MOC RZECZYWISTA, UROJONA I POZORNA

Prof. Dr. inż. S T A N IS Ł A W F R Y Z Ę .
MOC RZECZYWISTA, UROJONA I POZORNA
W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH O PRZEBIEGACH
ODKSZTAŁCONYCH PRĄDU I NAPIĘCIA
SPRAW OZDANIE Z ODCZYTU, WYGŁOSZONEGO DLA CZŁONKÓW TO W . POLITECHNICZNEGO
I LW OW SK. KOŁA ELEKTRYKÓW W DNIU 19 LISTOPADA 1930 R. NA POLITECHNICE LW OW SKIEJ
O dbitka z „ P rzegląd u E lek tro tech n iczn eg o “. Z eszyt 7—8 1931 r.
W
A
R
S
1 9
Z
A
3 1
W
A
MOC RZECZYWISTA, UROJONA I POZORNA
W OBW ODACH ELEKTRYCZNYCH O PRZEBIEGACH ODKSZTAŁCONYCH
PR Ą D U I NAPIĘCIA.
W w ykładzie, wspom aganym doświadczeniami
i ilustrow anym wykresam i, przedstaw iłem naprzód
obecny stan definicyj trzech zasadniczych wiel­
kości, dotyczących mocy elektr. (moc rzeczyw ista
P, moc urojona Pb i moc pozorna P s), a nastę­
pnie w łasną, ogólną teorję, na której definicje tych
trzech wielkości winne być oparte w obwodach
elektr. o dowolnych lecz perjodycznych przebie­
gach prądu i napięcia.
W ykład poprzedzony był krótkiem i objaśnie­
niami, jakie powody zniew alają do rozróżnienia
w obwodach prądów zmiennych aż trzech rodzajów
mccy. Objaśnienia te, jako bardzo ważne dla sa­
mego zagadnienia definicyj mocy. podaję tu
w streszczeniu.
za k tórą odbiorca opłaca należność w ytwórcy tej
energji. Moc pozorna P s decyduje c wielkości in­
stalacji, w ytw arzającej energję elektr., dalej
0 grubości przewodów, doprow adzających tę ener­
gję do odbiorcy, a w końcu o stratach energji elektr.
w urządzeniu wytwórczem i przesyłowem . G dy
bowiem dostarczenie odbiorcy pewnej mocy rze­
czywistej P wym aga dużej mocy pozornej P s, c?yli dużego iloczynu UJ, trzeba uskutecznić zasilanie
odbiornika albo przy wyższem napięciu U lub przy
większym prądzie J , niż by to było potrzebne, gdy­
by P s było równe P, jak to jest w obwodach o p rą­
dach stałych (stałych w ścisłem znaczeniu tego sło­
wa!).
Stosunek
/
=
—
_
P
W układzie 2-przewodowym (rys. 1) I p rzed ­
staw ia źródło prądu zmiennego, zasilającego od­
biornik II energją elektryczną. Źródło i odbiornik
połączone są 2-ma przewodami, których opory i
indukcyjności oraz pojemność w zajem ną pomijamy,
zakładając, że są one bardzo małe. P rzy perjodycz­
nych przebiegach napięcia między przewodam i
Ui (funkcja czasu] i prądu w obwodzie Jt (funkcja
czasu) oraz jednakow ej częstotliwości f obu tych
funkcyj załączony w obwód watom ierz W będzie
w skazyw ał moc (P) w watach, ogólnie m niejszą od
iloczynu w skazań woltom ierza cieplikowego (T/J
i am perom ierza cieplikowego (A), czyli od iloczy­
nu skutecznych w artości napięcia [U) i natężenia
prądu ( /) , więc moc P w w atach m niejszą od ilo­
czynu U J w w oltam perach.
W ielkość, m ierzoną watomierzem, nazywamy
mocą rzeczywistą (P), iloczyn napięcia zasilającego
U i p rąd u zasilającego J nazwano mocą pozorną
UJ
nazwano spółczynnikiem mocy. Spółczynnik ten
może być co najw yżej równy 1, ogólnie zaś jest
X < l i wyraża, jaką czqść z P s stanowi P.
Spółczynnik mocy Xmożna więc uw ażać za sto­
pień w yzyskania mocy P s , stojącej do dyspozycji
przy danem napięciu zasilania (U) i prądzie zasila­
nia ( /) . W tern ujęciu i przy uwzględnieniu wyżej
powiedzianego /■ ma ch arak ter spółczynnika gospo­
darności o nader ważnem znaczeniu praktycznem .
Im m niejsza jest bowiem w artość X w elektrowni,
tem większych zespołów maszynowych potrzeba do
zasilania odbiorców, tem większe przekroje muszą
posiadać przew ody przy danem napięciu zasilania
1 tem większe m amy stra ty energji elektr. Pisząc po­
przedni wzór na X w postaci zależności:
(Ps).
widzim y dobitnie szkodliwy w pływ >. na ilość woltam perów [UJ = P s), konieczną do wytworzenia dla
danego P (wzór P s), na napięcie zasilania przy da­
nem P i J (wzór U ), oraz na prąd zasilania J przy
danem P i f / . Norm alnie dostaw a energji elektr. od­
bywa się przy praktycznie stałej w artości napięcia
użytkowego U, przeto praktyczne znaczenie m ają
głównie wzory dla P s i dla J.
Ps =
UJ
Moc rzeczyw ista P jest m iarodajną dla zużycia
energji elektrycznej
A =
u
I P.dt
i,
“
Ps
2
W ytw órcy energji elektr. nie może być obojętnem, przy jakim spółczynniku a odbywa się za­
silanie odbiorcy, pobierającego moc P, gdyż liczniki,
w edług których oblicza się należność za energję
elektr., w ykazują tylko faktyczne zużycie, odpowie­
dnio do wzoru
/,
A = j P .d t
czyli re je stru ją iloczyny zmieniającego się w czasie
wskazania w atom ierza i czasu t. G dy jednak do­
staw a tej rzeczywiście zużyw anej energji odbywa
się przy prądzie
zam iast, jak w obwodach o prądach stałych, przy
prądzie
czyli przy prądzie 1/X razy większym, niż w p rzy ­
padku, gdy X = 1, to przy danej mocy zainstalow a­
nej, elektrow nia może sprzedać tylko część (X) tej
produkcji, jaka odpow iada owej mocy przy danym
czasie użytkow ania urządzenia. Słusznem jest zatem
stanowisko wytwórców energji elektr., którzy cenę
kW h z u ż y te j przez odbiorcę uzależniają od w artości
spólczynnika X. Powstało tylko zagadnienie, jak to
uzależnienie uskutecznić.
R ejestrow anie zm ieniającej się w artości X nie
m iałoby żadnego sensu, gdyż >■ ma m niejsze zna­
czenie dla elektrow ni przy m alej mocy, a większe
przy dużej mocy P. Sam a w artość X nie może więc
decydować o dodatkach za zużytą faktycznie ener­
gję elektryczną (A), gdy zużycie to zachodziło
w czasie od tx do f2 przy różnych w artościach P.
Utworzono przeto pojęcie t, zw. elektr. mocy urojo­
nej (po niem. Blindleistung) Pb i elektr. pracy uro­
jonej (po niem. B lindarbeit) Ab i obmyślono przy­
rządy, służące do pom iaru tych wielkości. W ob­
wodach sinusoidalnych spraw a dała się załatw ić
gładko, bo dla tych obwodów, jak wiadomo,
P
X - cos 9 =
bkW h *) (po niem. B lindlastzähler). N arzu cen ie'ta­
kiej taryfikacji jest uzasadnione tern, że w obwodam
sinusoidalnych X zależy od przesunięcia fazowego,
a to od rodzaju składników odbiornika. Odbiornik,
który stanowi sam tylko opór omowy R (lub zespół,
takich oporów), pobiera energję elektr. przv X = 1.
Odbiorniki, które oprócz R zaw ierają cewki induk­
cyjne lub kondensatory, pobierają energję eiektry.
czną przy X < 1. J e s t przeto oczywiste, że w artość
X zależy od odbiorcy ,a skoro pow oduje on zm niej­
szenie
winien za to opłacać pewien dodatek, obli­
czany w edług odczytów Ab
T ak więc doszliśmy do trzech rodzajów mocy
(P, Pb, P s) i widzimy konieczność rozróżniania tych
wielkości, co też znalazło w yraz w jednostkach W
lub k W (dla P) Var lub kVar (dla P b) *) i V A lub
k V A (dla P sr).
M iędzy owemi trzem a mocami istnieje bardzo
ważny związek, określony dla sinusoid równaniem
P / = p* -j- ppRównanie to w yraża, że także moce należy
w obwodach sinusoidalnych dodawać geometrycznie,
analogicznie jak prądy (skuteczne) i napięcia ( s k u ­
teczne). W ynik ten nie może w ydaw ać się dziwnym,
jeżeli uwzględnimy, że moc jest iloczynem skutecz­
nych w artości prądu i napięcia i że skuteczne w ar­
tości U, J pow stają z kw adratow ych w artości chwi­
lowych, sumowanych na jeden okres T.
Powyższe, proste związki, ogólnie uznane
i przyjęte, stosują się tylko do sinusoidalnych prze­
biegów U i J o tej samej częstotliw ości (f).
W iadom o jednak, że przebiegów takich niema
w żadnej sieci elektr. zasilającej m otory, tra n sfo r­
m atory i t. p. naw et w przypadku, gdy — jak to
obecnie ma m iejsce — m aszyny w elektrow ni wy­
tw arzają sinusoidalne SEM -czne. Żelazne rdzenie
urządzeń odbiorczych, oraz szereg innych czynników
pow oduje odkształcenie sinusoid prądu, a temsamem
także sinusoid napięć. W praktyce m am y więc do
czynienia ogólnie z odkształconemi (niesinusoidalnem i) przebiegami prądów i napięć. W iemy, że i przy
takich przebiegach jest ogólnie
U .J
czyli odpow iada cosinusowi kąta przesunięcia fazo­
wego 9 między sinusoidą napięcia i prądu. Tworząc
nowy spółczynnik
h — V 1 — Xa =
1 1 — cos2 9 =
sin 9
t. zw. spółczynnik mocy urojonej, można położyć
Pb = U . / sin 9 = U . J .Xj
analogicznie do
P = U . J cos 9 = U . J A
i ze wzoru na Pb przejść do pracy urojonej
Ab =
f Pb ■dt
t,
M ożna teraz narzucić odbiorcy taryfę, uzale­
żniającą koszt faktycznie zużytej energji elektr.
A = f P.dt
t,
od zarejestrow anej elektr. pracy urojonej Ab. RejestracjiA dokonują z w y k łe liczniki k W h , reje strac ję
Ab uskutecznia się zapom ocą specjalnych liczników
powstało tedy zagadnienie, jak w takich sieciach za­
łatw ić rozliczanie wytw órcy z odbiorcą. Przy bliższem badaniu tego zagadnienia okazało się, że
i w obwodach odkształconych trzeba stw orzyć defi­
nicje mocy rzeczyw istej, urojonej i pozornej. Z defi­
n icją mocy rzeczyw istej (P) poszło gładko, albo­
wiem wielkość ta, utw orzona dla przebiegów sinu­
soidalnych w postaci całki
P = M f U l . J l . a t Ę - ± f P t dt,
T ö
T 6
da się w tej samej postaci przenieść także na obwo­
dy o perjodycznych przebiegach odkształconych na­
pięcia (17/) i prądu ( Jt).
T akże pom iar watom ierzem mocy rzeczyw istej
P nie doznaje tu żadnej zmiany. Z wielkością P s
(moc pozorna) poszło już znacznie trudniej. Dla
układów 2-przewodow ych wielkość ta równa się
*) M ię d z y n a r o d o w a K o m isja E le k t r o t e c h n ic z n a C. E . I.
u s t a n o w iła w r. 1930 ja k o j e d n o s t k ę d la P b t. z w . V a r w z g l.
k V a r. (D a w n a j e d n o s t k a n ie m ie c k a b W w z g l. b k W ).
3
w praw dzie znów iloczynowi skutecznej w artości na­
pięcia (17) i prądu (/) zasilania, natom iast dla
n-przew odow ych systemów (układ 3-fazowy ze ze­
rem lub bez zera), obliczenie P s bez pomocy trze­
ciej wielkości Pb jest niemożliwe. Rzucono się za­
tem do ustalenia definicji mocy urojonej P q
w układach o przebiegach odkształconych, wzglę­
dnie do m odyfikacyj spółczynnika X, celem uzy­
skania analogjL z obwodem sinusoidalnym . Oto w y­
niki 10-letniej pracy poważniejszych elektryków .
Prof. Dr. Inż. Em de dowodzi (w E. u. M. 1921,
Str. 545), że pojęcie mocy urojonej dotyczy tyl­
ko obwodów sinusoidalnych i nie da się prze­
nieść na obwody o przebiegach odkształconych.
