Prof. Dr. inż. S T A N IS Ł A W F R Y Z Ę . MOC RZECZYWISTA, UROJONA I POZORNA W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH O PRZEBIEGACH ODKSZTAŁCONYCH PRĄDU I NAPIĘCIA SPRAW OZDANIE Z ODCZYTU, WYGŁOSZONEGO DLA CZŁONKÓW TO W . POLITECHNICZNEGO I LW OW SK. KOŁA ELEKTRYKÓW W DNIU 19 LISTOPADA 1930 R. NA POLITECHNICE LW OW SKIEJ O dbitka z „ P rzegląd u E lek tro tech n iczn eg o “. Z eszyt 7—8 1931 r. W A R S 1 9 Z A 3 1 W A MOC RZECZYWISTA, UROJONA I POZORNA W OBW ODACH ELEKTRYCZNYCH O PRZEBIEGACH ODKSZTAŁCONYCH PR Ą D U I NAPIĘCIA. W w ykładzie, wspom aganym doświadczeniami i ilustrow anym wykresam i, przedstaw iłem naprzód obecny stan definicyj trzech zasadniczych wiel­ kości, dotyczących mocy elektr. (moc rzeczyw ista P, moc urojona Pb i moc pozorna P s), a nastę­ pnie w łasną, ogólną teorję, na której definicje tych trzech wielkości winne być oparte w obwodach elektr. o dowolnych lecz perjodycznych przebie­ gach prądu i napięcia. W ykład poprzedzony był krótkiem i objaśnie­ niami, jakie powody zniew alają do rozróżnienia w obwodach prądów zmiennych aż trzech rodzajów mccy. Objaśnienia te, jako bardzo ważne dla sa­ mego zagadnienia definicyj mocy. podaję tu w streszczeniu. za k tórą odbiorca opłaca należność w ytwórcy tej energji. Moc pozorna P s decyduje c wielkości in­ stalacji, w ytw arzającej energję elektr., dalej 0 grubości przewodów, doprow adzających tę ener­ gję do odbiorcy, a w końcu o stratach energji elektr. w urządzeniu wytwórczem i przesyłowem . G dy bowiem dostarczenie odbiorcy pewnej mocy rze­ czywistej P wym aga dużej mocy pozornej P s, c?yli dużego iloczynu UJ, trzeba uskutecznić zasilanie odbiornika albo przy wyższem napięciu U lub przy większym prądzie J , niż by to było potrzebne, gdy­ by P s było równe P, jak to jest w obwodach o p rą­ dach stałych (stałych w ścisłem znaczeniu tego sło­ wa!). Stosunek / = — _ P W układzie 2-przewodowym (rys. 1) I p rzed ­ staw ia źródło prądu zmiennego, zasilającego od­ biornik II energją elektryczną. Źródło i odbiornik połączone są 2-ma przewodami, których opory i indukcyjności oraz pojemność w zajem ną pomijamy, zakładając, że są one bardzo małe. P rzy perjodycz­ nych przebiegach napięcia między przewodam i Ui (funkcja czasu] i prądu w obwodzie Jt (funkcja czasu) oraz jednakow ej częstotliwości f obu tych funkcyj załączony w obwód watom ierz W będzie w skazyw ał moc (P) w watach, ogólnie m niejszą od iloczynu w skazań woltom ierza cieplikowego (T/J i am perom ierza cieplikowego (A), czyli od iloczy­ nu skutecznych w artości napięcia [U) i natężenia prądu ( /) , więc moc P w w atach m niejszą od ilo­ czynu U J w w oltam perach. W ielkość, m ierzoną watomierzem, nazywamy mocą rzeczywistą (P), iloczyn napięcia zasilającego U i p rąd u zasilającego J nazwano mocą pozorną UJ nazwano spółczynnikiem mocy. Spółczynnik ten może być co najw yżej równy 1, ogólnie zaś jest X < l i wyraża, jaką czqść z P s stanowi P. Spółczynnik mocy Xmożna więc uw ażać za sto­ pień w yzyskania mocy P s , stojącej do dyspozycji przy danem napięciu zasilania (U) i prądzie zasila­ nia ( /) . W tern ujęciu i przy uwzględnieniu wyżej powiedzianego /■ ma ch arak ter spółczynnika gospo­ darności o nader ważnem znaczeniu praktycznem . Im m niejsza jest bowiem w artość X w elektrowni, tem większych zespołów maszynowych potrzeba do zasilania odbiorców, tem większe przekroje muszą posiadać przew ody przy danem napięciu zasilania 1 tem większe m amy stra ty energji elektr. Pisząc po­ przedni wzór na X w postaci zależności: (Ps). widzim y dobitnie szkodliwy w pływ >. na ilość woltam perów [UJ = P s), konieczną do wytworzenia dla danego P (wzór P s), na napięcie zasilania przy da­ nem P i J (wzór U ), oraz na prąd zasilania J przy danem P i f / . Norm alnie dostaw a energji elektr. od­ bywa się przy praktycznie stałej w artości napięcia użytkowego U, przeto praktyczne znaczenie m ają głównie wzory dla P s i dla J. Ps = UJ Moc rzeczyw ista P jest m iarodajną dla zużycia energji elektrycznej A = u I P.dt i, “ Ps 2 W ytw órcy energji elektr. nie może być obojętnem, przy jakim spółczynniku a odbywa się za­ silanie odbiorcy, pobierającego moc P, gdyż liczniki, w edług których oblicza się należność za energję elektr., w ykazują tylko faktyczne zużycie, odpowie­ dnio do wzoru /, A = j P .d t czyli re je stru ją iloczyny zmieniającego się w czasie wskazania w atom ierza i czasu t. G dy jednak do­ staw a tej rzeczywiście zużyw anej energji odbywa się przy prądzie zam iast, jak w obwodach o prądach stałych, przy prądzie czyli przy prądzie 1/X razy większym, niż w p rzy ­ padku, gdy X = 1, to przy danej mocy zainstalow a­ nej, elektrow nia może sprzedać tylko część (X) tej produkcji, jaka odpow iada owej mocy przy danym czasie użytkow ania urządzenia. Słusznem jest zatem stanowisko wytwórców energji elektr., którzy cenę kW h z u ż y te j przez odbiorcę uzależniają od w artości spólczynnika X. Powstało tylko zagadnienie, jak to uzależnienie uskutecznić. R ejestrow anie zm ieniającej się w artości X nie m iałoby żadnego sensu, gdyż >■ ma m niejsze zna­ czenie dla elektrow ni przy m alej mocy, a większe przy dużej mocy P. Sam a w artość X nie może więc decydować o dodatkach za zużytą faktycznie ener­ gję elektryczną (A), gdy zużycie to zachodziło w czasie od tx do f2 przy różnych w artościach P. Utworzono przeto pojęcie t, zw. elektr. mocy urojo­ nej (po niem. Blindleistung) Pb i elektr. pracy uro­ jonej (po niem. B lindarbeit) Ab i obmyślono przy­ rządy, służące do pom iaru tych wielkości. W ob­ wodach sinusoidalnych spraw a dała się załatw ić gładko, bo dla tych obwodów, jak wiadomo, P X - cos 9 = bkW h *) (po niem. B lindlastzähler). N arzu cen ie'ta­ kiej taryfikacji jest uzasadnione tern, że w obwodam sinusoidalnych X zależy od przesunięcia fazowego, a to od rodzaju składników odbiornika. Odbiornik, który stanowi sam tylko opór omowy R (lub zespół, takich oporów), pobiera energję elektr. przv X = 1. Odbiorniki, które oprócz R zaw ierają cewki induk­ cyjne lub kondensatory, pobierają energję eiektry. czną przy X < 1. J e s t przeto oczywiste, że w artość X zależy od odbiorcy ,a skoro pow oduje on zm niej­ szenie winien za to opłacać pewien dodatek, obli­ czany w edług odczytów Ab T ak więc doszliśmy do trzech rodzajów mocy (P, Pb, P s) i widzimy konieczność rozróżniania tych wielkości, co też znalazło w yraz w jednostkach W lub k W (dla P) Var lub kVar (dla P b) *) i V A lub k V A (dla P sr). M iędzy owemi trzem a mocami istnieje bardzo ważny związek, określony dla sinusoid równaniem P / = p* -j- ppRównanie to w yraża, że także moce należy w obwodach sinusoidalnych dodawać geometrycznie, analogicznie jak prądy (skuteczne) i napięcia ( s k u ­ teczne). W ynik ten nie może w ydaw ać się dziwnym, jeżeli uwzględnimy, że moc jest iloczynem skutecz­ nych w artości prądu i napięcia i że skuteczne w ar­ tości U, J pow stają z kw adratow ych w artości chwi­ lowych, sumowanych na jeden okres T. Powyższe, proste związki, ogólnie uznane i przyjęte, stosują się tylko do sinusoidalnych prze­ biegów U i J o tej samej częstotliw ości (f). W iadom o jednak, że przebiegów takich niema w żadnej sieci elektr. zasilającej m otory, tra n sfo r­ m atory i t. p. naw et w przypadku, gdy — jak to obecnie ma m iejsce — m aszyny w elektrow ni wy­ tw arzają sinusoidalne SEM -czne. Żelazne rdzenie urządzeń odbiorczych, oraz szereg innych czynników pow oduje odkształcenie sinusoid prądu, a temsamem także sinusoid napięć. W praktyce m am y więc do czynienia ogólnie z odkształconemi (niesinusoidalnem i) przebiegami prądów i napięć. W iemy, że i przy takich przebiegach jest ogólnie U .J czyli odpow iada cosinusowi kąta przesunięcia fazo­ wego 9 między sinusoidą napięcia i prądu. Tworząc nowy spółczynnik h — V 1 — Xa = 1 1 — cos2 9 = sin 9 t. zw. spółczynnik mocy urojonej, można położyć Pb = U . / sin 9 = U . J .Xj analogicznie do P = U . J cos 9 = U . J A i ze wzoru na Pb przejść do pracy urojonej Ab = f Pb ■dt t, M ożna teraz narzucić odbiorcy taryfę, uzale­ żniającą koszt faktycznie zużytej energji elektr. A = f P.dt t, od zarejestrow anej elektr. pracy urojonej Ab. RejestracjiA dokonują z w y k łe liczniki k W h , reje strac ję Ab uskutecznia się zapom ocą specjalnych liczników powstało tedy zagadnienie, jak w takich sieciach za­ łatw ić rozliczanie wytw órcy z odbiorcą. Przy bliższem badaniu tego zagadnienia okazało się, że i w obwodach odkształconych trzeba stw orzyć defi­ nicje mocy rzeczyw istej, urojonej i pozornej. Z defi­ n icją mocy rzeczyw istej (P) poszło gładko, albo­ wiem wielkość ta, utw orzona dla przebiegów sinu­ soidalnych w postaci całki P = M f U l . J l . a t Ę - ± f P t dt, T ö T 6 da się w tej samej postaci przenieść także na obwo­ dy o perjodycznych przebiegach odkształconych na­ pięcia (17/) i prądu ( Jt). T akże pom iar watom ierzem mocy rzeczyw istej P nie doznaje tu żadnej zmiany. Z wielkością P s (moc pozorna) poszło już znacznie trudniej. Dla układów 2-przewodow ych wielkość ta równa się *) M ię d z y n a r o d o w a K o m isja E le k t r o t e c h n ic z n a C. E . I. u s t a n o w iła w r. 1930 ja k o j e d n o s t k ę d la P b t. z w . V a r w z g l. k V a r. (D a w n a j e d n o s t k a n ie m ie c k a b W w z g l. b k W ). 