Wykład 4

Wykład 4
Unoszenie (przejmowanie) ciepła
1. Wiadomości wstępne
Rozprzestrzenianie się ciepła drogą wymiany jego w czasie ruchu cząstek
względem siebie. Zjawisko to może mieć miejsce tylko w ciałach, których
cząsteczki przemieszczają się względem siebie a więc: w gazach, cieczach
i sproszkowanych ciałach stałych. Jeżeli ciecz lub gaz omywa powierzchnię
ciała stałego, to zachodząca między nimi wymiana ciepła nazywa się
wymuszoną. Zjawisko unoszenia powstające samoistnie nosi nazwę konwekcji
naturalnej. Ilość ciepła wymienianego na drodze unoszenia (przejmowania)
można określić przy pomocy empirycznego związku podanego przez Newtona:
(
Q = α Aτ ⋅ Ts - Tp
)
lub
q = α ( Ts - Tp )
(35)
gdzie: Ts – temperatura powierzchni ścianki,
Tp – temperatura płynu
α - współczynnik przejmowania lub oddawania ciepła
Współczynnik α nie jest stały dla danego materiału, ale zależy m.in. od
charakterystyki systemu, geometrii ciała stałego, własności cieczy i parametrów
tej cieczy a także od różnicy temperatur. Wyznaczenie wartości α dla różnych
warunków stanowi jedno z głównych zadań teorii wymiany ciepła oraz
aerodynamiki. Ustalenie analitycznej funkcji na współczynnik α jest na ogół
bardzo trudne. W wielu wypadkach zależność tę wyznacza się doświadczalnie
korzystając z teorii podobieństwa i analizy wymiarowej.
W wielu przypadkach w praktyce, szczególnie podczas pożarów, parametry
płynu zmieniają swoje własności. Może on zmieniać swój stan fizyczny (np.
odparowywać, krystalizować). Analizę wymiany ciepła podczas unoszenia
wymuszonego (przejmowania) przeprowadza się przy następujących
założeniach upraszczających:
1. Wszystkie charakterystyki procesów wymiany ciepła przez unoszenie
w określonej objętości traktuje się jako funkcje ciągłe.
2. Czynnik przylega do powierzchni nagrzewania.
3. Nie uwzględnia się wymiany ciepła przez promieniowanie.
4. Rozpatruje się tylko procesy przy stałym ciśnieniu (dla czystej wymiany
ciepła przez unoszenie w gazach lub cieczach jest to założenie nieścisłe).
13
5. Parametry fizyczne płynu nie zależą od temperatury pomimo, że w pewnych
procesach nie spełnia się to założenie)
6. Ciepło wynikłe z tarcia lepkiego płynu w strumieniu jest pomijalnie małe
w porównaniu ze zmianą entalpii.
7. Energia kinetyczna strumienia jest mała i pomijalna w porównaniu ze zmianą
entalpii strumienia.
8. „Termiczny opór styku” płynu z powierzchnią nagrzewania jest pomijany.
Przy rozwiązywaniu problemów przenoszenia ciepła (przewodnictwa i
unoszenia włącznie) zachodzi konieczność określenia warunków brzegowych –
szczególnie gdy proces wymiany ciepła zachodzi na granicy ciała stałego
zajmującego określoną objętość. Warunki brzegowe określamy na podstawie:
a) zasady zachowania energii na rozpatrywanych powierzchniach,
b) ciągłości obu pól rozkładu temperatur,
c) przyjęcia liniowej zależności wymiany ciepła między ciałem stałym i
strumieniem płynu.
Ten ostatni warunek można zapisać w postaci:
-λ
(
∂T
= α T x = 0 + - Tp
∂ x x = 0-
)
(36)
∂T
gdzie: ∂ x
- gradient temperatury na powierzchni ciała stałego,
x= 0
λ
- współczynnik przewodnictwa cieplnego,
α
- współczynnik przejmowania lub oddawania ciepła
T x = 0 - temperatura płynu przylegającego do powierzchni ciała stałego,
Tp - temperatura płynu w środku strumienia.
Warunki przejmowania ciepła zależą od czynników cieplnych warstwy
granicznej oraz zjawisk czysto mechanicznych. Te ostatnie ujęte zostały
w równaniu przepływu płynu lepkiego tzw. równanie Naviera-Stokesa.
-
+
14
Składowa tego równania na oś x ma następującą postać:
∂w
ρ x+
∂τ
{1}
2
∂ wy
 ∂ wx
∂ wz 
∂ p   ∂ 2 w x ∂ w y ∂ 2 w z  1 ∂  ∂ w x ∂ w y ∂ w z  


