Gry kwantowe

Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Gry kwantowe
Jan Sładkowski
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
6. Forum Matematyków Polskich,
Warszawa, 11.09.2015
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
PLAN
1 Prolog
Star Trek: The Gambling Episode
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej
Podstawowe pojęcia i idee q-gier
”Kwantowanie” gier ”klasycznych”
Przykład: kwantowy dylemat więźnia
Modele duopolu
Czy istnieją prawdziwe gry kwantowe?
”Makroskopowe” gry kwantowe
Kryptografia
Hazard
Aukcje kwantowe
HP model
12 Mechanizmy kwantowe - Quantum mechanism design
13 Kwantowa teoria decyzji
Jan Sładkowski
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
14 Kwantowe gry na sieciach
Gry kwantowe
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Gry kwantowe
Gry kwantowe
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Gry kwantowe
Gry kwantowe
Gry kwantowe
Kwantowa teoria gier pojawiła się jako abstrakcyjna idea w
teorii kwantów – szybko się jednak zorientowano, że podobnie
jak w ,,klasycznej teorii”, jest to silne narzędzie analityczne.
Czy ma ona jakieś praktyczne znaczenie? Rozpatrzmy nigdy
(niestety!) nienakręcony epizod popularnego serialu.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
Based on a novel by David A. Meyer
Physical Review Letters 82 (1991) 1052.
1
Dawniej
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
znaną jako penny flip.
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
Based on a novel by David A. Meyer
Physical Review Letters 82 (1991) 1052.
Star Trek: The Gambling Episode
Kapitan Picard oraz Q - popularni bohaterowie serialu Star
Trek: The Next Generation - zwykle bardzo zajęci ratowaniem
Wszechświata mają akurat krótką przerwę, którą wykorzystują
by rozegrać partyjkę popularnej gry
SPIN FLIPP1 :
1
Dawniej
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
znaną jako penny flip.
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
OPIS I REGUŁY GRY
Potrzebny jest dwustanowy układ kwantowy, taki by łatwo
można było zmieniać jego stan.
Załóżmy, że jest to elektron i manipulujemu jego spinem.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
OPIS I REGUŁY GRY
Potrzebny jest dwustanowy układ kwantowy, taki by łatwo
można było zmieniać jego stan.
Załóżmy, że jest to elektron i manipulujemu jego spinem.
REGUŁA I
Po pierwsze przygotowujemy elektron w stanie spinowym ↑
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
REGUŁA II
Q odwraca lub nie spin elektronu zależnie od swojej strategii;
Picard nie zna ruchu Q!
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
REGUŁA II
Q odwraca lub nie spin elektronu zależnie od swojej strategii;
Picard nie zna ruchu Q!
REGUŁA III
Picard staje przed tym samym problemem: odwrócić czy nie
odwrócić spin elektronu;
Q nie zna ruchu Picarda!
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
REGUŁA IV
Q może jeszcze raz odwrócić (nieznany mu!) stan spinowy
elektronu zalenie od swojej woli;
Picard nie zna ruchu Q!
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
REGUŁA IV
Q może jeszcze raz odwrócić (nieznany mu!) stan spinowy
elektronu zalenie od swojej woli;
Picard nie zna ruchu Q!
REGUŁA V
Dokonujemy pomiaru spinu elektronu w bazie ↑ i ↓. Q wygrywa,
jeśli w wyniku pomiaru stanu spinowego elektronu uzyskamy
stan ↑.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
Macierz wypłat
Picard\ Q
F
N
NN
−1
1
NF
1
−1
FN
1
−1
FF
−1
1
Tabela : Macierz wypłat
gdzie wiersze i kolumny odpowiadają, odpowiednio, strategiom
(czystym) Picarda i Q. F oznacza obrót spinu (flip) a N jego
brak (no flip); liczby w tabeli wskazują, że Picard wygrywa ( 1 )
lub przegrywa −1.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
Przykładowa rozgrywka
Załóżmy, że Q wybrał strategię FN, a Picard N. Wtedy mamy
następującą sekwencję stanów spinowych elektronu:
1
2
3
4
↑
↓
↓
↓
Q przegrywa!