3 w praw dzie znów iloczynowi skutecznej w artości na­ pięcia (17) i prądu (/) zasilania, natom iast dla n-przew odow ych systemów (układ 3-fazowy ze ze­ rem lub bez zera), obliczenie P s bez pomocy trze­ ciej wielkości Pb jest niemożliwe. Rzucono się za­ tem do ustalenia definicji mocy urojonej P q w układach o przebiegach odkształconych, wzglę­ dnie do m odyfikacyj spółczynnika X, celem uzy­ skania analogjL z obwodem sinusoidalnym . Oto w y­ niki 10-letniej pracy poważniejszych elektryków . Prof. Dr. Inż. Em de dowodzi (w E. u. M. 1921, Str. 545), że pojęcie mocy urojonej dotyczy tyl­ ko obwodów sinusoidalnych i nie da się prze­ nieść na obwody o przebiegach odkształconych. Prof. Dr. Inż. Schering proponuje uzależnić moc urojoną od t. zw. pulsującej energji pola m a­ gnetycznego i elektrycznego obwodu, analogicznie jak w obwodach sinusoidalnych (E. T. Z. 1924, Str. 710). Ponieważ zależność ta przy przebiegach odkształconych jest inna, niż przy sinusoidalnych, trzeba, według Scheringa, zadowolić się tylko obliczeniem przybliżonem. Dr, Dr. Inż. W eber „udow adnia", że pojęcie mocy pozornej i urojonej jest w obwodach n-przewodowych wieloznaczne i nie da się sprecyzować (E. u. M. 1929, Str. 301), a dalej (E. T. Z. 1929, Str. 1547) tw ierdzi naw et, że utw orzenie pojęcia mocy urojonej w obwodach o przebiegach odkształco­ nych na podobieństwo definicji sinusoidalnej jest zgoła niemożliwe, bo równanie zasadnicze P s- = P- -(- Pbw ażne dlà sinusoid, przechodzi dla 0 przebiegach dowolnych w nierówność obwodów 4 - P b> 4 = P s> Prof. C. Budeanu oblicza w artość Ps szerega­ mi F ouriera i dochodzi do wzoru: P .* = P : + PP -+■ Pp w prow adzając do obwodów o przebiegach od­ kształconych nową wielkość, t. zw. moc znie­ kształcenia P u ( .Puissances réactives et fictives“ 1 „Les différentes opinions et conceptions concernant la motion de puissance réactive en régime non sinu­ soïdal“) *). Nie lepiej przedstaw iają się usiłowania znale­ zienia rozw iązania przez odpowiednie ujęcie spół­ czynnika mocy X. K rijger proponuje przekształce­ nie > na iloczyn dwu spółczynników '■ = X, . cos '1' z których jeden X0 ma oznaczać t. zw. spółczynnik zniekształcenia, a drugi W t. zw. spółczynnik prze­ sunięcia (fazowego) (E. T. Z. 1925. Str. 48). A na­ logiczne propozycje, choć inaczej ugruntowane, staw ia B rynhilden i K ern (B. B. C. — M itteilungen Bd. 14, zeszyt 5 — 8). M üller krytykuje te propo­ zycje, znalazłszy, że cos 'P może wypaść w nie­ których przypadkach większe od 1, co prowadzi do absurdu, i staw ia inną propozycję utw orzenia iloczynu (X — m s à) (E. T. Z. 1928, Str. 251). W roku 1930 Em de zw raca uwagę na pewną *) P u b lik a c je N r. 2 i 4 In st. n a t. R o u m a in p o u r l'é tu d e d e l'a m é n a g e m e n t e t d e l'u tilis a t io n d e s s o u r c e s d 'é n e r g ie 1927. wielkość, t. zw. „Entohmung", spokrew nioną z mo­ cą urojoną (E. T. Z. 1930, Str. 533). Korowód powyższy w ażniejszych prac (głó­ wnie niemieckich) zam yka po rok 1930 Dr. M ül­ ler — Lübeck propozycją w prow adzenia dwu ro­ dzajów spółczynników mocy t. zw. elektrycznego ).£ i magnetycznego (Forschung u. Technik 1930, Str. 134). J a k w idać „w ybór“ propozycyj jest duży, chociaż zacytow ałem tu tylko m ałą cząstkę prac, dotyczących mocy, chodziło mi bowiem jedynie o zorjentow anie co do typowych kierunków, obra­ nych w drodze do rozw iązania zagadnienia definicyj mocy w układach o przebiegach odkształconych prądu i napięcia. M iędzynarodow a K om isja E lek­ trotechniczna (Commission Electrotechnique In te r­ nationale, C. E. I.), obradująca w lecie 1930 r. (w Stockholm ie), nie przyjęła żadnej z propono­ w anych dotąd definicyj mocy w układach niesinu­ soidalnych — i słusznie, żadna bowiem z propozy­ cyj niema koniecznych cech ogólnych, um ożliwia­ jących jednolite traktow anie zarówno obwodów sinusoidalnych, jak i niesinusoidalnych. O brady C. £ , I. zachęciły i mnie, jak wielu elektryków na świecie, do dalszych poszukiwań. Spraw ie mocy poświęciłem już dużo czasu, docho­ dząc do wyników, które odnośnie do n-przew odo­ wych układów sinusoidalnych przedstaw iłem w w ykładzie odbytym w Tow arzystw ie Politechnicznem dnia 30 kw ietnia 1926. Tam też podałem odkrytą przezem nie „Zasadę w yodrębnienia" oraz „Uogólnienia obu praw Kirchhoffa", bez których to „narzędzi operacyjnych" ogólne rozw iązanie zagadnień mocy natrafia na trudności niepokonane. W obecnym w ykładzie podaję do wiadomości ogól­ ne rozw iązanie zagadnienia mocy, na razie dla układu 2-przewodowego (rys. 1). A naliza, k tó rą tu przeprow adzam , przekreśla wszystkie propozycje, postawione dotąd przez różnych autorów. Okażę bowiem, że stosunki i związki, obowiązujące w zglę­ dem mocy, rozkładu napięć, prądów , oporów i t. p. dla układów sinusoidalnych, zachow ują ważność (w odpowiedniem ujęciu) także w obwodach o do­ wolnych (perjodycznych) przebiegach napięć i p rą­ dów. W szczególności udowodnię, . że ważne dla sinusoidalnych obwodów kw adratow e rów nanie mocy P ,2 = P 2 - j - P bnie traci ważności także w obwodach niesinusoidal­ nych. Nowe najogólniejsze definicje mocy rzeczywistej, pozornej i urojonej w układzie 2 - przewodowym. Zakładam y, że źródło prądu zmiennego o na­ pięciu Ut zasila nie­ znany odbiornik p rą ­ dem Jt, 2-ma przew o­ dami (jeden dosyłowy, drugi odsy Iowy) (rysi). Zarów no Ut jak i Jt są perjodycznem i, jednowartościowem i fun­ kcjami czasu (/) o iden­ tycznej częstotliw o­ ści f. Rys. 1. 4 U w zględniając w artość X możemy położyć X — cos © przedstaw ia zatem przebieg mocy i jest także i zapytać, co oznacza kąt cp, którego cosinus od­ pow iada spółczynnikowi mocy w układzie 2-przejednow artościow ą funkcją t o częstotliwości f. wodowym. o odkształconych przebiegach napięcia W skazanie w oltom ierza cieplikowego (V J, i prądu? Pytanie to, na pozór całkiem nierozsądne, włączonego m iędzy dwa przewody, łączące źródło naprow adziło mnie w łaśnie na drogę, która nad­ z odbiornikiem, odpow iada w artości skuteczne) spodziewanie i w sposób niezm iernie prosty pro­ funkcji Ui, czyli w adzi w prost do celu, t. j. do właściwych a naj­ ogólniejszych definicyj mocy. Okazało się przyU i2 . d t . . . U (2) tem, że szlak w ytknięty „sinusoidalnym sposobem m yślenia", t. j. doszukiwanie się w obwodach nie­ W skazanie am perom ierza cieplikowego (A), sinusoidalnych związków m iędzy energją pulsują­ włączonego w obwód, odpow iada w artości sku­ cą a mocą urojoną, — to droga, wiodąca na m a­ tecznej funkcji Jt, czyli nowce. A naliza bowiem prow adzona z m yślą prze­ wodnią, aby dotrzeć do owego „.mistycznego" k ą­ dł ■ (3( ta ?, którego cosinus ma odpowiadać spółczynni­ J kowi mocy, to nietylko' nowy, a odm ienny od do­ tychczasowych, sposób rozw iązania zagadnienia W skazanie w atom ierza (W), włączonego w ob­ mocy w obwodach niesinusoidalnych, lecz także wód, odpow iada w artości średniej f uncji Pi, więc zupełnie nowa ideologja, zupełnie inna interpreta­ cja od tej, z jaką każdy elektryk zżył się od z a ra ­ 1 f U i J i - d ł . . (4) nia rozw oju teorji prądów zmiennych. P rzed sta­ P = Y I p" “ T o wiona tu teorja odsłaniając nowe, nieprzeczuw ane dotąd możliwości zniewala jednak do zajęcia no­ P przedstaw ia moc dostarczaną odbiornikowi. wego odmiennego od dotychczasowego stanowiska, Nazywać ją będziemy dalej mocą rzeczywistą wobec pewnym, utartych i tradycją uświęconych i oznaczać dla jednolitości symbolem P w zasad. U łatw ienie w tym względzie ma nam dać opis Pw = P = — f P i . d t = i - f U , J , . dt . (5) kilku doświadczeń, a więc faktów, rzucających To T o . pewne św iatło na dotychczasowe nasze pojęcia- od­ Iloczyn wartości skutecznych napięcia U nośnie do spółczynnika mocy. i prądu J zasilania, odpow iada mocy pozornej P s, Doświadczenie 1. Do końcówek sinusoidal­ zatem nego źródła prądu, w łączona jest cewka indukcyj­ P s = U . J ................................ ( 6 ) na z oporem. Stw ierdzam y, że < 1, i „w yjaśnia­ my", że powodem tego jest t. zw. pulsowanie enerM amy w ten sposób ujęte dwie wielkości, t. j. gji pola magnetycznego cewki. moc rzeczywistą P w, odpow iadającą wskazaniu Doświadczenie 2. Do końcówek źródła prądu w atom ierza, i moc pozorną P s, odpow iadającą ilo­ stałego załączam y łuk elektr. między węglami. Ilo­ czynowi skutecznych w artości napięcia [U] i p rą­ czyn U J zgadza się tu ze wskazaniem watom ierza, du (J ), co zresztą jest ogólnie wiadome i odnośnie do system u 2-przewodowego nie przedstaw ia nic czyli P w -- U . J . Gdy jednak łuk przełączam y na sinusoidalne źródło prądu, okazuje się, że nowego. Pw < U . J , czyli w łuku elektr., zasilanym p rą­ W myśl uchw ały C. E. I. zakładam y teraz dem zmiennym, jest ogólnie ). < 1. Pytanie, dla­ P P czego tak jest, nie znalazło dotąd należytego wy­ X = ------- = - 2 . . . . (7) jaśnienia. Równocześnie widzimy, że w przypad­ U J U .J ku tym nie można zjaw iska tłum aczyć jakiem kolprzyczem X oznacza spółczynnik mocy. Spółczyn- wiek pulsowaniem energji pola m agnetycznego nik mocy X może być tylko co najw yżej równy lub (brak jakichkolw iek cewek w łuku). m niejszy od 1, jak to wynika z t. zw. nierówności Doświadczenie 3. Do końcówek źródła prądu Schwarz a stałego lub sinusoidalnego załączam y perjodycznie zm ieniający się opór omowy (opornica z w irująceI f { x ) g (x) . d x \ < J f (x)2 d x . J g (x)2 . dx (8) mi szczotkami) i stw ierdzam y (już ze zdum ieniem ), a l a a że i teraz iloczyn U . J jest większy od w skazania w atom ierza (Pu,), że zatem i tu l, < 1, jakkol­ która w zastosowaniu do naszych funkcyj daje: wiek w przypadku tym mamy do czynienia li tylko (9) z oporem omowym. Doświadczenie 4. W obwód prądu stałego lo I to 1 o w łączam y przeryw acz rotacyjny, połączony w sze­ lub reg z oporem stałym (i?). I tu jest U . J > P w, czyli >. < 1, gdy zmierzym y moc na zaciskach - 1- f u j , . d t < \ [ — ( Ur- dt - \ f — f J r . dt ( 10) głównych czyli na końcówkach szeregu, utw orzo­ Tó V To V To nego z przeryw acza i oporu R, a P w — U r ■J r , czyli gdy m ierzym y P w na samym oporze R. Doświadczenie 5. Załączam y obwód z do­ P < U.J —— < 1 X< 1 U.J św iadczenia 4 na źródło sinusoidalne. Znowu Funkcja p,= u ,.j, . . . . . XD = V rl ( l ju,J,.dt\2 U fd t.J J f.il.. stw ierdzam y UJ > P w i >. < 1 gdy mierzymy moc na zaciskach źródła prądu, a P w = t/j? . / k , gdy m ierzym y na samym oporze R. Doświadczenie 6. Do końcówek źródła prą­ du stałego dołączam y opór R z a następnie w szereg przeryw acz rotacyjny i krótki, gruby przewód m iedziany. (Rys. 2). MOA ^ h ^ 3 z?