ρ  wx
+ wy
+ wz
 = ρ g x - ∂ x + μ   ∂ x 2 + ∂ y 2 + ∂ z 2  + 3 ∂ x  ∂ x + ∂ y + ∂ z  
∂
x
∂
y
∂
z


 

 

{2}
{3} {4}
{5}
(37)
gdzie: ρ - gęstość,
wx , wy, wz - składowe prędkości na oś Ox,Oy i Oz,
x, y, z
- składowe położenia na oś Ox, Oy i Oz,
gx
- składowa przyspieszenia ziemskiego w kierunku osi Ox,
τ
- czas,
p
- ciśnienie,
µ
- lepkość dynamiczna.
Całkowanie tego równania i wyznaczanie stałych całkowania (warunków
brzegowych) jest bardzo skomplikowane. W związku z powyższym do
rozwiązania równania (37) wykorzystuje się prawa podobieństwa.
Jeżeli dobierzemy wszystkie warunki zjawiska na modelu doświadczalnym tak,
aby były one podobne do zjawiska rzeczywistego, wówczas wyznaczone
wartości współczynników λ i α odnoszące się do tego modelu można przenieść
do warunków panujących w procesie rzeczywistym.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
kρ =
ρ1
l
d
x
τ
µ
w
g
p
k d = 1 = 1 = 1 , kτ = 1 , k µ = 1 , k w = 1 , k g = 1 , k p = 1
,
ρ2
l2 d2 x2
τ2
µ2
w2
g2
p2
przy czym indeks 1 odnosi się do parametrów modelu, zaś indeks 2 do
rzeczywistego urządzenia.
Wykorzystując powyższe oznaczenia oraz fakt, że wszystkie człony
równania oznaczone cyframi od {1} do {5} muszą mieć ten sam wymiar,
równanie Naviera-Stokesa można napisać w następującej formie:
2
kp
kw
kw
k
kρ
= kρ
= kρkg =
= k μ w2
kτ
kd
kd
kd
{1}
{2}
{3}
{4}
(38)
{5}
Z powyższych równości analizy wymiarowej otrzymuje się kryteria
mechaniczne zwane pierwotnymi. Ponieważ nie są one łatwe do wyznaczenia,
często stosuje się liczby kryterialne wtórne.
15
Z porównania pomiędzy sobą poszczególnych członów równania otrzymujemy
tzw liczby podobieństwa i tak:
a)
z porównania {2} i {3} - liczba Froude’a
Fr =
b)
gd
,
w2
z porównania {1} i {2} – liczba Hoodsona (równoczesności)
wτ
,
d
z porównania {2} i {4} – liczba Eulera
Ho =
c)
Eu =
d)
p
,
ρ w2
z porównania {2} i {5} – liczba Reynoldsa
Re = ρ
wd
μ
lub
Re =
wd
ν
Jako wtórną od liczby Froude’a używa się liczby Galileusza:
2
Ga = Fr Re =
g d3
ν2
jako wtórną od liczby Galileusza używa się liczby Grashoffa:
β g d 3 ΔT
Gr = Ga β ∆T =
ν2
gdzie: β - współczynnik rozszerzalności objętościowej,
∆T – różnica temperatur.
Kryterium Galileusza i Grashoffa charakteryzują podobieństwo oddziaływania
sił ciążenia – kryteria dynamiczne.
16
Weźmy pod uwagę równanie Newtona i Fouriera dla warstwy granicznej:
α ∆ T = -λ
∂T
∂x
(39)
i równanie Kirchoffa-Fouriera dla ośrodka gazowego:
∂T
∂T
∂T
∂T
+ wx
+ wy
+ wz
= a∇ 2 T
∂τ
∂x
∂y
∂z
(40)
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
+
+
