ocena skuteczności metody napięć średniokrokowych w

ELEKTRYKA
Zeszyt 1 (217)
2011
Rok LVII
Omelian PŁACHTYNA, Zbigniew KŁOSOWSKI, Roman ŻARNOWSKI
Instytut Elektrotechniki, Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy
OCENA SKUTECZNOŚCI METODY NAPIĘĆ
ŚREDNIOKROKOWYCH W PORÓWNANIU Z KLASYCZNYMI
METODAMI CAŁKOWANIA NUMERYCZNEGO W MODELACH
MATEMATYCZNYCH OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH
Streszczenie. W artykule przedstawiono ocenę skuteczności autorskiej metody prof.
O. Płachtyny, która została nazwana metodą napięć średniokrokowych, w porównaniu
z klasycznymi metodami całkowania numerycznego stosowanymi do analizy obwodów
elektrycznych. Oceny dokonano porównując czasy wyznaczania rozwiązania
numerycznego przy założonym błędzie między tym rozwiązaniem a rozwiązaniem
dokładnym. Metoda okazała się skuteczniejsza w porównaniu z innymi metodami
całkowania numerycznego. W artykule zamieszczono również opis teoretyczny metody
napięć średniokrokowych.
Słowa kluczowe: analiza obwodu elektrycznego, metoda napięć średniokrokowych, porównanie
metod całkowania numerycznego
EFFICIENCY EVALUATION OF AVERAGE-STEP VOLTAGES METHOD
COMPARING TO CLASSICAL METHODS OF NUMERICAL
INTEGRATION APPLIED TO MATHEMATICAL MODELS OF
ELECTRICAL CIRCUITS
Summary. In the paper is presented effectiveness of original method by prof.
O. Plakhtyna of numerical integration. It was named the method of average-step
voltages. The method is compared to classical methods of numerical integration applied
in analysis of electrical circuits. The measure of effectiveness is the time consumed for
integration of equation system assuming constant error between analytical solution and
employed for integration numerical method solution. The average-step voltages method
occurred more effective comparing to the other methods. The theoretical description of
the method is presented in the paper also.
Keywords: analysis of electrical circuit, average-step voltages method, numerical methods of
integration comparison
122
O. Płachtyna, Z. Kłosowski, R. Żarnowski
1. WSTĘP
Metody numeryczne są użytecznym narzędziem, stosowanym w analizie zjawisk
fizycznych w obwodach elektrycznych opartych na ich modelach matematycznych. Modele te
najczęściej mają postać układów równań różniczkowych. Rozwiązania układów równań
poszukuje się stosując metody całkowania numerycznego z szerokiej klasy. Ze względu na
rozwój techniki mikroprocesorowej w układach sterowania procesami przemysłowymi coraz
częściej zachodzi konieczność wykonywania obliczeń w czasie rzeczywistym. Pojawia się
wtedy problem wyboru metody całkowania numerycznego układów równań różniczkowych,
która zapewniałaby uzyskanie stabilnego rozwiązania w możliwie najkrótszym czasie przy
założonej dokładności obliczeń. W celu określenia, która z metod całkowania numerycznego
zapewnia najkrótszy czas uzyskania szukanego rozwiązania, w artykule, na przykładzie
modelu matematycznego prostego obwodu elektrycznego, dokonano porównania istniejących
metod z autorską metodą napięć średniokrokowych prof. O. Płachtyny, która po raz pierwszy
została przedstawiona w [5].
2. OPIS TEORETYCZNY METODY NAPIĘĆ ŚREDNIOKROKOWYCH
Poszukuje się rozwiązania równań różniczkowych, zapisanych na podstawie I i II prawa
Kirchhoffa. Wszystkie obwody elektryczne składają się z gałęzi, które mogą zawierać
rezystory, kondensatory, cewki i źródła zasilania. Dlatego też istota prezentowanej metody
zostanie przedstawiona na przykładzie gałęzi obwodu elektrycznego, zawierającej wszystkie
elementy, połączone tak jak na rys. 1.
Rys. 1. Schemat obwodu elektrycznego
Fig. 1. Diagram of electrical circuit
Gałąź obwodu elektrycznego, przedstawioną na rys. 1, opisują dwa równania:
u (t )  R  i (t )  L
du C ( t ) 1
 i (t )
dt
C
przy czym
i (t )
- prąd płynący w obwodzie,
u C (t ) - napięcie na kondensatorze,
di ( t )
 uC (t )  e(t )  0
dt
(1)
Ocena skuteczności metody…
123
e(t )
- źródło napięcia,
u (t )
- napięcie między zaciskami obwodu,
R, L, C - rezystancja, indukcyjność cewki, pojemność kondensatora.
Rozwiązanie numeryczne otrzymuje się przez scałkowanie układu równań (1)
z krokiem t , gdzie t  t i 1  t i i=1,2,3,…n. Zatem równania obowiązujące dla każdego
punktu wewnątrz kroku t są następujące:
u  u R  u L  uC  e  0
(2)
duC 1
 i
dt
C
Tych równań może być n, przy czym n  
n
 (ui  u Ri  u Li  uCi  ei )  0
(3)
i 1
n
(
du C i
dt
i 1

