zagadnienia odwrotne przewodzenia ciepła w zastosowaniu do

Archives of Foundry,
Year 2001, Volume 1, № 1 (2/2)
Archiwum Odlewnictwa,
Rok 2001, Rocznik 1, Nr 1 (2/2)
PAN – Katowice PL ISSN 1642-5308
17/2
ZAGADNIENIA ODWROTNE PRZEWODZENIA CIEPŁA
W ZASTOSOWANIU DO WYZNACZANIA CHARAKTERYSTYK
MATERIAŁÓW
Z.IGNASZAK1, H.KAMIŃSKI2, G.SYPNIEWSKA–KAMINSKA2
1
Instytut Technologii Materiałów, 2 Instytut Mechaniki Stosowanej
Politechnika Poznańska,
ul. Piotrowo 3, 61–138 POZNAŃ
STRESZCZENIE
W artykule przedstawiono przykłady praktycznych sposobów rozwiązywania zagadnień odwrotnych znajdujące zastosowanie do wyznaczania cieplnych charakterystyk
materiałów. Podano założenia, sformułowania oraz przeprowadzono analizę iteracyjnych i bezpośrednich metod rozwiązywania tych zagadnień. Wskazano na potrzebę
rozwoju tych metod w powiązaniu z metodyką pieczołowicie przeprowadzonego eksperymentu.
Key words: thermal data of materials, heat transfer, inverse solution, direct and iterative methods.
1. WPROWADZENIE
W warunkach szerokiego stosowania optymalizacji technologii odlewania na drodze „virtual prototyping” bezdyskusyjna jest potrzeba poszukiwania efektywnych metod identyfikacji i kwantyfikacji baz danych materiałowych [1,2]. W ostatnich latach
zagadnienia odwrotne przewodnictwa ciepła wykorzystywane są coraz częściej do tego
celu. Ich zastosowania dotyczą głównie problemów identyfikacji stałych materiałowych
takich jak np. współczynnik przewodnictwa ciepła czy też współczynnik przejmowania
ciepła w celu określenia warunków kontaktu w układzie odlew-forma. Zastosowania
metod odwrotnych mają na celu określenie wielkości niezbędnych do pełnego zdefiniowania założonego modelu procesów zachodzących w układzie odlew–forma, a nie1
2
Dr hab.inż. prof.Politechniki Poznańskiej, [email protected]
Dr inż., [email protected]
dostępnych przez bezpośredni pomiar. Wyznaczenie tych wielkości wymaga znajomości zmian temperatury w wybranych punktach układu odlew-forma. Zagadnienia odwrotne przewodnictwa ciepła obejmują bardzo szeroką problematykę. Wg [3] rozróżniamy następujące rodzaje zagadnień odwrotnych:
 zagadnienia graniczne, nazywane również zagadnieniami identyfikacji temperatury,
 zagadnienia współczynnikowe i graniczne, czyli zagadnienia identyfikacji charakterystyk materiałowych i warunków na brzegu obszarów,
 zagadnienia identyfikacji funkcji źródła ciepła,
 zagadnienia odtwarzania historii procesu,
 zagadnienia wyznaczania kształtu obszaru, w którym zachodzi proces. (do
grupy tej należą także zagadnienia wyznaczania granicy faz).
Zagadnieniami najczęściej rozważanymi i posiadającymi najbogatszą literaturę,
również w odniesieniu do problemów spotykanych w odlewnictwie, są zagadnienia
pierwszej i drugiej grupy.
W [4] podano nieco odmienną klasyfikację metod odwrotnych, dodatkowo wyróżniając zadania odwrotne i zadania z inwersją. Obie klasyfikacje są spójne i ujmują klasy
zagadnień rozpatrywanych w odniesieniu do praktyki i eksperymentu. W niniejszym
artykule główną uwagę poświęcono zagadnieniom współczynnikowym.
2. ISTOTA ZAGADNIEŃ ODWROTNYCH I ICH APLIKACJI W SYMULACJI
PROCESÓW W ODLEWNICTWIE
Jak zostało to dowiedzione, w symulacjach numerycznych procesów odlewania
problemem ogromnej wagi jest znajomość wartości współczynników termofizycznych,
adekwatnych do warunków, w jakich zachodzi proces. Użyteczność dostępnych w literaturze oraz w bazach kodów (systemów) symulacyjnych wartości współczynników
materiałowych, szczególnie w odniesieniu do materiałów formy jest w dużej mierze
ograniczona, a przynajmniej powodująca niepewność co do jakości stosowanych
z konieczności wartości [5, 6]. Warunki, w jakich wyznaczano te wielkości, o ile w
ogóle zostały ściśle sprecyzowane, z reguły znacznie odbiegają od warunków rzeczywistych. Kwestii tej wiele uwagi poświęcono w monografii [7]. Jakość rezultatów przeprowadzonej symulacji numerycznej zależy również w istotny sposób od dokładności
określenia cieplnych warunków kontaktu metalu i formy, takich jak wartości charakterystycznych temperatur, strumień ciepła czy współczynniki przejmowania ciepła, w