- laplasjan temperatury
∂ x2 ∂ y 2 ∂ z2
λ
a=
ρ cp
2
gdzie: ∇ T =
Rozwiązując łącznie równania (39) i (40) otrzymamy trzy liczby kryterialne
charakteryzujące podobieństwo cieplne:
a) liczba Fouriera
Fo =
b)
liczba Pecleta
Pe =
c)
wd
,
a
liczba Nusselta
Nu =
d)
aτ
,
d2
α d
,
λ
liczba Prandtla
Pr =
Pe ν η c p
= =
Re a
λ
Liczba Prandtla charakteryzuje fizyczne właściwości ośrodka. Dla przemian
ustalonych w czasie liczby Hoodsona i Fouriera nie mają znaczenia. Dla
wymiany ciepła, ze względu na występowanie współczynników α i λ
najważniejsza jest liczba Nusselta.
17
Zasada podobieństwa:
Rozpatrywane zjawisko będzie pod względem geometrycznym,
kinematycznym, dynamicznym i cieplnym podobne do zjawiska
modelowego, jeżeli liczby Eu, Fr, Re, Pe, Nu i Fo będą miały dla obu
rozpatrywanych zjawisk te same wartości.
Jeżeli przepływ jest ustalony i uśredniony, to Nu = f1(Re,Gr,Pr), bo Eu=Φ Re,
a liczbę Fr zastąpiono Gr, zaś Pe=Re Pr.
Dla ruchu konwekcyjnego swobodnego lub laminarnego wpływ liczby Re
można pominąć i wtedy Nu = f2(Gr, Pr).
Dla ruchu burzliwego można pominąć wpływ liczby Grashoffa, wtedy
Nu=f3(Re, Pr).
Liczbę Nusselta wyrażamy zazwyczaj przy pomocy funkcji potęgowej o
następującej postaci:
c
 L
(41)
Nu = const Re Pr  
 d
Wartości stałej oraz wykładników a,b i c wyznacza się na podstawie badań
doświadczalnych.
a
b
2. Niektóre przypadki przejmowania ciepła
2.1. Ruchu swobodny w przestrzeni nieograniczonej (konwekcja naturalna)
Ruch czynnika jest spowodowany tylko zmianą ciężaru właściwego. Dla
kul, rur poziomych i pionowych, drutów oraz płyt pionowych stosujemy wzór
empiryczny (równanie Michiejewa) o postaci:
Nu = C (Gr Pr)n
(42)
Współczynnik proporcjonalności C oraz wykładnik potęgowy n zależą od
natężenia ruchu określanego przez iloczyn liczb Grashoffa i Prandtla
zgodnie z poniższą tabelką:
Gr Pr
od 10-2 do 5•102
od 5•102 do 2•107
od 2•107 do 1013
C
1,18
0,54
0,135
n
0,125
0,250
0,333
Wymiar liniowy w liczbach podobieństwa przyjmuje się równy średnicy kuli,
rury lub drutu, gdy ciałem wymieniającym ciepło jest kula, rura lub drut
lub wysokości płyty, jeżeli ciałem jest płyta.
18
Za temperaturę odniesienia (dla określenia lepkości η, gęstości ρ,
współczynnika przewodności λ) przyjmuje się średnią arytmetyczną
temperatury ścianki i omywającego ją czynnika, czyli
Tod = 0,5⋅(Ts+Tp)
(43)
2.2. Ruchu wymuszony w rurze (konwekcja wymuszona)
Wymiana ciepła przy konwekcji wymuszonej zależy od rodzaju ruchu
(ruch laminarny lub burzliwy).
Przy ruchu laminarnym wewnątrz rury można stosować wzór:
0,25
 Pr 