1
ii )  0
C
Mnożąc powyższe równania przez t  0 i korzystając z twierdzenia o granicy sumy
całkowej, sumę zastąpiono całką:
tn
 (u  u R  u L  u C  e)dt  0
t0
tn
(
t0
du C 1
 i ) dt  0
dt
C
Korzystając z własności całki oznaczonej, to znaczy że
xn
n1 xi 1
 f ( x )dx  
 f ( x ) dx
i 0
x0
xi
otrzymano funkcję podcałkową dla kroku t :
t0  t
 (u  u R  u L  u C  e)dt  0
t0
(4)
t0  t

(
t0
du C 1
 i ) dt  0
dt
C
Dzieląc powyższe równania przez krok t i ponownie korzystając z własności całki,
całkę sumy zastąpiono sumą całek:
1
t
t 0  t
1
t u  dt  t
0
t 0  t
1
t u R  dt  t
0
t 0  t
1
t u L  dt  t
0
t 0  t
1
t uC  dt  t
0
t 0  t
 e  dt  0
t0
(5)
124
O. Płachtyna, Z. Kłosowski, R. Żarnowski
1
t
t 0  t

t0
t  t
du C
1 0 1
dt 
i  dt  0
dt
t t0 C
Równania (5) opisują średnie napięcia dla kroku całkowania. Przyjmując nowe
oznaczenia otrzymano średnie napięcie na elementach dla kroku całkowania w postaci:
1
U
t
1
t
t0  t

t0
t0  t
1
t u  dt ; E  t
0
duC
1
dt 
dt
t
t0  t
1
t e  dt ; U R  t
0
t 0  t
1
t u R  dt ; U C  t
0
t0  t
1
1
t duC  t uC1  uC 0  ; U L  t
0
t 0  t
u
L
 dt 
t0
t 0  t
u
C
 dt ;
t0
1
 1  0 
t
przy czym:  1  0 - strumienie sprzężone na początku i na końcu kroku. Równania (5)
sprowadzono więc do następującej postaci:
U  U R U L UC  E  0
1
uC1  uC 0   1
t
t
t0  t

t0
(6)
1
i  dt  0
C
Teraz chwilowe napięcia na rezystancji i kondensatorze można wyrazić w postaci równań
d ( k )u R 0 (t  t 0 ) k
uR  uR0  

