Wykład 1: Technika DSP Wstęp

advertisement
PG – Katedra Systemów
Mikroelektronicznych
ZASTOSOWANIE
PROCESORÓW
SYGNAŁOWYCH
Marek Wroński
Wykład 5: Dyskretna Transformata
Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela
Zastosowania DFT
Szereg Fouriera
Postać zespolona
Postać czasowa zespolonego szeregu Fouriera
Przekształcenie Fouriera
Dyskretna postać transformaty Fouriera: DFT i IDFT
Szybka transformata Fouriera - FFT
4 punktowa FFT (podział czasowy)
8 punktowa FFT
8 punktowa FFT (podział częstotliwościowy)
Wady obliczania FFT
 prowadzi do obliczenia wszystkich
próbek transformaty DFT, podczas gdy
czasem potrzebny jest jedynie niewielki ich
podzbiór, np. te próbki, które odpowiadają
częstotliwościom DTMF i ewentua1nie ich
drugim harmonicznym[1]; algorytmy FFT
mają więc w tym zastosowaniu nadmierną
złożoność obliczeniową,
 wymaga zgromadzenia pełnego bloku N
próbek przed rozpoczęciem transformacji
sygnału, co uniemożliwia realizację
algorytmu analizy sygnału on line, tzn.
próbka po próbce.
• wymaga wyznaczania lub pamiętania
wartości współczynników WN:
FFT dla sygnałów rzeczywistych
Widmo Fouriera X(k), k=0,1,2,...N-1, sygnału rzeczywistego x(n) jest symetryczne wzgl. k=N/2
Dwa N-punktowe sygnały rzeczywiste, jedno N -punktowe FFT
Tworzymy sygnał zespolony:
Odzyskujemy widma X1 i X2:
N-punktowy sygnał rzeczywisty, N/2-punktowe FFT
Wg. podziału w dziedzinie czasu widmo X(k) może być odtworzone wg. widma X2n(k) jego próbek
parzystych i widma X2n+1(k) jego próbek nieparzystych na podstawie wzoru:
Tworzymy:
Dwuwymiarowa DFT
Wyznaczenie DCT metodą FFT
Transformacja kosinusowa stosowana jest w standardach kompresji obrazów nieruchomych JPEG
i ruchomych MPEG oraz w algorytmie kompresji dźwięku MPEG audio. Zdefiniowana jest poprzez
równanie baz kosinusowych:
Sumując oddzielnie parzyste i nieparzyste
próbki sygnału x(n) i oznaczając:
następnie łącząc połówki sum otrzymamy:
Algorytm Goertzela
Korzystając z zależności:
można przez to pomnożyć
prawą stronę równania DFT co da
W
 kn
N
 e j ( 2 / N ) Nk  e j 2k  1
N 1
X ( k )   x ( n )  WNk ( N n )
n 0
Wyrażenie to jest dyskretnym splotem ciągu x(n) o skończonej długości N i ciągu (WN-k)n
n= 1,2,...,N także o długości N próbek. Wprowadzając oznaczenie:
n
y k ( n )   x ( v )  WNk  WNk ( n v ) ,
v 0
k  0,1,..., N  1
X(k)  y k (n)
n  N -1
Ciąg yk(n) może być traktowany jako odpowiedź układu (filtru cyfrowego) o odpowiedzi
impulsowej (WN-k)n+1 na pobudzenie ciągiem wejściowym x(n).
Próbka X(k) jest N-tą próbką ciągu wyjściowego, tzn. próbką o indeksie n=N-1.
Graf realizujący algorytm Goertzela
W celu zmniejszenia liczby mnożeń omawiany algorytm można przekształcić zgodnie ze wzorem:
WN k
WN k  (1  WN k  z 1 )
WN k  z 1
H k ( z) 


k
1
1
2
(1  WN  z ) 1  2 cos( 2k / N )  z  z
1  2 cos( 2k / N )  z 1  z 2
Zalety algorytmu Goertzela
Aby zrealizować pętle sprzężenia zwrotnego tego układu, wystarczy wykonać
tylko jedno mnożenie i dwa sumowania rzeczywiste. Ponieważ interesuje nas
jedynie wyznaczenie próbki yk (N-1), więc mnożenie przez zespolony
współczynnik WN-k nie musi być wykonywane w każdym kroku, lecz jedynie w
ostatnim (N-1) kroku. Tak więc obliczenia związane z realizacją pętli sprzężenia
zwrotnego wymagają wykonania N -1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2(N-1)
sumowań liczb rzeczywistych, a obliczenie yk (N -1) jest związane z 2
dodatkowymi mnożeniami oraz 1 sumowaniem liczb rzeczywistych. Łącznie
należy więc wykonać N+1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2N-1 sumowań liczb
rzeczywistych.
Energia sygnału (kwadrat amplitudy prążka)
Wybór N alg. Goertzela dla DTMF
W celu unikania przecieków DFT jest pożądane aby częstotliwości wszystkich tonów
podlegających detekcji odpowiadały częstotliwością próbek DFT, tj. k(fs/N). Więc
Zagadnienie okna w DFT
Przeciek DFT i widmo fali sinusoidalnej dla
niecałkowitej liczby okresów w oknie
Odpowiedzi częstotliwościowe DFT dla pobudzenia
sinusoidalnego
N sin[  (k  m)]
Wartości prążków:
X ( m)  
(szerokość głównego fs/N)
2
 ( k  m)
Powielenia widmowe
Zwiększenie czułości wykrywania sygnałów
Wygładzanie nieciągłości
Okna wygładzające końcowe nieciągłości
Download