*# R y s . 2. Jakkolw iek tu jest R ~ O, to jednak wolto­ mierz V w skazuje około 100 V, am perom ierz oko­ ło 10 A, a w atom ierz (praktycznie) zero watów. (Opór R . w łączony jest tylko celem ograniczenia p rą d u /). O statnie doświadczenie (dające analogiczne wyniki także przy zasilaniu ze źródła sinusoidal­ nego) musi w pierwszej chwili wprawić w zdum ie­ nie, w ygląda bowiem w prost paradoksalnie. Oto ni mniej ni więcej, tylko mamy napięcie (100 V) na końcówkach grubego i krótkiego kaw ałka drutu miedzianego (o oporze omowym R = 0,0001 i! |> gdy przez niego przepływ a p rąd „ sta ły “ (coprawda przeryw any perjodycznie) o natężeniu 10 A. W myśl zasad elektrotechniki, stosowanych for­ malnie, „powinno być“ przecież na końcówkach tego oporu R ~ O napięcie U — J . R ę? O Otóż te zasady. Nie jesteśm y jeszcze przyzw ycza­ jeni do należytego stosowania zasad w przypadku prądów przerywanych. Różni autorowie, zapatrze­ ni w prądy sinusoidalne, czyli „dziedzicznie obcią­ żeni“ sinusoidalnym sposobem myślenia i inter­ pretacji, starali się już od dawna załatw ić zagad­ nienie mocy dla obwodów o jednokierunkow ych prądach pulsujących, do jakich niew ątpliw ie nale­ ży obwód, przedstaw iony na rys. 2. W ynajdyw ali więc różnego rodzaju spółczynniki zniekształcenia („V erzerrungsfaktor") i przesunięcia („Verschiebungsfaktor"). byle tylko „sprow adzić“ działania, zachodzące w takich obwodach, do działań sinusoi­ dalnych i „w ytłóm aczyć“, że powodem zm niejsze­ n ia >. w obwodach o przebiegach pulsujących jest znów przesunięcie fazy m iędzy harmonicznemi na­ pięcia i prądu. Krótko, starali się dowieść, że i tu w obwodach o prądach pulsujących zachodzą pul­ sowania energji elektrycznej. Doświadczenie moje Nr. 6 przekreśla te prace. W oporze R = O, po­ łączonym z idealnym (bez strat) przerywaczem , niem a przem ian energietycznych ani żadnego zu­ życia energji elektrycznej na ciepło. Ani R = O, ani przeryw acz nie może magazynować żadnej energji, niema tu więc w odbiorniku także pulso­ wania energji pola magnetycznego ani elektryczne­ go. Odbiornik nasz, złożony z szeregowo połączo­ nego przeryw acza i grubego drutu miedzianego (R = O) nie w yw ołuje wogóle żadnych pulsowań energji w obrębie swych składników, ani nie powo­ duje żadnego zużycia energji elektr. (w przypadku idealnym ). A jednak załączenie takiego odbiorni­ ka, (złożonego z oporu R = O i przeryw acza ro ta­ cyjnego), zużyw ającego praktycznie zaledwie kil­ kanaście watów, na sieć prądu stałego, będzie mieć analogiczne skutki, jak załączenie cewki indukcyj­ nej o m ałem zużyciu watów na sieć prądu zmien­ nego. Zarówno tu, jak i w przypadku cewki, w y­ stąpi na końcówkach odbiornika napięcie U, a przez elem ent ten będzie płynął prąd J. W obu przypadkach więc sieci, zasilające owe odbiorniki, m uszą dostarczyć iloczynu U. J i odpowiednio go pokryć! — A cóż przedstaw ia ten iloczyn? Ośmie­ lam się twierdzić, że jest to właśnie moc urojona (Blindleistung), zatem owa moc, której definicji od lat 10-ciu poszukują bezskutecznie rzesze elek­ tryków wszystkich krajów . W idzimy ją nareszcie bez żadnych „osłonek" i „przym ieszek" i... może zrozumiemy w końcu, że moc urojona nie jest w ogólności przywiązana do pulsowania energji pola magnetycznego lub elektrycznego, jak nas dotąd mylnie uczono. Nie będę mnożył dalszych przykładów , już te bowiem w ystarczą, aby przekonać: 1° Że nasze poglądy na spraw ę, dotyczącą zmniejszenia )., są nader jednostronne. (W szyst­ kie przypadki staram y się usilnie lubo bezsku­ tecznie „wytłóm aczyć" pulsowaniem energji elek­ trycznej). 2° Że nasze wyobrażenia, dotyczące mocy urojonej, k tó rą poczytujem y za wynik pulsowań energji elektr., nie w ytrzym ują krytyki, popartej doświadczeniem. U przytom niw szy to sobie, zrozum iem y może, że droga, którą szli dotąd w szyscy poszukiwacze definicji mocy urojonej, a polegająca na przysto­ sowaniu pojęć i zależności znalezionych dla sinu­ soid do obwodów o przebiegach odkształconych, jest drogą, wiodącą na manowce. J a k błędny ognik na trzęsaw iska, tak w iodła nas na bezdroża te­ za praw dziw a i fascynująca, że każda jednow artościowa funkcja perjodyczna, da się rozłożyć w edług F ouriera na szereg sinusoid i jedną w ar­ tość stałą. W niosek z tej tezy. w yrażający się w mniemaniu, że sinusoidalna definicja mocy uro­ jonej musi się dać przystosować do obwodów o przebiegach odkształconych, to w łaśnie owe bez­ droża, po których błąkali się dotąd wszyscy po­ szukiwacze ogólnych definicyj mocy. Spróbujm y raz nareszcie zejść z tej drogi, która przez lat 10 gorączkowych poszukiw ań doprow adziła tylko do chaosu pojęć i definicyj, i zacznijm y rzecz od po­ czątku, odrzucając wszystkie dotychczasowe ana­ lizy, S pytajm y się więc najpierw o kw estję zasa­ dniczą, a mianowicie: Jaka przyczyna powoduje, ogólnie zmniejszenie spółczynnika mocy ), do wartości ). < 1? Na pytanie to daję odpowiedź niezm iernie prostą: „Gdy iloraz funkcyj Ut i Jt ma wartość stałą, niezmienną w czasie, musi być ). = 1, gdy iloraz ten jest jakąkolwiek funkcją czasu ( oczywiście perjodyczną, bo Ut i J t są fu n k ­ cjami perjodycznemi), musi być /. < 1. Zatem — 1, gdy U, = R J, 1. gdy Ui Jt (U) R, R oznacza tu w artość stałą, niezależną od czasu, Rt funkcję czasu, iloraz U,IJt ma przytem wym iar oporu omowego, dlatego oznaczyliśm y go też lite­ rą R (symbol oporu omowego). Czyniąc przegląd w naszych poprzednio opisa­ nych doświadczeniach, widzimy, że form alnie od­ pow iadają one w zupełności wzorom podanym pod (11), N ależy tylko i przeryw acz rotacyjny tra k ­ tować także jako opór zmienny, bo wszak w chwi­ li otw arcia opór jego jest teoretycznie R = . o c ( a w chwili zam knięcia teoretycznie R = O. Stosunki (11) w ynikają z nierówności Schw arz‘a (8). Nierówność ta przejdzie w równanie, gdy m iędzy funkcjam i f [x) i g (x) przedstaw ia moc rzeczyw istą odbiornika. R ów na­ nie to objaśnia zatem, że w przypadku, gdy jest >. = 1, moc rzeczyw ista odbiornika w yraża się takiemi samemi wzorami, jak dla obwodu prądu stałego, w którym przez opór omowy R przepływ a prąd o natężeniu J. W artość tego oporu odpowia­ da tu, jak i w obwodzie prądu stałego, ilorazowi napięcia i prądu odbiornika, jakkolw iek tu od­ biornik może się składać z dowolnej ilości dowol­ nie ze sobą połączonych elementów, a w przykła­ dowym obwodzie prądu stałego zaw iera tylko opór R. W przypadku, gdy Ur istnieje zależność f (x) = K . g (x) czyli, gdy f ( x ) i g ( x ) są wzglądem siebie wielo­ krotnościami (K w artość sta ła ). W tedy bowiem otrzym am y jest ). < 1, bo w tedy w edług (10) będzie Jt ± / ( U J ' , dt < czyli / I f J r . dt f U f . dt r UJ ( / f t o g M • dx \ — K- ( f g (x)2 . dx lub UJ i c 1 Załóżmy, że w naszym obwodzie Ut I Ji = Rt', możemy więc napisać f f ( x ) ! . dx j g (x) - . dx = K- l [ g (x)2 dx czyli P = y f Utjt.dl = i (x) g (x) . dx = = ] / f f t o 2dx ' a -\ff V g t o 2 • dx — K . f g (x)2 . dx a a Na podstaw ie powyższego możemy szych funkcyj U, J t i P t napisać: Gdy dla n a ­ v:■ R, . J f . d t = P w = U Równanie powyższe wskazuje, że gdy Ut / Ji — — R t i gdy w skutek tego /, < 1, to wytworzenie mocy rzeczyw istej P = P W wym aga większego ilo­ czynu UJ, aniżeli w przypadku, gdy Ut I Jt — R, czyli, gdy >. = 1. W ynik ten możemy in terpreto­ wać w sposób następujący: D la danego Pw i J jest według (7) j, w tedy moc, m ierzona watomierzem, U = ?w J.l ■ ■ . . . ■ (15) D la danego Pw i U jest P= = V Y l (= T o J = i Ut 2- dt ■ ] / Y ( J ‘* d t = U J = R . J ’ W ynika stąd, że * L - u = p ( 12 ) j co oznacza praktycznie, że gdy jest K = 1, to musi zachodzić zależność * =l = - Funkcje Ut i J t p rzedstaw iają zmienne napię­ cie i zmienny p rąd naszego nieznanego odbiornika, U i J odpow iadają w artościom skutecznym tych funkcyj, czyli p rzedstaw iają napięcie i prąd, m ie­ rzone na odbiorniku przyrządam i cieplikowem i lub elektrodynam icznem i. M ożemy zatem powiedzieć: Spółczynnik mocy ). jest równy 1, czyli osiąga maximum , gdy w k ażdej chwili prąd chwilowy w odbiorniku jest proporcjonalny do chwilowego napięcia odbiornika, czyli gdy funkcja J t jest wie­ lokrotnością funkcji U t. Jednakże P w rów naniu P = i f T ó U,J,.dt = U . J = J '-.R . (14) (16) U l Z (15) wynika, że przy danem P w i J napięcie za­ silania jest tem m niejsze, im większe jest / i osiąga minimum przy >.