Nie ma w tym oczywiście nic szczególnego, ale . . .
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
wszystko tkwi w szczegółach!
Zastanówmy się jak mogłaby wyglądać implementacja takiej
gry?
Chcemy oczywicie zaimplementować ruchy graczy.
Najprawdopodobniej będzie to jakaś manipulacja polem
elektromagnetycznym.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
wszystko tkwi w szczegółach!
Zastanówmy się jak mogłaby wyglądać implementacja takiej
gry?
Chcemy oczywicie zaimplementować ruchy graczy.
Najprawdopodobniej będzie to jakaś manipulacja polem
elektromagnetycznym.
Załóżmy, że strategie są implementowane przy pomocy
impulsów elektromagnetycznych reprezentowanych przez
macierze unitarne:
F :=
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
↑
↓
↑
0
1
↓
1
0
oraz
N :=
↑
↓
↑ ↓
1 0
0 1
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
wszystko tkwi w szczegółach!
W notacji Diraca (w bazie {| ↑i, | ↓i}) stan kwantowy elektronu
jest opisywany przez kombinację liniową a| ↑i + b| ↓i, gdzie
a, b ∈ C, aa + bb = 1. Oznacza to, że prawdopodobieństwo
pomiaru spinu ,,do góry” wynosi aa.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
wszystko tkwi w szczegółach!
W notacji Diraca (w bazie {| ↑i, | ↓i}) stan kwantowy elektronu
jest opisywany przez kombinację liniową a| ↑i + b| ↓i, gdzie
a, b ∈ C, aa + bb = 1. Oznacza to, że prawdopodobieństwo
pomiaru spinu ,,do góry” wynosi aa.
Stan początkowy to stan | ↑i; zaś pierwszy ruch Q
reprezentowany przez:
↑
U1 = U(a, b) :=
↓
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
↑
a
b
↓
b
.
−a
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
wszystko tkwi w szczegółach!
Macierz gęstości dla stanu początkowego ρ0 = | ↑ih↑ | jest
przekształcana do stanu:
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
wszystko tkwi w szczegółach!
Macierz gęstości dla stanu początkowego ρ0 = | ↑ih↑ | jest
przekształcana do stanu:
aa ab
†
ρ1 = U1 ρ0 U1 =
.
ba bb
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
wszystko tkwi w szczegółach!
Załóżmy, że Picard wykonuje obrót spinu z
prawdopodobieństwem p. Wtedy jego ruch jest reprezentowany
przez macierz:
ρ2 = pFρ1 F† + (1 − p)Nρ1 N† =
pbb + (1 − p)aa pba + (1 − p)ab
.
pab + (1 − p)ba paa + (1 − p)bb
W analogiczny sposób opiszemy drugi ruch Q. Jeśli
przeprowadzi się analizę takiej rozgrywki to okaże się, że
używanie mieszanych strategii przez obydwu graczy prowadzi
do sprawiedliwej rozgrywki. Ale . . .
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Star Trek: The Gambling Episode
wszystko tkwi w szczegółach!
Q może w pierwszym ruchu wykonać operację Uq :
√
√
U1 = Uq = U(1/ 2, 1/ 2),
która przeprowadza stan elektronu we wspólny stan własny
transformacji F i N i, w konsekwencji, operacji pF + (1 − p)N!
Dlatego niezależnie od ruchu Picarda, jeśli Q wykona w drugim
ruchu transformacje odwrotną stanem końcowym zawsze będzie
stan
ρ3 = Uq ρ2 U†q = ρ3 = | ↑ih↑ |
zapewniając Q wygraną!
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Morał
Morał
Jeśli nie będziemy się mieli na baczności, to w skutek rozwoju
technologicznego może nas spotkać los kapitana Picarda!
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Morał
Morał
Jeśli nie będziemy się mieli na baczności, to w skutek rozwoju
technologicznego może nas spotkać los kapitana Picarda!
Narzucającym się przykładem jest kryptografia, w której
zagrożenie może przyjść z kilku stron:
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Morał
Morał
Jeśli nie będziemy się mieli na baczności, to w skutek rozwoju
technologicznego może nas spotkać los kapitana Picarda!
