2 Funkcja τ(n)

Teksty Konferencji MathPAD’09, UMK, Toruń, 17-21 Sierpnia 2009
Funkcje arytmetyczne z MuPADem
Zygmunt Krawczyk
E–mail: [email protected]
Tu powinna być nazwa szkoły
i przynajmniej miejscowość
Streszczenie
W teorii liczb występuje wiele funkcji arytmetycznych. Są to funkcje określone na zbiorze liczb
naturalnych i o wartościach zespolonych. Związane są z takimi zagadnieniami, jak podzielność liczb,
rozkład na czynniki pierwsze, sumy dzielników, itp. Dzięki tym funkcjom można definiować i badać
wiele ciekawych własności liczb naturalnych. W pracy przedstawiam wybrane zagadnienia związane
z funkcjami τ(n), σ(n) i φ(n) oraz programy i procedury służące do badania własności liczb
związanych z tymi funkcjami. Na koniec podaję jeszcze kilka ważnych funkcji arytmetycznych
znajdujących się w bibliotece MuPADa numlib, która zawiera funkcje i procedury z elementarnej
teorii liczb.
1 Uwagi
Ten document powstał jako szablon dla tekstów konferencji MathPAD. Jest on wzorowany na
podobnym dokumencie wykonanym w TeXu. Spodziewam się, że nie jest to dokładna kopia w
związku z czym warto aby ktoś porównał oba dokumenty i wniósł odpowiednie poprawki.
2 Funkcja τ(n)
Oznaczmy przez τ(n) liczbę wszystkich dzielników naturalnych liczby naturalnej n. Funkcja ta
bywa również oznaczana przez d(n). Oto kilka początkowych wartości tej funkcji: τ(1) = 1, τ(2) =
τ(3) = 2, τ(4) = 3, τ(5) = 2, τ(6) = 4, τ(7) = 2, τ(8) = 4, τ(9) = 3, τ(10) = 4. W MuPADzie funkcję ta
ma postać numlib::tau i oczywiście znajduje się w bibliotece numlib.
numlib::tau(100), numlib::tau(2006), numlib::tau(10^12
9,8,169
Istnieje równoważna funkcja do powyższej, mianowicie numlib::numdivisors.
Funkcję τ(n) można wyrazić wzorem, jeżeli znamy rozkład kanoniczny liczby naturalnej n na
czynniki pierwsze.
Twierdzenie 1. Jeżeli liczba naturalna n > 1 ma rozwinięcie kanoniczne na czynniki pierwsze
postaci
n  q11  q 2 2  ...  q s s
gdzie q1, q2,..., qs są liczbami pierwszymi, α1, α2,..., αs  N, to
τ(n) = (α1 + 1)(α2 + 2)...(αs + 1).
Teksty Konferencji MathPAD’09, UMK, Toruń, 17-21 Sierpnia 2009
Podam teraz kilka własności i problemów związanych z funkcją τ(n).
1. Funkcja τ(n) jest multiplikatywna.
2. Równość τ(n) = 1 zachodzi tylko dla n = 1. Równość τ(n) = 2 spełniają tylko liczby
pierwsze. Zatem dla liczb złożonych mamy τ(n) ≥ 3.
3. Z twierdzenia 1 wynika, że τ(n) jest liczbą nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
liczby α1, α2,..., αs są parzyste. Dlatego też tylko kwadraty liczb naturalnych mają
nieparzystą liczbę dzielników.
4. Z twierdzenia 1 wynika, że dla każdej liczby naturalnej m > 1 istnieje nieskończenie wiele
liczb naturalnych n mających dokładnie m dzielników. Wystarczy bowiem przyjąć n = pm1, gdzie p jest dowolną liczba pierwszą. Zatem dla każdego m  N istnieje najmniejsza
liczba naturalna mająca dokładnie m dzielników.
Oznaczmy przez am najmniejsza liczbą naturalną mającą dokładnie m dzielników. A oto program
wyznaczający k początkowych wyrazów tego ciągu.