= 1. Tę w artość oznaczymy sym­ bolem Uw i nazwiem y napięciem czynnem (W irkspannung) *), Z (16) wynika, że przy danem Pw i U prąd zasilania jest tem mniejszy, im większe jest ż. i osiąga minimum przy i. = 1. Tę w artość ozna­ czymy symbolem J w i nazwiem y prądem czynnym (W irkstrom ). Odpowiednio do takiej in terp retacji możemy teraz położyć: Uw = Jw = PJ = U. \ . . . . (17) y 0 = J .l (18) *) Ś w ie t n e n ie m ie c k ie n a z w y W irk — B lin d — S c h e in — n ie w Spannung, m ają S tr o m s tä r k e , n ie s te ty n in ie js z e j te o r ji. N a z w użyć, bo L e is tu n g , o d p o w ie d n ik ó w d o s z e d łb y m W id e r s ta n d p r z y d a tn y c h do i t. d. u ż y c ia „ m o c n y " , „ b e z m o c n y " , n ie m o g ę d a lej do m o cy m ocnej m o c n e j i ty m p o d o b n y c h d z iw o lą g ó w . i m ocy bez- W e wzorach tych CJW oznacza minimalne na­ pięcie, potrzebne do uzyskania mocy P w przy da­ nym prądzie J i >. = 1, a J w — minimalny prąd, potrzebny do uzyskania mocy P w przy danem na­ pięciu U i >.= 1. Gdy iest X < 1, trzeba albo po­ większyć U w do U lub J w do J, przyczem musi być U = Uw lub J - ^¡L- . (19) zarówno U i J.-tak, aby K albo trzeba było powiększyć ). . . .....................................(20 ) X W myśl wzorów (17) w zględnie' (18) możemy teraz uw ażać symbole Uw i J w za. skuteczne w ar­ tości następujących dwu funkcyj, pierwszorzędne­ go znaczenia dla naszej analizy: UJ = dt = PJ J t ........................... (21) U t ..............................(22) ~ Rzeczywiście bowiem z pierwszej (21) wynika podana pod (17) w artość U w Uw = i / 1 f Uw-t . d i = pf i / l f j f . di = V T 6 J* V T 6 a z drugiej (22) podana pod (18) w artość J w J w= ] / — f J J t . di = V Tó Pw] / — f U f . dt U- V T ó U w ażając funkcję Uwt za napięcia Ut, możemy położyć: jt = u w, f *w Ut = Jwt = Pw U funkcji - U2 , * w otrzym am y jeszcze następujące dwie równości f Ubtjt . d t = - £ - f Ubt Uwt . dt — O Pw 0 0 f Ut Jbt • dt = - Y - [Jbt J w t . dt = 0 0 Pw O skąd w ynikają rów nania r [ Uwt Ubt . dt = 0 Ór . . . . . (27) f Jwt Jbt ■dt = 0 ó Podnieśm y teraz równania (23) i (24) do kw a­ dratu i scalkujm y je, to w związku z powyższem (27) otrzym am y Uf = Uwt + Ubt + 2 Uwt Ubt UU,-. dt = 1 f UJ,. * + 1 J u i . 4 t + l f UW,UU .dl lo 16 1 O 1 o U"- = U b t ............................(23) Ut = Uwt U„t = U t składową J .......................... (25) 0 f Ut Jbt . dt — 0 .......................... (26) ó Podstaw iając w ostatnich dwu równaniach z (21) względnie z (22) — Uwt — Jwt = f Ubt Jt 0 Uw2 - f U f . . . . (28) J f — Jwi -j- Jbt -(- 2 Jwt Jbt y _ Jt Podobnie, trak tu jąc J wt jako składową fu n k ­ cji prądu łt , położymy -- f J f . d t — — f J J t . d t-\- _ f Ji) ■dt + 1o 1 o lb — [Jw tJb i-dt 1 o J 2 — Jw' -f- J b " .......................... (29) Jt = Jwt -f- J b t ........................ (24 przyczem A = h - % U, Podstaw m y te składow e w równanie na moc (5); otrzym am y w tedy Y [ UtJ t . d t = Y 1 ó f U w J l . d t + Y - f Ubtjt ■ d t = P w 16 1 o ~~ [ U t J t . dt = 4 - i Ut Jwt ■dt + Y f Ut Jbt .d t = Pw To Tp To Ponieważ zaś po podstaw ieniu w edług (21) w ypada 1 t i t w artości za U wt p ,-L f UwtJt d t = f 7 J f .d t = Pw T 6 T o Ji analogicznie, po podstaw ieniu w artości za J wt, w edług (22) ~ fU,J.,.dt = ± f r Uf . i t = I b 1 V U2 P. przeto w poprzednich rów naniach na moc musi być O statnie, nader w ażne wyniki, w skazują, że rozkład funkcji Ut na składow e Uwt i Ubt prow a­ dzi do kwadratowego równania napięć, obowiązu­ jącego dla wartości skutecznych tych funkcyj (28). P rzy takim rozkładzie Ut funkcja Pt rozpada się także na dwie funkcje składow e Pt = przyczem Uwt Jt ~\~ Ubt Jt = Pw, “I- Pbt • . (30) ± f P j t . dt = ~ f UwtJt . d t j j p w . (31) 1 o * 1 6 czyli w artość średnia składow ej P j, odpow iada mocy rzeczyw istej P w, a całka, obliczona dla dru­ giej składow ej Pbt daje zero: [ p ’b l . d t = 0 T o . . . . (32) R ozkład funkcji J t na dwie składow e J wt i Jbt prow adzi do kwadratowego równania prą­ dów, obowiązującego dla wartości skutecznych tych funkcyj. P rzy takim rozkładzie J t funkcja Pt rozpada się także na dwie składow e funkcje Pt — U tJ wi -j- U,Jbt — Pwt -f- P[\ ■ , (33) 8 przyczem 1 f P l i . dt Ut Jwt ■dt — P a T 6 T 6 czyli odpow iada mocy rzeczyw istej Pw, a (34) 7 f p{\ . d t = 0 (35) Z kw adratow ych rów nań napięć i prądów (28) i (29) wynika odrazu dawno poszukiwane i nigdzie dotąd nie znalezione kwadratowe równanie mocy: U*. J> = ( U„' + U y )./*■==' U- [ U -!- J y ) P S = P ty 4 - P y . . . . (36) Ma ono identyczną postać jak dla obwodów sinusoidalnych i jak dla sinusoid obowiązują i tu zależności: p w = U . J w — UW. J . . . . (37) P b — U . J b — Ub . J . . . - (38) Nowo otrzym aną wielkość Pb nazwiem y na razie form alnie mocą urojoną lub lepiej bierną. W idzim y tu, że wielkość ta jest analogicznym ilo­ czynem skutecznych w artości napięcia i prądu, jak moc rzeczyw ista (czynna) P w. Nie wchodząc na razie bliżej w omówienie znaczenia Pb nazwiem y Ub napięciem biernem a Jb prądem biernym. Dla wielkości tych obow iązują wzory: Ub = ................................(39) — J Jb = • ...............................(40) Zanim objaśnim y fizykalne znaczenie otrzy­ m anych tu po raz pierw szy kw adratow ych rów nań napięć (28), prądów (29), mocy (36) i t. d., wróci­ my jeszcze do naszej funkcji R,. Podstaw iając we wzorze na /?/ (11) Ut — Uwl - f Ubl i uw zględnia­ jąc zależności (21) i (17), napiszem y n *' Ut - Uwt -|- Ubt j, Uw ~ T ~ ~ Ubt _ Ubt , J Pw | rp Ru j Ubi ___ + + Jt „ J t = Jwt + Jbt 1 = Gt Jt Jwt ~ł~ Jbt _ U, _ Ut Jw I — + Pw ~ U* f P i . dt = 0 (45) f G " . U r . dt — f PU . dt = 0 o o prow adzą do zera. (46) f Rbt ■J r ■dt = Gdy R i = O, musi być także P w — O, czyli moc rzeczyw ista P w zależy jedynie od składnika R i funkcji Rt w (41). Analogicznie, gdy Gw — O, musi być także P w = O, czyli moc rzeczyw ista P w zależy jedynie od składnika Gw funkcji Gt w (42). W idać stąd, że gdy funkcja Rt względnie jej odwrotność Gt nie zaw iera składnika nieza­ leżnego od czasu (R! względnie Gw1), to w ytw a­ rzanie mocy rzeczyw istej P w przy danej funkcji napięcia Ut i prądzie Jt jest niemożliwe. W ypadek taki zachodzi nietylko przy załączeniu na dowolne napięcie perjodyczne j idealnej cew ki induk­ i > cyjnej lub idealnego kon d en sato ra lecz // p r_ uw f i* I U\A/ f* także przy zastoso­ w aniu idealnego prze u ryw acza perjodycznego (dośw iadczenie 6-te). Uk R[bi t Fizykalne znacze­ nie znalezionych po­ przednio w yników ^ ys 3 zrozum iem y łatw o, gdy uw zględnim y znaczenie wzorów Rt = R i + Rb, Gt = Gw Gy Pierw szy z tych wzorów w skazuje, że nasz nieznany odbiornik może być zastąpiony przez dwie części połączone ze sobą szeregowo (rys. 3). Drugi ze wzorów poucza, że nasz nieznany od­ biornik może być zastąpiony przez dwie części po­ łączone ze sobą równolegle (rys. 4). i<t otrzym am y, w myśl (22) i (18) Rt Drugie ze składników stanow ią funkcje czasu Rb! (funkcja oporu omowego) względnie Gil (funkcja przewodności) tego rodzaju, że w równaniach ) _ ^ P odstaw iając zaś we wzorze na Jed en z tych składników 7?J względnie Gw ma w artość stałą, zależną jedynie od mocy rz e ­ czywistej Pw i prądu J , względnie od P w i napię­ cia U, zasilających odbiornik: U D i *P W ^ W ( a R w = .~ — = J”* J !I Pw Jw (44) w ~ U- ~ u~ ' ' ' u J bl ' U, Ju = G „" + Ut R ozkład funkcji napięcia Ut na składow e Uwi i Ubt pociąga więc za sobą rozpadnięcie się funkcji R t na dwa składniki Rt = R J + R u 1 . . . . (41) R ozkład funkcji prądu Jt na składow e J wt i Jbt pow oduje rozpadnięcie się funkcji Gt — D Kt na dwa składniki Gt = Gw11 Gbtn (42) R y s. 4. (43) Zacieniowane składow e R i i R, ii 1 Gw odbiornika zachow ują się taksamo. jak stałe, dla danego P w, opory omowe P j wzgl. Rw — > '; j \ W One to zużyw ają w całości doprow adzoną energję elektryczną (do odbiornika). Niezacieniowane części składow e Ry i R b!