Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 6
Pomiar różnicy dróg optycznych metodą analizy widma
Pojęcia podstawowe:
Polaryskop; różnica dróg optycznych; dwójłomność liniowa i kołowa; aktywność optyczna;
widmo światła białego.
1. Wstęp
Pomiar różnicy dróg optycznych (albo: różnicy faz, wprowadzanych przez obiekt
dwójłomny pomiędzy jego pierwszym i drugim wektorem własnym) należy do najczęściej
wykonywanych pomiarów w optyce polaryzacyjnej. Istnieje wiele metod pomiaru
interesującej nas wielkości, że wymienimy na przykład (wśród stosowanych w naszym
laboratorium): metody kompensacji Senarmonta i metodę oceny barwy. Inną metodę pomiaru,
za pomocą analizy widma światła wychodzącego z polaryskopu liniowego, zaproponował po
raz pierwszy F. Ratajczyk [1]. Zasadę pomiaru ilustruje Rys.1.
Rys.1 Zasada pomiaru różnicy dróg optycznych metodą analizy widma
Dwa polaryzatory liniowe: P i A (ten drugi zwany jest zwyczajowo analizatorem)
skrzyżowano, a pomiędzy nie wprowadzono badany obiekt dwójłomny pod kątem azymutu
1  45 . Układ oświetlono światłem białym (a więc takim, w którym występują wszystkie
długości fali, przynajmniej w zakresie widzialnym). Zakładamy oczywiście, że badany obiekt
jest jednorodny. Specyficzne jego ustawienie pod kątem azymutu 1  45 powoduje, ze wzór
polaryskopowy (por. praca[1]):
 R 
I  I max sin 2 2 1  sin 2  
  
(1)
upraszcza się do następującej postaci:
 R 
I  I max sin 2  
  
(2)
gdzie I max jest maksymalnym natężeniem światła wychodzącego, R oznacza różnicę dróg
optycznych wprowadzanych przez obiekt a  jest długością fali świetlnej. Uproszczenie
wzoru (1) polega oczywiście na braku zależności natężenia światła na wyjściu od kąta
azymutu próbki a ściślej: wartość 1  45 zapewnia, że natężenie światła na wyjściu nie
będzie osłabione czynnikiem sin 2 2 1  . Nie będzie więc charakterystycznego wygaszenia –
izokliny, występującego w obrazie polaryskopowym. Ponieważ światło wchodzące do układu
jest białe, w świetle wychodzącym z analizatora będzie brakowało fal o długościach 
spełniających warunek:
R
N
N
(3)
gdzie N  0,1,2,... Pamiętajmy przy tym, że również wielkość R (różnica dróg optycznych)
zależy od długości fali  (dyspersja dwójłomności). Jeśli światło wychodzące z układu
rozłożymy na widmo (na przykład przez zastosowanie pryzmatu bądź siatki dyfrakcyjnej) to
w tym widmie pojawią się ciemne prążki w miejscach, odpowiadających długościom fal,
spełniających warunek (3). Jeżeli przeprowadzimy całą serię pomiarów i znajdziemy kilka
(kilkanaście) wygaszonych długości fal, to możemy na podstawie znajomości ich wartości
obliczyć różnicę dróg optycznych w badanym obiekcie – oczywiście, dla tych właśnie
długości fal. Załóżmy, że chcemy obliczyć różnicę dróg optycznych Rn dla pewnej długości
fali  n , dla której nastąpiło wygaszenie w widmie. Możemy dla tej fali zapisać zależność (3)
jako:
Rn  n n
(4)
i podobnie dla innej, krótszej długości fali  m , której minimum znaleźliśmy:
Rm  m m .