Prof. Dr. Inż. Schering proponuje uzależnić
moc urojoną od t. zw. pulsującej energji pola m a­
gnetycznego i elektrycznego obwodu, analogicznie
jak w obwodach sinusoidalnych (E. T. Z. 1924,
Str. 710). Ponieważ zależność ta przy przebiegach
odkształconych jest inna, niż przy sinusoidalnych,
trzeba, według Scheringa, zadowolić się tylko
obliczeniem przybliżonem.
Dr, Dr. Inż. W eber „udow adnia", że pojęcie mocy
pozornej i urojonej jest w obwodach n-przewodowych wieloznaczne i nie da się sprecyzować (E. u.
M. 1929, Str. 301), a dalej (E. T. Z. 1929, Str.
1547) tw ierdzi naw et, że utw orzenie pojęcia mocy
urojonej w obwodach o przebiegach odkształco­
nych na podobieństwo definicji sinusoidalnej jest
zgoła niemożliwe, bo równanie zasadnicze
P s- = P- -(- Pbw ażne dlà sinusoid, przechodzi dla
0 przebiegach dowolnych w nierówność
obwodów
4 - P b> 4 = P s>
Prof. C. Budeanu oblicza w artość Ps szerega­
mi F ouriera i dochodzi do wzoru:
P .* = P : + PP -+■ Pp
w prow adzając do obwodów o przebiegach od­
kształconych nową wielkość, t. zw. moc znie­
kształcenia P u ( .Puissances réactives et fictives“
1 „Les différentes opinions et conceptions concernant
la motion de puissance réactive en régime non sinu­
soïdal“) *).
Nie lepiej przedstaw iają się usiłowania znale­
zienia rozw iązania przez odpowiednie ujęcie spół­
czynnika mocy X. K rijger proponuje przekształce­
nie > na iloczyn dwu spółczynników
'■ = X, . cos '1'
z których jeden X0 ma oznaczać t. zw. spółczynnik
zniekształcenia, a drugi W t. zw. spółczynnik prze­
sunięcia (fazowego) (E. T. Z. 1925. Str. 48). A na­
logiczne propozycje, choć inaczej ugruntowane,
staw ia B rynhilden i K ern (B. B. C. — M itteilungen
Bd. 14, zeszyt 5 — 8). M üller krytykuje te propo­
zycje, znalazłszy, że cos 'P może wypaść w nie­
których przypadkach większe od 1, co prowadzi
do absurdu, i staw ia inną propozycję utw orzenia
iloczynu (X —
m s à) (E. T. Z. 1928, Str. 251).
W roku 1930 Em de zw raca uwagę na pewną
*) P u b lik a c je N r. 2 i 4 In st. n a t. R o u m a in p o u r l'é tu d e
d e l'a m é n a g e m e n t e t d e l'u tilis a t io n d e s s o u r c e s d 'é n e r g ie
1927.
wielkość, t. zw. „Entohmung", spokrew nioną z mo­
cą urojoną (E. T. Z. 1930, Str. 533).
Korowód powyższy w ażniejszych prac (głó­
wnie niemieckich) zam yka po rok 1930 Dr. M ül­
ler — Lübeck propozycją w prow adzenia dwu ro­
dzajów spółczynników mocy t. zw. elektrycznego ).£
i magnetycznego
(Forschung u. Technik 1930,
Str. 134).
J a k w idać „w ybór“ propozycyj jest duży,
chociaż zacytow ałem tu tylko m ałą cząstkę prac,
dotyczących mocy, chodziło mi bowiem jedynie
o zorjentow anie co do typowych kierunków, obra­
nych w drodze do rozw iązania zagadnienia definicyj mocy w układach o przebiegach odkształconych
prądu i napięcia. M iędzynarodow a K om isja E lek­
trotechniczna (Commission Electrotechnique In te r­
nationale, C. E. I.), obradująca w lecie 1930 r.
(w Stockholm ie), nie przyjęła żadnej z propono­
w anych dotąd definicyj mocy w układach niesinu­
soidalnych — i słusznie, żadna bowiem z propozy­
cyj niema koniecznych cech ogólnych, um ożliwia­
jących jednolite traktow anie zarówno obwodów
sinusoidalnych, jak i niesinusoidalnych.
O brady C. £ , I. zachęciły i mnie, jak wielu
elektryków na świecie, do dalszych poszukiwań.
Spraw ie mocy poświęciłem już dużo czasu, docho­
dząc do wyników, które odnośnie do n-przew odo­
wych
układów
sinusoidalnych
przedstaw iłem
w w ykładzie odbytym w Tow arzystw ie Politechnicznem dnia 30 kw ietnia 1926. Tam też podałem
odkrytą przezem nie „Zasadę w yodrębnienia" oraz
„Uogólnienia obu praw Kirchhoffa", bez których
to „narzędzi operacyjnych" ogólne rozw iązanie
zagadnień mocy natrafia na trudności niepokonane.
W obecnym w ykładzie podaję do wiadomości ogól­
ne rozw iązanie zagadnienia mocy, na razie dla
układu 2-przewodowego (rys. 1). A naliza, k tó rą tu
przeprow adzam , przekreśla wszystkie propozycje,
postawione dotąd przez różnych autorów. Okażę
bowiem, że stosunki i związki, obowiązujące w zglę­
dem mocy, rozkładu napięć, prądów , oporów i t. p.
dla układów sinusoidalnych, zachow ują ważność
(w odpowiedniem ujęciu) także w obwodach o do­
wolnych (perjodycznych) przebiegach napięć i p rą­
dów. W szczególności udowodnię, . że ważne dla
sinusoidalnych obwodów kw adratow e rów nanie
mocy
P ,2 = P 2 - j - P bnie traci ważności także w obwodach niesinusoidal­
nych.
Nowe najogólniejsze definicje mocy rzeczywistej,
pozornej i urojonej w układzie 2 - przewodowym.
Zakładam y, że źródło prądu zmiennego o na­
pięciu Ut zasila nie­
znany odbiornik p rą ­
dem Jt, 2-ma przew o­
dami (jeden dosyłowy,
drugi odsy Iowy) (rysi).
Zarów no Ut jak i Jt są
perjodycznem i, jednowartościowem i
fun­
kcjami czasu (/) o iden­
tycznej
częstotliw o­
ści f.
Rys. 1.
4
U w zględniając w artość X możemy położyć
X — cos ©
przedstaw ia zatem przebieg mocy i jest także i zapytać, co oznacza kąt cp, którego cosinus od­
pow iada spółczynnikowi mocy w układzie 2-przejednow artościow ą funkcją t o częstotliwości f.
wodowym.
o odkształconych przebiegach napięcia
W skazanie w oltom ierza cieplikowego (V J,
i prądu? Pytanie to, na pozór całkiem nierozsądne,
włączonego m iędzy dwa przewody, łączące źródło
naprow adziło mnie w łaśnie na drogę, która nad­
z odbiornikiem, odpow iada w artości skuteczne)
spodziewanie i w sposób niezm iernie prosty pro­
funkcji Ui, czyli
w adzi w prost do celu, t. j. do właściwych a naj­
ogólniejszych definicyj mocy. Okazało się przyU i2 . d t
.
.
.
U
(2)
tem, że szlak w ytknięty „sinusoidalnym sposobem
m yślenia", t. j. doszukiwanie się w obwodach nie­
W skazanie am perom ierza cieplikowego (A), sinusoidalnych związków m iędzy energją pulsują­
włączonego w obwód, odpow iada w artości sku­ cą a mocą urojoną, — to droga, wiodąca na m a­
tecznej funkcji Jt, czyli
nowce. A naliza bowiem prow adzona z m yślą prze­
wodnią, aby dotrzeć do owego „.mistycznego" k ą­
dł
■ (3( ta ?, którego cosinus ma odpowiadać spółczynni­
J
kowi mocy, to nietylko' nowy, a odm ienny od do­
tychczasowych, sposób rozw iązania zagadnienia
W skazanie w atom ierza (W), włączonego w ob­ mocy w obwodach niesinusoidalnych, lecz także
wód, odpow iada w artości średniej f uncji Pi, więc zupełnie nowa ideologja, zupełnie inna interpreta­
cja od tej, z jaką każdy elektryk zżył się od z a ra ­
1 f U i J i - d ł . . (4) nia rozw oju teorji prądów zmiennych. P rzed sta­
P = Y I p" “
T o
wiona tu teorja odsłaniając nowe, nieprzeczuw ane
dotąd możliwości zniewala jednak do zajęcia no­
P przedstaw ia moc dostarczaną odbiornikowi.
wego
odmiennego od dotychczasowego stanowiska,
Nazywać ją będziemy dalej mocą rzeczywistą
wobec pewnym, utartych i tradycją uświęconych
i oznaczać dla jednolitości symbolem P w
zasad.
U łatw ienie w tym względzie ma nam dać opis
Pw = P = — f P i . d t = i - f U , J , . dt . (5)
kilku
doświadczeń, a więc faktów, rzucających
To
T o .
pewne św iatło na dotychczasowe nasze pojęcia- od­
Iloczyn wartości skutecznych napięcia U nośnie do spółczynnika mocy.
i prądu J zasilania, odpow iada mocy pozornej P s,
Doświadczenie 1. Do końcówek sinusoidal­
zatem
nego źródła prądu, w łączona jest cewka indukcyj­
P s = U . J ................................ ( 6 ) na z oporem. Stw ierdzam y, że
< 1, i „w yjaśnia­
my", że powodem tego jest t. zw. pulsowanie enerM amy w ten sposób ujęte dwie wielkości, t. j.
gji pola magnetycznego cewki.
moc rzeczywistą P w, odpow iadającą wskazaniu
Doświadczenie 2. Do końcówek źródła prądu
w atom ierza, i moc pozorną P s, odpow iadającą ilo­
stałego
załączam y łuk elektr. między węglami. Ilo­
czynowi skutecznych w artości napięcia [U] i p rą­
czyn U J zgadza się tu ze wskazaniem watom ierza,
du (J ), co zresztą jest ogólnie wiadome i odnośnie
do system u 2-przewodowego nie przedstaw ia nic czyli P w -- U . J . Gdy jednak łuk przełączam y na
sinusoidalne
źródło
prądu, okazuje się, że
nowego.
Pw < U . J , czyli w łuku elektr., zasilanym p rą­
W myśl uchw ały C. E. I. zakładam y teraz
dem zmiennym, jest ogólnie ). < 1. Pytanie, dla­
P
P
czego
tak jest, nie znalazło dotąd należytego wy­
X = ------- = - 2 . . . .
(7)
jaśnienia.
Równocześnie widzimy, że w przypad­
U J
U .J
ku tym nie można zjaw iska tłum aczyć jakiem kolprzyczem X oznacza spółczynnik mocy. Spółczyn- wiek pulsowaniem energji pola m agnetycznego
nik mocy X może być tylko co najw yżej równy lub
(brak jakichkolw iek cewek w łuku).
m niejszy od 1, jak to wynika z t. zw. nierówności
Doświadczenie 3. Do końcówek źródła prądu
Schwarz a
stałego lub sinusoidalnego załączam y perjodycznie
zm ieniający się opór omowy (opornica z w irująceI f { x ) g (x) . d x \ < J f (x)2 d x . J g (x)2 . dx
(8) mi szczotkami) i stw ierdzam y (już ze zdum ieniem ),
a
l a
a
że i teraz iloczyn U . J jest większy od w skazania
w atom ierza (Pu,), że zatem i tu l, < 1, jakkol­
która w zastosowaniu do naszych funkcyj daje:
wiek w przypadku tym mamy do czynienia li tylko
(9) z oporem omowym.
Doświadczenie 4. W obwód prądu stałego
lo
I
to
1 o
w
łączam
y przeryw acz rotacyjny, połączony w sze­
lub
reg z oporem stałym (i?). I tu jest U . J > P w,
czyli >. < 1, gdy zmierzym y moc na zaciskach
- 1- f u j , . d t < \ [ — ( Ur- dt - \ f — f J r . dt ( 10) głównych czyli na końcówkach szeregu, utw orzo­
Tó
V
To
V
To
nego z przeryw acza i oporu R, a P w — U r ■J r ,
czyli
gdy m ierzym y P w na samym oporze R.
Doświadczenie 5. Załączam y obwód z do­
P < U.J
—— < 1
X< 1
U.J
św iadczenia 4 na źródło sinusoidalne. Znowu
Funkcja
p,=
u ,.j,
. . . . . XD
= V rl
(
l
ju,J,.dt\2
U fd t.J J f.il..
stw ierdzam y UJ > P w i >. < 1 gdy mierzymy moc
na zaciskach źródła prądu, a P w = t/j? . / k , gdy
m ierzym y
na samym oporze R.
Doświadczenie 6. Do końcówek źródła prą­
du stałego dołączam y opór R z a następnie w szereg
przeryw acz rotacyjny i krótki, gruby przewód
m iedziany. (Rys. 2).