= TŻTi~ odbiornika, yrbt p rzedstaw iają elem enty obwodu, dla których energja elektryczna, obliczona dla okresu T równa się zeru (45 i 46), czyli te, które albo wogóle nie po­ bierają żadnej energji, albo też pobieraną w pe­ wnych częściach okresu T energję elektr. zw raca­ ją następnie w innych częściach tych samych okre­ sów, z powrotem do obwodu. Nieznany nasz od­ biornik składa się zatem w równoważnych uk ła­ dach zastępczych z dwu szeregowo lub równolegle połączonych elementów, zupełnie odmiennego u stro ju wewnętrznego. Elem enty zacieniowane. po­ bierające energję elektr. z obwodu i zam ieniające ją na inną formę, nazwiem y czynnemi (W irkbestandteile), elem enty niezacieniowane, nie pobiera­ jące żadnej energji lub spraw iające tylko niejako przechowanie energji elektr., bez żadnego pożytku dla odbiornika, nazwiem y biernemi (Blindbestandteile). K a żd y odbiornik załączony w obwód o do­ wolnych przebiegach perjodycznych napięcia ( U1) i prądu (Jt ), da się zastąpić (w rozważaniach) dwoma elementami składowemi, połączonemi sze­ regowo lub równolegle. Jeden z tych elementów (czy n n y ) działa jak opór o stałej, dla danej mocy P w i danych U i J , wartości R, drugi (bierny) dzia­ ła jak opór zmieniający się (perjodycznie) w taki sposób, że albo nie pobiera energji w żadnej chwi­ li, albo też, że praca elektr., zużyta w ciągu jedne­ go okresu T do jego zasilania, równa się zeru (pul­ sowanie energji). U kłady na rys. 3 i 4 tłum aczą jasno cały sze­ reg wniosków, które w yprow adziliśm y poprzednio. Z układu szeregowego wynika n. p., że obecność elem entu biernego przy danem J zniew ala do za­ silania odbiornika napięciem U > Uw bo U — = i Uw- J- U . U kład równoległy poucza, że zasi­ lanie odbiornika, posiadającego elem ent bierny, zniew ala przy danem napięciu U do podwyższenia n p rądu z w artości J w, koniecznej dla R W 1 do J > J u bo J — i) 7J w~ -j- Jb". Nie znafąc składu odbiornika, powiemy ogólnie, że obecność w nim elem entu lub elem entów biernych zniew ala do zasilania przy iloczynie U J większym od P w, bo UJ = }/P w2 + Pb~ a P w < U J. W idzim y tu konieczność uw zględnie­ nia wielkości Pb tak samo, jak w obwodach sinusoi­ dalnych. a ponieważ wielkość ta stoi w takim sa­ mym związku z mocą P w i iloczynem U J , j ak w ob­ w odach sinusoidalnych, przeto upraw nieni jesteśm y do nazw ania jej (już definitywnie) mocą urojoną lub lepiej bierną (Blindleistung). Z kw adratow ego rów nania napięć (28) wyni­ ka, że napięcia Uw i Uh na elementach szerego­ wych w układzie ( rys. 3) dodają się geometrycznie, pod kątem prostym jak w obwodach sinusoidal­ nych. Z kw adratow ego rów nania prądów (29) wyni­ ka, że w układzie równoległym na rys. 4, prądy Jw i Jb dodają się geometrycznie, pod kątem pro­ stym (jak w obwodach sinusoidalnych). Z asady te, geometrycznego składania napięć i prądów , obowiązują praktycznie także w rzeczywistych układach szeregowych i równoległych, gdy układy te złożym y z elem entów czynnych (stałe opory omowe) i biernych (cewki, kondensatory, przeryw acze), Dotychczas uw ażaliśm y za elem enty bierne je­ dynie cewkę indukcyjną (bezopcrową) i konden­ sator (bez s tr a t) . W obec powyższego musimy za ta­ ki elem ent uw ażać także każdy przeryw acz perjodyczny, a ogólnie każdy element, który nie zużyw a energji elektrycznej a w ykazuje na swych końców­ kach skuteczne wartości napięcia i prądu, różne od zera, czyli dla którego moc bierna Pb jest różna od zera. Obecność takiego elem entu nawet w sieci prądu stałego musi spowodować takie same skutki, odnośnie do mocy, ‘spółczynnika mocy i t. d., jak w obwodzie sinusoidalnym włączenie cewki induk­ cyj nej lub kondensatora. Z dociekań naszych wynika, że także w obwo­ dach „prądów stałych“ napięcie na szeregowym układzie elem entów czynnego i biernego n. p. prze­ ryw acza perjodycznego i oporu omowego, odpowia­ da sumie geometrycznej poszczególnych napięć na tych elem entach, a nie sumie algebraicznej (jakby się nam zdaw ało). Analogicznie, prąd całkow ity, doprowadzony do dwu elementów, czynnego i bier­ nego, (więc n. p. oporu i przeryw acza perjodyczne­ go), połączonych równolegle, odpow iada także w obwodach „prądów stałych“ sumie geometrycz­ nej, a nie algebraicznej (jakby się nam zdaw ało), poszczególnych prądów w tych elem entach. Gdy elem ent czynny ma ściśle R — const, a elem ent bierny nie pobiera żadnej mocy rzeczyw istej, (jak być powinno, ze względu na definicje), geome­ tryczne sumy napięć względnie prądów , d a ją tró j­ k ąty prostokątne, czem się jeszcze bliżej zajm iem y. Zasilanie n. p. prądem induktora z sieci prądu stałego, przy zastosowaniu przeryw acza, celem wy­ tworzenia wysokich napięć, koniecznych do uru ­ chomienia ru r Roentgenowskich, wym aga według naszej teorji znacznie większego prądu, przy da­ nem napięciu sieci U, niż w ypadłoby z prostego, lecz mylnie przeprowadzonego obliczenia, uwzglę­ dniającego jedynie moc rzeczyw istą Pw i stałe na­ pięcie U. G dy n. p. urządzenie takie o mocy 10 kW wymaga przy napięciu 200 V źródła prądu stałego, natężenia prądu o w artości 50 A, mierzonego am­ perom ierzem Deprez, am perom ierz cieplikowy mu­ si w skazać znacznie więcej, n. p. 71 A. Przy U = const. woltomierz D eprez i cieplikowy, w ska­ zują jednakowo 200 V, a watom ierz 10 000 W . M a­ my tu zatem w myśl naszej teorji, ■ = = UJ J O 000 _ 200 . 71 i jakkolw iek wskazanie am perom ierza Deprez od­ pow iada ilorazowi Pw = 10 000 50 A, Jo U ~ 200 należy przew ody zasilające obliczyć dla 71 A, a nie dla 50 A. Obliczone dla 50 A będą za sła­ be. Rów nież moc m aszyny p rąd u stałego, koniecz- 10 nej do zasilania owego urządzenia Roentgenowskiego, musi wynosić nie 10 kW , tylko czyli trzeba zainstalow ać maszynę, obliczoną na około 15 kW . W idzimy, że, uskuteczniając pom iary jedynie woltom ierzem i am perom ierzem D eprez i watomierzem, popełnilibyśm y szereg błędów, jakkolwiek wskazanie w atom ierza odpow iada w zupełności ilo­ czynowi w skazań w oltom ierza i am perom ierza D e­ prez. N asza analiza poucza zatem. , że zagadnienia, z jakiem i m am y do czynienia w obwodach sinusoi­ dalnych (zmniejszenie k z powodu przesunięcia fa­ zowego), istnieją także w obwodach o przebiegach odkształconych. W omawianem n. p. urządzeniu Roentgenówskiem, jest: uioc pozorna P s = 14,2 kVA, moc rzeczyw ista P w = 10 kW , a moc urojona Pb = — 10,08 kV ar [Pr- = p w2 + P b 2)Na powyższym przykładzie (instalacja Roentgenowska) widzimy dobitnie, że naw et elektrow nie prądu stałego mogą mieć analogiczne trudności z odbiorcami, którzy stosują przeryw acze perjodyczne, jak elektrow nie prądu zmiennego z od­ biorcami. stosującym i cewki indukcyjne. (Taryfi­ k acja z uwzględnieniem k < 1, przekrój przewo­ dów, moc zainstalow anych m aszyn czy akum ulato­ rów i t. p.). W prow adzenie funkcji Ri = Ut ' Jt um ożliwia orjentację ogólną w przpadkach, które' dotąd w interpretacji sinusoidalnej były poprostu niezrozum iałe. (Łuk na prądzie zmiennym, wpływ na w artość /. przeryw aczy perjodycznych, zmien­ nych oporów i t. p.). W róćm y jednak do naszych rozw ażań i zba­ dajm y, co oznaczają iloczyny skutecznych w ar­ tości napięć i prądów P s = UJ P w = UWJ = Pb = UbJ = UJW UJb dla naszych układów na rys. 3 i 4. W iloczynie U J odpow iada U napięciu a J prądow i zasilania całego odbiornika, iloczyny UWJ i U j w stosują się do jego części czynnej, a iloczyny U b J i UJb do jego części biernej. Z uwagi na zależności powyższe, otrzym ane w po­ przednich rozw ażaniach, możemy przeto podać na­ stępujące ogólne definicje mocy: Iloczyn skutecznych w artości napięcia i prądu zasilania odpow iada mocy pozornej odbiornika (P, = UJ). Iloczyn skutecznych wartości- napięcia i prądu części czynnej odpow iada mocy rzeczywistej od­ biornika [Pw = UwJ = UJw). Iloczyn skutecznych w artości napięcia i prądu części biernej odpow iada mocy urojonej odbiornika (P 4 = Ub J — UJb ). Definicje powyższe nie zawierają wcale sa­ mych przebiegów (lu n k c yj czasu), znaczy to, że *q od nich zupełnie niezależne. M ierząc w obwodzie, zaw ierającym dwa ele­ menty, jeden — czynny, drugi — bierny, napięcia i prądy tych elem entów woltom ierzam i i am pero­ m ierzam i cieplikowemu, potrafim y określić w artości w szystkich powyższych trzech mocy oraz spółczynnika mocy >, bez uciekania się do pomocy watom ie­ rza, oraz bez analizy krzyw ych prądów i napięć, równie łatw o i prosto, jak przy sinusoidalnych prądach i napięciach. W yniku tego, nader w ażne­ go teoretycznie i praktycznie, nie przew idyw ał do­ tąd żaden z elektryków , analizujących obwody 0 przebiegach odkształconych przy pomocy szere­ gów Fouriera. W ynik ten w yjaśnia jednakże odrazu znaczenie znalezionych poprzednio wzorów 1 wielkości, i tak; G dy U i J przedstaw iają skuteczne w artości napięcia i prądu zasilania naszego nieznanego od­ biornika, a P w — jego moc rzeczyw istą, to J w i Jb możemy traktow ać jako skuteczne w artości składo­ w ych funkcyj prądu J wt i J bi- Składow a J wi za­ łatw ia tu niejako (przy danem Ut ) doprow adze­ nie zużywanej w odbiorniku energji, czyli przed­ staw ia pracującą, czynną część prądu J,. Składo­ w a zaś Jbt zachow uje się, odnośnie do pracy od­ biornika. obojętnie, biernie, czyli przedstaw ia nie­ pracującą, bierną część prądu J i. 1L n atury w artości skutecznych wynika, że trzeba je dodawać geom etrycznie; otrzym aliśm y też rów nanie r- = u + ju Analogicznie powiemy: G dy U i J przedsta­ w iają skuteczne w artości napięcia i prądu zasila­ nia naszego nieznanego odbiornika, a P w jego moc rzeczywistą, to Uw i Ub możemy traktow ać, jako skuteczne w artości składow ych funkcyj napięcia Uwt i Ubt. Składow a Uwi załatw ia tu niejako (przy danem J i ) doprow adzenie zużywanej w. od­ biorniku energji, czyli przedstaw ia pracującą, czynną część napięcia Ut. Składow a Ubt zachowu­ je się, względem pracy odbiornika obojętnie, bier­ nie, czyli przedstaw ia niepracującą, bierną część napięcia U‘ Z n a tu ry w artości skutecznych wynika, że trzeba je dodawać geometrycznie, otrzym aliśm y też równanie £7* = Uw * 4 - Ub '2 Jakkolw iek bierna część prądu zasilającego [ J b ) nie pracuje, to jednak nie możemy jej ignorować, bo przecież jest w obwodzie i na równi z czynną częścią J w pow oduje obciążenie prądem maszyn, przew odów i t. p. ze wszystkiem i ujem nem i skutka­ mi tegoż. Nie możemy także zignorować i biernej części napięcia zasilającego [Ub ), to również ujawnia się w obwodzie i musi być wytw orzona narówni z