Uniwersytet Rzeszowski
advertisement
Uniwersytet Rzeszowski
Wydział Matematyczno-Przyrodniczy
Monika Łokaj
Zbiory mocy alef zero
Praca licencjacka
wykonana w Instytucie Matematyki
pod kierunkiem dra Michała Lorensa
Praca została przyjęta przez promotora
Rzeszów 2006
Podziękowania
Składam serdeczne podziękowania
Panu doktorowi Michałowi Lorensowi
za pomoc w powstawaniu niniejszej pracy.
-2-
Spis treści:
Wstęp..........................................................................................................................4
Rozdział 1. Zbiory równoliczne.................................................................................6
Rozdział 2. Liczby kardynalne zbiorów, moce zbiorów...........................................10
Rozdział 3. Zbiory przeliczalne................................................................................14
Rozdział 4. Arytmetyka liczb kardynalnych.............................................................16
Literatura...................................................................................................................19
-3-
Wstęp
Teoria mocy, zajmująca się kwestią liczebności zbiorów i porównywaniem ich
liczebności, jest jednym z głównych działów teorii mnogości. Stanowiła ona też jeden
z najważniejszych tematów rozważań Georga Cantora (1845-1918), który jest twórcą teorii
mnogości. Wprowadził on pojęcie mocy zbioru i liczby kardynalnej oraz udowodnił ich
podstawowe własności. Szczególne znaczenie miały jego rozważania dotyczące zbiorów
nieskończonych oraz badania dotyczące mocy konkretnych zbiorów znanych z praktyki
badawczej
matematyków,
zwłaszcza
zbiorów
liczb
naturalnych,
wymiernych
i rzeczywistych. Zagadnienia te wiążą się z pojęciem nieskończoności, którą w piątym lub
szóstym wieku przed naszą erą odkryli Grecy. „Było to dla nich pojęcie tak dziwne
i sprzeczne z ludzką intuicją, że skonfundowało filozofów i matematyków, którzy je
wprowadzili. Przysposobiło im mnóstwa cierpień i wielu doprowadziło do obłędu.”1 Przez
długie wieki pojęcie to sprawiało matematykom wiele kłopotów i było przez nich
traktowane jako pojęcie niejasne. Dopiero rozważania Cantora nad nieskończonymi
liczbami kardynalnymi utorowały drogę do pełnej akceptacji pojęcia nieskończoności.
Celem Cantora było zdefiniowanie liczby kardynalnej zbioru nieskończonego. Początkowo
na oznaczenie liczby kardynalnej odpowiadającej zbiorom przeliczalnym używał litery .
Posługiwał się także znanym symbolem , którym zwykle oznaczamy nieskończoność.
Wkrótce jednak uznał, że liczby kardynalne wymagają nowego symbolu. Postanowił więc
użyć w tym celu pierwszej litery alfabetu hebrajskiego alef, א. „Cantor świadomie wybrał
s okaj ufela ilor o cązdeiw ,אymbolu Boga i nieskończoności. Poza tym z dumą powtarzał
swoim kolegom, że specjalnie wybrał właśnie alef na oznaczenie liczb kardynalnych, gdyż
uważał je za nowy początek w matematyce, początek nowej nieskończoności...”2
Aczel A. D., Tajemnica Alefów matematyka , kabała i poszukiwania nieskończoności, Dom wydawniczy
REBIS, Poznań 2002, str. 15.
2
Tamże, str. 19.
1
-4-
„Można zadać jeszcze pytanie, czy matematyka nieskończona jest potrzebna
i konieczna w matematyce stosowanej. (...) Teoria mnogości jest fundamentalną teorią
matematyczną, stanowiącą podstawę dla całej matematyki. (...) W matematyce
współczesnej jest wiele działów, które w istotny sposób opierają się na pozaskończonej
teorii mnogości.” 3
W tej pracy postaram się przybliżyć czytelnikowi podstawowe definicje
i twierdzenia teorii mnogości. Udowodnię, że zbiory liczb naturalnych, całkowitych
i wymiernych są równoliczne a co z tego wynika są zbiorami mocy alef zero. Przedstawię
zbiory przeliczalne i co najwyżej przeliczalne. W ostatnim rozdziale omówię arytmetykę
liczb kardynalnych, zwracając szczególną uwagę na liczbę alef zero.
