Q. Należy tu zaznaczyć, że nazwa ta wywodzi się z błędnej teorii „cieplika” i będziemy jej używać głównie ze względów językowo-historycznych. Energia, która jest przekazywana między ciałami na skutek istniejącej między nimi różnicy temperatur wpływa na zmianę energii wewnętrznej ciała. Energia wewnętrzna U jest miarą średniej energii kinetycznej cząstek materii zgromadzonej m.in. w ruchu postępowym cząsteczek gazu czy w postaci drgań cząsteczek i atomów w ciałach stałych. Ilość przekazywanej energii wyrażamy w dżulach [J], ale często stosuje się również pozaukładową jednostkę – kalorię. Jedna kaloria (1cal) jest równa 4.1860 J, a podstawą definicji tej jednostki jest ciepło potrzebne do podniesienia temperatury jednego grama wody z 14.5°C do 15.5 °C. W termodynamice istotną kwestią jest poprawne zdefiniowanie znaku ciepła. Jeśli ciepło przepływa z danego ciała (układu) do otoczenia, czyli gdy dochodzi do obniżenia jego energii wewnętrznej to ciepło zapisujemy ze znakiem „-”. Jeśli zaś ciepło przepływa z otoczenia do układu zwiększając energię wewnętrzną ciała, jego znak określamy jako „+”. Pojemność cieplna Żeby ogrzać ciało, czyli żeby zwiększyć jego energię wewnętrzną, musimy dostarczyć ciepła (doprowadzić energię na sposób cieplny). Łatwo zauważyć jednak, że niektóre ciała jest łatwiej ogrzać niż inne. Jeśli na przykład na dwóch płytach grzejnych kuchenki o identycznej mocy umieścimy pojemnik z wodą o masie 1kg i blok stalowy o masie 1kg okaże się, że temperatura bloku stalowego będzie wzrastała znacznie szybciej niż wody. Zatem ilość przepływającej energii (przekazywane ciepło) niezbędna do podniesienia temperatury danej masy o jednostkę temperatury jest w przypadku wody znacznie większa niż dla stali. Taką cechę danego materiału nazywamy jego pojemnością cieplną. Pojemność cieplna C danego ciała jest ilością energii potrzebną do podniesienia jego temperatury o 1K. Jednostką jest J·K-1. Q = C ∆T Strona 122 (9.4) TERMODYNAMIKA Ciepło właściwe i ciepło molowe Ciepło właściwe cw danego materiału jest ilością energii potrzebną do podniesienia temperatury 1kg tego materiału o 1K. Jednostką jest J kg 1·K-1. Q = cW m ∆T (9.5) Ciepło właściwe można wyrazić również w przeliczeniu na 1mol substancji – takie ciepło właściwe nazywamy ciepłem molowym Cmol: Q = C mol n ∆T (9.6) Przykładowe wartości ciepła właściwego różnych cieczy i ciał stałych znajdują się w tabeli 9.1. Przyczynę, dla której różne substancje wykazują różne ciepło właściwe omówimy dokładniej w kolejnych rozdziałach. Warto zauważyć, że w ogólności ciepła właściwe mogą zależeć od temperatury, i dlatego na ogół obok wartości podajemy temperaturę, dla której została ono wyznaczone. Tabela 9.1. Wartości ciepła właściwego Cp różnych substancji – pomiar o przy 25 C substancja woda gliceryna polietylen miedź C [J kg-1K-1] 4181 2386 2930 386 substancja ołów srebro żelazo aluminium C [J kg-1K-1] 128 236 450 897 Duże ciepło właściwe wody ma ogromne znaczenie dla klimatu i środowiska biologicznego. Woda ogrzewa się powoli, ale również powoli i długo oddaje ciepło do otoczenia i dlatego na obszarach pustynnych, na których nie ma zbiorników wodnych wahania temperatury między nocą a dniem są bardzo duże – ziemia bardzo łatwo się nagrzewa i łatwo stygnie. Jeziora, rzeki i morza łagodzą wahania temperatury zarówno w skali doby, jak i w skali roku. Klimat na wybrzeżu jest znacznie łagodniejszy, niż w głębi lądu. Na obszarach kontynentalnych częściej obserwuje się surowe zimy i gorące lata. Duże ciepło właściwe wody jest wykorzystywane w układach chłodzenia oraz ogrzewania. Obieg wody chłodzącej stosowany jest np. w silnikach samochodowych a w instalacjach centralnego ogrzewania woda jest Strona 123 ROZDZIAŁ 9 wykorzystywana do ogrzewania budynku – nawet jeśli w danej chwili piec nie podgrzewa wody, kaloryfery długo pozostają ciepłe. Przykład Jeśli do izolowanego zbiornika wlejemy 1 litr wody o temperaturze 10°C i 1 litr wody o temperaturze 50°C, to w wyniku dochodzenia do równowagi termicznej temperatura osiągnie wartość 30°C. Łatwo zauważyć, że jest to wartość średnia temperatur obu porcji wody. Dzieje się tak dlatego, że ilość energii potrzebna do podniesienia temperatury chłodniejszej masy wody jest równa ilości energii oddanej przez wodę cieplejszą. Jeżeli układ zbiornika z wodą jest izolowany to zmiana energii całkowitej musi wynosić zero co możemy zapisać w postaci: m 1 cW (T K − T 1 ) + m 2 cW (T K − T 2 ) = 0 (9.7) Stąd możemy obliczyć temperaturę końcową TK (masę wyznaczamy jako iloczyn objętości i gęstość wody). Jeśli do zbiornika zawierającego 1 litr wody, czyli o masie mW=1kg, o temperaturze TW=10°C wrzucimy żelazny blok o masie mFE=1kg i temperaturze TFE=50°C, również dojdzie do wyrównania temperatur obu ciał. Również w tym przypadku ciepło oddane przez żelazo jest takie samo jak ciepło pobrane przez wodę a bilans cieplny możemy zapisać w następujący sposób: m W ⋅ cW ⋅ (T K − TW ) + m Fe ⋅ c Fe ⋅ (T K − T Fe ) = 0 (9.8), gdzie cW oraz cFE oznaczają ciepło właściwe wody oraz żelaza, zaś TK temperaturę końcową układu. Ponieważ ciepło właściwe wody jest znacznie większe niż żelaza, temperatura wody podniesie się tylko nieznacznie i końcowa temperatura układu wyniesie około 14°C. Praca termodynamiczna Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją, ciepło pobrane przez ciało wywołuje wzrost energii wewnętrznej tego ciała. Energia ta może być również zamieniona na pracę. Aby wyznaczyć pracę, jaka może być wykonana kosztem ciepła rozpatrzmy izolowany termicznie (brak wymiany ciepła z otoczeniem) cylinder z gazem, zamknięty od góry szczelnie dopasowanym tłokiem o powierzchni S. Jeśli działając pewną stałą Strona 124 TERMODYNAMIKA siłą F przesuniemy tłok o odcinek dl to wykonamy nad gazem zawartym wewnątrz cylindra pracę dW : r r d W = F dl = ( pS ) dl = p (S dl ) = p d V (9.9) Praca całkowita jaką wykonamy nad gazem sprężając go od objętości początkowej Vp do końcowej Vk wynosi: W = ∫ dW = Vk ∫ Vp p dV (9.10), Jeżeli ciśnienie p wywierane przez siłę F na powierzchnię S tłoka nie zmienia się w wyniku przesunięcia tłoka, to podczas zmiany objętości gazu o ∆V wykonana zostanie praca W = p ∆V . Jeśli wykonamy wykres zmian objętości i ciśnienia w trakcie ściskania gazu zawartego w cylindrze, wykonana praca (wzór 9.10) będzie równa polu znajdującemu się pod tym wykresem (rysunek 9.1). Rysunek 9.1. Praca w przemianie termodynamicznej jako pole pod wykresem ciśnienia od objętości Warto zwrócić uwagę na znak pracy obliczonej według powyższego wzoru. Jeśli objętość końcowa jest większa niż początkowa, całka będzie miała wartość dodatnią. Odpowiada to sytuacji, w której to nie my wykonujemy pracę nad gazem zawartym w cylindrze, ale to gaz rozprężając się wypycha tłok i wykonuje pracę. Jeśli natomiast przesuwając tłok będziemy sprężać gaz, to my wykonamy pracę dodatnią, ale obliczona całka będzie miała znak ujemny, gdyż praca wykonana przez gaz będzie w tym przypadku miała znak ujemny. Istotne jest więc precyzyjne określanie czy wyznaczana praca jest pracą wykonaną przez gaz czy nad Strona 125 ROZDZIAŁ 9 gazem. W dalszej części tego rozdziału przez pracę będziemy rozumieli pracę wykonaną przez gaz. Pierwsza zasada termodynamiki Podczas podgrzewania układu przekazujemy do niego ciepło zwiększając w ten sposób jego energię wewnętrzną i temperaturę. Energia wewnętrzna ciała może zmieniać się również za sprawą pracy wykonanej nad tym ciałem. Można również powiedzieć, że praca którą wykonuje układ może się odbywać kosztem dostarczonego do układu ciepła lub też kosztem energii wewnętrznej układu. Zależności te mogą być zapisane w zwięzły sposób w postaci I zasady termodynamiki: Energia wewnętrzna układu U wzrasta, jeśli układ pobiera energię w postaci ciepła Q i maleje, kiedy układ wykonuje pracę W. ∆U = E WK − E WP = Q −W (9.11) Zapis różniczkowy powyższego prawa ma postać: δ Q = dU + δW (9.12) Zastosowany w powyższym zapisie symbol dU oznacza różniczkę energii wewnętrznej U, która jest funkcją stanu. Ciepło Q oraz praca W nie są funkcjami stanu i w ich przypadku nie możemy mówić o różniczce, a jedynie o małej zmianie δ. Zatem I zasadę termodynamiki możemy również wyrazić w następujący sposób: Dostarczone do układu ciepło δQ powoduje zwiększenie energii wewnętrznej układu o dU i wykonanie przez układ pracy δW przeciwko siłom zewnętrznym. Należy zwrócić uwagę, że ciepło dostarczone do układu zapisujemy ze znakiem „+”, a ciepło oddane przez układ ze znakiem „-”, natomiast praca W (lub dW) oznacza pracę wykonaną przez układ. Strona 126 TERMODYNAMIKA 9.4. Przemiany termodynamiczne Przemianą nazywamy przejście danej substancji z jednego stanu równowagi termodynamicznej do drugiego pod wpływem czynnika zewnętrznego. Typowymi przemianami są ogrzewanie czy chłodzenie ciała a szczególnym typem są przemiany fazowe, polegające na zmianie stanu skupienia ciała. Niektóre przemiany fazowe wymagają dostarczenia ciepła do układu a podczas innych ciepło jest wydzielane przez układ. Jest to konsekwencją budowy mikroskopowej ciał oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych w różnych stanach skupienia. Jako przykład omówimy przemiany występujące podczas ogrzewania lodu. Początkowo, poniżej 0°C ciepło jakie dostarczamy do lodu jest zużywane na wzrost jego temperatury, co w skali mikroskopowej oznacza wzrost amplitudy drgań cząsteczek wody tworzących lód. Kiedy temperatura osiągnie 0°C, rozpoczyna się proces topnienia, czyli zmiany fazy ze stałej na ciekłą. Dostarczane dalej ciepło (energia) służy zerwaniu wiązań pomiędzy cząsteczkami wody w krystalicznej strukturze lodu. Cząsteczki wody w fazie ciekłej poruszają się szybciej niż cząsteczki tworzące lód a oddziaływania między nimi są słabsze. Aż do całkowitego stopienia temperatura mieszaniny woda-lód nie będzie wzrastać, ponieważ całe dostarczane ciepło jest zużywane w procesie przemiany fazowej. Dalsze dostarczane ciepła do wody w stanie ciekłym służy podniesieniu jej temperatury – aż do osiągnięcia temperatury wrzenia. W tej temperaturze następuje przemiana fazowa ze stanu ciekłego do gazowego. Podobnie jak w przemianie ze stanu stałego do ciekłego wiąże się ona z zerwaniem oddziaływań międzycząsteczkowych i proces ten wymaga dostarczenia energii. Tak więc aż do momentu całkowitego odparowania wody, jej temperatura pozostaje stała mimo dostarczania ciepła. W rzeczywistości parowanie zachodzi z powierzchni swobodnej cieczy nawet poniżej temperatury wrzenia. Na powierzchni cieczy zawsze znajdują się cząsteczki, które na skutek oddziaływań ze strony swoich „sąsiadów” mają wyższe energie niż te znajdujące się w objętości cieczy, i które dzięki temu mogą się „uwolnić” do stanu gazowego. Do zajścia odwrotnych przemian fazowych – skraplania i krystalizacji wymagany jest odwrotny kierunek przepływu ciepła. Aby cząsteczki Strona 127 ROZDZIAŁ 9 pary wodnej skropliły się, musimy odebrać nadmiar energii kinetycznej z gazu. Podobnie podczas krystalizacji należy zmniejszyć energię cząsteczek cieczy, zmniejszyć ich ruchliwość, na tyle, by umożliwić wytworzenie się pomiędzy nimi wiązań. W przypadku obu tych przemian fazowych musimy odbierać energię z układu. Przemiany fazowe Przemiana fazowa zachodzi w stałej temperaturze a ciepło pobrane przez materiał jest proporcjonalne do masy materiału oraz ciepła właściwego przemiany: Q PRZEM = C PRZEM m (9.13) Warto zwrócić uwagę, że tak zdefiniowane ciepła topnienia i parowania osiągają znaczne wartości w stosunku do ciepła właściwego. W efekcie znacznie łatwiej jest ogrzać 1kg wody lub lodu o 1 kelwin, niż doprowadzić do stopienia 1kg lodu. Jeszcze wyższa jest wartość ciepła parowania. Duża wartość ciepła przemiany może być wykorzystywany do termoregulacji przez organizmy żywe. Nawet niewielka ilość wody, wydzielana przez gruczoły potowe odparowując z powierzchni skóry odbiera dużo ciepła, tym samym chroniąc organizm przed przegrzaniem. Podobnie wysokie ciepło parowania wykorzystuje się np. w nowoczesnych radiatorach do chłodzenia procesorów komputerowych. Pomiędzy żeberkami radiatora zamontowana jest zamknięta rurka, tworząca tzw. kanał cieplny (ang. heat pipe), wypełniona niewielką ilością alkoholu i jego oparami (rysunek 9.2). W pobliżu procesora temperatura jest na tyle wysoka, że alkohol intensywnie paruje pobierając jednocześnie dużo ciepła od procesora. Opary alkoholu pod wpływem ruchów konwekcyjnych docierają do radiatora na końcu rurki. Ponieważ temperatura koło radiatora jest niższa alkohol ulega skropleniu (oddaje ciepło) a następnie spływa po ściankach w stronę procesora i cały proces może ulec powtórzeniu. Taki kanał cieplny niezwykle efektywnie wspomaga transport ciepła w kierunku od procesora na zewnątrz radiatora. Strona 128 TERMODYNAMIKA Rysunek 9.2. Schemat działania radiatora z kanałem cieplnym Kalorymetr Kalorymetr jest urządzeniem służącym do pomiaru ciepła wydzielanego lub pobieranego podczas procesów chemicznych i fizycznych. W najprostszej wersji kalorymetr jest po prostu zbiornikiem izolowanym termicznie od otoczenia, wyposażonym w termometr. Aby wskazania termometru były dokładne, musi on pozostawać w kontakcie cieplnym z badanym układem. Warunek ten jest osiągany zazwyczaj przez wypełnienie kalorymetru cieczą o znanym cieple właściwym. Jeśli podczas badanego procesu chemicznego temperatura kalorymetru się zmieni, to ilość ciepła jaka przepłynęła z badanego układu do kalorymetru lub w przeciwną stronę możemy obliczyć znając pojemność cieplną kalorymetru (cieczy oraz zbiornika). Aby pomiar był prawidłowy, czyli aby wymiana ciepła między badanym układem a kalorymetrem była efektywna, ciecz wypełniającą kalorymetr miesza się za pomocą mieszadła, w ten sposób wyrównując temperaturę w różnych częściach naczynia. Znacznie bardziej zaawansowanymi urządzeniami do badania właściwości termicznych materii są kalorymetry różnicowe. W urządzeniach tego typu przeprowadza się precyzyjny pomiar temperatury badanej próbki oraz próbki referencyjnej podczas jednostajnego grzania całej komory badawczej. Podczas przemian fazowych w badanym materiale wydzielane lub pochłaniane będzie ciepło i zarejestrowana wówczas zostanie różnica temperatur próbki badanej oraz referencyjnej. Urządzenia tego typu pozwalają nie tylko precyzyjnie wyznaczyć temperatury przeStrona 129 ROZDZIAŁ 9 mian fazowych takich jak topnienie, krystalizacja, parowanie czy też przejścia szkliste ale również wartość ciepła tych przemian. Przemiany termodynamiczne W termodynamice szczególny nacisk kładzie się na opis przemian termodynamicznych zachodzących w gazach. Jest to zagadnienie istotne ze względu na zastosowanie praktyczne – większość silników spalinowych wykorzystuje w swoim cyklu pracy przemiany gazowe. W tym rozdziale omówimy cechy charakterystyczne czterech podstawowych gazowych przemian termodynamicznych: izochorycznej, izobarycznej, izotermicznej oraz adiabatycznej. Przemiana izochoryczna Podczas przemiany izochorycznej objętość gazu jest stała. Zgodnie ze wzorem 9.6 ciepło dostarczone do n moli gazu jest proporcjonalne do różnicy temperatur i zależy od ciepła molowego przy stałej objętości CV charakterystycznego dla tej przemiany: Q = n C V ∆T (9.14) Ponieważ objętość w przemianie izochorycznej się nie zmienia więc praca termodynamiczna wykonana przez gaz wynosi zero (równanie 9.10) a więc zgodnie z I zasadą termodynamiki całe ciepło Q, które dostarczymy do układu jest równe przyrostowi energii wewnętrznej układu. Q = ∆U (9.15) Porównując równania 9.14 oraz 9.15 otrzymujemy, że przyrost energii wewnętrznej zależy tylko od przyrostu temperatury: ∆U = n C V ∆T (9.16) Warto podkreślić, że powyższa zależność jest prawdziwa dla każdej przemiany a nie tylko dla przemiany izochorycznej, dla której ją wyprowadziliśmy. Zapiszmy równanie stanu gazu dla dwóch stanów podczas przemiany izochorycznej: Strona 130 TERMODYNAMIKA p 1V = n R T 1 p 2V = n R T 2 (9.17) Z powyższego układu równań wynika, że w przemianie izochorycznej stosunek ciśnienia do temperatury jest wielkością stałą: p1 p 2 p = = = const. T1 T 2 T (9.18) Na wykresie p(V), ciśnienia od objętości, przedstawionym na rysunku 9.3 przemiana izochoryczna jest odcinkiem pionowym. Przemiana izobaryczna Dla przemiany izobarycznej charakteryzującej się stałością ciśnienia ciepło Q dostarczone do układu jest proporcjonalne różnicy temperatur i zależy od wartości ciepła molowego przy stałym ciśnieniu Cp: Q = n C p ∆T (9.19) Zgodnie z równaniem 9.16 zmianę energii wewnętrznej dla dowolnej przemiany termodynamicznej możemy zapisać jako ∆U = n C V ∆T , zaś praca wykonana przez układ podczas przemiany izobarycznej równa się iloczynowi ciśnienia i zmiany objętości (równanie 9.10): W = p ∆V (9.20) Zapisując równanie stanu gazu dla tej przemiany otrzymamy stałość stosunku objętości do temperatury: V1 V 2 V = = = const. T1 T 2 T (9.21) Na wykresie p(V) ciśnienia od objętości przemiana izobaryczna jest odcinkiem poziomym (rysunek 9.3). Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zarówno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz, co zgodnie z I zasadą termodynamiki możemy zapisać: Q = ∆U +W (9.22) Strona 131 ROZDZIAŁ 9 Korzystając z równania stanu gazu (równanie 9.2) możemy wyrazić zmianę objętości ∆V poprzez zmianę temperatury ∆T: W = p ∆V = nR ∆T . Wówczas równanie 9.22 można zapisać w postaci: n C p ∆T = n C V ∆T + n R ∆T (9.23) skąd otrzymujemy, że molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R: C p =CV + R (9.24) Przemiana izotermiczna W przemianie izotermicznej temperatura gazu nie zmienia się. Zgodnie z równaniem stanu gazu stały wówczas jest iloczyn objętości i ciśnienia: p 1V 1 = p 2V 2 = pV = const. (9.25) Wykres takiej przemiany na wykresie p(V) jest hiperbolą (rysunek 9.3). Ponieważ temperatura jest stała, stała jest również energia wewnętrzna gazu, czyli zmiana energii wewnętrznej wynosi zero ∆U = 0. Zgodnie z I zasadą termodynamiki oznacza to, że całe dostarczane do gazu ciepło Q jest zużywane na pracę gazu W (Q = W). VK Pracę wykonaną przez gaz obliczamy ze wzoru 9.10 W = ∫ p dV . VP Zależność ciśnienia od objętości wyznaczamy z równania stanu gazu i otrzymujemy wzór całkowy: VK W = ∫ VP n RT dV = n R T V VK ∫ VP dV V (9.26) Rozwiązaniem takiej całki jest funkcja logarytmiczna (ln) i po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy pracę W wykonaną przez gaz przy izotermicznym (w temperaturze T) rozprężaniu n moli gazu z objętości początkowej VP do końcowej VK: W = n R T ln Strona 132 VK VP (9.27) TERMODYNAMIKA Jeśli gaz rozpręża się, to VK V > 1 , ln K > 0 i praca wykonywana VP VP przez gaz jest dodatnia. W przeciwnym przypadku kiedy VP >VK praca jest ujemna. Przemiana adiabatyczna Przemiana adiabatyczna charakteryzuje się brakiem wymiany ciepła z otoczeniem. Równanie tej przemiany ma postać: κ p 1V 1 = p 2V 2 κ = const. (9.28), gdzie współczynnik κ nazywany wykładnikiem adiabaty oznacza stosunek molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do molowego ciepła właściwego przy stałej objętości Cp do Cv ( κ = Cp CV ). Równa- nie 9.28 można również zapisać: T 1V 1 κ- 1 = T 2V 2 κ- 1 = const. (9.29) Wykres adiabaty w zmiennych p(V) jest bardziej stromy niż izotermy (rysunek 9.3). Rysunek 9.3. Schematyczny wykres przebiegu przemian gazowych Pracę wykonaną w przemianie można obliczyć podobnie jak to zrobiliśmy dla przemiany izotermicznej ze wzoru 9.10 wprowadzając pod całkę zależność ciśnienia od objętości zgodnie ze wzorem 9.28. Otrzymujemy: Strona 133 ROZDZIAŁ 9 P V V W = 1 1 1 − 1 κ − 1 V 2 κ −1 (9.30) 9.5. Teoria kinetyczno molekularna gazów W dotychczasowym opisie właściwości termodynamicznych ciał posługiwaliśmy się głównie wielkościami makroskopowymi. Obecnie szerzej zajmiemy się właściwościami ciał w ujęciu mikroskopowym. Ciśnienie gazu Zastanówmy się, w jaki sposób cząsteczki gazu wywierają ciśnienie na ścianki naczynia, w którym się znajdują. Każda z cząsteczek gazu przy prostopadłym odbiciu od ścianki zmienia swój pęd o ∆p = m v − ( − m v ) = 2 m v . Jeśli wektor pędu cząsteczki tworzy ze ścianką kąt α, zmiana pędu wynosi ∆p = 2 m v sin α . Siła, jaką wywiera cząsteczka na ściankę sześciennego naczynia zależy od zmiany wartości składowej pędu prostopadłej do ściany i może być zapisana: F = ∆p x ∆t (9.31) Czas ∆t pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami cząsteczki ze ściankami zależy od jej prędkość oraz rozmiaru l naczynia – pomiędzy zderzeniami przebywa ona drogę 2l: ∆t = 2l vx Zatem siła wywierana przez cząsteczkę na ściankę wynosi: Strona 134 (9.32) TERMODYNAMIKA F = 2 m v x2 2l (9.33) Całkowita siła, wywierana na ściankę przez wszystkie N cząsteczki gazu znajdujące się w naczyniu wynosi: Fc = m 2 2 v x 1 + v x2 2 + ... + v xN l [ ] (9.34) Ponieważ założyliśmy, że liczba cząsteczek w naczyniu jest bardzo duża, interesuje nas zależność ciśnienia od średniej prędkości (a ściślej – od średniej kwadratu prędkości), obliczonej dla wszystkich cząsteczek. Średnią kwadratu prędkości w kierunku x dla N cząsteczek wyrażamy jako: N ∑v vx = 2 xi (9.35) i =1 N Cząsteczka gazu może posiadać również składowe prędkości w kierunkach y i z. Kwadrat jej prędkości zapisujemy jako: v 2 = v x2 + v y2 + v z2 (9.36) Średnią kwadratu prędkości możemy wyrazić jako sumę średnich kwadratów składowych prędkości w poszczególnych kierunkach. Ponieważ ruch cząsteczek jest przypadkowy, średnie prędkości dla kierunków x, y i z są jednakowe: v 2 = v x2 + v y2 + v z2 = 3v x2 (9.37) Stąd siłę wywieraną na ściankę naczynia możemy zapisać jako: F = Nm v 2 3l (9.38) Ponieważ ciśnienie definiuje się jako stosunek siły do powierzchni ścianki, otrzymujemy: F Nm v 2 p = 2 = l 3l 3 (9.39) Strona 135 ROZDZIAŁ 9 Zastępując l3 objętością naczynia V otrzymujemy: p = 2N m v2 1 = nm v 2 3V 2 3 (9.40), gdzie N/V=n oznacza koncentrację cząsteczek gazu. Porównując otrzymaną postać równania z równaniem stanu gazu (9.3) możemy wyrazić temperaturę jako funkcję średniego kwadratu prędkości cząsteczek: pV = N k B T = N W powyższym wzorze cząsteczek gazu. 2 3 m v2 2 =N 2 Ek 3 (9.41) E k oznacza średnią energię kinetyczną Zasada ekwipartycji energii Przekształcając równanie 9.41 otrzymujemy związek pomiędzy średnią energią kinetyczną a temperaturą: Ek = 3 k BT 2 (9.42) Udowodniliśmy że temperatura jest wskaźnikiem wartości średniej energii kinetycznej cząsteczek gazu. Z podstaw mechaniki wiemy jednak, że ciało może posiadać energię kinetyczną nie tylko w postaci ruchu postępowego, ale również ruchu obrotowego lub drgającego. Jeżeli każdy z rodzajów ruchów oraz każdy z kierunków, w których cząsteczka gazu może się poruszać nazwiemy stopniem swobody f, to można wykazać, że średnia energia kinetyczna przypadająca na jeden stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek i wynosi: E = 1 k BT 2 Powyższą zasadę nazywamy zasadą ekwipartycji energii: Strona 136 (9.43) TERMODYNAMIKA Cząsteczki jednoatomowe mogą poruszać się jedynie ruchem postępowym w trzech kierunkach wiec charakteryzować się będą trzema f = 3 stopniami swobody a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu 3 będzie wynosiła E = 2 k B T . Przykładem gazu jednoatomowego jest hel He. Energia związana z ruchem obrotowym nabiera znaczenia w przypadku gazów dwuatomowych. Prostym modelem cząsteczki takiego gazu mogą być hantle składające się z dwóch kul. Hantle te mogą wirować w dwóch prostopadłych kierunkach wokół osi przechodzącej przez środek odcinka łączącego kule (w przypadku atomów o różnych masach, przechodzącej przez środek masy). Energia związana z takim obrotem może być przekazywana w wyniku zderzeń. Nie ma natomiast możliwości przekazywania energii związanej z obrotem hantli wokół osi równoległej do odcinka łączącego kule. W efekcie dla gazów dwuatomowych oprócz trzech stopni swobody związanych z ruchem postępowym mamy również dwa dodatkowe stopnie swobody związane z ruchem obrotowym – f = 5 – a średnia energia kinetyczna cząsteczek takiego gazu będzie wynosiła E = 5 k B T . Gazami dwuatomowymi są np. tlen O2 czy azot N2. 2 Gazy wieloatomowe tworzą większe cząsteczki, które oprócz ruchu postępowego mogą wykonywać ruch obrotowy względem trzech osi a więc ich całkowita liczba stopni swobody wynosi f = 6. Przykładem gazu wieloatomowego jest metan CH4. Ciepło molowe gazów Zdefiniowaliśmy wcześniej ciepło molowe jako wielkość charakteryzującą substancję i określającą ilość ciepła jaką potrzeba dostarczyć, żeby podnieść temperaturę jednego mola danej substancji o jeden stopień. Pokazaliśmy również, że średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu zależy od ilości stopni swobody. Wynika z tego, że również ciepło właściwe gazów musi być zależne od liczby stopni swobody, gdyż wraz ze wzrostem tej liczby ta sama ilość energii dostarczana do gazu będzie się rozkładać na większą ilość rodzajów ruchu a więc wzrost temperatury jednego mola gazu będzie mniejszy. Zatem najmniejsze ciepło właściwe mają gazy jednoatomowe, a największe – wieloatomowe. Strona 137 ROZDZIAŁ 9 Ciepło molowe przy stałej objętości Jak wykazaliśmy w rozdziale 9.4 dla przemiany izochorycznej zmiana energii wewnętrznej równa jest ciepłu dostarczonemu do układu. Q = n C V ∆T = ∆U (9.44) Przekształcając powyższą zależność i korzystając z zasady ekwipartycji energii ciepło właściwe przy stałej objętości CV możemy zapisać: CV = ∆U f = R n ∆T 2 (9.45) Dla gazu jednoatomowego ciepło właściwe przy stałej objętości wynosi CV = 3/2R, dla gazu dwuatomowego CV = 5/2R, a gazu wieloatomowego CV = 3R. Należy jednak zauważyć, że wartość ta może zależeć od temperatury. Pewne rodzaje ruchu wymagają dostatecznie wysokiej temperatury żeby zostać „wzbudzone”. Z tego względu ciepło molowe gazów dwuatomowych w temperaturze bliskiej temperatury skraplania może wynosić nie 5/2R, a 3/2R. Ciepło molowe przy stałym ciśnieniu Jeśli przemianę przeprowadzimy przy stałym ciśnieniu (przemiana izobaryczna) to ciepło dostarczone do układu Q zamieniane jest zarówno na przyrost energii wewnętrznej ∆U jak i na pracę W wykonaną przez gaz. Molowe ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu Cp jest większe od molowego ciepła właściwego przy stałej objętości CV o wielkość stałej gazowej R: C p =CV + R (9.46) 9.6. Równanie stanu gazu rzeczywistego Właściwości gazów rzeczywistych różnią się od właściwości gazu idealnego. Rozpatrzmy prosty model mechaniczny, składający się z cylindra z tłokiem wypełnionego gumowymi piłeczkami, który to model pozwoli nam lepiej zrozumieć różnice miedzy gazem doskonałym i rzeczywistym Strona 138 TERMODYNAMIKA oraz zachowanie gazu rzeczywistego. Jeśli piłeczek jest niewiele, odległości między piłeczkami są duże i poruszają się one szybko, możemy zastosować opis identyczny jak w przypadku gazu doskonałego. Oddziaływania piłeczek możemy wówczas opisać z bardzo dobrym przybliżeniem jako zderzenia sprężyste. W równaniach opisujących te zderzenia interesować nas będzie zachowanie środka masy piłeczek a ich rozmiar będzie miał drugorzędne znaczenie. Jeśli odległości między piłeczkami są małe objętości piłeczek oraz ich deformacje zaczynają istotnie wpływać na zachowanie całego układu. Równaniem pozwalającym w przybliżony sposób modelować zachowanie gazów rzeczywistych jest model van der Waalsa. Równanie stanu gazu w tym modelu ma postać: a p + 2 (V − b ) = n R T V (9.47) W porównaniu z równaniem stanu gazu doskonałego w równaniu gazu rzeczywistego ciśnienie p powiększone jest o człon odwrotnie proporcjonalny do kwadratu objętości zajętej przez gaz. Człon ten uwzględnia siły przyciągania między molekułami i określany jest jako tzw. ciśnienie wewnętrzne gazu. Objętość V, zbiornika w którym zajmuje gaz rzeczywisty została natomiast pomniejszona o tzw. objętość wewnętrzną, która jest proporcjonalna do objętości cząsteczek gazu. Wielkości a i b z równania van der Waalsa przyjmują różne wartości dla różnych gazów i wpływają na kształt izoterm p(V). W wysokich temperaturach, gdy prędkości cząsteczek gazu są znaczne kształt tych izoterm oraz właściwości gazu rzeczywistego są zbliżone do gazu doskonałego. 9.7. Cykle gazowe Cyklem będziemy nazywać proces lub szereg procesów które doprowadzają układ termodynamiczny z powrotem do warunków początkowych. Z cyklami gazowymi mamy do czynienia m.in. w silnikach spalinowych. Strona 139 ROZDZIAŁ 9 Cykl Carnota Pierwszym cyklem jaki omówimy będzie cykl Carnota. Wyobraźmy sobie cylinder z gazem doskonałym, którego ścianki stanowią idealną izolację termiczną. Pierwszym etapem cyklu (rysunek 9.4 a) będzie rozprężanie izotermiczne – do układu dostarczane jest ciepło, które w całości zamieniane jest na pracę rozprężenia gazu i podniesienia tłoka. Zgodnie z równaniem stanu gazu doskonałego dla przemiany izotermicznej (równanie 9.28) skoro objętość gazu wzrasta to ciśnienie proporcjonalnie maleje. Drugi etap cyklu Carnota to rozprężanie adiabatyczne. Do układu nie jest już dostarczane ciepło i zakładamy, że dno cylindra staje się również idealnie izolujące (może się to odbywać za pomocą specjalnej ruchomej przegrody), tak że cały układ jest całkowicie izolowany od otoczenia. Podczas przemiany adiabatycznej zgodnie z równaniem adiabaty (równanie 9.31) ciśnienie gazu nadal spada, a objętość rośnie. Wykonywana jest wówczas praca mechaniczna kosztem energii wewnętrznej gazu i w efekcie temperatura gazu obniża się do T2. W tej części cyklu gaz również wykonuje pracę rozprężając się i przesuwając tłok. W trzecim etapie cyklu ponownie mamy do czynienia z przemianą izotermiczną. Otwieramy przegrodę cieplną, umożliwiając odpływ ciepła do chłodnicy ale ponieważ równocześnie wykonujemy nad gazem pracę sprężania gazu energia wewnętrzna gazu nie zmienia się i jego temperatura jest stała. W czwartym etapie ponownie zamykamy przegrodę termiczną (układ jest izolowany od otoczenia) wciąż wykonując pracę sprężania gazu. Przy braku wymiany ciepła z otoczeniem zgodnie z równaniem adiabaty sprężaniu towarzyszyć będzie wzrost ciśnienia gazu i temperatury do T1. W ten sposób wracamy do punktu początkowego. Sprawność silnika termodynamicznego Cykl Carnota pełni w termodynamice szczególnie ważną rolę, gdyż dla tego cyklu otrzymujemy maksymalną możliwą sprawność zamiany ciepła na pracę. Sprawność cyklu η definiujemy jako stosunek pracy użytecznej W wykonanej przez gaz do ciepła QG dostarczonego do gazu w danym cyklu. η= Strona 140 W Q −Q Z = G QG QG (9.48) TERMODYNAMIKA W trakcie cyklu gaz pobiera ciepło QG ze zbiornika gorącego, część tego ciepła zużywając na wykonanie pracy W a resztę oddając do chłodnicy (QZ). Zatem praca jaką wykonuje gaz jest równa różnicy ciepła dostarczonego ze zbiornika gorącego i oddanego do chłodnicy: W = QG − Q Z (9.49) Tak zdefiniowana sprawność jest zawsze mniejsza od jedności, gdyż układ nie może wykonać pracy równej lub większej niż ilość ciepła, pobrana ze źródła o temperaturze wyższej. Część ciepła jest zawsze oddawana do chłodnicy i nie jest możliwa całkowita zamiana ciepła na pracę. W przypadku cyklu Carnota ciepło jest dostarczane i oddawane z układu jedynie podczas izotermicznego sprężania i rozprężania odpowiednio. Ciepło dostarczone możemy więc zastąpić ciepłem pobranym ze zbiornika gorącego QG, zaś ciepło oddane ciepłem oddanym zimnemu zbiornikowi QZ. Można wykazać, że dla cyklu Carnota prawdziwa jest relacja: QG TG = QZ TZ (9.50), gdzie TG i TZ są temperaturami gorącego i zimnego zbiornika odpowiednio. Wówczas sprawność cyklu Carnota można zapisać: η= T G −T Z TG (9.51) Z powyższego wzoru na sprawność cyklu Carnota, maksymalną możliwą do osiągnięcia sprawność, wynika, że im większa jest różnica temperatur tym wyższa jest sprawność całego cyklu. Widzimy również, że do uzyskania wysokiej sprawności potrzebne jest źródło ciepła ale również odpowiednio efektywny system chłodzenia. Sprawność maszyny chłodniczej Wyobraźmy sobie, że przeprowadzimy cykl Carnota w odwrotnym kierunku, tzn będziemy wykonywali pracę nad układem, tak żeby układ pobierał ciepło ze zbiornika chłodniejszego i oddawał je do zbiornika cieplejszego. W takim przypadku interesuje nas sprawność chłodnicza, czyli stosunek ciepła odebranego ze zbiornika zimnego QZ do wykonanej pracy W. Strona 141 ROZDZIAŁ 9 η= QZ TZ = QG − Q Z T G − T Z (9.52) Praca W równa jest różnicy ciepła QG oddanego do gorącego zbiornika i ciepła QZ pobranego z zimnego zbiornika a oba te ciepła, podobnie jak w cyklu Carnota można powiązać z temperaturami zbiornika zimnego TZ i gorącego TG. Sprawność chłodnicza jest zawsze większa od jedności i jest tym większa im mniejsza jest różnica temperatur między zbiornikami gorącym i zimnym. Przykładem