Temat: Poprawność całkowita i częściowa algorytmu. Złożoność

Temat: Poprawno całkowita i cz ciowa algorytmu.
Zło ono obliczeniowa algorytmu.
Zło ono czasowa rednia i pesymistyczna.
Rz d funkcji.
I.
Literatura
1. A. V. Aho, J.E. Hopcroft, J. D. Ullman - Projektowanie i analiza
algorytmów komputerowych
2. L. Banachowski, K. Diks, W. Rytter – Algorytmy i struktury danych
3. (!)T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest – Wprowadzenie do
algorytmów
4. (!)A. Drozdek, D. L. Simon – Struktury danych w j zyku C
5. D. Harel – Rzecz o istocie informatyki. Algorytmika
6. (!)R. Neapolitan, K. Naimipour, Podstawy algorytmów z przykładami w
C++
7. (!)V. V. Vazirani, Algorytmy aproksymacyjne
Analiza algorytmów to dział informatyki zajmuj cy si
najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych
komputerowych.
I.
szukaniem
problemów
Problem komputerowy
Problem komputerowy to zadanie przeznaczone do realizacji na maszynie
cyfrowej z okre lonym warunkiem pocz tkowym i ko cowym.
WP – warunek pocz tkowy – formuła logiczna definiuj ca dane wej ciowe
problemu
WK – warunek ko cowy – formuła logiczna definiuj ca dane wyj ciowe
(wyniki rozwi zania problemu) uzyskane dla danych
wej ciowych spełniaj cych WP
1
II.
Poprawno
całkowita i cz ciowa algorytmu
Definicja 1
Algorytm A jest cz ciowo poprawny wzgl dem danego warunku WP i danego
warunku WK wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych danych wej ciowych
spełniaj cych warunek WP, je eli algorytm A zatrzymuje si , to dane
wyj ciowe algorytmu spełniaj warunek WK.
Definicja 2
Algorytm A jest całkowicie poprawny wzgl dem danego warunku WP i danego
warunku WK wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych danych wej ciowych
spełniaj cych warunek WP algorytm A zatrzymuje si i dane wyj ciowe tego
algorytmu spełniaj warunek WK.
Przykład 1
Formalny zapis WP i WK
WP: n>0 ∧ n∈N
WK: (s=1+3+5+...+n ∧ n mod 2≠0) ∨ (s=1+3+5+...+n-1 ∧ n mod 2=0)
Nieformalna specyfikacja WP i WK
WP: n – liczba naturalna wi ksza od zera
WK: s – suma kolejnych liczb nieparzystych nie wi kszych ni n
Algorytm (pseudokod)
s=0; i=1;
while (i!=n+2)
{
s=s + i;
i+=2;
};
Powy szy algorytm jest poprawny cz ciowo, ale nie całkowicie. Dla n
parzystego p tla nie ma stopu, ale dla dowolnego n nieparzystego p tla ko czy
si po sko czonej liczbie kroków i warto ko cowa zmiennej s spełnia WK.
2
III.
Zło ono
obliczeniowa algorytmu
Zło ono
obliczeniowa algorytmu to ilo
zasobów komputerowych,
potrzebnych do jego wykonania. Zasoby komputerowe to czas działania i ilo
zajmowanej pami ci.
zło ono
obliczeniowa
zło ono
IV.
zło ono
pami ciowa
czasowa
Zło ono
czasowa algorytmu
Zło ono czasowa algorytmu okre la „czas” realizacji algorytmu.
Zło ono czasowa musi by niezale na od:
- szybko ci procesora, który wykonuje algorytm,
- wyboru j zyka programowania, w którym wykonana jest implementacja
algorytmu.
a) Rozmiar zadania
Rozmiar zadania (problemu) to rozmiar tych danych wej ciowych, których
ilo wpływa na czas wykonania algorytmu, tzn. im wi ksza jest ilo tych
danych, tym dłu ej realizuje si algorytm.