(5)
Z definicji różnicy dróg optycznych:
Rn  d ns  n f
Rm  d ns  n f


(6a)
n
(6b)
m
gdzie d jest grubością ośrodka a ns  n f

k
oznacza różnicę dwójłomności ośrodka dla k -tej
długości fali ( k  n, m ), czyli różnicę współczynników załamania fali wolnej ( s =”slow”) i
szybkiej ( f =”fast”) w ośrodku. Dzieląc stronami równania (6b) przez (6a) i podstawiając
wzory (4) oraz (5), otrzymamy ostatecznie:
Rn  m  n
n 
(7)
Dnm  n   m
gdzie Dnm oznacza względną dyspersję ośrodka:
Dnm 
n
n
f
f
 n s m
 n s n
(8)
i jest dla ośrodków jednoosiowych równa:
Dnm 
no  ne m
no  ne n
(„o”=“ordinary”=zwyczajny;
(9a)
„e”=extraordinary”=nadzwyczajny
–
por. praca [1]),
natomiast dla ośrodków dwuosiowych wynosi ona:
Dnm 
n z  n x m
.
n z  n x n
(9b)
Jeżeli Dnm  1 to dyspersja dwójłomności ośrodka jest normalna, a jeśli Dnm  1 - anomalna.
Liczby n i m oznaczają bezwzględne numery prążków, ale wystarczy nam znajomość
ich różnicy – czyli numerację naszych wyników możemy zacząć w dowolnym miejscu i od
dowolnego numeru. Warunek:
n  m nie jest tak naprawdę konieczny – można
wykorzystywać powyższe wzory również dla obliczenia różnicy dróg optycznych dla danej
długości fali  n wykorzystując znalezione wygaszenia dla większych długości fal m , bo
przecież różnica dróg optycznych i tak wyznaczana jest z dokładnością do znaku (to znaczy,
obliczamy różnicę dróg w ośrodku między falą szybką i wolną, nie dbając o to, która z nich
jest zwyczajna, a która nadzwyczajna – inaczej mówiąc, w naszych obliczeniach nie
przejmujemy się zbytnio znakiem kryształu).
Jak widać, do obliczenia różnicy dróg optycznych w ośrodku potrzebna jest nam
znajomość dwójłomności materiału, z którego wykonany jest badany obiekt, a dokładniej
znajomość różnicy współczynników załamania
no  ne 
bądź
n z  n x  .
Wielkości te
możemy znaleźć w literaturze, na przykład (dla kwarcu) w pracy [1].
Powyższa analiza została przeprowadzona w zasadzie dla ośrodków o dwójłomności
liniowej, o czym nie wspomniano może bezpośrednio, ale co wynika choćby z przyjętych
oznaczeń. Tym niemniej, dla ośrodków o dwójłomności kołowej, również można
wykorzystać opisaną metodę pomiaru – szukania minimów w widmie światła wychodzącego
z polaryskopu liniowego skrzyżowanego – dla wyznaczenia kąta skręcenia  azymutu fali po
przejściu przez badany ośrodek. Można pokazać, że w tym przypadku:
n  m  n 
m
Dnm n  m
(10)
gdzie n oznacza kąt skręcenia azymutu n-tej wygaszonej fali  n (liczony z uwzględnieniem
wygaszenia innej fali o długości m ). Współczynnik Dnm wyznaczyć możemy tym razem
dużo prościej ze znajomości zdolności skręcających 0 n i 0 m materiału, z którego wykonana
jest badana próbka. Mamy wtedy:
Dnm 
0 m m
.
0 n n
(11)
Odpowiednie zdolności skręcające znajdziemy w literaturze.
Zauważmy, że w przypadku niedokładnego spełnienia warunku na ustawienie badanej
próbki pod kątem azymutu 1  45 , cała powyższa analiza będzie prawdziwa i szukane
minima wystąpią dla tych samych długości fal – tyle tylko, że głębokość tych minimów (to
znaczy, wartość sygnału na detektorze w porównaniu z wartością sygnału pomiędzy
minimami) będzie mniejsza, a więc trudniej będzie te minima znaleźć.