zastosowania odwróconego cyklu termodynamicznego może być klimatyzacja z tzw. pompą ciepła. Klimatyzacja taka może działać w obie strony – latem pobiera ciepło z wewnątrz budynku i oddaje je na zewnątrz, a zimą pobiera ciepło z zewnątrz i oddaje je do wnętrza. Aby klimatyzacja działała, niezbędne jest wykonanie pracy. Warto zauważyć, że w porównaniu z tradycyjnymi metodami ogrzewania budynku układ z pompą ciepła jest wydajniejszy – jeśli zużyjemy tę samą ilość prądu na zasilanie grzejnika elektrycznego i zasilanie pompy ciepła, ciepło dostarczone do budynku będzie zawsze większe w przypadku pompy ciepła. Wadami pomp ciepła są skomplikowana konstrukcja wpływająca na zwiększoną awaryjność oraz duży koszt całego układu. Pompy ciepła wymagają ponadto z reguły dużego wymiennika ciepła. Chłodziarki i zamrażarki również odbierają ciepło z komory chłodniczej. W tym przypadku, obok cyklu gazowego wykorzystujemy również ciepło przemian fazowych. Sprężony przez kompresor gaz ulega skropleniu w systemie rurek wymiennika ciepła (znajdującego się z reguły w tylnej części chłodziarki). W obiegu wewnątrz komory chłodziarki ciśnienie spada i ciecz ulega przemianie w gaz, pobierając przy tym ciepło z komory. Następnie gaz jest sprężany przez kompresor i cykl przemian może ulec powtórzeniu. Cykl Otta Cykl Otta stanowi dobre przybliżenie cyklu realizowanego w typowym silniku benzynowym. W częściej spotykanym silniku czterosuwowym cykl pracy silnika zaczyna się od zassania do wnętrza cylindra mieszanki paliwowej – tłok cofa się przy otwartym zaworze (przy stałym ciśnieniu zwiększa się objętość gazu). Następnie zawór zamyka się, a tłok spręża mieszankę. Sprężanie odbywa się na tyle szybko, że może być uznane za proces adiabatyczny – nie ma wymiany ciepła z blokiem silnika. Sprężona mieszanka ulega następnie zapłonowi, co jest tak szybkim procesem, Strona 142 TERMODYNAMIKA że z powodzeniem można przyjąć że jest to przemiana izochoryczna – tłok nie zdążył się jeszcze ruszyć a jedynie wzrosło ciśnienie i temperatura gazu. W kolejnej fazie cyklu gorący gaz rozpręża się adiabatycznie wypychając tłok, a więc wykonując pracę nad tłokiem. Po jego zakończeniu, kiedy tłok osiągnie maksymalne wychylenie otwiera się zawór wydechu. Powoduje to spadek ciśnienia gazu przy stałej jego objętości. W kolejnym etapie cyklu zawór wydechu jest wciąż otwarty, a tłok wypycha spaliny z cylindra przy stałym ciśnieniu, wracając do położenia początkowego. Zależność ciśnienia od objętości dla cyklu Otta pokazana jest na rysunku 9.4 b). Sprawność cyklu Otta wynosi: R V η = 1 − 1 V 2 CV (9.53) gdzie V1 i V2 oznaczają odpowiednio minimalną i maksymalną objętość cylindra. Cykl Diesla Cykl Diesla zaczyna się podobnie jak cykl Otta – tłok cofa się, zasysając powietrze do wnętrza cylindra. Następnie zachodzi adiabatyczne sprężanie powietrza zawartego w cylindrze. W silniku Diesla proces spalania paliwa ma inny charakter niż w cyklu Otta – zamiast iskry wywołującej zapłon stosujemy w nim świecę żarową, której głównym zadaniem jest wspomaganie rozruchu silnika. Pary oleju sprężone do odpowiedniego ciśnienia ulegają bowiem samozapłonowi. Etap spalania paliwa, dostarczający ciepło niezbędne do działania silnika nie jest modelowany przez przemianę izochoryczną, ale przez proces izobaryczny (rysunek 9.4. c). Następnie, podobnie jak w cyklu Otta następuje rozprężanie adiabatyczne, w trakcie którego silnik wykonuje pracę. Kiedy tłok znajdzie się w najdalszym położeniu (objętość gazu jest największa) otwiera się zawór wydechu i ciśnienie gazu spada. Podobnie jak w przypadku silnika benzynowego, cykl kończy wypchnięcie spalin z wnętrza cylindra poprzez ruch tłoka. Sprawność silnika Diesla można wyrazić wzorem: Strona 143 ROZDZIAŁ 9 1 η =1 − κ V 2 V 3 κ 1 − (V 1 V 2 )κ 1 −V 1 V 2 (9.54) Silniki Diesla ze względu na wyższy stopień sprężania są postrzegane jako oszczędniejsze, mimo że wyliczona z powyższego wzoru sprawność silnika Diesla w porównaniu z cyklem Otta jest nieco mniejsza. Silniki Diesla dobrze pracują przy niskich obrotach, wytwarzając duży moment obrotowy i są mało wrażliwe na uszkodzenia instalacji elektrycznej, która jest potrzebna jedynie do rozruchu silnika. Ich wadą jest trudny rozruch zimnego silnika. Cykl Stirlinga W przeciwieństwie do poprzednio omawianych silników, w silniku Stirlinga gaz znajdujący się w cylindrze nie ulega wymianie w trakcie cyklu. Silnik tego typu wymaga do działania jedynie źródła ciepła oraz odpowiednio wydajnego chłodzenia. Ciepło jest dostarczane i odbierane w sposób ciągły. Cykl Stirlinga składa się z dwóch przemian izotermicznych na przemian z przemianami izochorycznymi (rysunek 9.4d). Istnieje kilka rozwiązań samego silnika realizującego taki cykl. W jednym z nich silnik składa się z dwóch cylindrów, jednego połączonego ze źródłem ciepła, a drugiego z chłodnicą. Cylindry te są połączone ze sobą kanałem umożliwiającym przepływ gazu. Początkowo cały gaz znajduje się w cylindrze gorącym – w cylindrze chłodzonym tłok znajduje się w położeniu odpowiadającym minimum objętości. W wyniku podgrzewania następuje rozprężanie (izotermiczne) gazu w cylindrze gorącym i silnik wykonuje pracę. Po osiągnięciu pełnego wychylenia przez tłok w cylindrze gorącym zaczyna on opadać, wypychając gaz do cylindra chłodnego, w którym tłok unosi się, zasysając gaz. W ten sposób dochodzi do wymiany gazu między cylindrami. Po przepompowaniu do cylindra chłodnego ciśnienie gazu spada. W cylindrze chłodzonym gaz jest poddawany izotermicznemu sprężaniu, a następnie jest wypychany do cylindra gorącego. Tam jego ciśnienie wzrasta i cykl dochodzi do warunków początkowych. Cykl Stirlinga charakteryzuje wysoka sprawność, która może osiągać wartości zbliżone do sprawności silnika Carnota: Strona 144 TERMODYNAMIKA η = ηC cV 1+ n R ln (V 2 V 1 ) η C (9.55) gdzie ηC oznacza sprawność silnika Carnota. Silnik Stirlinga działa nawet przy niewielkiej różnicy temperatur i dlatego stosowany jest do przetwarzania energii cieplnej uzyskanej ze źródeł geotermalnych lub z procesów fermentacji. Jego wadą są stosunkowo duże rozmiary i koszty wykonania urządzeń tego typu. Silniki tego typu są mało awaryjne i z tego względu istnieją plany stosowania ich np. w sondach kosmicznych, wyposażonych w promieniotwórcze źródło ciepła. Są również ciche, co czyni je przydatnymi do stosowania w łodziach podwodnych z napędem jądrowym. W tym przypadku wydajne chłodzenie silnika zapewnia woda morska. Rysunek 9.4. Wybrane cykle termodynamiczne: a) Carnota, b) Otta, c) Diesla, d) Stirlinga Druga zasada termodynamiki Wspominaliśmy już, że w cyklu silnika jedynie część energii pobieranej ze źródła gorącego jest zamieniana na pracę, a część jest oddawana do chłodnicy. Na przykładzie cyklu chłodniczego przekonaliśmy się, że aby Strona 145 ROZDZIAŁ 9 przekazać ciepło z ciała zimnego do ciała gorącego niezbędne jest wykonanie pracy. Oba te spostrzeżenia mogą być podstawą do sformułowania drugiej zasady termodynamiki: Niemożliwe jest przekazywanie ciepła przez ciało o niższej temperaturze ciału o wyższej temperaturze bez wprowadzenia innych zmian w obu ciałach i ich otoczeniu. lub w innym sformułowaniu: Niemożliwe jest pobieranie ciepła z jednego źródła i zamiana go na pracę bez wprowadzenia innych zmian w układzie i jego otoczeniu. Druga zasada termodynamiki zaprzecza istnieniu tzw. perpetuum mobile drugiego rodzaju czyli całkowitej zamiany ciepła w pracę. Druga zasada termodynamiki nakłada ograniczenia na wartość sprawności silnika – nie jest możliwe zbudowanie silnika o sprawności większej niż sprawność silnika Carnota. 9.8. Entropia Swobodny przepływ ciepła następuje tylko w kierunku od ciała gorącego do ciała zimnego. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki przepływ w odwrotną stronę nie może odbywać się samoistnie i wymaga wykonania pracy nad układem. Szczegółowa analiza tego problemu pokazuje, że kierunek zachodzenia procesów fizycznych w przyrodzie jest wyznaczony przez zmiany wartości pewnej funkcji stanu układu, zwanej entropią. Entropia jest funkcją stanu a więc jej zmiana zależy jedynie od początkowego i końcowego stanu układu, a nie zależy od sposobu przejścia między tymi stanami. Dla przemiany izotermicznej zmianę entropii możemy zdefiniować jako stosunek ilości ciepła ∆Q otrzymanego przez układ do temperatury w której układ otrzymał to ciepło. Jest to tzw. ciepło zredukowane: ∆S = ∆Q T (9.56) W ogólnym przypadku należy zastosować definicję różniczkową zmiany entropii: Strona 146 TERMODYNAMIKA dS = dQ T (9.57) Jeżeli szukamy zmiany entropii ∆S podczas jakiegoś procesu termodynamicznego musimy dodać (scałkować) wszystkie składowe infinitezymalne zmiany entropii dS. Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki oraz ciepło δQ można wyrazić za pomocą pracy δW oraz zmiany energii wewnętrznej dU a w konsekwencji za pomocą zmiany objętości dV oraz zmiany temperatury dT. W efekcie po scałkowaniu otrzymujemy wzór na zmianę entropii dla dowolnej przemiany gazowej gazu doskonałego: ∆S = n R ln VK T + n C V ln K VP TP (9.58) Entropię można również definiować jako miarę tej części energii wewnętrznej układu, która nie może być użyta do wykonania pracy mechanicznej, co możemy zapisać w następujący sposób: d U = T dS − p dV (9.59) Entropia pokazuje, w którym kierunku procesy fizyczne mogą biec samorzutnie. Jeżeli zmiana entropii układu w pewnym procesie wynosi zero, to proces taki jest odwracalny czyli może zachodzić w obu kierunkach. Zmiana entropii dla cyklu Carnota, podobnie jak dla każdego procesu cyklicznego, również wynosi zero gdy jest on odwracalny. Przemiany nieodwracalne przebiegają samorzutnie tylko w określonym kierunku. W przypadku tych przemian entropia wzrasta ∆S > 0 . Przykładem może być połączenie dwóch zbiorników, zawierających odpowiednio gorący i zimny gaz. Po usunięciu przegrody dzielącej zbiorniki dojdzie do wymiany energii kinetycznej pomiędzy cząsteczkami gazu, a więc w konsekwencji do samorzutnego wyrównania temperatur obu porcji gazu. W przyrodzie proces ten nie zachodzi w odwrotnym kierunku – nie obserwujemy spontanicznego samorzutnego podgrzewania jednej porcji a oziębiania drugiej porcji gazu. Możemy jednak osiągnąć taki efekt, dostarczając do układu ciepło lub wykonując nad nim pracę. Wtedy układ ten nie będzie jednak układem zamkniętym. Strona 147 ROZDZIAŁ 9 Definicja statystyczna entropii Entropia ma również swoją definicję statystyczną. Rozpatrzmy najpierw przykład nieodwracalnej przemiany rozprężania gazu do zbiornika z próżnią. W przyrodzie nie obserwujemy zachodzenia tego procesu w odwrotnym kierunku, tzn. nie jest możliwe, aby wszystkie cząsteczki gazu z jednego zbiornika same spontanicznie go opuściły wytwarzając tam próżnię. Aby osiągnąć taki stan, czyli aby wypompować gaz z jednego zbiornika i uzyskać próżnię, musimy użyć odpowiedniej pompy, a więc wykonać pracę. Możemy powiedzieć, że najbardziej prawdopodobna będzie konfiguracja, gdzie w obu zbiornikach będziemy mieli tyle samo cząsteczek. Dla uproszczenia rozpatrzmy układ dwóch zbiorników, w których znajdują się ponumerowane cztery cząsteczki. Najbardziej prawdopodobny będzie taki stan (nazywany makrostanem), w którym w obu zbiornikach będą dwie cząsteczki. Ale taki makrostan może być zrealizowany na wiele sposobów (poprzez wiele mikrostanów), tzn. w zbiorniku mogą być następujące konfiguracje cząsteczek (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4). Makrostan z jedną cząsteczką w prawym zbiorniku może być zrealizowany przez 4 mikrostany tzn. w zbiorniku tym mogą być cząsteczki (1) lub (2) lub (3) lub (4). Liczba mikrostanów realizujących dany mikrostan oznaczana jest symbolem w i definiuje entropię układu (wzór Boltzmanna-Plancka): S = k B ln (w ) (9.60) W celu wyznaczenia zmiany entropii układu, należy obliczyć różnicę entropii końcowej i początkowej: ∆S = S K − S P = k B ln wK wP (9.61) Wyznaczmy teraz prawdopodobieństwa różnych konfiguracji dla wyniku rzutu dwiema kostkami do gry. Wyniki „2” oraz „12” można uzyskać tylko w jeden sposób – rzucając dwie „jedynki” lub dwie „szóstki”. Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest zatem dość niskie – wynosi 1/6·1/6=0.028. Wynik „3” można uzyskać na dwa sposoby – wyrzucając „1” i „2” lub „2” i „1”. Wynik ten ma zatem wyższą wielokrotność konfiguracji. Prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku jest również dwa razy wyższe – wynosi 0.056. W rzucie dwiema kostkami najbardziej prawdopodobny jest wynik „7” – można go uzyskać na 6 sposobów. Wynik ten reprezentuje zatem również największą entropię. Strona 148 TERMODYNAMIKA Zwiększanie się entropii w wyniku przemian termodynamicznych oznacza dążenie do stanów najbardziej prawdopodobnych, czyli do stanów równowagowych. Łatwo zauważyć, że układy te reprezentują również największy nieporządek. Wróćmy do przykładu z rozprężeniem gazu do próżnego zbiornika – stan, w którym jeden zbiornik jest próżny, a sąsiedni zbiornik jest wypełniony gazem reprezentuje bardzo niską entropię. Wyrównanie się ciśnień w obu zbiornikach powoduje przejście do stanu o najwyższej entropii. Widzimy zatem, że w układzie zamkniętym będzie pojawiał się nieporządek. Jeśli zbudujemy wieżę z kamieni, wykonujemy pracę by wytworzyć stan o wysokim porządku – zatem o niskiej entropii. W przypadku wieży stanem o najwyższej entropii jest losowe rozrzucenie kamieni. Jeśli nie będziemy wykonywać nad tym układem żadnej pracy, pod wpływem czynników zewnętrznych stopniowo będzie dążył do stanu o wyższej entropii – wieża będzie się rozpadać, aż do zamiany w stertę rozrzuconych kamieni. W przyrodzie struktury uporządkowane, takie jak żywe organizmy istnieją dzięki źródłu energii, jakim jest Słońce. Energia czerpana ze Słońca (w przypadku niektórych bakterii energia może być pozyskiwana z innych źródeł) jest wykorzystywana na wykonywanie pracy i budowę struktur o wysokim uporządkowaniu. Bez źródła energii organiżmy żywe umierają – przechodzą w stan o wyższej entropii. Warto zwrócić uwagę, że procesy śmierci i rozkładu można interpretować w ramach przemian termodynamicznych. Ciepło wytwarzane w procesie fermentacji szczątków organicznych może być odzyskiwane i wykorzystywane jako alternatywne źródło energii. 