Narzucającym się przykładem jest kryptografia, w której
zagrożenie może przyjść z kilku stron:
moc obliczeniowa
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Morał
Morał
Jeśli nie będziemy się mieli na baczności, to w skutek rozwoju
technologicznego może nas spotkać los kapitana Picarda!
Narzucającym się przykładem jest kryptografia, w której
zagrożenie może przyjść z kilku stron:
moc obliczeniowa
technologia podsłuchu
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Star Trek: The Gambling Episode
Morał
Morał
Jeśli nie będziemy się mieli na baczności, to w skutek rozwoju
technologicznego może nas spotkać los kapitana Picarda!
Narzucającym się przykładem jest kryptografia, w której
zagrożenie może przyjść z kilku stron:
moc obliczeniowa
technologia podsłuchu
???
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Stany i obserwable
Świat według mechaniki kwantowej
W teorii kwantów wielkości fizyczne (obserwable) są
reprezentowane przez operatory działające w pewnej przestrzeni
Hilberta H.
Elementy H są najczęściej oznaczane greckimi literami, np ψ
(funkcje falowe)
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Notacja Diraca
stan ψ w notacji Diraca zapisywany jest jako |ψi
iloczyn skalarny φ i ψ zapisywany jest jako hφ|ψi
działanie operatorów reprezentujemy jako A|ψi, hφ|Aψi
(wartość oczekiwana), hφ|A|ψi (A jest samosprzężony)
operator rzutowania na stan (wektor) |ψi zapisujamy jako
|ψihψ|
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Stany czyste i mieszane
unormalizowane wektory - tzn. takie, że hψ|ψi = 1 reprezentują najprostsze układy kwantowe nazywane
stanami czystymi
oczywiście ψ ∼ eiθ ψ
stan czysty |ψi moe być reprezentowany przez operator
ρ = |ψihψ|
w ogólnym przypadku możemy tylko podać, że układ jest z
prawdopodobieństwem pi w stanie |ψi i; wtedy używamy
tzw P
macierzy (operatora) gęstości do opisu układu:
ρ = i pi |ψihψ|
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Stany i obserwable
układy złożone opisujemy przy pomocy iloczynu
tensorowego ”układów-składników”.
dynamikę opisuje równanie Schrödingera
brak możliwości klonowania (no-clonning theorem)
zasada nieoznaczoności [∆K, ∆F] = i[K, F],
gdzie ∆A = A − hAi
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Podstawowe pojęcia i idee w teorii gier kwantowych
Fundamentalne prace
Wiesner S., Conjugate coding, SIGACT News 15/1 (1983)
78.
Meyer, D. A., Quantum strategies, Physical Review Letters
82 (1999) 1052
Eisert, J., Wilkens, M., Lewenstein, M., Quantum games
and quantum strategies, Physical Review Letters 83 (1999)
3077
Marinatto,L., Weber, T., Physics Letters A 272 (2000) 291
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Podstawowe pojęcia i idee
Podstawowe pojęcia i idee
W zasadzie dowolny układ kwantowy, który może być
manipulowany przez co najmniej jedną stronę i dla którego
można w sensowny sposób określić funkcję użyteczności (zysk)
może być postrzegany jako gra kwantowa. Układ taki możemy
nazwać kwantową planszą do gry, a dopuszczalne manipulacje
ruchami.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Podstawowe pojęcia i idee
Realistyczna gra kwantowa, oprócz tego co potocznie
rozumiemy jako reguły gry powinna określać przyrządy
(metody) pomiarowe, kanały przesyłki informacji, metodę jej
zakończenia itd. Na przykład, dwuosobowa gra kwantowa
Γ = (H, ρ, SA , SB , PA , PB )
jest na poziomie teoretycznym opisana poprzez podanie
przestrzeni Hilberta H fizycznej implementacji, stanu
początkowego ρ ∈ S(H), gdzie S(H) to przestrzeń stanów, a
zbiory SA i SB definiują dopuszczalne operacje (ruchy).