2. Przebieg pomiarów.
Postępując zgodnie z instrukcją roboczą stanowiska pomiarowego („Monochromator
polaryzacyjny”) ustawiamy kolejno: geometrię wiązki świetlnej i krzyż polaryzacyjny.
Następnie wkładamy badane płytki dwójłomne, justując je również zgodnie z zaleceniami
zawartymi w tejże instrukcji. Pamiętajmy o tym, że próbki liniowe justujemy pod kątem
azymutu   45 względem krzyża polaryzacyjnego, podczas gdy w przypadku próbek
kołowych ich ustawienie nie jest istotne. Zmieniając przy pomocy śruby M długość fali
światła, przepuszczanego przez monochromator, notujemy kolejne wartości długości fali i,
przy których natężenie światła na detektorze D osiąga minima. Pomiarów dokonujemy w
przedziale 400700 nm, zwracając uwagę na zmianę czułości względnej detektora wraz ze
zmianą długości fali (co może powodować konieczność zmiany zakresu miernika). Zaleca się
ocenę dokładności pomiarów poprzez powtórzenie ich na przemian dla malejących i
rosnących długości fali. Notujemy wartości długości fali, dla której wystąpiło minimum
sygnału na detektorze oraz – dla kontroli wyników – również wartość tego sygnału, która nie
jest wprawdzie potrzebna do naszych obliczeń, ale może być pomocna w analizie
otrzymanych wyników.
UWAGA: Przebieg pomiarów został zautomatyzowany. Szczegółowa instrukcja
postępowania w przypadku korzystania ze sterownika, połączonego z komputerem,
została
przedstawiona
w
opisie
stanowiska
pomiarowego
„Monochromator
polaryzacyjny”.
3. Opracowanie wyników
Wyliczamy różnicę dróg optycznych Rn (bądź kątów skręcenia n ) wprowadzaną
przez płytkę dla kilku wybranych długości fal  n , biorąc do obliczeń kilka innych minimów
m . Należy ocenić otrzymane wyniki poprzez porównanie ich z wartością Rn ( n )
oszacowaną na podstawie pomiarów geometrycznych (tzn. grubości próbki i jej średniej
dyspersji bądź skrętności właściwej). Parametry próbek (współczynniki załamania fali
zwyczajnej i nadzwyczajnej dla ośrodka liniowego oraz skrętności właściwe dla ośrodka
kołowego) znajdują się między innymi w podręczniku F. Ratajczyka „Dwójłomność i
polaryzacja optyczna”. W przypadku zdolności skręcającej można wykorzystać zarówno
tabelę 5 na końcu książki jak i wzór (13.30), podający zależność tej wielkości dla kwarcu w
funkcji
długości
fali.
Natomiast
dla
ośrodka
liniowego
odpowiednie
wartości
współczynników załamania fali zwyczajnej n o i nadzwyczajnej n e dla kwarcu znajdujemy w
tabeli 2 i aproksymujemy je krzywą typu:
n   
A
2
B
gdzie A i B są stałymi, wyznaczanymi w procesie aproksymacji. Inną możliwością jest
liniowa interpolacja przedziałami, dla każdego przedziału, w którym znajduje się długość fali
 , dla której znaleźliśmy minimum sygnału.
Może się zdarzyć, że ze względu na niedoskonałość układu pomiarowego „zgubimy”
jakieś minimum bądź znajdziemy „fałszywe” (np. wynikające z nieliniowej charakterystyki
detektora). W procesie obliczeniowym istotne jest, aby danemu minimum przypisać jego rząd
(liczby n i m), w związku z tym opisane wyżej „pomyłki” (możemy je traktować jako błędy
grube pomiaru) mocno zaważą na końcowych wynikach. Należy więc bacznie przyjrzeć się
otrzymanym wynikom w celu wyeliminowania takich rozbieżności. Jednym ze sposobów
może być wstępne wykreślenie zależności długości fali  znalezionego minimum w funkcji
numeru (rzędu) prążka m. Jak wiadomo, typowa dyspersja ośrodka dwójłomnego jest funkcją
przypominającą hiperbolę 1 x 2 i taką też zależność powinien przedstawiać nasz wykres
 m .