(k )
k!
k 1 dt
(7)
d ( k ) u C 0 (t  t 0 ) k

(k )
k!
k 1 dt
(8)


uC  uC 0  
przy czym:
u R 0 , uC 0
(k )
- wartości napięć na początku kroku całkowania
(k )
d u R0 d uC 0
,
- k-ta pochodna napięcia na rezystancji i kondensatorze dla chwili t=t0.
dt ( k )
dt ( k )
Podstawiając wyrażenia (7), (8) do układu równań (6), otrzymuje się:
t k  d ( k ) u R 0 d ( k ) u C 0  1

   1  0   0

(k )
dt ( k )  t
k 1 ( k  1)!  dt

U  E  u R0  uC 0  
u C1  u C 0
1

C
t 0  t
 i  dt
t0
Ponieważ
u R  f (i)
du C
i 
 f 
dt
C 
(9)
Ocena skuteczności metody…
125
a w ogólnym przypadku zależności te są funkcjami nieliniowymi, więc w celu uzyskaniu
przejrzystego opisu rozpatrywanej metody w dalszych rozważaniach przyjmuje się, że funkcje
te są liniowe, to jest:
u R 0  R  i0
(10)
du C 0 i0

dt
C
Dalsze przekształcenia polegają na powiązaniu napięcia i prądu dla kroku całkowania.
Można tego dokonać za pomocą linii prostej, paraboli lub w ogólnym przypadku przybliżyć
wielomianem m-tego stopnia. Dla tego ostatniego przypadku można napisać:
t k d ( k ) i0
 (k )
dt
k 1 k!
m
i  i1  i0  
(11)
Analizując równania (10), można zauważyć, że między pochodnymi prądów i napięciami
istnieją następujące relacje:
d (k )u R0
d ( k ) i0

R
dt ( k )
dt ( k )
(12)
d ( k ) uC 0 1 d ( k 1) i0

dt ( k )
C dt ( k 1)
Po podstawieniu równania (11) do drugiego równania układu równań (9) otrzymano
układ równań:
t k  d ( k ) u R 0 d ( k ) u C 0  1

   1  0   0
U  E  u R 0  uC 0  

(k)
(k ) 
(
k

1
)!
d
t
d
t
k 1

 t

u C1  u C 0 
(13)

1
t k 1 d ( k ) i0
t  i0  
 (k )
C
k 1 ( k  1)! dt
d m i0
Po przekształceniach i podstawieniu pochodnej
wyznaczonej z równania (11)
dt m
otrzymuje się układ równań, umożliwiający określenie wartości prądu i1 i napięcia uC1 na
końcu kroku całkowania w postaci:
 R
t 2  (m  1)(m  2) L0 
U  E  u R 0  u C 0  
 
   i0 
t 
 m  1 C 2(m  1)(m  2)
m 1
 Rt k m  k
t k 1
(m  1)(m  2)  (k  1)(k  2)  d ( k ) i0
 ( k ) 
  



C (k  2)!
(m  1)(m  2)
k 1  ( k  1)! m  1
 dt
 R
L 
t
 

 1   i1  0
 m  1 C (m  1)(m  2) t 
(14)
126
O. Płachtyna, Z. Kłosowski, R. Żarnowski
u C1  u C 0 
m 1
t
t k 1 1 m  k d ( k ) i0
 (m  i0  i1 )  
 
(k )
C (m  1)
k 1 ( k  1)! C m  1 dt
Równania (14) przedstawiają istotę metody napięć średniokrokowych m-tego stopnia.
Uporządkowane równania przedstawiono za pomocą schematu zastępczego (rys. 2).
Rys. 2. Schemat zastępczy dla metody napięć średinokrokowych m-tego stopnia
Fig. 2. Equivalent diagram for the m-th order average step voltage method
gdzie:
L
R
t

 1
m  1 C (m  1)(m  2) t
opór zastępczy Ω,
RS 
–
 R
t 2  (m  1)(m  2) L0 
E S  E  u R 0  u C 0  
 
   i0 
t 
 m  1 C 2(m  1)(m  2)
m 1
 Rt k m  k
t k 1
(m  1)(m  2)  (k  1)(k  2)  d ( k ) i0
 ( k )
  