MOA
^
h
^
3 z?*#
R y s . 2.
Jakkolw iek tu jest R ~ O, to jednak wolto­
mierz V w skazuje około 100 V, am perom ierz oko­
ło 10 A, a w atom ierz (praktycznie) zero watów.
(Opór R . w łączony jest tylko celem ograniczenia
p rą d u /).
O statnie doświadczenie
(dające analogiczne
wyniki także przy zasilaniu ze źródła sinusoidal­
nego) musi w pierwszej chwili wprawić w zdum ie­
nie, w ygląda bowiem w prost paradoksalnie. Oto
ni mniej ni więcej, tylko mamy napięcie (100 V)
na końcówkach grubego i krótkiego kaw ałka drutu
miedzianego (o oporze omowym R = 0,0001 i! |>
gdy przez niego przepływ a p rąd „ sta ły “ (coprawda
przeryw any perjodycznie) o natężeniu 10 A.
W myśl zasad elektrotechniki, stosowanych for­
malnie, „powinno być“ przecież na końcówkach
tego oporu R ~ O napięcie
U — J . R ę? O
Otóż te zasady. Nie jesteśm y jeszcze przyzw ycza­
jeni do należytego stosowania zasad w przypadku
prądów przerywanych. Różni autorowie, zapatrze­
ni w prądy sinusoidalne, czyli „dziedzicznie obcią­
żeni“ sinusoidalnym sposobem myślenia i inter­
pretacji, starali się już od dawna załatw ić zagad­
nienie mocy dla obwodów o jednokierunkow ych
prądach pulsujących, do jakich niew ątpliw ie nale­
ży obwód, przedstaw iony na rys. 2. W ynajdyw ali
więc różnego rodzaju spółczynniki zniekształcenia
(„V erzerrungsfaktor") i przesunięcia („Verschiebungsfaktor"). byle tylko „sprow adzić“ działania,
zachodzące w takich obwodach, do działań sinusoi­
dalnych i „w ytłóm aczyć“, że powodem zm niejsze­
n ia >. w obwodach o przebiegach pulsujących jest
znów przesunięcie fazy m iędzy harmonicznemi na­
pięcia i prądu. Krótko, starali się dowieść, że i tu
w obwodach o prądach pulsujących zachodzą pul­
sowania energji elektrycznej. Doświadczenie moje
Nr. 6 przekreśla te prace. W oporze R = O, po­
łączonym z idealnym (bez strat) przerywaczem ,
niem a przem ian energietycznych ani żadnego zu­
życia energji elektrycznej na ciepło. Ani R = O,
ani przeryw acz nie może magazynować żadnej
energji, niema tu więc w odbiorniku także pulso­
wania energji pola magnetycznego ani elektryczne­
go. Odbiornik nasz, złożony z szeregowo połączo­
nego przeryw acza i grubego drutu miedzianego
(R = O) nie w yw ołuje wogóle żadnych pulsowań
energji w obrębie swych składników, ani nie powo­
duje żadnego zużycia energji elektr. (w przypadku
idealnym ). A jednak załączenie takiego odbiorni­
ka, (złożonego z oporu R = O i przeryw acza ro ta­
cyjnego), zużyw ającego praktycznie zaledwie kil­
kanaście watów, na sieć prądu stałego, będzie mieć
analogiczne skutki, jak załączenie cewki indukcyj­
nej o m ałem zużyciu watów na sieć prądu zmien­
nego. Zarówno tu, jak i w przypadku cewki, w y­
stąpi na końcówkach odbiornika napięcie U,
a przez elem ent ten będzie płynął prąd J. W obu
przypadkach więc sieci, zasilające owe odbiorniki,
m uszą dostarczyć iloczynu U. J i odpowiednio go
pokryć! — A cóż przedstaw ia ten iloczyn? Ośmie­
lam się twierdzić, że jest to właśnie moc urojona
(Blindleistung), zatem owa moc, której definicji
od lat 10-ciu poszukują bezskutecznie rzesze elek­
tryków wszystkich krajów . W idzimy ją nareszcie
bez żadnych „osłonek" i „przym ieszek" i... może
zrozumiemy w końcu, że moc urojona nie jest
w ogólności przywiązana do pulsowania energji
pola magnetycznego lub elektrycznego, jak nas
dotąd mylnie uczono.
Nie będę mnożył dalszych przykładów , już te
bowiem w ystarczą, aby przekonać:
1° Że nasze poglądy na spraw ę, dotyczącą
zmniejszenia )., są nader jednostronne. (W szyst­
kie przypadki staram y się usilnie lubo bezsku­
tecznie „wytłóm aczyć" pulsowaniem energji elek­
trycznej).
2° Że nasze wyobrażenia, dotyczące mocy
urojonej, k tó rą poczytujem y za wynik pulsowań
energji elektr., nie w ytrzym ują krytyki, popartej
doświadczeniem.
U przytom niw szy to sobie, zrozum iem y może,
że droga, którą szli dotąd w szyscy poszukiwacze
definicji mocy urojonej, a polegająca na przysto­
sowaniu pojęć i zależności znalezionych dla sinu­
soid do obwodów o przebiegach odkształconych,
jest drogą, wiodącą na manowce. J a k błędny ognik
na trzęsaw iska, tak w iodła nas na bezdroża te­
za praw dziw a i fascynująca, że każda jednow artościowa funkcja perjodyczna, da się rozłożyć
w edług F ouriera na szereg sinusoid i jedną w ar­
tość stałą. W niosek z tej tezy. w yrażający się
w mniemaniu, że sinusoidalna definicja mocy uro­
jonej musi się dać przystosować do obwodów
o przebiegach odkształconych, to w łaśnie owe bez­
droża, po których błąkali się dotąd wszyscy po­
szukiwacze ogólnych definicyj mocy. Spróbujm y
raz nareszcie zejść z tej drogi, która przez lat 10
gorączkowych poszukiw ań doprow adziła tylko do
chaosu pojęć i definicyj, i zacznijm y rzecz od po­
czątku, odrzucając wszystkie dotychczasowe ana­
lizy,
S pytajm y się więc najpierw o kw estję zasa­
dniczą, a mianowicie: Jaka przyczyna powoduje,
ogólnie zmniejszenie spółczynnika mocy ), do
wartości ). < 1? Na pytanie to daję odpowiedź
niezm iernie prostą: „Gdy iloraz funkcyj Ut i Jt
ma wartość stałą, niezmienną w czasie, musi być
). = 1, gdy iloraz ten jest jakąkolwiek funkcją
czasu ( oczywiście perjodyczną, bo Ut i J t są fu n k ­
cjami perjodycznemi), musi być /. < 1. Zatem
— 1, gdy
U,
=
R
J,
1. gdy
Ui
Jt
(U)
R,
R oznacza tu w artość stałą, niezależną od czasu,
Rt funkcję czasu, iloraz U,IJt ma przytem wym iar
oporu omowego, dlatego oznaczyliśm y go też lite­
rą R (symbol oporu omowego).
Czyniąc przegląd w naszych poprzednio opisa­
nych doświadczeniach, widzimy, że form alnie od­
pow iadają one w zupełności wzorom podanym pod
(11), N ależy tylko i przeryw acz rotacyjny tra k ­
tować także jako opór zmienny, bo wszak w chwi­
li otw arcia opór jego jest teoretycznie R = . o c (
a w chwili zam knięcia teoretycznie R = O.
Stosunki (11) w ynikają z nierówności Schw arz‘a
(8). Nierówność ta przejdzie w równanie, gdy
m iędzy funkcjam i
f [x) i g (x)
przedstaw ia moc rzeczyw istą odbiornika. R ów na­
nie to objaśnia zatem, że w przypadku, gdy jest
>. = 1, moc rzeczyw ista odbiornika w yraża się takiemi samemi wzorami, jak dla obwodu prądu
stałego, w którym przez opór omowy R przepływ a
prąd o natężeniu J. W artość tego oporu odpowia­
da tu, jak i w obwodzie prądu stałego, ilorazowi
napięcia i prądu odbiornika, jakkolw iek tu od­
biornik może się składać z dowolnej ilości dowol­
nie ze sobą połączonych elementów, a w przykła­
dowym obwodzie prądu stałego zaw iera tylko
opór R.
W przypadku, gdy
Ur
istnieje zależność
f (x) = K . g (x)
czyli, gdy f ( x ) i g ( x ) są wzglądem siebie wielo­
krotnościami (K w artość sta ła ). W tedy bowiem
otrzym am y
jest ). < 1, bo w tedy w edług (10) będzie
Jt
±
/
( U J ' , dt <
czyli
/ I f J r . dt
f U f . dt
r
UJ
( / f t o g M • dx \ — K- ( f g (x)2 . dx
lub
UJ
i c 1
Załóżmy, że w naszym obwodzie Ut I Ji = Rt',
możemy więc napisać
f f ( x ) ! . dx j g (x) - . dx = K- l [ g (x)2 dx
czyli
P = y f Utjt.dl =
i (x) g (x) . dx =
= ] / f f t o 2dx
' a
-\ff
V
g t o 2 • dx — K . f g (x)2 . dx
a
a
Na podstaw ie powyższego możemy
szych funkcyj U, J t i P t napisać: Gdy
dla n a ­
v:■
R, . J f . d t = P w = U
Równanie powyższe wskazuje, że gdy Ut / Ji —
— R t i gdy w skutek tego /, < 1, to wytworzenie
mocy rzeczyw istej P = P W wym aga większego ilo­
czynu UJ, aniżeli w przypadku, gdy Ut I Jt — R,
czyli, gdy >. = 1. W ynik ten możemy in terpreto­
wać w sposób następujący: D la danego Pw i J jest
według (7)
j,
w tedy moc, m ierzona watomierzem,
U =
?w
J.l
■ ■ .
.
.
■ (15)
D la danego Pw i U jest
P=
= V
Y
l
(=
T o
J =
i Ut 2- dt ■ ] / Y ( J ‘* d t = U J = R . J ’
W ynika stąd, że
* L
- u
=
p
( 12 )
j
co oznacza praktycznie, że gdy jest K = 1, to musi
zachodzić zależność
*
=l =
-
Funkcje Ut i J t p rzedstaw iają zmienne napię­
cie i zmienny p rąd naszego nieznanego odbiornika,
U i J odpow iadają w artościom skutecznym tych
funkcyj, czyli p rzedstaw iają napięcie i prąd, m ie­
rzone na odbiorniku przyrządam i cieplikowem i lub
elektrodynam icznem i. M ożemy zatem powiedzieć:
Spółczynnik mocy ). jest równy 1, czyli osiąga
maximum , gdy w k ażdej chwili prąd chwilowy
w odbiorniku jest proporcjonalny do chwilowego
napięcia odbiornika, czyli gdy funkcja J t jest wie­
lokrotnością funkcji U t. Jednakże P w rów naniu
P =
i f
T ó
U,J,.dt =
U . J = J '-.R
.
(14)
(16)
U l
Z (15) wynika, że przy danem P w i J napięcie za­
silania jest tem m niejsze, im większe jest / i osiąga
minimum przy >.= 1. Tę w artość oznaczymy sym­
bolem Uw i nazwiem y napięciem czynnem (W irkspannung) *),
Z (16) wynika, że przy danem Pw i U prąd
zasilania jest tem mniejszy, im większe jest
ż. i osiąga minimum przy i. = 1. Tę w artość ozna­
czymy symbolem J w i nazwiem y prądem czynnym
(W irkstrom ). Odpowiednio do takiej in terp retacji
możemy teraz położyć:
Uw =
Jw =
PJ
= U. \
. . . .
(17)
y 0 = J .l
(18)
*) Ś w ie t n e n ie m ie c k ie n a z w y W irk — B lin d — S c h e in
—
n ie
w
Spannung,
m ają
S tr o m s tä r k e ,
n ie s te ty
n in ie js z e j te o r ji. N a z w
użyć, bo
L e is tu n g ,
o d p o w ie d n ik ó w
d o s z e d łb y m
W id e r s ta n d
p r z y d a tn y c h
do
i
t.
d.
u ż y c ia
„ m o c n y " , „ b e z m o c n y " , n ie m o g ę
d a lej
do
m o cy m ocnej
m o c n e j i ty m p o d o b n y c h d z iw o lą g ó w .
i m ocy
bez-
W e wzorach tych CJW oznacza minimalne na­
pięcie, potrzebne do uzyskania mocy P w przy da­
nym prądzie J i >. = 1, a J w — minimalny prąd,
potrzebny do uzyskania mocy P w przy danem na­
pięciu U i >.= 1. Gdy iest X < 1, trzeba albo po­
większyć U w do U lub J w do J, przyczem musi być
U = Uw lub J
- ^¡L-
.
(19)
zarówno U i J.-tak,
aby
K
albo trzeba
było
powiększyć
).
.
.