Ponadto, powinna być określone wypłaty/funkcje użyteczności
PA and PB obu graczy.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Podstawowe pojęcia i idee
Strategią (dopuszczalną strategią kwantową) sA ∈ SA , sB ∈ SB
będzie zbiór kwantowych operacji przekształcających przestrzeń
Hilberta na siebie.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Podstawowe pojęcia i idee
Strategią (dopuszczalną strategią kwantową) sA ∈ SA , sB ∈ SB
będzie zbiór kwantowych operacji przekształcających przestrzeń
Hilberta na siebie.
Schematycznie mamy
ρ 7→ (sA , sB ) 7→ σ ⇒ (PA , PB ) .
Uogólnienia są oczywiste.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Podstawowe pojęcia i idee
Strategią (dopuszczalną strategią kwantową) sA ∈ SA , sB ∈ SB
będzie zbiór kwantowych operacji przekształcających przestrzeń
Hilberta na siebie.
Schematycznie mamy
ρ 7→ (sA , sB ) 7→ σ ⇒ (PA , PB ) .
Uogólnienia są oczywiste.
Implementacja będzie zawierać szereg dodatkowych reguł i
warunków precyzujących kolejność kroków implementacji,
kanały komunikacji, metody pomiarowe itd.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych”
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” jest niezbyt precyjnym
określeniem. Na ogół po prostu milcząco przyjnuje się, że gra
uzyskana poprzez ”kwantyzację” pozwala pewne strategie
utożsamić ze strategiami dostępnymi w grze wyjściowej
(”klasycznej”) i odpowiadającymi im wypłatami.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych”
Najpopularniejsze są następujące podejcia (tzw protokoły):
poprzez implementację (schemat Meyera)
schemat Eiserta, Wilkensa i Lewensteina
schemat Marinatto i Webera
schemat ”drugiego kwantowania”
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” – EWL
ρf
= J−1 ◦ D′ ◦ S ◦ D ◦ J(ρi ),
(1)
gdzie stan początkowy ma postać
(2)
ρi = |00ih00|
a D′ oraz D oznaczają ewentualny (destrukcyjny) wpływ
otoczenia.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” – EWL
Przy powyższym wyborze stanu początkowego splątanie może
być generowane przy pomocy:
J(ρ) = J(γ)ρJ(γ)†
(3)
J(γ) = cos(γ/2)I ⊗ I + i sin(γ/2)σx ⊗ σx
(4)
gdzie
a I i σx oznzaczają odpowiednio, operator jednostkowy i
”drugą” macierz Pauliego. γ w pewnym sensie mierzy stopień
splątania. Zauważmy, że wskutek dekoherencji stopień splątania
nie musi wzrastać ze wzrostem parametru γ.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” – EWL
U(θ, φ, α) =
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
eiφ cos(θ/2)
ieiα sin(θ/2)
.
−ie−iα sin(θ/2) e−iφ cos(θ/2)
(5)
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych”
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” – MW
S = SA ⊗ SB = {|00i, |10i, |01i, |11i}
|ψfin i = UA (a, b)⊗UB (c, d)|ψin i = ac|00i−bc|10i−ad|01i+bd|11i,
gdzie
U(x, y) =
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
x y
.