Uwaga. W pracy przyjęłam następujące oznaczenia:
N - zbiór liczb naturalnych;
2N - zbiór liczb naturalnych parzystych;
2N 1 - zbiór liczb naturalnych nieparzystych;
Z - zbiór liczb całkowitych;
Q - zbiór liczb wymiernych.
3
Murawski R., Filozofia Matematyki Zarys Dziejów, Wyd. naukowe PWN, Warszawa 2001, str. 202.
-5-
Rozdział 1. Zbiory równoliczne
Zastanówmy się, jak stwierdzić, czy dane zbiory skończone A, B mają tę samą
liczbę elementów. Można po prostu policzyć elementy obu zbiorów i uzyskane liczby
porównać. Metoda ta nie jest jednak zbyt praktyczna, jeśli zbiory są bardzo liczne lub gdy
nie umiemy rachować. Można więc zrobić inaczej: wybrać jeden z elementów zbioru
A i połączyć go w parę z jednym z elementów zbioru B, później zestawić następną parę
i kontynuować to postępowanie do czasu, aż wyczerpią się elementy któregoś ze zbiorów.
Jeśli na przykład szybciej wyczerpią się elementy zbioru A, to zbiór B ma więcej
elementów
niż
zbiór A,
jeśli
natomiast
każdemu
elementowi
ze
zbioru
A
przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru B to zbiory te będą miały tyle samo
elementów.
Ta metoda stanowi podstawę określenia pojęcia równoliczności zbiorów.
Definicja 1.1. Zbiorami równolicznymi (lub równej mocy) nazywamy dwa zbiory
X i Y, gdy istnieje przekształcenie różnowartościowe zbioru X na Y ([3], str. 52).
Jeżeli zbiory X i Y są równoliczne to piszemy wtedy X ~ Y.
11
Zatem mamy: X ~ Y f [ f : X
Y].
na
Przykład 1.1.
Rysunek 1.1. Funkcja ustalająca równoliczność zbioru prostokątów i kół.
-6-
Rysunek 1.1. przedstawia prosty przykład zbiorów równolicznych. Zbiory prostokątów
i kół mają tyle samo elementów, co łatwo sprawdzić, bo są skończone. Funkcja zaznaczona
na rysunku strzałkami jest jednym z możliwych odwzorowań wzajemnie jednoznacznych
jednego zbioru na drugi.
Jeśli zbiór X jest zbiorem skończonym: X={a1, a2, ..., an}, gdzie n N, to zbiór
Y jest równoliczny ze zbiorem X wtedy i tylko wtedy, gdy ma tę samą liczbę n elementów.
Pojęcie równoliczności zbiorów skończonych pokrywa się więc z elementarnym pojęciem
równej liczby elementów tych zbiorów ([3] , str. 52).
Przykład 1.2.
a)
Zbiory liczb naturalnych i liczb parzystych są równoliczne.
Liczby naturalne
1
2
3
4
5
...
Liczby parzyste
2
4
6
8
10
...
Zbiory liczb naturalnych i liczb parzystych są nieskończone. Oczywiście zbiór liczb
parzystych jest właściwym podzbiorem zbioru liczb naturalnych N. Mimo to, funkcja
f (n) 2n , dla każdej liczby naturalnej n, jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem
zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb parzystych, co teraz udowodnię.
Dowód.
I. Różnowartościowość.
Weźmy dowolne liczby naturalne x i y oraz załóżmy, że f ( x) f ( y ) . Wówczas
f ( x) 2 x i f ( y ) 2 y . Skoro założyliśmy, że f ( x) f ( y ) , to 2 x 2 y , a stąd x y , co
dowodzi tego, że funkcja f jest różnowartościowa.
-7-
II. „Na” .
Weźmy dowolną liczbę naturalną parzystą y . Szukamy liczby naturalnej x takiej, żeby
f ( x) y . Mamy zatem, że 2 x y , x
y
N . Zatem pokazaliśmy, że dla każdej liczby
2
naturalnej parzystej istnieje liczna naturalna x , taka, że y f (x)
Na podstawie I i II funkcja f jest bijekcją więc ustala równoliczność tych zbiorów.
Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb nieparzystych są równoliczne.
b)
Funkcja f (n) 2n 1, dla n N {0}, jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem
zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb nieparzystych. Funkcja ta ustala więc
równoliczność tych zbiorów.
Przykład 1.3. Zbiory liczb naturalnych i liczb całkowitych są równoliczne.
Liczby naturalne
1
2
3
4
5
6
7
...
Liczby całkowite
0
1
-1
2
-2
3
-3
...
Funkcja:
f (x) =
1
1
x
2
2
1
x
2
dla
x 2N 1
dla
x 2N
jest bijekcją odwzorowującą zbiór liczb całkowitych na zbiór liczb naturalnych.
Dowód.
I. Różnowartościowość.
Niech x1, x2 N. Załóżmy, że x1 x2 i przypuśćmy, że f ( x1 ) f ( x2 ) . Rozważmy trzy
przypadki:
-8-
(i)
x1=2n+1, x2=2m+1, dla n, m N {0}. Z założenia mamy, że x1 x2, stąd
2n+1 2m+1, czyli 2n 2m, a zatem n m. Z określenia funkcji mamy,
1
1
że f ( x1 ) =- (2n+1)+
2
2
f ( x1 ) f ( x2 ) ,
zatem
oraz
1
1
f ( x2 ) =- (2m+1)+ . Z założenia mamy
2
2
1
1 1
1
- (2n+1)+ =- (2m+1)+ ,
2
2 2
2
czyli
2n+1=2m+1,
a z tego, że n=m a to jest sprzeczne z założeniem.
(ii)
x1=2n+1, x2=2m, dla n N {0}, m N. Z określenia funkcji mamy, że
1
1
1
f ( x1 ) =- (2n+1)+ oraz f ( x2 ) = 2m . Z założenia f ( x1 ) f ( x2 ) , czyli
2
2
2
1
1 1
- (2n+1)+ = 2m . Z tego –2n-1+1=2m, stąd –2n=2m, a zatem n= -m a to
2
2 2
oznacza, że n i m nie są jednocześnie liczbami naturalnymi więc dochodzimy
do sprzeczności.
(iii)
x1=2n, x2=2m, dla n, m N. Z założenia mamy, że x1 x2, stąd 2n 2m, a z tego
1
1
n m. Z określenia funkcji mamy, że f ( x1 ) = 2n oraz f ( x2 ) = 2m .
2
2
Z założenia mamy f ( x1 ) f ( x2 ) , czyli
1
1
2n = 2m . a z tego, że n=m a to
2
2
jest sprzeczne z założeniem.
Na podstawie (i)-(iii) funkcja f jest różnowartościowa.
II. „Na”.
(i)
0 Z . Szukam x N, takiego, żeby f (x) =0. Niech f (x) =1
1
- x+ =0, a stąd x=1. Wskazałam x=1 N taki, że f (x) =0.
2
2
-9-
1
1
x+ , wtedy
2
2
(ii)
Niech b Z , b>0. Szukam x N takiego, żeby f (x) =b. Niech x=2n, n N.
f (x) =
1
1
x, wtedy x=b, a stąd x=2b N.
2
2
1
f (2b) = 2b =b.
2
(iii)
Niech b Z , b<0. Szukam x N takiego, żeby f (x) =b. Niech x=2n+1, n N.
f (2n 1) =-
1
1
1
1 1
(2n+1)+ =- 2n - + =-n, wtedy -n=b, a stąd n=-b. Zatem
2
2
2
2 2
x=-2b+1 jest szukanym x N.
f (2b 1) = -
1
1
1 1
(-2b+1)+ =b- + =b.
2
2
2 2
Na mocy (i)-(iii) funkcja f jest „na”.
Na podstawie I i II funkcja f jest bijeckją zbioru Z na zbiór N, a to dowodzi tego, że te
zbiory są równoliczne.
- 10 -
Rozdział 2. Liczby kardynalne zbiorów, moce zbiorów
Twierdzenie 2.1. Relacja równoliczności jest relacją równoważności.