.....................................(20 )
X
W myśl wzorów (17) w zględnie' (18) możemy
teraz uw ażać symbole Uw i J w za. skuteczne w ar­
tości następujących dwu funkcyj, pierwszorzędne­
go znaczenia dla naszej analizy:
UJ
=
dt =
PJ J t
........................... (21)
U
t ..............................(22)
~
Rzeczywiście bowiem z pierwszej (21) wynika
podana pod (17) w artość U w
Uw = i / 1 f Uw-t . d i = pf i / l f j f . di =
V
T 6
J* V T 6
a z drugiej (22) podana pod (18) w artość J w
J w= ] / — f J J t . di =
V
Tó
Pw] / — f U f . dt
U- V T ó
U w ażając funkcję Uwt za
napięcia Ut, możemy położyć:
jt =
u w, f
*w
Ut = Jwt
= Pw
U
funkcji
-
U2
,
* w
otrzym am y jeszcze następujące dwie równości
f Ubtjt . d t = - £ - f Ubt Uwt . dt —
O
Pw 0
0
f Ut Jbt • dt = - Y - [Jbt J w t . dt = 0
0
Pw O
skąd w ynikają rów nania
r
[ Uwt Ubt . dt = 0
Ór
. . . . .
(27)
f Jwt Jbt ■dt = 0
ó
Podnieśm y teraz równania (23) i (24) do kw a­
dratu i scalkujm y je, to w związku z powyższem
(27) otrzym am y
Uf =
Uwt +
Ubt +
2 Uwt Ubt
UU,-.
dt = 1 f UJ,. * + 1 J u i . 4 t + l f UW,UU
.dl
lo
16
1 O
1 o
U"- =
U b t ............................(23)
Ut = Uwt
U„t = U t
składową
J
.......................... (25)
0
f Ut Jbt . dt — 0 .......................... (26)
ó
Podstaw iając w ostatnich dwu równaniach z (21)
względnie z (22)
—
Uwt —
Jwt =
f Ubt Jt
0
Uw2 - f U f
. . . .
(28)
J f — Jwi -j- Jbt -(- 2 Jwt Jbt
y _ Jt
Podobnie, trak tu jąc J wt jako składową fu n k ­
cji prądu łt , położymy
-- f J f . d t — — f J J t . d t-\- _ f Ji) ■dt +
1o
1 o
lb
—
[Jw tJb i-dt
1 o
J 2 — Jw' -f- J b " .......................... (29)
Jt = Jwt -f- J b t ........................ (24
przyczem
A = h -
%
U,
Podstaw m y te składow e w równanie na moc
(5); otrzym am y w tedy
Y
[ UtJ t . d t = Y
1 ó
f U w J l . d t + Y - f Ubtjt ■ d t = P w
16
1 o
~~ [ U t J t . dt = 4 - i Ut Jwt ■dt + Y f Ut Jbt .d t = Pw
To
Tp
To
Ponieważ zaś po podstaw ieniu
w edług (21) w ypada
1
t
i
t
w artości za U wt
p
,-L f UwtJt d t =
f 7 J f .d t = Pw
T 6
T o Ji analogicznie, po podstaw ieniu w artości za J wt,
w edług (22)
~ fU,J.,.dt = ± f r
Uf . i t =
I b
1 V U2
P.
przeto w poprzednich rów naniach na moc musi być
O statnie, nader w ażne wyniki, w skazują, że
rozkład funkcji Ut na składow e Uwt i Ubt prow a­
dzi do kwadratowego równania napięć, obowiązu­
jącego dla wartości skutecznych tych funkcyj (28).
P rzy takim rozkładzie Ut funkcja Pt rozpada się
także na dwie funkcje składow e
Pt =
przyczem
Uwt Jt
~\~
Ubt Jt
= Pw, “I- Pbt
• . (30)
± f P j t . dt = ~ f UwtJt . d t j j p w
. (31)
1 o
* 1 6
czyli w artość średnia składow ej P j, odpow iada
mocy rzeczyw istej P w, a całka, obliczona dla dru­
giej składow ej Pbt daje zero:
[ p ’b l . d t = 0
T
o
. . . .
(32)
R ozkład funkcji J t na dwie składow e J wt
i Jbt prow adzi do kwadratowego równania prą­
dów, obowiązującego dla wartości skutecznych
tych funkcyj. P rzy takim rozkładzie J t funkcja Pt
rozpada się także na dwie składow e funkcje
Pt — U tJ wi -j- U,Jbt — Pwt -f- P[\
■ , (33)
8
przyczem
1
f P l i . dt
Ut Jwt ■dt — P a
T 6
T 6
czyli odpow iada mocy rzeczyw istej Pw, a
(34)
7
f p{\ . d t = 0
(35)
Z kw adratow ych rów nań napięć i prądów (28)
i (29) wynika odrazu dawno poszukiwane i nigdzie
dotąd nie znalezione kwadratowe równanie mocy:
U*. J> = ( U„' + U y )./*■==' U- [ U -!- J y )
P S = P ty 4 - P y
. . . .
(36)
Ma ono identyczną postać jak dla obwodów
sinusoidalnych i jak dla sinusoid obowiązują i tu
zależności:
p w = U . J w — UW. J . . . . (37)
P b — U . J b — Ub . J .
.
.
-
(38)
Nowo otrzym aną wielkość Pb nazwiem y na
razie form alnie mocą urojoną lub lepiej bierną.
W idzim y tu, że wielkość ta jest analogicznym ilo­
czynem skutecznych w artości napięcia i prądu, jak
moc rzeczyw ista (czynna) P w. Nie wchodząc na
razie bliżej w omówienie znaczenia Pb nazwiem y
Ub napięciem biernem a Jb prądem biernym. Dla
wielkości tych obow iązują wzory:
Ub =
................................(39)
—
J
Jb =
•
...............................(40)
Zanim objaśnim y fizykalne znaczenie otrzy­
m anych tu po raz pierw szy kw adratow ych rów nań
napięć (28), prądów (29), mocy (36) i t. d., wróci­
my jeszcze do naszej funkcji R,. Podstaw iając we
wzorze na /?/ (11) Ut — Uwl - f Ubl i uw zględnia­
jąc zależności (21) i (17), napiszem y
n
*'
Ut
-
Uwt -|- Ubt
j,
Uw
~ T ~ ~
Ubt _
Ubt
,
J
Pw |
rp
Ru
j
Ubi ___
+
+
Jt
„
J t = Jwt + Jbt
1
= Gt
Jt
Jwt ~ł~ Jbt _
U, _
Ut
Jw I
— +
Pw
~
U*
f P i . dt = 0
(45)
f G " . U r . dt — f PU . dt = 0
o
o
prow adzą do zera.
(46)
f Rbt ■J r ■dt =
Gdy R i = O, musi być także P w — O, czyli
moc rzeczyw ista P w zależy jedynie od składnika
R i funkcji Rt w (41). Analogicznie, gdy Gw — O,
musi być także P w = O, czyli moc rzeczyw ista
P w zależy jedynie od składnika Gw funkcji Gt
w (42). W idać stąd, że gdy funkcja Rt względnie
jej odwrotność Gt nie zaw iera składnika nieza­
leżnego od czasu (R! względnie Gw1), to w ytw a­
rzanie mocy rzeczyw istej P w przy danej funkcji
napięcia Ut i prądzie Jt jest niemożliwe. W ypadek
taki zachodzi nietylko przy załączeniu na dowolne
napięcie perjodyczne
j
idealnej cew ki induk­
i
>
cyjnej lub idealnego
kon d en sato ra
lecz
//
p r_
uw
f i*
I
U\A/
f*
także przy zastoso­
w aniu idealnego prze
u
ryw acza perjodycznego
(dośw iadczenie
6-te).
Uk
R[bi t
Fizykalne znacze­
nie znalezionych po­
przednio
w yników
^ ys 3
zrozum iem y
łatw o,
gdy uw zględnim y znaczenie wzorów
Rt = R i + Rb,
Gt = Gw
Gy
Pierw szy z tych wzorów w skazuje, że nasz
nieznany odbiornik może być zastąpiony przez
dwie części połączone ze sobą szeregowo (rys. 3).
Drugi ze wzorów poucza, że nasz nieznany od­
biornik może być zastąpiony przez dwie części po­
łączone ze sobą równolegle (rys. 4).
i<t
otrzym am y, w myśl (22) i (18)
Rt
Drugie ze składników stanow ią funkcje czasu Rb!
(funkcja oporu omowego) względnie Gil (funkcja
przewodności) tego rodzaju, że w równaniach
)
_
^
P odstaw iając zaś we wzorze na
Jed en z tych składników 7?J względnie Gw
ma w artość stałą, zależną jedynie od mocy rz e ­
czywistej Pw i prądu J , względnie od P w i napię­
cia U, zasilających odbiornik:
U
D i
*P W
^ W
( a
R w = .~ — =
J”* J
!I
Pw
Jw
(44)
w ~ U- ~ u~
' ' '
u J bl
' U,
Ju = G „" +
Ut
R ozkład funkcji napięcia Ut na składow e Uwi
i Ubt pociąga więc za sobą rozpadnięcie się funkcji
R t na dwa składniki
Rt = R J + R u 1 . . . .
(41)
R ozkład funkcji
prądu Jt
na składow e J wt
i Jbt pow oduje rozpadnięcie się funkcji Gt —
D
Kt
na dwa składniki
Gt =
Gw11
Gbtn
(42)
R y s. 4.
(43)
Zacieniowane
składow e
R i i R,
ii
1
Gw
odbiornika zachow ują się taksamo. jak stałe, dla
danego P w, opory omowe
P j wzgl. Rw — > '; j
\
W
One to zużyw ają w całości doprow adzoną energję elektryczną (do odbiornika). Niezacieniowane
części
składow e
Ry
i R b!=
TŻTi~ odbiornika,
yrbt
p rzedstaw iają elem enty obwodu, dla których energja elektryczna, obliczona dla okresu T równa się
zeru (45 i 46), czyli te, które albo wogóle nie po­
bierają żadnej energji, albo też pobieraną w pe­
wnych częściach okresu T energję elektr. zw raca­
ją następnie w innych częściach tych samych okre­
sów, z powrotem do obwodu. Nieznany nasz od­
biornik składa się zatem w równoważnych uk ła­
dach zastępczych z dwu szeregowo lub równolegle
połączonych elementów,
zupełnie odmiennego
u stro ju wewnętrznego. Elem enty zacieniowane. po­
bierające energję elektr. z obwodu i zam ieniające
ją na inną formę, nazwiem y czynnemi (W irkbestandteile), elem enty niezacieniowane, nie pobiera­
jące żadnej energji lub spraw iające tylko niejako
przechowanie energji elektr., bez żadnego pożytku
dla odbiornika, nazwiem y biernemi (Blindbestandteile). K a żd y odbiornik załączony w obwód o do­
wolnych przebiegach perjodycznych napięcia ( U1)
i prądu (Jt ), da się zastąpić (w rozważaniach)
dwoma elementami składowemi, połączonemi sze­
regowo lub równolegle. Jeden z tych elementów
(czy n n y ) działa jak opór o stałej, dla danej mocy
P w i danych U i J , wartości R, drugi (bierny) dzia­
ła jak opór zmieniający się (perjodycznie) w taki
sposób, że albo nie pobiera energji w żadnej chwi­
li, albo też, że praca elektr., zużyta w ciągu jedne­
go okresu T do jego zasilania, równa się zeru (pul­
sowanie energji).
U kłady na rys. 3 i 4 tłum aczą jasno cały sze­
reg wniosków, które w yprow adziliśm y poprzednio.
Z układu szeregowego wynika n. p., że obecność
elem entu biernego przy danem J zniew ala do za­
silania odbiornika napięciem U > Uw bo U —
= i Uw- J- U . U kład równoległy poucza, że zasi­
lanie odbiornika, posiadającego elem ent bierny,
zniew ala przy danem napięciu U do podwyższenia
n
p rądu z w artości J w, koniecznej dla R W 1 do J > J u
bo J — i) 7J w~ -j- Jb". Nie znafąc składu odbiornika,
powiemy ogólnie, że obecność w nim elem entu lub
elem entów biernych zniew ala
do zasilania przy
iloczynie U J większym od P w, bo UJ = }/P w2 + Pb~
a P w < U J. W idzim y tu konieczność uw zględnie­
nia wielkości Pb tak samo, jak w obwodach sinusoi­
dalnych. a ponieważ wielkość ta stoi w takim sa­
mym związku z mocą P w i iloczynem U J , j ak w ob­
w odach sinusoidalnych, przeto upraw nieni jesteśm y
do nazw ania jej (już definitywnie) mocą urojoną
lub lepiej bierną (Blindleistung).
Z kw adratow ego rów nania napięć (28) wyni­
ka, że napięcia Uw i Uh na elementach szerego­
wych w układzie ( rys. 3) dodają się geometrycznie,
pod kątem prostym jak w obwodach sinusoidal­
nych.
