LOGARYTMY

LOGARYTMY
ZASTOSOWANIE LOGARYTMÓW
logab=c
Logarytm przy podstawie a z liczby ,
zapisywany
to taka liczba ,
że podstawa
podniesiona do potęgi
daje logarytmowaną liczbę .
 Symbolicznie:

gdzie:
Wyróżniamy też dwa szczególne
logarytmy:
 Logarytm dziesiętny, to logarytm o
podstawie 10
 Logarytm naturalny, to logarytm o
podstawie e

Twierdzenia






(logarytm iloczynu)
(logarytm ilorazu)
(logarytm potęgi)
(twierdzenie o zamianie podstaw)
Logarytmy inaczej liczby rozumu
odpowiedź na potrzebę coraz bardziej
skomplikowanych obliczeń
astronomicznych
 miały ułatwiać obliczenia, stały się
podstawowym pojęciem matematycznym

Historia
Michael Stiefel zaobserwował zależność,
jaka występuje pomiędzy postępem
geometrycznym i odpowiadającym mu
postępem arytmetycznym, ale teorii
logarytmów nie stworzył
 Udało się to dopiero Szkotowi Johnowi
Napierowi w 1614 roku
 On i Henry Briggs sformułowali zapis

Historia
Zastosowanie:
 dawniej logarytmy były używane do
szybkiego mnożenia liczb za pomocą
tablic logarytmicznych
 tablice logarytmiczne były podstawa do
obliczeń naukowych, geodezyjnych,
astronomicznych i inzynieryjskich

Historia
Zastosowanie:
 obecnie logarytmy są wyparte z użytku
przez kalkulatory i komputery
 suwak logarytmiczny także nie jest już
używany

Logarytmy i pH

pH jest ilościowym określeniem
kwasowości lub zasadowości roztworu

jest to ujemny logarytm dziesiętny
z aktywności jonów wodorowych
wartość pH=2 oznacza, że w dm3 znajduje
się 10-2 moli jonów H+
Logarytmy i pH
odczyn obojętny:
[H+] = [OH] = 10-7 mol/dm3
 odczyn kwasowy:
[H+] > 10-7 mol/dm3
 odczyn zasadowy:
[H+] < 10-7 mol/dm3

Logarytmy i pH
chemiczne wskaźniki pH są to związki
chemiczne, których barwa zmienia się
zależnie od pH środowiska, w którym się
znajdują
 najpopularniejsze wskaźniki pH:

 oranż
metylowy,
 lakmus,
 czerwień metylowa,
 fenyloftaleina,
 błękit tymolowy
Poziom natężenia dźwięku





2 - krotny wzrost natężenia oznacza wzrost poziomu
głośności o ok. 3 dB
10 - krotny wzrost natężenia daje wzrost poziomu
głośności o 10 dB
100 - krotny wzrost natężenia daje wzrost poziomu
głośności o 20 dB
1000 - krotny wzrost natężenia daje wzrost poziomu
głośności o 30 dB itd...
Poziom natężenia dźwięku













10 dB - szmer liści przy łagodnym wietrze
20 dB - szept, cichy ogród
30 dB - bardzo spokojna ulica bez ruchu kołowego
40 dB - szmery w mieszkaniu, darcie papieru
50 dB - szum w biurach
60 dB - odkurzacz dobrej jakości
70 dB - wnętrze głośnej restauracji
80 dB - głośna muzyka w pomieszczeniach, klakson
90 dB - zwykły odkurzacz
100 dB - motocykl bez tłumika
120 dB - śmigło helikoptera w odległości 5 m
160 dB - wybuch petardy
190 dB - prom kosmiczny
Jasności gwiazd
Jasność gwiazd:
 ilość energii świetlnej docierającej od gwiazdy na
jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku
padającego promieniowania w jednostce czasu
 wyraża się ją w logarytmicznej skali wielkości
gwiazdowych (magnitudo)
 gwiazda przy dobrych warunkach meteorologicznych na
granicy widzialności jest plus szóstej wielkości
gwiazdowej +6m, +1m gwiazda widoczna gołym okiem

Jasności gwiazd
 Najsłabsze
gwiazdy dostrzegane przez
najsilniejsze teleskopy +24m
 Syriusz - -1m,5
 Wenus – w maksimum jasności -4m
 Księżyc w pełni - -12m
 Słońce - - 29m
Jasności gwiazd

Dla dwóch dowolnych gwiazd
- energia dobiegająca od gwiazdy w
jednostce czasu (natężenie oświetlenia)
Jasności gwiazd
Absolutna wielkość gwiazdowa [M]:
 Została wprowadzona, ponieważ różnice
jasności gwiazd mogą wynikać nie tylko z
różnic w ilości emitowanej energii, ale
również odległości
 Jest to jasność, jaką obserwowalibyśmy
gdyby gwiazda znajdowała się w odległości
10 pc (1pc = 3.08568025 × 1016 m)

Jasności gwiazd

Absolutna wielkość gwiazdowa [M]
ponieważ:
m2→M – absolutna wielkość gwiazdowa
m1→m – taką wielkość gwiazdową postrzegamy
r2→10pc
r1→l –rzeczywista odległość gwiazdy
r[pc]
Skala Richtera, trzęsienia ziemi

Skala Richtera – skala logarytmiczna
określająca wielkość trzęsienia ziemi na
podstawie amplitudy drgań wstrząsów
sejsmicznych, wprowadzona w 1935 roku przez
amerykańskiego geofizyka Charlesa F. Richtera.
Wielkość tę określa się za pomocą magnitudy.
Skala Richtera, trzęsienia ziemi
Skala
Richtera
Skutki
Liczba trzęsień
rocznie
< 2,0
Najmniejsze wstrząsy, nieodczuwalne przez człowieka ani przez
sejsmograf.
2 920 000
2,0-3,4
Wstrząsy nieodczuwalne dla człowieka, lecz rejestrowane przez
sejsmograf.
800 000
3,5-4,2
Bardzo małe wstrząsy, odczuwane tylko przez niektórych ludzi.
30 000
4,3-4,8
Odczuwane przez większość osób, nieszkodliwe.
4 800
4,9-5,4
Odczuwane przez wszystkich, powoduje bardzo niewielkie
zniszczenia.
1 400
5,5-6,1
Średnie wstrząsy, powoduje mniejsze uszkodzenia budynków.
500
6,2-6,9
Duże wstrząsy, powodują znaczne zniszczenia.
100
7,0-7,3
Poważne zniszczenia.
15
7,4-8,0
Ogromne zniszczenia.
4
8,0-8,9
Ogromne zniszczenia, katastrofalne skutki dla wielu krajów.
1
>9
Trzęsienie, które może zburzyć wszystkie miasta na terenie
większym niż kilkanaście tysięcy km2.
raz na 20 lat