przypadku warunku brzegowego II lub III rodzaju. Obie te grupy parametrów w zasadniczy sposób wpływają na jakość i dokładność symulacji procesów odlewania. Otrzymane wyniki obliczeń mogą być obarczone dużym błędem, którego źródłem jest przyjęcie niewłaściwych wartości współczynników, bądź warunków brzegowych dalekich
od rzeczywistych [6]. Trywializując, na nic zda się doskonalenie metod numerycznych
rozwiązywania zagadnień początkowo-brzegowych i kodów symulacyjnych wykorzystujących te metody, gdy współczynniki materiałowe i warunki brzegowe nie opisują w
zadowalający sposób rzeczywistości i nie są adekwatne jednocześnie do modelowego
sposobu uproszczenia warunków panujących w rzeczywistości.
Złożoność procesów zachodzących w czasie zalewania formy oraz później w czasie krzepnięcia odlewu, w istotny sposób ogranicza możliwości odtworzenia ich w warunkach laboratoryjnych dla potrzeb eksperymentalnego wyznaczania wszystkich niezbędnych charakterystyk termicznych. W tym świetle aplikacja zagadnień odwrotnych,
w szczególności zaś współczynnikowych i granicznych, jest bardzo cennym, a czasami
wręcz jedynym, źródłem uzyskiwania danych o rzeczywistych warunkach transportu
ciepła, określanych w sposób przydatny do wprowadzenia do modelu.
Wyznaczenie tych wielkości wymaga znajomości zmian temperatury w wybranych punktach układu odlew-forma. Ważna jest przy tym świadomość o decydującym
wpływie błędu pomiaru na jakość wyznaczanych współczynników. Metodyka pomiaru
temperatury, zastosowane elementy pomiarowe, sposób ich lokalizacji i inne czynniki
wpływające na błędy statyczni i dynamiczne, muszą być pieczołowicie przygotowane,
zwłaszcza gdy w grę wchodzą temperatura powyżej 1000°C [7].
3. SPOSOBY ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ ODWROTNYCH
Istnieje wiele metod rozwiązywania zagadnień odwrotnych przewodnictwa ciepła.
Są to zarówno metody analityczne jak i numeryczne, przy czym zakres rozwiązań analitycznych jest ograniczony praktycznie do problemów jednowymiarowych. Metody
stosowane do rozwiązywania zagadnień odwrotnych zależą w dużej mierze od rodzaju
zagadnienia. Szerszą dyskusję na ten temat można znaleźć w monografiach [4, 7].
Sposób, w jaki w zagadnieniach odwrotnych podchodzi się do wyznaczenia poszukiwanych wielkości, może stanowić podstawę do wyróżnienia metod :
 iteracyjnych,
 bezpośrednich.
W metodach iteracyjnych cel osiąga się rozwiązując wielokrotnie zagadnienie proste. Poszukiwane wielkości przedstawia się a priori w postaci funkcji parametrycznych
określonej postaci. W trakcie procesu iteracyjnego minimalizuje się pewną funkcję celu
będącą miarą odległości pomiędzy wartościami temperatury pochodzącymi z pomiaru a
wartościami obliczanymi w kolejnej iteracji. Funkcja celu jest funkcją parametrów
opisujących identyfikowaną wielkość. Jako funkcję celu najczęściej przyjmuje się błąd
kwadratowy. Przed każdym rozwiązaniem zagadnienia prostego wielkości poszukiwane
są modyfikowane według ustalonej procedury. Typowy dla metod iteracyjnych przebieg
obliczeń przedstawiono na rys. 1 na przykładzie odwrotnego zagadnienia współczynnikowego. W przypadku zagadnień odwrotnych innych typów pętlę sprzężenia zwrotnego
należy skojarzyć z odpowiednią inną grupą wielkości niezbędnych do pełnego zdefiniowania modelu matematycznego procesu transportu ciepła.
Metody bezpośrednie nie wymagają rozwiązywania zagadnienia prostego. Ich istota polega na wyznaczaniu poszukiwanych wielkości wprost z zależności, otrzymanych
po odpowiednim przekształceniu równań modelu matematycznego. Przebieg procesu
obliczeniowego charakterystyczny dla bezpośrednich metod rozwiązywania zagadnień
odwrotnych pokazano na rys. 2. Schemat dotyczy także zagadnień współczynnikowych.
4. METODY ITERACYJNE
W publikacji [8] autor opisuje rozwiązanie zagadnienia odwrotnego dla przypadku
współczynnika przejmowania ciepła we wtórnej strefie chłodzenia wlewka. Jest to jedna
z pierwszych aplikacji odtworzenia warunku brzegowego dla potrzeb odlewnictwa.
W pracy [9] autorzy poszukują współczynnika przewodności cieplnej masy formierskiej w postaci wielomianu:
  p0  p1 T  p2 T 2  p3 T 3
(4.1)
Funkcja celu zdefiniowana została następująco:


F    T xi , j   T * xi , j , p0 , p1 , p 2 , p3 
5
4
i 1 j 1
(4.2)
gdzie:

2
 - zmierzone wartości temperatury w punkcie xi i chwili czasu  j ,
x ,  , p , p , p , p  - wartości temperatury w punkcie xi i chwili czasu
T xi ,  j
T*
j
i
j
0
1
2
3
, znalezione jako rozwiązanie zagadnienia prostego w kolejnej iteracji.
OBIEKT RZECZYWISTY
MODEL FIZYCZNY
Właściwości
materiałowe
istotne dla procesu
Źródła i upusty
ciepła
Kształt
Stan początkowy
Otoczenie
MODEL MATEMATYCZNY
Wartości początkowe
dla poszukiwanych Funkcje źródeł
właściwości
ciepła
Geometria
Warunki
początkowe
Warunki
brzegowe
METODY OBLICZEŃ
„WPROST”
EKSPERYMENT SPECJALNIE
OPRZYRZĄDOWANY
Wartości temperatury
w każdym punkcie obszaru
Wartości temperatury
w wybranych punktach obszaru
Modyfikacja wartości
poszukiwanych
właściwości
N
Rys.1 Schemat metody iteracyjnej
Fig.1 Scheme of iterative method
KRYTERIUM
PORÓWNAWCZE
T
Zapis wartości
współczynników
KONIEC
*
Rozwiązania T kolejno rozpatrywanych zagadnień prostych otrzymywano metodą
różnic skończonych. Zastosowany model zagadnienia prostego nie uwzględniał szczeliny tworzącej się pomiędzy formą i odlewem. Do poszukiwania minimum funkcji celu F
ze względu na wartości poszukiwanych stałych p0 , p1 , p2 , p3 zastosowano nieliniową
optymalizację według Powella [9].
Poszukiwane wielkości muszą być przedstawione jako parametryczna funkcja
temperatury. Funkcję celu przyjęto w postaci błędu kwadratowego pomiędzy wartościami temperatury zmierzonymi i obliczanymi w kolejnych krokach procesu iteracyjnego. Do rozwiązywania zagadnień prostych wykorzystano metodę elementów skończonych.
Autor pracy [2] wskazuje na szczególnie istotną zależność wyników symulacji
numerycznej procesów transportu ciepła od termicznych właściwości materiału formy,
C
takich jak współczynnik przewodności cieplnej  , ciepło właściwe p oraz gęstość
masy  . Proponuje więc procedurę określania tych wielkości dla stanów nieustalonych, możliwie najbardziej zbliżonych do warunków w obiekcie rzeczywistym.
W pracy [10] może być stosowana do rozwiązywania zarówno współczynnikowych jak i granicznych zagadnień odwrotnych przewodnictwa ciepła. Funkcję celu
przyjęto w postaci:
OBIEKT RZECZYWISTY
MODEL FIZYCZNY
Właściwości
materiałowe
istotne dla procesu
Źródła i upusty
ciepła
Kształt
Stan początkowy
Otoczenie
MODEL MATEMATYCZNY
Wartości
poszukiwanych
właściwości
Funkcje źródeł
ciepła
Geometria
Warunki
początkowe
Warunki
brzegowe
METODY OBLICZEŃ
„WPROST”
Formuła przekształcona
EKSPERYMENT SPECJALNIE
OPRZYRZĄDOWANY
Aproksymacja temperatury
w czasoprzestrzeni
Wartości temperatury i innych wielkości
mierzalnych procesu
w wybranych punktach obszaru
Zapis wartości
współczynników
KONIEC
Rys.2 Schemat metody bezpośredniej
Fig.2 Scheme of direct method
Nt N m
S β    
T
i 1 j 1
gdzie:
m
ij