czynną częścią Uw. Zasilanie odbiornika przy >. < 1 wym aga więc przy danem U w ytw orzenia dwu składow ych J w i J b , w zględnie przy danem J dwu składowych U w i Ub, czyli zniew ala do w ytw orzenia obok mo­ cy P w jeszcze mocy Pb, przyczem Pw- + Pb2 - ( u j r - = p s= Oczywiście, w yjaśnienie powyższe przedstaw ia tylko praktyczne (poglądowe) ujęcie, spraw y. Nie­ mniej jednak poucza cno, że wielkość Pb, nazwana mocą urojoną, określona jest jedynie iloczynem skutecznej wartości prądu i napięcia elementu bier­ nego i że wielkość ta niema nic wspólnego z prze- 11 biegiem k rzyw ej mocy urojonej Pbt i Pbt- Bo, po pierwsze, są to dwie zupełnie różne krzyw e Pbt = P, — P lt == U t j t - UwłJt == Ui Jt — Jr K onstrukcje te przedstaw iają podobne trójką­ ty prostokątne o jednakow ym kącie o, którego cosinus równa się spółczynnikowi mocy PJ W . iP W ). = CO S o = = Ps Pl, - p , - P “t = U t j i - U ,J W, = U ,J, - * Ur a następnie nieznany nasz odbiornik nieko­ niecznie musi mieć układ szeregowy, czy równole­ gły, rys. 3 i 4, tylko może się składać z dowolnej liczby, dowolnie ze sobą skombinowanych elem en­ tów elektrycznych (motory, cewki, przerywacze, naw et źródła prądu i t. p.). W reszcie, do danych w artości skutecznych U, J , a temsamem do okre­ ślonych temi trzem a wielkościami w artości Uw, Ub, Jw. Jb, Pw, Pb, P s można dobrać nieskończenie wiele różnych ( perjodycznych) przebiegów, U, i J , przy których wszystkie te wartości będą identyczne N iepotrzebnie więc wysilano się w ciągu lat 10-ciu na poszukiwanie definicji mocy urojonej opartej na analizie funkcyj Ut i J, z pomocą szeregów Fou­ riera, gdyż wielkość ta Pb zależy jedynie i wyłącz­ nie tylko od skutecznych wartości napięcia bierne­ go L b i prądu zasilania J (Pb = Ub J ), względnie od skutecznych wartości napięcia zasilania U i prą­ du biernego Jb (Pb — UJb) , co na jedno wychodzi. Oczywiście, że gdy funkcja Pbt lub Pbt jest różna od zera, można „szukać" zależności między Pb a „energją pulsującą", k tórą ogólnie możnaby ująć wzorem: Wp — 1 f PbĄ. dt 4 6 Oznaczenie Pbt | m a tu wskazywać, że całkow a­ nie na okres T trzeba wykonać dla „sprostow anej" krzyw ej Pbt - Dla sinusoidalnych przebiegów jest 1 iT i p bl\ i d t = P, , WP = 4 0 “> Różni autorzy „zahypnotyzowani" tym związ­ kiem, kierowali wszystkie wysiłki ku temu, aby od­ kryć „analogiczne" związki m iędzy „energją pul­ sującą" i mocą urojoną (Pb) także w obwodach nie­ sinusoidalnych, Usiłow ania te unicestwia dośw iad­ czenie 6-te i wynik naszej analizy, k tóra wyraża, że ogólna zależność Pt, od W P istnieć nie może, bo są możliwe do pom yślenia i zrealizowania przypad­ ki, gdzie Pbt = 0, a Pb =1= 0. A nalogje m iędzy wielkościami, znalezionemi tu dla obwodów o przebiegach odkształconych, a wielkościami, wyprowadzonem i ogólnie dla obwo­ dów sinusoidalnych, sięgają je ­ dnak znacznie dalej, niż to wyUb kazahśm y poprzednio. Z rów nań kw adratow ych napięć, prądów i mocy w ynikają konstrukcje na rys. 5, 6 i 7. Oto więc znaleźliśm y kąt, o który pytaliśm y na wstępie. Ze zdumieniem stw ierdzam y, że jest on tu tak samo określony, jak w obwodach dla p rą ­ dów sinusoidalnych. Różnica jest ta tylko, że tu '■? nie oznacza oczywiście żadnego przesunięcia fa­ zowego. tylko kąt w prostokątnych trójkątach mo­ cy, napięć, prądów, a jak zobaczymy, także opo­ rów, względnie przewodności. Możemy przeto położyć ). = cos t? = l w i analogicznie do tego sin cp = )/ 1 — k2 = ł-u>~ — Kb . /i (47) ).w oznacza tu spół czynnik mocy czynnej, t-b spółczynnik mocy biernej. Z poprzednich zależności w ynikają wzory na stępujące: Uw U , ).w , Ub U . t-b , Jw — J . t-w , Jb J . bb Uw ’ , Pb — Ps ■>b, Pw = II Jw U J Oznaczając U ¿\u; _ _ J Ub — Rs '-w; Rs Rb t-b J otrzym am y (48) R s 2 = (RwY + (i?(r- i analogicznie dla J = u G% = Gs >.w Gs - ]b , = G, U ( G " y + ( G i 'y r*n Ib --- LTb ■ ■ ■ (49) Z ostatnich dwu równań kw adratow ych (48 i 49) w ynikają tró jk ąty prostokątne oporów i prze­ wodności, przedstaw ione na rys. 8 i 9. Rys 8. Pom iędzy wartościam i R'w i G J! oraz Rb i G j m amy następujące zależności R'w - G " == }.„2 Rb . Gb .......................... (50) . . . . W (51) Zgodnie z powyższem możemy w końcu położyć lw — %= R y ;. 6 UJ CO S '■? : Pw UW Ps ~ U Ją J R'w G'J ~ Rs ~ Gs )-b — 1 1 — = sin ? Pb __ Ub _ ' h Ps u J _ R l t_ Rs Gb (52) 53 ) Jednakże wszystkie powyższe zależności obowią­ zu ją przecież dla sinusoidalnych obwodów. Cóż za­ tem ? Oto teorja nasza doprow adziła do wyniku, że co do łych zależności i konstrukcyj ( trójkątów), to pomiędzy obwodami o przebiegach sinusoidalnych i odkształconych niema żadnej różnicy. Oczywiście należy uwzględnić, że w obwodach sinusoidalnych wielkości P s Pw Pb, U Uw Ub, J J w Jb, Ps R i Rb, Gs G " Gb, oraz i.w — cos cp i >,b = sin <f> dadzą się w yrazić jeszcze dalszem i szczegółowemi wzorami. Tak n. p. oznacza prócz k ą ta w tró jk ą ­ tach mocy, napięć, prądów, oporów i przewodności, jeszcze także przesunięcie fazowe m iędzy sinusoidą napięcia i prądu zasilającego, moc urojona Pb rów na się jeszcze am plitudzie sinusoidy mocy bier­ nej, Rb = ^ a prócz tego jeszcze Rb = — t /Cm odbiornika w sinusoidalnym układzie i t. p. W szystkie te dalsze zależności na­ leży jednak traktow ać jako szczególne w przeciw ­ staw ieniu do podanych w pracy niniejszej zw iąz­ ków ogólnych, ważnych dla dowolnych perjodycznych przebiegów napięcia zasilającego i prądu za­ silającego nasz nieznany nam bliżej odbiornik. O trzym ane tu wyniki, nader ważne nietylko teoretycznie, lecz także i praktycznie, w skazują, że usiłow ania innych autorów, którzy z pomocą sze­ regów F ouriera lub innych m etod analizy starali się ustalić inne od naszej definicje mocy urojonej i udowodnić, że kw adratow e równanie mocy P s2 = Pw2 + Pb" obowiązuje tylko dla prądów sinusoidalnych, w pro­ w adziły jedynie chaos w definicjach mocy. W ukła­ dach 2-przewodow ych niema ani celu ani potrzeby w prow adzania innych definicyj mocy od tych, któ­ re zdaw na obowiązują dla przebiegów sinusoidal­ nych, należy tylko te ostatnie popraw ić w duchu poprzednich rozw ażań, czyli odpowiednio do na­ stępującego schem atu: Je że li Ut oznacza perjodyczną funkcję napię­ cia (więc także sinusoidę), a Jt perjodyczną funk­ cję p rąd u (więc także sinusoidę) zasilania, to Pu, = - J f U, J, . dt = / P, . dt Moc rzeczyw istą Pw możemy zmierzyć watomierzem (pomiar) lub obliczyć przez całkow anie iloczy­ nu Ut J t , albo wreszcie ustalić z pomocą planim e­ tru po wyznaczeniu krzyw ej Pt = U tjt (metoda w ykreślna). N astępnie możemy zm ierzyć (woltomierzem ciepli­ kowym lub elektrodynam icznym ) skuteczną w ar­ tość napięcia zasilającego U, lub obliczyć ją we­ dług wzoru jh u = ]V / t1 oi u,' - di * albo w reszcie znaleźć tę w artość wykreślnie zapomocą planim etru. Analogicznie możemy zmierzyć (am perom ie­ rzem cieplikowym lub elektrodynam icznym ) sku­ teczną w artość prądu zasilającego J , lub obliczyć ją według wzoru a także znaleźć tę w artość wykreślnie zapomocą planim etru. G dy ustalone są w ten sposób główne trzy w artości U, J, P w, obliczamy dalsze jak następuje: Moc pozorna P s = U . J Moc urojona (bierna) P b = \ P s2 — Pw2 Pw Pw Spółczynnik mocy X =•■ U .J Ps M ając spółczynnik mocy X, możemy jeszcze obli­ czyć Spółczynnik mocy biernej = ] 1 — /.= , a n a­ stępnie Napięcie czynne Uw = U . >. Napięcie bierne Ub — U . Ib Prąd czynny Jw = J . X Prąd bierny Jb — J ■ U i spraw dzić, że dla wszelkich przebiegów perjodycznych Ut i Jt obow iązują kw adratow e rów nania: Ps2 = Pw- - I Pb2, Z U == u * + poprzednich w artości Ub2, J 2.==Jw2 -V Jb2 obliczymy Ru, Rt, R s tudzież przew odności Gj , opory Gb Gs w myśl wzorów poprzednio podanych. Oczywiście oporów tych ani przew odności nie możemy ogólnie inter­ pretować, tak, jak w obwodach sinusoidalnych. P rzy odkształconych przebiegach napięcia i prądu pojem ność nie może w zupełności skompensować indukcyjncści ani w szeregowym ani w rów nole­ głym układzie idealnego kondensatora i cewki in­ dukcyjnej. Ogólnie więc zatraca się pojęcie do­ datniej i ujem nej mocy urojonej (Pb) wprowadzone w obwodach sinusoidalnych [-(- Pb dla indukcyj­ nego obciążenia, — Pb dla obciążenia pojemnościo­ wego, odpowiednio do wzoru Pb--J~ (¿ w — 1/Cw)]. Niemniej jednak i w obwodach odkształconych możliwa jest kom pensacja mocy Pb- W arunek ta ­ kiej kom pensacji ujm ują ogólnie zależności Rt — Rit Rn — {Rwi ~\~Rw2) -j- (Rbir~\~Rb2t} . (54) dla dwu szeregowo połączonych odbiorników o opo­ rach R u i R;t, względnie zależności Gt = Gu - r G2, = | Gwl + Gw2) + (Gn, + Gba) . (55) dla dwu równolegle połączonych odbiorników o przew odnościach Gi,% i G2t . G dy w (54) Rbit -jr Rb2t — 0, albo gdy w (55) Gbu -H Gbzt — 0, zespół szeregowo względnie równolegle połączo­ nych odbiorników nie w ytw arza wcale mocy bier­ nej, jakkolw iek każdy z nich zosobna ma swą w ła­ sną moc bierną. M amy tu tedy zupełną kom pensa­ cję mocy biernej (Pb). Oczywiście możliwa jest także kom pensacja częściowa Pb- W artość w ypad­ kowej mocy biernej układu szeregowego lub równoległego zależy więc, jak widać, znów od funkcji Rbt a w prow adzenie jakichś elektrycznych i ma­ gnetycznych spółczynników mocy, proponowane przez M üller-Lübecka w cytowanej poprzednio roz­ praw ie (Forschung u. Technik 1930) jest n ajzupeł­ niej zbędne. W