C (k  2)!
(m  1)(m  2)
k 1  ( k  1)! m  1
 dt
–
zastępcza siła elektromotoryczna V
i1 
–
U  ES
RS
prąd na końcu kroku całkowania A
u C1  u C 0 
–
m 1
t
t k 1 1 m  k d ( k ) i0
 (m  i0  i1 )  
 
(k )
C (m  1)
k 1 ( k  1)! C m  1 dt
napięcie na kondensatorze na końcu kroku całkowania V.
Dla m = 1 metoda jest metodą napięć średniokrokowych rzędu I:
RS 
R t
L


2 6C t
L 
 R t
E S  E  Ri0  u C 0   
  0   i0
t 
 2 3C
U  ES
i1 
RS
t
u C1  uC 0 
 (i0  i1 )
2C
Dla m = 2 metoda jest metodą napięć średniokrokowych rzędu II:
Ocena skuteczności metody…
RS 
127
R t
L


3 12C t
 Rt t 2  di0
L 
 R 5 t

E S  E  Ri0  u C 0   
  0 i0  

t 
12C  dt
 3 12C
 6
U  ES
i1 
RS
u C1  u C 0 
t
t 2 di0
 (2i0  i1 ) 
3C
6C dt
Dla m = 3 metoda jest metodą napięć średniokrokowych rzędu III:
RS 
R
t
L


4 20C t
 Rt 7t 2
L 
 R 9t
E S  E  Ri0  uC 0   
  0   i0  

t 
4
60C
 4 20C

U  ES
i1 
RS
u C1  u C 0 
 di0  Rt 2 t 3  d 2 i0



 dt   24  60C  dt 2



t
t 2 di0 t 3 d 2 i0
 (3i0  i1 ) 