„Twierdzenie to pozwala rozklasyfikować zbiory ze względu na ich „moc”.
Prowadzi to do przeniesienia na zbiory nieskończone elementarnego pojęcia liczebności
zbioru.”4 Mianowicie mamy następującą definicję:
Definicja 2.1. Każdemu zbiorowi X jest przyporządkowana liczba kardynalna,
czyli jego moc, którą oznaczamy symbolem X , w taki sposób, że ta sama liczba
kardynalna przyporządkowana jest dwóm różnym zbiorom wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory
te są równoliczne ([3], str. 52).
Czyli A = B wtedy i tylko wtedy, gdy A ~ B.
Mocą zbioru pustego jest liczba zero, mocą niepustego zbioru n - elementowego
jest liczba naturalna n większa od zera ([2], str. 237).
Symbol X został wprowadzony przez Cantora. Podwójna kreska nad symbolem
zbioru miała w intencji Cantora oznaczać, że do pojęcia mocy zbioru dochodzi się
dokonując abstrakcji od jakości elementów zbioru i od ich uporządkowania. Moc zbioru
jest tą własnością, która nie ulegnie zmianie, jeśli elementy zbioru X zastąpi się wzajemnie
jednoznacznie przez elementy innego zbioru, a także, gdy zmieni się uporządkowanie
elementów zbioru X ([2], str. 236).
Oprócz oznaczenia X w literaturze znajdziemy również card(X). Symbol ten
pochodzi od angielskiego słowa cardinality- liczba kardynalna, moc ([6], str. 121).
Moszner Z., Elementy teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe Wyższej Szkoły Pedagogicznej
w Krakowie, Kraków 1968, str.52.
4
- 11 -
Definicja 2.2.1. Moc zbioru liczb naturalnych to א0, co zapisujemy symbolicznie:
N = א0.
Na podstawie definicji 2.1. definicję tę można sformułować następująco:
Definicja 2.2.2. Niech A będzie dowolnym zbiorem. A = א0 wtedy i tylko wtedy,
gdy A ~ N ([2], str. 238).
Symbol א0 oznacza więc moc każdego zbioru, który jest równoliczny ze zborem liczb
naturalnych.
Z definicji 1.1. i definicji 2.1. wynika:
Twierdzenie 2.2.1. A = א0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg nieskończony
o wyrazach nie powtarzających się, którego zbiór wyrazów równa się A ([2], str. 238).
Twierdzenie 2.2.1. formułuje się nieraz następująco:
Twierdzenie 2.2.2. A = א0 wtedy i tylko wtedy, gdy elementy zbioru A „można
ustawić” w ciąg nieskończony o wyrazach nie powtarzających się.
Przykład 2.1. Zbiory liczb parzystych, nieparzystych i całkowitych są mocy א0.
Fakt ten wynika z twierdzenia 2.2 i przykładów podanych w rozdziale 1 (Przykład 1.2a,
1.2b, 1.3).
Przykład 2.2. Zbiór Q liczb wymiernych jest mocy א0.
Przypomnijmy, że liczba w jest wymierna, jeśli w=
m
dla pewnej liczby całkowitej m i dla
n
pewnej liczby naturalnej n. Najpierw udowodnię, że zbiór wszystkich liczb wymiernych
- 12 -
dodatnich jest mocy א0. Zapiszmy wszystkie liczby wymierne dodatnie w tablicy według
zasady: w pierwszym wierszu umieszczamy w porządku malejącym liczby wymierne
o liczniku 1, w drugim- kolejne liczby wymierne o liczniku 2 itd. (Tablica 2.1.).
Tablica 2.1.
Wyliczanie liczb wymiernych dodatnich rozpoczynamy od
1
i posuwamy się zgodnie
1
z kierunkiem strzałek opuszczając wyliczone już wcześniej liczby (zaznaczone
w przekreślonych kółkach). Mamy więc:
1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 1
, , , , , , , , , , ,...
