Idealny czujnik temperatury

Badanie własności dynamicznych czujników temperatury
1. Cel ćwiczenia
Wyznaczenie stałej czasowej różnych czujników temperatury
2. Wymagany zakres wiadomości
Termometr oporowy zasada działania, czujnik Pt100 – parametry. [2]
Zjawisko termoelektryczne, napięcie na styku dwóch metali, temperatura maksymalna oraz
przyrost napięcia od temperatury dla termopary żelazo konstant. [2]
Zależność Ube tranzystora bipolarnego od temperatury [5]
3. Opis dynamicznych właściwości układów do pomiarów wielkości
zmiennych w czasie
Zarówno wielkość mierzona przez urządzenie pomiarowe, jak i sygnał wyjściowy urządzenia
pomiarowego są w ogólnym przypadku funkcjami czasu x = x(t), y = y(t). Przebiegi obu
funkcji nie są równoczesne, występuje przesunięcie w czasie a także kształt funkcji
wyjściowej nie jest w pełni zgodny z funkcją wejściową. Z powyższych powodów różnice
pomiędzy wielkościami x i
y występujące w danej chwili czasu nazywamy błędami
dynamicznymi. Błędy dynamiczne mają szczególnie duże znaczenie przy pomiarze zjawisk
szybkozmiennych, oraz gdy sygnał wyjściowy urządzenia pomiarowego jest wykorzystywany
do regulacji.
Jeśli układ pomiarowy daje się opisać liniowym równaniem różniczkowym w dziedzinie
zmiennej t (czasu):
(1)
to korzystając z transformacji Laplace’a:
(2)
równanie (1) można przekształcić w dziedzinie zmiennej zespolonej p do równania
algebraicznego o postaci:
(3)
Wyciągając przed nawias z lewej strony X(p) a z prawej Y(p) możemy utworzyć stosunek
tych funkcji, jak w równaniu poniżej:
(4)
Wyrażenie (4) jest ilorazem sygnału wyjściowego i wejściowego w funkcji zmiennej p,
reprezentującej pulsację w postaci zespolonej oraz stałych równania (1). Stałe te zależą od
fizycznych własności elementu pomiarowego. Iloraz ten oznaczony jako K(p) zwany jest
operatorową funkcją przejścia lub transmitancją operatorową elementu, w pełni opisuje jego
dynamiczne właściwości.
Symbol X(p) przedstawia w postaci operatorowej wielkość mierzoną, tj. sygnał wejściowy
pobudzający układ. Dla doświadczalnego wyznaczenia transmitancji układu dobiera się
odpowiednio zmienny w czasie sygnał wejściowy. Najczęściej stosuje się jeden z
następujących czterech rodzajów pobudzenia:
- sinusoidalne
- narastające ze stałą szybkością
- impulsowe (funkcja d Diraca)
- skoku jednostkowego (1(t)).
Pobudzenie sinusoidalne ma duże znaczenie ze względu na to, że często w praktyce
spotykamy przebiegi okresowe, które można rozłożyć na harmoniczne (szereg Fouriera).
Niestety w przypadku np. badania czujnika temperatury bardzo trudno jest zrealizować
fizycznie tego typu pobudzenie.Szczególne znaczenie zyskało pobudzenie skokiem
jednostkowym, ze względu na proste związki teoretyczne i względną łatwość fizycznej
realizacji.Stosując odwrotną transformację Laplace’a do operatorowej transmitancji opisanej
wzorem (4) uzyskamy transmitancję czasową k(t):
k(t) = L -1(K(p))
(5)
W przypadku skoku jednostkowego funkcja opisująca sygnał wyjściowy przy pobudzeniu
jednostkowym jest transmitancją elementu w postaci czasowej.
4. Analityczny opis właściwości dynamicznych czujników temperatury
Idealny czujnik temperatury
Idealnym czujnikiem temperatury może być walec jednorodny wykonany z materiału o
nieskończenie dużej przewodności cieplnej l. Czujnik ten ma masę m, ciepło właściwe c, oraz
całkowitą powierzchnię wymiany ciepła z otoczeniem F. Podczas pomiaru jest całkowicie
zanurzony w ośrodku i nie zachodzi wymiana ciepła z żadnym innym ośrodkiem. Załóżmy, że
temperatura ośrodka Tk jest większa od temperatury termometru T.
Po zanurzeniu w ośrodku, zgodnie z prawem Newtona, w czasie dt do czujnika dopływa
ciepło
dQ = aF(Tk - T)dt
(6)
gdzie : a - współczynnik wnikania ciepła z ośrodka do czujnika.
Ilość ciepła zgromadzonego przez czujnik:
dQ = mcdT
(7).