 Tijc β 
2
 T2


N
k
k 1
  k0
 k2

2
(4.3)
Ti mj
- zmierzone wartości temperatury w punkcie xj obszaru i w chwili czasu ti,
Ti cj β 
- obliczone wartości temperatury dla punktu xj obszaru i chwili czasu ti ,
z rozwiązania zagadnienia prostego,
β  1 ,  2 ,..., N 
 - wektor postaci
,


 T - odchylenie standardowe, błąd związany z pomiarem temperatury,
 k - długość przedziału, wewnątrz którego każda ze współrzędnych  k wektora
0
 może zmieniać się wokół pewnej, zadanej a priori wartości  k .
Za pomocą wektora  możemy, w zależności od potrzeb, przedstawić poszukiwany związek:
 
– współczynnika przewodnictwa ciepła  od temperatury   f T , przy czym współrzędne wektora  są wówczas interpretowane jako wartości funkcji f dla wybranych
T1 , T2 ,...TN 
ustalonych wartości temperatury:
 k  f Tk 
(4.4)
– współczynnika przewodnictwa ciepła
wielomianu

  1   2T   3T 2  ...   N  T
od temperatury w postaci następującego
N  1
(4.5)
  g (T ) , przy czym współ– współczynnika przejmowania ciepła od temperatury
rzędne wektora  są wówczas interpretowane jako wartości funkcji g dla wybranych
wartości temperatury:
 k  g Tk 
T1, T2 ,...TN 
q  h(t )
(4.6)
, przy czym współrzędne wektora  są wówczas
t1 , t 2 ,...t N 
interpretowane jako wartości funkcji h w ustalonych chwilach czasu
 k  htk 
(4.7)
We wyżej wymienionych przypadkach, poza wymienionym w drugiej kolejności,
mamy do czynienia z interpolacją liniową identyfikowanych zależności. Do rozwiązywania zagadnień prostych w kolejnych krokach procesu iteracyjnego wykorzystano
metodę elementów skończonych.
– strumienia ciepła q od czasu
5. METODY BEZPOŚREDNIE
W pracy [11] podjęto próbę wyznaczenia zależności współczynnika przewodności
ciepła od temperatury. Wstępnie założono, że identyfikowana będzie następująca postać
tego związku:
  p0  p1 T  p2 T 2  p3 T 3
(5.1)
Po podstawieniu do równania przewodnictwa ciepła
T
  T 
 
  C p 
x  x 
t
(5.2)

w miejsce
prawej strony wzoru (5.1) i wykonaniu odpowiednich przekształceń, żąda
się, by błąd spełnienia równania (5.2) w punktach obszaru (jednowymiarowego), w
których mierzono temperaturę i w każdej chwili czasu, w której dokonywany był pomiar, osiągał minimum. Żądanie to doprowadza do układu równań
F
0
 pk
k=0,1,2,3 ,
(5.3)
gdzie F jest błędem spełnienia równania, danym wzorem
2
2



 T  
 T 









5 N 
  x  k j 
  x k j

F     p0  p1  Tk j  2
 p2  Tk2j  2Tk j


 T  
 2T 
k 1 j 1 


 2


  x 2  
 x 






k j
k
j




2

 T  
 T  




 



x

t



 k j 
kj
  Cp
 p3  Tk3j  3Tk2j

2
2

 T  
 T  
 2 
 2

 x  
 x  




k j 
kj











(5.4)
Wartości pochodnych pierwszego i drugiego rzędu względem zmiennej przestrzennej uzyskiwano z aproksymacji przebiegu temperatury wielomianem trzeciego
stopnia. Do obliczenia wartości pochodnych czasowych temperatury posłużyła aproksymacja wielomianem stopnia ósmego. Zdaniem autorów pracy [10] opisana wyżej
metoda nie dawała zadowalających rezultatów.
Odmienne podejście do problemu określania współczynnika przewodnictwa ciepła
 masy formierskiej przedstawiono w pracach [12, 13]. Autorzy rozważają jednowymiarowe zagadnienie odwrotne postaci:
T
1    T 
  x
  C p 
0

