Instrukcja do ćw. 1

Ćwiczenie laboratoryjne 1
Widmo sygnału, aliasing, DFT i FFT
Cel ćwiczenia: Obserwacja wpływu parametrów analizy na wynik obliczania widma sygnału,
zapoznanie się z pojęciem rozdzielczości analizy widmowej, obserwacja zjawiska przecieku
widma, porównanie algorytmów DFT i FFT, sprawdzenie techniki uzupełniania zerami,
obserwacja spektrogramów sygnału modelowego i sygnału mowy.
Czas realizacji: 1 dwugodzinne zajęcia
Zagadnienia do powtórzenia przed realizacją ćwiczenia: Próbkowanie sygnału, ciągłe
i dyskretne przekształcenie Fouriera, widmo zespolone, widmo amplitudowe i fazowe,
algorytm FFT.
1) Zjawisko aliasingu
Skrypt aliasing1.m generuje sumę sygnału sinusoidalnego i szumu gaussowskiego,
oblicza jego widmo a następnie przeprowadza jego decymację rzędu dr. Do przeprowadzenia
decymacji nie zastosowano funkcji decimate, gdyż funkcja ta przed decymacją przeprowadza
filtrację antyaliasingową.
a) Zaobserwować / przedyskutować jaka jest reguła zmiany częstotliwości sygnału
w sytuacji wystąpienia aliasingu.
b) Zaobserwować wpływ rzędu decymacji na wynik obliczania widma amplitudowego.
c) Zaobserwować zmiany częstotliwości w sytuacji sygnału będącego sumą 2 sygnałów
sinusoidalnych (uzupełnić skrypt).
d) Sprawdzić zastosowanie funkcji decimate.
2) Widmo zespolone, część rzeczywista i urojona, moduł i faza, rozdzielczość widma
Rozdzielczością widma nazywamy (choć nie wszyscy się z taką definicją rozdzielczości
zgadzają) odległość między prążkami widma dyskretnego uzyskanego w wyniku transformacji
Fouriera. Jeśli częstotliwość próbkowania wynosi fp [Hz], a długość transformacji Fouriera
wynosi Nf [próbek], to odległość między punktami transformaty wynosi Δf = fp / Nf [Hz]. Im
mniejsza jest ta odległość, tym większa jest rozdzielczość widma. Przy ustalonej wartości fp
rozdzielczość zależy więc od długości transformaty Fouriera.
Z właściwości transformacji Fouriera wynika, że jeśli sygnał jest sygnałem rzeczywistym
(bez części urojonej) to część rzeczywista i moduł widma są funkcjami parzystymi a część
urojona i faza widma są funkcjami nieparzystymi. Dlatego wykresy widm kreślone są zwykle
do połowy częstotliwości próbkowania.
Skrypt widmo1a.m oblicza i wykreśla widma sygnału będącego sumą dwóch sinusoid.
Jako parametry podaje się amplitudy, częstotliwości i fazy początkowe sinusoid,
częstotliwość próbkowania, długość sygnału i długość transformacji Fouriera. Wykonać
następujące eksperymenty numeryczne:
1
a) Zmieniać częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, długość sygnału
i długość transformacji Fouriera ale w taki sposób, aby uzyskać widmo amplitudowe
(moduł widma) złożone wyłącznie z 2 niezerowych prążków.
b) Zmieniając fazy sygnałów sinusoidalnych obserwować zmiany w widmach sygnału.
Rozdzielczości analizy widmowej definiowana jest częściej jako zdolność uwidaczniania
składowych sygnału o zbliżonych częstotliwościach. Czyli rozdzielczość analizy widma wynosi
np. 0.5Hz, jeśli parametry analizy są takie, że dwa sygnały sinusoidalne różniące się
częstotliwością 0.5Hz są obserwowalne w widmie amplitudowym (lub innym). Do takich
eksperymentów przygotowany został skrypt widmo1b.m. Należy:
a) Wyznaczyć długość sygnału od której możliwe jest zaobserwowanie, że sygnał złożony
jest z 2 sygnałów sinusoidalnych.
b) To samo zadanie wykonać dla innych wybranych częstotliwości składowych
sinusoidalnych.
3) Przeciek widma spowodowany niezgodnością pomiędzy odległością między prążkami
widma a częstotliwością sinusoidy
Jeśli analizujemy sygnał sinusoidalny o niecałkowitej liczbie okresów we fragmencie o
długości N, to jego widmo amplitudowe zawiera nie jeden prążek, lecz jest „rozmyte”.
