Stosowanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów

Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 26
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
26. Stosowanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów
ciągu arytmetycznego, również umieszczone w kontekście
praktycznym.
I.
Przypomnij sobie:
1. Wzory dotyczące ciągu arytmetycznego (wzory maturalne):
a. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i
różnicy r:
an = a1+(n-1) r
b. Wzór na sumę Sn=a1+a2+...+an początkowych n wyrazów ciągu
arytmetycznego:
a a
2a  n  1r
Sn  1 n  n  1
n
2
2
c. Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:
a a
an  n1 n1 dla n2.
2
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Przykład 1.
Suma n początkowych liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 3 jest równa 900.
Oblicz, ile jest tych liczb.
Rozwiązanie:
Najmniejszą liczbą naturalną dodatnią podzielną przez 3 jest liczba 3. Zatem a1  3 . Różnica
między kolejnymi liczbami podzielnymi przez 3 jest równa 3, czyli r  3 . Z treści zadania
mamy również Sn  900 . Wstawiając wszystkie te wartości do wzoru I.1.b. otrzymujemy:
2  3  n  1  3
900 
n
Rozwiązujemy to równanie kwadratowe:
2
6  3n  3
 n / 2
2
1800  3n  3n
900 
 3n 2  3n  1800  0 / :  3
n 2  n  600  0
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 26
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
  b2  4ac  12  4 1  600  1  2400  2401
  2401  49
 b    1  49  50


 25 nie jest liczbą naturalną, więc nie może być
2a
2 1
2
„numerem” ostatniego z sumowanych wyrazów ciągu;
 b    1  49 48
n2 


 24
2a
2 1
2
n1 
Odpowiedź: Suma 24 początkowych liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 3 jest
równa 900.
Przykład 2.
Jurek każdy swój letni urlop spędza na rowerze. W ubiegłym roku we Włoszech w ciągu
10 dni przejechał 645 km, jadąc każdego dnia o 5 km więcej niż poprzedniego. Ile kilometrów
przejechał pierwszego dnia?
Rozwiązanie:
Sn  645
a1  ?
n  10
r 5
Wstawiamy te dane do wzoru I.1.b.:
2a  10  1  5
645  1
10
i rozwiązujemy:
2
645  2a1  45 5 / : 5
129  2a1  45
129  45  2a1
84  2a1 / : 2
42  a1
Odpowiedź: Jurek pierwszego dnia przejechał 42 km.
Przykład 3.
Grupę 100 osób ustawiono w n rzędów według zasady
przedstawionej na rysunku. Okazało się, że w ostatnim
rzędzie zostały wolne miejsca. Oblicz, ile było tych
wolnych miejsc.
Rozwiązanie:
r 1
a1  1
Poszukujemy największej liczby naturalnej n, dla której spełniony będzie warunek Sn  100 .
2  1  n  1  1
 n  100 / 2
2
(2  n  1)  n  200
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 26
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
n 2  n  200  0
  b2  4ac  12  4  1   200  1  800  801
  801  3 89  28,3
 b    1  3 89  29,3


 14,65
+
+
2a
2 1
2
 b    1  3 89 27,3
n2 


 13,65
n1-14,65
n213,65
n
2a
2 1
2
Poszukiwaną liczbą n jest 13.
Teraz możemy obliczyć, ile osób S13 zostanie ustawionych w 13 rzędach:
2 1  13  1 1
2  12
S13 
13 
13  7 13  91
2
2
W czternastym rzędzie powinno być 14 osób, a było 100  91  9 . Zostało zatem 14  9  6
wolnych miejsc.
n1 
Odpowiedź: W ostatnim rzędzie zostało 6 wolnych miejsc.
Przykład 4.
W skończonym ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz jest równy 2, ostatni 44, a suma
wszystkich wyrazów jest równa 345. Liczba wyrazów tego ciągu jest równa:
A. 13,
B. 15,
C. 23,
D. 25.
S n 345
n?
Rozwiązanie:
an  44
a1  2
Ze wzoru I.1.b. mamy:
2  44
345 
n
2
345  23n / : 23
n  15
Czyli prawidłowa odpowiedź to B.
Przykład 5.
Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego an  jest równy zero. Suma trzynastu wyrazów tego
ciągu ma wartość:
A. -13,
B. 0,
Rozwiązanie:
2a1  13  1r
13  a1  6r  13 .
2
Zatem S13  0 13  0 .
Odpowiedź B.
S13 
C. 6,
D. 13.
Ze wzoru I.1.a.
Ale a1  6r  a1  7  1r  a7  0 .
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 26
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym an  czwarty wyraz ciągu jest równy 12 a szósty jest równy 20.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. 0,
B. 4,
C. 8,
D. 32.
Zadanie 2. (1 pkt)
Jeśli pierwszy wyraz ciągu arytmetycznym an  jest równy 6 a różnica ciągu wynosi 4, to
wzór na n-ty wyraz ma postać:
A. an  2n  4 ,
B. an  4n  2 ,
C. an  4n  2 ,
D. an  2n  4 .
Zadanie 3. (1 pkt)
Cena wykopania pierwszego metra studni to 210 zł. Każdy następny metr jest droższy od
poprzedniego o 40 zł. Zatem koszt wykopania studni o głębokości 10 m jest równy:
A. 3000 zł,
B. 3330 zł,
C. 3900 zł,
D. 4000 zł.
Zadanie 4. (2 pkt)
Oblicz sumę liczb naturalnych trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 11 dają resztę 7.