Nu = 0,15 Re Pr Gr 
(44)
Pr
 s
Liczby podobieństwa we wzorze oblicza się przy średniej arytmetycznej
temperatury ścianki i płynu, Prs jest liczbą Prandtla obliczoną przy temperaturze
ścianki. Obecność liczby Grashofa we wzorze wynika z uwzględnienia
konwekcji swobodnej. Powyższa zależność pozwala obliczyć średnią wartość
współczynnika przejmowania ciepła w przypadku, gdy długość rury l>50d
a Re<Rekr=2300.
Przy przepływie burzliwym wewnątrz rury obowiązują następujące zależności:
a) dla 2300<Re<10 000 i małej lepkości płynu
0,33
0,43
0,1
Nu = 0,023 Re0,8 Pr0,4
(45)
b) dla Re>10 000 i lepkości przekraczającej dwukrotnie lepkość wody
Nu = 0,023 Re0,8 Pr0,33
(46)
2.3. Ruchu wymuszony prostopadle do rury lub pęku rur
Przy przepływie prostopadłym do pojedyńczej rury (Re>1000):
Nu = 0,26 Re0,6 Pr0,33
(47)
Przy przepływie prostopadłym do pęku rur ułożonych w tzw. szachownicę
(10 rzędów)
Nu = 0,33 Re0,6 Pr0,33
(48)
dla Re>2000 obliczonego dla prędkości maksymalnej między rurami.
19
Przy przepływie prostopadłym do pęku rur szeregowych (10 rzędów)
Nu = 0,26 Re0,6 Pr0,33
(49)
dla Re>2000 obliczonego dla prędkości maksymalnej między rurami.
We wszystkich przypadkach wymiarem liniowym (w liczbie Nusselta
i Reynoldsa) jest średnica zwilżona płynem (wewnętrzna lub zewnętrzna)
i długość rury.
Przy przepływach przez kanały o przekroju niekołowym zamiast średnicy
stosuje się średnicę hydrauliczną zdefiniowaną przy pomocy wzoru:
dh =
4f
o
(50)
gdzie: f – pole przekroju [m2]
o – obwód zwilżony [m]
2.4. Skraplanie się pary
dla rur poziomych: Nu = 0,72(Ga Pr k)0,25
dla rur pionowych: a) Nu = 1,15(Ga Pr k)0,65 dla Ga Pr k<105
b) Nu = 0,068(Ga Pr k)0,33 dla Ga Pr k>105
r
gdzie: k = c ∆ T – liczba kondensacji,
p
r – ciepło skraplania [kJ/kg]
cp – ciepło właściwe cieczy [kJ/kg K]
∆T – różnica temperatury i powierzchni ścianki [K]
Charakterystycznym wymiarem liniowym jest średnica rury dla rur poziomych
lub długość (w liczbie Ga) dla rur pionowych. Temperatura odniesienia, dla
której znajduje się parametry fizyczne jest średnią arytmetyczną ścianki i pary.
Zagadnienia kondensacji pary występują przy gaszeniu pożarów za
pomocą pary wodnej. Efekt gaszenia uzyskuje się przede wszystkim przez
rozrzedzenie koncentracji wolnego tlenu w powietrzu oraz w mniejszym stopniu
przez obniżenie temperatury wskutek skraplania się pary wodnej na
powierzchniach konstrukcji budowlanej. Do celów gaśniczych wystarczy
doprowadzić ilość pary wypełniającej 30% objętości pomieszczenia. Z reguły
parę wodną wprowadzamy w sferę pożaru podczas początkowej fazy jego
rozwoju, gdy temperatura ścian jest jeszcze dostatecznie niższa od temperatury
nasycenia pary przy danym ciśnieniu. W tym przypadku część pary skondensuje
się na powierzchniach.
20
Współczynnik oddawania ciepła α jest liczony ze wzoru:

 ρp
Nu = 0,15  Ga Pr k  1 ρ



 

0,25
(51)
W porównaniu z poprzednimi wzór (50) zawiera ρp – gęstość pary i ρ - gęstość
skroplin. W tych obliczeniach temperaturę powierzchni ścian określa się przy
pomocy wzorów podanych dla nieustalonego przewodnictwa cieplnego.
Z przeprowadzonych analiz wynika, że ilość pary skraplająca się na
powierzchniach ścian (gdy jej temperatura jest niższa od 370 K) jest znacznie
wyższa od ilości potrzebnej do zaduszenia pożaru (zmniejszenia koncentracji
tlenu). ten fakt należy uwzględnić przy projektowaniu parowych urządzeń
gaśniczych.
2.5. Wrzenie
Odróżniamy wrzenie pęcherzykowe i błonkowe. Wrzenie pęcherzykowe jest
wtedy, gdy na powierzchni grzejnej powstają osobne pęcherzyki pary.
Wrzenie błonkowe występuje na powierzchni grzejnej, gdy między cieczą a
powierzchnią grzejną powstaje błonka pary.
W przypadku występowania cieczy niezwilżających daną powierzchnię grzejną
wrzenie błonkowe zawsze zachodzi, a przy cieczach zwilżających występuje
początkowo wrzenie pęcherzykowe i przy dalszym wzroście natężenia strumienia
cieplnego (wydatku powierzchniowe-go) pęcherzyki zlewają się tworząc ciągłą
błonkę. W 1756 r. p. Leidenfrost stwierdził, że krople wody odparowują wolniej
na płycie kuchennej rozżarzonej do czerwoności ( wtedy krople przyjmują
kształt kulisty pokrywając się izolującą warstewką pary – bo przy ∆T > 25 deg
i T > 423 K strumień ciepła q jest większy od krytycznego qk), niż na
chłodniejszej płycie. W tym ostatnim przypadku kropla zwilża powierzchnię i
szybko odparowuje.
Większe techniczne zastosowanie ma wrzenie
pęcherzykowe niż błonkowe. Dla wielu cieczy dane są skąpe i niepewne.
Zależność współczynnika przejmowania ciepła i natężenia strumienia ciepła od
różnicy temperatury ścianki i cieczy podaje przykładowo dla wody o dużej
objętości, wykres na rys. 1.
21
Rys. 1. Zależność współczynnika przejmowania ciepła i natężenia strumienia
ciepła od różnicy temperatury ścianki i cieczy podczas wrzenia
(WP – wrzenie pęcherzykowe)
Dla wody można stosować wzory:
α = 2,53 p0,176 q0,7
lub
α = 22 p0,58∆T2,33
(52)
gdzie:
p – ciśnienie w bar,
∆T – różnica temperatury ścianki i wrzącej cieczy w K,
q – strumień ciepła liczony ze wzoru: q = − λ ⋅
∂T
dQ
=
∂ n dF ⋅ dτ
Uwaga – Obliczona przy pomocy liczby Nusselta wartość współczynnika
przejmowania ciepła α jest współczynnikiem w wymianie konwekcyjnej.
Przy wysokich temperaturach gazów wieloatomowych należy uwzględnić
wpływ promieniowania. Zwykle ten wpływ jest uwzględniany w wartości
współczynnika α uzyskanej dla wymiany konwekcyjnej. Wtedy αc = α + αprom.
Dla innych cieczy o ciśnieniu nasycenia pn = od 0,2 do 10 bar i strumieniu
cieplnym q = od 0,2 do 0,4 qk współczynnik przejmowania ciepła α liczymy ze
wzoru:
α = C pn0,4 q0,7
(52)
gdzie: pn – ciśnienie nasycenia w bar,
q – strumień cieplny w W/m2,
C – stała zależna od rodzaju cieczy. np. dla nafty C= 0,93 do 1,68, dla
gazoliny C= 0,81 ,dla benzolu C = 0,93, dla spirytusu etylowego C = 1,36 i dla
spirytusu metylowego C = 1,09.
2.6. Wymuszona wymiana ciepła wrzącej wody
22
W przypadku wymuszonego ruchu wrzącej cieczy zredukowany
współczynnik przejmowania ciepła αz można określić z zależności:
α
z
=α
p
α
1+ 
α