Przykład 2
Problem A1
WP: a0, a1, ..., an-1 - ci g liczb całkowitych (n >0)
WK: Ci g dany w WP posortowany niemalej co
Rozmiar zadania: n – długo
ci gu, który nale y posortowa
3
Problem A2
WP: a0, a1, ..., an- ci g liczb rzeczywistych (n ≥ 0) definiuj cy współczynniki
danego wielomianu W, x- dana liczba rzeczywista
WK: Liczba W(x) – warto wielomianu W dla argumentu x
Rozmiar zadania: n - stopie wielomianu W(x)
Problem A3
WP: t1, t2, ..., tn- ci g znaków tekstu (n > 0)
w1, w2, ..., wm- ci g znaków wzorca (n ≥ m > 0)
WK: p- zmienna logiczna, która przyjmuje warto 1 (prawda), gdy wzorzec
wyst puje w tek cie, a 0 (fałsz), gdy wzorzec nie wyst puje w tek cie
Rozmiar zadania: n – długo
wzorca, m – długo
tekstu
b) operacja elementarna
Operacja elementarna (inaczej operacja dominuj ca) to operacja
charakterystyczna dla danego algorytmu. To taka operacja, której ł czna liczba
wykona jest proporcjonalna do rozmiaru zadania, tzn. im wi kszy rozmiar
zadania, tym wi cej razy realizuje si operacja elementarna.
Przykład 3
Problem A1 - operacj elementarn jest operacja porównywania elementów
sortowanego ci gu albo operacja przestawiania elementów ci gu w czasie
sortowania.
Problem A2 - operacj elementarn jest operacja arytmetyczna mno enia albo
operacja arytmetyczna dodawania realizowana w procesie obliczania warto ci
wielomianu dla danego x.
Problem A3 – operacja porównywania znaków wzorca ze znakami tekstu w
procesie sprawdzania, czy wzorzec wyst puje w tek cie.
Za jednostk zło ono ci czasowej przyjmuje si wykonanie jednej operacji
elementarnej (dominuj cej). Zło ono
czasowa algorytmu jest funkcj
parametru (parametrów) rozmiaru zadania.
4
c) Zło ono
czasowa rednia i pesymistyczna
Nieformalnie
Zło ono czasowa pesymistyczna to ilo
dla danych „najgorszego” przypadku
Zło ono czasowa oczekiwana to ilo
danych „typowego” przypadku
wykonanych operacji elementarnych
wykonanych operacji elementarnych dla
Formalnie
Definicja 3
Oznaczenia
Dn – zbiór zestawów mo liwych danych wej ciowych rozmiaru n
t(d) – liczba operacji elementarnych wykonanych dla danych wej ciowych d
pr(d) – prawdopodobie stwo, e dane d s danymi wej ciowymi algorytmu
Pesymistyczna zło ono czasowa algorytmu to funkcja
T max (n ) = max {t (d ) : d ∈ D n }
Oczekiwana ( rednia) zło ono
T r (n ) =
czasowa algorytmu to funkcja
d ∈Dn
pr (d ) ⋅ t (d )
Przykład 4
Problem wyszukiwania ustalonej liczby w ci gu nieuporz dkowanym
WP: A: a0, a1, ..., an-1- ci g liczb całkowitych (n > 0). Liczby w ci gu s ró ne.
x – szukana warto . x jest liczb całkowit .
WK: zmienna logiczna jest=1, gdy ∃ ai = x oraz jest=0 w przeciwnym
i∈{1..n}
przypadku
Algorytm
i = 0;
while (i<n && ai!=x) i++;
jest=i<n;
5
Operacja elementarna: porównania mi dzy elementami ci gu A a liczb x.
Rozmiar danych: n - długo ci gu
Zło ono czasowa pesymistyczna
Dane „najgorszego” przypadku to ci g, w którym x nie wyst puje albo
wyst puje w indeksie n-1
Tmax (n ) = max {t (d ) : d ∈ D n } = n
Zło ono czasowa rednia
Zakładamy, e prawdopodobie stwo znalezienia liczby x w ci gu A jest równe
p. Prawdopodobie stwo, e x wyst puje na ka dej z n pozycji w ci gu jest takie
p
samo i wynosi
.
n
T
+
r
(n ) =
n −1
i=0
d∈Dn
pr ( x = a i ) ⋅ t ( x = a i ) = (1 − p ) ⋅ n +
= (1 − p ) ⋅ n +
V.
pr (d ) ⋅ t (d ) = pr ( x ∉ A ) ⋅ t ( x ∉ A ) +
p 1+ n
p
⋅
⋅ n = n + (1 − n )
n 2
2
n −1
i=0
p
⋅ (i + 1) =
n
Rz d funkcji
Przy formułowaniu ostatecznych wniosków dotycz cych efektywno ci czasowej
(zło ono ci czasowej algorytmu) bierze si pod uwag nie tyle dokładn funkcj
kosztu, ile jej rz d (klas wzrostu funkcji).