x 
t
x x 

T
x
(5.5)
 q
x  xa
(5.6)
 T
 
  b T  Tb*

x




0
x  xb
T ( x,0)  0
(5.7)
(5.8)
x
,
x
a
b
gdzie:
współrzędne brzegu rozważanego obszaru (tzn. jednowymiarowej próbki),
 - współczynnik kształtu, równy: 0 - dla warstwy płaskiej, 1 – dla warstwy
walcowej, 2 – dla warstwy kulistej,
C

- gęstość pozorna masy formierskiej, p - jej ciepło właściwe,
q - gęstość strumienia ciepła na brzegu x  x a ,
Tb* - temperatura otoczenia brzegu x  xb ,
 b - współczynnik wymiany ciepła na brzegu x  xb .
C
W modelu uwzględniono zależność ciepła właściwego p od temperatury, przy czym
założono, że postać tego związku, wyznaczona w warunkach stacjonarnych, może być
wykorzystana do opisu niestacjonarnego pola temperatury. Przyjęto ponadto, że gęstość
  const .
Idea wyznaczania współczynnika przewodnictwa ciepła  , zaproponowana w
omawianych tutaj pracach [12,13], polega na scałkowaniu równania Fouriera (5.4) w
x
x  xa
zmiennym obszarze: od brzegu
do pewnej wartości współrzędnej p mieszcząx , x 
cej się w przedziale a b .
xp
 1    T 
T  
  x   x   x  x   C p  t  x dx  0
xa 