Z kw adratow ego rów nania prądów (29) wyni­
ka, że w układzie równoległym na rys. 4, prądy
Jw i Jb dodają się geometrycznie, pod kątem pro­
stym (jak w obwodach sinusoidalnych).
Z asady te, geometrycznego składania napięć
i prądów , obowiązują praktycznie także w rzeczywistych układach szeregowych i równoległych, gdy
układy te złożym y z elem entów czynnych (stałe
opory omowe) i biernych (cewki, kondensatory,
przeryw acze),
Dotychczas uw ażaliśm y za elem enty bierne je­
dynie cewkę indukcyjną (bezopcrową) i konden­
sator (bez s tr a t) . W obec powyższego musimy za ta­
ki elem ent uw ażać także każdy przeryw acz perjodyczny, a ogólnie każdy element, który nie zużyw a
energji elektrycznej a w ykazuje na swych końców­
kach skuteczne wartości napięcia i prądu, różne od
zera, czyli dla którego moc bierna Pb jest różna
od zera. Obecność takiego elem entu nawet w sieci
prądu stałego musi spowodować takie same skutki,
odnośnie do mocy, ‘spółczynnika mocy i t. d., jak
w obwodzie sinusoidalnym włączenie cewki induk­
cyj nej lub kondensatora.
Z dociekań naszych wynika, że także w obwo­
dach „prądów stałych“ napięcie na szeregowym
układzie elem entów czynnego i biernego n. p. prze­
ryw acza perjodycznego i oporu omowego, odpowia­
da sumie geometrycznej poszczególnych napięć na
tych elem entach, a nie sumie algebraicznej (jakby
się nam zdaw ało). Analogicznie, prąd całkow ity,
doprowadzony do dwu elementów, czynnego i bier­
nego, (więc n. p. oporu i przeryw acza perjodyczne­
go), połączonych równolegle, odpow iada także
w obwodach „prądów stałych“ sumie geometrycz­
nej, a nie algebraicznej (jakby się nam zdaw ało),
poszczególnych prądów w tych elem entach. Gdy
elem ent czynny ma ściśle R — const, a elem ent
bierny nie pobiera żadnej mocy rzeczyw istej, (jak
być powinno, ze względu na definicje), geome­
tryczne sumy napięć względnie prądów , d a ją tró j­
k ąty prostokątne, czem się jeszcze bliżej zajm iem y.
Zasilanie n. p. prądem induktora z sieci prądu
stałego, przy zastosowaniu przeryw acza, celem wy­
tworzenia wysokich napięć, koniecznych do uru ­
chomienia ru r Roentgenowskich, wym aga według
naszej teorji znacznie większego prądu, przy da­
nem napięciu sieci U, niż w ypadłoby z prostego,
lecz mylnie przeprowadzonego obliczenia, uwzglę­
dniającego jedynie moc rzeczyw istą Pw i stałe na­
pięcie U. G dy n. p. urządzenie takie o mocy 10 kW
wymaga przy napięciu 200 V źródła prądu stałego,
natężenia prądu o w artości 50 A, mierzonego am­
perom ierzem Deprez, am perom ierz cieplikowy mu­
si w skazać znacznie więcej, n. p. 71 A. Przy
U = const. woltomierz D eprez i cieplikowy, w ska­
zują jednakowo 200 V, a watom ierz 10 000 W . M a­
my tu zatem w myśl naszej teorji,
■ =
=
UJ
J O 000 _
200 . 71
i jakkolw iek wskazanie am perom ierza Deprez od­
pow iada ilorazowi
Pw =
10 000
50 A,
Jo
U
~
200
należy przew ody zasilające obliczyć dla 71 A,
a nie dla 50 A. Obliczone dla 50 A będą za sła­
be. Rów nież moc m aszyny p rąd u stałego, koniecz-
10
nej do zasilania owego urządzenia Roentgenowskiego, musi wynosić nie 10 kW , tylko
czyli trzeba zainstalow ać maszynę, obliczoną na
około 15 kW .
W idzimy, że, uskuteczniając pom iary jedynie
woltom ierzem i am perom ierzem D eprez i watomierzem, popełnilibyśm y szereg błędów, jakkolwiek
wskazanie w atom ierza odpow iada w zupełności ilo­
czynowi w skazań w oltom ierza i am perom ierza D e­
prez.
N asza analiza poucza zatem. , że zagadnienia,
z jakiem i m am y do czynienia w obwodach sinusoi­
dalnych (zmniejszenie k z powodu przesunięcia fa­
zowego), istnieją także w obwodach o przebiegach
odkształconych.
W omawianem n. p. urządzeniu Roentgenówskiem, jest:
uioc pozorna P s = 14,2 kVA, moc rzeczyw ista
P w = 10 kW , a moc urojona Pb = — 10,08 kV ar
[Pr- = p w2 + P b 2)Na powyższym przykładzie (instalacja Roentgenowska) widzimy dobitnie, że naw et elektrow nie
prądu stałego mogą mieć analogiczne trudności
z odbiorcami, którzy stosują przeryw acze perjodyczne, jak elektrow nie prądu zmiennego z od­
biorcami. stosującym i cewki indukcyjne. (Taryfi­
k acja z uwzględnieniem k < 1, przekrój przewo­
dów, moc zainstalow anych m aszyn czy akum ulato­
rów i t. p.). W prow adzenie funkcji Ri = Ut ' Jt
um ożliwia orjentację ogólną w przpadkach, które'
dotąd w interpretacji sinusoidalnej były poprostu
niezrozum iałe. (Łuk na prądzie zmiennym, wpływ
na w artość /. przeryw aczy perjodycznych, zmien­
nych oporów i t. p.).
W róćm y jednak do naszych rozw ażań i zba­
dajm y, co oznaczają iloczyny skutecznych w ar­
tości napięć i prądów
P s = UJ
P w = UWJ =
Pb = UbJ =
UJW
UJb
dla naszych układów na rys. 3 i 4.
W iloczynie U J odpow iada U napięciu a J
prądow i zasilania całego odbiornika, iloczyny
UWJ i U j w stosują się do jego części czynnej,
a iloczyny U b J i UJb do jego części biernej.
Z uwagi na zależności powyższe, otrzym ane w po­
przednich rozw ażaniach, możemy przeto podać na­
stępujące ogólne definicje mocy:
Iloczyn skutecznych w artości napięcia i prądu
zasilania odpow iada mocy pozornej odbiornika
(P, = UJ).
Iloczyn skutecznych wartości- napięcia i prądu
części czynnej odpow iada mocy rzeczywistej od­
biornika [Pw = UwJ = UJw).
Iloczyn skutecznych w artości napięcia i prądu
części biernej odpow iada mocy urojonej odbiornika
(P 4 = Ub J — UJb ).
Definicje powyższe nie zawierają wcale sa­
mych przebiegów (lu n k c yj czasu), znaczy to, że
*q od nich zupełnie niezależne.
M ierząc w obwodzie, zaw ierającym dwa ele­
menty, jeden — czynny, drugi — bierny, napięcia
i prądy tych elem entów woltom ierzam i i am pero­
m ierzam i cieplikowemu, potrafim y określić w artości
w szystkich powyższych trzech mocy oraz spółczynnika mocy >, bez uciekania się do pomocy watom ie­
rza, oraz bez analizy krzyw ych prądów i napięć,
równie łatw o i prosto, jak przy sinusoidalnych
prądach i napięciach. W yniku tego, nader w ażne­
go teoretycznie i praktycznie, nie przew idyw ał do­
tąd żaden z elektryków , analizujących obwody
0 przebiegach odkształconych przy pomocy szere­
gów Fouriera. W ynik ten w yjaśnia jednakże odrazu znaczenie znalezionych poprzednio wzorów
1 wielkości, i tak;
G dy U i J przedstaw iają skuteczne w artości
napięcia i prądu zasilania naszego nieznanego od­
biornika, a P w — jego moc rzeczyw istą, to J w i Jb
możemy traktow ać jako skuteczne w artości składo­
w ych funkcyj prądu J wt i J bi- Składow a J wi za­
łatw ia tu niejako (przy danem Ut ) doprow adze­
nie zużywanej w odbiorniku energji, czyli przed­
staw ia pracującą, czynną część prądu J,. Składo­
w a zaś Jbt zachow uje się, odnośnie do pracy od­
biornika. obojętnie, biernie, czyli przedstaw ia nie­
pracującą, bierną część prądu J i.
1L n atury w artości skutecznych wynika, że
trzeba je dodawać geom etrycznie; otrzym aliśm y
też rów nanie
r- = u
+
ju
Analogicznie powiemy: G dy U i J przedsta­
w iają skuteczne w artości napięcia i prądu zasila­
nia naszego nieznanego odbiornika, a P w jego moc
rzeczywistą, to Uw i Ub możemy traktow ać, jako
skuteczne w artości składow ych funkcyj napięcia
Uwt i Ubt. Składow a Uwi załatw ia tu niejako
(przy danem J i ) doprow adzenie zużywanej w. od­
biorniku energji, czyli przedstaw ia pracującą,
czynną część napięcia Ut. Składow a Ubt zachowu­
je się, względem pracy odbiornika obojętnie, bier­
nie, czyli przedstaw ia niepracującą, bierną część
napięcia U‘
Z n a tu ry w artości skutecznych wynika, że
trzeba je dodawać geometrycznie, otrzym aliśm y też
równanie
£7* = Uw * 4 - Ub '2
Jakkolw iek bierna część prądu zasilającego [ J b )
nie pracuje, to jednak nie możemy jej ignorować,
bo przecież jest w obwodzie i na równi z czynną
częścią J w pow oduje obciążenie prądem maszyn,
przew odów i t. p. ze wszystkiem i ujem nem i skutka­
mi tegoż.
Nie możemy także zignorować i biernej części
napięcia zasilającego [Ub ), to również ujawnia się
w obwodzie i musi być wytw orzona narówni
z czynną częścią Uw.
Zasilanie odbiornika przy >. < 1 wym aga więc
przy danem U w ytw orzenia dwu składow ych J w
i J b , w zględnie przy danem J dwu składowych
U w i Ub, czyli zniew ala do w ytw orzenia obok mo­
cy P w jeszcze mocy Pb, przyczem
Pw- + Pb2 - ( u j r - = p s=
Oczywiście, w yjaśnienie powyższe przedstaw ia
tylko praktyczne (poglądowe) ujęcie, spraw y. Nie­
mniej jednak poucza cno, że wielkość Pb, nazwana
mocą urojoną, określona jest jedynie iloczynem
skutecznej wartości prądu i napięcia elementu bier­
nego i że wielkość ta niema nic wspólnego z prze-
11
biegiem k rzyw ej mocy urojonej Pbt i Pbt- Bo, po
pierwsze, są to dwie zupełnie różne krzyw e
Pbt = P, — P lt == U t j t - UwłJt == Ui Jt —
Jr
K onstrukcje te przedstaw iają podobne trójką­
ty prostokątne o jednakow ym kącie o, którego cosinus równa się spółczynnikowi mocy
PJ W
.
iP W
).
=
CO S o
=
=
Ps
Pl, - p , -
P “t = U t j i -
U ,J W, = U ,J, -
*
Ur
a następnie nieznany nasz odbiornik nieko­
niecznie musi mieć układ szeregowy, czy równole­
gły, rys. 3 i 4, tylko może się składać z dowolnej
liczby, dowolnie ze sobą skombinowanych elem en­
tów elektrycznych
(motory, cewki, przerywacze,
naw et źródła prądu i t. p.). W reszcie, do danych
w artości skutecznych U, J ,
a temsamem do okre­
ślonych temi trzem a wielkościami w artości Uw, Ub,
Jw. Jb, Pw, Pb, P s można dobrać nieskończenie
wiele różnych ( perjodycznych) przebiegów, U, i J ,
przy których wszystkie te wartości będą identyczne
N iepotrzebnie więc wysilano się w ciągu lat 10-ciu
na poszukiwanie definicji mocy urojonej opartej na
analizie funkcyj Ut i J, z pomocą szeregów Fou­
riera, gdyż wielkość ta Pb zależy jedynie i wyłącz­
nie tylko od skutecznych wartości napięcia bierne­
go L b i prądu zasilania J (Pb = Ub J ), względnie
od skutecznych wartości napięcia zasilania U i prą­
du biernego Jb (Pb — UJb) , co na jedno wychodzi.
Oczywiście, że gdy funkcja Pbt lub Pbt jest
różna od zera, można „szukać" zależności między
Pb a „energją pulsującą", k tórą ogólnie możnaby
ująć wzorem:
Wp —
1 f PbĄ. dt
4 6
Oznaczenie Pbt | m a tu wskazywać, że całkow a­
nie na okres T trzeba wykonać dla „sprostow anej"
krzyw ej Pbt - Dla sinusoidalnych przebiegów jest
1
iT i p bl\ i d t = P,
, WP =
4 0
“>
Różni autorzy „zahypnotyzowani" tym związ­
kiem, kierowali wszystkie wysiłki ku temu, aby od­
kryć „analogiczne" związki m iędzy „energją pul­
sującą" i mocą urojoną (Pb) także w obwodach nie­
sinusoidalnych, Usiłow ania te unicestwia dośw iad­
czenie 6-te i wynik naszej analizy, k tóra wyraża,
że ogólna zależność Pt, od W P istnieć nie może, bo
są możliwe do pom yślenia i zrealizowania przypad­
ki, gdzie Pbt = 0, a Pb =1= 0.