1 2 1 1 3 4 3 2 1 1 5
W ten sposób uwzględnimy wszystkie liczby wymierne dodatnie, a każdą z nich
policzymy dokładnie raz. Można więc wszystkie liczby wymierne dodatnie ustawić
w nieskończony ciąg o wyrazach nie powtarzających się. Oznaczamy przez w1, w2, w3, ...
wszystkie liczby wymierne dodatnie. Aby teraz otrzymać ciąg składający się z wszystkich
liczb wymiernych, wystarczy wziąć ciąg następujący:
0
w1
-w1
w2
-w2
w3
-w3, ...
W ten sposób pokazaliśmy, że wszystkie liczby wymierne można ustawić w ciąg
nieskończony o wyrazach nie powtarzających się więc na podstawie twierdzenia 2.2. zbiór
liczb wymiernych jest mocy א0.
- 13 -
Rozdział 3. Zbiory przeliczalne
Definicja 3.1. Zbiory mocy א0 nazywamy przeliczalnymi.
Zbiory przeliczalne lub skończone nazywamy co najwyżej przeliczalnymi ([4], str. 65).
Uwaga 3.1. Zbiór co najwyżej przeliczalny charakteryzuje się tym, że jest pusty lub
jego elementy można ułożyć w ciąg (skończony lub nie), a zbiór przeliczalny tym, że jego
elementy można ustawić w ciąg o nieskończenie wielu wyrazach różnych ([4], str. 65).
Wynika stąd następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3.1. Suma A B zbiorów przeliczalnych A i B jest zbiorem
przeliczalnym ([2], str.239).
Dowód. Jeśli jeden ze zbiorów jest pusty, twierdzenie wynika ze wzoru A =A.
Jeśli zbiory A i B są niepustymi zbiorami przeliczalnymi to w myśl uwagi 3.1 elementy
zbioru A można ustawić w ciąg nieskończony a1, a2, ..., an, .... ,elementy zbioru B- w ciąg
b1, b2, ..., bn, .... Tworzymy ciąg a1, b1, a2, b2, ..., an , bn, ...., który jest przeliczalny a jego
wyrazy stanowią zbiór A B.
Twierdzenie 3.2. Iloczyn kartezjański dwóch (lub ogólniej: skończonej liczby)
zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny ([3], str. 54).
Dowód. Udowodnię, że zbiór par <m, n>, gdzie n i m są to liczby naturalne, jest
przeliczalny. Należy więc elementy tego zbioru ustawić w ciąg. W tym celu przyjmujemy
następująca regułę: z dwóch par <m, n> i <m’, n’> tę uważamy za wcześniejszą, która ma
sumę elementów mniejszą; jeśli zaś m+n=m’+n’, to wcześniejsza jest para o mniejszym
poprzedniku. A zatem ciąg ten przedstawia się następująco:
- 14 -
<1,1>, <1,2>, <2,1>, <1,3>, <2,2>, <3,1>,<1,4>,...
Stąd już możemy wywnioskować, że mając dwa dowolne ciągi nieskończone a1, a2, ..., am,
....
b1, b2, ..., bn, .... można ustawić w ciąg nieskończony wszystkich par <am, bn>.
Twierdzenie to możemy udowodnić wykorzystując metodę przekątniową. Każdą z par
<m,n> możemy ustawić w tabeli traktując m jako licznik a n jako mianownik. Wtedy
pokazalibyśmy, że iloczyn kartezjański dwóch zbiorów jest mocy א0, a na podstawie
definicji 3.3. będziemy mieli, że będzie on przeliczalny.
- 15 -
Rozdział 4. Arytmetyka licz kardynalnych
Zdefiniujemy dodawanie, mnożenie i potęgowanie liczb kardynalnych. Dla
oznaczenia tych działań zachowujemy oznaczenia i terminologię arytmetyki liczb
zwykłych.
Definicja 4.1. Dla dowolnych zbiorów X i Y
a) X Y = ( X + Y = X Y ),
b) X · Y = X Y ,
c) Y
X
=( Y X ).
Sumą mocy zbiorów rozłącznych jest więc moc sumy tych zbiorów, iloczynem – moc
iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów. Potęga, której podstawą jest moc zbioru Y,
wykładnikiem moc zbioru X jest równa mocy zbioru wszystkich odwzorowań zbioru
X w zbiór Y ([7], str. 182).