4C
4C dt 24C dt 2
3. BADANIE SKUTECZNOŚCI METODY
W celu oceny przydatności metody całkowania numerycznego do rozwiązywania równań
różniczkowych rozwiązano prosty obwód elektryczny, który składa się z rezystora,
kondensatora i cewki. W rozpatrywanym obwodzie elektrycznym wzięto pod uwagę
przypadek, w którym występują drgania tłumione przy zasilaniu napięciem stałym oraz
rezonans napięć przy zasilaniu napięciem przemiennym. Dla obwodu przedstawionego na
rys. 3 można zapisać układ równań (15):
Rys. 3. Schemat rozpatrywanego obwodu elektrycznego
Fig. 3. Diagram of electrical circuit considered
u (t )  R  i (t )  L
di (t )
 uC (t )  0
dt
(15)
128
O. Płachtyna, Z. Kłosowski, R. Żarnowski
du C ( t ) 1
 i(t )
dt
C
gdzie:
R
L
C
i(t )
u C (t )
u (t )
- rezystancja, R  50  ,
- indukcyjność cewki, L  0,1 H ,
- pojemność kondensatora, C  1 μF ,
- prąd płynący w obwodzie,
- napięcie na kondensatorze,
- napięcie zasilające obwód (rys. 3):
a) napięcie stałe u (t )  U  100 V ,
b) napięcie przemienne u (t )  Em sin( 2π  f  t )  100 sin( 2π  500  t ) .
Powyższy układ równań został rozwiązany analitycznie oraz numerycznie ze stałym
krokiem całkowania. Zastosowano następujące metody [1][2][3][4][6][7]:
– metoda trapezów;
– metoda Rungego – Kutty rzędu II, IV;
– metoda Bogackiego – Shampine'a;
– metoda Dormanda – Prince'a rzędu 4 i 5;
– metoda Rungego – Kutty – Fehlberga rzędu 2 i 3, 4 i 5;
– metoda Adamsa – Bashfortha rzędu II, III, IV;
– metoda Adamsa – Bashfortha – Moultona rzędu II, III, IV;
– metoda Geara rzędu II, III, IV;
– metoda napięć średniokrokowych rzędu I, II, III.
Jako miarę skuteczności rozważanych metod całkowania numerycznego układu równań
przyjęto maksymalny błąd między dokładnym rozwiązaniem analitycznym (indeks A) i
przybliżonym rozwiązaniem numerycznym (indeks N) dla danej chwili czasowej, odniesiony
do wartości maksymalnej napięcia lub prądu z rozwiązania analitycznego (indeks maxA).
i 
u 
i A (t )  i N (t )
imax A
u A (t )  u N (t )
u max A
 100%
 100%
Wartość maksymalnego błędu przy porównywaniu metod całkowania numerycznego
przyjęto równą 0,5%.
Ocena skuteczności metody…
129
4. WYNIKI OBLICZEŃ
W tabelach 1 i 2, zaprezentowano wyniki symulacji dla rozpatrywanych przypadków.
Informują one o tym:
– ile w danej metodzie potrzeba wykonać kroków w jednym okresie oscylacji, aby otrzymać rozwiązanie z założonym błędem maksymalnym (parametr o nazwie "Liczba
kroków"),
– ile w danej metodzie potrzeba wykonać obliczeń w czasie jednego okresu oscylacji, aby
otrzymać rozwiązanie z założonym błędem maksymalnym. Świadczy to o czasie wyznaczania rozwiązania, przy czym liczba wykonywanych obliczeń jest iloczynem liczby
kroków, którą w danej metodzie trzeba wykonać, i liczby obliczanych w danej metodzie
współczynników, dla wyznaczenia kolejnej wartości (parametr "Objętość obliczeń").
Tabela 1
Wyniki obliczeń dla przypadku zasilania obwodu napięciem stałym U  100 [V]
1
metoda napięć średniokrokowych rzędu III
Objętość
obliczeń
18
2
metoda napięć średniokrokowych rzędu II
24
12
0,5
0,247
3
metoda Adamsa–Bashforthta rzędu IV
27
27
0,5
0,254
4
metoda Adamsa–Bashforthta–Moultona rzędu IV
34
17
0,5
0,246
5
metoda Runego–Kutty–Fehlberga rzędu 4 i 5
36
6
0,5
0,263
6
metoda Dormanda-Prince'a rzędu 4 i 5
42
7
0,5
0,254
7
metoda napięć średniokrokowych rzędu I
42
42
0,5
0,247
8
metoda Rungego–Kutty rzędu IV
44
11
0,5
0,251
9
metoda Geara rzędu IV
44
22
0,5
0,239
10 metoda Adamsa–Bashforthta rzędu III
46
46
0,5
0,252
11 metoda Adamsa–Bashforthta–Moultona rzędu III
48
24
0,5
0,253
12 metoda trapezów
59
59
0,5
0,253