A nalogje m iędzy wielkościami, znalezionemi
tu dla obwodów o przebiegach odkształconych,
a wielkościami, wyprowadzonem i ogólnie dla obwo­
dów sinusoidalnych, sięgają je ­
dnak znacznie dalej, niż to wyUb kazahśm y poprzednio. Z rów nań
kw adratow ych napięć, prądów
i mocy w ynikają konstrukcje na
rys. 5, 6 i 7.
Oto więc znaleźliśm y kąt, o który pytaliśm y
na wstępie. Ze zdumieniem stw ierdzam y, że jest
on tu tak samo określony, jak w obwodach dla p rą ­
dów sinusoidalnych. Różnica jest ta tylko, że tu
'■? nie oznacza oczywiście żadnego przesunięcia fa­
zowego. tylko kąt w prostokątnych trójkątach mo­
cy, napięć, prądów, a jak zobaczymy, także opo­
rów, względnie przewodności.
Możemy przeto
położyć
). = cos t? = l w
i analogicznie do tego
sin cp = )/ 1 —
k2
=
ł-u>~ — Kb .
/i
(47)
).w oznacza tu spół czynnik mocy czynnej, t-b spółczynnik mocy biernej.
Z poprzednich zależności w ynikają wzory na
stępujące:
Uw
U , ).w , Ub
U . t-b , Jw — J . t-w , Jb
J . bb
Uw
’ , Pb — Ps ■>b, Pw =
II
Jw
U
J
Oznaczając
U
¿\u;
_ _
J
Ub
— Rs
'-w;
Rs
Rb
t-b
J
otrzym am y
(48)
R s 2 = (RwY + (i?(r-
i analogicznie dla
J =
u
G% = Gs
>.w
Gs -
]b
,
=
G,
U
( G " y + ( G i 'y
r*n
Ib --- LTb
■ ■ ■ (49)
Z ostatnich dwu równań kw adratow ych (48
i 49) w ynikają tró jk ąty prostokątne oporów i prze­
wodności, przedstaw ione na rys. 8 i 9.
Rys 8.
Pom iędzy wartościam i R'w i G J! oraz Rb i G j
m amy następujące zależności
R'w - G " == }.„2
Rb . Gb
.......................... (50)
. . . .
W
(51)
Zgodnie z powyższem możemy w końcu położyć
lw — %=
R y ;. 6
UJ
CO S '■? :
Pw
UW
Ps ~
U
Ją
J
R'w
G'J
~ Rs ~ Gs
)-b — 1 1 —
= sin ?
Pb __ Ub _ ' h
Ps
u
J
_ R l t_
Rs
Gb
(52)
53 )
Jednakże wszystkie powyższe zależności obowią­
zu ją przecież dla sinusoidalnych obwodów. Cóż za­
tem ? Oto teorja nasza doprow adziła do wyniku, że
co do łych zależności i konstrukcyj ( trójkątów), to
pomiędzy obwodami o przebiegach sinusoidalnych
i odkształconych niema żadnej różnicy. Oczywiście
należy uwzględnić, że w obwodach sinusoidalnych
wielkości P s Pw Pb, U Uw Ub, J J w Jb, Ps R i
Rb, Gs G " Gb, oraz i.w — cos cp i >,b = sin <f>
dadzą się w yrazić jeszcze dalszem i szczegółowemi
wzorami. Tak n. p.
oznacza prócz k ą ta w tró jk ą ­
tach mocy, napięć, prądów, oporów i przewodności,
jeszcze także przesunięcie fazowe m iędzy sinusoidą
napięcia i prądu zasilającego, moc urojona Pb
rów na się jeszcze am plitudzie sinusoidy mocy bier­
nej,
Rb =
^
a
prócz
tego
jeszcze
Rb =
— t /Cm odbiornika w sinusoidalnym
układzie i t. p. W szystkie te dalsze zależności na­
leży jednak traktow ać jako szczególne w przeciw ­
staw ieniu do podanych w pracy niniejszej zw iąz­
ków ogólnych, ważnych dla dowolnych perjodycznych przebiegów napięcia zasilającego i prądu za­
silającego nasz nieznany nam bliżej odbiornik.
O trzym ane tu wyniki, nader ważne nietylko
teoretycznie, lecz także i praktycznie, w skazują, że
usiłow ania innych autorów, którzy z pomocą sze­
regów F ouriera lub innych m etod analizy starali
się ustalić inne od naszej definicje mocy urojonej
i udowodnić, że kw adratow e równanie mocy
P s2 =
Pw2 + Pb"
obowiązuje tylko dla prądów sinusoidalnych, w pro­
w adziły jedynie chaos w definicjach mocy. W ukła­
dach 2-przewodow ych niema ani celu ani potrzeby
w prow adzania innych definicyj mocy od tych, któ­
re zdaw na obowiązują dla przebiegów sinusoidal­
nych, należy tylko te ostatnie popraw ić w duchu
poprzednich rozw ażań, czyli odpowiednio do na­
stępującego schem atu:
Je że li Ut oznacza perjodyczną funkcję napię­
cia (więc także sinusoidę), a Jt perjodyczną funk­
cję p rąd u (więc także sinusoidę) zasilania, to
Pu, = - J
f
U, J, . dt =
/
P, . dt
Moc rzeczyw istą Pw możemy zmierzyć watomierzem (pomiar) lub obliczyć przez całkow anie iloczy­
nu Ut J t , albo wreszcie ustalić z pomocą planim e­
tru po wyznaczeniu krzyw ej
Pt =
U tjt
(metoda w ykreślna).
N astępnie możemy zm ierzyć (woltomierzem ciepli­
kowym lub elektrodynam icznym ) skuteczną w ar­
tość napięcia zasilającego U, lub obliczyć ją we­
dług wzoru
jh
u
= ]V / t1
oi
u,' - di
* albo w reszcie znaleźć tę w artość wykreślnie zapomocą planim etru.
Analogicznie możemy zmierzyć (am perom ie­
rzem cieplikowym lub elektrodynam icznym ) sku­
teczną w artość prądu zasilającego J , lub obliczyć
ją według wzoru
a także znaleźć tę w artość wykreślnie zapomocą
planim etru.
G dy ustalone są w ten sposób główne trzy
w artości U, J, P w, obliczamy dalsze jak następuje:
Moc pozorna P s = U . J
Moc urojona (bierna) P b = \ P s2 — Pw2
Pw
Pw
Spółczynnik mocy X =•■
U .J
Ps
M ając spółczynnik mocy X, możemy jeszcze obli­
czyć
Spółczynnik mocy biernej
= ] 1 — /.= , a n a­
stępnie
Napięcie czynne Uw = U . >.
Napięcie bierne Ub — U . Ib
Prąd czynny
Jw = J . X
Prąd bierny
Jb — J ■ U
i spraw dzić, że dla wszelkich przebiegów perjodycznych Ut i Jt obow iązują kw adratow e rów nania:
Ps2 = Pw- - I Pb2,
Z
U == u * +
poprzednich
w artości
Ub2,
J 2.==Jw2 -V Jb2
obliczymy
Ru, Rt, R s tudzież przew odności Gj ,
opory
Gb Gs w myśl
wzorów poprzednio podanych. Oczywiście oporów
tych ani przew odności nie możemy ogólnie inter­
pretować, tak, jak w obwodach sinusoidalnych.
P rzy odkształconych przebiegach napięcia i prądu
pojem ność nie może w zupełności skompensować
indukcyjncści ani w szeregowym ani w rów nole­
głym układzie idealnego kondensatora i cewki in­
dukcyjnej. Ogólnie więc zatraca się pojęcie do­
datniej i ujem nej mocy urojonej (Pb) wprowadzone
w obwodach sinusoidalnych [-(- Pb dla indukcyj­
nego obciążenia, — Pb dla obciążenia pojemnościo­
wego, odpowiednio do wzoru Pb--J~ (¿ w — 1/Cw)].
Niemniej jednak i w obwodach odkształconych
możliwa jest kom pensacja mocy Pb- W arunek ta ­
kiej kom pensacji ujm ują ogólnie zależności
Rt — Rit
Rn — {Rwi ~\~Rw2) -j- (Rbir~\~Rb2t}
.
(54)
dla dwu szeregowo połączonych odbiorników o opo­
rach R u i R;t, względnie zależności
Gt = Gu - r G2, = | Gwl + Gw2) + (Gn, + Gba) . (55)
dla dwu równolegle połączonych odbiorników
o przew odnościach Gi,% i G2t . G dy w (54)
Rbit -jr Rb2t — 0, albo gdy w (55) Gbu -H Gbzt — 0,
zespół szeregowo względnie równolegle połączo­
nych odbiorników nie w ytw arza wcale mocy bier­
nej, jakkolw iek każdy z nich zosobna ma swą w ła­
sną moc bierną. M amy tu tedy zupełną kom pensa­
cję mocy biernej (Pb). Oczywiście możliwa jest
także kom pensacja częściowa Pb- W artość w ypad­
kowej mocy biernej układu szeregowego lub równoległego zależy więc, jak widać, znów od funkcji
Rbt a w prow adzenie jakichś elektrycznych i ma­
gnetycznych spółczynników mocy, proponowane
przez M üller-Lübecka w cytowanej poprzednio roz­
praw ie (Forschung u. Technik 1930) jest n ajzupeł­
niej zbędne.
W ypada tu załatw ić jeszcze jedną kw estję,
postawioną fałszywie od początku rozw oju teorji
prądów zmiennych, a mianowicie spraw ę t. zw.
13
energji pulsującej. I w naszej teorji otrzym aliśm y
funkcje
T
I
I
Pbt — Ubt ■Jt, przyczem f Pbt . dł — 0
0
T
f P[lt . dt = 0
Pbl = Ut . Jbt , przyczem
W idzimy tedy, że rozkład funkcji Pt, to na­
sze dzieło, nie m ające nic do czynienia z realnym,
fizykalnym stanem rzeczy. Sinusoidy składow e
mocy Pi nie istnieją woale, to my stw orzyliśm y je,
celem ,,objaśnienia" zjaw iska i ułatw ienia sobie
ó
które zd ają się wskazywać na ..pulsowanie energji
elektrycznej" w elem entach obwodu, nazwanych tu
biernemi. Z drugiej strony doświadczenie 6-te pou­
cza, że moc urojona ujaw nia się bez jakiegokolwiek
pulsowania energji w elemencie biernym. Cóż za­
tem ? Otóż należy uprzytom nić sobie, że utw orzo­
ne tu i w
obwodach sinusoidalnych wielkości
U, J, P w, Pb, Ps są jedynie tworami naszego m óz­
gu. Realność fizykalną m ają tylko chwilowe w ar­
tości napięć, prądów i mocy. To samo dotyczy tak­
że owej ,,energji pulsującej", Energja ta pulsuje
przeważnie tylko w naszych głowach, a nie w ob­
wodzie! B adając nieznany odbiornik, stw ierdzam y
jedynie, że jego moc chwilowa zmienia się według
funkcji Pi — UiJ, i nic ponadto (rys, 10),
analizy. Nie widzę powodu, dlaczego analogiczny
rozkład nie mógłby być przeprow adzony także na
dowolnej funkcji perjodycznej, jak to uskuteczni­
łem poprzednio. N ależy tylko strzec się błędnego
łączenia mocy. biernej P t z energją pulsującą.
Nałóżm y na prąd sinusoidalny na rys. 11 prąd
stały (rys. 12). Pulsow ania energji m iędzy odbior­
nikiem i źródłem niema teraz wcale. Cóż zatem
poczniemy tu z funkcją P, ? Czy i tu mamy rozło­
żyć ją na składow e sinusoidy mocy i jedną moc sta ­
łą? Cóż nam dać może taki rozkład? Chyba fałszy­
w ą interpretację. Skoro bowiem i tu staralibyśm y
się „dowodzić", że jedna ze sinusoidalnych skła­
dowych w skazuje na pulsow anie energji elek-
P rz y p atru ją c się zaś uw ażnie graficznemu od­
wzorowaniu tej funkcji (rys, 10), m usimy dojść do
oczywistego wniosku, że faktycznie pulsującą energję może reprezentow ać tu tylko energja elektr,
proporcjonalna do powierzchni zakreskowanej (pod
osią czasu t). O tyle otrzym ał odbiornik ,,za dużo",
tyle zm agazynow ał w sobie i tyle też zwraca na­
stępnie do zasilającego go źródła z powrotem. J a k
jednakże w ygląda nasza uświęcona trad y cją in­
terp reta cja ? Oto rozkładamy sinusoidę Pt na
dwie sinusoidy (rys, 11) i ,,objaśniam y", że sinu­
soida Piwt przedstaw ia przebieg mocy rzeczyw istej,
a sinusoida Pbt przebieg mocy urojonej. Pow ierz­
chnia zakreskow ana na rys. 11 odpowiadać ma
(przy takim rozkładzie) energji pulsującej. Gdzież
jednak ta energja pulsuje? Chyba w samym od­
biorniku, bo na zew nątrz ujaw nia się tylko pulso­
wanie, uwidocznione na rys. 10. Na czemże jednak
opieram y nasz wniosek, że 'w odbiorniku, którego
nie znamy, pulsowanie takie zachodzi? W szak mo­
że on się składać z bardzo w ielu elem entów w za­
jemnie między sobą wym ieniających energję?
