Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie „szans” zajścia pewnych zdarzeń.
Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to:
zdarzenie losowe
- zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Matematyczny model ciała zdarzeń losowych to rodzina wszystkich podzbiorów pewnego zbioru , gdzie
-
nazywamy zdarzeniem pewnym, czyli zbiorem wszystkich możliwych wyników
Przykład: dla rzutów monetą ł, , dla losowania punktu na odcinku to cały
odcinek.
-
nazywamy zdarzeniem niemożliwym
zdarzenia elementarne – takie zdarzenie którego nie da się nietrywialnie rozłożyć tzn. jedyne rozkłady
typu są postaci , , ,
Każde zdarzenie można przedstawić jako sumę zdarzeń elementarnych.
Ciało zdarzeń oznaczamy jako .
Prawdopodobieństwo – zajścia pewnego zdarzenia A to określenie procentowo „szans” zajścia tego
zdarzenia. Prawdopodobieństwo określa się w skali 0-100% zatem 0-1.
Matematyczny model rozkładu prawdopodobieństwa to funkcja
: , Spełniająca warunki:
1. 2. 3. dla każdej pary zdarzeń , takiej, że " # .
Z tak postawionej definicji wynika ponadto, że:
• \ & - prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
• .
UWAGA:
Zgodnie z ostatnim warunkiem prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0. Nie zachodzi związek przeciwny
tzn. zdarzenie o prawdopodobieństwie 0 nie koniecznie jest zdarzeniem niemożliwym.
Rozkład prawdopodobieństwa
Zauważmy najpierw:
Każde zdarzenie można przedstawić jako sumę zdarzeń elementarnych.
Na mocy punktu 3. definicji prawdopodobieństwa i poprzedniej uwagi nie ma potrzeby określać
prawdopodobieństwa na całym ciele zdarzeń losowych, a jedynie na zdarzeniach elementarnych.
Wystarczy więc podać prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych.
Jak określić prawdopodobieństwo:
• dla skończonego zbioru zawsze można wypisać prawdopodobieństwa np. za pomocą tabeli,
• dla zbioru nieskończonego nie jesteśmy tego w stanie zrobić. Rozwiązaniem jest określenie
prawdopodobieństwa za pomocą wzoru. Problem w tym, że zdarzenie elementarne nie jest z reguły
liczbą.
Wprowadzamy tzw. zmienną losową która zdarzeniom losowym przypisuje wartości liczbowe. Zmienne
losowe są na tyle wygodnym narzędziem, że wprowadzamy je dla skończonych i nieskończonych zbiorów
zdarzeń.
Przykłady:
1. rzucając kostką do gry losujemy tak naprawdę jedną ze ścian, taka ściana ma nadany numer
poprzez określenie liczby oczek,
2. losując punkt na odcinku, możemy mu przypisać liczbę równą odległości od ustalonego końca
odcinka,
3. rzucając monetą przypisujemy reszce wartość 0, orzełkowi wartość 1.
Następnie wartościom zmiennej losowej, które są liczbami, przypisujemy prawdopodobieństwa.
ZDARZENIA ELEMENTARNE
→ WARTOŚCI ZMIENNEJ LOSOWEJ →PRAWDOPODOBIEŃSTWA
• Wyróżniamy dwa typy zmiennych losowych:
1. Skokowe – wartości zmiennej losowej są z reguły podzbiorem liczb całkowitych, taka zmienna
losowa „skacze” od jednej wartości do następnej, nie przyjmując wartości pośrednich. Przykłady
- kostka, moneta.
2. Ciągłe – wartości zmiennej losowej są gęste, tzn. pomiędzy dwoma dowolnymi wartościami
zawsze znajdziemy kolejne które zmienna również przyjmie, taka zmienna losowa przechodzi
„płynnie” poprzez swoje wartości.
Przykład:
Losowanie punktu na odcinku – pomiędzy każdymi dwoma punktami na odcinku (czyli liczbami
rzeczywistymi) istnieją punkty (liczby rzeczywiste) które mogą zostać wylosowane.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu skokowego.
Rozkład prawdopodobieństwa określamy na kolejnych wartościach zmiennej losowej, z reguły przy użyciu tabeli
Skończona liczba wartości
x1
p1
x2
p2
…
…
xK
pK
…
…
xK
pK
…
…
Lub niekończona liczba wartości
x1
p1
x2
p2
…
…
xN
pN
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego.
Jakie jest prawdopodobieństwo zakończenia tych zajęć dokładnie o ustalonej godzinie?
Zero – dlaczego? - Zanim zdążymy powiedzieć która jest godzina będzie już inna.
Mówiąc, że jest 15:00 mamy tak naprawdę na myśli około 15:00 z dokładnością do np. jednej minuty czyli
przedział 14:59:30-15:00:29.
Zmienna losowa typu ciągłego przechodząc przez zbiór wartości przyjmuje ich na tyle dużo, że prawdopodobieństwo
przyjęcia każdej pojedynczej wartości wynosi zero. Interesuje nas określenie prawdopodobieństwa na większych
podzbiorach zbioru wartości. Tak jak w powyższym przykładzie dla przedziału jednominutowego.
Dla zmiennej losowej typu ciągłego określamy funkcję gęstości, a prawdopodobieństwo osiągnięcia wartości ze zbioru
jako całkę po zbiorze z funkcji gęstości prawdopodobieństwa.
Przykład
,
Funkcja gęstości tzw. rozkładu normalnego, '( ) *+ .
Na wykresie zaznaczono prawdopodobieństwo -0,4 0 1 0 1 tzn. prawdopodobieństwo osiągnięcia przez zmienną
6
,
losową wartości z przedziału (0,4;1) jest równe zaznaczonemu polu co jest równe 37,8 ) *+ dx
1,2
1
0,8
0,6
P(0,4<X<1)
0,4
0,2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Własności funkcji gęstości:
• D: ;
• '<0
>
• 3*> fxdx 1
Dystrybuanta
Funkcja dystrybuanty jest określona jako ?( -1 (.
Własności:
•
•
•
•
Dziedziną dystrybuanty są liczby rzeczywiste
Wartości dystrybuanty to prawdopodobieństwa, więc liczby z przedziału [0,1]
Jest to funkcja niemalejąca
Jest prawostronnie ciągła
UWAGA:
Istnieje alternatywna definicja dystrybuanty – nawet bardziej popularna ?( -1 0 (. Przy takiej definicji ostatnia
własność zmienia się na lewostronną ciągłość. My przyjmujemy definicję zgodną z EXCELEM.