ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 27 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 30 9 RSA i gra w orªa i reszk¦ przez telefon 34 10 Kongruencje wy»szych stopni 38 11 Liczby pseudopierwsze 44 12 Pierwiastki pierwotne 49 13 Istnienie pierwiastków pierwotnych 53 14 Logarytm dyskretny 58 15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 61 2 Wykªad 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach Twierdzenie, które tu przedstawimy zostaªo odkryte i wykorzystywane w ±redniowiecznych Chinach. Przyczyn¡ tego odkrycia byªy trudno±ci z mno»eniem i dodawaniem du»ych liczb ªatwiej jest nauczy¢ si¦ na pami¦¢ kilku kombinacji, ni» wykonywa¢ dziaªania arytmetyczne w pami¦ci. A dokªad- nie, kiedy dowódca chciaª zliczy¢ swoje wojsko, kazaª ustawi¢ si¦ »oªnierzom w dwu-szeregu, nast¦pnie w trzy-szeregu, potem w pi¦cio-szeregu itd. Liczba ,,niesparowanych »oªnierzy w ka»dym z tych ustawie« (czyli reszty z dzielenia ogólnej liczby »oªnierzy przez 2, 3, 5, . . . ) dawaªy liczb¦ wszystkich »oªnierzy. eby skonkretyzowa¢ nasze my±lenie, rozwa»my nast¦puj¡cy przykªad. 8.1 Przykªad. Po ustawieniu caªego wojska w 3-, 5- i 7-szeregu dostali±my, odpowiednio 2, 1 oraz 6 niesparowanych »oªnierzy. Jaka jest liczebno±¢ oddziaªu, je»eli wiadomo, »e »oªnierzy jest mniej ni» 100? Formalizuj¡c zadanie, niech lenia x x b¦dzie liczb¡ »oªnierzy. Zatem reszty z dzie- przez 3, 5 oraz 7, to 2, 1 i 6. St¡d x≡2 x≡1 x≡6 (mod 3) (mod 5) (mod 7) (8.1) (8.2) (8.3) Powy»szy ukªad trzech kongruencji rozwi¡»emy w nast¦puj¡cy sposób. Z kon- x = 3k + 2. Podstawiaj¡c do (8.2), otrzymujemy 3k + 2 ≡ 1 (mod 5), czyli 3k ≡ −1 (mod 5). Znajdujemy liczb¦ odwrotn¡ do 3 modulo 5 i rozwi¡zujemy ostatni¡ kongruencj¦ otrzymuj¡c k ≡ −2 (mod 5). Zatem k = 5r −2 oraz x = 3·(5r −2)+2 = 15r −4. Podstawiaj¡c t¦ posta¢ x do (8.3) dostajemy 15r − 4 ≡ 6 (mod 7), a nast¦pnie r ≡ 3 (mod 7). St¡d gruencji (8.1) mamy 30 mamy r = 7s + 3, czyli x = 15 · (7s + 3) − 4 = 105s + 41. Zatem wszystkich »oªnierzy jest 41 (nast¦pna mo»liwo±¢ to 146, ale jak zaznaczyli±my, »oªnierzy jest mniej ni» 100). Dowódca, oczywi±cie, nie musiaª przeprowadza¢ powy»szych rachunków, a jedynie zapami¦ta¢, »e ukªadowi 2-1-6 odpowiada liczba 41. Pami¦taª on te» zapewne, jakim ukªadom odpowiadaj¡ s¡siednie liczby: ukªad liczba ukªad liczba 2-0-0 35 2-1-6 41 0-1-1 36 0-2-0 42 1-2-2 37 1-3-1 43 2-3-3 38 2-4-2 44 0-4-4 39 0-0-3 45 1-0-5 40 1-1-4 46 Ide¦ powy»szego przykªadu uogólnimy i podamy w dowodzie nast¦puj¡cego twierdzenia. 