R y s , 12.
trycznej, powiem, iż równie dobrze możemy przy­
jąć, że w ew nątrz nieznanego odbiornika znajduje
się opór omowy, zm ieniający się w edług funkcji
14
i to zm ieniający się jedynie w wartościach dodat­
nich, a więc stale pochłaniający energję elektrycz­
ną! Tw ierdzenie takie będzie naw et racjonalniej­
sze, bo w szak położenie krzyw ej Pt w całości nad
osią czasu (rys. 12) w skazuje dobitnie, iż w od­
biorniku zachodzi tylko stale pochłanianie energji
doprow adzanej ze źródła, bez jakiegokolwiek
pulsow ania energji pom iędzy źródłem prądu i od­
biornikiem. Gdyby jednak ktoś upierał się przy
tw ierdzeniu, że pulsowanie energji, wskazane jedną
ze sinusoid składow ych mocy Pt, rzeczywiście za­
chodzi, lub na niem chciał oprzeć swą definicję
mocy urojonej (biernej)
Pb, w ystarczy przyjąć
w odbiorniku naszym rzeczyw isty opór omowy,
zm ieniający się w edług funkcji
R -
Ut
J i.
aby rozum owanie takie i definicję na niem opartą
unicestwić.
W edług naszej teorji należy rozkładu Pt do­
konać (w każdym przypadku) na dwie składow e
i ' i według wzorów:
P L , P u lub P ‘J, •*P bt
pl
=
Pu
:
r-
-i
Pb,
=
Pt
Pa
r-
■J f .
(56)
Uf
(57)
lub
p
"
=
Pu,
U2
Uf,
P i1, = p ,
~u*
R ozkład taki zastosowany do sinusoid Ut i J,
prow adzi do tych samych składow ych Pt, jakiemi
zdaw na operujem y w obwodach sinusoidalnych,odnośnie zaś do przebiegów odkształconych daje
tę n ad er w ażną korzyść, że umożliwia utrzymanie
zasadniczych wzorów w formach obowiązujących
zdawna dla przebiegów sinusoidalnych.
Nie znaczy to oczywiście wcale, jakoby funkcji
Pt nie wolno było rozkładać na więcej składowych
ani nie narusza to faktu, że cewki indukcyjne
i kondensatory pow odują rzeczywiście pulsowanie
energji elektrycznej. M usimy tylko wykorzenić
z um ysłu fałszyw e mniemanie, jakoby moc urojona
(bierna) P,h w ystępow ała tylko tam, gdzie są cewki
i kondensatory i przyjąć tezę nową, opartą nietylko na analizie teoretycznej, lecz już także na do­
świadczeniu, a głoszącą, iż ogólnie moc urojona nie­
ma nic wspólnego z energją pulsującą! Moc urojo­
na w ystępuje bowiem zawsze, gdy » < 1, czyli, gdy
moc rzeczyw ista P w jest m niejsza od iloczynu U J
t. j. od iloczynu skutecznych w artości napięcia i
prądu, przy jakich odbywa się zasilanie naszego
odbiornika. W w ypadku takim jest
P w = UJ
a
P b = UJ . \L 1 — >3
bo Puf + P y = (UJ)*
W zór na Pb nie zaw iera wcale energji pulsującej
i dla wartości Pb jest obojątnem, czy po zastąpie­
niu naszego odbiornika równoważnym układem sze­
regowym (rys. 3) lub równoległym (rys. 4). funkcja
mocy urojonej (biernej) P u względnie Pu jest zerem ( jak w doświadczeniu ó^tem), czy też czemś
rożnem od zera. Moc urojona nie zależy bowiem od
składu ( przebiegu) tej funkcji.
40
30
20
10
0
-1 0
20
-
0).
-
-10L
i3 0
f Pbt . dt będzie
' o
zerem także w tedy, gdy Pbt =
W następnej pracy podam rozw iązanie proble­
mu mocy, dotyczące układów n-przewodow ych
o przebiegach odkształconych.
W pierw jednak muszę ogłosić wyniki, do ja ­
kich doszedłem dawniej (1926), odnośnie do n-prze­
wodowych układów sinusoidalnych, oraz podać do
wiadomości zasady operow ania na takich obwodach
(Uogólnione praw a Kirchhoffa, Zasada wyodręb­
nienia).
Polskiem u Kom itetow i Elektrotechnicznem u,
jako części składow ej M iędzynarodow ej Komisji
Elektrotechnicznej (C. E. I.), zwracam uwagę na ni­
niejsze rozw iązanie problem u mocy w układach
o przebiegach odkształconych napięcia i prądu.
Może ono stanowić tezą polską dla C. E. I. odnoś­
nie do mocy i to tezę posiadającą, mojem zdaniem,
wszelkie szanse kw alifikujące ją do przyjęcia. Po­
dane tu definicje mocy rzeczyw istej, urojonej i po­
zornej oraz spółczynnika mocy (cos ę ) są bowiem
zgodne z definicjami, jakie C. E. I. akceptow ała już
dla przebiegów sinusoidalnych.
W yprow adzone tu rów nania i wzory zostały
spraw dzone na przykładach liczbowych i dośw iad­
czalnie w pracowni E lektrotechniki ogólnej Poli­
techniki Lwowskiej.
W ażniejsze przykłady licżbowe podane są po­
niżej.
Przykład 1.
Zakładam y, że napięcie i prąd, zasilające nie­
znany odbiornik, zm ieniają się według krzywych
schodkowych, przedstaw ionych na rys. 13. W a r­
tości liczbowe tych krzyw ych podane są w zesta-
-
40
-
R y s . 13.
15
wieniu. O kres T podzielony jest na 10 części.
W obrębie 1/10 okresu są wszystkie funkcje odcin­
kami równoległemi do osi odciętych. Obliczenia
mocy chwilowych, mocy średnich oraz innych po­
mocniczych wartości, oporu „czynnego“ i „bierne­
go" i t. p. podane są w Tablicy I. Na końcu wyli­
czono spółczynnik mocy ).w i skontrolowano zgod­
ność wzorów
U uf -j- U y = U2', Juf -f- Jb2 = J- i P w\ +• P y = Ps~.
P w°-=. U,y .J*= 11,66866 . 1 9,8= 231,039468= ~ 231,04
P w*= U2 . J i = 26,8 . 8,620884=231,039691 = ~ 231,04
P y = U j . J 2 — 15,13132 .1 9 ,8 = 2 9 9 600136 = ~ 2 9 9 ,6
Pb2= U2. J y — 26,8 . 11,179098=299,599826 = ~ 2 9 9 ,6
P w2+ Pb2 = 231,04 + 299,60 = 530,64
P f = U2J 2= 26,8 .19,8 = 530,64
'■w
15,2
Pu,
5,17687.4,44971
17,3089
UJ
: p>
>
UJ
'
l-b
5,17687.4,44971
=
=
0,65985
0,7513988
Uw2 + U y = J 1,66866+ 15,13132 = 26,79998
U2 =
............... . = 2 6 ,8
J w2 + J y = 8,620884 + 11,179098 = 19,799982
J2 = . . . . . . . . . .
= 1 9 ,8
W yniki te stw ierdzają cyfrowo prawdziwość
podanych przez nas tw ierdzeń. Krzywe prądu i n a ­
pięcia m ają bardzo nieregularne przebiegi, zatem
zgodność powyższa nie może być uw ażana za przy­
padkową.
Przykład 2.
Krzyw a napięcia jest funkcją perjodyczną, da­
jącą się rozłożyć według F ourier‘a na 3 sinusoidy
(falę zasadniczą, drugą i piątą harm oniczną).
Dany jest obwód jak na rys. 14.
t
j
u*
—'i-nnnnn
a
u Uu u
\ ~ R
u
,
A
R = 5 S2
>
L
uw
A
j
L = 0,1 H
¿4 C = 5 .1 0 “ J F
oj = 100 = 2n{
Napięcie w yraża się wzorem:
U, = UJ + UJ1 + UJ'
przyczem
UJ =
UJ1 -=
UJ' =
100
5 + / (10—20)
i? + / ( 2 ojL — 1 )
1
2 o j C)
50
50
5 + / (20 — 10)
5 + / 10
5 + / (100.0,1
ojC
100
5 - / 10
50 (5 — / 10) _
2 -/4
25 + 100
2
(J 11) 2— 22 + 4- = 20; J n = 4,4721; cos 'U1=
4,4721
J J 1 = 4,4721 . V 2 . sin (2 <0/ — cp")
Uv
J v=
80
1
R + / ( 5wL
10-
5 + /( 500.0,1—
500.5
80 __ 80 (5 — 7 46) =
5 + 7 (50 — 4) + 5 r / 46 ~~ 25 + 2116
5wC
80
_
( J vr- =
400 - / 3680 _ o
2141
83 _
{
g2
0,186832 + 1,718822 = 0,0349054489 +
+ 2,9543421924 = 2,9892476413;
70804 cos „o yv = 0,18683
Jrv = . ,1,72894;
1,72894
J J ' = 1,72894 . (' 2 . sin (5<jj/ — + )
u = } / ( U ') 2+ ( U " ) 2~\~(UV)2 = ] / 1002+ 5 0 2+ 8 0 2=
= ] /1 0 0 0 0 + 2 5 0 0 + 6 4 0 0 =
=
] /1 8 9 0 0 = 137,477 V
V 102,9892476413 = 10,1483 A
P w — U1 . J 1 cos + + U " . J n cos
+ U v . J v cos i v
(ponieważ każda harm oniczna napięcia może dać
moc tylko z odpow iadającą jej harm oniczną p rąd u ).
8,9443
+ 50.4,4721
4,4721
0,18683
1,72894
Uwt =
J*
1 t
p ■< 1 r
p 2
Uw2 = — f Uw] d ł = w • - f J r d ł =
“ . J2
T l
Jl Tb
J*
100
J
5 + / ( 2 0 0 . 0 , l - 101
2 0 0.5
= 400 + 100 + 14,9464 = 514,9464 W
100 .\! 2 . sin w /
50 . 1 2 . sin 2 o j /
80 .1 2 . sin 5 o j /
U1
50
+ 80. 1,72894.
W edług zasady superpozycji będzie:
J tv
Jt = J t ‘ + Ji'.u
R + j\* L -
U11
P w = 100 . 8,9443.
R y s . 14.
J1
J,1
J” =
8,9443
8,9443 . \f 2 . sin (oj / + cp7)
J = Y ( J ' ¥ + ( J 11) 2+ ( J v) 2= ^ 8 0 + 2 0 + 2 ,9 8 9 2 4 7 6 4 1 3 =
1
•
( J I)2= 4* + 82= 80; J 1 — 8,9443; cos + =
10 *_
100.5
1 0 0 (5 + / 10)
= 4 + /8
2 5 + 100
Uw
Pu,2
514,9464+
J2
10.14832
Pw _
514,9464;
J
10,1483
u bl =
Ut — u wt
2574,76416
50,74213 V
+
16
Tablica I.
Zestawienie
do przykładu
liczbowego
17
P rzykład 3.
Uwl)2dt
Funkcje napięcia i prądu są funkcjam i zdefinjowanem i w poszczególnych ułam kach okresu T
zapomocą umowy (wartości liczbowe w zeslawie-
i O
n
U j- -
17*
p
r
£/2
PJ
J
T
p s
p 2
/' UtJ, dł = U* 'r- W - 2 7-2- =
•
]- o
J-
10
A
J-
100 j
1000f
= U2 - U j = 18900 - 2574,76416 =
J
— 16325,23584
500 50
Ub =
127,77 V
Pb =
Ub . J =
127,77 .10,1483 =
1296,648 Var
Ps =
U . J — 137,477.10,1483 =
1395,158 VA
0 -L o 1 o
%
%
%
R y s . 15.
/'W
A6
=
Pu,
5 14,9464
Ps
1395.158
Pb
1296,648
P
1395.158
m
=- 0,3691
niu).