ypada tu załatw ić jeszcze jedną kw estję, postawioną fałszywie od początku rozw oju teorji prądów zmiennych, a mianowicie spraw ę t. zw. 13 energji pulsującej. I w naszej teorji otrzym aliśm y funkcje T I I Pbt — Ubt ■Jt, przyczem f Pbt . dł — 0 0 T f P[lt . dt = 0 Pbl = Ut . Jbt , przyczem W idzimy tedy, że rozkład funkcji Pt, to na­ sze dzieło, nie m ające nic do czynienia z realnym, fizykalnym stanem rzeczy. Sinusoidy składow e mocy Pi nie istnieją woale, to my stw orzyliśm y je, celem ,,objaśnienia" zjaw iska i ułatw ienia sobie ó które zd ają się wskazywać na ..pulsowanie energji elektrycznej" w elem entach obwodu, nazwanych tu biernemi. Z drugiej strony doświadczenie 6-te pou­ cza, że moc urojona ujaw nia się bez jakiegokolwiek pulsowania energji w elemencie biernym. Cóż za­ tem ? Otóż należy uprzytom nić sobie, że utw orzo­ ne tu i w obwodach sinusoidalnych wielkości U, J, P w, Pb, Ps są jedynie tworami naszego m óz­ gu. Realność fizykalną m ają tylko chwilowe w ar­ tości napięć, prądów i mocy. To samo dotyczy tak­ że owej ,,energji pulsującej", Energja ta pulsuje przeważnie tylko w naszych głowach, a nie w ob­ wodzie! B adając nieznany odbiornik, stw ierdzam y jedynie, że jego moc chwilowa zmienia się według funkcji Pi — UiJ, i nic ponadto (rys, 10), analizy. Nie widzę powodu, dlaczego analogiczny rozkład nie mógłby być przeprow adzony także na dowolnej funkcji perjodycznej, jak to uskuteczni­ łem poprzednio. N ależy tylko strzec się błędnego łączenia mocy. biernej P t z energją pulsującą. Nałóżm y na prąd sinusoidalny na rys. 11 prąd stały (rys. 12). Pulsow ania energji m iędzy odbior­ nikiem i źródłem niema teraz wcale. Cóż zatem poczniemy tu z funkcją P, ? Czy i tu mamy rozło­ żyć ją na składow e sinusoidy mocy i jedną moc sta ­ łą? Cóż nam dać może taki rozkład? Chyba fałszy­ w ą interpretację. Skoro bowiem i tu staralibyśm y się „dowodzić", że jedna ze sinusoidalnych skła­ dowych w skazuje na pulsow anie energji elek- P rz y p atru ją c się zaś uw ażnie graficznemu od­ wzorowaniu tej funkcji (rys, 10), m usimy dojść do oczywistego wniosku, że faktycznie pulsującą energję może reprezentow ać tu tylko energja elektr, proporcjonalna do powierzchni zakreskowanej (pod osią czasu t). O tyle otrzym ał odbiornik ,,za dużo", tyle zm agazynow ał w sobie i tyle też zwraca na­ stępnie do zasilającego go źródła z powrotem. J a k jednakże w ygląda nasza uświęcona trad y cją in­ terp reta cja ? Oto rozkładamy sinusoidę Pt na dwie sinusoidy (rys, 11) i ,,objaśniam y", że sinu­ soida Piwt przedstaw ia przebieg mocy rzeczyw istej, a sinusoida Pbt przebieg mocy urojonej. Pow ierz­ chnia zakreskow ana na rys. 11 odpowiadać ma (przy takim rozkładzie) energji pulsującej. Gdzież jednak ta energja pulsuje? Chyba w samym od­ biorniku, bo na zew nątrz ujaw nia się tylko pulso­ wanie, uwidocznione na rys. 10. Na czemże jednak opieram y nasz wniosek, że 'w odbiorniku, którego nie znamy, pulsowanie takie zachodzi? W szak mo­ że on się składać z bardzo w ielu elem entów w za­ jemnie między sobą wym ieniających energję? R y s , 12. trycznej, powiem, iż równie dobrze możemy przy­ jąć, że w ew nątrz nieznanego odbiornika znajduje się opór omowy, zm ieniający się w edług funkcji 14 i to zm ieniający się jedynie w wartościach dodat­ nich, a więc stale pochłaniający energję elektrycz­ ną! Tw ierdzenie takie będzie naw et racjonalniej­ sze, bo w szak położenie krzyw ej Pt w całości nad osią czasu (rys. 12) w skazuje dobitnie, iż w od­ biorniku zachodzi tylko stale pochłanianie energji doprow adzanej ze źródła, bez jakiegokolwiek pulsow ania energji pom iędzy źródłem prądu i od­ biornikiem. Gdyby jednak ktoś upierał się przy tw ierdzeniu, że pulsowanie energji, wskazane jedną ze sinusoid składow ych mocy Pt, rzeczywiście za­ chodzi, lub na niem chciał oprzeć swą definicję mocy urojonej (biernej) Pb, w ystarczy przyjąć w odbiorniku naszym rzeczyw isty opór omowy, zm ieniający się w edług funkcji R - Ut J i. aby rozum owanie takie i definicję na niem opartą unicestwić. W edług naszej teorji należy rozkładu Pt do­ konać (w każdym przypadku) na dwie składow e i ' i według wzorów: P L , P u lub P ‘J, •*P bt pl = Pu : r- -i Pb, = Pt Pa r- ■J f . (56) Uf (57) lub p " = Pu, U2 Uf, P i1, = p , ~u* R ozkład taki zastosowany do sinusoid Ut i J, prow adzi do tych samych składow ych Pt, jakiemi zdaw na operujem y w obwodach sinusoidalnych,odnośnie zaś do przebiegów odkształconych daje tę n ad er w ażną korzyść, że umożliwia utrzymanie zasadniczych wzorów w formach obowiązujących zdawna dla przebiegów sinusoidalnych. Nie znaczy to oczywiście wcale, jakoby funkcji Pt nie wolno było rozkładać na więcej składowych ani nie narusza to faktu, że cewki indukcyjne i kondensatory pow odują rzeczywiście pulsowanie energji elektrycznej. M usimy tylko wykorzenić z um ysłu fałszyw e mniemanie, jakoby moc urojona (bierna) P,h w ystępow ała tylko tam, gdzie są cewki i kondensatory i przyjąć tezę nową, opartą nietylko na analizie teoretycznej, lecz już także na do­ świadczeniu, a głoszącą, iż ogólnie moc urojona nie­ ma nic wspólnego z energją pulsującą! Moc urojo­ na w ystępuje bowiem zawsze, gdy » < 1, czyli, gdy moc rzeczyw ista P w jest m niejsza od iloczynu U J t. j. od iloczynu skutecznych w artości napięcia i prądu, przy jakich odbywa się zasilanie naszego odbiornika. W w ypadku takim jest P w = UJ a P b = UJ . \L 1 — >3 bo Puf + P y = (UJ)* W zór na Pb nie zaw iera wcale energji pulsującej i dla wartości Pb jest obojątnem, czy po zastąpie­ niu naszego odbiornika równoważnym układem sze­ regowym (rys. 3) lub równoległym (rys. 4). funkcja mocy urojonej (biernej) P u względnie Pu jest zerem ( jak w doświadczeniu ó^tem), czy też czemś rożnem od zera. Moc urojona nie zależy bowiem od składu ( przebiegu) tej funkcji. 40 30 20 10 0 -1 0 20 - 0). - -10L i3 0 f Pbt . dt będzie ' o zerem także w tedy, gdy Pbt = W następnej pracy podam rozw iązanie proble­ mu mocy, dotyczące układów n-przewodow ych o przebiegach odkształconych. W pierw jednak muszę ogłosić wyniki, do ja ­ kich doszedłem dawniej (1926), odnośnie do n-prze­ wodowych układów sinusoidalnych, oraz podać do wiadomości zasady operow ania na takich obwodach (Uogólnione praw a Kirchhoffa, Zasada wyodręb­ nienia). Polskiem u Kom itetow i Elektrotechnicznem u, jako części składow ej M iędzynarodow ej Komisji Elektrotechnicznej (C. E. I.), zwracam uwagę na ni­ niejsze rozw iązanie problem u mocy w układach o przebiegach odkształconych napięcia i prądu. Może ono stanowić tezą polską dla C. E. I. odnoś­ nie do mocy i to tezę posiadającą, mojem zdaniem, wszelkie szanse kw alifikujące ją do przyjęcia. Po­ dane tu definicje mocy rzeczyw istej, urojonej i po­ zornej oraz spółczynnika mocy (cos ę ) są bowiem zgodne z definicjami, jakie C. E. I. akceptow ała już dla przebiegów sinusoidalnych. W yprow adzone tu rów nania i wzory zostały spraw dzone na przykładach liczbowych i dośw iad­ czalnie w pracowni E lektrotechniki ogólnej Poli­ techniki Lwowskiej. W ażniejsze przykłady licżbowe podane są po­ niżej. Przykład 1. Zakładam y, że napięcie i prąd, zasilające nie­ znany odbiornik, zm ieniają się według krzywych schodkowych, przedstaw ionych na rys. 13. W a r­ tości liczbowe tych krzyw ych podane są w zesta- - 40 - R y s . 13. 15 wieniu. O kres T podzielony jest na 10 części. W obrębie 1/10 okresu są wszystkie funkcje odcin­ kami równoległemi do osi odciętych. Obliczenia mocy chwilowych, mocy średnich oraz innych po­ mocniczych wartości, oporu „czynnego“ i „bierne­ go" i t. p. podane są w Tablicy I. Na końcu wyli­ czono spółczynnik mocy ).w i skontrolowano zgod­ ność wzorów U uf -j- U y = U2', Juf -f- Jb2 = J- i P w\ +• P y = Ps~. P w°-=. U,y .J*= 11,66866 . 1 9,8= 231,039468= ~ 231,04 P w*= U2 . J i = 26,8 . 8,620884=231,039691 = ~ 231,04 P y = U j . J 2 — 15,13132 .1 9 ,8 = 2 9 9 600136 = ~ 2 9 9 ,6 Pb2= U2. J y — 26,8 . 11,179098=299,599826 = ~ 2 9 9 ,6 P w2+ Pb2 = 231,04 + 299,60 = 530,64 P f = U2J 2= 26,8 .19,8 = 530,64 '■w 15,2 Pu, 5,17687.4,44971 17,3089 UJ : p> > UJ ' l-b 5,17687.4,44971 = = 0,65985 0,7513988 Uw2 + U y = J 1,66866+ 15,13132 = 26,79998 U2 = ............... . = 2 6 ,8 J w2 + J y = 8,620884 + 11,179098 = 19,799982 J2 = . . . . . . . . . . = 1 9 ,8 W yniki te stw ierdzają cyfrowo prawdziwość podanych przez nas tw ierdzeń. Krzywe prądu i n a ­ pięcia m ają bardzo nieregularne przebiegi, zatem zgodność powyższa nie może być uw ażana za przy­ padkową. Przykład 2. Krzyw a napięcia jest funkcją perjodyczną, da­ jącą się rozłożyć według F ourier‘a na 3 sinusoidy (falę zasadniczą, drugą i piątą harm oniczną). Dany jest obwód jak na rys. 14. t j u* —'i-nnnnn a u Uu u \ ~ R u , A R = 5 S2 > L uw A j L = 0,1 H ¿4 C = 5 .1 0 “ J F oj = 100 = 2n{ Napięcie w yraża się wzorem: U, = UJ + UJ1 + UJ' przyczem UJ = UJ1 -= UJ' = 100 5 + / (10—20) i? + / ( 2 ojL — 1 ) 1 2 o j C) 50 50 5 + / (20 — 10) 5 + / 10 5 + / (100.0,1 ojC 100 5 - / 10 50 (5 — / 10) _ 2 -/4 25 + 100 2 (J 11) 2— 22 + 4- = 20; J n = 4,4721; cos 'U1= 4,4721 J J 1 = 4,4721 . V 2 . sin (2 <0/ — cp") Uv J v= 80 1 R + / ( 5wL 10- 5 + /( 500.0,1— 500.5 80 __ 80 (5 — 7 46) = 5 + 7 (50 — 4) + 5 r / 46 ~~ 25 + 2116 5wC 80 _ ( J vr- = 400 - / 3680 _ o 2141 83 _ { g2 0,186832 + 1,718822 = 0,0349054489 + + 2,9543421924 = 2,9892476413; 70804 cos „o yv = 0,18683 Jrv = . ,1,72894; 1,72894 J J ' = 1,72894 . (' 2 . sin (5<jj/ — + ) u = } / ( U ') 2+ ( U " ) 2~\~(UV)2 = ] / 1002+ 5 0 2+ 8 0 2= = ] /1 0 0 0 0 + 2 5 0 0 + 6 4 0 0 = = ] /1 8 9 0 0 = 137,477 V V 102,9892476413 = 10,1483 A P w — U1 . J 1 cos + + U " . J n cos + U v . J v cos i v (ponieważ każda harm oniczna napięcia może dać moc tylko z odpow iadającą jej harm oniczną p rąd u ). 