13 metoda Bogackiego–Shampine'a
66
22
0,5
0,253
14 metoda Geara rzędu III
82
41
0,5
0,258
15 metoda Rungego–Kutty–Fehlberga rzędu 2 i 3
92
23
0,5
0,253
16 metoda Adamsa–Bashforthta–Moultona rzędu II
120
60
0,5
0,253
17 metoda Adamsa–Bashforthta rzędu II
131
131
0,5
0,244
18 metoda Rungego–Kutty rzędu II
166
83
0,5
0,244
19 metoda Geara rzędu II
234
117
0,5
0,253
Lp.
Metoda numeryczna
Liczba
kroków
6
 i [%]
 u [%]
0,5
0,270
130
O. Płachtyna, Z. Kłosowski, R. Żarnowski
Rys. 4. Przebieg prądu i(t ) płynącego w obwodzie dla przypadku zasilania obwodu napięciem stałym
U  100 [V] , gdzie:
przebieg analityczny,  punkty wyznaczone metodą napięć
średniokrokowych rzędu 2,  punkty wyznaczone metodą napięć średniokrokowych rzędu 3
Fig. 4. Waveform of current i(t ) flowing in the circuit for supply with constant voltage
U  100 [V] , where:
analytical waveform,  points determined with the 2-nd order
average step voltage method,  points determined with the 3-rd order average step voltage
method
Rys. 5. Przebieg napięcia na kondensatorze u C (t ) dla przypadku zasilania obwodu napięciem stałym
U  100 [V] , gdzie:
przebieg analityczny,
punkty wyznaczone metodą napięć
średniokrokowych rzędu 2,
punkty wyznaczone metodą napięć średniokrokowych
rzędu 3
Fig. 5. Waveform of capacitor voltage u C (t ) for supplying the circuit with constant voltage
U  100 [V] , where:
analytical waveform,
points determined with the 2-nd order
average step voltage method,
points determined with the 3-rd order average step voltage
method
Ocena skuteczności metody…
131
Tabela 2
Wyniki obliczeń dla przypadku zasilania obwodu napięciem przemiennym
u (t )  100 sin( 2 π  500  t )
Lp.
Metoda numeryczna
Objętość
obliczeń
Liczba
kroków
 i [%]
 u [%]
1
metoda napięć średniokrokowych rzędu III
24
8
0,5
0,491
2
metoda napięć średniokrokowych rzędu II
33
16
0,5
0,489
3
metoda Adamsa–Bashfortha rzędu IV
34
34
0,5
0,499
4
metoda Adamsa–Bashfortha–Moultona rzędu IV
41
20
0,5
0,498
5
metoda Rungego–Kutty–Fehlberga rzędu 4 i 5
42
7
0,5
0,499
6
metoda Dormanda–Prince'a rzędu 4 i 5
48
8
0,5
0,488
7
metoda Rungego–Kutty rzędu IV
54
13
0,5
0,493
8
metoda Geara rzędu IV
54
27
0,5
0,496
9
metoda trapezów
60
60
0,5
0,498
10 metoda Adamsa–Bashfortha rzędu III
61
61
0,5
0,498
11 metoda Adamsa–Bashfortha–Moultona rzędu III
63
31
0,5
0,496
12 metoda napięć średniokrokowych rzędu I
64
64
0,5
0,487
13 metoda Bogackiego–Shampine'a
89
30
0,5
0,499
14 metoda Geara rzędu III
105
52
0,5
0,498
15 metoda Rungego–Kutty–Fehlberga rzędu 2 i 3
120
30
0,5
0,498
16 metoda Adamsa–Bashfortha–Moultona rzędu II
183
91
0,5
0,499
17 metoda Adamsa–Bashfortha rzędu II
202
202
0,5
0,498
18 metoda Rungego–Kutty rzędu II
258
129
0,5
0,494
19 metoda Geara rzędu II
362
181
0,5
0,498
132
O. Płachtyna, Z. Kłosowski, R. Żarnowski
Rys. 6. Przebieg prądu i(t ) płynącego w obwodzie dla przypadku zasilania obwodu napięciem
przemiennym u (t )  100 sin( 2 π  500  t ) , gdzie:
przebieg analityczny,
punkty
wyznaczone metodą napięć średniokrokowych rzędu 2,
punkty wyznaczone metodą
napięć średniokrokowych rzędu 3
Fig. 6. Waveform of current i(t ) flowing in the circuit for supply with alternating voltage
u (t )  100 sin( 2 π  500  t ) , where:
analytical waveform,
points determined with
the 2-nd order average step voltage method,
points determined with the 3-rd order
average step voltage method
Rys. 7. Przebieg napięcia na kondensatorze u C (t ) dla przypadku zasilania obwodu napięciem
przemiennym u (t )  100 sin( 2 π  500  t ) , gdzie:
przebieg analityczny,
punkty
wyznaczone metodą napięć średniokrokowych rzędu 2,