Porównując (6) i (7) otrzymujemy równanie różniczkowe:
(8)
Dokonując transformacji Laplace’a równania (8), co sprowadza się do transformacji funkcji
zależnych od t:
(9a)
(9b)
(9c)
i przy założeniu, że T(0) = 0 otrzymujemy równanie:
t pT(p) +T(p) = Tk(p)
(10)
Odpowiadająca temu równaniu transmitancja idealnego termometru ma postać inercji
pierwszego rzędu:
(11)
Stała t = mc/Fa ma wymiar czasu - jest stałą czasową układu.
Odpowiedź termometru na skok od temperatury Tk = T1 do Tk = T2 otrzymuje się dokonując
transformacji odwrotnej wyrażenia (11):
T(t) = T1 + (T2 - T1) (1 - e-t/τ )
(12)
Jest to funkcja wykładnicza.
Gdy wprowadzimy bezwymiarową zmienną q = (T - T1)/(T2 - T1) to równanie (12) można
zapisać w postaci:
q(t) = 1 - e-t/ τ
(13)
Czujniki termometryczne bez osłon, takie jak termoelementy lub termometry oporowe z
cienkich drutów, a także termometry szklane są zbliżone do termometru idealnego.
5. Termometry rzeczywiste
Rzeczywiste
termometry,
zwłaszcza
elementy
termoparowe,
są
umieszczane
w
kilkuwarstwowej osłonie wykonanej z materiałów które na ogół charakteryzuje różna
pojemność cieplna i różne współczynniki przewodzenia ciepła. Nazywamy je termometrami
warstwowymi. Osłony te zabezpieczają termometr przed szkodliwym wpływem ośrodka,
którego temperaturę ma mierzyć.
Można wykazać, że termometr o n warstwach zachowuje się jak element który opisuje
transmitancja w postaci inercji n-tego rzędu. Na ogół n nie przekracza 3. Na rys.1
przedstawiono model termometru warstwowego i jego analog elektryczny. Pojemnościom
cieplnym crV poszczególnych osłon odpowiadają pojemności C kondensatorów, natomiast
oporom cieplnym przy przejściu ciepła przez materiał osłon i szczeliny powietrzne
odpowiadają rezystancje R. Odpowiednikiem różnicy temperatur są różnice potencjałów.
Rys. 1 Model termometru warstwowego i jego analog elektryczny; ci - ciepło właściwe, ri - gęstość, Vi objętość i-tej warstwy.
Funkcję przejścia wielowarstwowego (np. trójwarstwowego) termometru można napisać w
postaci:
(14)
Stałe czasowe t1, t2, t3 nie są równe iloczynom pojemności cieplnej i oporności cieplnej
poszczególnych osłon oraz samego termometru, ponieważ elementy te obciążają się
wzajemnie. Analityczne ich obliczanie daje stosunkowo dużą rozbieżność z rzeczywistością,
ze względu na duży wpływ drobnych nawet różnic w geometrii termometru, dlatego duże
znaczenie mają sposoby empirycznego badania własności dynamicznych termoelementów.
Doświadczalnie ustalono, że z dostateczną dla potrzeb automatyki dokładnością,
transmitancję termopary można przedstawić w postaci jednego z trzech poniższych wzorów:
(inercja I rzędu - charakterystyka A)
(15)
(inercja II rzędu - charakterystyka B)
(16)
(inercja III rzędu - charakterystyka C)
(17)
6. Doświadczalne wyznaczanie własności dynamicznych termopary
metoda Kondratiewa
Idea pomiaru
W doświadczeniu zastosowano metodę skoku jednostkowego. Otrzymana z eksperymentu
charakterystyka czasowa jest podstawą do wyznaczenia transmitancji czujnika. Przy
założeniu, że własności cieplne materiałów, z których jest zbudowany czujnik, są stałe, oraz
stały jest współczynnik wnikania ciepła a, rozwiązanie równania przewodnictwa cieplnego
Fouriera
(18)
gdzie l - przewodność cieplna właściwa, c - ciepło właściwe, r - gęstość, daje zależność na
temperaturę wskazywaną przez czujnik
(19)
gdzie: T1 - temperatura początkowa czujnika, stała w całej jego objętości, Ui = Ui(x, y, z) funkcje własne rozwiązania równania przewodnictwa, zależne od własności cieplnych,
współczynnika wnikania ciepła a, kształtu czujnika, położenia spoiny, ale niezależne od
czasu, Ai - współczynniki zależne od warunków brzegowych, ti - liczby (wartości) własne
rozwiązania równania przewodnictwa tzw. stałe czasowe, t - czas, DT = T2 - T1 - skok
temperatury.