O braz graficzny tych funkcyj podaje
rys. 15. Niektórych w artości nie można obliczać,
gdyż w ypadają symbole nieoznaczone (rząd 19 i 22
zestaw ienia liczbowego).
0,9294
Zestawienie liczbowe:
F u n k cja
p-
I
11
111
IV
W a r t o ś ć
W
VI
V
1
u,
100
0
100
100
0
100
2
UJ
lOggO
0
10000
10000
0
10000
3
J,
0
10
10
0
10
4
JJ
0
100
100
0
100
100
J2 =
Pw =
5
p,
0
6
U w,
0
50
7
U irt-
0
2500
8
Ubl
9
U J
10
Jwt
+
0
100
0
0
50
0
50
50
+
0
+
50
100
25U0
2500
— 50
+
2500
10000
2500
2500
5
0
5
5
0
5
25
0
25
25
0
25
+5
— 5
+
13
J J
25
100
25 •
25
100
25
Pwd
0
500
500
0
500
500
15
P J
0
— 500
0
— 500
16
P WJ
50 0
0
500
0
500
— 500
0
+
500
500
0
-+■ 500
0
+
10
co
0
17
P J 1
18
P,
19
-j-
GO
0
*)
R J
0
20
Rit
+
21
G,
GWa
5
oo
0
23
G bl
*)
+
-
500
500
0,05
0,05
+
0
5
— 5
-f- oo
0
22
+
*)
0
-j- oo
+
+
+
+
*)
5
5
0,1
0
+
oo
0,05
+
0,05
— 0,05
D la ty ch p r z e d z ia łó w n ie d a się o b lic z y ć
0
0
*)
-j- co
w a rto ść R J
U J
5 J,
— 1666,
U b2 =
5000
J J
=
JJ
«
16,6
+
Pb
Ir
=
=
Pb "
333,
0
333,
0
1°
RI
5U
=
5
+
0,1
+
0 ,0 5
+
0.0 5
w z g l.
50
P w 'Ir =
5
-
3 33,3
P
U
—
w . Jt =
wl
~p
Pw L =
500
+
-(- oo
0.05
+
5
0
Ł
5
— 5
14
10
+
J bt
10
6 6 ,6
U, =
12
+
6666,6
50
2500
10000
11
— 50
1000
1000
2500
U2 =
10
G J 1.
G"
=
0,05
0 ,0 5 U,
18
P b2
p?
P w2
Pw2
P,®
= U ? . p = 5000 . 66,6 = 333 333,3
= U- , J b2= 6 6 6 6 ,6 .5 0 = 333 333,3
= 333,32 = 111 111,i
+ Pb* = 111 111,1 + 333 333,3 = 444 444,4
_ u 2 . p = 6666,6 . 66,6 = 444 444,4
Pw
la
_
333,3_____
U . J ~
Pb
Ib
81,649.8,1649
577,35
=
=
0,5
=
0,866
„czynna“ pobrana przez nasz odbiornik, sk ła d a ją ­
cy się z przeryw acza i krótkiego, grubego drutu,
jest rów na zeru, zatem cała moc pozorna odbiorni­
ka rów na się jego mocy „biernej".
U*122,5
81,649.8,1649
Uw2 + Ub2 = 1666,6 + 5000 = 6666,6 = U2
Jw2 + Jb2 — 16,6 + 50 = 66,6 = P
P rzykład 4.
Przebieg prądu i napięcia, jaki zachodzi w do­
świadczeniu 6, ilustruje w przybliżeniu rys. 16. Moc
U .J
Rys. 16.
Zestawienie liczbowe do doświadczenia 6
Lp .
T
F u n k cja
1
.
|
II
III
122.5
122,5
W
1
u,
0
2
u \
0
15006,25
15006.25
3
J,
17,3
0
0
4
Jc
29 9 ,2 9
0
0
J* =
Pw
U 1 --
J
0
0
0
6
U wl
0
0
0
7
U J
0
0
0
u *w =
0
8
Ubt
0
122,5
Ubt =
U, -
9
U b\
0
15006,25
1 5006,25
U \ =
10004,16;
0
0
0
+ / =
^
0
0
0
J 'w = 0- Uw =
17,3
0
0
+
99 ,7 6 3
Pt
2 99 ,2 9
0
0
J \ =
0
0
0
P l ir =
0
0
J J
J bt
12
13
+
14
p wł1
+
99,763;
0
0
Pb
16
p
j 1
0
0
0
P l 1 śr =
17
vp bt11
0
0
0
■ = 0
xP hb sr
0
co
oo
0
0
0
0
0
20
R b,
0
OO
oo
21
c t
oo
0
0
22
G w11
0
0
0
0
23
G bt
co
0
0
R
0 v
Ub M
100,02 V
0 A
0 A
śr -
=
J,
Jb
0
= 02
c , __ U Uli — n „
Gw 0 o
ś
ć
100,02 w o lt ó w
u wl
• U, =
0
R j
o
9 ,9 8 8 am p
uw =
Pbt
19
t
0 w a tt
15
18
r
!
11
=
" !
d wt
10
+
U
1000 4 ,1 6
5
-f- 122,5
a
9 ,9 8 8 A
P w = Uw 7 = 0 . 9,988 = 0 W att
P w = U . J W= 100,02 .0 = 0 W att
P b = Ub . J ■= 100,02 . 9,988 = 999 Var
P b = U . J b — 100,02 . 9,988 = 999 Var
p s = U . J = 100,02 . 9,988 = 999 VA
P J 7- P 52 = O2 + 9993 = 998001
P s2 = 9992 = 998001
■ =
Kw
P '" =
U.J
=
P b=
U .J
999 =
999
P rzykład 5.
Pozorny opór elektryczny luku (iloraz napię­
cia na łuku i natężenia prądu przepływ ającego
przez łuk) jest przy prądzie zmiennym zmienny.
Pow oduje to zmniejszenie spółczynnika mocy
Pw
^
/ 2= 21,801 b2 Am p2;
Pw — 3,59 c W att
,
stąd
; = Ł. =
Ps
P
U .J
U nas obrano c =
—
^ 59 • c
'
| 1 9,86 . ) 2 i,8Ól ab
^ . zatem
0,2
3-59 ■ ab
=
Kw= -======---------------.r-----/1 9 ,8 6 . ^ 21,801 ab . 0,2
JL = o
999
D«,2 -(- £Ą2 = O2 + 100,022 = 100,022 = £/2
J J -j- J b- = o2 4- 9,9882 = 9,9882 = J 2
). =
U - = 19,86 a 2 Volt2;
lb = i 1 - . ;„„2 = | 'l P b=',.b • U . J = 0 509 .
n sM
0,861
0,8612 = i ' 0,258 = 0,509
19,86 1 21^801. a6==10,6a6V ar
Z drugiej strony możemy obliczyć P w i Pb jako
iloczyny U WJ oraz Ub J . Rozkładam y zatem wyp
kreślnie naszą krzyw ą napięcia Ut na Uwl = ^ . J f
|
i Ubt — Ut — U ut (rys. 18) i wyznaczam y ich
skuteczne w artości jak poprzednio przy pomocy
. Podane przez Steinm etz‘a krzyw e Ut i Jt
dla łuku zasilanego z generatora prądu zmiennego
w skazuje rys. 17. Na rysunku tym uwidoczniono
także krzyw ą Pt — Ut . J t . Skuteczną w artość
prądu i napięcia znaleziono rysując krzywe / / 2
i Ut2 i w yznaczając planim etrem w artości całek
■f JP dł i ( U r d ł .
o
o
Przez podzielenie tych całek przez T i spierw iastkow anie otrzym uje się skuteczne w artości
prądu i napięcia. Moc średnią P w znajdziem y
T
dzieląc w artość f P, dt (zmierzoną planim etrem )
o
przez T.
R ys
18.
planim etru. Krzyw a U wt jest sinusoidą. Je j sku­
teczną w artość otrzym am y dzieląc am plitudę przez
y2
W ypada
Uw=
= 3,836 a Volt
V 2
P W= U U,. J = 3,836 . a . ) 21.801 b = 17,92 ab W att
podczas gdy z poprzedniego obliczenia było:
Pw = 3,59 c W a t t =
0,2
ab W a tt=17,95 ab Watt.
Zgodność obu wyników jest zadow alająca, jeżeli
się zważy, że znaleziono je m etodą w ykreślną.
Przy pomocy planim etru znaleziono następnie
Ub - = 5.29 a 2 V olt2
zatem
p b= Ub . / = 1 5,29 . a . i 21,801 b = 10,74 ab Var
R ys. 17.
N a rys. 17 krzyw e napięcia Ut, prądu Jt i mo­
cy Pt podane są w różnych skalach. Ogólnie jest
1 cm = a Volt dla krzyw ej Ut, 1 cm = b Amp dla
krzyw ej J t , oraz 1 cm = c W a tt dla krzyw ej Pt,
Z planim etrow ania otrzym ano (po podzieleniu
przez T) następujące wyniki:
podczas gdy poprzednio przypadło Pb— 10,6 ab Var
Zgodność obu wyników jest więc i w tym przypad­
ku widoczna.
Przykład 6.
Dany jest obwód jak na rys. 19, przyczem
E, = 100 l/2 s in M ) V
É =50 V
R = 10 i!
20
Jw = 0,1 . U = 0,1 . 100 = 10 A
Uw . J — 89,44 . 11,18 = 8 . 11,182 - 8 . 125 =
= 1000 W att = P w
U J w = 100 . 10 = 1000 W att = P w
Uu - Ui - Uwt = U, - 8 J t
U„2 = 1 f Ub,2 dt =
T o
1 7
16
7
= J- f Ui2 dt - - • f U, J, dt +
T 6
T ó
64
7
■ f J ,2 dt
T o
Ub2= U2 - 16 P w + 64 J 2= 1002 - 16 . 1000 -j- 64. 125
R ys. 19,
Ub2 Ś= 10000 — 16000 + 8000 = 2000
Stąd obliczamy:
Ub = )/ 2 000 = 44,721 V
Ui = £ , = 100. 1 2 sin (w/) V
el
Jt
—
e
U J + U b2 = 89,442
U2 = 1002 = 10 000
Jbt — J t — Jwt = Jt
0,1 Ul
10 , V 2 sin (to/) — 5 A
R
U = E =
1
T p r.
/
100 V
1
~
i
/
i
J r d ł
ó
p
To
f^L.dt -
p
.dt +
( - 1
ó R2
o
R2
R2
/ , « > ■ - ¡ o - =
V
io;
io a
TV 2
f — .dt
o R2
/
w o ;
25
V
-V
125
11,18 A
' f U, J , d t = — f
T o
T o
i
1
p
Er
100
R
p.
~~ 10
1000
U .J
100 . 11,18
=
Ei dł
1000 W att
0,895
i 000
I2 5 ■Jt =
uw = -8
Jwt —
E] ■ dł
T ~
1 . f Et2 dł —
f
R ó
R ó
T
Kw =
[E‘
R
T ~
8J t
. / = 8 . 11,18 = 89,44 V
P»JU, =
U2
1000.
1002
T
0
2
7
Jbt2 dt
r
^
0 01
7
= ± f Jt2 dt - 0'2 - f Ui Ji dt +
. f u?dt
Jo
1 o
i
ó
Jb 2= 7 2 — 0,2 Pw 4 - 0 ,0 1 . 1002= 125 - 200 + 100 = 25
Jb — 5 A
Jw2 + J J - = 102 + 52 =
J 2 = 125
125
P b = Ub . J = 44,721 . 11,18 = 1 2,000 . 1 125 =
R2
,
1
Jł
7
i
44,7212== 8 000 + 2 000 = 10 000
Ul =
0,1
u,
= | 250000 = 500 Var
P b = U . J b = 100 . 5 = 500 Var
P J 4 P b2 = 1 0002 - f 5002 • 1 250 000
P 2= U2J 2— 1002. 11,18- = 10 000.125 = 1 250 000
Przeprow adzony przez nas rozkład napięcia
U na Uw i U jest tylko myślowym. W rzeczyw i­
stości bowiem nie znamy zupełnie odbiornika, może
się on składać z dowolnej ilości elem entów czyn­
nych i biernych, a naw et sił elektrom otorycznych,
rozm aicie ze sobą połączonych. Napięcie Uw nie
jest zatem napięciem na jednym z elem entów czyn­
nych odbiornika, a tylko napięciem, które wystąpi­
łoby na um yślonym elemencie czynnym R, gdy­
byśm y nasz cały odbiornik zastąpili jednym ele­
mentem czynnym i jednym biernym w połączeniu
szeregowem.
W naszym przykładzie opór R — 10 ii nie
jest więc identyczny z oporem R w ■umyślonego ele­
mentu czynnego, gdyż napięcie na nim byłoby Uw
= 89,44 V, podczas gdy u nas jest J . R — 11,18 . 10
= 111,8 V.
Sp. Akc. Zakł. GraŁ „D rukarnia Polaka", W arsraw a, Szpitalna 12.