8,9443 + 50.4,4721 4,4721 0,18683 1,72894 Uwt = J* 1 t p ■< 1 r p 2 Uw2 = — f Uw] d ł = w • - f J r d ł = “ . J2 T l Jl Tb J* 100 J 5 + / ( 2 0 0 . 0 , l - 101 2 0 0.5 = 400 + 100 + 14,9464 = 514,9464 W 100 .\! 2 . sin w / 50 . 1 2 . sin 2 o j / 80 .1 2 . sin 5 o j / U1 50 + 80. 1,72894. W edług zasady superpozycji będzie: J tv Jt = J t ‘ + Ji'.u R + j\* L - U11 P w = 100 . 8,9443. R y s . 14. J1 J,1 J” = 8,9443 8,9443 . \f 2 . sin (oj / + cp7) J = Y ( J ' ¥ + ( J 11) 2+ ( J v) 2= ^ 8 0 + 2 0 + 2 ,9 8 9 2 4 7 6 4 1 3 = 1 • ( J I)2= 4* + 82= 80; J 1 — 8,9443; cos + = 10 *_ 100.5 1 0 0 (5 + / 10) = 4 + /8 2 5 + 100 Uw Pu,2 514,9464+ J2 10.14832 Pw _ 514,9464; J 10,1483 u bl = Ut — u wt 2574,76416 50,74213 V + 16 Tablica I. Zestawienie do przykładu liczbowego 17 P rzykład 3. Uwl)2dt Funkcje napięcia i prądu są funkcjam i zdefinjowanem i w poszczególnych ułam kach okresu T zapomocą umowy (wartości liczbowe w zeslawie- i O n U j- - 17* p r £/2 PJ J T p s p 2 /' UtJ, dł = U* 'r- W - 2 7-2- = • ]- o J- 10 A J- 100 j 1000f = U2 - U j = 18900 - 2574,76416 = J — 16325,23584 500 50 Ub = 127,77 V Pb = Ub . J = 127,77 .10,1483 = 1296,648 Var Ps = U . J — 137,477.10,1483 = 1395,158 VA 0 -L o 1 o % % % R y s . 15. /'W A6 = Pu, 5 14,9464 Ps 1395.158 Pb 1296,648 P 1395.158 m =- 0,3691 niu). O braz graficzny tych funkcyj podaje rys. 15. Niektórych w artości nie można obliczać, gdyż w ypadają symbole nieoznaczone (rząd 19 i 22 zestaw ienia liczbowego). 0,9294 Zestawienie liczbowe: F u n k cja p- I 11 111 IV W a r t o ś ć W VI V 1 u, 100 0 100 100 0 100 2 UJ lOggO 0 10000 10000 0 10000 3 J, 0 10 10 0 10 4 JJ 0 100 100 0 100 100 J2 = Pw = 5 p, 0 6 U w, 0 50 7 U irt- 0 2500 8 Ubl 9 U J 10 Jwt + 0 100 0 0 50 0 50 50 + 0 + 50 100 25U0 2500 — 50 + 2500 10000 2500 2500 5 0 5 5 0 5 25 0 25 25 0 25 +5 — 5 + 13 J J 25 100 25 • 25 100 25 Pwd 0 500 500 0 500 500 15 P J 0 — 500 0 — 500 16 P WJ 50 0 0 500 0 500 — 500 0 + 500 500 0 -+■ 500 0 + 10 co 0 17 P J 1 18 P, 19 -j- GO 0 *) R J 0 20 Rit + 21 G, GWa 5 oo 0 23 G bl *) + - 500 500 0,05 0,05 + 0 5 — 5 -f- oo 0 22 + *) 0 -j- oo + + + + *) 5 5 0,1 0 + oo 0,05 + 0,05 — 0,05 D la ty ch p r z e d z ia łó w n ie d a się o b lic z y ć 0 0 *) -j- co w a rto ść R J U J 5 J, — 1666, U b2 = 5000 J J = JJ « 16,6 + Pb Ir = = Pb " 333, 0 333, 0 1° RI 5U = 5 + 0,1 + 0 ,0 5 + 0.0 5 w z g l. 50 P w 'Ir = 5 - 3 33,3 P U — w . Jt = wl ~p Pw L = 500 + -(- oo 0.05 + 5 0 Ł 5 — 5 14 10 + J bt 10 6 6 ,6 U, = 12 + 6666,6 50 2500 10000 11 — 50 1000 1000 2500 U2 = 10 G J 1. G" = 0,05 0 ,0 5 U, 18 P b2 p? P w2 Pw2 P,® = U ? . p = 5000 . 66,6 = 333 333,3 = U- , J b2= 6 6 6 6 ,6 .5 0 = 333 333,3 = 333,32 = 111 111,i + Pb* = 111 111,1 + 333 333,3 = 444 444,4 _ u 2 . p = 6666,6 . 66,6 = 444 444,4 Pw la _ 333,3_____ U . J ~ Pb Ib 81,649.8,1649 577,35 = = 0,5 = 0,866 „czynna“ pobrana przez nasz odbiornik, sk ła d a ją ­ cy się z przeryw acza i krótkiego, grubego drutu, jest rów na zeru, zatem cała moc pozorna odbiorni­ ka rów na się jego mocy „biernej". U*122,5 81,649.8,1649 Uw2 + Ub2 = 1666,6 + 5000 = 6666,6 = U2 Jw2 + Jb2 — 16,6 + 50 = 66,6 = P P rzykład 4. Przebieg prądu i napięcia, jaki zachodzi w do­ świadczeniu 6, ilustruje w przybliżeniu rys. 16. Moc U .J Rys. 16. Zestawienie liczbowe do doświadczenia 6 Lp . T F u n k cja 1 . | II III 122.5 122,5 W 1 u, 0 2 u \ 0 15006,25 15006.25 3 J, 17,3 0 0 4 Jc 29 9 ,2 9 0 0 J* = Pw U 1 -- J 0 0 0 6 U wl 0 0 0 7 U J 0 0 0 u *w = 0 8 Ubt 0 122,5 Ubt = U, - 9 U b\ 0 15006,25 1 5006,25 U \ = 10004,16; 0 0 0 + / = ^ 0 0 0 J 'w = 0- Uw = 17,3 0 0 + 99 ,7 6 3 Pt 2 99 ,2 9 0 0 J \ = 0 0 0 P l ir = 0 0 J J J bt 12 13 + 14 p wł1 + 99,763; 0 0 Pb 16 p j 1 0 0 0 P l 1 śr = 17 vp bt11 0 0 0 ■ = 0 xP hb sr 0 co oo 0 0 0 0 0 20 R b, 0 OO oo 21 c t oo 0 0 22 G w11 0 0 0 0 23 G bt co 0 0 R 0 v Ub M 100,02 V 0 A 0 A śr - = J, Jb 0 = 02 c , __ U Uli — n „ Gw 0 o ś ć 100,02 w o lt ó w u wl • U, = 0 R j o 9 ,9 8 8 am p uw = Pbt 19 t 0 w a tt 15 18 r ! 11 = " ! d wt 10 + U 1000 4 ,1 6 5 -f- 122,5 a 9 ,9 8 8 A P w = Uw 7 = 0 . 9,988 = 0 W att P w = U . J W= 100,02 .0 = 0 W att P b = Ub . J ■= 100,02 . 9,988 = 999 Var P b = U . J b — 100,02 . 9,988 = 999 Var p s = U . J = 100,02 . 9,988 = 999 VA P J 7- P 52 = O2 + 9993 = 998001 P s2 = 9992 = 998001 ■ = Kw P '" = U.J = P b= U .J 999 = 999 P rzykład 5. Pozorny opór elektryczny luku (iloraz napię­ cia na łuku i natężenia prądu przepływ ającego przez łuk) jest przy prądzie zmiennym zmienny. Pow oduje to zmniejszenie spółczynnika mocy Pw ^ / 2= 21,801 b2 Am p2; Pw — 3,59 c W att , stąd ; = Ł. = Ps P U .J U nas obrano c = — ^ 59 • c ' | 1 9,86 . ) 2 i,8Ól ab ^ . zatem 0,2 3-59 ■ ab = Kw= -======---------------.r-----/1 9 ,8 6 . ^ 21,801 ab . 0,2 JL = o 999 D«,2 -(- £Ą2 = O2 + 100,022 = 100,022 = £/2 J J -j- J b- = o2 4- 9,9882 = 9,9882 = J 2 ). = U - = 19,86 a 2 Volt2; lb = i 1 - . ;„„2 = | 'l P b=',.b • U . J = 0 509 . n sM 0,861 0,8612 = i ' 0,258 = 0,509 19,86 1 21^801. a6==10,6a6V ar Z drugiej strony możemy obliczyć P w i Pb jako iloczyny U WJ oraz Ub J . Rozkładam y zatem wyp kreślnie naszą krzyw ą napięcia Ut na Uwl = ^ . J f | i Ubt — Ut — U ut (rys. 18) i wyznaczam y ich skuteczne w artości jak poprzednio przy pomocy . Podane przez Steinm etz‘a krzyw e Ut i Jt dla łuku zasilanego z generatora prądu zmiennego w skazuje rys. 17. Na rysunku tym uwidoczniono także krzyw ą Pt — Ut . J t . Skuteczną w artość prądu i napięcia znaleziono rysując krzywe / / 2 i Ut2 i w yznaczając planim etrem w artości całek ■f JP dł i ( U r d ł . o o Przez podzielenie tych całek przez T i spierw iastkow anie otrzym uje się skuteczne w artości prądu i napięcia. Moc średnią P w znajdziem y T dzieląc w artość f P, dt (zmierzoną planim etrem ) o przez T. R ys 18. planim etru. Krzyw a U wt jest sinusoidą. Je j sku­ teczną w artość otrzym am y dzieląc am plitudę przez y2 W ypada Uw= = 3,836 a Volt V 2 P W= U U,. J = 3,836 . a . ) 21.801 b = 17,92 ab W att podczas gdy z poprzedniego obliczenia było: Pw = 3,59 c W a t t = 0,2 ab W a tt=17,95 ab Watt. Zgodność obu wyników jest zadow alająca, jeżeli się zważy, że znaleziono je m etodą w ykreślną. Przy pomocy planim etru znaleziono następnie Ub - = 5.29 a 2 V olt2 zatem p b= Ub . / = 1 5,29 . a . i 21,801 b = 10,74 ab Var R ys. 17. N a rys. 17 krzyw e napięcia Ut, prądu Jt i mo­ cy Pt podane są w różnych skalach. Ogólnie jest 1 cm = a Volt dla krzyw ej Ut, 1 cm = b Amp dla krzyw ej J t , oraz 1 cm = c W a tt dla krzyw ej Pt, Z planim etrow ania otrzym ano (po podzieleniu przez T) następujące wyniki: podczas gdy poprzednio przypadło Pb— 10,6 ab Var Zgodność obu wyników jest więc i w tym przypad­ ku widoczna. Przykład 6. Dany jest obwód jak na rys. 19, przyczem E, = 100 l/2 s in M ) V É =50 V R = 10 i! 20 Jw = 0,1 . U = 0,1 . 100 = 10 A Uw . J — 89,44 . 11,18 = 8 . 11,182 - 8 . 125 = = 1000 W att = P w U J w = 100 . 10 = 1000 W att = P w Uu - Ui - Uwt = U, - 8 J t U„2 = 1 f Ub,2 dt = T o 1 7 16 7 = J- f Ui2 dt - - • f U, J, dt + T 6 T ó 64 7 ■ f J ,2 dt T o Ub2= U2 - 16 P w + 64 J 2= 1002 - 16 . 1000 -j- 64. 125 R ys. 19, Ub2 Ś= 10000 — 16000 + 8000 = 2000 Stąd obliczamy: Ub = )/ 2 000 = 44,721 V Ui = £ , = 100. 1 2 sin (w/) V el Jt — e U J + U b2 = 89,442 U2 = 1002 = 10 000 Jbt — J t — Jwt = Jt 0,1 Ul 10 , V 2 sin (to/) — 5 A R U = E = 1 T p r. / 100 V 1 ~ i / i J r d ł ó p To f^L.dt - p .dt + ( - 1 ó R2 o R2 R2 / , « > ■ - ¡ o - = V io; io a TV 2 f — .dt o R2 / w o ; 25 V -V 125 11,18 A ' f U, J , d t = — f T o T o i 1 p Er 100 R p. ~~ 10 1000 U .J 100 . 11,18 = Ei dł 1000 W att 0,895 i 000 I2 5 ■Jt = uw = -8 Jwt — E] ■ dł T ~ 1 . f Et2 dł — f R ó R ó T Kw = [E‘ R T ~ 8J t . / = 8 . 11,18 = 89,44 V P»JU, = U2 1000. 1002 T 0 2 7 Jbt2 dt r ^ 0 01 7 = ± f Jt2 dt - 0'2 - f Ui Ji dt + . f u?dt Jo 1 o i ó Jb 2= 7 2 — 0,2 Pw 4 - 0 ,0 1 . 1002= 125 - 200 + 100 = 25 Jb — 5 A Jw2 + J J - = 102 + 52 = J 2 = 125 125 P b = Ub . J = 44,721 . 11,18 = 1 2,000 . 1 125 = R2 , 1 Jł 7 i 44,7212== 8 000 + 2 000 = 10 000 Ul = 0,1 u, = | 250000 = 500 Var P b = U . J b = 100 . 5 = 500 Var P J 4 P b2 = 1 0002 - f 5002 • 1 250 000 P 2= U2J 2— 1002. 11,18- = 10 000.125 = 1 250 000 Przeprow adzony przez nas rozkład napięcia U na Uw i U jest tylko myślowym. W rzeczyw i­ stości bowiem nie znamy zupełnie odbiornika, może się on składać z dowolnej ilości elem entów czyn­ nych i biernych, a naw et sił elektrom otorycznych, rozm aicie ze sobą połączonych. Napięcie Uw nie jest zatem napięciem na jednym z elem entów czyn­ nych odbiornika, a tylko napięciem, które wystąpi­ łoby na um yślonym elemencie czynnym R, gdy­ byśm y nasz cały odbiornik zastąpili jednym ele­ mentem czynnym i jednym biernym w połączeniu szeregowem. W naszym przykładzie opór R — 10 ii nie jest więc identyczny z oporem R w ■umyślonego ele­ mentu czynnego, gdyż napięcie na nim byłoby Uw = 89,44 V, podczas gdy u nas jest J . R — 11,18 . 10 = 111,8 V. Sp. Akc. Zakł. GraŁ „D rukarnia Polaka", W arsraw a, Szpitalna 12.