Wprowadzając nową zmienną bezwymiarową - względny przyrost temperatury, normującą
skok temperatury do jedności:
q(t) = (T(t) - T1)/DT
(20)
z równania (19) otrzymujemy:
(21)
Ponumerujmy stałe czasowe tak, by spełniały one warunek:
τ1 > τ 2 > τ 3 > .... > τ n > ...,
(22)
wtedy kolejne składniki sumy (21) (zaczynając od największego i ) będą szybko malały do
zera z rosnącym czasem t , aż po odpowiednio długim czasie będzie dominował tylko jej
pierwszy składnik A1U1exp(-t/ τ 1).
Wykreślając wskazywaną przez termoparę temperaturę w układzie współrzędnych ln(η) w
funkcji czasu t - patrz rys. 4. , otrzymamy krzywą, która dla dużych t przechodzi w linię
prostą o nachyleniu -1/ τ 1. Z Parametrów prostej dopasowanej tylko do prostoliniowej części
tej krzywej wyznaczamy stałą τ 1 i iloczyn A1U1.
Rys. 4. Ilustracja wyznaczania stałych z równania (21).
Następnie możemy od wyrażenia (21) odjąć wyznaczony składnik A1U1exp(-t/ τ 1) i
ponownie wykreślić ln(η(t)-A1U1exp(-t/τ1)) w funkcji czasu. Jeśli otrzymana krzywa (zbiór
punktów) przechodzi w liniową zależność dla rosnącego t , to możemy wyznaczyć τ2 i
iloczyn A2U2. Kontynuując procedurę wyznaczamy kolejne stałe czasowe t i współczynniki
AU, o ile punkty na kolejnych wykresach pozwalają określić gładką krzywą.
7. Układ pomiarowy
Stanowisko pomiarowe składa się ze scalonego czujnika temperatury LM35 oraz czujnika
rezystancyjnego Pt100, których dynamikę należy wyznaczyć, przekładając je z pojemnika z
wodą o temperaturze T1 do pojemnika z wodą o temperaturze T2 realizując w ten sposób
skok jednostkowy temperatury.
Sygnał termopary jest wzmocniony i podany na 12 bitowy przetwornik analogowo cyfrowy
znajdujący się na pomiarowej karcie laboratoryjnej PCL12, wpiętej do komputera.
8. Sposób wykonania ćwiczenia
1. Zagotować wodę w czajniku a następnie napełnić nią izolowany pojemnik (na zdjęciu po
lewej). Zostawić wolne miejsce w szyjce pojemnika tak żeby po włożeniu termometru i
czujnika temperatury woda się nie rozlała.
2. Włożyć termometr szklany i zarejestrować czas potrzebny na spadek temperatury o 1
stopień Celsjusza.
3. Włożyć oba czujniki do menzurki z wodą (temperatura pokojowa)
4. Włączyć program AGIMAG,
5.
Wystartować pomiar i po 10 sekundach energicznym ruchem przełożyć czujnik PT100
(opis przy wtyczce) do gorącej wody. Pojemnik zatkać termometrem szklanym. Poczekać
do ustabilizowania się przebiegu.
6. Zatrzymać rejestracje, zapisać wynik na dysku twardym (plik z rozszerzeniem ASCII)
7. Przełożyć czujnik do menzurki. Poczekać aż jego temperatura się ustabilizuje.
8. Powtórzyć pomiar 3 razy
9. Powtórzyć punkty 5 – 8 dla czujnika LM35.
W sprawozdaniu posługując się odpowiednim programem obliczeniowym, np Excel należy
policzyć stałe czasowe dla obu czujników dla wszystkich pomiarów. Policzyć zarówno τ1 i τ2.
Zastanowić się dlaczego możemy wyznaczyć stałe czasowe charakteryzujące termoparę,
mimo że nie znamy rzeczywistej różnicy temperatur, siły termoelektrycznej termopary, ani
wzmocnienia wzmacniacza. Wystarczy założenie, że w stosowanym zakresie temperatur
charakterystyka termopary jest liniowa.
Literatura
1. Cz. Graczyk, A. Puszer: Badanie własności dynamicznych czujników
termoelektrycznych, Pomiary Automatyka Kontrola, Zeszyt 12, str. 541 - 545, 1969
2. E. Romer: Miernicto Przemysłowe, PWN, Warszawa 1978
3. J. Frączek, St. Waluś: Laboratorium miernictwa przemysłowego, Skrypt 2041,
Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1997
4. L. Michalski, K. Eckersdorf: Pomiary temperatury, WNT Warszawa 1986
5. Paul Horowitz, Winfield Hill: Sztuka Elektroniki Cz.1, rozdział 2.10. 3. (Model Ebersa
Molal)