//program1
k:=20:
mdzielnikow:=proc(m)
local b,i;
begin
b:=2^(m-1);
for i from 1 to b do
if numlib::tau(i)=m then
return(i);
i:=b;
end_if;
end_for;
end_proc:
for i from 1 to k do
print(mdzielnikow(i));
end_for:
1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48, 1024, 60, 4096, 192, 144, 120, 65536, 180, 262144, 240
Nasuwa się wiele pytań dotyczących własności ciągu (am). Na przykład, czy wszystkie wyrazy tego
ciągu, z wyjątkiem pierwszego, są parzyste? 1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48, 1024, 60, 4096, 192,
144, 120, 65536, 180, 262144, 240.
ITD ......
2 Funkcja τ(n)
Oznaczmy przez τ(n) liczbę wszystkich dzielników naturalnych liczby naturalnej n. Funkcja ta
bywa również oznaczana przez d(n). Oto kilka początkowych wartości tej funkcji: τ(1) = 1, τ(2) =
τ(3) = 2, τ(4) = 3, τ(5) = 2, τ(6) = 4, τ(7) = 2, τ(8) = 4, τ(9) = 3, τ(10) = 4. W MuPADzie funkcję ta
ma postać numlib::tau i oczywiście znajduje się w bibliotece numlib.
numlib::tau(100), numlib::tau(2006), numlib::tau(10^12
9,8,169
Istnieje równoważna funkcja do powyższej, mianowicie numlib::numdivisors.
Funkcję τ(n) można wyrazić wzorem, jeżeli znamy rozkład kanoniczny liczby naturalnej n na
czynniki pierwsze.
55
Teksty Konferencji MathPAD’09, UMK, Toruń, 17-21 Sierpnia 2009
Twierdzenie 1. Jeżeli liczba naturalna n > 1 ma rozwinięcie kanoniczne na czynniki pierwsze
postaci
n  q11  q 2 2  ...  q s s
gdzie q1, q2,..., qs są liczbami pierwszymi, α1, α2,..., αs  N, to
τ(n) = (α1 + 1)(α2 + 2)...(αs + 1).
Podam teraz kilka własności i problemów związanych z funkcją τ(n).
5. Funkcja τ(n) jest multiplikatywna.
6. Równość τ(n) = 1 zachodzi tylko dla n = 1. Równość τ(n) = 2 spełniają tylko liczby
pierwsze. Zatem dla liczb złożonych mamy τ(n) ≥ 3.
7. Z twierdzenia 1 wynika, że τ(n) jest liczbą nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
liczby α1, α2,..., αs są parzyste. Dlatego też tylko kwadraty liczb naturalnych mają
nieparzystą liczbę dzielników.
8. Z twierdzenia 1 wynika, że dla każdej liczby naturalnej m > 1 istnieje nieskończenie wiele
liczb naturalnych n mających dokładnie m dzielników. Wystarczy bowiem przyjąć n = pm1, gdzie p jest dowolną liczba pierwszą. Zatem dla każdego m  N istnieje najmniejsza
liczba naturalna mająca dokładnie m dzielników.
Oznaczmy przez am najmniejsza liczbą naturalną mającą dokładnie m dzielników. A oto program
wyznaczający k początkowych wyrazów tego ciągu.
//program1
k:=20:
mdzielnikow:=proc(m)
local b,i;
begin
b:=2^(m-1);
for i from 1 to b do
if numlib::tau(i)=m then
return(i);
i:=b;
end_if;
end_for;
end_proc:
for i from 1 to k do
print(mdzielnikow(i));
end_for:
1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48, 1024, 60, 4096, 192, 144, 120, 65536, 180, 262144, 240
Nasuwa się wiele pytań dotyczących własności ciągu (am). Na przykład, czy wszystkie wyrazy tego
ciągu, z wyjątkiem pierwszego, są parzyste? 1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48, 1024, 60, 4096, 192,
144, 120, 65536, 180, 262144, 240.
ITD ......
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
Majewski M.: MuPAD dla Niecierpliwych. PWN Warszawa 2001.
Narkiewicz W.: Teoria liczb, PWN, Warszawa 2003.
Ribenboim P.: Mała księga wielkich liczb pierwszych, WNT, Warszawa 1997.
Sierpiński W.: Wstęp do teorii liczb, WSIP, Warszawa 1987
56
Teksty Konferencji MathPAD’09, UMK, Toruń, 17-21 Sierpnia 2009
[5] Sierpiński W.: Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1969.
57