−y x
(6)
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” – MW
W przedstawieniu operatorów gęstości stan końcowy przyjmuje
postać:
ρfin = α|00ih00| + β|10ih10| + γ|01ih01| + δ|11ih11|
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” – DK
[a, a† ] = aa† − a† a = 1
|ψin i = |00i
J(γ) = exp(−γ(a†1 a†2 − a1 a2 ))
xi (a†i − a†i )
√
)
Di (xi ) = exp(
2
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych”
|ψout i = J(γ)† (D1 (x1 ) ⊗ D2 (x2 ))J(γ)|ψin i
”Wyniki” otrzymujemy poprzez obliczanie warości
oczekiwanych ”obserwabli”, np.:
a†i − a†i
Xi = √
2
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” opis Bleilera
Mieszane strategie – rozkłady prawdopodobieństw na Si
niech ∆(X) będzie zbiorem rozkładów prawdopodobieństwa
na X
Dla danej gry G oznaczmy zanurzenie Si w ∆(Si ) przez ei
(traktujemy ∆(Si ) jako zbiór wypukłych kombinacji
liniowych elemetów Si )
Q
Q
Gmix : ∆(Si ) → Ωi (zbiór wyników)
Gmix jest rozszerzeniem G,
Gmix ◦ Πei = G
Pomiar wielkości X to funkcja qmeas
ImG : QS(X) → ∆(X)
(QS(X) to kwantowe spuperpozycje elementów X)
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” opis Bleilera
Weźmy grę o n uczestnikach G i niech Q1 , . . . , Qn będą
niepustymi zbiorami
Protokół
Q kwantowania to funkcja
Q : Qi → QS(ImG)
Pomiar prowadzi do rozkładu prawdopodobieństwa na ImG
– mamy więc nową grę GQ
Tak uzyskaną grę nazywamy grą skwantowaną wg
protokołu Q
Zbiory Qi ’s nazywamy zbiorami czystych strategii
kwantowych dla GQ
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Kwantowanie” gier ”klasycznych” opis Bleilera
Jeśli isnieje zanurzenie e′i : Si → Qi takie, że GQ ◦
to GQ nazywamy właściwym kwantowaniem G.
Q
e′i = G,
Jeśli istnieje inne zanurzenie Q
e′′i : ∆(Si ) → Qi takie, że GQ ◦ e′′i = Gmix ,
to GQ nazywamy zupełnym kwantowaniem G.
Właściwe ”wyjściowej” gry kwantowanie otrzymujemy
Q
przez ograniczenie kwantowania do obrazu e′i .
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
kwantowy dylemat więźnia
Eisert, J., Wilkens, M.,Lewenstein, M., Quantum games and
quantum strategies, Physical Review Letters 83 (1999) 3077
|ψk i = apww |00i + apow |10i + apwo |01i + apoo |11i
co daje wypłatę:
$A = w|apww |2 + f|apow |2 + z|apwo |2 + k|apoo |2 ,
gdzie
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
kwantowy dylemat więźnia
A\ B
W
O
W
(w,w)
(z,f)
O
(f,z)
(k,k)
Tabela : Macierz wypłat
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
kwantowy dylemat więźnia
apww = cos
θA
θB
θA
θB
cos
cos(φA + φB ) − sin
sin
sin(αA + αB )
2
2
2
2
θB
θA
θB
θA
cos
cos(αA − φB ) − cos
sin
sin(φA αB )
2
2
2
2
θA
θB
θA
θB
apwo = sin
cos
sin(αA − φB ) + cos
sin
cos(φA αB )
2
2
2
2
θA
θB
θA
θB
apoo = cos
cos
sin(φA + φB ) + sin
sin
cos(αA + αB )
2
2
2
2
apow = sin
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Modelowanie rywalizacji dwóch firm
Piotr Frąckiewicz, Remarks on quantum duopoly schemes,
arXiv:1508.07729
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Czy istnieją prawdziwe gry kwantowe?
Czy istnieją prawdziwe gry kwantowe? Co ten termin
oznacza?
Układ kwantowy, którego ewolucję interpretujemy w języku
teorii gier
nierówności Bella (Iqbal, Chappell, Abbott, arXive:
1507.07341)
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Makroskopowe” gry kwantowe
Termin został zaproponowany przez Andreya Griba i Georgesa
Parfionova. Sytuacja powinna być trudna do modelowania z
użeciem logiki klasycznej/rachunku prawdopodobieśtwa.
Fakty ”doświadczalne”:
W wielu makroskopowych problemach decyzyjnych zdarza
się, że odpowiadająca im krata nie jest rozdzielna. Wtedy,
zamiast standardowej miary probabilistycznej lepsze wyniki
daje możliowść użycia amplitud prawdopodobieśtwa;
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Makroskopowe” gry kwantowe
Termin został zaproponowany przez Andreya Griba i Georgesa
Parfionova. Sytuacja powinna być trudna do modelowania z
użeciem logiki klasycznej/rachunku prawdopodobieśtwa.