8.2 Twierdzenie m2 , . . . , mr (Chi«skie twierdzenie o resztach) . Przypu±¢my, »e x ≡ a1 (mod m1 ) x ≡ a2 (mod m2 ) .................. x ≡ ar (mod mr ) ma jednoznaczne rozwi¡zanie modulo xi = Mi−1 mod mi dla 1 ≤ i ≤ r. (8.4) m1 m2 . . . mr . Dowód. Wprowad¹my nast¦puj¡ce oznaczenia: oraz m1 , s¡ parami wzgl¦dnie pierwsze. Wówczas ukªad kongruencji M = m1 m2 . . . mr , Mi = M , mi Rozwa»my teraz liczb¦ x = a1 M1 x1 + a2 M2 x2 + · · · + ar Mr xr . j ̸= i zachodzi Mj ≡ 0 (mod xi ), wi¦c x ≡ ai Mi xi (mod mi ) dla ka»dego i. Ale Mi xi ≡ 1 (mod mi ), wi¦c x ≡ ai (mod mi ) dla 1 ≤ i ≤ r . ′ ′′ Pozostaje jeszcze udowodni¢ jednoznaczno±¢. Niech x oraz x b¦d¡ ′ ′′ dwoma rozwi¡zaniami ukªadu (8.4). Zatem x ≡ x (mod mi ) dla 1 ≤ i ≤ r . ′ ′′ St¡d mi | x − x , a poniewa» m1 , m2 , . . . mr s¡ parami wzgl¦dnie pier′ ′′ wsze, wi¦c M | x − x . Zatem dwa rozwi¡zania ukªadu (8.4) ró»ni¡ si¦ o wielokrotno±¢ M i ukªad ten ma jednoznaczne rozwi¡zanie modulo M . Poniewa» dla 31 W odró»nieniu od dowodów wielu innych podobnych twierdze«, dowód chi«skiego twierdzenia o resztach daje wzór na rozwi¡zanie ukªadu kongruencji typu (8.4). 8.3 Przykªad. Rozwa»my ukªad kongruencji z przykªadu 8.1. oznaczenia dowodu twierdzenia 8.2, mamy M = 105 i mi ai Mi xi 1 3 2 35 2 2 5 1 21 1 3 7 6 15 1 Stosuj¡c oraz St¡d x ≡ 2 · 35 · 2 + 1 · 21 · 1 + 6 · 15 · 1 ≡ 140 + 21 + 90 ≡ 251 ≡ 41 (mod (mod (mod (mod 105) 105) 105) 105). Zaªo»enie o kopierwszo±ci moduªów jest do±¢ istotnym ograniczeniem. Rozwa»my dla przykªadu, ukªad kongruencji x ≡ 3 (mod 8) x ≡ 7 (mod 12). (8.5) Nie mo»na go rozwi¡za¢ stosuj¡c twierdzenie 8.2, poniewa» 8 oraz 12 nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze. Nie oznacza to jednak, »e ukªad ten nie ma rozwi¡zania. Rozwi¡»emy go w nast¦pnym przykªadzie. 8.4 Przykªad. 12 = 4 · 3 Aby rozwi¡za¢ ukªad kongruencji (8.5) zapiszmy najpierw i rozbijmy drug¡ kongruencj¦ ukªadu na dwie kongruencje x ≡ 7 ≡ 3 (mod 4) i x ≡ 7 ≡ 1 (mod 3). Mamy zatem ukªad trzech kongruencji x≡3 x≡3 x≡1 (mod 8) (mod 4) (mod 3). 32 (8.6) Ale rozwi¡zanie pierwszej kongruencji ukªadu (8.6) speªnia te» drug¡ kongruencj¦, wi¦c druga kongruencja jest niepotrzebna. Otrzymujemy wi¦c równowa»ny (8.5) ukªad kongruencji x≡3 x≡1 (mod 8) (mod 3). Ostatni ukªad rozwi¡zujemy stosuj¡c chi«skie twierdzenie o resztach (8.2) i otrzymujemy x ≡ 19 (mod 24). Podamy teraz uogólnienie chi«skiego twierdzenia o resztach, które pozwala rozwi¡zywa¢ ukªady kongruencji podobne do (8.5). 8.5 Twierdzenie. Przypu±¢my, »e m1 , m2 . . . , mr s¡ liczbami naturalnymi. Wówczas ukªad kongruencji (8.4) ma rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy (mi , mj ) | ai − aj dla i ̸= j . modulo NWW(m1 , m2 , . . . , mr ). NWD Otrzymane rozwi¡zanie jest jednoznaczne Dowód. Rozwa»my najpierw przypadek, gdy mi = pei , gdzie 1 ≤ i ≤ r, ei jest p jest liczb¡ pierwsz¡. Mo»emy, oczywi±cie, zaªo»y¢, »e e1 ≥ e2 ≥ · · · ≥ er . Przypu±¢my teraz, »e taki ukªad kongruencji ma e rozwi¡zanie x0 i niech i < j . Zatem NWD(mi , mj ) = mj = p j . Skoro zachodz¡ ei ej e kongruencje x0 ≡ ai (mod p ) oraz x0 ≡ aj (mod p ), wi¦c p j dzieli x0 −aj e e e e oraz, poniewa» p j | p i , p j dzieli tak»e x0 − aj . St¡d p j | ai − aj . e W drug¡ stron¦, je±li i < j , to rozwi¡zanie kongruencji x0 ≡ ai (mod p i ) ej jest te» rozwi¡zaniem kongruencji x0 ≡ aj (mod p ), wi¦c, w szczególe no±ci, rozwi¡zanie pierwszej kongruencji (jednoznaczne modulo p 1 ) jest te» liczb¡ nieujemn¡, a rozwi¡zaniem pozostaªych kongruencji. Aby zako«czy¢ t¦ cz¦±¢ dowodu, zae uwa»my jeszcze, »e p 1 = NWW(m1 , m2 , . . . , mr ). Przejd¹my teraz do ogólnego przypadku. Zapiszmy m1 = pe111 pe212 . . . pke1k m2 = pe121 pe222 . . . pke2k .................. mr = pe1r1 pe2r2 . . . pekrk . Wówczas ukªad kongruencji (8.4) jest równowa»ny ukªadowi, skªadaj¡cemu 33 si¦ z podukªadów postaci x ≡ a1 (mod pes1s ) x ≡ a2 (mod pes2s ) .................. x ≡ ar (mod pesrs ), es = max {ets : 1 ≤ t ≤ r}. Ka»dy z pode ukªadów (8.7) ma jednoznaczne modulo pss rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, ( eis ejs ) gdy NWD ps , ps | ai − aj dla i ̸= j , co wynika z pierwszej cz¦±ci dowodu. Co wi¦cej, rozwi¡zanie ys tego podukªadu jest rozwi¡zaniem kongruencji o e module pss , wi¦c ukªad (8.4) jest równowa»ny ukªadowi gdzie 1 ≤ s ≤ k. (8.7) Oznaczmy x ≡ y1 (mod pe11 ) x ≡ y2 (mod pe22 ) .................. x ≡ yk (mod pekk ). (8.8) Ostatni ukªad ma rozwi¡zanie z uwagi na chi«skie twierdzenie o resztach oraz, je±li rozwi¡zanie istnieje, to jest ono jednoznaczne modulo pe11 pe22 . . . pekk = NWW(m1 , m2 , . . . , mr ). Poniewa» rozwi¡zanie ukªadu (8.4) przy zaªo»eniach dowodzonego twierdzenia jest równowa»ne rozwi¡zaniu ukªadu (8.8), wi¦c twierdzenie jest udowodnione. Powy»szy dowód podaje te» sposób na rozwi¡zanie ukªadu kongruencji. Sposób ten zostaª ju» zademonstrowany w przykªadzie (8.4). Dla utrwalenia rozwi¡»my jeszcze jeden ukªad kongruencji. 8.6 Przykªad. Ukªad kongruencji x ≡ 5 (mod 8) x ≡ 7 (mod 14) x ≡ 21 (mod 35) 34 ma rozwi¡zanie, poniewa» zachodzi NWD(8, (8, 14) | 5 − 7. NWD 35) = 1, NWD (14, 35) | 7 − 21 oraz Aby rozwi¡za¢ nasz ukªad zapisujemy 8 = 23 · 50 · 70 14 = 21 · 50 · 71 35 = 20 · 51 · 71 i zast¦pujemy ukªadem równowa»nym (przy czym pomijamy kongruencje o module 1) x ≡ 5 (mod 8) x ≡ 7 (mod 2) x ≡ 21 (mod 5) x ≡ 7 (mod 7) x ≡ 21 (mod 7) Rozwi¡zaniami trzech podukªadów s¡ odpowiednio 5, 1 oraz 0. Zatem nasz ukªad kongruencji sprowadza si¦ do ukªadu x≡5 x≡1 x≡0 (mod 8) (mod 5) (mod 7), który rozwi¡zujemy stosuj¡c chi«skie twierdzenie o resztach i otrzymujemy rozwi¡zanie x = 21 jednoznaczne modulo 280. 35