f
p




2
(53)
gdzie: αp – współczynnik przejmowania ciepła określany ze wzoru dla przypadku
pęcherzykowego wrzenia cieczy,
αf – współczynnik przejmowania ciepła określony dla jednofazowej
cieczy w konwekcyjnej wymianie ciepła.
2.7. Przepływ ciepła podczas ruchu obu ośrodków wymieniających energię
cieplną.
Wymiana ciepła następuje z reguły w urządzeniach, w których po obu
stronach ścianki dzielącej odbywa się ruch ośrodków. Podczas ruchu tych
ośrodków wzdłuż ścianki, temperatura ich zmienia się; ośrodek oddający ciepło
ochładza się, zaś ośrodek ogrzewający się ma coraz wyższą temperaturę (wzdłuż
powierzchni ogrzewanej). Wzajemne usytuowanie się kierunku obu ośrodków
może być jednak różne, a stosownie do tych różnic, będą zmieniały się też ich
temperatury.
Rozróżnia się 3 zasadnicze przypadki wzajemnego przepływu obu ciał
wymieniających energię cieplną;
1. Ruch obu ciał jest w tym samym kierunku – czyli współprąd.
2. Ruch ciał jest w kierunkach przeciwnych – tzw. przeciwprąd.
3. Ruch ciał jest w kierunkach przecinających się pod kątem tzw. przepływ
skrzyżowany.
Chcąc wyrazić strumień ciepła przepływającej od gorącego ośrodka do
chłodniejszego przy pomocy równania: Q = - λz F ∆T
musimy podstawić w nim właściwą różnicę temperatur . Ta właściwa średnia
różnica temperatur jest różna dla każdego z wymienionych przypadków
przepływu. Współczynnik λz zwykle jest uważany za stały na całej powierzchni
wymiany ciepła – choć nie jest to całkiem ścisłe.
23
Można udowodnić teoretycznie (wprowadzając pewne założenia upraszczające),
że w przypadku współprądu i przeciwprądu właściwą różnicą temperatur jest
tzw średnia logarytmiczna różnica temperatur , określona wzorem:
∆ T' − ∆ T
∆T=
∆ T'
ln
∆ T ''
''
(55)
gdzie: ∆T’ – różnica temperatury na wlocie ,
∆T’’ – różnica temperatury na wylocie .
Rys. 2. Przebieg zmian temperatury ośrodków wymieniających ciepło wzdłuż
drogi wymiany
Dokładne ujęcie rachunkowe przypadku prądów skrzyżowanych jest znacznie
trudniejsze. Najczęściej posługujemy się wtedy arytmetyczną różnicą temperatur
∆T = 0,5(∆T’ + ∆T”).
Często stosuje się różne układy wymienników tzw. mieszane , składające się z
elementów współ i przeciwprądowych a nawet skrzyżowanych.
Sprawnością wymiennika nazywa się stosunek ilości ciepła pobranego przez
czynnik ogrzewany do ilości ciepła doprowadzonego do czynnika
ogrzewającego. Zatem:
•
η =
•
m 2 ⋅ c 2 ⋅ ∆ T2
•
m 1 ⋅ c 1 ⋅ ∆ T1
(56)
•
gdzie: m 1 , m 2
– natężenia przepływu obu strumieni przepływających przez
wymiennik,
c1 , c2 – ciepła właściwe obu czynników,
∆T1, ∆T2 – różnice temperatur obu czynników.
Przy dobrej izolacji wymienników ich sprawności wynoszą ok.98 do 99%.
24