9.9. Właściwości termiczne materii Mechanizmy przekazywania ciepła Procesy transportu energii zmierzają do wyrównywania energii w całym układzie prowadząc układ do stanu równowagi. W przyrodzie istnieją trzy podstawowe mechanizmy przekazywania ciepła: • przewodnictwo cieplne, • konwekcja (unoszenie), Strona 149 ROZDZIAŁ 9 • promieniowanie. Przewodnictwo cieplne Przewodnictwo cieplne jest związane z przekazywaniem energii przez cząstki o wyższej energii cząstkom o niższej energii. Jeśli w jednym miejscu ciała dostarczane jest ciepło, cząstki z których zbudowane jest ciało uzyskują wyższą energię. W przypadku gazu będzie to większa energia kinetyczna cząsteczek gazu, w przypadku ciała stałego będziemy mieli do czynienia z większą energią drgań atomów wokół ich położeń równowagi. Energia ta jest przekazywana sąsiednim atomom, tak żeby minimalizować różnicę temperatur pomiędzy ciepłym a chłodnym końcem. W przypadku gazu przekazywanie energii kinetycznej odbywa się poprzez zderzenia, zaś w ciele stałym w wyniku oddziaływań między atomami. Z codziennego doświadczenia wiemy, że różne materiały mają różną przewodność cieplną. Wysoką przewodność cieplną mają na przykład metale. Związane jest to z przewodzeniem ciepła nie tylko na skutek drgań jąder atomowych, ale również zderzeń swobodnych elektronów obecnych w metalach. Tworzywa sztuczne takie jak guma czy polietylen są z reguły izolatorami elektrycznymi i wykazują również niewielką przewodność cieplną. Strumień ciepła JQ, czyli ciepło dQ przepływające w czasie dt przez powierzchnię dS, jest proporcjonalny do gradientu temperatury wywołującego przepływ ciepła. Współczynnik proporcjonalności λ nazywa się współczynnikiem przewodności cieplnej jest cechą charakterystyczną danego materiału i wyraża się w Wm-1K-1. W jednowymiarowym przypadku gradient temperatury jest równy pochodnej temperatury po współrzędnej x i wówczas przepływ ciepła może być opisany następującą zależnością (prawo Fouriera przewodnictwa cieplnego): JQ = dQ dT = −λ dt d S dx (9.62) Dla cienkich warstw przybliżeniem gradientu temperatury jest iloraz różnicy temperatur przez grubość przegrody. Rozpatrzmy cienką przegrodę o grubości L i powierzchni S wykonaną z materiału o współczynniku przewodności cieplnej λ, która oddziela zbiornik gorący, o temperaturze TG, od zimnego, o temperaturze TZ. W takim przypadku ilość ciepła Strona 150 TERMODYNAMIKA Q przepływająca przez przegrodę w czasie t (moc P) wyraża się wzorem (za „Podstawy Fizyki”, Halliday, Resnick, Walker, PWN 2003): P = T −T Z Q =k S G t L (9.63) Dla takiej przegrody można również wyznaczyć wartość oporu cieplnego R, będącego współczynnikiem proporcjonalności między mocą przepływającego ciepła a różnicą temperatur: R = L kS (9.64) Należy pamiętać, że tak zdefiniowana wielkość charakteryzuje dane ciało, a nie materiał z którego jest wykonane. W układzie składającym się z wielu warstw, przy stacjonarnym przepływie ciepła (temperatury i wartość strumienia ciepła nie zmieniają się w czasie), ciepło przepływające przez każdą z warstw jest jednostce czasu jest taki samo. Rozpatrując przykład dwóch warstw wykonanych z różnych materiałów równania Fouriera możemy zapisać w postaci: P = k 1 S (T G − T 12 ) k 2 S (T 12 − T Z = L1 L2 ) (9.65) gdzie T12 oznacza temperaturę na granicy dwóch warstw. Wyznaczając z powyższego równania temperaturę T12 możemy wyznaczyć całkowitą moc traconą przez taką podwójną przegrodę: P = S (T G − T Z L1 L 2 + k1 k 2 ) (9.66) W ogólnym przypadku moc ciepła przepływającego przez przegrodę składającą się z kilku warstw o różnych grubościach Li oraz współczynnikach przewodności cieplnej ki możemy zapisać: P = S (T G − T Z L ∑i k i i ) (9.67) Strona 151 ROZDZIAŁ 9 Konwekcja Konwekcja jest mechanizmem przekazywania ciepła charakterystycznym dla płynów (gazów i cieczy) i nazywana bywa również przepływem masowym. Zwiększenie temperatury płynów powoduje zmniejszenie ich gęstości a w konsekwencji pojawienie się siły wyporu skierowanej pionowo do góry. Charakterystyczne przy tym jest, że ruch taki może dotyczyć nie tylko pojedynczych cząsteczek, ale również znacznych objętości płynu. Prostym przykładem konwekcji jest ruch wody podgrzewanej w garnku. Woda ogrzana przy dnie za sprawą siły wyporu unosi się ku powierzchni, gdzie ulega wychłodzeniu i opada ponownie na dno, gdzie ponownie się ogrzewa wywołując cyrkulację w całym naczyniu. Podobne zjawisko w znacznie większej skali obserwujemy w roztopionych skałach pod powierzchnią Ziemi - gdzie gorąca magma wypływa ku powierzchni, gdzie stygnie i opada. Ruchy konwekcyjne roztopionych skał kształtują powierzchnię Ziemi i mają decydujący wpływ na dryf płyt kontynentalnych, unoszących się na powierzchni magmy. Opis ruchów konwekcyjnych mas powietrza jest jednym z podstawowych zagadnień meteorologii. Ruchy te powodują powstawanie wiatrów i chmur a także powstawanie i przemieszczanie się frontów atmosferycznych. Przepływ konwekcyjny jest podstawą działania instalacji centralnego ogrzewania. Ciepła woda, ogrzana w piecu lub kotle unosi się do góry, wymuszając jednocześnie napływ zimniejszej wody do wymiennika ciepła. W grzejnikach woda (napływająca górnym wlotem) ochładza się i opada w kierunku pieca. W samych grzejnikach powietrze jest zasysane znad podłogi, ogrzewa się pomiędzy żebrami i unosi do góry. Na podobnej zasadzie działa wentylacja grawitacyjna. W przypadku kiedy proces wymiany ciepła w urządzeniu jest w danym zastosowaniu zbyt powolny, można wymusić konwekcję. Prostym przykładem wymuszonej konwekcji jest chłodnica samochodowa. Wiatrak chłodnicy wymusza przepływ powietrza między żebrami wymiennika ciepła. Identyczną funkcję pełni wiatrak na radiatorze procesora komputerowego. W przypadku cieczy chłodzących o znacznej gęstości przepływ może być wymuszany za pomocą pomp. Pompy wspomagające obieg wody i powietrza w piecu mogą być stosowane w domowych instalacjach grzewczych. Promieniowanie cieplne Kolejnym mechanizmem wymiany ciepła jest promieniowanie cieplne. Podstawy fizyczne tego zjawiska omówimy w dalszej części wykładu. Strona 152 TERMODYNAMIKA Teraz podamy jedynie wzór, określający ilość energii wypromieniowanej lub pochłoniętej przez ciało przez jednostkę powierzchni: E =σ T 4 (9.68) Jest to tzw. wzór Stefana-Boltzmanna opisujący całkowitą (integralną) zdolność emisyjną ciała, czyli energię wypromieniowaną w całym widmie częstotliwości. Promieniowanie cieplne zależy od temperatury w potędze czwartej, ale również od rodzaju powierzchni ciała. Powierzchnie ciemne dobrze pochłaniają, ale i dobrze wypromieniowują ciepło. Pomalowany czarnym lakierem pojazd szybko nagrzewa się, ale równie szybko stygnie. Samochód z jasnym nadwoziem pochłania niewiele ciepła, ale i niewiele oddaje. Odbijanie ciepła jest podstawą działania tzw. folii ratunkowej, znajdującej się w apteczce samochodowej. Ułożona srebrną stroną do ciała folia zabezpiecza przed wychłodzeniem, odbijając promieniowanie cieplne do środka. Ułożenie stroną złotą do ciała i srebrną na zewnątrz zmniejsza promieniowanie zewnętrzne i chroni przed przegrzaniem. Izolacja termiczna Policzmy moc, jaka jest tracona przez okno o powierzchni S=1m2 wykonane z pojedynczej szyby o grubości d=4mm i współczynniku przewodności cieplnej k=1, zakładając temperaturę na zewnątrz TZ = -20oC=253K oraz wewnątrz pomieszczenia TW=20oC=293K. Zaniedbamy efekty związane z promieniowaniem cieplnym i konwekcją analizując jedynie przewodnictwo cieplne. Korzystając ze wzoru 9.14 otrzymujemy znaczną stratę ciepła o mocy 10kW ( P = 1⋅1 293 − 253 = 10000 ). 0. 004 Rozważmy teraz drugi przypadek, w którym zastosowano podwójną szybę. Przy czym odległość między szybami wynosi z=1cm, a przestrzeń jest wypełniona powietrzem o współczynniku przewodności k=0.025. Założymy, że w tej warstwie powietrza konwekcja nie występuje. Po podstawieniu do wzoru 9.18 opisującego wielowarstwową przegrodę otrzymujemy P=98W. Widzimy, że w przypadku zastosowania dwóch szyb przedzielonych warstwą powietrza strumień ciepła przepływający przez okno jest ponad 1000 razy mniejszy. W krajach skandynawskich stosuje się nierzadko okna z trzema szybami, które gwarantują jeszcze niższe straty ciepła. Podobny efekt wykorzystujemy w przypadku cegieł ceramicznych z kanałami powietrznymi czy popularnych wykończeń ścian typu „siding”. W przypadku takich przegród powietrznych najważStrona 153 ROZDZIAŁ 9 niejszym zagadnieniem jest uniknięcie lub zminimalizowanie konwekcyjnego transportu ciepła. Można to osiągnąć zamykając powietrze wewnątrz małych porów materiału. Efekt taki jest wykorzystywany m.in. w płytach styropianowych i piankach poliuretanowych. Materiały te są bardzo lekkie, ponieważ puste przestrzenie pomiędzy „więźbą” polimerową wypełnia powietrze. Materiałem o najlepszych własnościach izolacyjnych jest aerożel, oparty na spienionych związkach krzemu. Konwekcja i przewodzenie cieplne nie występują również w próżni, ponieważ nie ma tam cząsteczek gazu które mogłyby uczestniczyć w transporcie ciepła. Na tym efekcie opiera się działanie tzw. naczynia Dewara. Spomiędzy podwójnych ścianek tego naczynia wypompowuje się powietrze. Kontakt termiczny pomiędzy wewnętrznymi a zewnętrznymi ściankami istnieje jedynie przy wlocie naczynia, który ma jednak niewielki przekrój poprzeczny i powierzchnię. Prostym przykładem naczynia Dewara jest termos. Termosy szklane długo zachowują próżnię, są natomiast podatne na uszkodzenia mechaniczne. Termosy metalowe są wytrzymałe mechanicznie, ale ciśnienie wewnątrz stopniowo wzrasta i po pewnym czasie tracą one właściwości izolujące. Ciepło właściwe ciał stałych Pojemność cieplną ciał stałych opisuje tzw. model Debye’a. Zakłada on, że transport ciepła w ciałach stałych zachodzi w postaci rozchodzenia się drgań. Im wyższa temperatura, tym liczba wzbudzanych rodzajów drgań rośnie – wzrasta również ciepło właściwe. W zakresie temperatur poniżej tzw. temperatury Debye’a θ wzrost ten odbywa się proporcjonalnie do trzeciej potęgi temperatury. Powyżej temperatury Debye’a wzrost wartości ciepła właściwego jest znacznie mniej dynamiczny. Wartością graniczną dla tzw. ciał prostych – np. kryształów zbudowanych z jednego pierwiastka – jest wartość trzykrotnej stałej gazowej 3R. Zależność tą określa się prawem Dulonga-Petita. Ciepło właściwe materii związane jest również z ruchem elektronów. Elektronowe ciepło właściwe jest wprost proporcjonalne do temperatury. W bardzo niskich temperaturach czynnik ten ma decydujący wpływ na całkowitą wartość ciepła właściwego. Pełna postać wzoru na ciepło właściwe ciał stałych przyjmuje zatem postać: c v = aT 3 + bT Strona 154 (9.69) TERMODYNAMIKA Rozszerzalność cieplna ciał stałych Drgania termiczne atomów w ciałach stałych wpływają na zwiększenie średniej odległości międzyatomowej i zarazem zwiększają makroskopową objętość kryształów. Efekt ten jest związany z kształtem potencjału oddziaływania międzyatomowego. Rozszerzalność temperaturową ciał stałych możemy przybliżyć funkcją liniową, wprowadzając współczynnik rozszerzalności cieplnej i w przypadku jednowymiarowym np. długości cienkiego pręta, zapisujemy: ∆L = α L ∆T L0 (9.70), gdzie αL jest współczynnikiem rozszerzalności liniowej o wymiarze K-1. Zakładając jednakowe rozszerzanie się materiału w każdym kierunku (izotropia) współczynnik rozszerzalności objętościowej αV jest równy trzykrotnej wartości współczynnika rozszerzalności liniowej αL a zależność zmian objętości od temperatury zapisujemy: ∆V = α V ∆T V0 (9.71) Rozszerzalność cieplna ciał stałych musi być uwzględniana przy projektowaniu konstrukcji i połączeń konstrukcyjnych. Materiały, z których wykonane są obiekty takie jak mosty i wiadukty drogowe (stal i beton) mają z reguły inną rozszerzalność cieplną niż skała lub grunt, na którym są oparte. Aby uniknąć nadmiernych naprężeń mechanicznych związanych z termicznym odkształcaniem się materiałów na styku różnych elementów konstrukcyjnych stosuje się tzw. szczeliny dylatacyjne. Rolę takich szczelin dylatacyjnych spełnia również fuga między płytkami ceramicznymi, ale niezbędne jest również zastosowanie odpowiednio elastycznej zaprawy klejącej, tak aby nie doszło do zerwania kontaktu płytki z podłożem lub pęknięcia płytki. W przyrodzie naprężenia powstające w skałach ogrzewanych przez słońce lub ochładzanych przez wiatr są jednym z głównych czynników erozji. Zjawisko rozszerzalności cieplnej ciał można wykorzystać podczas nitowania. Wciskając nit w otwór w rozgrzanym materiale zyskujemy ciasne połączenie po ostygnięciu. Podobny efekt możemy otrzymać łącząc materiały o różnym współczynniku rozszerzalności cieplnej. Często stosowanym czujnikiem temperatury opartym na zjawisku rozszerzalności cieplnej jest tzw. bimetal. Jest to pasek zbudowany z połączonych ze Strona 155 ROZDZIAŁ 9 sobą dwóch warstw metali o różnym współczynniku rozszerzalności cieplnej. Jeśli długość jednej z warstw paska wzrośnie pod wpływem temperatury bardziej niż drugiego, cały pasek ulegnie wygięciu. Bimetal możemy wykorzystywać np. jako wyłącznik zwierający w instalacji przeciwpożarowej, bądź wyłącznik rozwierający w instalacji zapobiegającej przegrzaniu się urządzenia. Strona 156 10 Elektrostatyka W tym rozdziale: o o o o o o Ładunek elektryczny, oddziaływanie ładunków, prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunków dyskretnych oraz ciągłych rozkładów ładunków Energia i potencjał w polu elektrycznym Prawo Gaussa, przykłady zastosowania prawa Gaussa Pojemność elektryczna, kondensatory Dielektryki ROZDZIAŁ 10 10.1. Ładunek elektryczny Zjawisko elektryzowania ciał jest znane od czasów starożytności. Jeśli potrzemy kawałkiem jedwabiu o szkło zauważymy, że kawałek szkła nabierze ciekawych właściwości – będzie przyciągał drobinki kurzu lub drobne skrawki papieru oraz jedwab, którym go pocieraliśmy. Podobny efekt zaobserwujemy w przypadku kawałka bursztynu potartego o futro. Jeśli zbliżymy do siebie szkło i bursztyn zauważymy ponadto, że przyciągają się nawzajem. Natomiast dwa takie kawałki szkła czy dwa kawałki bursztynu będą się nawzajem odpychać. Ponadto bursztyn będzie odpychał kawałek jedwabiu, którym naelektryzowano szkło, a szkło będzie odpychać futro którym naelektryzowano bursztyn. Aby usystematyzować powyższy opis, założymy że podczas pocierania umieszczamy na ciele ładunek elektryczny elektryzując go w ten sposób. Znak ładunku może być dodatni lub ujemny. Ustalmy, że w przypadku elektryzowania bursztynu ładunek znajdujący się na powierzchni bursztynu ma znak ujemny a na powierzchni futra użytego do elektryzowania pozostaje identyczna porcja ładunku dodatniego. Znak ładunku pojawiającego się na powierzchni elektryzowanego szkła jest natomiast dodatni. Opisane wyżej obserwacje wskazują, że ładunki o identycznym znaku – jednoimienne – odpychają się, a ładunki o różnych znakach – różnoimienne – przyciągają się. Efekt odpychania się jednoimiennych ładunków można czasem zauważyć w burzowy dzień lub stojąc pod linią elektryczną wysokiego napięcia w postaci włosów „stających dęba”. Ładunki zgromadzone na naszym ciele i ubraniach są przyciągane przez chmurę burzową czy linię energetyczną gromadzą się na włosach ale jednocześnie jako ładunki o tym samym znaku chcą być jak najdalej od siebie powodując, że włosy „stają dęba”. Ładunek elektryczny wymieniany jest w porcjach. Najmniejszą niepodzielną porcję ładunku nazywamy ładunkiem elementarnym e i jest on równy ładunkowi elektronu. Wartość ładunku elementarnego wynosi e=1.602·10–19C, gdzie C jest jednostką ładunku elektrycznego – kulombem. Ponieważ elektron ma ładunek ujemny więc zjawisko elektryzowania ciał polega na wytworzeniu na nich nadmiaru elektronów – wtedy ładunek ciała jest ujemny, lub niedoboru elektronów – w takim przypadku ładunek ciała jest dodatni. Strona 158 ELEKTROSTATYKA Ciała mogą mieć różne właściwości elektryczne. Ciała, w których ładunek może swobodnie się przemieszczać nazywamy przewodnikami (np. metale), zaś ciała, w których ruch ładunku jest niemożliwy nazywamy izolatorami (większość materiałów organicznych i tworzyw sztucznych). Oprócz omówionego wcześniej elektryzowania przez pocieranie, ciała można elektryzować również przez indukcję. Załóżmy, że naładowany ładunkiem ujemnym kawałek szkła zbliżymy do fragmentu przewodnika (metalu). Ładunek w metalu może się swobodnie przemieszczać. Ponieważ, jak już zauważyliśmy ładunki tego samego znaku odpychają się, z fragmentu przewodnika w pobliżu naładowanego ujemnie izolatora odpłynie ładunek ujemny. Ten fragment metalu będzie zatem naładowany ładunkiem dodatnim. Nie jest to jednak stan trwały i gdy następnie oddalimy naładowany fragment izolatora, sytuacja wróci do stanu początkowego. Jeśli jednak koniec metalu naładowany ujemnie podłączymy na chwilę do tzw. uziemienia ładunek ten spłynie do Ziemi. Jak przekonamy się później, zjawisko to jest wynikiem wyrównania potencjałów pomiędzy naładowanym obiektem i Ziemią, która ma bardzo dużą pojemność – może przyjąć bardzo dużo ładunku. Jeśli teraz usuniemy połączenie pomiędzy metalem a ziemią, a następnie usuniemy naładowany ujemnie izolator, na metalu pozostanie ładunek dodatni. Metal został naładowany przez indukcję. 10.2. Prawo Coulomba Określimy teraz ilościowo siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy ładunkami. Siła oddziaływania pomiędzy dwoma ładunkami punktowymi Q1 oraz Q2 umieszczonymi w próżni w odległości r od siebie, zgodnie z prawem Coulomba, jest proporcjonalna do wartości tych ładunków oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi: F = Q 1Q 2 4πε 0 r 2 (10.1), Strona 159 ROZDZIAŁ 10 gdzie ε0 jest stałą przenikalności dielektrycznej próżni i jest równa ( ε 0 = 8.854 ⋅ 10 −12 C 2 Nm 2 (w przybliżeniu ε 0 = ) 1 C2 ⋅10 −9 ). 