Zjawisko to nosi nazwę przecieku widma. Można tłumaczyć je tym, że sygnał na początku
lub/i końcu okna analizy jest „urwany”, a taka nieciągłość objawia się w widmie
występowaniem wiele dodatkowych składowych harmonicznych.
Skrypt widmo2.m oblicza i wykreśla moduł widma sygnału sinusoidalnego. Jako
parametry sygnału podaje się amplitudę, częstotliwość i fazę początkową sinusoidy oraz
częstotliwość próbkowania. Jako parametry analizy - długość sygnału i długość transformacji
Fouriera.
c) Zmieniając częstotliwość sinusoidy uzyskać widmo amplitudowe złożone wyłącznie z 1
niezerowego prążka.
d) Zmieniając częstotliwość próbkowania fp lub/i długość sygnału N uzyskać widmo
amplitudowe złożone wyłącznie z 1 niezerowego prążka.
4) DTF a FFT
Podstawowe wywołanie funkcji fft ma postać fft(x,Nf). Funkcja fft realizuje algorytm FFT,
jeśli Nf jest potęgą dwójki. W innych przypadkach realizowany jest algorytm DFT.
5) Przeciek widma spowodowany uzupełnianiem sygnału zerowymi próbkami
Jeśli Nf jest większe niż długość N sygnału, to sygnał uzupełniany jest zerowymi próbkami
(liczba tych zerowych próbek wynosi Nf – N) i dla takiego uzupełnionego zerowymi
próbkami wykonywana jest funkcja fft. W związku z tym, że fft oblicza widmo sygnału
okresowego o okresie Nf uzupełnianie zerowymi próbkami wprowadza zmiany do
wyznaczonego widma sygnału. Aby się o tym przekonać, przeprowadzić następujący
eksperyment z zastosowaniem skryptu widmo3.m:
2
a) Zmieniając Nf obserwować zmiany widma,
b) Zmieniając N obserwować zmiany widma,
c) Zmieniając częstotliwość sygnału sinusoidalnego obserwować zmiany widma.
6) Obserwacja spektrogramów sygnału modelowego i sygnału mowy
W przypadku gdy nie wystarcza tylko znajomość struktury czasowej sygnału (wykres
czasowy) lub częstotliwościowej (widmo policzone z całego sygnału), należy przeprowadzić
analizę czasowo-częstotliwościową. Sytuacja taka występuje dla przykładu przy analizie
sygnału mowy. Wynik takiej analizy ma postać trójwymiarowego wykresu, w którym
zmiennymi niezależnymi są czas i częstotliwość, a zmienną zależną jest wartością funkcji
(moc/energia sygnału) dla danego punktu czasu i częstotliwości. Częściej wykres taki
przedstawia się w postaci obrazu, w którym na osi poziomej znajduje się czas, na pionowej
częstotliwość, a moc sygnału zobrazowana jest przy pomocy odcieni szarości lub kolorów.
Obraz taki nosi nazwę spektrogramu. Okazuje się, że nie można uzyskać dowolnie wysokiej
rozdzielczości w obu dziedzinach: czasu i częstotliwości. Dziedziny te powiązane są ze sobą w
taki sposób, że gdy w jednej zwiększamy rozdzielczość, w drugiej następuje jej spadek.
Wynika to z zasady nieoznaczoności, której odmiana znana jest w fizyce kwantowej. Skrypt
spektrogram.m jest przykładem zastosowania analizy czasowo-częstoliwościowej.
Generowanym sygnałem jest sygnał sinusoidalny o nieliniowo zmiennej częstotliwości
w granicach 100-900Hz (przy częstotliwości próbkowania 2000Hz). Należy:
a) Zaobserwować spektrogram sygnału modelowego.
b) Korzystając z helpa programu MATLAB zapoznać się z parametrami funkcji
spectrogram.
c) Zaobserwować wpływ parametrów funkcji spectrogram na spektrogram sygnału
modelowego.
d) Uzupełnić skrypt spektrogram.m o wczytywanie sygnału mowy, jego 4-krotną
decymację i obliczanie spektrogramu tego sygnału.
e) Zaobserwować wpływ parametrów funkcji spectrogram na spektrogram sygnału
mowy.
3