Mechanika kwantowa
advertisement
Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski (e-mail: [email protected]) http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/dydaktyka/modsym/ Symulacje komputerowe Mechanika kwantowa Wersja: 20 kwietnia 2010 Plan 1. Tło i powstanie fizyki kwantowej 2. Podstawowe pojęcia i opis stanu w fizyce kwantowej 3. Czasowe i bezczasowe równanie Schrödingera (dynamika stanu i szukanie stanów własnych) 4. Inne podobne równania różniczkowe cząstkowe 5. Metody num. 1D: Crank-Nicholsona i FFT+Czebyszew 6. Metody num. 2D i 3D: ADI i FFT+Czebyszew Podręczniki • • • • • • I. Birula-Białynicki, M. Cieplak, J. Kamiński, Teoria kwantów, 1991 L. Schiff, Mechanika kwantowa, 1977 L. D. Landau, E. M. Lifszic, Mechanika kwantowa, 1979 H. Haken, H. C. Wolf, Atomy i kwanty, 1997 R. Shankar, Mechanika kwantowa, 2006 Skrypt prof. Andrzeja Raczyńskiego http://www.fizyka.umk.pl/~raczyn/ Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – promieniowanie ciała doskonale czarnego Planck założył kwantyzację energii (1900 r.) – prawo Wiena Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne Einstein wyjaśnił je zakładając kwantyzację energii fali elektromagnetycznej (fotony) (1904 r.) prędkość fotoelektronów zależy tylko od częstości fali ilość fotoelektronów zależy od natężenia światła (ilości fotonów) Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych kwantyzacja energii atomu (momentu pędu), zmiana energii (stanu) atomu tylko przy emisji lub absorpcji fotonu model atomu Bohra (1911 r.) Widmo termiczne (np. Słońce) Widmo emisyjne azotu Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych model atomu wodoru Bohra (1911 r.) Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – ciepło właściwe ciał stałych (Einstein 1907 r., Debye 1914 r.) – doświadczenie Francka-Hertza (1918 r.) – efekt Comptona (1923 r.) – hipoteza de Broglie’a (1923 r.) - dualizm cząsteczkowo-falowy – doświadczenie Sterna-Gerlacha (1922 r.) - spin (wewn. m. pędu) Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 1. Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową (r , t ) wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości r (t ), v (t ) mamy teraz tylko jedną Interpretacja probabilistyczna 2 3 (r , t ) d r prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze V V 2 3 (r , t ) d r 1 R3 pewność znalezienia cząstki; funkcja falowa jest unormowana Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 1. Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową (r , t ) wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości r (t ), v (t ) mamy teraz tylko jedną 2 (r , t ) x Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 1. Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową (r , t ) wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości r (t ), v (t ) mamy teraz tylko jedną Zbiór funkcji falowych tworzy przestrzeń wektorową (dodawanie i mnożenie przez liczby zespolone) c11 (r , t ) c22 (r , t ) superpozycja (zasada superpozycji) 1 , 2 * (r , t )2 (r , t )d 3r 1 R3 iloczyn skalarny funkcji falowych Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 1. Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową (r , t ) wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości r (t ), v (t ) mamy teraz tylko jedną Zbiór funkcji falowych tworzy przestrzeń wektorową (dodawanie i mnożenie przez liczby zespolone) Można skonstruować bazę ortonormalną funkcji falowych (r , t ) cn (t )n (r ) widmo dyskretne n , m nm n 2 p c c , ( r , t ) , (r , t ) c( En; t )En(r ) dE E n E n ( E E ) 0 widmo ciągłe Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) * ˆ ˆ O (t ) (, O) (r , t ) O (r , t )d 3r R3 analog wartości oczekiwanej w rachunku prawdopodobieństwa x(t ) xi pi i Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) * ˆ ˆ O (t ) (, O) (r , t ) O (r , t )d 3r R3 Operator położenia cząstki: analog wartości oczekiwanej w rachunku prawdopodobieństwa x(t ) xi pi i xˆ x 2 3 * 3 ˆ x (t ) (, x) (r , t ) x (r , t )d r x (r , t ) d r R3 R3 Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) * ˆ ˆ O (t ) (, O) (r , t ) O (r , t )d 3r R3 Operator pędu cząstki: pˆ x i x * ˆ px (t ) (, p) (r , t ) (i ) (r , t )d 3r x R3 Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) * ˆ ˆ O (t ) (, O) (r , t ) O (r , t )d 3r R3 Operator energii całkowitej (hamiltonian): 2 ˆ x2 pˆ y2 pˆ z2 p ˆ p ˆ ˆ ˆ H T V V (r , t ) V (r , t ) 2m 2m * ˆ ˆ E (t ) (, H) (r , t ) H (r , t )d 3r R3 Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) * ˆ ˆ O (t ) (, O) (r , t ) O (r , t )d 3r R3 Operator energii całkowitej (hamiltonian): 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ H T V i i i V (r , t ) 2m x y z * ˆ ˆ E (t ) (, H) (r , t ) H (r , t )d 3r R3 Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) * ˆ ˆ O (t ) (, O) (r , t ) O (r , t )d 3r R3 Operator energii całkowitej (hamiltonian): 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 2 V (r , t ) H T V V (r , t ) 2m x y z 2m * ˆ ˆ E (t ) (, H) (r , t ) H (r , t )d 3r R3 Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Twierdzenie Ehrenfesta: Wartość oczekiwane operatorów położenia i pędu zmieniają się w sposób analogiczny, jak w układzie nieskwantowanym (klasycznym) Ale w mechanice kwantowej wynik pomiaru np. położenia nie musi być równy wartości oczekiwanej – to nie musi być nawet najbardziej prawdopodobne położenie Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) 2 (r , t ) wartość oczekiwana położenia najbardziej prawdopodobne położenie możliwy wynik pomiaru położenia x Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Doświadczenie Younga na pojedynczych fotonach Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Niepewność – wariancja: * ˆ ˆ O (t ) (, O) (r , t ) O (r , t )d 3r wartość oczekiwana R3 * ˆ ˆ O (, (O O )) (r , t ) (O O ) (r , t )d 3r wariancja R3 Niepewność niektórych wielkości (np. położenia i pędu) jest związana zasadą nieoznaczoności Heisenberga Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Niepewność – wariancja: x (, ( x x )) (r , t ) ( x x ) (r , t )d 3r * R3 px (, ( pˆ x px )) (r , t ) (i px ) (r , t )d 3r x R3 * niepewność położenia niepewność pędu Niepewność Granica dokładności wielkości (np. pomiaru położenia stanuicząstki pędu) niektórych xp x jest związana zasadą (powódnieoznaczoności „fizyczny”, a nieHeisenberga „technologiczny”) 2 Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) operator położenia xˆ x – dowolne wartości (zbiór liczb rzeczywistych) energia całkowita (hamiltonian) – tylko wybrane wartości 2 ˆ Mówimy, że energia jest skwantowana H V (r , t ) 2m ale ma również część widma ciągłego Wartość oczekiwana operatora może nie być wartością własną (problem pomiaru – redukcja pakietu falowego) Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Jak znaleźć dozwolone wyniki pomiaru? Należy rozwiązać jego zagadnienie własne (por. algebra macierzy) Wówczas otrzymamy wartości własne operatora i odpowiadające im funkcje stanów własnych Hˆ n En n Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Jak znaleźć dozwolone wyniki pomiaru? Należy rozwiązać jego zagadnienie własne (por. algebra macierzy) Wówczas otrzymamy wartości własne operatora i odpowiadające im funkcje stanów własnych 2 V (r , t ) n En n 2m bezczasowe równanie Schrödingera Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Stany własne atomu wodoru (funkcje falowe) 1s 2s, 3s http://www.falstad.com/qmatom/ http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/hydrogen/intro_hyd.html Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 4. Ewolucja układu kwantowego (cząstki), gdy nie dokonuje się pomiaru, jest opisana zależnym od czasu równaniem Schrödingera Odpowiednik równania Newtona (r , t ) ˆ i H (r , t ) t (r , t ) 2 i V (r , t ) (r , t ) t 2m Równanie różniczkowe cząstkowe (PDE) To jest fundament symulacji kwantowomechanicznych! Mechanika kwantowa • Opis stanu w mechanice kwantowej – nowa jakość – Opis probabilistyczny (możliwość interferencji) – Komplementarność (problem zupełnego opis stanu) – Kwantyzacja wielkości fizycznych – Nieklasyczne wielkości fizyczne (spin) – Nierozróżnialność identycznych cząstek • Zasada korespondencji (Niels Bohr) Mechanika kwantowa • Jednowymiarowe równanie Schrödingera 2 2 (r , t ) (r , t ) i V (r , t ) (r , t ) 2 t 2m x • Implementacja na ćwiczeniach • Pokaz typowych zjawisk http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/download/qdyn.htm C:\ProgramData\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\QDyn http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/dydaktyka/fkanim/index.html Mechanika kwantowa w obrazach • Rozszerzanie pakietu gaussowskiego (brak potencjału) Cząstka swobodna. Im węższy pakiet, tym szybciej się rozszerza. a=1 a=2 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a Potencjał: brak potencjału Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a=4 Mechanika kwantowa w obrazach • Rozpraszanie na progu potencjału k = 0.5 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Rozpraszanie na progu potencjału k=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Rozpraszanie na progu potencjału k = 1.5 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Rozpraszanie na progu potencjału k=2 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k = 0.5 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k = 1.5 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=3 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a = 0.5 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a = 1.5 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a = 2.5 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) Inne równania falowe Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu • Równanie propagacji fali elektromagnetycznej (wyprowadzane z równań Maxwella) 1 2 E (r , t ) 0 2 c t 1 2 B( r , t ) 0 2 c t • Równanie powierzchni cieczy • Równanie dyfuzji Założenie: strumień proporcjonalny do gradientu stężenia J D( x)n n(r , t ) D(r , t )n(r , t ) S (r , t ) t