(5.9)
a następnie na rozwiązaniu równania (5.9) względem współczynnika  .
xp
 x p  
 q x a   C p 
xa
x
T
x
T 
x dx
t
(5.10)
W celu otrzymania (5.10) wykorzystano warunek brzegowy (5.6). Należy jednak
zaznaczyć, że pomiar i rejestracja q=q(t) jest problemem złożonym i wymaga zastosowania specjalnego źródła ciepła lub systemu zwanego fluksometrem. Pochodne czasową i przestrzenną temperatury wyznaczono stosując specjalny algorytm aproksymacji
temperatur i pochodnych, uzyskanych na podstawie pomierzonych wartości temperatury.
6. PODSUMOWANIE
Wobec stałego niedosytu odnośnie braku wiarygodnych danych literaturowych dotyczących wielkości termofizycznych, charakteryzujących materiały, stosowane
w odlewnictwie zwłaszcza do wykonywania form odlewniczych, współczynnikowe
zagadnienia odwrotne przewodnictwa ciepła wydają się być wielce obiecującym narzędziem służącym do identyfikowania tych wielkości w rzeczywistych, niestacjonarnych
warunkach.
Metody iteracyjne rozwiązywania zagadnień odwrotnych są najczęściej stosowane. Są to zarazem metody najprostsze pojęciowo. Wymagają one sprawnego narzędzia
obliczeniowego do rozwiązywania zagadnień prostych przewodnictwa ciepła, co w
obecnej chwili, nawet w odniesieniu do obszarów wielowymiarowych, nie stanowi już
większej bariery. Trzeba sobie jednak zdawać sprawę z faktu, że do rozwiązywania
bardziej złożonych zagadnień w obszarach dwu- lub trójwymiarowych, metody te wymagają dużej mocy obliczeniowej.
Metody bezpośrednie nie mają w dziedzinie odlewnictwa wielu aplikacji. Jedna z
przedstawionych w niniejszej pracy metod [11], pomimo że bardzo prosta pojęciowo,
nie dawała zadowalających wyników. Źródło niepowodzeń tej metody związane jest
naszym zdaniem ze złym uwarunkowaniem numerycznym obliczania pochodnych.
Druga z przedstawionych metod bezpośrednich dotyczyła specyficznego, uproszczonego zagadnienia. Uzyskana formuła końcowa dla współczynnika przewodnictwa
ciepła [12, 13] nie ma wobec tego cech ogólności. Wydaje się jednak, że tą drogą można otrzymać także rozwiązania w innych, bardziej ogólnych przypadkach.
Za możliwością aplikacji metod bezpośrednich w procesach krzepnięcia przemawia także fakt, że są one z powodzeniem stosowane w zagadnieniach przewodnictwa
ciepła w innych obszarach techniki. Przy czym mogą to być nie tylko metody takie, jak
„bilansowa” metoda opisana w rozdziale 5, ale również inne metody np. metoda elementów brzegowych wynikająca z teorii potencjałów, metoda źródeł pozornych czy
inne metody kollokacyjne.
Zaletą metod bezpośrednich jest to, że w porównaniu z metodami iteracyjnymi do
rozwiązania tego samego problemu wymagają znacznie mniejszych mocy obliczeniowych.
Ponadto należy przypomnieć, że dyskutując problemy jakości rozwiązań zagadnień odwrotnych koniecznie należy analizować ich tzw. słabe uwarunkowanie, związane z wrażliwością temperatury na błędy pomiarów.
LITERATURA
[1] Z.Ignaszak, P.Mikołajczak: Chosen aspects of gradient criteria correlation with
shrinkage defects in post-processing procedure of simulation code. 10th Conference and Exhibition on VIRTUAL PROTOTYPING by NUMERICAL SIMULATION – EUROPAM 2000, Nantes 2000.
[2] Z. Ignaszak: Aplikacyjne uwarunkowania rozwoju modelowania i symulacji procesów odlewania.. Materiały Konferencji sprawozdawczej Komitetu Hutnictwa PAN,
Krynica, 1998
[3] K. Grysa, O ścisłych i przybliżonych metodach rozwiązywania zagadnień odwrotnych pól temperatur. wyd. Politechniki Poznańskiej, Seria Rozprawy Nr 204, Poznań 1989.
[4] J.S.Suchy: Zastosowanie metod numerycznych w projektowaniu technologii odlewniczych. Krzepmięcie Metali i Stopów, wyd. Ossolineum, Wrocław 1986.
[5] Z.Ignaszak : Simulation model sensivity to quality of material properties. Solidification of Metals and Alloys, 1999, vol.1, Book no 40.
[6] Z.Ignaszak: Termofizyczne parametry materiałów izolacyjnych w zastosowaniach
do projektowania zasilania odlewów i symulacji ich krzepnięcia. Solidification of
Metals and Alloys, 1999, vol.1, Book no 40.
[7] Z.Ignaszak: Właściwości termofizyczne materiałów formy w aspekcie sterowania
procesem krzepnięcia odlewów. Rozprawy nr 211,. wyd. Politechniki Poznańskiej,
Poznań 1989.
[8] R.Grzymkowski: Analiza numeryczna procesów wymiany ciepła na powierzchni
wlewka ciągłego. Skrypt „Matematyczne metody w obliczeniach procesów ...”wyd.
Politechn.Śląskiej 1985.
[9] K. Kubo, Mizuuchi K., Ohnaka I., Fukasako T.: Measurement of Thermal Properties of Sand Molds by Pouring Method. Proceedings of 50 Congrès International de
Fonderie, Cairo 1983.
[10] M.Rappaz, J. L.Desbiolles, J. M.Drezet, Ch.-A..Gandin, A..Jacot, Ph..Thévoz:
Application of Inverse Methods to the Estimation of Boundary Conditions and
Properties. VII International Conference Modelling of Casting, Welding and Advanced Solidification Processes, The Minerals, Metals &Materials Society, London
1995.
[11] K. Kubo, I.Ohnaka., Fukasako T., Mizuuchi K.: Measurement of Thermal Conductivity of Sand Molds by Parameter Optimization Technique. Imono, Vol. 53, No 11,
1981.
[12] Z.Ignaszak, H.Kamiński - Metoda wyznaczania współczynnika przewodności cieplnej. Podstawy teoretyczne. Archiwum Technologii Budowy Maszyn, zeszyt 6,
wyd.PAN, Poznań 1987
[13] Z.Ignaszak: La conductivité thermique substitutive du moule. Une nouvelle
méthode de mesure pour la simulation de la solidification des pièces. Fonderie Fondeur d'Aujourd'hui 121, 1993.
INVERSE PROBLEMS OF HEAT TRANSFER APPLICATED
IN DATA MATERIAL DETERMINATION
SUMMARY
In the paper the examples of practical solutions of inverse problem methods applied to thermal material data determination are presented. The assumptions and rules
and also analyse of iterative and direct methods are shown. It is indicated that the development of those methods, connected with careful experiment methodology, are
needed.
Recenzowała Prof. Ewa Majchrzak