36π Nm 2 Ponieważ siła oddziaływania elektrostatycznego jest wektorem, więc jeśli obliczamy siły działające w układzie kilku ładunków, musimy zastosować dodawanie wektorowe. Jako przykład policzymy siłę oddziaływania na jeden z ładunków w układzie czterech ładunków dodatnich Q znajdujących się w wierzchołkach kwadratu o boku a (rysunek 10.1). Ponieważ ładunki są jednoimienne, to wybrany ładunek odpychany jest przez jego trzech „sąsiadów” siłami F1, F2 i F3 oznaczonymi na rysunku 10.1. Siły F1 i F3 są równe co do wartości (identyczne ładunki znajdują się w tej samej odległości): F1 = F 3 = QQ 4πε 0 a 2 (10.2) Siły te są do siebie prostopadłe a więc dodając je wektorowo otrzymujemy siłę wypadkową, skierowaną wzdłuż przekątnej kwadratu: F 13 = 2Q 2 4πε 0 a 2 (10.3) Siła F2 pochodząca od ładunku znajdującego się po przekątnej kwadratu ma kierunek i zwrot identyczny jak siła F13 i wartość równą: F2 = Q2 ( 4πε 0 a 2 ) 2 (10.4) Wartość siły wypadkowej FW działająca na jeden z ładunków jest więc sumą F2 oraz F13: FW Strona 160 (2 = ) 2 +1 Q 2 8πε 0 a 2 (10.5) ELEKTROSTATYKA Rysunek 10.1. Siły działające w układzie jednakowych ładunków Q, rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a 10.3. Natężenie pola elektrycznego Ładunki elektryczne są źródłem pola elektrycznego, podobnie jak masa jest źródłem pola grawitacyjnego. Właściwości pola elektrycznego można badać umieszczając w nim ładunek. Jeśli jednak ładunek ten będzie miał znaczną wartość w stosunku do ładunku badanego, zakłóci to pole elektryczne. Z tego względu posłużymy się ładunkiem próbnym dodatnim q0 – o wartości na tyle małej, że nie wprowadza dużych zakłóceń badanego pola. Tor ruchu takiego próbnego ładunku umieszczonego w obszarze pola elektrycznego wyznacza linie pola elektrycznego. Wektor siły działającej na próbny ładunek jest zawsze styczny do linii pola. Dla ładunku punktowego linie sił pola rozchodzą się promieniście w przestrzeni. Z obserwacji wynika, że siła F działająca na ładunek umieszczony w polu elektrycznym jest proporcjonalna do wartości tego ładunku q. Wynika z tego, że stosunek siły działającej na ładunek próbny do wartości tego ładunku ma stałą wartość charakteryzującą pole elektryczne w tym punkcie i nazywany jest natężeniem pola elektrycznego E. Strona 161 ROZDZIAŁ 10 r r F = const. = E q F Q E = = q 4πε 0 r (10.6) 2 Natężenie pola elektrycznego jest miarą siły działającej na jednostkowy próbny ładunek elektryczny: Tak zdefiniowana wielkość jest niezależna od wielkości ładunku próbnego, jest zatem wyłącznie właściwością badanego pola. Natężenie pola elektrycznego jest wektorem, którego kierunek i zwrot jest identyczny jak zwrot siły działającej na dodatni ładunek umieszczony w badanym polu. Rozważmy układ dwóch ładunków punktowych o identycznym co do wartości ładunku Q, znajdujących się w pewnej odległości D od siebie. Obliczmy natężenie w różnych punktach położonych na prostej przechodzącej przez oba ładunki w przypadku, kiedy ładunki są jednoimienne. Wówczas zewnątrz układu oba wektory natężenia są skierowane w tym samym kierunku i sumują się. Dla dużych odległości r od ładunków (r>>D) natężenie pola elektrycznego jest w przybliżeniu równe natężeniu pochodzącemu od ładunku o wartości 2Q. Na odcinku łączącym oba ładunki wektory natężenia są skierowane przeciwnie. Wartość wektora wypadkowego jest więc różnicą wartości wektorów składowych i wynosi: E = Q Q − 2 2 4πε 0 r 4πε 0 (D − r ) (10.7), gdzie r oznacza odległość od jednego z ładunków. W przypadku, kiedy znajdziemy się w połowie odległości między ładunkami (r = D/2), wartość natężenia pola elektrycznego wynosi zero, E = 0, ponieważ wektory składowe znoszą się. Dipol elektryczny Jeśli ładunki Q w powyższym przykładzie są różnoimienne, to taki układ nazywa się dipolem elektrycznym. Wartość wektora natężenia pola elektrycznego na osi ale na zewnątrz dipola jest różnicą wartości wektorów składowych – wektory mają przeciwne zwroty. Natomiast na odcinku Strona 162 ELEKTROSTATYKA łączącym ładunki wektory natężenia dodają się – wartość wektora wypadkowego jest sumą wartości wektorów składowych. W połowie odległości między ładunkami natężenie pola elektrycznego układu wynosi: E = Q 2 4πε 0 (D 2) + Q 2 4πε 0 (D 2) = 8Q 4πε 0 D 2 (10.8) Rysunek 10.2. Natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego na symetralnej osi dipola W przypadku dipola elektrycznego istotne jest również znalezienie natężenia pola elektrycznego na symetralnej osi dipola (rysunek 10.2). Jeśli narysujemy wektory natężenia pola elektrycznego pochodzące od każdego z ładunków w danym punkcie odległym o z od osi dipola, okaże się, że ich składowe prostopadłe do odcinka łączącego ładunki znoszą się, a prostopadłe – dodają. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego wynosi wówczas: EW = ( 2Q 4πε 0 z 2 + D 2 ) D 2 2 D 4 2 z + 4 (10.9) Dla dużych odległości z od osi dipola natężenie na symetralnej osi dipola maleje z sześcianem odległości z zgodnie ze wzorem: EW = QD 4 πε 0 z 3 = p 4 πε 0 z 3 (10.10) Strona 163 ROZDZIAŁ 10 r r Wektor p = q D jest dipolowym momentem elektrycznym dipolu. Natężenie pola elektrycznego na osi dipola jest dwukrotnie większe i wynosi: E OŚ = p 2 πε 0 z 3 (10.11) Natężenie pola elektrycznego dla dipola elektrycznego ma więc silnie kierunkowy charakter – wynosi zero na osi dipola dla dużych odległości oraz maleje z sześcianem odległości w kierunku prostopadłym do na osi dipola. Natężenie pola elektrycznego ciągłych rozkładów ładunków elektrycznych W poprzednim przykładzie pokazaliśmy jak policzyć natężenie pola elektrycznego pochodzącego od układu dwóch dyskretnych ładunków. W przypadku naładowanych obiektów np. naładowanych prętów, pierścieni czy płyt, mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku. Obiekt taki traktujemy wówczas tak, jakby składał się z wielu małych ładunków punktowych dq, które są źródłem pola elektrycznego. Natężenie wypadkowe możemy wyrazić przez sumę natężeń pochodzących od każdego z małych ładunków, przy czym sumowanie zastępujemy całkowaniem: E = dq ∫ 4πε 0 r2 (10.12) Przykład Jako przykład obliczmy natężenie pola elektrycznego w środku półokręgu o promieniu R zbudowanego z jednorodnie naładowanego ładunkiem Q pręta. Rozpatrzmy mały odcinek tego półokręgu, którego położenie może być określone za pomocą kąta α względem osi symetrii półokręgu (rysunek 10.3), na którym zgromadzony jest ładunek dq. Taka mała porcja ładunku dq wytwarza w środku okręgu natężenie pola elektrycznego dE, które jest składową całkowitego natężenia pochodzącego od naładowanego półokręgu. Porcja ładunku dq znajdująca się na drugiej połówce półokręgu położona symetrycznie do pierwszej wytwarza natężenie pola elektrycznego dE o takiej samej wartości i zwrocie symetrycznym względem osi półokręgu. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego Strona 164 ELEKTROSTATYKA dEp jest skierowane równolegle do osi półokręgu. Podobny zwrot wypadkowego wektora natężenia otrzymamy dla każdej pary ładunków dq położonych symetrycznie względem osi okręgu, z którego wycięto półokrąg. Wartość składowej prostopadłej dEp możemy wyrazić za pomocą funkcji kąta α: d E p = 2 d E cos α = 2 dq cos α 4πε 0 R 2 (10.13) Całkowite natężenie pochodzące od rozpatrywanego półokręgu będzie wyrażone za pomocą całki: Q 2 Ep = ∫ 2 0 dq cos α 4πε 0 R 2 (10.14) Jako górną granice całkowania przyjęliśmy tylko połowę całkowitego ładunku Q, ponieważ przy wyliczeniu natężenia dEp wzięliśmy już pod uwagę wkład pochodzący od dwóch połówek łuku. Żeby obliczyć powyższą całkę musimy znaleźć relację między kątem α a ładunkiem dq i dokonać zamiany zmiennych. W tym celu wprowadzimy gęstość liniową ładunku (podobnie liczyliśmy już moment bezwładności pręta). Ponieważ ładunek Q zgromadzony jest na półokręgu więc gęstość liniowa ładunku wynosi λ = Q , a ładunek dq zgromadzony na odcinπR ku dl wynosi dq = λ dl . Dodatkowo po zamianie zmiennych liniowych na kątowe dl = d α R otrzymujemy: dq = λ dα R (10.15) Przy zamianie zmiennej całkowania z dq na dα granice całkowania wynoszą 0 oraz π/2. Po wyciągnięciu stałych przed znak całki, otrzymujemy: λ Ep = 2πε 0 R π 2 ∫ cos α d α 0 Q λ Ep = = 2 2πε 0 R 2π ε 0 R 2 (10.16) Strona 165 ROZDZIAŁ 10 Rysunek 10.3. Wyznaczanie natężenia pola elektrycznego pochodzące od naładowanego pręta wygiętego w półokrąg 10.4. Energia i potencjał w polu elektrycznym Energia, jaką posiada ładunek w polu elektrycznym jest równa pracy, jaką należało wykonać, aby umieścić go w danym miejscu tego pola. Jest to definicja identyczna jak ta wprowadzona już dla pola grawitacyjnego. Skorzystaliśmy wówczas ze wzoru całkowego na pracę W = ∫ F(x) d x Obliczamy pracę przeniesienia ładunku Q2 z nieskończoności do punktu odległego o R od ładunku Q1 będącego źródłem pola elektrycznego: R W = Q 1Q 2 dr 2 0r ∫ 4πε ∞ E pot = W = Strona 166 Q 1Q 2 4πε 0 R (10.17) (10.18) ELEKTROSTATYKA Warto zauważyć, że postać energii potencjalnej pola elektrycznego jest podobna do wyrażenia jakie otrzymaliśmy dla pola grawitacyjnego. Jeżeli w polu elektrycznym przesuwamy między dwoma punktami ładunek q, to praca jaką wykonujemy jest proporcjonalna do wartości tego ładunku. Stosunek tej pracy przesunięcia dW ładunku do wartości ładunku q jest dla danych dwóch punktów stały i nie zależy od wartości ładunku. Stosunek ten definiuje różnicę potencjałów dV między tymi dwoma punktami pola, czyli napięcie elektryczne U. U = dV = d E pot dW = q q (10.19) Jednostką napięcia (potencjału) jest 1 wolt 1V=1J/1C, czyli jest to napięcie między takimi punktami, między którymi przesunięcie ładunku 1C wymaga pracy 1J. Potencjał pola elektrycznego jest związany z natężeniem pola elektrycznego zależnością: r dV r r dV r dV E = −grad V (x, y, z ) = i +j +k dx dy dz (10.20) Różnicę potencjałów Uab między punktami a i b możemy więc zapisać: b U ab = ∆V = ∫ E(x) dx (10.21) a Dla pola elektrycznego wytworzonego przez punktowy ładunek Q potencjał pola w odległości r od tego ładunku wynosi: V = Q 4πε 0 r (10.22) Warto podkreślić, że potencjał pola elektrycznego jest wielkością skalarną i addytywną, czyli potencjał wytwarzany przez układ ładunków jest sumą potencjałów wytwarzanych przez każdy z ładunków w danym punkcie. Powierzchnie stałego potencjału (powierzchnie ekwipotencjalne) są prostopadłe do linii sił pola. Wróćmy do przykładu dwóch ładunków o identycznej wartości, znajdujących się w odległości D od siebie. Pokazaliśmy już, że jeśli ładunki są jednoimienne, natężenie pola w połowie odległości między nimi jest Strona 167 ROZDZIAŁ 10 równe zeru. Jeśli jednak obliczymy potencjał w tym punkcie, otrzymamy: V = Q Q + 4 πε 0 D 2 4 πε 0 D 2 (10.23) W przypadku dwóch ładunków różnoimiennych, natężenie obliczone w połowie odległości między nimi wynosi dwukrotną wartość natężenia pochodzącego od pojedynczego ładunku. Potencjał obliczony w tym samym punkcie jest równy zeru: V = Q Q − =0 4 πε 0 D 2 4 πε 0 D 2 (10.24) W elektrostatyce często będziemy posługiwać się pojęciem różnicy potencjałów pomiędzy dwoma punktami – różnica ta jest miarą pracy, jaką należy wykonać przemieszczając ładunek między tymi punktami. 10.5. Prawo Gaussa Pokazaliśmy już, że natężenie pola elektrycznego pochodzącego od wielu ładunków punktowych jest sumą wektorową natężeń pochodzących od każdego z ładunków a w przypadku obiektów naładowanych ciągłym rozkładem ładunku sumowanie zastępujemy całkowaniem. Obliczenia takie bywają jednak często bardzo żmudne i wymagają dobrej znajomości zależności geometrycznych występujących w badanym układzie. W wielu przypadkach znacznie prostszą metodą okazuje się skorzystanie z prawa Gaussa. Aby zapisać prawo Gaussa wprowadzimy najpierw wielkość zwaną strumieniem natężenia pola elektrycznego. Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię, to strumień wektora natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego zewnętrznego do danej powierzchni, o wartości równej polu tej powierzchni: r r Φ E = E ⋅ S = E S cos α Strona 168 (10.25), ELEKTROSTATYKA gdzie α oznacza kąt między wektorem normalnym do powierzchni a wektorem natężenia pola elektrycznego. Widzimy, że im większy kąt α, tym mniejsza wartość strumienia. Jeśli wektor natężenia jest skierowany równolegle do powierzchni to strumień jest równy zeru. Jeżeli wartość wektora natężenia przecinającego powierzchnię jest różna w różnych jej punktach, bądź różny jest kąt pomiędzy tym wektorem a powierzchnią, w obliczaniu strumienia korzystamy z zależności całkowej: r r Φ E = ∫ E ⋅ dS (10.26) Na przykładzie ładunku punktowego zauważyliśmy, że linie sił są rozmieszczone gęściej w pobliżu ładunku, a rzadziej kiedy badamy pole w większej odległości od niego. Gęstość rozmieszczenia linii, odpowiadająca wartości wektora natężenia zmienia się zatem z odległością. Jednak całkowita liczba linii sił pola nie zmienia się, chyba że w przestrzeni umieścimy kolejny ładunek który stałby się źródłem pola. Zatem całkowity strumień natężenia wytwarzany przez ładunek, przechodzący przez powierzchnię zamkniętą wewnątrz której on się znajduje pozostaje stały. Strumień nie zależy również od kształtu przyjętej powierzchni. Mierząc zależność pomiędzy strumieniem a wartością ładunku można sformułować prawo Gaussa: Strumień całkowity wektora natężenia pola przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą pomnożony przez stałą ε 0 jest równy sumie ładunków elektrycznych obejmowanych przez tę powierzchnię. r r Q E ∫ ⋅ dS = ε 0 (10.27) Prawo Gaussa, choć jest wyrażone wzorem całkowym, w wielu przypadkach pozwala na szybkie obliczanie natężenia bez konieczności stosowania rachunku całkowego. Należy dobrać zamkniętą powierzchnię całkowania w taki sposób, aby wektor natężenia był stały w każdym jej punkcie i przecinał tę powierzchnię pod stałym kątem. Ładunek punktowy Zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy i porównamy z prawem Coulomba. W przypadku ładunku punktowego jako powierzchnię zamkniętą, dla której będziemy liczyli strumień natężenia pola elektryczneStrona 169 ROZDZIAŁ 10 go, warto wybrać sferę z ładunkiem punktowym w środku (rysunek 10.5). Wówczas wartość natężenia pola elektrycznego w każdym jej punkcie będzie taka sama (rozkład linii pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek punktowy jest symetryczny) oraz w każdym punkcie wektor natężenia pola elektrycznego będzie równoległy do wektora normalnego do powierzchni. Wówczas iloczyn skalarny może być zastąpiony iloczynem obu wielkości a całka ze strumienia wektora natężenia pola elektrycznego będzie równa iloczynowi wartości natężenia pola elektrycznego oraz powierzchni sfery: E 4π r 2 = Q ε0 (10.28) a po przekształceniach otrzymujemy wynik zgodny z prawem Coulomba: E = Q 4πε 0 r 2 (10.29) W kolejnych przykładach zastosujemy prawo Gaussa do wyznaczenia natężenia pola elektrycznego wytworzonego przez kulę o promieniu R naładowaną ładunkiem Q wykonaną w pierwszym przypadku z przewodnika (metalu) natomiast w drugim z izolatora (dielektryka). Rysunek 10.5. Powierzchnie zamknięte używane przy obliczaniu natężenia pola elektrycznego z prawa Gaussa Naładowana kula metalowa Ładunki w metalu mogą się swobodnie przemieszczać. W sytuacji więc, gdy metalową kulę naładujemy jednoimiennym ładunkiem ładunki będą się odpychały i tak się rozmieszczą na powierzchni ciała, żeby być jak najdalej od siebie. W efekcie cały ładunek Q rozłoży się równomiernie Strona 170 ELEKTROSTATYKA na powierzchni takiej kuli. W tym przypadku również warto wybrać powierzchnię Gaussa jako sferę współśrodkową z naładowaną kulą (rysunek 10.5). Jeśli promień takiej sfery Gaussa jest mniejszy od promienia kuli nasza sfera nie obejmie żadnego ładunku (cały ładunek jest na powierzchni) i wówczas zgodnie z prawem Gaussa natężenie pola elektrycznego będzie zerowe: r r E ∫ ⋅ dS = 0 dla r < R (10.30) Wewnątrz każdej metalowej powierzchni zamkniętej, niezależnie od zgromadzonego czy wyindukowanego na niej ładunku, natężenie pola elektrycznego będzie zerowe. Taka zamknięta powierzchnia nazywana jest puszką Faraday’a. Przykładami puszki Faraday’a jest karoseria samochodu czy kadłub samolotu. W obu przypadkach chronią one znajdujące się wewnątrz osoby przed skutkami wyładowań atmosferycznych – w przypadku trafienia przez piorun, cały ładunek spływa po powierzchni. Podobną funkcję pełnią metalizowane powłoki torebek antystatycznych do przechowywania elementów elektronicznych. Rysunek 10.4. Wykres natężenia pola elektrycznego pochodzącego od naładowanej kuli metalowej i kuli z dielektryka w funkcji odległości od środka kuli Jeśli promień sfery Gaussa r jest większy lub równy promieniowi R kuli (r ≥ R), wówczas obejmuje ona cały ładunek Q, którym naładowana jest kula. Wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie takiej sfery stały i prostopadły do powierzchni, zatem (podobnie jak dla ładunku punktowego) prawo Gaussa przyjmie postać: Strona 171 ROZDZIAŁ 10 E 4π r 2 = Q dla r ≥ R ε0 (10.31) Obliczone w ten sposób natężenie pola elektrycznego daje wynik identyczny jak w przypadku ładunku punktowego znajdującego się w środku kuli. Oznacza to, że na zewnątrz naładowanej kuli można ją traktować jako ładunek punktowy znajdujący się w środku tej kuli (rysunek 10.4). Naładowana kula dielektryczna W dielektrykach ładunek nie może się swobodnie przemieszczać i zakładamy, że jest rozłożony jednorodnie w całej objętości kuli z gęstością objętościową ρ. Wybierzmy teraz sferę Gaussa wewnątrz kuli. Ładunek obejmowany przez sferę jest proporcjonalny do jej objętości. Natężenie pola elektrycznego obliczone z prawa Gaussa wyniesie: 4 π r 3 ρ E 4π r 2 = 3 ε 0 dla r < R r ρ E = 3ε 0 (10.32) Natężenie pola elektrycznego jest więc proporcjonalne do promienia sfery Gaussa (rysunek 10.4). Kiedy promień sfery Gaussa zrówna się z promieniem kuli, obejmie ona całkowity ładunek na niej zgromadzony. Przy dalszym zwiększaniu promienia sfery Gaussa będzie wzrastać jej powierzchnia, ale nie ładunek – zatem natężenie na zewnątrz kuli będzie zmniejszać się w funkcji odległości. Podobnie jak w przypadku kuli metalowej, natężenie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości, a postać wzoru jest identyczna jak w przypadku kiedy całkowity ładunek znajdowałby się w samym środku kuli. Naładowany pręt Stosując prawo Gaussa, w łatwy sposób możemy obliczyć również natężenie pola pochodzące od długiego naładowanego pręta. Zakładając że pręt ten jest nieskończenie długi (zaniedbujemy efekty występujące na jego końcach) jako powierzchnię Gaussa możemy zastosować cylinder współśrodkowy z prętem (rysunek 10.5). Na powierzchni bocznej cylindra natężenie ma w każdym punkcie identyczną wartość i jest do niej prostopadłe. Wektor natężenia pochodzący od pręta nie posiada składowej równoległej do pręta, ponieważ dla każdego wybranego punktu Strona 172 ELEKTROSTATYKA wpływ ładunków znajdujących się na przeciwległych wobec wybranego punktu fragmentach pręta znosi się. Strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi zero dla podstaw takiego walca, gdyż wektor natężenia jest równoległy do powierzchni podstaw. Przyjmując gęstość liniową ładunku na pręcie (ładunek przypadający na jednostkę długości pręta) jako λ, otrzymujemy: E 2 π rL = λL ε0 λ E = 2π r ε 0 (10.33) Naładowana płaszczyzna Dla płaszczyzny, powierzchnią Gaussa może być dowolny prostopadłościan lub walec, przecinający ją prostopadle (rysunek 10.5). Na ściankach bocznych strumień natężenia jest równy zeru (wektor natężenia jest do nich równoległy), przy obliczaniu strumienia wektora natężenia pola elektrycznego bierzemy zatem pod uwagę jedynie powierzchnie podstaw. Przyjmując gęstość powierzchniową σ ładunku zgromadzonego na naładowanej płycie otrzymujemy: E 2S = σS ε0 (10.34) Po obliczeniu natężenia pola elektrycznego pochodzącego od nieskończenie dużej płyty okazuje się, że jest ono niezależne od odległości od płyty: E = σ 2ε 0 (10.35) Obliczenia te są słuszne dla płyty nieskończenie dużej ale prawdziwe będą również z dobrym przybliżeniem dla wyznaczania natężenia pola elektrycznego również w niewielkiej odległości od płyty skończonej (dla odległości znacznie mniejszej od rozmiaru płyty). Strona 173 ROZDZIAŁ 10 10.6. Pojemność elektryczna przewodnika Wyobraźmy sobie układ złożony z dwóch ciał. Z jednego z nich pobieramy małą porcję ładunku i przenosimy na drugie ciało. W ten sposób naładowaliśmy oba ciała ładunkiem o identycznej wartości, ale przeciwnym znaku. Między takimi ciałami powstaje wówczas różnica potencjałów (napięcie). Dalsze ładowanie takiego układu, czyli dalsze przemieszczanie ładunków między ciałami wymagać będzie wykonania pracy na pokonanie różnicy potencjałów. Różnica potencjałów powstała między naładowanymi ciałami jest proporcjonalna do wartości ładunku ∆V ∝ Q . Dla różnych układów wytworzenie identycznej różnicy potencjałów wymaga jednak przeniesienia różnej ilości ładunku elektrycznego. Stosunek ładunku Q do różnicy potencjałów ∆V (napięcia U), którą wytwarza ten ładunek, będziemy nazywali pojemnością C układu, a sam układ kondensatorem. C = Q Q = ∆V U (10.36) Jednostką pojemności jest jeden Farad 1F=1C/V. W praktyce rzadko spotyka się kondensatory o tak dużej pojemności. Warto zauważyć, że właściwie każdy obiekt posiada jakąś wartość pojemności. Prostym przykładem może być kondensator składający się z naładowanej kuli i Ziemi. Wykazaliśmy już, że natężenie oraz potencjał pola elektrycznego na powierzchni kuli o promieniu R naładowanej ładunkiem Q wynoszą: E = V = Q 4πε 0 R 2 Q (10.37) 4πε 0 R Ponieważ przyjmuje się, że potencjał Ziemi wynosi 0, więc w wyniku naładowania kuli między nią a ziemią powstaje różnica potencjału V. Strona 174 ELEKTROSTATYKA Dzieląc ładunek Q zgromadzony na kuli przez różnicę potencjału V otrzymujemy pojemność kuli o promieniu R: C = Q 4πε 0 R = 4πε 0 R Q (10.38) Podstawiając jako R promień Ziemi RZ otrzymamy pojemność elektryczną Ziemi - C ≈ 710 µF. Żeby wyznaczyć rzeczywistą pojemność elektryczną Ziemi należy rozważyć układ Ziemia- jonosfera. Pojemność elektryczna takiego układu jest znacznie większa niż wynika z powyższego uproszczonego modelu i szacuje się, że jest rzędu pojedynczych Faradów. Kondensatory Pracę wykonaną na rozdzielenie ładunków elektrycznych na okładkach kondensatora możemy wykorzystać w procesie rozładowania kondensatora – urządzenie takie możemy zatem wykorzystać do gromadzenia energii w postaci ładunku elektrycznego. Rozróżniamy wiele typów kondensatorów. Pierwotnie, popularnym rozwiązaniem gromadzenia ładunku były tzw. butelki lejdejskie – szklane cylindryczne pojemniki, w których okładkami były warstwy folii metalowej znajdujące się wewnątrz i na zewnątrz cylindra. Obecnie często spotyka się kondensatory elektrolityczne, w których jedną z okładek stanowi elektrolit przewodzący ładunek w postaci jonów. Kondensatory tego typu pozwalają na uzyskiwanie wysokich pojemności elektrycznych. W urządzeniach elektronicznych spotykamy również kondensatory nastawne zbudowane z dwóch układów metalowych blaszek rozdzielonych szczeliną powietrzną. Układy te mogą się przesuwać względem siebie. Wsuwając jedne blaszki między drugie zmieniamy efektywną powierzchnię oraz odległość między elektrodami a i w efekcie możemy płynnie regulować pojemność takiego kondensatora. Kondensator płaski Idealny kondensator płaski składa się z dwóch nieskończenie dużych płyt (tzw. okładek), o powierzchni S ustawionych równolegle do siebie w odległości d, które ładujemy ładunkiem Q, tzn. na jednej z płyt gromadzimy ładunek „+Q”, a na drugiej „-Q”. Natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez taki płaski kondensator możemy obliczyć korzystając z prawa Gaussa. Jeśli obejmiemy obie okładki kondensatora zamkniętą walcową powierzchnią Gaussa (podobnie jak w przykładzie Strona 175 ROZDZIAŁ 10 z naładowaną płaszczyzną, rysunek 10.5) zauważamy, że całkowity ładunek objęty przez tę powierzchnię Gaussa wynosi zero, a więc na zewnątrz kondensatora natężenie pola elektrycznego również wynosi zero. W rzeczywistości kondensator płaski nie jest nieskończenie wielki i dlatego również na zewnątrz kondensatora przy obrzeżach okładek istnieje pewne małe pole elektryczne ale jego wartość jest wielokrotnie mniejsza od natężenia wewnątrz i w obliczeniach możemy je zaniedbać. W praktyce jeżeli odległość d między okładkami jest znacznie mniejsza od rozmiarów liniowych okładek (d<<a, d<<b, S=ab) to z dobrym przybliżeniem taki kondensator można traktować jako nieskończony. Natężenie pola elektrycznego między okładkami będzie sumą natężeń pochodzących od każdej z nieskończenie wielkich okładek naładowanych ładunkiem Q. Korzystając z wyznaczonej zależności 10.31 oraz uwzględniając gęstość powierzchniową ładunku σ = Q/S otrzymujemy natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora: E = σ σ σ Q + = = 2ε 0 2ε 0 ε 0 ε 0 S (10.39) Następnie wstawiając powyższe natężenie pola elektrycznego do zależności 10.20 obliczymy różnicę potencjałów między okładkami: d Q ∆V = ∫ E d x = ε0 S 0 d ∫ dx 0 = Qd ε0 S (10.40) Pojemność C kondensatora płaskiego o powierzchni okładek S oraz odległości między okładkami d wynosić więc będzie: C = ε0 S d (10.41) Pojemność kondensatora płaskiego jest tym większa, im większa jest jego powierzchnia okładek S oraz im mniejsza jest odległość d między nimi. W tak zwanych super-kondensatorach, wykorzystywanych w napędzie pojazdów hybrydowych i elektrycznych, odległość pomiędzy obszarami naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym jest bardzo mała – rzędu promienia jonów, które są nośnikami ładunku. Pozwala to na uzyskiwanie bardzo wysokich wartości pojemności elektrycznej, co jest niezbędne do zmagazynowania energii odzyskiwanej w trakcie hamowania pojazdu. Strona 176 ELEKTROSTATYKA Łączenie kondensatorów Kondensator możemy naładować jedynie do określonego napięcia pomiędzy okładkami, nazywanego napięciem przebicia. Dla wyższych wartości napięcia następuje lawinowy przepływ ładunku pomiędzy okładkami, który może prowadzić do uszkodzenia kondensatora. Zwiększenie napięcia przebicia możemy uzyskać, łącząc kondensatory szeregowo – układ taki nazywamy również dzielnikiem napięcia. Chcąc zwiększyć pojemność układu, kondensatory łączymy równolegle – przy identycznej wartości napięcia możemy zgromadzić w takim układzie większy ładunek, niż na pojedynczym kondensatorze. Połączenie szeregowe Jeżeli połączymy dwa kondensatory szeregowo to na okładkach obu kondensatorów zgromadzony będzie ten sam ładunek Q, przy czym okładka naładowana znakiem „+” jednego kondensatora jest połączona z okładką naładowaną znakiem „-” drugiego z nich. Całkowita różnica potencjałów występująca pomiędzy zaciskami układu jest sumą napięć na obu kondensatorach. Pojemność kondensatora zastępczego (kondensatora, dla którego przy danym ładunku na zaciskach wytworzyłaby się identyczna różnica potencjałów jak na zaciskach całego układu) dla szeregowego połączenia kondensatorów wyraża się wzorem: 1 1 =∑ CZ i Ci (10.42) Jeśli połączymy ze sobą szeregowo dwa kondensatory o pojemności C=2mF każdy, to pojemność zastępcza układu obliczona ze wzoru 10.38 wyniesie CZ=1mF – jest zatem mniejsza niż pojemność każdego z kondensatorów. Połączenie równoległe Łącząc kondensatory równolegle, ustalamy identyczną wartość różnicy potencjałów między okładkami. Ponieważ na każdym z kondensatorów możemy przy danym napięciu zgromadzić inny ładunek, całkowity ładunek zgromadzony w takim połączeniu będzie sumą ładunków na okładkach każdego z kondensatorów. Pojemność zastępcza układu równolegle połączonych kondensatorów jest sumą pojemności tych kondensatorów: Strona 177 ROZDZIAŁ 10 C Z = ∑C i (10.43) i Równoległe połączenie kondensatorów można wyobrazić sobie również jako zwiększenie powierzchni okładek pojedynczego kondensatora – zatem przy identycznym napięciu można na nim zgromadzić więcej ładunku. Energia naładowanego kondensatora Definiując różnicę potencjałów (napięcie) we wcześniejszej części tego rozdziału powiedzieliśmy, że różnica potencjałów ∆V wyraża pracę W jaką należy wykonać, żeby przemieścić ładunek Q w polu elektrycznym: W = ∆V =U Q (10.44) W procesie ładowania kondensatora różnica potencjałów między okładkami zmienia wraz z wartością zgromadzonego ładunku. Dlatego obliczając całkowitą pracę naładowania kondensatora WC o pojemności C ładunkiem Q musimy zastosować procedurę całkowania: Q Q W C = ∫U dq = 0 2 EC q 1 ∫0 C dq = C Q CU = = 2C 2 2 Q ∫ q dq = 0 Q2 2C (10.45) QU = 2 Energia takiego naładowanego kondensatora EC, czyli energia zgromadzona w postaci pola elektrycznego wytworzonego między okładkami tego kondensatora jest równa pracy WC naładowania tego kondensatora. Możemy również obliczyć gęstość energii na jednostkę objętości: ρ = W el CU = V 2 2 ε S E 2d 2 ε0 E 1 = 0 = Sd 2 2d 2 S 2 (10.46) Gęstość energii pola elektrycznego dla kondensatora płaskiego zależy od kwadratu natężenia pola elektrycznego wytworzonego między jego okładkami. Można wykazać, że taką samą zależność gęstości energii od kwadratu natężenia pola elektrycznego otrzymamy nie tylko dla konden- Strona 178 ELEKTROSTATYKA satora płaskiego i że jest to zależność prawdziwa dla dowolnego rozkładu pola elektrycznego. 10.7. Dielektryki Jeśli okładki kondensatora płaskiego naładujemy ładunkiem Q, ustali się między nimi różnica potencjałów ∆V ≡ U = Q C . Jeśli pomiędzy okładki wsuniemy płaską, ściśle przylegającą do nich płytkę z nieprzewodzącego materiału (dielektryka), zauważymy że różnica potencjałów zmniejszy się mimo, że ładunek pozostał identyczny, a więc po włożeniu płytki pojemność kondensatora wzrosła. Polaryzacja dielektryczna Wyjaśnienie obserwowanego efektu wiąże się z właściwościami elektrycznymi materiału, jaki umieszczamy między okładkami. Dielektryki są materiałami nieprzewodzącymi, czyli, w przeciwieństwie do metali, ładunek nie może się swobodnie przemieszczać w całej objętości. Może natomiast dochodzić do zjawisk polaryzacji – rozsunięcia się ładunków dodatnich i ujemnych i wytworzenia dipoli elektrycznych, gdyż na ładunki dodatnie działa siła zgodna a na ujemne przeciwnie skierowana niż pole elektryczne. W efekcie dipole takie, ułożone są zgodnie z kierunkiem pola elektrycznego, w którym się znajdują i wytwarzają własne pole elektryczne – jego kierunek jest przeciwny do kierunku zewnętrznego pola elektrycznego. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora po włożeniu dielektryka będzie więc mniejsze niż dla kondensatora próżniowego. Ponieważ różnica potencjałów, czyli napięcie między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do natężenia pola wewnątrz kondensatora w takim przypadku otrzymujemy mniejsze napięcie na kondensatorze i w efekcie większą pojemność przy ładowaniu kondensatora tym samym ładunkiem. Efekty polaryzacyjne opisane powyżej jakim podlegają ładunki w dielektryku są jego charakterystyczną cechą materiałową. Względna przenikalność elektryczna ε określa, ile razy w porównaniu z próżnią zmniejszy się natężenie pola elektrycznego w dielektryku. Dla próżni wartość względnej przenikalności dielektrycznej równa jest jedności, ε=1. Jeśli Strona 179 ROZDZIAŁ 10 między okładkami kondensatora umieścimy płytkę z dielektryka o względnej przenikalności równej ε, to jego pojemność wzrośnie ε razy. Efektywną wartość pola elektrycznego w dielektryku opisuje wektor r r D = ε ε E indukcji pola elektrycznego . Efekty polaryzacyjne zacho0 r dzącego w dielektryku na skutek zewnętrznego pola elektrycznego E r r opisuje wektor polaryzacji P . Indukcja pola elektrycznego D , czyli wypadkowe pole elektryczne jest złożeniem wpływu pola zewnętrznego r r E oraz polaryzacji P , co zapisujemy: r r r r D = ε0 ε E = ε0 E + P (10.47) Z powyższej zależności wynika, że polaryzacja P jest zależna od zewnętrznego pola elektrycznego E a współczynnik proporcjonalności nazywamy podatnością elektryczną χ. r r r r P = ( ε 0 ε − ε 0 ) E = ε 0 (ε − 1) E = ε 0 χ E (10.48) Uwzględniając właściwości dielektryczne materii prawo Gaussa w uogólnionej postaci dla dielektryków możemy przedstawić w postaci: r r D ∫ ⋅d S = q (10.49) Możemy w tym miejscu wprowadzić rozróżnienie pomiędzy ładunkiem swobodnym q (ładunkiem który może swobodnie się przemieszczać) a ładunkiem związanym qpol – powstającym w wyniku polaryzacji na powierzchni dielektryka. Dzieląc obie strony równania 10.45 przez powierzchnię możemy powiązać wektor indukcji D z powierzchniową gęstością ładunku swobodnego q zgromadzonego na okładkach kondensatora wypełnionego dielektrykiem: D = σ . Analogicznie, wartość wektora polaryzacji P jest miarą gęstości ładunku związanego P = σ pol . Dipol elektryczny charakteryzuje elektryczny moment dipolowy p. Jest to wielkość wektorowa, wyrażona przez iloczyn ładunku dipola q r i wektora odległości l od ładunku ujemnego do dodatniego: r r p =q l (10.50) Na dipol znajdujący się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E działać będzie moment sił obracający dipol tak aby ustawił się zgodnie Strona 180 ELEKTROSTATYKA z kierunkiem zewnętrznego pola elektrycznego. Moment ten wyrażamy przez iloczyn wektorowy momentu dipolowego i wektora natężenia pola elektrycznego: r r r M = p ×E (10.51) Rysunek 10.6. Moment sił działających na dipol w zewnętrznym polu elektrycznym