Fakty ”doświadczalne”:
W wielu makroskopowych problemach decyzyjnych zdarza
się, że odpowiadająca im krata nie jest rozdzielna. Wtedy,
zamiast standardowej miary probabilistycznej lepsze wyniki
daje możliowść użycia amplitud prawdopodobieśtwa;
Nieprzechodniość decyzji;
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Makroskopowe” gry kwantowe
Termin został zaproponowany przez Andreya Griba i Georgesa
Parfionova. Sytuacja powinna być trudna do modelowania z
użeciem logiki klasycznej/rachunku prawdopodobieśtwa.
Fakty ”doświadczalne”:
W wielu makroskopowych problemach decyzyjnych zdarza
się, że odpowiadająca im krata nie jest rozdzielna. Wtedy,
zamiast standardowej miary probabilistycznej lepsze wyniki
daje możliowść użycia amplitud prawdopodobieśtwa;
Nieprzechodniość decyzji;
Paradoksy: disjunction effect, kategoryzacja (klasyfikacja)
itp
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
”Makroskopowe” gry kwantowe
doprowadziły do zaproponowania: Kwantowej teorii decyzji
David Deutsch; David Wallace (Everett interpretation)
JR Busemeyer
A Khrennikov
VI Yukalov, D Sornette
JS & EPW
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Kryptografia
Kryptografia
Mimo, że kryptografia praktycznie każdemu kojarzy się z grą
(np.: złamanie szyfru) to w komercyjnym kontekście ten aspekt
jest mniej istotny.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Kryptografia
Kryptografia
Mimo, że kryptografia praktycznie każdemu kojarzy się z grą
(np.: złamanie szyfru) to w komercyjnym kontekście ten aspekt
jest mniej istotny.
Kryptografia na pewno jest i będzie jedenym z motorów
napędzającym rozwój informatyki kwantowej.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Kryptografia
Kryptografia
Mimo, że kryptografia praktycznie każdemu kojarzy się z grą
(np.: złamanie szyfru) to w komercyjnym kontekście ten aspekt
jest mniej istotny.
Kryptografia na pewno jest i będzie jedenym z motorów
napędzającym rozwój informatyki kwantowej.
Wartość rynku może być ogromna!
id Quantique, MagiQ Technologies, SmartQuantum
Toshiba, NEC Corp, IBM, BBN Technologies, NTT,
Mitsiubishi, QuinetQ, ARCS, . . .
DARPA (BBN Technologies, Harvard, Boston)
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Hazard kwantowy?
Hazard kwantowy
Przy obecnym stanie rozwoju technologicznego i kulturowego
powstanie ,,kwantowych kasyn” wydaje się być bardzo
prawdopodobne. Jest to tym bardziej prawdopodobne, że do
implementacji prostych, a niekoniecznie trywialnych gier
kwantowych wystarczy skromma liczba qubitów!
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Hazard kwantowy?
Hazard kwantowy
Przy obecnym stanie rozwoju technologicznego i kulturowego
powstanie ,,kwantowych kasyn” wydaje się być bardzo
prawdopodobne. Jest to tym bardziej prawdopodobne, że do
implementacji prostych, a niekoniecznie trywialnych gier
kwantowych wystarczy skromma liczba qubitów!
Chyba pierwszą propozycją była praca:
Lior Goldenberg, Lev Vaidman, and Stephen Wiesner,
Quantum Gambling, Phys. Rev. Lett. 82, 3356 - 3359
(1999)
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Hazard kwantowy?
Rynek
Takie przedsięwzięcie będzie z pewnością kosztowne, ale jeśli
porównamy przychodzące do głowy kwoty, to porównać z
funduszami wydawanymi na reklamy to sytuacja nie wygląda
już tak beznadziejnie.
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Hazard kwantowy?
Rynek
Takie przedsięwzięcie będzie z pewnością kosztowne, ale jeśli
porównamy przychodzące do głowy kwoty, to porównać z
funduszami wydawanymi na reklamy to sytuacja nie wygląda
już tak beznadziejnie.