Wszelkie
odstępstwa
od
tej
zależności
mogą
sugerować
konieczność
„przenumerowania” minimów bądź usunięcia „fałszywego” wyniku. Jeszcze wyraźniej
obecność takich „zakłóceń” pokaże być może wykres różnic między sąsiednimi znalezionymi
minimami w funkcji rzędu prążka.
UWAGA: W przypadku korzystania ze „zautomatyzowanej” wersji programu
(sterownik połączony z komputerem, wyniki zapisywane w formie arkuszy programu
Excel) można opracować wyniki pomiaru opierając się na poniższym przepisie:
1. Otworzyć w
arkuszu kalkulacyjnym Microsoft Excel zapisany plik zawierający
wyniki pomiaru krzywej czułości układu oraz plik „szablon.xls” znajdujący się na
pulpicie monitora. Skopiować zmierzone wartości i wkleić do kolumn „Długość fali
[μm]” oraz „Natężenie” w pliku „szablon.xls” w arkuszu „Wyniki”.
2. Podobnie z pliku zawierającego dane z głównego pomiaru skopiować wartości
natężenia światła i wkleić do kolumny „Natężenie światła dla próbki liniowej” w pliku
„szablon.xls” w arkuszu „Wyniki”. W kolejnej kolumnie na prawo pojawi się wynik
dzielenia wprowadzonych przed momentem wartości natężeń przez wartości natężeń
otrzymanych przy pomiarze krzywej czułości układu. Operacja ta niweluje negatywny
wpływ krzywej czułości układu. Otrzymujemy dwa wykresy funkcji: Wykres I
przedstawia otrzymane w wyniku pomiarów natężenie światła w funkcji długości fali,
Wykres II tę samą zależność jednakże po operacji dzielenia.
3. Z Wykresu II odczytać dla jakich długości fal występują kolejne minima i maksima
natężenia światła i w arkuszu „Obróbka danych” wpisać je w pierwszą kolumnę
„Długości fal dla minimów i maksimów natężenia [m]”. Uwaga!!! Długości fal
wpisujemy kolejno od największych do najmniejszych i podane są one w
mikrometrach.
4. W arkuszu „Współczynniki załamania kwarcu” w trzech pierwszych kolumnach
podane są książkowe wartości współczynników załamania fali zwyczajnej i
nadzwyczajnej dla różnych długości fali. W kolumnie „Δn” obliczone są kolejne
wartości dwójłomności. Na podstawie tych danych został stworzony wykres Δn/λ w
funkcji długości fali λ i przybliżony linią trendu w postaci wielomianu czwartego
stopnia y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Równanie to
można
zapisać w postaci
Δn/λ = aλ4 + bλ3 + cλ2 + dλ + e. Jest ono wykorzystane do dalszych obliczeń w
arkuszu „obróbka danych” w kolumnie „Δn/λ”. Pod stałe a, b, c, d, e zostały
podstawione odpowiednie wartości z równania linii trendu zaś za λ kolejne wartości z
sąsiedniej kolumny „Długości fal dla minimów i maksimów natężenia [m]”. W
trzeciej kolumnie na prawo „m” wpisane zostały kolejne numery minimów i
maksimów natężenia światła. Na podstawie tych danych został stworzony wykres
 n 
m   . Dodając linię trendu otrzymujemy równanie liniowe y = ax - b gdzie
  
zmienne x, y oznaczają odpowiednio Δn/λ oraz m czyli numer ciemnego prążka,
współczynnik kierunkowy a - grubość badanej płytki d ( w μm ), zaś stała b - rząd
przesunięcia fazowego N0.
5. Wykres różnicy dróg optycznych obliczonej ze wzoru R = λN znajduje się w ostatnim
załączonym arkuszu.