punkty wyznaczone metodą
napięć średniokrokowych rzędu 3
Fig. 7. Waveform of capacitor voltage u C (t ) for supplying the circuit with alternating voltage
u (t )  100 sin( 2 π  500  t ) , where:
analytical waveform,
points determined with
the 2-nd order average step voltage method,
points determined with the 3-rd order
average step voltage method
Ocena skuteczności metody…
133
5. PODSUMOWANIE
Analiza wyników przedstawionych w tabelach 1 i 2 pozwala na konstatację, że:
– rozwiązanie z założoną dokładnością otrzymano wszystkimi rozpatrywanymi w artykule
metodami całkowania numerycznego.
– najmniejsza liczba kroków wykonywana na jednym okresie oscylacji nie zapewnia
najszybszego uzyskania rozwiązania. Dopiero po uwzględnieniu ilości wyliczanych
współczynników na drodze określania kolejnego przybliżenia, stwierdza się, że metody
takie jak:
o metoda napięć średniokrokowych rzędu III,
o metoda napięć średniokrokowych rzędu II,
o metoda Adamsa – Bashfortha rzędu IV,
o metoda Adamsa – Bashfortha – Moultona rzędu IV
w porównaniu z pozostałymi pozwalają najszybciej wyznaczyć rozwiązanie.
Dokładniejsza analiza wyników symulacji prowadzi do wniosku, że metoda napięć
średniokrokowych rzędu II i III zapewnia dla rozpatrywanego obwodu najszybsze uzyskanie
rozwiązania z założonym błędem maksymalnym w porównaniu z klasycznymi metodami
całkowania numerycznego.
BIBLIOGRAFIA
1. Dormand J. R., Prince P. J.: A family of embedded Runge – Kutta formulae. “Journal of
Computational and Applied Mathematics” 1980, Vol. 6, No. 1.
2. Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. WNT, Warszawa 1993.
3. Kincaid D., Chney W.: Analiza numeryczna. WNT, Warszawa 2006.
4. Mathews J.H., Fink K.D.: Numerical Methods using Matlab, Prentice Hall, Upper Saddle
River, New Jersey 1999.
5. Płachtyna O.: Tchislovyj odnokrokovyj metod analizu elektricznych kil i jogo
zastosuvanija w zadaczach elektromechaniki, Zeszyty Narodowego Uniwersytetu
Technicznego w Charkowie, nr 30, Charaków (Ukraina), 2008.
6. Rosłoniec S.: Wybrane metody numeryczne z przykładami zastosowań w zadaniach
inżynierskich. Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2008.
7. Skowronek M.: Modelowanie cyfrowe. Opis, algorytmy i środki programowe. Wyd.
Politechniki Śląskiej, Gliwice 2004.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Bernard Baron
Wpłynęło do Redakcji dnia 15 września 2011 r.
134
O. Płachtyna, Z. Kłosowski, R. Żarnowski
Abstract
In the paper the theoretical description author’s method of numerical integration of
differential equations is presented. In order to evaluate effectiveness of their usage in complex
mathematical models of electrical circuits is performed comparison of classical numerical
integration methods like trapezoid method, Runge-Kutta 2nd, 4th order method, BogackiShampine method, Adams-Bashforth 2nd , 3rd , 4th order method, Adams-Bashforh-Moulton
2nd, 3rd, 4th order method, Runge-Kutta-Fehlberg 2nd and 3rd, 4th and 5th order method,
Dormand-Price 4th and 5th order method, as well as Gear 2nd, 3rd, 4th order method to the
average-step voltages 1st, 2nd, and 3rd order method. Simple electrical circuit consisting of
resistor, capacitor and coil was considered. In taken into consideration circuit allowed for
oscillations in the case of supplying DC voltage, and voltage resonance in the case of
supplying AC voltage. The measure of effectivness is the time consumed for integration of
equation system assuming constant error between analytical solution and employed for
integration numerical method solution.