Przykład 4.1. Zbiory {1,2,3} i {4,5,6,7} są oczywiście rozłączne. Sumą tych
zbiorów jest zbiór {1,2,3,4,5,6,7}.
Prawdziwe są wzory : {1,2,3} =3,
{4,5,6,7} =4, {1,2,3,4,5,6,7} =7.
W myśl definicji 4.1.a mamy, że 3+4=7
Przykład ten wskazuje, że dodawanie liczb naturalnych jest szczególnym
przypadkiem dodawania liczb kardynalnych. Założenie, że X Y= jest istotne, na co
wskazuje następujący przykład:
Przykład 4.2. Prawdziwy jest wzór {1,2,3} = {3,4,5} =3. Mocą sumy zbiorów
{1,2,3} i {3,4,5} jest jednak 5 a nie 6.
- 16 -
Przykład 4.3. Dane są zbiory {1,2} i {1,2,3}. Iloczynem kartezjańskim tych
zbiorów jest zbiór par uporządkowanych:
{<1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>}.
Ponadto {1,2, } =2 oraz {1,2,3} =3.
W myśl definicji 4.1.b iloczynem mocy zbiorów {1,2} i {1,2,3} jest moc zbioru
{<1,1>, <1,2>, <1,3>, <2,1>, <2,2>, <2,3>}, czyli 2·3=6.
Widzimy, że również mnożenie liczb naturalnych jest szczególnym przypadkiem
mnożenia liczb kardynalnych.
Przykład 4.4. Niech X={1,2,3} i Y={1,2}. Jeśli funkcja f Y X , to ciąg f (1) , f (2) ,
f (3) jest równy jednemu z następujących ośmiu ciągów:
1,1,1; 1,1,2; 1,2,1; 1,2,2; 2,1,1; 2,1,2; 2,2,1; 2,2,2.
W myśl definicji 4.1.c
Y
X
=2 3 =8.
Przykład ten wskazuje, że potęgowanie liczb naturalnych jest szczególnym
przypadkiem potęgowania liczb kardynalnych.
Z dotychczasowych rozważań wynika, że arytmetyka liczb naturalnych jest częścią
arytmetyki liczb kardynalnych. Pojęcia arytmetyki liczb naturalnych mogą być
zdefiniowane za pomocą pojęć teorii mnogości. Ponieważ pojęcia arytmetyki liczb
całkowitych, naturalnych i rzeczywistych mogą być zdefiniowane za pomocą pojęć
arytmetyki liczb naturalnych, której twierdzenia mogą też stanowić podstawę dowodów
twierdzeń arytmetyki każdego z wymienionych rodzajów liczb, znaczenie teorii mnogości
dla całej matematyki jest wiodące ([7], str. 183).
- 17 -
Twierdzenia, które teraz podamy, nie mają swoich odpowiedników w arytmetyce
liczb naturalnych. Są to podstawowe twierdzenia dotyczące zbiorów mocy alef zero;
podajemy je bez dowodów.
Twierdzenie 4.1.
א0 + 1 = א0.
Twierdzenie 4.2.
א0 + n = א0, dla dowolnej liczby naturalnej n.
Twierdzenie 4.3.
א0 + א0 = א0.
Twierdzenie 4.3.
א0 · n= א0, dla dowolnej liczby naturalnej n.
Twierdzenie 4.4.
א0 · א0 = א0.
- 18 -
Literatura
[1] Aczel A. D., Tajemnica Alefów. Matematyka, kabała i poszukiwania nieskończoności,
Dom wydawniczy REBIS, Poznań 2002.
[2] Borkowski L., Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, Towarzystwo Naukowe
Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego, Lublin 1991.
[3] Kuratowski K., Wstęp do teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa
2004.
[4] Moszner Z., Elementy teorii mnogości i topologii, Wyd. Naukowe Wyższej Szkoły
Pedagogicznej w Krakowie, Kraków 1968.
[5] Murawski R., Filozofia Matematyki. Zarys Dziejów, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa
2001.
[6] Murawski R, Świdrydowicz K., Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM,
Poznań 2005.
[7] Słupecki J., Hałkowska K., Piróg-Rzepecka K., Logika i teoria mnogości, Wyd.
Naukowe PWN, Warszawa 1978.
- 19 -