Na przykład, je eli dwa algorytmy A i B rozwi zuj ce ten sam problem maj
zło ono pesymistyczn wyra aj c si odpowiednio wzorami:
Tmax (n ) = n 2 + 2n i Tmax (n ) = 3n 2
A
B
to ró nica realnego czasu wykonania obydwu algorytmów jest stosunkowo
niewielka, nawet dla du ego n. Na czas realizacji algorytmu zasadniczo wpływa
bowiem w obydwu funkcjach fakt, e s wielomianami stopnia 2.
N
10
20
50
100
1000
0,1n2
10
40
250
1000
100000
0,1n2+n+100
120
160
400
1200
101100
6
Definicja 4
Powiemy, e funkcja f(n) jest co najwy ej takiego rz du jak funkcja g(n) i
zapiszemy nast puj co: f(n)=O(g(n)), gdy istnieje rzeczywista, dodatnia stała c
oraz pewna nieujemna warto całkowita N, taka, e dla wszystkich n≥N
zachodzi warunek:
f (n ) ≤ c ⋅ g (n )
Na przykład, je eli f(n)=100n a g(n)=n2+100 to wystarczy przyj
aby nierówno
(
)
c=5 i N=10,
100n ≤ 5 ⋅ n + 100 była prawdziwa dla wszystkich n≥N
2
Definicja 5
Powiemy, e funkcje f(n) i g(n) s tego samego rz du i zapiszemy nast puj co:
f(n)=Θ(g(n)), gdy f(n)=O(g(n)) oraz g(n)=O(f(n)), czyli istniej rzeczywiste,
dodatnie stałe c1 i c2 oraz pewne nieujemne warto ci całkowite N1 i N2, takie, e
dla wszystkich n≥N1 zachodzi warunek:
a dla wszystkich n≥N2 warunek:
g (n ) ≤ c1 ⋅ f (n )
f (n ) ≤ c2 ⋅ g (n )
Na przykład, je eli f(n)=100n2 a g(n)=n2+3n+10 to wystarczy przyj c1=1 i
2
2
N1=1, aby nierówno n + 3n + 10 ≤ 1 ⋅ 100n była prawdziwa dla wszystkich
n≥1 oraz c2=100 aby nierówno
dla wszystkich n≥1
VI.
(
)
100n 2 ≤ 100 ⋅ n 2 + 3n + 10 była prawdziwa
Lemat o porównywaniu rz dów funkcji
Lemat 1
f(n), g(n) – funkcje, których rz dy mamy porówna
E =
lim
n→ ∞
f (n )
g (n )
Je li E=+∞, to g(n)=O(f(n)), ale nie f(n)=O(g(n)),
Je li E=c>0, to g(n)= Θ (f(n)),
Je li E=0, to f(n)= O (g(n)), ale nie g(n)=O(f(n)).
7
Przy kład 5
f (n )
n log n
ln n
1/ n
E = lim
= lim
=
=
=0,
2
lim
lim
g
(
n
)
n
n
ln
2
ln
2
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
czyli
nlogn=O(n2), ale nieprawda, e n2=O(nlogn).
Kategorie zło ono ci:
( ) Θ(n ) Θ(n ) Θ(a ) Θ(b ) Θ(n!)
Θ(log n ) Θ(n ) Θ(n log n ) Θ n 2
j
k
n
n
gdzie k > j > 2 oraz b > a > 1.
Je eli funkcja zło ono ci g(n) nale y do kategorii le cej na lewo od kategorii
zawieraj cej funkcj f(n), to g (n ) = O( f (n )) .
VII. Porównanie czasów realizacji algorytmu wykładniczego na dwóch
komputerach o ró nej szybko ci wykonania operacji elementarnej
Pewien algorytm ma zło ono
komputery:
Θ(2n). Załó my, ze mamy do dyspozycji dwa
- wolniejszy – taki, który jedn operacj elementarn wykonuje w czasie
10-6 s,
- szybszy – dokładnie 1000 razy szybszy, który jedn operacj elementarn
wykonuje w czasie 10-9 s
W poni szej tabelce zobrazowano wzrost realnego czasu wykonania algorytmu
dla rosn cego rozmiaru zadania
Rozmiar zadania - n
Czas realizacji na
wolniejszym procesorze
(2 n / 106 )
Czas realizacji na
szybszym procesorze
(2
n
/ 10
9
)
20
1,04 s
0,001 s
50
100
35,7 lat 4 ⋅ 1014
wieków
200
13 dni
5 ⋅ 10 41
4 ⋅ 1011
wieków
5 ⋅ 10 44
Wieków
Wieków
Z powy szej tabelki wynika, e „rozs dny” czas wykonania algorytmu o
zło ono ci Θ(2n) przestaje by „rozs dny” przy stosunkowo niewielkim n, bo
n=50.
8