Szacowanie wartości liczbowych 1. Cele lekcji Powtórzenie wiadomości o przybliżeniu dziesiętnym liczby, szacowanie wartości liczb niewymiernych, wyznaczanie przybliżeń pierwiastków kwadratowych za pomocą algorytmu Herona. a) Wiadomości Uczeń powinien: znać pojęcia przybliżenia liczby: z niedomiarem i nadmiarem, znać regułę zaokrąglania liczb, znać metodę wyznaczania przybliżeń pierwiastków kwadratowych według algorytmu Herona. b) Umiejętności Uczeń powinien: umieć przybliżać liczby zapisane w postaci dziesiętnej z zadaną dokładnością, wyznaczać przybliżenia liczb niewymiernych, umieć zastosować algorytm Herona do wyznaczania przybliżeń pierwiastków liczb. 2. Metoda i forma pracy Czynnościowa, problemowa, praca indywidualna przy komputerze, praca zbiorowa. 3. Środki dydaktyczne Stanowiska komputerowe z zainstalowanym programem Excel. 4. Przebieg lekcji a) Faza przygotowawcza Nauczyciel kontroluje pracę domową. Wspólnie z uczniami przypomina pojęcia liczby wymiernej i niewymiernej oraz rozwinięcia dziesiętnego liczby wymiernej i niewymiernej. b) Faza realizacyjna 1. Szacowanie wartości wymiernych a. Zad 1. Oszacuj wartość liczby a = 2,14 Odp.: 2 < 2,14 < 3, 2,14 2, I przybliżenie 2,1 < 2,14 < 2,2 2,14 2,1 II przybliżenie 2,14 jest ułamkiem dziesiętnym, wynik dokładny. b. Zad 2. Oszacuj wartość liczby 1 3 1 1 = 0,33333…= 0,(3). Teraz widać, że jest zawarta między 0,33333… a 0,33334. 3 3 2. Przybliżenie z niedomiarem Dla liczby dodatniej, zapisanej za pomocą rozwinięcia dziesiętnego przybliżenie z niedomiarem otrzymamy, odrzucając wszystkie cyfry tego rozwinięcia, poczynając od pewnego miejsca. Na przykład: liczby 0,3; 0,33; 0,333 są przybliżeniami z niedomiarem liczby 0,(3). O przybliżeniu 0,3 powiemy, że jest przybliżeniem do jednej cyfry po przecinku, przybliżenie 0,33 – do dwóch cyfr po przecinku, a przybliżenie 0,333 do trzech cyfr po przecinku. 3. Przybliżenie z nadmiarem Dla liczby dodatniej, zapisanej za pomocą rozwinięcia dziesiętnego przybliżenie z nadmiarem otrzymamy, odrzucając wszystkie cyfry tego rozwinięcia, poczynając od pewnego miejsca i jednocześnie zwiększając o 1 ostatnią nie odrzuconą cyfrę. Tak więc przybliżeniami z nadmiarem liczby 0,(3) do kolejno jednej, dwóch i trzech miejsc po przecinku są 0,4; 0,34, 0,334. 4. Szacowanie przybliżeń liczb niewymiernych a. Znajdź przybliżenie liczby niewymiernej Szacujemy: 2 12 = 1 <2< 22 = 4 2 (1,4) = 1,96 <2< (1,5)2 = 2,25 Kolejny ciąg przybliżeń z niedomiarem i nadmiarem otrzymują uczniowie metodą „prób i błędów”, wyznaczając kwadraty potencjalnych lepszych przybliżeń za pomocą kalkulatora. (1,41)2 = 1,9881 < 2 < (1,42)2 = 2,02264 2 (1,414) = 1,999396 < 2 < (1,415)2 = 2,002225 (1,4142)2 = 1,99996164 < 2 < (1,4143)2 = 2,00024449 b. Dokładności przybliżeń Przyjmując np. 2 1,414 lub 2 1,415 przybliżamy 2 z dokładnością do 0,001. c. Wskaż przybliżenia 2 z niedomiarem i z nadmiarem Odp.: Liczby 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142 są przybliżeniami z niedomiarem. Liczby zaś 2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143 są przybliżeniami dziesiętnymi z nadmiarem. 5. Przypomnienie reguły zaokrąglania liczb. a. Podaj zaokrąglenie liczby 12,345678 do jednego i dwóch miejsc po przecinku. 6. Przypomnienie pojęcia pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej. 7. Geometryczna interpretacja obliczania pierwiastka kwadratowego. Zadanie obliczania pierwiastka kwadratowego nieujemnej liczby a można zilustrować geometrycznie jako poszukiwanie długości boku kwadratu x, aby jego pole było równe liczbie a. 8. Idea algorytmu Herona wyznaczania przybliżonej wartości x pierwiastka kwadratowego liczby nieujemnej a. Jeśli wybierzemy pierwsze przybliżenie x, różne od szukanego pierwiastka liczby a i a . x Długość jednego boku będzie mniejsza niż a , a drugiego większa. Wydaje się, że średnia arytmetyczna długości boków powinna być lepszym kolejnym przybliżeniem pierwiastka. a Zastępując aktualne przybliżenie średnią arytmetyczną liczb x oraz , wyznaczamy iteracyjnie x a lepsze kolejne przybliżenia: xi (xi + x ) / 2 , gdzie x1 jest pierwszym zadanym i przybliżeniem pierwiastka, a xi są kolejnymi przybliżeniami. narysujemy prostokąt o polu a, to jeden bok prostokąta będzie miał długość x, a drugi 9. Zaprojektuj arkusz do wyznaczania pierwiastka kwadratowego nieujemnej liczby a. Chociaż początkowe przybliżenie 50 było bardzo niedokładne, już jedenaste ma 7 cyfr po przecinku dokładnych. Wartości pierwiastków w systemach komputerowych wyznaczane są właśnie za pomocą algorytmu Herona. 10. Sprawdź za pomocą arkusza, jak szybko według algorytmu Herona znajdujemy pierwiastki kwadratowe innych liczb. 11. Pierwiastek stopnia trzeciego dowolnej liczby a a. Jaka jest geometryczna interpretacja wyznaczania wartości x pierwiastka sześciennego liczby a? b. Wymyśl algorytm wyznaczania przybliżeń pierwiastka trzeciego stopnia z liczby a. c. Analiza poniższych metod wyznaczania pierwiastka trzeciego stopnia: a xi (xi + x 2 ) / 2 i xi (xi + a x )/2 i xi (2 xi + a x 2 )/3 i c) Faza podsumowująca Powtórzenie wiadomości poznanych na lekcji, ocena aktywności uczniów, zadanie zróżnicowanej pracy domowej. 5. Bibliografia 1. Anusiak J., Matematyka klasa 1, WSiP, Warszawa 1990. 2. Bryński M., Dróbka N., Szymański K., Matematyka klasa 1, WSiP, Warszawa 2002. 3. Walat A., Elementy informatyki dla szkół średnich, Wydawnictwo Edukacyjne, Warszawa 1993. 6. Załączniki Zadanie domowe Praca obowiązkowa: Znajdź przybliżenie dziesiętne liczby 5 do czwartego miejsca po przecinku. Podaj rozwinięcia dziesiętne, z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku liczb: 3+ 2, 2 + 3. Praca nieobowiązkowa: Wymyśl metodę obliczania przybliżeń pierwiastków piątego stopnia. 7. Czas trwania lekcji 45 minut 8. Uwagi do scenariusza Scenariusz lekcji zalecany do przeprowadzenia w klasach, w których uczniowie uczą się informatyki.