Podobnie jak wartość wektora polaryzacji P zależy od natężenia pola elektrycznego E, w którym znajduje się dielektryk, również elektryczny moment dipolowy charakteryzujący pojedynczy dipol jest wprost proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego E: r r p = αE (10.52) Współczynnik α w powyższym wzorze jest nazywany polaryzowalnością dipola. Dipol elektryczny również jest źródłem pola elektrycznego. W materiałach dielektrycznych takie pole pochodzące od sąsiadujących dipoli tzw. pole lokalne jest silniejsze niż pole zewnętrzne. Całkowite lokalne natężenie pola jakiemu podlegać będzie dielektryk uwzględniać więc musi zarówno zewnętrzne pole E jak i pole pochodzące od otoczenia danego atomu: r r r P EL =E + 3ε 0 (10.53) Strona 181 ROZDZIAŁ 10 Ponieważ wektor polaryzacji jest sumą momentów dipolowych pochodzących od wszystkich N dipoli znajdujących się w jednostce objętości materiału, polaryzację całkowitą możemy zapisać: r r r P = N p = N αE L (10.54) Przekształcając powyższą zależność otrzymujemy prawo Clausiusa – Mosottiego, które określa związek między polaryzowalnością α a względną przenikalnością elektryczną ośrodka ε: ε −1 N α = ε + 2 3ε 0 (10.55) Wymnażając obie strony przez objętość molową dielektryka Vm oraz uwzględniając V m = µ ρ otrzymujemy zależność polaryzowalnością α (wielkością mikroskopową) a parametrami mierzalnymi makroskopowymi takimi jak gęstość materiału ρ, czy masa molowa µ: ε −1 1 N A α = ε + 2 ρ 3ε 0 µ (10.56), gdzie NA oznacza stałą Avogadra. Rodzaje dielektryków Dielektryki możemy podzielić na dwie zasadnicze grupy: 1. dielektryki polarne, w których istnieją stałe dipole elektryczne 2. dielektryki niepolarne (indukowane), w których dipole powstają jedynie przy włączonym zewnętrznym polu elektrycznym Przykładem dielektryka polarnego jest woda. Cząsteczki wody zbudowane są tak, że na atomach wodoru występuje niedobór elektronów a na atomach tlenu nadmiar elektronów. Ponieważ oba atomy wodoru geometrycznie znajdują się po tej samej stronie atomu tlenu ładunek dodatni związany z atomami wodoru nie pokrywa się z ładunkiem ujemnym związanym z atomami tlenu tworząc trwały dipol elektryczny. W dielektrykach niepolarnych polaryzacja zachodzi pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. Powoduje ono przemieszczenie się ładunków różnoimiennych względem siebie pod wpływem zewnętrznego pola Strona 182 ELEKTROSTATYKA elektrycznego, na skutek czego indukują się dipole elektryczne. Można wyróżnić trzy typy takiej polaryzacji: • polaryzacja elektronowa: dipol elektryczny powstaje w wyniku zniekształcenia chmury elektronowej wokół jądra – na elektrony znajdujące się na orbicie wokół jądra oddziałuje zewnętrzne pole siłą o przeciwnym zwrocie niż na dodatnie jądro atomowe • polaryzacja jonowa: występuje w substancjach o wiązaniu jonowym (np. NaCl), które zbudowane są z dwu rodzajów jonów. Dochodzi do wzajemnego przesunięcia podsieci kationowej (Na+) i anionowej (Cl ). • polaryzacja ładunkiem przestrzennym: nośniki ładunku –naładowane elektrycznie atomy (jony) gromadzą się na niejednorodnościach ośrodka, np. na granicach obszarów o różnej wartości przenikalności dielektrycznej. Ferroelektryki Ferroelektryki są ciekawą grupą materiałów, w których lokalne oddziaływania między dipolami są na tyle silne, że tworzą uporządkowane struktury. Oddziaływania sąsiadów danego dipola ustawiają dipol zgodnie z tymi sąsiadami. Ustawienie przeciwne jest niekorzystne energetycznie. Dochodzi w efekcie do powstanie dużych obszarów, w których wszystkie dipole są ustawione w jednakowym kierunku zwanych domenami. Dipole znajdujące się wewnątrz domen osiągają minimum energii. Przykładem ferroelektryka jest tytanian baru BaTiO3. Można by sądzić, że najkorzystniejszym ustawieniem dipoli będzie wobec tego jedna wielka domena obejmująca całą objętość ferroelektryka. Taka domena wytwarzałaby jednak silne pole elektryczne na zewnątrz materiału, co również byłoby niekorzystne energetycznie. W praktyce dochodzi do podziału materiału na wiele domen o różnych kierunkach zorientowania dipoli. W strefie dzielącej domeny zwrot dipoli ulega stopniowej zmianie od jednej orientacji do drugiej – obszar taki nazywamy ścianką domenową. Załóżmy, że ferroelektryk znajduje się w stanie, w którym elektryczne momenty dipolowe domen ułożone są w przypadkowy sposób. Jeśli taki fragment ferroelektryka umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym, pole to będzie oddziaływało na dipole powodując ich obracanie. Prowadzi to do uporządkowania struktury domenowej. Porządkowanie domen powoduje szybki wzrost wartości polaryzacji elektrycznej P w funkcji Strona 183 ROZDZIAŁ 10 natężenia pola zewnętrznego E. Dla ferroelektryków względna przenikalność dielektryczna osiąga wartości rzędu tysięcy. Wykres polaryzacji elektrycznej w funkcji natężenia pola elektrycznego (rysunek 10.6), nazywany również pierwotną krzywą polaryzacji nie jest jednak liniowy – jeśli wszystkie dipole ustawią się zgodnie z liniami sił pola, dalszy wzrost wartości natężenia pola zewnętrznego nie zmieni już ich uporządkowania. Dalszy wzrost natężenia prowadzi jedynie do wzrostu wartości wektora indukcji, a wektor polaryzacji pozostaje już stały. Stan, w którym wszystkie dipole są ustawione równolegle do linii pola zewnętrznego nazywamy stanem nasycenia. Rysunek 10.7. Wykres zależności polaryzacji od natężenia zewnętrznego pola dla ferroelektryka Przy zmniejszaniu natężenia wykres polaryzacji nie przebiega wzdłuż krzywej polaryzacji pierwotnej. Uprzednio spolaryzowany ferroelektryk zachowuje częściowo polaryzację nawet po wyłączeniu pola zewnętrznego, co określamy jako remanencję (jest to punkt przecięcia krzywej z osią pionową). Aby zmniejszyć polaryzację materiału do zera, należy przyłożyć pole zewnętrzne skierowane przeciwnie do pola, którym spolaryzowano ferroelektryk. Wartość natężenia pola niezbędną do depolaryzacji materiału nazywamy polem koercji. Na wykresie polaryzacji wartość ta odpowiada przecięciu z osią poziomą. Jeśli wartość natężenie pola elektrycznego będzie większa niż wartość pola koercji, materiał spolaryzuje się w przeciwnym kierunku. Nastąpi ponowne utworzenie struktury domenowej z dipolami o przeciwnym zwrocie. Strona 184 ELEKTROSTATYKA W wyniku cyklicznych zmian kierunku pola zewnętrznego otrzymujemy wykres pewnej krzywej zamkniętej zwanej pętlą histerezy. Pole takiej pętli histerezy odpowiada energii, którą należy zużyć na spolaryzowanie ferroelektryka w jednym cyklu. W zależności od właściwości ferroelektryka i maksymalnych wartości przyłożonego pola zewnętrznego pętla histerezy może przybierać różny kształt. Materiały o wąskiej pętli histerezy łatwo jest spolaryzować. Materiały takie mogą być stosowane w pamięciach ferroelektrycznych (FRAM). Pamięci tego typu są znacząco szybsze niż ich odpowiedniki typu EEPROM, zużywają również znacząco mniej energii elektrycznej. Pamięci tego typu są stosowane m.in. w konsolach do gier. Polaryzacja materiałów o szerokiej pętli histerezy wymaga dużych wartości natężenia pola. Zapisanie informacji wymaga dłuższego czasu i zużycia większej ilości energii. Informacja jest jednak zapisana w bardziej trwały sposób. Pamięci tego typu są stosowane np. w technice wojskowej, a często również motoryzacyjnej. Właściwości ferroelektryczne zależą w znaczący sposób od temperatury, w której znajduje się materiał. Rozszerzanie się ciał powoduje, że odległości między dipolami zwiększają się. Ponieważ pole elektryczne wytwarzane przez dipol zależy od odległości w potędze 3, nawet niewielka jej zmiana ma duży wpływ na siły wzajemnego oddziaływania dipoli. Drgania termiczne prowadzą również do zmiany ustawienia poszczególnych dipoli, zmniejszając zatem uporządkowanie wewnątrz domeny. Z tego względu powyżej pewnej temperatury, zwanej temperaturą Curie Tc następuje stopniowy zanik uporządkowania, a materiał z ferroelektryka przechodzi w paraelektryk. Powyżej temperatury Curie zależność temperaturowa podatności elektrycznej χ ferroelektryków wyrażona jest przez prawo Curie – Weissa: χ = CC T − TC (10.57) W prawie Curie-Weissa stała Curie CC jest charakterystyczną cechą danego ferroelektryka. Piezoelektryki W pewnej grupie materiałów, określanych jako piezoelektryki, obserwuje się zjawisko powstawania ładunku elektrycznego na ich powierzchni pod wpływem siły przyłożonej wzdłuż określonego kierunku krystalograficznego. Oprócz takiego tzw. efektu piezoelektrycznego prostego obserwuje się również zjawisko odwrotne, w którym pod wpływem przyłożonego napięcia kryształ zmienia swoje wymiary. Strona 185 ROZDZIAŁ 10 Wszystkie ferroelektryki są również piezoelektrykami- ale nie wszystkie piezoelektryki są ferroelektrykami. Zjawisko piezoelektryczne może również występować w materiałach, w których strukturze krystalicznej występują naprzemiennie atomy obdarzone ładunkiem dodatnim (kationy) i ujemnym (aniony). Taki kryształ nie poddany działaniu ciśnienia jest obojętny elektrycznie zarówno w skali makroskopowej jak i lokalnie a jony znajdują się w położeniach równowagi, określonych przez kształt pola sił ich wzajemnych oddziaływań. Kiedy do powierzchni kryształu przyłożymy ciśnienie, wzajemne położenie ładunków zmienia się, powstają dipole elektryczne, które wytwarzają pole elektryczne tak, że na przeciwległych powierzchniach kryształu wyznaczonych przez kierunek ściskania indukują się ładunki. Ładunek ten jest wprost proporcjonalny do wytworzonego ciśnienia. W zjawisku piezoelektrycznym odwrotnym przyłożone napięcie wytwarza pole elektryczne, które wywołuje rozsunięcie ładunków dodatnich i ujemnych a więc kationów i anionów w strukturze tego kryształu powodując zmianę długości tego materiału w tym kierunku. Typowym piezoelektrykiem jest kwarc, czyli tlenek krzemu, tytanian ołowiu, wspomniany już przy okazji ferroelektryczności tytanian baru czy niektóre tworzywa sztuczne (polimery). Piezoelektryki są stosowane wszędzie tam, gdzie zachodzi potrzeba przetworzenia sygnału elektrycznego na mechaniczny. Zakres wydłużenia piezoelektryka jest niewielki, ale można nim bardzo precyzyjnie sterować. Piezoelektryki można zatem wykorzystywać w układach dokładnego pozycjonowania lub przetwornikach drgań. Czujniki piezoelektryczne można stosować w pomiarach dynamicznych naprężeń i odkształceń. Zaletą piezoelektryków jest duża szybkość reakcji piezoelektryka na sygnał elektryczny. Elementy piezoelektryczne wykorzystywane są w głowicach ultradźwiękowych i defektoskopach, echosondach, oraz aparatach USG. W motoryzacji zawory piezoelektryczne stosuje się w układach wtrysku paliwa. Strona 186 11 Prąd elektryczny W tym rozdziale: o o o o o Natężenie prądu elektrycznego Prawo Ohma, mikroskopowe prawo Ohma Oporniki, łączenie oporników Praca i moc prądu elektrycznego Obwody elektryczne, prawa Kirchhoffa ROZDZIAŁ 11 11.1. Natężenie prądu elektrycznego Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem ładunków elektrycznych. Może być wywołany i obserwowany w tych materiałach, w których istnieją swobodne cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym tzw. nośniki ładunku. W metalach nośnikami są swobodne elektrony walencyjne tworzące tzw. gaz elektronów swobodnych. W półprzewodnikach takimi nośnikami ładunku są zarówno elektrony jak i dziury (posiadające ładunek dodatni). W materiałach ciekłych, roztworach kwasów, zasad lub soli nazywanych elektrolitami, a także niektórych materiałach stałych („przewodniki superjonowe”) ruchliwymi nośnikami ładunku są jony, zarówno dodatnie jak i ujemne. Przyłożenie do takiego przewodnika napięcia (różnicy potencjałów) powoduje powstanie pola elektrycznego, które będzie oddziaływać na nośniki ładunku wywołując ich uporządkowany ruch nazywamy prądem elektrycznym. Należy zaznaczyć, że w przypadku elektronów ten uporządkowany ruch jest nałożony na o wiele szybszy chaotyczny ruch cieplny nośników. Prędkość termiczna elektronów pomiędzy zderzeniami jest bardzo duża rzędu 106m/s. Przemieszczenie elektronów pod wpływem przyłożonego pola, czyli tak zwana prędkość dryfu jest natomiast niewielka i wynosi około vd~10-4m/s. Ilościowo prąd charakteryzujemy za pomocą natężenia prądu. Natężenie prądu I jest to ilość ładunku Q przepływającego przez dowolny przekrój przewodnika w ciągu jednostki czasu t. Dla prądu stałego natężenie prądu I jest wyrażone stosunkiem ładunku, który przepłynął do czasu przepływu. I = Q t (11.1) Jednostką natężenia prądu jest jeden amper 1A=1C/s. Dla prądu zmiennego chwilowa wartość natężenia prądu definiowana jest jako pochodna ładunku po czasie: Strona 188 PRĄD ELEKTRYCZNY I (t ) = d Q (t dt ) (11.2) Kierunek przepływu prądu jest zgodny z kierunkiem ruchu ładunku dodatniego. Zatem w przypadku przepływu elektronów i jonów ujemnych umowny kierunek prądu jest odwrotny niż kierunek poruszania się tych nośników ładunku. Istnieją przypadki gdy prąd nie jest równomiernie rozłożony na przekroju przewodnika. Wtedy możemy wprowadzić wektor gęstości prądu r j taki, że r r r r d I = j ⋅ dS = j dS cos( j , dS ) (11.3) r Wektor gęstości prądu j jest w tym przypadku funkcją współrzędnych a dS jest elementem powierzchni przekroju przewodnika. W szczególnym przypadku równomiernego rozkładu gęstości prądu r j = I I = S cos α S ⊥ (11.4) gdzie α oznacza kąt pomiędzy kierunkiem przepływu prądu a wybraną płaszczyzną, zaś S ⊥ - polem powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu prądu. 11.2. Prawo Ohma Stwierdziliśmy, że przyczyną powstania prądu w przewodniku jest przyłożenie napięcia do końców przewodnika. Jak pokazują doświadczenia dla dużej grupy przewodników (metale, stopy metali, związki intermetaliczne, jednorodne półprzewodniki) natężenie prądu jest wprost proporcjonalne do napięcia, co określamy jako prawo Ohma. Stosunek napięcia na końcach przewodnika do natężenia prądu wywołanego tym napięciem jest wielkością stałą i charakterystyczną dla danego przewodnika. Wielkość ta zależy zarówno od kształtu przewodnika jak i materiału, z którego jest wykonany i nazywana jest oporem elektrycznym lub rezystancją: Strona 189 ROZDZIAŁ 11 U = R = const . I (11.5) Jednostką oporu elektrycznego jest om (Ohm) 1Ω=1V/A i jest rezystancją takiego przewodnika dla którego napięcie 1V przyłożone do jego końców wywołuje powstanie prądu o natężeniu 1A. Rezystancja R zależy od kształtu przewodnika: jest wprost proporcjonalna do jego długości l i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju S: R =ρ l S (11.6) Współczynnik proporcjonalności zapisany grecką literą ρ („ro”) oznacza oporność właściwą, która jest cechą charakterystyczną materiału z którego zbudowany jest przewodnik. Odwrotność rezystancji nazywamy przewodnością elektryczną i oznaczamy symbolem σ („sigma”) σ = 1 ρ . Wartości oporności właściwej dla metali sięga od 10-5 do 10-7Ωm oraz powyżej 1015Ωm dla izolatorów. Półprzewodniki charakteryzują się pośrednimi wartościami oporności właściwej. Opór elektryczny i oporność właściwa metali w dość szerokim zakresie temperatur wzrasta liniowo z temperaturą: R = R 0 (1 + α t ) (11.7), gdzie α jest temperaturowym współczynnikiem oporu, zaś t jest temperaturą wyrażoną w skali Celsjusza. Powyższa zależność opisuje własność metali na tyle precyzyjnie, że stała się ona podstawą budowy czujników termometrycznych. Przykładem są platynowe czujniki temperatury typu Pt100 i Pt1000, stosowane również w motoryzacji. Mierząc prąd płynący przez czujnik jesteśmy w stanie z dużą dokładnością określić jego temperaturę. Mikroskopowe prawo Ohma Jak dotąd sformułowaliśmy prawo Ohma dotyczące makroskopowego przewodnika, w którym płynie prąd. Połączmy prawo Ohma (równanie 11.5) z zależnością oporu elektrycznego od kształtu przewodnika (równanie 11.6) i przekształćmy odpowiednio: Strona 190 PRĄD ELEKTRYCZNY I U =σ S l (11.8) co następnie możemy zapisać wektorowo jako tzw. mikroskopowe prawo Ohma, które jest równaniem dotyczącym dowolnie wybranego punktu ośrodka przewodzącego: r r j =σE (11.9) Jeśli w wybranym punkcie ośrodka przewodzącego natężenie pola elektrycznego ma wartość E to w otoczeniu tego punktu wektor gęstości prądu ma wartość wprost proporcjonalną do wektora natężenia pola ze współczynnikiem proporcjonalności równym przewodności elektrycznej materiału. Rozważmy teraz mikroskopowy sens wektora gęstości prądu wynikający z