Wniosek: łatwa w implementacji i, możliwie ciekawa, gra
kwantowa jest pilnie poszukiwana: pomysłodawca może odnieść
sukces finansowy! :-)
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
HP model
Aukcje kwantowe
Aukcje kwantowe HP model
pitem + pprice osobne kubity dla każdego uczestnika;
dla ”multi-aukcji” oferta jest superpozycją:
P
j αj |bundlej i ⊗
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
|pricej i dla każdej porcji.
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
HP model
Aukcje kwantowe
Aukcje kwantowe HP model
pitem + pprice osobne kubity dla każdego uczestnika;
dla ”multi-aukcji” oferta jest superpozycją:
P
j αj |bundlej i ⊗
|pricej i dla każdej porcji.
Można pokazać istnienie równowag
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
HP model
Aukcje kwantowe
Aukcje kwantowe HP model
pitem + pprice osobne kubity dla każdego uczestnika;
dla ”multi-aukcji” oferta jest superpozycją:
P
j αj |bundlej i ⊗
|pricej i dla każdej porcji.
Można pokazać istnienie równowag
”Łatwość” implementacji; może uwzględniać aukcje
kombinatoryczne
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
HP model
Aukcje kwantowe
Aukcje kwantowe HP model
pitem + pprice osobne kubity dla każdego uczestnika;
dla ”multi-aukcji” oferta jest superpozycją:
P
j αj |bundlej i ⊗
|pricej i dla każdej porcji.
Można pokazać istnienie równowag
”Łatwość” implementacji; może uwzględniać aukcje
kombinatoryczne
szczegóły: quant-ph/0704.0800
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
HP model
Aukcje kwantowe
Aukcje kwantowe
Potencjalne zalety aukcji kwantowych
prywatność
bezpieczeństwo
problemy algorytmiczno-obliczeniowe
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Quantum game forms and mechanism design
W zasadzie nie powinno nas dziwić, że skoro skonstruowano gry
kwantowe, to rozważa się również kwantową teorię
mechanizmów. Ale czy kwantowy formalizm wnosi coś nowego
do teorii?
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Quantum game forms and mechanism design
W zasadzie nie powinno nas dziwić, że skoro skonstruowano gry
kwantowe, to rozważa się również kwantową teorię
mechanizmów. Ale czy kwantowy formalizm wnosi coś nowego
do teorii?
Pierwszy zadał to pytanie Haoyang Wu from Wan-Dou-Miao
Research Lab, Shanghai
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Haoyang Wu Approach
Haoyang Wu (2011), Quantum mechanism helps agents combat
“bad” social choice rules ,
Int. J. Quantum Inform., 09, 615
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Haoyang Wu Approach
Haoyang Wu (2011), Quantum mechanism helps agents combat
“bad” social choice rules ,
Int. J. Quantum Inform., 09, 615
Haoyang Wu (2013) Quantum Bayesian implementation,
Quantum Information Processing 12, 805
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Haoyang Wu Approach
Haoyang Wu (2011), Quantum mechanism helps agents combat
“bad” social choice rules ,
Int. J. Quantum Inform., 09, 615
Haoyang Wu (2013) Quantum Bayesian implementation,
Quantum Information Processing 12, 805
Haoyang Wu (2013) Subgame perfect implementation: A new
result: arXiv:1104.2479
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Kwantowa teoria decyzji
Paradoksy teorii gier
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Kwantowa teoria decyzji
Paradoksy teorii gier
Paradoksy filozoficzne
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Kwantowa teoria decyzji
Paradoksy teorii gier
Paradoksy filozoficzne
Paradoksy logiczne
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Kwantowa teoria decyzji
Paradoksy teorii gier
Paradoksy filozoficzne
Paradoksy logiczne
”Zero knowledge problems”
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Kwantowa teoria decyzji
Paradoksy teorii gier
Paradoksy filozoficzne
Paradoksy logiczne
”Zero knowledge problems”
Jedno- i wieloręki bandyta
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego
Prolog
Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej Podstawowe pojęcia i idee q-gier ”Kwantowanie” gi
Kwantowe gry na sieciach
błądzenie na sieciach
koordynacja i synchronizacja
rywalizacja
efekty typu Parrondo
Jan Sładkowski
Gry kwantowe
Instytut Fizyki Uniwersytetu Śląskiego