uproszczonej definicji tego pojęcia (podobnie definiuje się w fizyce strumień ciepła czy masy): j = ∆I ∆Q = ∆S ∆t ∆S (11.10) Wektor gęstości prądu oznacza strumień ładunku elektrycznego, tzn. ilość ładunku ∆Q, która przechodzi przez jednostkę powierzchni prostopadłej ∆S na jednostkę czasu ∆t. Jeżeli w jednostce objętości materiału przewodnika metalicznego znajduje się n swobodnych elektronów, to koncentracja elektronów (ogólnie nośników ładunku) wynosi n. Jeśli wszystkie nośniki poruszają się ruchem uporządkowanym z prędkością unoszenia (prędkością dryfu) vd wzdłuż kierunku wyznaczonego przez pole elektryczne, to strumień nośników ładunku jest równy nvd a odpowiadający mu strumień ładunku elektrycznego przenoszonego przez elektrony (-e) wynosi: j = − ne v d (11.11) W ogólnym przypadku nośników o ładunku q strumień ładunku elektrycznego i gęstość prądu wynosi: j = nq v d (11.12) Jeżeli porównamy powyższy wzór 11.12 z mikroskopowym prawem Ohma ( j = σ E ) okazuje się, że któraś z wielkości n, q lub vd musi być proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E. Ponieważ ani Strona 191 ROZDZIAŁ 11 koncentracja nośników n ani ładunek nośnika q nie jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E, więc to prędkość vd unoszenia (dryfu) wywoływana przez pole elektryczne jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E: vd = µ E (11.13), gdzie współczynnik proporcjonalności µ nazywany jest ruchliwością nośników, która jest cechą charakterystyczną materiału przewodnika. Wstawiając równanie 11.13 do 11.12 otrzymujemy: j = nq µ E (11.14) a porównując powyższą zależność z mikroskopowym prawem Ohma (wzór 11.9) otrzymujemy, że przewodność materiału σ zależy od koncentracji nośników n ich ładunku q oraz ruchliwości µ: σ = nq µ (11.15) Model klasyczny Drudego-Lorentza przewodnictwa elektrycznego metali Podstawowym modelem przewodnictwa elektrycznego w metalach jest tzw. model klasyczny Drudego-Lorentza. Model ten traktuje elektrony jako cząsteczki gazu idealnego. Ruch elektronów może być zobrazowany mechanicznym modelem kulki staczającej się po pochylonej tablicy z równomiernie przymocowanymi kołkami. Kulka staczając się po równi zderza się z kołkami i przy każdym takim zderzeniu zmienia się zarówno kierunek jak i wartości jej pędu. Jeśli policzylibyśmy średnią prędkość tej kulki wzdłuż krawędzi tablicy, to okazałoby się że jest ona stała (zderzenia kompensują stałą siłę grawitacji) i wielokrotnie niższa niż prędkości jakie posiada kulka pomiędzy zderzeniami. Podobnie elektrony swobodne w metalu tworzące tzw. gaz elektronowy zderzają się z dodatnimi rdzeniami atomowymi tracąc część energii jaką otrzymały w polu elektrycznym, zmieniając za każdym razem zarówno wartość jak i kierunek pędu. W efekcie prędkość dryfu jest stała i wielokrotnie mniejsza niż chwilowe prędkości między zderzeniami. Średnia wartość tej prędkości może być wyznaczona jako ½ prędkości uzyskanej w wyniku przyspieszania elektronów przez zewnętrzne pole elektryczne ( a = F m = eE m ) w czasie τ : Strona 192 PRĄD ELEKTRYCZNY vd = a τ 2 = e τ E 2 m (11.16), gdzie τ jest średnim czasem między zderzeniami i zależy od średniej drogi swobodnej λ oraz średniej prędkości termicznej v T elektronów ( τ = λ / v T ). Ruchliwość elektronów równa stosunkowi prędkości dryfu do natężenia pola elektrycznego wywołującego unoszenie w modelu Drudego-Lorentza można więc zapisać: µ= vd eλ = E 2 m vT (11.17) Ponieważ prędkość termiczna elektronów jest proporcjonalna do pierwiastka z temperatury, więc przewodność (zależność 11.15) w modelu Drudego-Lorentza jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka z temperatury σ ∝ 1 T , podczas gdy z wyników eksperymentów wynika σ ∝ 1 T . Model zjawiska oporu elektrycznego odtwarzający prawidłowo zależność temperaturową przewodności udało się stworzyć dopiero posługując się regułami mechaniki kwantowej. W kwantowym modelu Blocha rozważa się rozpraszanie elektronów na niedoskonałościach sieci krystalicznej np. na atomach domieszki lub defektach struktury. Drugim ważnym czynnikiem wpływającym na ruch elektronów są drgania termiczne sieci krystalicznej. Rozpraszanie elektronów na drganiach sieci zależy od temperatury – im wyższa jest temperatura, tym większa jest amplituda drgań atomów i tym większy opór elektryczny. Oporniki. Łączenie oporów Elementy oporowe (oporniki) o znanej wartości oporu elektrycznego w obwodach elektrycznych oznaczamy za pomocą dwóch rodzajów symboli – linią łamaną (standard amerykański) lub prostokątem (standard europejski). Łącząc oporniki szeregowo zwiększamy całkowity opór gałęzi obwodu. Jest to zrozumiałe, biorąc pod uwagę że połączenie takie odpowiada zwiększeniu całkowitej długości przewodnika, przez który przepływają ładunki elektryczne. W przypadku szeregowego połączenia oporników opór całkowity gałęzi jest sumą wartości oporów: RC = ∑ R i i (11.18) Strona 193 ROZDZIAŁ 11 Powyższa zależność wynika z faktu, że całkowity spadek napięcia (różnica potencjałów) jest sumą spadków napięć na poszczególnych opornikach. Ponieważ przez każdy z szeregowo połączonych oporników płynie ten sam prąd wiec zgodnie z prawem Ohma w efekcie całkowity opór jest sumą oporów poszczególnych oporników. Przy równoległym połączeniu oporników całkowity opór obwodu maleje – odpowiada to zwiększeniu przekroju, przez który mogą przepływać nośniki ładunku. Jeśli dwa oporniki o identycznym oporze połączymy równolegle, całkowity opór gałęzi wyniesie ½ oporu pojedynczego opornika. W ogólnym przypadku opór całkowity RC układu równoległych oporników wyznaczamy z zależności: 1 1 =∑ RC i Ri (11.19) Wyprowadzając tę zależność również zauważyć, że spadek napięcia na każdym z równolegle połączonych oporników jest taki sam (łączą punkty o określonej różnicy potencjałów). Różny jest natomiast prąd płynący przez każdy z oporników ale suma tych prądów musi być równa całkowitemu prądowi dopływającemu do układu. Ponownie po zastosowaniu prawa Ohma otrzymujemy opór zastępczy taki jak we wzorze 11.19. Przy obliczaniu oporu bardziej złożonych obwodów pomocne jest odpowiednie grupowanie elementów, tak by można było skorzystać z powyższych wzorów dla równoległego i szeregowego połączenia oporników. Rysunek 11.1. Układy oporników o topologii „trójkąta” i „gwiazdy Nieco bardziej złożonym zagadnieniem jest obliczanie oporu obwodów o topologii „trójkąta”. Istnieją jednak wzory pozwalające na przedstawienie ich w postaci układu o topologii gwiazdy – o kształcie litery „Y” (Rysunek 11.1) Strona 194 PRĄD ELEKTRYCZNY Aby obwody w przedstawionych powyżej topologiach miały identyczne właściwości elektryczne, przy danej różnicy potencjałów natężenie prądów przepływających pomiędzy węzłami 1, 2 i 3 musi być takie samo. Dla węzłów 1 i 2 w topologii „trójkąta” prąd płynie przez opornik RA, połączony równolegle z oporem (RC+RB). Dla topologii gwiazdy prąd płynie przez oporniki R1 i R2 połączone szeregowo. Zapisując układ równań dla każdej pary węzłów, otrzymujemy trzy równania, pozwalające otrzymać zależności pomiędzy wartościami oporów w dwóch topologiach: R1 = RA = R A RC R B RC ; R2 = ; R3 = R A + R B + RC R A + R B + RC R A + R B + RC RA RB R1 R 2 R3 + R 2 + R1 ; R B = R 3 R1 R2 + R1 + R 3 ; RC = R 2 R3 R1 (11.20) + R 2 + R3 (11.21) 11.3. Praca i moc prądu elektrycznego Na skutek przepływu prądu elektrycznego w elementach oporowych wydziela się ciepło, które jest wynikiem rozpraszania części energii elektronów na sieci krystalicznej metalu. Efekt ten stanowi podstawę działania żarówek i elektrycznych elementów grzejnych. Zgodnie z definicją wprowadzoną w elektrostatyce wiemy, że praca przeniesienia ładunku q przy różnicy potencjałów U jest równa: W el = Uq = UIt (11.22) Ponieważ natężenie prądu elektrycznego jest wyrażone stosunkiem ładunku, który przepłynął do czasu przepływu, możemy wyrazić ładunek q poprzez iloczyn natężenia prądu I i czasu jego przepływu t, zaś napięcie U zgodnie z prawem Ohma powiązać z wartością płynącego prądu przez element o oporze R. W efekcie otrzymujemy, że praca prądu jest równa energii ER jaka wydziela się na oporniku o oporze R, przez który płynie prąd elektryczny o natężeniu I. Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy prawo nazywane jest prawem Joule’a: W el = I 2 R t (11.23) Strona 195 ROZDZIAŁ 11 Energia jaka wydziela się na oporniku, nazywana ciepłem Joule’a, jest proporcjonalna do wartości oporu R oraz kwadratu natężenia prądu elektrycznego I płynącego przez ten opornik. Ponieważ moc jest stosunkiem wykonanej pracy do czasu, w jakim ta praca została wykonana w przypadku mocy wydzielanej na elemencie obwodu elektrycznego otrzymujemy: P =U I = I 2 R = U2 R (11.24), gdzie U oznacza napięcie na zaciskach danego elementu (odbiornika), a I – natężenie prądu przepływającego przez element o oporze R. W przypadku przesyłania energii elektrycznej wytworzonej w elektrowni, staramy się zminimalizować straty na liniach przesyłowych. Iloczyn napięcia i natężenia przesyłanego prądu jest w tym przypadku wartością stałą (odpowiada on mocy elektrowni). Sposobem na redukcję mocy traconej na liniach jest zmniejszenie natężenia prądu, a proporcjonalne zwiększenie napięcia. Z tego względu buduje się tzw. przesyłowe linie wysokiego napięcia, a zwiększenie wartości napięcia i jego ponowna redukcja przed odbiornikiem realizowane są za pomocą transformatorów. Ograniczeniem wartości użytego napięcia jest jonizacja powietrza – przy zbyt wysokim napięciu wokół przewodów natężenie pola jest dostatecznie wysokie by oderwać elektrony z cząsteczek gazu i wytworzyć nośniki ładunku, co prowadzi do „ucieczki” energii elektrycznej. 11.4. Obwody elektryczne Źródła napięcia W dotychczasowych rozważaniach przedstawiliśmy zjawisko przepływu ładunku w przewodniku. Aby wymusić przepływ ładunku, niezbędne jest przyłożenie do końców przewodnika napięcia czyli różnicy potencjałów. Takim źródłem napięcia może być naładowany kondensator, jednak napięcie to nie będzie stałe. Przepływ prądu przez przewodnik oznaczać będzie rozładowywanie kondensatora a ponieważ różnica potencjałów między okładkami kondensatora jest proporcjonalna do ładunku zgromadzonego na okładkach wartość napięcia będzie maleć. Strona 196 PRĄD ELEKTRYCZNY Ogniwa Stałe napięcie na zaciskach elementu oporowego możemy uzyskać, włączając do obwodu stałe źródło energii – ogniwo. Parametrami opisującymi ogniwo są siła elektromotoryczna ε i opór wewnętrzny Rw. Miarą siły elektromotorycznej ε jest stosunek pracy wykonanej na przeniesienie ładunku w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku. ε = W q (11.25) W przypadku rzeczywistych ogniw część energii jest rozpraszana na oporze wewnętrznym źródła, który jest połączony szeregowo z siłą elektromotoryczną. Napięcie na zaciskach takiego źródła zależy od wartości oporu zewnętrznego podłączonego do źródła czyli tzw. obciążenia (rysunek 11.2). Jeśli opór obciążenia jest mały, wartość natężenia prądu płynącego przez obwód jest duża, to straty energii na oporze wewnętrznym są znaczne. Napięcie na zaciskach ogniwa jest niższe niż siła elektromotoryczna źródła o spadek napięcia na obwodzie wewnętrznym. Jeśli opór obciążenia jest duży, straty energii na oporze wewnętrznym są niewielkie, a napięcie na zaciskach ogniwa osiąga wartość zbliżoną do jego siły elektromotorycznej. Można zatem stwierdzić, że w granicy R ZEWN → ∞ siła elektromotoryczna jest równa napięciu na zaciskach ogniwa otwartego. Energię elektryczną możemy uzyskiwać korzystając z pracy mechanicznej, która zamieniamy na energię elektryczną za pomocą prądnic czy alternatorów. Większość z tych urządzeń wytwarza zmienną siłę elektromotoryczną, a uzyskanie stałej wartości wymaga dodatkowych urządzeń przetwarzających napięcie zmienne na stałe w czasie. Energię elektryczną możemy czerpać również ze źródeł chemicznych – baterii, akumulatorów i stosowanych coraz częściej ogniw paliwowych. Źródłami energii elektrycznej mogą być również termoogniwa (wykorzystujące różnicę temperatur) oraz fotoogniwa (korzystające z energii promieniowania słonecznego). Jak stąd wynika źródłami prądu stałego są urządzenia przetwarzające energię innego rodzaju na energię elektryczną. Strona 197 ROZDZIAŁ 11 Rysunek 11.2. Obwód złożony ze źródła rzeczywistego i obciążenia oporowego. Spadki napięć na opornikach skierowane są przeciwnie niż SEM ogniwa Prawa Kirchhoffa Rozpatrzmy obwód składający się z pojedynczego opornika R i źródła o sile elektromotorycznej ε i oporze wewnętrznym Rw (rysunek 11.2). Zapiszmy zasadę zachowania energii dla takiego obwodu elektrycznego. Praca, wykonana przez ogniwo nad ładunkiem w obwodzie zamkniętym jest równa energii rozpraszanej na elementach oporowych: ε I t = I 2 R w t + I 2 Rt (11.24) Dzieląc obie strony równania 11.22 przez czas i natężenie prądu, otrzymujemy równanie: ε = I Rw + I R (11.25) Zgodnie z uprzednio wprowadzoną definicją siła elektromotoryczna jest pracą wykonaną na przepływ jednostkowego ładunku w obwodzie zamkniętym. Napięcia na poszczególnych elementach obwodu i natężenia prądu przepływającego przez poszczególne jego gałęzie możemy obliczyć stosując prawa Kirchhoffa: Strona 198 PRĄD ELEKTRYCZNY I Prawo Kirchhoffa Suma natężeń prądów dopływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła. W obwodzie zachowuje się również ładunek elektryczny – jeśli w obwodzie znajduje się rozgałęzienie (węzeł) to ładunek który dopłynie do węzła musi być równy temu, który z węzła wypłynął. II Prawo Kirchhoffa W dowolnym obwodzie zamkniętym sieci elektrycznej (oczku sieci) suma wartości sił elektromotorycznych równa jest sumie wartości spadków napięcia na elementach tego obwodu. Drugie prawo Kirchhoffa odpowiada równaniu 11.25. Obwód RC Jeśli naładowany do napięcia U kondensator o pojemności C zewrzemy opornikiem R, to dla takiego obwodu II prawo Kirchhoffa możemy zapisać w postaci: U R +U C = 0 IR+ q =0 C (11.26) Ponieważ natężenie prądu możemy wyrazić jako pochodną przepływającego ładunku po czasie, równanie przyjmie postać: dq q R+ =0 dt C (11.27) Rozwiązanie tego równania różniczkowego, opisujące ładunek na kondensatorze, ma postać malejącą wykładniczo: q (t ) = q 0 e −t RC (11.28) Skoro ładunek będzie się zmieniał wykładniczo, to również natężenie prądu w obwodzie będzie wykładniczo malało w czasie. Strona 199 ROZDZIAŁ 11 Pomiar natężenia i napięcia Wartości napięcia pomiędzy zaciskami elementu i natężenia prądu przepływającego przez element możemy wyznaczyć posługując się tym samym urządzeniem, nazywanym galwanometrem. Wychylenie wskazówki galwanometru jest wprost proporcjonalne do przepływającego przez urządzenie prądu. Rysunek 11.3. Podłączenie miernika do obwodu: a) pomiar natężenia prądu, b) pomiar napięcia Przy pomiarze natężenia prądu miernik włączamy w obwód szeregowo (rysunek 11.3). W ten sposób mierzymy całkowity prąd płynący przez gałąź. Opór własny amperomierza powinien być jednak jak najmniejszy, znacznie mniejszy niż wartości oporów znajdujących się na mierzonej gałęzi – inaczej pomiar zakłóci wartość mierzoną. Aby spełnić ten warunek, do zacisków galwanometru dołączamy równolegle bocznik o małym oporze. Większość natężenia prądu jest przepuszczana przez bocznik, a tylko niewielka część przepływa przez galwanometr. Zmieniając wartość oporu bocznika pomiędzy zaciskami miernika możemy zmieniać zakres pomiaru prądu układem galwanometr-bocznik. Przy pomiarze napięcia miernik – pełniący funkcję woltomierza – jest podłączony równolegle do badanego elementu (rysunek 11.3). W tym przypadku opór własny woltomierza powinien być jak największy, by nie odbierał on prądu z elementu. Z tego względu pomiędzy zaciskami miernika a galwanometrem podłączony jest szeregowo opornik o dużej wartości. Opornik ten zmniejsza natężenie prądu przepływającego przez galwanometr. Zmieniając wartość użytego opornika można zmieniać zakres pomiaru napięcia. Często stosowanym przyrządem jest próbnik (wskaźnik) napięcia. Wykorzystuje on pojemność elektryczną ludzkiego ciała. Próbnika możemy używać, przykładając palec do metalowego zakończenia rękojeści, a ostrze do badanego elementu obwodu. Natężenie prądu przepływają- Strona 200 PRĄD ELEKTRYCZNY cego przez dłoń jest w tym przypadku niewielkie i nie zagraża bezpieczeństwu osoby dokonującej pomiaru. Strona 201 ROZDZIAŁ 11 Strona 202
